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7/24/2019 Alg BOOLE.pdf

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UNIVERSIDAD TCNICA DE AMBATOFacultad de Ingeniera en Sistemas, Electrnica e Industrial

INFORME

Ttulo:lgebra de Boole

Carrera:Ingeniera Industrial

rea Acadmica:Ciencias Bsicas

!ea de I!"e#ti$aci%!:Industrial

Ciclo Acadmico & 'aralelo:5to A Industrial

Nom(re:Acosta CristianAnaluisa Cristian!artne" #oco!ore$n %a&id'uinatoa (essica

M%dulo & Doce!te:

E)EC*#+ICA %I-I*A).

Ing/ Santiago Collantes 0aca


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1.1 Ttulo

ALGEBRA DE BOOLE

1.2 Objetivos

Indicar las principales operaciones del lgebra de Boole Demostrar las diferentes Compuertas en el lgebra de Boole

1.3 Palabras clave:

Biestable, or, nor, and, xor, nand y xnor

1. !"tro#ucci$"

George Boole fue un matemtico y lgico britnico.Como inventor dellgebra de Boole, ue marca los fundamentos de la aritm!tica

computacional moderna, Boole es considerado como uno de losfundadores del campo de las Ciencias de la Computacin. "n #$%&public 'n Investigation of t(e )a*s of +(oug(t on (ic( are -oundedt(e at(ematical +(eories of )ogic and /robabilities, donde desarrollun sistema de reglas ue le permit0an expresar, manipular y simpli1carproblemas lgicos y 1los1cos cuyos argumentos admiten dos estados2verdadero o falso3 por procedimientos matemticos. 4e podr0a decirue es el padre de los operadores lgicos simblicos y ue gracias a sulgebra (oy en d0a es posible operar simblicamente para reali5ar

operaciones lgicas.1.% &ateriales ' &eto#olo(a

ALGEBRA DE BOOLE

4e aplica de forma generali5ada en el mbito del dise6o electrnico.Claude 4(annon fue el primero en aplicarla en el dise6o de circuitos deconmutacin el!ctrica biestables, en #7&$. "sta lgica se puede aplicara dos campos8

9 'l anlisis, porue es una forma concreta de describir cmofuncionan los circuitos.9 'l dise6o, ya ue teniendo una funcin aplicamos dic(a lgebra,

para poder desarrollar una implementacin de la funcin

/ara describir un circuito digital utili5aremos ecuaciones matemticas.4in embargo, estas ecuaciones tienen variables y n:meros ue ;< 4


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operaciones ue conocemos. >ay ue utili5ar nuevas operaciones ynuevas propiedades, de1nidas en el ')G"B=' D" B


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/ 0 A - Bue indica ue -E# 2)u5 encendida3 si alguno de los interruptores est a# 2activado3.


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LA OPERA)!,*

Esta operacin se define as:"n este caso, la operacin es ms intuitiva, puesto uees igual ue el producto de n:meros =eales. 4i nos1Hamos, vemos ue el resultado slo vale # cuando losdos bits estn a #, o visto de otra manera, el resultadoes cuando alguno de los dos bits es . amos a verun eHemplo. Imaginemos una caHa de seguridad de unbanco ue slo se abre cuando se (an introducido dosllaves diferentes, una la tiene el director y la otra el Hefede seguridad.

4i slo se introduce una de ellas, la caHa no se abrir. odelaremos elproblema as0. Jtili5aremos la variable ' para referirnos a una de lasllaves 2 no introducida, # introducida3 y la variable B para la otra

llave. Con la variable - expresamos el estado de la caHa de seguridad2 cerrada y # abierta3. "l estado de la caHa lo podemos expresar conla ecuacin8

/ 0 A . Bue indica ue la caHa se abrir 2-E#3 slo si 'E# 2una llave introducida3y BE# 2la otra llave introducida3. "n cualuier otro caso, -E, y portanto la caHa no se abrir.

