จานวนเชงซอนและฟงกชนของตวแปรเชงซอน

ปรศนานาคด:• Augustus De Morgan: Imagine a person with a gift of ridicule.He might say: first that a negative quantity has no loga-rithm; secondly that a negative quantity has no square root;thirdly that the first nonexistence is to the second as thecircumference of a circle is to the diameter.

•−1 = i2 =

√−1 ·

√−1 =

√(−1)(−1) =

√1 = 1.

•−i = (i)3 = ((−1)1/2)3 = (−1)3/2 = ((−1)3)1/2 = (−1)1/2 = i.

บทท 1. จานวนเชงซอน (Complex Numbers)ทบทวน: เซตของจานวนเชงซอน C = a+ bi : a, b ∈ R มสมบตวา

a + bi = c + di กตอเมอ (a = c และ b = d)

และมการดาเนนการบวกและการคณ ดงน: สาหรบ a, b, c, d ∈ R

การบวก: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

การคณ: (a + bi)(c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i

สามารถมอง C เปนเซต R2 ได โดยทเพมโครงสรางการคณของสมาชกใน R2 ให ลอกบการคณของจานวนเชงซอนขางตนได กลาวคอ(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad + bc) สาหรบ (a, b), (c, d) ∈ R2

ดงนนเราสามารถมองฟงกชน f : A ⊆ C → C ให อยในรปฟงกชนf : A ⊆ R2 → R2 ได เชน ฟงกชน f (z) = z2 เขยนได ในรป

f (x + yi) = (x + yi)2 = x2 − y2 + (2xy)i

ดงนนสามารถมองเปนf (x, y) = (x2 − y2, 2xy)

สาหรบ (x, y) ∈ R2 ได

อยางไรกตาม การวเคราะหเชงซอนนนแตกตางอยางสนเชงจากการวเคราะหเชงจรง แคลคลสของสองตวแปรจรงนน R2 ทพจารณาไมมการคณทลอกบจานวนเชงซอน และการนยามอนพนธของฟงกชนตวแปรเชงซอนตองใช การคณของจานวนเชงซอน ทาให อนพนธของฟงกชนเชงซอนกบอนพนธของฟงกชนเชงจรงนนแตกตางกน แตทวาอนพนธทงสองแบบมความสมพนธกนตาม สมการโคช-รมนน

ทบทวนสมบตพนฐานทางพชคณตของจานวนเชงซอนดงน:ให z, w, u ∈ C จะได วา• (zw)u = z(wu), zw = wz, z(w + u) = zw + zu,• z = z, z + w = z + w, zw = zw, |z| = |z|, |z|2 = zz.• |zw| = |z||w|, |z + w| ≤ |z| + |w|, |z − w| ≥ |z| − |w|.• 1

z=

z

|z|2เมอ z = 0

• ทฤษฎหลกมลทางพชคณต: สาหรบพหนามเชงซอน p(z) ทมดกรทมากกวาหรอเทากบ 1 ใดๆ p(z) สามารถแยกตวประกอบได เปน

p(z) = c(z − z1)m1(z − z2)

m2 · · · (z − zk)mk

โดยท c ∈ C, zj เปนจานวนเชงซอนทตางกน และ mj ∈ Z+

ฟงกชนยกกาลง (exponential function)ในวชาแคลคลส เราทราบวาex = 1 + x + x2

2! +x3

3! + ... สาหรบ x ∈ Rสามารถใช สตรขางตนขยายนยามของฟงกชนยกกาลงไปบนจานวนเชงซอนได กลาวคอ

ez = 1 + z +z2

2!+ ... , z ∈ C

อนกรมขางตน converges absolutely บน C ทาให ได วา∞∑n=0

(z + w)n

n!=

∞∑n=0

1

n!

n∑k=0

n!

(n− k)!k!zn−kwk =

∞∑k=0

zk

k!

∞∑l=0

wl

l!

ดงนน ez+w = ezew สาหรบทก z, w ∈ Cโดยเฉพาะอยางยง ได วา ex+iy = exeiy สาหรบทก x, y ∈ R

ถา y ∈ R จะได วาeiy = 1 + iy +

(iy)2

2!+(iy)3

3!+(iy)4

4!+(iy)5

5!+ ...

=

(1− y2

2!+y4

4!− ...

