เทนเซอร์ ตอนที่ 2...ในแบบตอนท 1 ก ไม ม ป...

....มอกเหรอ.....

เทนเซอร ตอนท 2

เรยบเรยง ขาวเกรยบ เทนเซอร ตอนท 2

เทนเซอร.....ตอนท 2 สำหรบตอนนของเทนเซอรจรงๆผมกไมรจะเลาอะไรตอ แตกนะลองดแลวกนครบ จาก

ความเดมตอนทแลวเรานาจะพอเหนภาพแลววาเทนเซอรคออะไร มสมบตอยางไร และ

มกแบบดวยกน

สนามเทนเซอร (Tensor field) จรงๆผมเคยอธบายความหมายของ “สนาม” (Field) ในฟสกสไปครงหนงแลวในเรอง

“สมมาตรและฟสกส” (ลองไปหาอานกนดนะครบ) จรงๆทเราเจอกนบอยๆในฟสกส

สำหรบสนามเนย คอ สนามสเกลาร (Scalar field) และสนามเวกเตอร (Vector field)

สำหรบตวอยางสนามสเกลารไดแก อณหภม ดงรปดานลาง

�1


ดงรปดานลาง ณ เวลาหนงภาพโปรไฟลของอณหภมทตำแหนงตางๆ นนหมายความวา

หากเราทำการจมลงไปยง ณ จดไหนบนแผนทเราจะไดคาตวเลข(สเกลาร)ของอณหภม

ออกมา แนนอนเรารวาสเกลารคอเทนเซอรแรงค 0 ดงนน อณหภมเปนตวอยางของ

สนามเทนเซอรแรงค 0 นนเอง

ภาพดานบนเปนตวอยางของสนามเวกเตอรใน 2 มต ในทนอาจจะเปนสนามไฟฟากได

หากเราเลอกจดในบรเวณทเราสนใจ เราจะไดคาตวเลขพรอมกบทศทางหรอเวกเตอรนน

เอง และเรากรวาเวกเตอรเปนเทนเซอรแรงค 1 ดงนนตวอยางดานบนเปนตวอยางของ

สนามเทนเซอรแรงค 1

�2

https://ximera.osu.edu/mooculus/calculus3/vectorFields/digInVectorFields


ตวอยางทยกผานมาเปนตวอยางทเราเจอกบบอยๆ เนองจากปรภมทเราพจารณาเปนปร

ภมยคลด (Euclidian space) แตจรงแลวเราสามารถมสนามเทนเซอรไดบนปรภมท

เรยกวา “แมนโฟลด” (Manifold) [เราจะยงไมไปพดวาแมนโฟลดคออะไร เอาเปนวา

เปนปรภมแบบหนงทมสมบตพเศษบางประการ]

ภาพดานบนแสดงสนามเทนเซอรแรงค 1(สนามเวกเตอร) บนผวโคง 2 มต(แนนอ

นวาไมใชผวแบบยคลด) ซงเราอาจจะพจารณาวาเปนแมนโฟลด หรอพดงายๆเราอาจ

จะพจารณาปรมาณฟสกสบนผวทไมแบนราบกได(GR!!)

เมตรกเทนเซอร (Metric Tensor) คำวา “เมตรก” ในทนหมายถงระยะระหวางจด 2 จดในปรภมทเราสนใจ เชน สำหรบ

ปรภมยคลด 2 มต เราพบวาระยะระหวางจด และ คอ

(1)

หากเราเขยนใหมเปนรปผลคณเมทรกซ (Matrix product)

(x1, x2) P Q

ds2 = (d x1)2 + (d x2)2

�3

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Surface_normals.svg


(2)

เจาเมทรกซทอยตรงนนกลางนนเรยกวา “เมตรกเทนเซอร” ใหสญญาลก

ษ

(3)

จรงๆ จากภาพเรารวา เกดจากผลตางของสวนประกอบเวกเตอร และ

และขนาดหาไดจากการทำการคณแบบดอท (Dot product)

(4)

