สารบัญpioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433 Intro... · บทที่ 1 | 2...

21 0 34 33 I n t ro M ech V i b r at | ก

สารบญ

บทท 1 บทนา ......................................................................................................................................... 1

1. ความสาคญของการศกษาการสนสะเทอน ......................................................................................... 1

2. สรป ................................................................................................................................................. 4

บทท 2 หลกการและความรพนฐาน ...................................................................................................... 5

1. หลกการพนฐานของการสนสะเทอน ................................................................................................. 5

2. สวนประกอบของระบบการสนสะเทอน ............................................................................................. 6

3. การสรางแบบจาลองระบบการสนสะเทอน ....................................................................................... 14

4. สมการการเคลอนท ........................................................................................................................ 19

5. การประมาณเชงเสน )Linearization) .............................................................................................. 26

6. สรป ............................................................................................................................................... 29

บทท 3 การสนสะเทอนแบบอสระ ....................................................................................................... 31

1. บทนา ............................................................................................................................................ 31

2. สมการการเคลอนทของการสนแบบอสระ ........................................................................................ 31

3. การสนแบบอสระของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ............................................................... 32

4. การสนแบบอสระของระบบทมตวหนวงการสนสะเทอน ................................................................... 37

5 .Logarithmic decrement ................................................................................................................ 44

6. สภาพสมดลและเสถยรภาพของระบบ ............................................................................................. 46

7. การออกแบบระบบการสนสะเทอน .................................................................................................. 49

8. สรป ............................................................................................................................................... 50

บทท 4 การสนสะเทอนแบบบงคบ ...................................................................................................... 52

1. บทนา ............................................................................................................................................ 52

PART A: Force vibration ................................................................................................................ 53

2 .การสนสะเทอนแบบบงคบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ................................................................ 53

3 .การสนสะเทอนแบบบงคบทมตวหนวงการสนสะเทอน ..................................................................... 64

PART B: Applications .................................................................................................................... 75

4. การสนสะเทอนจากความไมสมดลจากการหมน )Rotating unbalance) .......................................... 75

5. การสนสะเทอนจากการสนสะเทอนของพน )Base excitation) ........................................................ 81

6. อปกรณวดการสนสะเทอน .............................................................................................................. 86

7 .สรป ............................................................................................................................................... 92

21 0 34 33 I n t ro M ech V i b r at | ข

บทท 5 การสนสะเทอนแบบบงคบจากแรงรปแบบตางๆ ................................................................... 95

1. บทนา ............................................................................................................................................ 95

PART A การสนสะเทอนจากพลงงานเปนคาบรปแบบใดๆ ........................................................... 95

2. ลกษณะการกระตนและแนวคดในการวเคราะหปญหา ..................................................................... 95

3. โดเมนความถและการหาผลเฉลย ................................................................................................... 98

PART B การสนสะเทอนจากการกระแทกหรอพลซ ..................................................................... 103

4. ฟงกชนอมพลซ )Impulse function( ............................................................................................. 103

5. การสนสะเทอนจากการกระตนโดยอมพลซ ................................................................................... 104

Part B การสนสะเทอนจากการกระตนรปแบบใดๆ ............................................................................ 109

6. Convolution integral และผลการตอบสนองการสนสะเทอน .......................................................... 109

7. สรป ............................................................................................................................................. 115

บทท 6 การสนสะเทอนของระบบทมองศาอสระมากกวาหนง ......................................................... 118

1. บทนา .......................................................................................................................................... 118

2. การสนสะเทอนอยางอสระของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ................................................ 118

3. การสนสะเทอนแบบบงคบของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ................................................ 127

4. การวเคราะหโดยวธโมดล ............................................................................................................. 130

5. Rigid body mode ........................................................................................................................ 139

6 .การวเคราะหโมดลในระบบทม ความหนวง .................................................................................... 142

7. สรป ............................................................................................................................................. 149

บทท 7 วธการควบคมการสนสะเทอน .............................................................................................. 152