)+ i

(y − y3

3!+y5

5!− ...

)= cos y + i sin y

ดงนน ได เอกลกษณของออยเลอร: eiy = cos y + i sin y, y ∈ R

แทน y = π จะได สมการของออยเลอร: eiπ + 1 = 0

ซงวากนวาเปนสมการทางคณตศาสตรทงดงามทสด เนองจากสมการนบอกถงความสมพนธของคาคงตวทสาคญ 5 ตว ไดแก e (แคลคลส), i (พชคณต),π (เรขาคณต), 1 (เอกลกษณการคณ), 0 (เอกลกษณการบวก)

ทบทวนการเขยนจานวนเชงซอนแบบพกดเชงขว:สาหรบจานวนเชงซอน 0 = z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R เขยน

z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ, r = |z| > 0

และ θ เปน มมเรเดยนระหวางแกนX กบเวกเตอร (x, y) ในทศทางทวนเขมนาฬกา

สงเกตวาคา θ มได หลายคา และคาของ θ สองคาใดๆจะเทากนเมอเทยบกนในมอดโล 2π เรยก θ วา อารกวเมนตของ z (argument of z) เขยนแทนดวยสญลกษณ arg z

arg z เปนฟงกชนหลายคา (multi-valued function) เชนarg i =

π2+ 2kπ : k = 0,±1,±2, ...

สาหรบ z = 0 เรานยาม คามขสาคญ (principal value) ของ arg zคอ คา arg z ทมคาอยในชวง (−π, π]

สาหรบ z = 0 ใช สญลกษณ Arg z แทนคามขสาคญของ arg z

จะเหนวา Arg : C\0 → (−π, π] และ สาหรบ z = 0 จะได วาarg z = Arg z + 2kπ : k ∈ Z

ตวอยาง: Arg(1− i) = −π/4

สมบตพนฐานของ arg: สาหรบ z, w = 0

• arg z = − arg z• arg(1/z) = − arg z• arg zw = arg z + argw

ขอควรระวง: ไมจรงเสมอไปท Arg zw = Arg z + Arg w

ตอไปจะนยามลอการทมของจานวนเชงซอน:สาหรบ z ∈ C นยาม log z คอ จานวนเชงซอน w ซง ew = z

ถา ew = z แลว eRe(w)eiIm(w) = ew = z = |z|ei arg zดงนน w = log |z| + i arg z และในทางกลบกน ถา w = log |z| +i arg z แลว ew = elog |z|+i arg z = |z|ei arg z = z ดวย

นนคอ log z = log |z|+ i arg z = log |z|+ iArg z+2kπi, k ∈ Zดงนน log z เปนฟงกชนหลายคา

นยาม คามขสาคญของ log z คอ log |z| + iArg z

และใช สญลกษณ Log z แทนคามขสาคญของ log z

ตวอยาง: Log(1 + i) = log√2 + iπ/4 และlog(1 + i) = log√2 + iπ/4 + 2kπi, k ∈ Z

สาหรบ 0 = z, α ∈ C เรานยามzα = eα log z = eα Log ze2kπiα, k = 0,±1,±2, ...

นยาม คามขสาคญของ zα (ใช สญลกษณ pv(zα)) คอ eα Log z

นนคอpv(zα) = eα Log z

ตวอยาง: 1) ถา 0 = z ∈ C และ m ∈ Z แลวzm = em Log ze2kmπi = em Log z = pv(zm)

2) 11/3 = e13(log 1+i arg 1) = e2kπi/3, k = 0,±1,±2, ...

ดงนน 11/3 = e2kπi/3, k = 0, 1, 2 และ pv(11/3) = 1

3) ii = ei(log |i|+i arg i) = e−π/2e−2πk, k = 0,±1,±2, ...และ pv(ii) = e−π/2

สาหรบ θ ∈ Rจาก eiθ = cos θ + i sin θ จะได วา e−iθ = cos θ − i sin θ

ดงนน cos θ =eiθ + e−iθ

2, sin θ =

eiθ − e−iθ

2i

เราจงนยาม สาหรบ z ∈ C

cos z =eiz + e−iz

2, sin z =

eiz − e−iz

2i

ขอควรระวง: sin z และ cos z ไมมขอบเขตบน C

แบบฝกหด: จงแก สมการ cos z = 1, z ∈ C

แบบฝกหด: จงแก สมการ cos z = 2, z ∈ C

บทท 2. ฟงกชนฮอลอมอรฟก (Holomorphic Functions)