โดยท คอเบสส(ตงฉากขนาดหนงหนวย)

ds2 = [d x1 d x2] [1 00 1] [d x1

d x2]g = [gμν]

g ≡ [1 00 1]d s OP OQ

ds2 = (d x1 e 1 + d x2 e 2) ⋅ (d x1 e 1 + d x2 e 2)= e 1 ⋅ e 1d x1d x1 + e 1 ⋅ e 2d x1d x2

+ e 2 ⋅ e 1d x2d x1 + e 2 ⋅ e 2d x2d x2

{ e 1, e 2}�4


โนต การคณดอทนนคอกรณพเศษของการคณภายใน เพราะวาสำหรบปรภมเวกเตอร

จรง (Real space vector) ปรภมคคอตวมนเอง แตหากใครยงพอใจทจะใชภาพปรภมค

ในแบบตอนท 1 กไมมปญหาครบ

ทำการจดสมการ (4) ใหมเปน

(5)

เทยบกบสมการท (2) เราพบวาจรงแลวเมทรกซเทนเซอร คอ

(6)

เนองจาก นนมสมบต จะทำใหเราไดสมการ (3)

นนเอง สงทเราสงเกตไดคอ เมตรกเทนเซอร สำหรบ

กรณน

1) สมาชกเปนคาคงทซงบอกวาปรภมทเราสนใจนนแบนราบเพราะไมวาเราสนใจจะ

หาระยะทาง ณ บรเวณไหนเมตรกเทนเซอร ไมเคยเปลยนคา 2) ขนกบธรรมชาตของชดพกดทเราเลอกใช

เราขอขยายความประเดนท 2 อกนด หากตอนนเราเปลยนชดพกด และชด

เบสสเปลยนใหมเปน โดยมสมการแปลง

ds2 = [d x1 d x2] [e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2] [d x1

d x2]g = [gμν]

g = [e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2]

{ e 1, e 2} e μ ⋅ e ν = δμνg = [gμν] = [ e μ ⋅ e ν]

g

(x′�1, x′�2){ e ′ �1, e ′�2}

x′�1 = ax1 + bx2

x′�2 = cx1 + d x2

�5


และ

สำหรบกรณทการแปลงพกดเปนการหมน เราพบวาเมทรกซการแปลง คอ

(7)

ซงชดเบสสใหม นนยงมสมบต เนองจากขนาดของ

เวกเตอรไมเปลยนภายใตพกดดงนน

e 1 = a e ′�1 + c e ′�2e 2 = b e ′�1 + d e ′�2

R(θ)

R(θ) = [ cos θ sin θ− sin θ cos θ]

{ e ′�1, e ′�2} e ′�μ ⋅ e ′�ν = δμν

ds2 = [d x′�1 d x′ �2] [e ′�1 ⋅ e ′�1 e ′�1 ⋅ e ′�2e ′�2 ⋅ e ′�1 e ′�2 ⋅ e ′�2] [d x′�1

d x′�2]= [d x1 d x2] [cos θ − sin θ

sin θ cos θ ] [e ′�1 ⋅ e ′�1 e ′�1 ⋅ e ′�2e ′�2 ⋅ e ′�1 e ′�2 ⋅ e ′�2] [ cos θ sin θ

− sin θ cos θ] [d x1

d x2]�6


เราเหนไดทนทวา

หรออยางสน หรอ [เนองจาก ] สมการ

ลดรปสวยๆไดเปน

ซงเราเหนไดวาสมการเปนจรง

โนต สำหรบพกดตงฉากนนเมตรกและมชดเบสสเวกเตอรหนงหนวยนนเมตรก

มค าเปน 1 ตามแนวแทยงซาย ส วนตำแหนงอนๆมคาเปน 0 และเมอแปลงไปยงพกดใหมทยงตงฉากจงทำใหตวเมตรกเทนเซอร นนเหมอนเดม

สำหรบกรณการแปลงทวไปทมเมทรกซการแปลงเปน ซงเขยนไดเปน

(8)

เราจะมความสมพนธ

หรอ

g = [e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2] = [cos θ − sin θ

sin θ cos θ ] [e ′�1 ⋅ e ′�1 e ′�1 ⋅ e ′�2e ′�2 ⋅ e ′�1 e ′�2 ⋅ e ′�2] [ cos θ sin θ