PROP!EDADE+ DEL ALGEBRA DE BOOLE

La "e(aci$")a operacin de negacin nos permite obtener el estadocomplementario del bit o variable booleana al ue se lo aplicamos. 4ede1ne de la siguiente manera8

0=1

1=0

"s decir, ue si se lo aplicamos a obtenemos # y si se lo aplicamos

al # obtenemos . "sta operacin nos permite cambiar el estado deuna variable booleana. 4i ' es una variable boolena,

A tiene el estado

contrario.)as operaciones del ?lgebra de Boole las podemos de1nir utili5andotablas de verdad8

0 . 1 = 0

0 . 0 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1


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Oeraci$" -

A B A-B

1 1 1 11 1 1

Oeraci$" .

A B A . B

1 1 1 1 1


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Proie#a#: las oeracio"es - ' . +o" )o"utativa A - B 0 B - A

A . B 0 B . A

ELE&E*TO *E4TROA - 0 AA . 1 0 1

D!+TR!B4T!5A

A- 6B.)7 0 6A-B7 . 6A-)7A . 6B-)7 0 A . B - A . )

ELE&E*TO !*5ER+O

A+A=1

A .A=0

OPERA)!,* DE *EGA)!O* DE/!*!DAD POR:0=1

1=0

TEORE&A+

"stos teoremas son utili5ados algunos en problemas y otros en teor0aA+O)!AT!5A

A-B-) 0 6A-B7-) 0 A-6B-)7A . B. ) 0 6A.B7.) 0 A . 6B.)7

!DE&POTE*)!A

B - B 0 BB. B 0 B

LE8 DE AB+OR)!O*A - A.B 0 AA .6A-B7 0 A

"ste teorema es muy importante puesto ue nos permite reali5arsimpli1caciones en las expresiones.


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LE8E+ DE &ORGA*

B1+B2+B3+B4+Bn ..=B1. B2. B3 . Bn

B1 .B2 .B3.B4. Bn= B1+ B2+ B3+ Bn

EE&PLO+:

A+B=A+B

A .B+C .D=(A+B).(C+D)

A . B . C=A+B+C

A

(+B) .C=(A+B ) .C

A .B+C=

TEORE&A DE +9A**O*

B1,B

2,B

n+ .

F

B2 , Bn ,+

"ste teorema es una generali5acin de las leyes de organ. )o ue nosdice es ue si tenemos cualuier expresin booleana negada, es igual ala misma expresin en la ue todas las variables est!n negadas y en laue se sustituyan las operaciones @ por . y viceversa.

EE&PLO:B1+B2 .B3=B1. B2+B3

/4*)!O*E+ BOLEA*A+/ara las operaciones booleanas se trabaHara con el @ y. )as mismas ueno tienen nada ue ver con la suma y multiplicacin.


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EE&PLO:

-uncin booleana de una variable8F( A)=A

"l valor devuelto por la funcin es el negado del ue se le pasa por lavariable. Como la variable ' es booleana, slo puede tomar los valores y #. )os ue la funcin - toma son8F(0)=0=1

F(1)=1=0

1.- F(A ,B )=A+B

F(0,0)=0+0 = 0

F(0,1)= 0+1=1

F(1,0)= 1+0=1

F(1,1)= 1+1=1

2.- F(A ,B )=(A+B ) . B

F(0,0)=0+0. 0=0.1=0

F(0,1)=0+1.

1=1.0=0

F(1,0)=1+0. 0=1.1=1

F(1,1)=1+1. 1=1.0=0

REPRE+E*TA)!,* DE /4*)!O*E+ L,G!)A+

REPRE+E*TA)!,* E* TABLA DE 5ERDAD

)a tabla de verdad es una forma muy sencilla de de1nir una funcin.