พจารณาฟงกชน f : D → C โดยท D เปนเซตเปดใน Cเรานยาม lim

z→z0f (z) = w ∈ C กตอเมอ

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 ∀z ∈ D, (|z − z0| < δ ⇒ |f (z)− w| < ϵ)

เรากลาววา f มความตอเนองท z0 ∈ D กตอเมอ limz→z0

f (z) = f (z0)

แบบฝกหด: จงนยามความหมายของ lim|z|→∞

f (z) เมอ f : C → C

ตวอยาง: 1) lim|z|→∞

ez ไมมคา

2) ฟงกชน f (z) = z2 เปนฟงกชนตอเนองบน C3) ฟงกชน g(z) = Log z ไมตอเนองทกจดบน x + i0 : x < 0

พจารณาฟงกชน f : D → C โดยท D เปนเซตเปดใน C

• f มอนพนธทจด z0 ∈ D กตอเมอ limz→z0

f (z)− f (z0)

z − z0มคา และ

เรยกคาลมตนวาอนพนธของ f ทจด z0 และใช สญลกษณ f ′(z0)แทนคาอนพนธน

• f มอนพนธบนเซต D กตอเมอ f มอนพนธทกจดใน D

• f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟก (หรอฟงกชนวเคราะห) ท z0 กตอเมอ f

มอนพนธบนบางเซตเปด G โดยท z0 ∈ G

• f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนเซต E ⊆ C กตอเมอ f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกททกจดบนเซต E

สามารถพสจนได วา ถา f มอนพนธทจด z0 แลว f ตอเนองทจด z0

ตวอยาง 1) f (z) = z2 มอนพนธบน C และ f ′(z) = 2z ทก z ∈ C2) f (z) = z ไมมอนพนธทกจดบน C3) f (z) = |z|2 มอนพนธทจด 0 เพยงจดเดยวเทานน และ f ′(0) = 0

ดงนน f มอนพนธทจด 0 แต f ไมฮอลอมอรฟกทจด 0

สมบตทางพชคณตของอนพนธ: ให f, g เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนเซตเปด D จะได วา1) (f + g)′ = f ′ + g′

2) (fg)′ = f ′g + g′f

3) (f/g)′ = (f ′g − g′f )/g2 บนสบเซตของ D ซง g = 0

กฎลกโซ: ถา f : D → C และ g : E → C ซง g(E) ⊆ D เปนฟงกชนฮอลอมอรฟก แลว

(f g)′ = (f ′ g)g

สมการโคช-รมนน (เงอนไขจาเปนของการมอนพนธ)กาหนดให f = u+ iv มอนพนธทจด z0 = x0+ iy0, x0, y0 ∈ Rแลว จะได วาux(x0, y0) = vy(x0, y0) และ uy(x0, y0) = −vx(x0, y0)

และ ได ดวยวา f ′(z0) = ux(x0, y0) + ivx(x0, y0)

มมมอง: ถา f ′(z) = a + ib, a, b ∈ R แลว มอง a + ib ในรปของเมทรกซทมสมาชกเปนจานวนจรง และทาการเทยบเมทรกซนกบเมทรกซจาโคบของ f เมอมอง f เปนฟงกชนจากสบเซตของ R2 ไปยง R2 จะได สมการ [

a −bb a

]=

[ux(x0, y0) uy(x0, y0)vx(x0, y0) vy(x0, y0)

]ซงสมการของเมทรกซขางตนทาให ได สมการโคช-รมนน และ จะได ดวยวา f ′(z0) = ux(x0, y0) + ivx(x0, y0)

แบบฝกหด: ถา f = u + iv เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบน C โดยทu(x, y) = x2 − xy − y2 จงหา v(x, y) พรอมทงเขยน f (z) และf ′(z) ในเทอมของ z( เฉลย: v(x, y) = x2

2 + 2xy − y2

2 + C โดยท C ∈ R และได วาf (z) = (1 + i

2)z2 + iC ซงทาให ได วา f ′(z) = (2 + i)z )