1. บทนา .......................................................................................................................................... 152

2. การควบคมการสงผานการสนสะเทอนจากพนไปยงเครองจกร ....................................................... 154

3 .การควบคมการสงผานการสนสะเทอนจากเครองจกรไปยงพน ....................................................... 160

4. Shock Isolator ............................................................................................................................ 167

5. ตวดดซบการสนสะเทอน )Vibration absorber) ............................................................................. 168

6. สรป ............................................................................................................................................. 177

บทท 8 การวดและการจดการสญญาณการสนสะเทอนเบองตน ..................................................... 180

1. บทนา .......................................................................................................................................... 180

2. ความสาคญของการวดการสนสะเทอน.......................................................................................... 180

3. อปกรณทเกยวของในการวดการสนสะเทอน ................................................................................. 181

4. การวดการสนสะเทอนเบองตน ..................................................................................................... 184

5. การวเคราะหฟเรยร ...................................................................................................................... 186

21 0 34 33 I n t ro M ech V i b r at | ค

6. สรป ............................................................................................................................................. 188

21 0 34 33 I n t ro M ech V i b r at บทท 1 | 1

บทท 1

บทนา

1. ความสาคญของการศกษาการสนสะเทอน

การสนสะเทอน (Vibration) หมายถงการเคลอนทกลบไปกลบมาของวตถเมอเทยบกบจดอางองท

อยนง โดยการเคลอนทกลบไปกลบมาของวตถอาจจะเปนการเคลอนทโดยอสระ หรอมแรงบงคบตลอดเวลา

ใหเคลอนทกได การสนสะเทอนสามารถพบไดทวไปในชวตประจาวน และในงานทางวศวกรรมมากมาย

ตวอยางการสนสะเทอนทพบไดบอย เชน การสนสะเทอนในรถยนต การสนสะเทอนจากการทางานของ

เครองซกผา การสนสะเทอนจากการทางานของเครองจกรกลเกษตร การสนสะเทอนจากลมพาย หรอ

แผนดนไหว เปนตน ดานลางเปนการอธบายถงตวอยางการสนสะเทอนทกลาวขางตน

การสนสะเทอนในรถยนต

การสนสะเทอนในรถยนตเกดขนตงแตเมอสตารทเครองยนต การทางานของลกสบในเครองยนตท

ไมสมดลทาใหเกดการสนสะเทอนขน และเมอรถเรมเคลอนทการขบกนของฟนเฟองในระบบสงกาลงกทาให

เกดการสนสะเทอนและเสยงรบกวนเชนกน หากรถวงผานถนนขรขระเปนลกคลน หรอวงผานลกระนาด