− sin θ cos θ]g = RTg′�R g′� = RgRT RT = R− 1

g = [1 00 1] = [cos θ − sin θ

sin θ cos θ ] [1 00 1] [ cos θ sin θ

− sin θ cos θ]

g = [δμν]g

&

& = [a bc d]

g = [e 1 ⋅ e 1 e 1 ⋅ e 2e 2 ⋅ e 1 e 2 ⋅ e 2] = [a c

b d] [e ′�1 ⋅ e ′�1 e ′�1 ⋅ e ′�2e ′�2 ⋅ e ′�1 e ′�2 ⋅ e ′�2] [a b

c d]g′� = (&− 1)Tg&− 1

�7


(9)

โนต เนองจากพกดใหมไมไดเปนพกดตงฉากและมชดเบสสเวกเตอรไมจำเปนตองมขนาดหนงหนวยจงทำใหเมตรกเทนเซอร มคาไมเฉพาะในแนวแทยงเหมอนกอนหนาน

สำหรบกรณปรภมยคลดม มตเราสามารถเขยน

(10)

ภายใตการแปลงแบบคอนทราวาเรยนท (กลบไปอานตอนท 1 ถาจำไมได)

(11)

ดงนน

(12) โดย

ซงบอกเราวาเมตรกเทนเซอร นนเปนโควาเรยนทเทนเซอรแรงค 2 หรอเปนแบบ

(0,2) [ทงเพราะมอนเดกซ 2 ตวนนเอง] นนเพราะกฏการแปลงของเมตรกเทนเซอร

เปนแบบเดยวกบเบสสเวกเตอร[จากตวอยางดานบนคอใชเมทรกซ ]

g′� = [e ′�1 ⋅ e ′�1 e ′�1 ⋅ e ′�2e ′�2 ⋅ e ′�1 e ′�2 ⋅ e ′�2] = 1

(det &)2 [ d − c− b a ] [1 0

0 1] [ d − b− c a ]

= 1(det &)2 [ d 2 + c2 − bd − ca

− bd − ca b2 + a2 ]g′�

N

ds2 = gμνd xμd xν

d x′�ν = ∂x′�ν

∂xμ d xμ

ds2 = g′�μνd x′�μd x′�ν g′�μν = gβγ∂x′�μ

∂xβ∂x′�ν

∂xγ

gg

&− 1

�8


โนต เมตรกเทนเซอร สำหรบระบบพกดทรงกลม

(13)

และพกดทรงกระบอก

(14)

เราเหนวาเนองจากยงเปนระบบพกดฉากทงค เมตรกเทนเซอร จงมคาตามแนวแทยง

ตอไปเราขยบไปพจารณาปรภมมนคอฟสก (Minkowski space) ซงเราเจอไดใน

ทฤษฏสมพทธภาพพเศษ (Special relativity)

ในปรภมมนคอฟสกนเราไมไดมเวกเตอรไก

กาอาราเลเหมอนกอน สงทมคอ 4-เวกเตอร

หรอ

ตามสมพทธภาพนยม ภาพดานขางแสดง

แ ผ น ภ า พ ป ร ภ ม ม น ค อ ฟ ส ก ( ก า ล

อวกาศ)ของผสงเกต 2 คน โดยทผสงเกตท

อยนงใชชดพกด สวนผ

สงเกตอกคนวงดวยความเรวคงท ในทศ

เทยบกบผสงเกตทอยนงไปทางขวาใชชดพกด

ซ งชดพกด

ทง 2 แปลงหากนผานเมทรกซลอรเลนซ

(Lorentz matrix) หรอเรยก การแปลงลอรเลนซ (Lorentz transformation: LT) เขยนได

เปน โดย คอเมทรกซลอรเลนซหรอลอรเลนซบสต (Lorentz boost)

g (r, θ, ϕ)

g =1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 θ

(r, θ, z)

g =1 0 00 r2 00 0 1

g

(ct, x, y, z)T

X = (x0, x1, x2, x3)T

(x0, x1, x2, x3)T

v x

X′� = (x′�0, x′�1, x′�2, x′�3)T

X′� = ΛX Λ�9

d s2


โนต ลอรเลนซบสตเปนการจบคการแปลงระหวางกาลและอวกาศ อยางดานบนเปน น นหมายความวาเรายงมลอรเลนซบสตสำหรบ และ การแปลงระหวางอวกาศกนเองเปนแบบหมน เชน หมนระนาบ ผานแกน ตรงนอานเพมเตมไดในเรอง “สมมาตรและฟสกส”