แบบฝกหด: จงแสดงวาฟงกชน f = u+ iv โดยท u(x, y) = x2+ y2

ไมมอนพนธทกจดใน C

แบบฝกหด: จงแสดงวาฟงกชน f (x+ iy) =√

|xy| สอดคลองสมการโคช-รมนนทจด 0 แตไมมอนพนธทจด 0

ทฤษฎบท: ถา f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนเซตเปดเชอมโยง D และf ′(z) = 0, ∀z ∈ D แลว f เปนฟงกชนคาคงตวบน D

ตวอยาง: ถา f = u + iv เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนเซตเปดเชอมโยงD และ u หรอ v เปนฟงกชนคาคงตวบน D แลว f เปนฟงกชนคาคงตวบน D ดวย

แบบฝกหด: จงแสดงวา ถา f = u+iv เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนเซตเปดเชอมโยง D และ |f | เปนฟงกชนคาคงตวบน D แลว f เปนฟงกชนคาคงตวบน D ดวย

เงอนไขเพยงพอของการมอนพนธ: ถา f = u + iv ม u, v เปนฟงกชนทมอนพนธยอยตอเนองบนเซตเปด Ω และ u, v สอดคลองสมการโคช-รมนนบน Ω แลว f มอนพนธบน Ω

ตวอยาง: f (z) = ez มอนพนธบน C และ f ′(z) = ez ทก z ∈ C

ตวอยาง: (sin z)′ = cos z และ (cos z)′ = − sin z สาหรบ z ∈ C

ตวอยาง: สาหรบ z = x + iy ซง x > 0 จะได วา

Log z =1

2log(x2 + y2) + i arctan(y/x)

โดยใช เงอนไขเพยงพอของการมอนพนธสามารถแสดงได วา(Log z)′ = 1/z สาหรบ z ∈ C ซง Re z > 0

แบบฝกหด: จงแสดงวา (Log z)′ = 1/z สาหรบ z ∈ C\(−∞, 0]

แบบฝกหด: จงพจารณาวาฟงกชน f (x+ iy) = xy + ixy มอนพนธทจดใดบางพรอมทงหาอนพนธทจดเหลานน(เฉลย: มอนพนธทจด 0 เทานน โดยท f ′(0) = 0)

แบบฝกหด: จงหาคา c ∈ R ทงหมดททาให ฟงกชนf (x + iy) = (c3 + 1)x2 + 2xy + i(x2 − y2 − 2xy)

เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบน C(เฉลย: ไมมคา c ∈ R ดงกลาว)

ฟงกชนคาจรง u ซงมโดเมนเปนเซตเปด Ω ในC เปน ฟงกชนฮารมอนค(harmonic function) เมอ uxx + uyy = 0 บน Ω

ถา f = u + iv เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนเซตเปด Ω (ซงสามารถพสจนได วา u, v มอนพนธยอยอนดบสองตอเนอง) แลว โดยสมการโคช-รมนน จะได วา uxx+uyy = 0 = vxx+ vyy นนคอ u และ v เปนฟงกชนฮารมอนกบน Ω และเรยก u, v วา คสงยคฮารมอนค (harmonicconjugate functions)

เรยกฟงกชนตอเนอง γ : [a, b] → C วา วถ (path) และเรยก γ([a, b])

วา เสนโคง (curve) และถา γ(a) = γ(b) เราเรยก γ วาวถปด

วถปรกต (regular path) คอ วถ γ : [a, b] → C ทมอนพนธตอเนองบน [a, b] และ γ′(t) = 0 ทก t ∈ [a, b]

ให f : Ω → C เปนฟงกชนตอเนองบนเซตเปด และ γ : [a, b] → Ω

เปนวถปรกต นยาม∫γf (z)dz =

∫ b

af (γ(t))γ′(t)dt

ตวอยาง: โดยใช นยามและการคานวณโดยตรง จะได วา∫|z|=1

1

zdz = 2πi

ทฤษฎบทหลกมลทางแคลคลส: กาหนดให f : Ω → C เปนฟงกชนตอเนองบนเซตเปด Ω และ γ : [a, b] → Ω เปนวถปรกต ถา f มปฏยานพนธบน Ω (นนคอ มฟงกชนฮอลอมอรฟก F : Ω → C ซง F ′ = f

บน Ω) แลว จะได วา∫γf (z)dz = F (γ(t))

∣∣ba = F (γ(b))− F (γ(a))