หรอหลมบนพนถนน ผลของความไมเรยบของพนถนนเหลาน กทาใหเกดการสนสะเทอน และสงผานไปยง

ตวรถและผโดยสารดวย จะเหนวาเฉพาะในรถยนตเพยงอยางเดยวกอาจมปญหาเกยวกบการสนสะเทอน

ซงเกดจากตนเหตหลายๆ สาเหต การศกษาเกยวกบการสนสะเทอนจะทาใหสามารถออกแบบรถยนตทขบ

ไดนมนวลและเงยบได เชน การสนสะเทอนจากเครองยนตกอาจแกไดโดยการถวงสมดลเครองยนต เพอให

แรงทไมสมดลเหลอนอยทสด นองจากนยงตองมยางรองแทนเครองเพอลดการถายเทการสนสะเทอนจาก

เครองยนตไปสสวนอนๆ การสนสะเทอนเนองจากการขบกนของฟนเฟองกอาจลดไดโดยการออกแบบ

รปรางฟนเฟอง และเพมความเรยบผวของฟนเฟอง สวนการสนสะเทอนทถายทอดจากผลของสภาพพน

ถนนทไมเรยบกสามารถลดไดโดยการออกแบบระบบรองรบ ซงประกอบดวยสปรงหรอแหนบ และตวหนวง

การกระแทก (Shock absorber) ทเหมาะสมเปนตน

การสนสะเทอนจากการทางานของเครองซกผา

การสนสะเทอนของเครองซกผา เกดจากการหมนป นผาในถงซก ผาทถกเหวยงขณะหมนป นทาให

เกดความไมสมดล และแรงททาใหเกดการสนสะเทอนขนอยางไมอาจหลกเลยงได อยางไรกตามในการใช

งาน ผใชไมตองการใหการสนสะเทอนของถงซกถายทอดไปยงโครงเครองซกผาและพนรองรบ ความรเรอง

การสนสะเทอนจะชวยใหออกแบบการเชอมตอระหวางถงซกผากบโครงเครองซกผา เพอลดการสนสะเทอน

ทถกถายทอดไปยงโครงสรางเครองซกผาได

การสนสะเทอนของเครองจกรกลการเกษตร

เครองจกรกลการเกษตรจานวนมากทตองทางานบนผวดน เชนรถแทรกเตอร รถพรวนดน การ

สนสะเทอนของเครองจกรกลเหลานนอกจากจะมาจากเครองยนตตนกาลงเชนเดยวกบรถยนตแลว ยงเปน


ผลมาจากอปกรณการเกษตรทตดตงอย เชน ใบมดจอบหมนทใชพรวนดน การหมนของใบมดพรวนดน เพอ

ยอยดนนน ทาใหเกดการสนสะเทอนเปนจงหวะสอดคลองกบจงหวะของการหมนพรวนดน การสนสะเทอน

เหลานจะสงผานไปยงเกษตรกรผใชงานเครองจกร การใชงานเครองจกรกลเหลานตอเนองกนอาจสงผลให

เกดความเมอยลา ประสทธภาพการทางานลดลง รวมถงอาจสงผลกระทบตอสขภาพของผใชงานได

การสนสะเทอนจากลมพายและจากแผนดนไหว

นอกเหนอจากการทางานของเครองจกรกลททาใหเกดการสนสะเทอนขนแลว ภยธรรมชาตเชน ลม

พาย หรอแผนดนไหว กเปนตนเหตใหเกดการสนสะเทอนเชนกน ตวอยางความเสยหายจากการสนสะเทอน

เนองจากลมพายทเปนกรณศกษาสาคญไดแก ความเสยหายทเกดกบสะพานทาโคมา (Tacoma bridge) ดง

แสดงในรปท 1-1 โดยสะพานทาโคมาพงลงมาในเดอนพฤศจกายน ป 1940 ซงเกดขนหลงจากเปดใชงานมา

ไดเพยง 4 เดอนเทานน ความเสยหายนเกดจากลมพายทพดทความถใกลเคยงกบความถธรรมชาตของ

สะพาน กระตนใหสะพานสนในทศทางบดตวอยางรนแรงจนกระทงสะพานขาดลงในทสด ความเสยหายน

สงผลใหการออกแบบสะพานตอๆ มา จาเปนตองพจารณาการสนสะเทอนของสะพานในทศทางตางๆ ดวย

สวนการเกดแผนดนไหวนน กทาใหอาคารเกดการสนสะเทอนเชนเดยวกน หากตกหรออาคารไมได

รบการออกแบบใหรองรบแผนดนไหวแลว กจะทาใหอาคารเสยหายหรอพงทลายลงได ในประเทศทมความถ

ในการเกดแผนดนไหวสง เชน ประเทศญปน ตกหรออาคารทสรางขนจะตองถกออกแบบโดยคานงถงผลการ

สนสะเทอนจากแผนดนไหว โดยอาจตดตงระบบทใชดดซบพลงงานเมอเกดแผนดนไหวขน ทาใหการ

สนสะเทอนมขนาดลดลงจนไมทาใหเกดความเสยหายได

รปท 1-1 ความเสยหายของสะพานทาโคมาจากการสนสะเทอนเนองจากลมพาย [1], [2]