โดยทตวแปร และ (ตอนนอยาสบสนวา และ

เปนอนเดกซ) การแปลงเขยนสนไดเปน (แปลงแบบคอนทราวาเรยน

ท) เพอความสะดวกในภาคหนาเราจะขอเปลยนวธการเขยน ใหม ในรป

แบบ คอเรายกพรามไปไวกบอนเดกซเลยเพอความสะดวก สำหรบปร

ภมมนคอฟสกนเรากยงสนใจระยะระหวางจด 2 จด แตในบรบทนเราจะเรยกวาระยะ

หวางเหตการณ(พกดบนปรภมมนคอฟสกคอเหตการณ(event)ในภาษาของสมพทธ

ภาพ)

หรออยางสน โดย คอเมตรกเทนเซอร

สำหรบกรณนและเขยนไดเปน

(16) (หนาตาตางจากกรณปรภมยคลด)

Λ =γ − βγ 0 0

− βγ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

=

Λ00 Λ0

1 Λ02 Λ0

3

Λ10 Λ1

1 Λ12 Λ1

3

Λ20 Λ2

1 Λ22 Λ2

3

Λ30 Λ3

1 Λ32 Λ3

3

= [Λνμ]

(ct, x) (ct, y) (ct, z)(x, y) z

γ = 1/ 1 − v2 /c2 β = v/c γβ x′�ν = Λν

μxμ

x′�ν = Λνμxμ

xν′� = Λν′�μ xμ

ds2 = − (cdt)2 + d x2 + dy2 + dz2 = − (d x0)2 + (d x1)2 + (d x2)2 + (d x3)2

ds2 = ημνd xμd xν g = η = [ημν]

η =− 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

�10


เหมอนในกรณของปรภมยคลด ภายใตการแปลงพกดเจาระยะทางกำลง 2 นนไม

เปลยน ดงนนสำหรบในกรณนการแปลงลอเลนซซงเปนการแปลงพกดระหวางผสงเกตท

เคลอนทสมพทธกนดวยความเรวคงทเจาระยะทางกำลง 2 นยอมไมเปลยนดวย

(17)

แทนการแปลงลอเลนซลงไป

(18)

ทำใหเราไดความสมพนธ หรอ เมอเราทำการ

แทนทกอยางลงไปแลวคำนวณ(ลองทำดไดนะครบ)เราพบวา

(19)

คงรปภายใตการแปลงลอเลนซ

อยางทไดกลาวไปขางตน 4-เวกเตอร นนเปนคอนทราวาเรยนท

เวกเตอร (ดไดจากกฏการแปลงแทยงขวาและความจงใจในการเขยนอนเดกซ) ตอนน

เราจะทำการเสกสวนประกอบโควาเรยนทเวกเตอร จงทำใหเราเขยน ใหมไดเปน

โดย

เราลงเจาะลงไปดกฏการแปลงของ อกหนอยวาสมควรเรยกวาโคเวกเตอรจรงหรอมย ในพกดใหมเราเขยน

ds2

ds2

ds2 = ημ′ �ν′ �d xμ′ �d xν′� = ημνd xμd xν

= ημ′�ν′�Λμ′�μ d xμΛν′�

ν d xν = ημνd xμd xν

= Λμ′�μ ημ′�ν′�Λν′�

ν d xμd xν = ημνd xμd xν

Λμ′ �μ ημ′�ν′�Λν′�

ν = ημν ΛTη′�Λ = η

η′� = η =− 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

d xν′� = Λν′�μ d xμ

d xμ = ημνd xν

ds2

ds2 = ημνd xμd xν = d xμd xμ [d xμ] = (− cdt, d x, dy, dz)T

d xμ = ημνd xν

ds2

�11


ดงนนเราไดความสมพนธการแปลง หากเราทำการสลบ

(เพระวา ) จะได สงเกตไดว าการแปลงนนอน

เดกซแทยงซาย

หากตอนนเราตองเขยน โดยใชโคเวกเตอรอยางเดยวจะไดหรอไม แนนอนวายอม

ทำได ทำไดงายๆเรากเสกไปเลย

(20)