Consiste en colocar en una tabla todas las posibilidades de las variablesde entrada Hunto con el valor ue debe tener la salida. ' continuacin semuestra un eHemplo8


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"n este caso la funcin de salida - en ve5 de ponerla de forma sencilla,se pone como -E-2', B, C3 para indicar de u! variables depende, esdecir, cules son sus variables de entrada 2redundante aunueformalmente correcto3

"scribir todas las combinaciones de las variables de entrada es bastantesencillo porue slo (ay ue escribir los n:meros en binario y en sentidocreciente. "n este caso desde el K en decimal K en binario (astael K$ en decimal o K### en binario.

4e puede intuir ue esta notacin puede reuerir muc(o tiempo yespacio si el n:mero de variables de entrada es muy grande.

REPRE+E*TA)!,* ALGEBRA!)A

)a notacin algebraica es la ue se compone de la escritura de variablesy operadores del algebra booleana. ' continuacin, se muestran doseHemplos, uno para una funcin con L variables de entrada y otro para &variables de entrada8

/ 0 AB); - 6A-B;-)7; - A); < 0 ='; - 6'->;7 - 6?;->7;


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variable aparece una y slo una ve5, ya sea en su forma normal ocomplementada. "H.8 f2',B,C3

Clculo de i8 se sustituye cada variable por # si

est en su forma natural, y por si est en suforma complementada.

&!*!TR&!*O

/ara una funcin booleana de n variables x#,...xn, un producto booleanoen el ue cada una de las n variables aparece una sola ve5 2negada o

sin negar3 es llamado minit!rmino. "s decir, un minit!rmino es unaexpresin lgica de n variables consistente :nicamente en el operadorconHuncin lgica 2';D3 y el operador complemento o negacin 2;


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)a representacin num!rica es una forma simpli1cada de representar lasexpresiones cannicas. 4i consideramos el criterio de sustituir unavariable sin negar por un # y una negada por un , podremosrepresentar el t!rmino, ya sea una suma o un producto, por un n:mero

decimal euivalente al valor binariode la combinacin. /or eHemplo, lossiguientes t!rminos cannicos se representarn del siguiente modo2observe ue se toma el orden de ' a D como de mayor a menor peso38

'BCD E ###OE ###' @ B @ C @ D E #OE

/ara representar una funcin cannica en suma de productosutili5aremos el s0mbolo Sn2sigma3 y en producto de sumas Tn2pi3, donden indicar el n:mero de variables. 's0, la representacin num!ricacorrespondiente a la tabla de verdad del punto anterior uedar como8

- E SL2O, &, %, U3 E TL2, #, L, V3

atemticamente se demuestra, ue para todo t!rmino i de unafuncin, se cumple la siguiente ecuacin8

- E WSn2i3XQ E Tn2On9#9i 3

' modo de eHemplo se puede utili5ar esta igualdad para obtener elproducto de sumas a partir de la suma de productos del eHemploanterior8

- E SL2O, &, %, U3 E WSL2O, &, %, U3XQ Q E WSL2, #, L, V3XQ E TL2, #, L,V3
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binariohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sigmahttps://es.wikipedia.org/wiki/%CE%A0https://es.wikipedia.org/wiki/Sigmahttps://es.wikipedia.org/wiki/%CE%A0https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario


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G=?-IC'

)a representacin gr1ca es la ue se utili5a en circuitos y esuemaselectrnicos. "n la siguiente 1gura se representan gr1camente dosfunciones algebraicas, una con s0mbolos no normali5ados, superior, y laotra con normali5ados.

/4*)!O*E+ L,G!)A+

)as operaciones lgicas pueden representarse a trav!s de s0mbolosgr1cos y de tablas de verdad.

)as l0neas conectadas a la i5uierda de cada s0mbolo son las entradas2input3 y las l0neas a la derec(a son las salidas 2output3.