จากทกลาวมาขางตนจะพบวาการสนสะเทอนเกยวของกบสงตางๆ ในชวตประจาวนเปนอยางมาก

ความรในเรองการสนสะเทอนจะทาใหสามารถออกแบบเครองจกรกลไดอยางเหมาะสม มการสนสะเทอนตา

สงผลตอความสะดวกสบาย และความปลอดภยในการใชงานเครองจกร นอกจากนดวยเหตทเมอเครองจกร

โดยเฉพาะเครองจกรกลหมนทางานจะเกดการสนสะเทอนขน และเมอเครองจกรนนเกดความผดปกต

ลกษณะการสนสะเทอนจะเปลยนแปลงไป ดงนนจงอาจใชวธการวดการสนสะเทอนเพอตรวจสอบความ

ผดปกตของเครองจกรกลได การตรวจสอบเครองจกรกลโดยการวดการสนสะเทอนเปนวธการทสาคญมาก

และมใชโดยทวไปในโรงงานตางๆ ทงนเนองจากการตรวจสอบโดยวธนสามารถทาไดในขณะทเครองจกรยง

ทางานอย ไมจาเปนตองหยดเครองจกรเพอถอดชนสวนมาตรวจสอบ นอกจากนเนองจากการสนสะเทอน

ของชนสวนตางๆ ของเครองจกร มกจะเกดทความถตางๆ กน การวเคราะหสญญาณการสนสะเทอนจงบอก

ไดดวยวาสาเหตของการสนสะเทอนมาจากชนสวนใด รปท 1-2 แสดงถงสญญาณการสนสะเทอนทเกด

เนองจากการทางานของชนสวนตางๆ ของระบบทางกลหนง จากรปจะพบวาสญญาณการสนสะเทอนทวด

ไดจะเกดทความถตางๆ กน อยางไรกตามการตรวจสอบโดยการวดการสนสะเทอนนน ผตรวจสอบจาเปน

จะตองมความเขาใจพนฐานเกยวกบการสนสะเทอน รวมถงวธการวเคราะหสญญาณเปนอยางด

รปท 1-2 ตวอยางสญญาณการสนสะเทอนทวดไดในระบบทางกลหนง [3]


2. สรป

ในบทนกลาวถงการสนสะเทอนทพบไดทวไปในชวตประจาวน และในทางวศวกรรม เชน ในรถยนต

ในเครองจกรกลเกษตร ความเขาใจในพฤตกรรมการสนสะเทอนของวตถตางๆ ชวยใหสามารถออกแบบ

เครองจกรเหลานใหมการสนสะเทอนนอย หรอสามารถตดการสนสะเทอนจากตนเหตกอนทจะแพรไปยง

สวนอนๆ ได ในบทตอๆ ไปจะเรมกลาวถงหลกการพนฐาน และความรพนฐานเกยวกบการสนสะเทอน

หลงจากนนจะอธบายถงการสนสะเทอนในรปแบบตางๆ เชน การสนอยางอสระ การสนดวยแรงภายนอก

และจงเปนการควบคมการสนสะเทอนตอไปตามลาดบ

References

1. http://britton.disted.camosun.bc.ca/tacoma/tacoma.html

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge_(1940)