โดยเมตรกเทนเซอร สำหรบโคเวกเตอร อย างไรกตามเรารว า

นนหมายความวา ซงเปนการแปลงจากโคเวกเตอรกลบไปเปนคอ

นทราเวกเตอร แลวความสมพนธระหวาง และ ละเปนอยางไร งายมากครบ

ดตามนเลย

(21)

เราเหนไดวา แกสมการงายๆเราจะไดวา

(22)

เราเหนไดวา นอกจากนนเราพบวาเมตรกเทนเซอรนนสมมาตรเพราะ

ds2 = ημ′�ν′ �d xμ′�d xν′� = d xμ′�ημ′�ν′�d xν′� = Λμ′�μ d xμ(ημ′�ν′ �d xν′ �)

= d xμ(Λμ′ �μ ημ′�ν′�d xν′�) = d xμ(Λμ′�

μ d xμ′�) = d xμd xμ

d xμ = Λμ′�μ d xμ′� μ ↔ μ′�

(Λμ′�μ )

− 1= Λμ

μ′� d xμ′� = Λμμ′�d xμ

ds2

ds2 = ημνd xμd xν

ημν ds2 = d xμd xμd xμ = ημνd xν

ημν ημν

d xμ = ημνd xν = ημνηναd xα = δμαd xα

ημνηνα = δμα

[ημν] =− 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

ημν = ημν

�12


(23)

ตออกนดหนง เรามาพจารณาการแปลงลอเลนซของ (20) ดกอนทเราจะจบหวขอน

เราเขยนเลยวา

ซง นนเอง

โนต1 สำหรบกรณปรภมยคลดเรากสามารถสรางเมตรกเทนเซอร ได

เหมอนกนสำหรบพกดตงฉากเพราะมนคอเมทรกซเอกลกษณ แตสำหรบพกดไมตง

ฉาก แต ยงเปนจรงอย ลองคดกนดนะครบไมยาก

โนต2 เราพบวาเราสามารถทำการยกอนเดกซขนหรอเอาอนเดกซลงไดจากการคณดวยเมตรกเทนเซอร: และ สำหรบเทนเซอรทมแรงคสงมากกวา 1 กสามารถทำไดเชนกน เชน หรอ

หรอทโหดกวานกไดนะครบ ไงลองไปนงทำเลนๆนะครบ

โนต3 สำหรบเมตรกเทนเซอร สามารถเขยนอกรปหนงไดคอ

(25)

ซงการเลอกเขยนแบบนเปนทเขาใจวาโครงสรางปรภมนคอฟสกเปนแบบลบเยอะ (mostly minus) หรอเขยน (+,-,-,-) นนเอง และเจา เขยนใหมไดเปน

(26)

ημν = ημν = ηνμ = ηνμ

ds2 = ημ′�ν′�d xμ′�d xν′� = ημ′�ν′�Λμμ′�d xμΛν

ν′�d xν = ημνd xμd xν

ημν = Λμμ′�η

μ′�ν′�Λνν′�

g μν = gμν

g μν ≠gμν g μνgνα = δμα

d xμ = ημνd xν d xμ = ημνd xν

Xnm = gnlXlm

Xnm = g nlXml

η

η =1 0 0 00 − 1 0 00 0 − 1 00 0 0 − 1

ds2

ds2 = (cdt)2 − (d x)2 − (dy)2 − (dz)2

�13


และสำหรบกรณทใชมากอนหนาตลอดนนเรยกวาบวกเยอะ (mostly plus) หรอเขยน (-,+,+,+) เลอกเอาตามทสะดวกครบ ไดทงค(เอาไวจะอธบายเรองนอยางละเอยดหากมเวลาเขยนอธบายเรองทฤษฎสมพทธภาพพเศษ)

โนต4 จากสมการระยะระหวางเหตการณกำลง 2 นนเราสามารถหาความสวนโคงระหวางจด และ ไดจาก

ความยาวสวนโคง (Arc length)

ซงไมเปลยนภายใตการแปลงลอเลนซ

นอกจากนเรายงสามารถหาพนทในบรเวณทเราสนใจไดจาก(คดแคระนาบ )