ตวอยาง: ถา γ : [0, π] → R เปนวถทนยามโดย γ(t) = eit แลว โดยทฤษฎบทหลกมลทางแคลคลส จะได วา∫

γ(z2 + z)dz =

[z3

3+z2

2

]z=γ(π)z=γ(0)

= −2/3

ตวอยาง: ให m เปนจานวนเตมทไมเทากบ −1 จะได วาฟงกชน zm

มปฏยานพนธบน C\0 ดงนน โดยทฤษฎบทหลกมลทางแคลคลส จะได วา ∫

|z|=1zm dz = 0

แบบฝกหด: จงหาคาของ ∫|z|=1

cos z(sin z)2 dz

(เฉลย: 0)

แบบฝกหด: จงแสดงวาฟงกชน f (z) =1

zไมมปฏยานพนธบนC\0

โดยใช ทฤษฎบทกรน เราจะได ทฤษฎบทโคชดงน

ทฤษฎบทโคช: กาหนดให f เปนฟงกชนทมอนพนธตอเนองบนเซตเปดเชอมโยง D โดยทขอบของ D (แทนขอบของ D ดวย ∂D) เปนเสนโคงเรยบ ถา f ขยายเปนฟงกชนทมอนพนธตอเนองบน ∂D ได ดวยแลว จะได วา ∫

∂Df (z)dz = 0

ตวอยาง: ถา f เปนฟงกชนทมอนพนธตอเนองบนเซต C แลวจะได วาทก 0 < r < R ∫

|z|=Rf (z)dz =

∫|z|=r

f (z)dz

ทฤษฎบทเกอรซาต: ถา f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซตเปดเชอมโยง Dแลว f เปนฟงกชนทมอนพนธตอเนองบน D

ทฤษฎบทโคช-เกอรซาต: ให f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนเซตเปดเชอมโยง D ถา D เปนเซตเชอมโยงเชงเดยว (simply connected) (นนคอ D

เปนเซตทไมมร) จะได วา สาหรบทกวถปดปรกต γ ใดๆ ใน D∫γf (z)dz = 0

ตวอยาง: โดยใช ทฤษฎบทโคช-เกอรซาต จะได วา∫|z|=1

(zez2 cos z + 3z7 sin(z + 6)− sin(ez)) dz = 0

ทฤษฎบทหลกมล: ให D เปนเซตเปดเชอมโยงในระนาบเชงซอน และf : D → C จะได วา f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบน กตอเมอ สาหรบโดเมนยอยเชอมโยงเชงเดยว D ของ D ใดๆ f มปฏยานพนธบน D

สตรอนทกรลของโคช: กาหนดให f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซตเปดเชอมโยง D โดยท ∂D เปนเสนโคงเรยบ และ f ขยายเปนฟงกชนทมอนพนธบน ∂D ได ดวย แลว จะได วา

f (z) =1

2πi

∫∂D

f (w)

w − zdw, z ∈ D

ตวอยาง: โดยสตรอนทกรลของโคช จะได วา∫|z|=2

z2

z − 1dz = (2πi)(1)2 =

∫|z−1|=1/2

z2

z − 1dz

ตวอยาง: โดยทฤษฎบทโคช จะได วา∫|z|=1

2

z2

z − 1dz = 0

หรอโดยสตรอนทกรลของโคช จะได วา∫|z|=1

2

z2

z − 1dz =

∫|z|=1/2

z3

z−1

zdz

= 2πi ·

(z3

z − 1

)∣∣∣z=0

= 0

ตวอยาง: ถา f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบน C โดยสตรอนทกรลของโคช จะได วา โดยสตรอนทกรลของโคช ทก z ∈ C และ r > 0

f (z) =1

2π

∫ 2π

0f (z + reiθ) dθ

สตรอนทกรลของโคชสาหรบอนพนธอนดบสง: กาหนดให f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซตเปดเชอมโยง D โดยท ∂D เปนเสนโคงเรยบ และ f

ขยายเปนฟงกชนทมอนพนธบน ∂D ได ดวยแลว จะได วา ทก n ∈ Z+

f (n)(z) =n!