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Simbologa de las operaciones lgicas

)O&P4ERTA+ L,G!)A+

)ouerta A*D

/roducto lgico 2YFZ3;:mero m0nimo deentradas8 O

;otacin8 NE'.B

)ouerta OR

4uma lgica 2Y


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)ouerta *A*D

';D negada;:mero de entradas8O2ampliable3

;otacin8 NE2'.B3

)ouerta *OR


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)!R)4!TO+ )O&B!*A)!O*ALE+ 6LGEBRA DE BOOLE7

)os valores de las magnitudes f0sicas ue se maneHan en los distintossistemas de regulacin y de control industriales, ue son los ue (emos

de procesar para alcan5ar unos determinados obHetivos en cadaproceso, var0an con el tiempo. "n funcin de cmo sean esasvariaciones distinguimos dos tipos de se6ales8 la se6al analgica, ue esauella capa5 de tomar valores continuos en el tiempo esto es, todos losvalores posibles dentro de un determinado intervalo[ y la se6al digital,discontinua, capa5 :nicamente de tomar unos determinados valores,discretos, dentro del rango posible."n general todas las magnitudes f0sicas responden a se6ales analgicas./or eHemplo la tensin de alimentacin de la red dom!stica, nuestra

altura y peso, la presin, la temperatura, la velocidad de un mvil, etc.4in embargo la mayor0a de los sistemas de control utili5an para sufuncionamiento se6ales digitales, a su ve5 basadas en cdigos binarios.Jn sistema digital es un conHunto de dispositivos destinados a lageneracin, transmisin, procesamiento o almacenamiento de se6alesdigitales.Dentro de los sistemas digitales podemos diferenciar dos grandesgrupos8

#. )os sisteas #i(itales cobi"acio"ales."n ellos la salida delsistema depende :nicamente de la combinacin de valores uepresentan las entradas lgicas. ;o precisa de mdulos dememoria, ya ue el valor de la salida no depende de situacionesanteriores.

O. )os sisteas #i(itales secue"ciales:"n ellos la salida dependede la combinacin de las entradas del momento y de la secuenciade combinaciones de las entradas previas, por lo ue necesitanmdulos de memoria ue acumulen la informacin de lo ocurridoanteriormente en el sistema.

/ara el anlisis y la s0ntesis de sistemas digitales binarios se utili5a como(erramienta el lgebra de Boole, y para la implementacin de dic(oscircuitos se utili5an puertas lgicas 2las principales son las ';D,


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de transistores 2lgica ++)3 y cuyo comportamiento se corresponde conalgunas de las funciones del booleanas 2principalmente lamultiplicacin, la suma y la complementacin o negacin3.

)O&B!*A)!O*E+

*OTCA*DCOR2preferentemente con 4J' de /=


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1. )o"clusio"es"l lgebra de Boole se basa en un conHunto en el ue se (an de1nidostres operaciones internas8 una unaria y dos binarias, como ya (emosvisto, siendo cmoda esta de1nicin. "strictamente (ablando solo sonnecesarias dos, la unaria y una de las binarias, as0, por eHemplo, en lalgica binaria con la negacin y el producto podemos de1nir la suma.Con la ley de De organ8

"sta expresin resulta ms compleHa, pero partiendo de la negacin y elproducto binarios de1ne la suma binaria.

"n la imagen de la derec(a podemos ver uncircuito en paralelo de dos pulsadores a y b,ue corresponde a la suma binaria de a y b,

y su euivalente en un circuito en serie de ay b, los dos dan como resultado la mismatabla de verdad, y por tanto soneuivalentes, lo arti1cioso el circuito seriepara obtener el mismo resultado ue en uncircuito paralelo deHa ver lo conveniente deconsiderar esa funcin, la posibilidad deobtener la suma de dos variables binariasmediante la negacin y el producto se6alanue, de forma primaria, el lgebra de Boole

se basa solo en dos operaciones, y ue cualuier expresin en la ueintervenga la suma puede transformarse en otra euivalente en la uesolo intervienen la negacin y el producto.

1.F Reere"cias biblio(rHIcas


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W#X'F="4, -ran^. c Gra*9>ill. 4erie 4c(aum, ed. ?lgebra oderna2#77& edicin3. I4B; 7U$9&OO97#V9$.WOXGon5le5 Carlomn, 'ntonio. Jniversidad de

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