(27)

ซง คอดเทอมแนนทของเมตรก ภายใตการแปลง

(ลองหาวธพสจนตรงนเองนะครบ)

โดยท

(28)

ดงนน

พนทไมเปลยนภายใตการแปลงลอเลนซ การพสจนดานบนอาศยสมบตทวา

P Q

= ∫Q

Pds = ∫

Q

Pgμνd xμd xν

x0 − x1

A = ∬R|η | d x0d x1

|η | η

d x0d x1 = |Λ |d x′�0d x′�1

Λ = [ γ − βγ− βγ γ ]

A = ∬R|η | |Λ |d x′�0d x′�1 = ∬R

|η | |Λ |2 d x′�0d x′�1 = ∬R|η′�| d x′�0d x′�1

�14


และ (สมบตในโนต4นหากคดไมออกใหลองคดของกรณปรภมยคลดกอนนาจะทำใหงายขนในการทำความเขาใจ)

การหดของเทนเซอร (Contraction) ตองขอบอกตรงๆวาเขยนแลวนกไดวายงไมไดพดเรองน จรงๆควรจะพดตงแตตอนท 1

แตไมเปนไรครบ นกอะไรไดกเขยนตอนนนแลวกนครบ

แลวเจาการหดทวานมนเปนยงไงกนนะ คออยางนสำหรบเทนเซอรแบบ อยาง

ทไดกลาวไปแลวในตอนท 1 นนหากเราทำการกำหนดใหอนเดกซของสวนคอนทราวา

เรยนทและสวนโควาเรยนทเทากนจะทำใหแรงคของเทนเซอรลดลงไป 2 เปน

เชนหากเรามเทนเซอร

หากเราเลอกให กอนทำดานบนเราจดใหมกอนเปน

จากนนทำการหด

หรอ

หากดานบนยากไปเราลองดตวอยางงายหนอยเชน เทนเซอรแรงค 2 แบบ (1,1) ในรป

η′� = ΛTηΛ |η′�| = |ΛTηΛ | = |η | |Λ |2

(m, n)

(m − 1,n− 1)

X = Xμ1μ2...μmν1ν2...νn

e μ1⊗ e μ2

⊗ . . . ⊗ e μm

m

⊗ e ν1 ⊗ e ν2 ⊗ . . . ⊗ e νn

n

μ2 = ν2 = α

X = Xμ1μ2...μmν1ν3...νn

e μ1⊗ e μ3

⊗ . . . ⊗ e μm⊗ ( e μ2

⊗ e ν2) ⊗ e ν1 ⊗ e ν3 ⊗ . . . ⊗ e νn

X = Xμ1α...μmν1α...νn

e μ1⊗ e μ3

⊗ . . . ⊗ e μm⊗ e ν1 ⊗ e ν3 ⊗ . . . ⊗ e νn( e α ⋅ e α)

X = Xμ1α...μmν1α...νn

e μ1⊗ e μ3

⊗ . . . ⊗ e μm

m− 1

⊗ e ν1 ⊗ e ν3 ⊗ . . . ⊗ e νn

n− 1

�15


(29)

ทำการหด เลอกให ดงนน

(30)

ซงเราไดปรมาณสเกลารออกมานนเอง อนทจรงเทนเซอรแรงค 2 นนสามารถแสดงดวย

รปของเมทรกซได สมมตใหอนเดกซมถง 3 เราจะเขยน (29) ใหมไดเปน

(31)

ดงนนการหดของเทนเซอร นนเทากบผลบวกของสมาชกตามแนวแทยงซายหรอแทรซ

(trace)

ตวอยางตอไปหากเรามเทนเซอรแรงค 3 การทำหดนนจะทำใหเราเวกเตอรแตวาจะเปน

เวกเตอรแบบคอนทราวาเรยนทหรอโควาเรยนทกขนกบแบบของเทนเซอร ถาเปนแบบ

(2,1) เมอหดแลวจะได (1,0) ซงคอคอนทราวาเรยนท แตหากเรมตนเปนแบบ (1,2)