2πi

∫∂D

f (w)

(w − z)n+1dw, z ∈ D

ตวอยาง: โดยสตรอนทกรลของโคชสาหรบอนพนธอนดบสง จะได วา∫|z|=2π

z2 sin z(z − π)3

dz =2πi

2!

d2

dz2(z2 sin z)

∣∣∣z=π

= −4π2i

ทฤษฎบทของลวล: กาหนดให f : C → C เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบน C ถา f เปนฟงกชนทมขอบเขต แลว จะได วา f เปนฟงกชนคงตว

ตวอยาง: โดยใช ทฤษฎบทโคชกบจานทมสองรz ∈ C : |z| < 2\(z : |z| ≤ ϵ ∪ z : |z − 1| ≤ ϵ)

โดยท เปนจานวนจรงบวกทเลกพอ และใช สตรอนทกรลของโคชสาหรบอนพนธอนดบสง และ สตรอนทกรลของโคช จะได วา∫|z|=2

ez

z2(z − 1)dz =

∫|z|=ϵ

ez

z2(z − 1)dz +

∫|z−1|=ϵ

ez

z2(z − 1)dz

=2πi

1!

d

dz

(ez

z − 1

)∣∣∣z=0

+ 2πi

(ez

z2

)∣∣∣z=1

= 2πi(−1− 1) + 2πie

= 2πi(e− 2)

แบบฝดหดทาทาย:∫|z|=3

dz

(z2 − 4)200(z − 15)2= ?

ทฤษฎบทของอนกรมกาลงของจานวนเชงซอน:กาหนดอนกรมกาลง ∑∞

n=0 anzn โดยท an ∈ C ทก n และกาหนด

วา 00 = 1 จะได วาม 0 < R ≤ ∞ ซงทาให อนกรมกาลง ลเขาเมอ|z| < R และอนกรมกาลงลออกเมอ |z| > R

เรยก R วา รศมการลเขาของอนกรมกาลง ยงไปกวานนได ดวยวา อนกรมกาลงลเขาอยางสมาเสมอบน z : |z| ≤ r ทก 0 ≤ r < R

ตวอยาง: อนกรมกาลงเรขาคณต∞∑n=0

zn มรศมการลเขา R = 1 และ∞∑n=0

zn =1

1− z, |z| < 1

การทดสอบโดยใชอตราสวน: อนกรมกาลง∞∑n=0

anzn มรศมการลเขา

เปน limn→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ เมอลมตดงกลาวมคาเปนจานวนจรงหรอลมตดงกลาวลเขาส ∞

ทฤษฎบท: กาหนดให f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนจานเปดz ∈ C : |z − z0| < R จะได วา ทก 0 < r < R

ถา z ∈ z ∈ C : |z − z0| < r แลว

f (z) =∞∑n=0

anzn

โดยท สาหรบแตละ n = 0, 1, 2, 3, ...,

an =1

2πi

∫|z−z0|=r

f (z)

(z − z0)n+1dz =

f (n)(z0)

n!

อนกรมโลรองต: กาหนดให f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนวงแหวนเปดz ∈ C : R1 < |z − z0| < R2 โดยท 0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞จะได วา ทก R1 < r < R2 ถา z ∈ z ∈ C : R1 < |z−z0| < R2แลว

f (z) =∞∑

n=−∞anz

n

โดยท สาหรบแตละ n = 0,±1,±2,±3, ...,

an =1

2πi

∫|z−z0|=r

f (z)

(z − z0)n+1dz

ตวอยาง: อนกรมโลรองตของฟงกชน 1

z(z − 1)บนวงแหวนเปด

z ∈ C : 0 < |z| < 1 คอ1

z(z − 1)= −1

z− 1− z − z2 − ...

แบบฝกหด: จงหาอนกรมโลรองตของฟงกชน 1

(z − 1)(z − 2)บน

วงแหวนเปดตอไปน• z ∈ C : 0 < |z − 1| < 1• z ∈ C : 0 < |z| < 1• z ∈ C : 1 < |z| < 2• z ∈ C : 2 < |z| < ∞

แบบฝกหด: จงหาอนกรมโลรองตรอบจด 0 ทเปนไปได ทงหมดของฟงกชน• f (z) = 1

z(z − 1)

• g(z) = z + 1

z − 1

• h(z) = 1

(z2 − 1)(z2 − 4)

จด z0 เปน จดเอกฐานโดดเดยว (isolated singularity) ของ f เมอ f

เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบนวงแหวนเปด z ∈ C : 0 < |z−z0| < ϵสาหรบบาง ϵ > 0