เมอหดแลวจะได (0,1) ซงคอโควาเรยนท

เทนเซอรในควอนตม(เบองตน) ตวอยางทเหนชดเจนมากๆคอ “ควอนตมบต” (Quantum bit) ซงเขยนในรป

(32)

โดยท และ เปนคาคงททเปนไปตามเงอนไข และชดเบสส

ตงฉากของระบบคอ นนหมายความวา

X = Xμν e μ ⊗ e ν

μ = ν = α

Xαα e α ⋅ e α = Xα

α δαα = Xα

α

X =

X00 X0

1 X02 X0

3

X10 X1

1 X12 X1

3

X20 X2

1 X22 X2

3

X30 X3

1 X32 X3

3

X&,X = Xα

α

|Ψ > = a |0 > + b |1 >

a b |a |2 + |b |2 = 1{ |0 > , |1 > }

�16


(33)

(34)

หากคนทไมคนเคยคดงายวาควบต(สถานะควอนตม)นนเหมอนเปนเวกเตอรตวหนง

และ คอชดเวกเตอรหนงหนวย สวน คอสวนประกอบ

ในแตละทศนนเอง ดงนนบานของเจาควบตนกคอปรภมเวกเตอรทมมตเปน 2 นนเอง

แตความพเศษคอจรงแลวปรภมดงกลาวเปนปรภมเชงซอน (Complex vector space)

โดยทมเงอนไขวาผลคณภายในมคาจำกด

แนนอนวา เปนสถานะอย ในปรภมคทเปนสงยคนนเอง โครงสรางขางตนเรา

นยมเรยกปรภมเชงซอนนวาปรภมฮลเบรท (Hilbert space) [กรณนมมตจำกด] ใช

สญญาลกษ ดงนนการคณภายในสรางเปนแผนภาพคอ

(35)

โดยท คอสนาม(คาตวเลขทเปนไปไดทงหมด) แนนอนหากเราตองการแสดงภาพของ

ควบตในปรภมยอมไดรปดานลางซายเปนแผนภาพวงกลม

อยางไรกตามเรามทางเลอกอนในการแสดงบานของควบตดงรปดานขวาซงรจกกนในชอ

ทรงกลมของบลอค (Bloch sphere) ซงเราแคเขยน และ

< 0 |1 > = < 1 |0 > = 0< 0 |0 > = < 1 |1 > = 1

{ |0 > , |1 > } {a, b}

< Φ, Ψ > = < Φ |Ψ > ≠∞< Φ |

ℋ

< Φ |Ψ > : ℋ * ×ℋ ↦ F

F

a = cos(θ/2)b = eiϕ sin(θ/2)

�17


ทงนเราสามารถเขยนเบสส ในรปของเมทรกซไดเปน

(36) และ

เพอใหชวตงายเราจะเขยนควบตใหมเปน

ในการทำงานจรงๆเราสามารถมอาเรยของควบตเรยงกน ควบตดงน

ซงเปนสมาชกของปรภมผลคณเทนเซอร

เพอใหงายตอความเขาใจ ลองพจารณากรณ 2 ควบตเราม

ซงผลคณเทนเซอรของทง 2 ควบตจะประกอบขนมาเปนเบสสใหมของปรภมผลคณซง

สำหรบกรณนเราจะมทงหมด 4 เบสสไดแก

(37a)

{ |0 > , |1 > }

|0 > = [10] |1 > = [0

1]|Ψ > =

2

∑μ= 1

cμ |μ > = cμ |μ >

n

|Ψ1 > ⊗ |Ψ2 > ⊗ . . . ⊗ |Ψn > ≡ |Ψ1 > |Ψ2 > . . . |Ψn >

ℋ1 ⊗ ℋ2 ⊗ . . . ⊗ ℋn

|Ψ1 > ⊗ |Ψ2 > = cμ1cμ2

|μ1 > ⊗ |μ2 > = cμ1cμ2

|μ1 > |μ2 > = cμ1cμ2

|μ1μ2 >

|00 > = [10] ⊗ [1

0] =1 [1

0]0 [1

0]=

1000

�18


(37b)

(37c)

(37d)

เราเหนไดวาจำนวนมตของปรภมผลคณคอ นนเอง

ดงนนสำหรบกรณผลคณเทนเซอรของ ควบต จำนวนมตของปรภมผลคณคอ

โนต1 โครงสรางผลคณเทนเซอรสามารถสรางไดเหมอนกบสำหรบสถานะในปรภมค เชนสำหรบกรณ 2 ควบต

เปนตน

|01 > = [10] ⊗ [0

1] =1 [0

1]0 [0

1]=

0100

|10 > = [01] ⊗ [1

0] =0 [1

0]1 [1

0]=

0010

|11 > = [01] ⊗ [0

1] =0 [0

1]1 [0

1]=

0001

2 × 2 = 22 = 4

n 2n

< Ψ1 | ⊗ < Ψ2 | = c *μ1c *μ2

| < mu 1 | ⊗ < μ2 | = c *μ1c *μ2

< μ1 | < μ2 | = c *μ1c *μ2

< μ1μ2 |

�19


โนต2 สำหรบการคณเทนเซอรสมการ (37) น นมความตางจากในตอนท 1 เพราะในตอนท 1 เราใชแบบการคณไดอดก (dyadic product) นนหมายความวา เชน

แตสำหรบในสมการ (37) นนเราเลอกทจะคงรปการคณเทนเซอรตรงๆ

สำหรบสถานะทเปนผลคณเทนเซอรนนการคณภายในสามารถพจารณาแยกยอยลงไป

ในแตละคของปรภม ดงนน หากเรามสถานะควบต

และ

ดงนน

เปนตน

นอกจากนในควอนตมเรายงมตวดำเนนการ (Operator) ทกระทำกบสถานะในรปแบบ

ตางๆ หากวาเรามตวดำเนนการ สำหรบสถานะ และตวดำเนน

การ สำหรบสถานะ ดงนนสำหรบสถานะผลคณเทนเซอรนน

เราสามารถอปเกรทตวดำเนนการแตละตวใหไปกระทำกบสถานะ

[10] ⊗ [0

1] = [10][0 1] = [0 1

0 0]

|Ψ1Ψ2 > = cμ1cμ2

|μ1μ2 >

< Φ1Φ2 | = d *μ1d *ν2

< ν1ν2 |

< Φ1Φ2 |Ψ1Ψ2 > = d *μ1d *ν2

cμ1cμ2

< ν1ν2 |μ1μ2 >= d *μ1

d *ν2cμ1

cμ2< ν1 |μ1 > < ν2 |μ2 >

31 |Ψ1 > ∈ℋ132 |Ψ2 > ∈ℋ2

|Ψ1Ψ2 > ∈ℋ1 ⊗ ℋ2

�20


โดยเขยน นนหมายความวาตวดำเนนการไปกระทำกบ แตไม

ทำอะไรกบ

และแนนอนสำหรบอกตวเราเขยนไดเปน นนคอตวดำเนนการกระทำกบ

และไมทำกบ

นอกจากนเรายงผสมตวดำเนนการเขาดวยกนไดหากเราสนใจทง 2 สถานะยอยพรอม

กน เขยนเปน โดยกระทำกบสถานะยอย

ของใครของมน

เปนตน

แนะนำใหผอานลองไปศกษาเพมในกรณของการทำควอนไทซครงท 2 (Second

quantisation) ซงปรภมทสถานะคอวนตมอาศยอยมชอเรยกวา Fock space

31 ⊗ I |Ψ1 >|Ψ2 >

31 ⊗ I |Ψ1 > ⊗ |Ψ2 > = 31 |Ψ1 > ⊗ |Ψ2 >

I ⊗ 32|Ψ2 > |Ψ1 >

I ⊗ 32 |Ψ1 > ⊗ |Ψ2 > = |Ψ1 > ⊗ 32 |Ψ2 >

(31 ⊗ I )(I ⊗ 32) = 31 ⊗ 32

31 ⊗ 32 |Ψ1 > ⊗ |Ψ2 > = 31 |Ψ1 > ⊗ 32 |Ψ2 >

�21


จบตอนท 2

�22

งงเขาไปอกด !!

เทนเซอร์ ตอนที่ 2...ในแบบตอนท 1 ก ไม ม ป...

Documents

Transcript of เทนเซอร์ ตอนที่ 2...ในแบบตอนท 1 ก ไม ม ป...