ตวอยาง: 1) 0 เปนจดเอกฐานโดดเดยวของฟงกชน 1

z

2) 0 เปนจดเอกฐานโดดเดยวของฟงกชน 1

sin z3) 0 เปนจดเอกฐานโดดเดยวของฟงกชน e1/z

4) 0 ไมเปนจดเอกฐานโดดเดยวของฟงกชน 1

sin(1/z)5) 0 ไมเปนจดเอกฐานโดดเดยวของฟงกชน Log z

กาหนดให z0 เปนจดเอกฐานโดดเดยวของ fดงนนสามารถกระจายอนกรมโลรองตสาหรบ f รอบจด z0 ได ให อนกรมโลรองตรอบจด z0 ของ f เปน

f (z) =∞∑n=0

anzn

• เรยก z0 วา จดเอกฐานขจดได (removable singularity) ของ f ถาan = 0 ทก n < 0

• เรยก z0 วา ขว (pole) ของ f ถาม N > 0 ซง a−N = 0 และan = 0 ทก n < −N และเรยก N วาอนดบของขว

• เรยก z0 วา จดเอกฐานหลก (essential singularity) ของ f ถาn < 0 : an = 0 เปนเซตอนนต

ตวอยาง: 1) 0 เปนจดเอกฐานขจดได ของฟงกชน sin zz

2) 1 เปนขวอนดบท 7 ของฟงกชน z2−2z+1+1

(z − 1)7+

1

(z − 1)4

3) 0 เปนจดเอกฐานหลกของฟงกชน e1/z

ถา z0 เปนจดเอกฐานโดดเดยวของ f จะได วา สาหรบ r > 0 ทเลกพอ ∫

|z−z0|=rf (z) dz = 2πia−1

โดยท f (z) =∞∑n=0

anzn เปนอนกรมโลรองตรอบจด z0 ของ f

เรยก a−1 วา สวนตกคางของ f ทจด z0 (residue of f at z0)และแทนสวนตกคางนดวยสญลกษณ Res[f (z), z0]

ทฤษฎบทสวนตกคาง (Residue Theorem): ให D เปนเซตเปดเชอมโยงทมขอบเขตใน C ถา f เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกบน D ∪ ∂D ยกเวนทจดเอกฐานโดดเดยว z1, z2, ..., zm ใน D จะได วา∫

∂Df (z) dz = 2πi

m∑j=1

Res[f (z), zj]

• ถา f มขวอนดบท m ≥ 1 ทจด z0 แลว จะได วา

Res[f (z), z0] =1

(m− 1)!limz→z0

dm−1

dzm−1(z − z0)

mf (z)

• ถา f, g เปนฟงกชนฮอลอมอรฟกทจด z0 และ ถา g(z0) = 0 และg′(z0) = 0 แลว จะได วา

Res[f (z), z0] =f (z0)

g′(z0)

ตวอยาง: 1) เนองจาก i เปนขวอนดบท 2 ของฟงกชน 1

(z2 + 1)2ดง

นนจะได วาRes

[1

(z2 + 1)2, i

]= lim

z→i

d

dz

1

(z + i)2= − i

4

2) เนองจาก g(i) = 0 และ g′(i) = 0 เมอ g(z) = z2 + 1 ดงนน

Res[

eiz

z2 + 1, i

]=

eiz

2z

∣∣∣z=i

=e−1

2i

แบบฝกหด: จงใช ทฤษฎสวนตกคางพสจนวา∫|z|=2

ez

z2(z − 1)dz = 2πi(e− 2)

การประมาณ ML: กาหนดให γ เปนเสนโคงเรยบทมความยาว L ถา fเปนฟงกชนตอเนองบน γ และ |f (z)| ≤ M บน γ แลวจะได วา∣∣∣ ∫

γf (z) dz

∣∣∣ ≤ ML

ตวอยาง: โดยใช ทฤษฎสวนตกคางกบฟงกชน f (z) =1

1 + z2และใช

การประมาณ ML สามารถแสดงได วา∫ ∞

−∞

dx

1 + x2= π

ตวอยาง: โดยใช ทฤษฎสวนตกคางกบฟงกชน f (z) =eiz

1 + z2และใช

การประมาณ ML สามารถแสดงได วา∫ ∞

−∞

cos x1 + x2

dx =π

e