3. https://www.onosokki.co.jp/English/hp_e/whats_new/SV_rpt/SV_5/sv5.htm

http://britton.disted.camosun.bc.ca/tacoma/tacoma.html�

https://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge_(1940)�

https://www.onosokki.co.jp/English/hp_e/whats_new/SV_rpt/SV_5/sv5.htm�


บทท 2

หลกการและความรพนฐาน

1. หลกการพนฐานของการสนสะเทอน

หลกการพนฐานของการสนสะเทอนอาจจะอธบายไดโดยใชหลกการของพลงงานดงแสดงในรปท 2-

2 โดยระบบทแสดงในรปประกอบดวยสปรงและมวลเพยง 2 ชน โดยเมอดนมวล m ขนดานบนจะทาให

สปรงหดตว งานจากแรงภายนอกทใชดนมวลจะถกสะสมในรปของพลงงานศกยสปรง เมอปลอยมอออก

สปรงจะคลายตวดนใหมวล m เคลอนทลงมาดานลาง ในขนตอนนพลงงานศกยสปรงจะถกเปลยนเปน

พลงงานจลนในการเคลอนทของมวล พลงงานจลนจะเพมขนเรอยๆ จนทตาแหนงสมดล (แสดงโดยเสนประ

ในรป) ซงสปรงไมมการยดหด ในตาแหนงนเนองจากไมมพลงงานศกยสปรงแสดงใหเหนวาพลงงานทงหมด

ถกเปลยนเปนพลงงานจลน ดงนนในตาแหนงนมวลจงมความเรวมากทสด

รปท 2-2 หลกการพนฐานของการสนสะเทอน

เมอมวล m เคลอนทตาลงมาจากตาแหนงสมดลในตอนแรก สปรงจะยดตวออก ในชวงนพลงงาน

จลนจะมคาลดลง และถกเปลยนรปเปนพลงงานศกยสปรงอกครงหนง พลงงานศกยสปรงจะมคามากทสด

เมอสปรงเคลอนทลงมาตาทสด ซงในตาแหนงนพลงงานจลนจะถกเปลยนเปนพลงงานศกยสปรงทงหมด

เมอไมมพลงงานจลนดงนนในตาแหนงนความเรวในการเคลอนทจงเปนศนย เมอมวลเรมเคลอนทข นอกครง

พลงงานศกยทสะสมอยกจะเปลยนแปลงมาเปนพลงงานจลน ทาใหวตถมความเรวเพมขนอกครง การ

เปลยนรปพลงงานจากพลงงานจลนเปนพลงงานศกยนจะเกดขนซาไปซามา ทาใหเกดการสนสะเทอนขน

กราฟทางดานขวามอของรปท 2-2 แสดงความสมพนธระหวางระยะ x ซงวดจากตาแนงสมดลท

เวลาตางๆ โดยกราฟดานบนจะแสดงการสนสะเทอนเมอระบบไมมการสญเสยพลงงานเลย งานจากแรง

ภายนอกถกเปลยนเปนผลรวมของพลงงานศกยและพลงงานจลนทงหมด เนองจากไมมการสญเสยพลงงาน

ดงนนขนาดของการสนสะเทอนจะไมลดลงแมวาเวลาจะผานไปเทาใดกตาม แตในความเปนจรงแลวทกๆ

m mm

m

x

Equilibrium Vibration

12

3Spring potential energy

Kinetic energy (Motion)

Spring potential energy

Spring potential energy

Releases energy

Kinetic energy (Motion)

Stores energy

v x

t

x

t

vibration waveforms


ระบบจะมการสญเสยพลงงาน ทาใหหลงจากการเปลยนรปพลงงานจากพลงงานจลนเปนพลงงานศกย หรอ

จากพลงงานศกยเปนพลงงานจลน มพลงงานทลดลงเสมอ ดงนนขนาดของการสนสะเทอน จงคอยๆ ลดลง

ดงแสดงในกราฟดานลาง

2. สวนประกอบของระบบการสนสะเทอน

จากทกลาวมาในหวขอทแลว จะพบวาระบบการสนสะเทอนประกอบดวยสวนประกอบพนฐานอยาง

นอย 2 สวน ไดแก 1. สวนประกอบทใชเกบและปลอยพลงงานศกย ซงไดแกสปรงในตวอยาง และ 2.

สวนประกอบทใชเกบหรอปลอยพลงงานจลน ซงไดแกมวล m ในตวอยาง ในกรณทมการสญเสยพลงงาน

ดวย ระบบการสนสะเทอนจะมสวนประกอบทแทนการสญเสยพลงงานเพมขนมาดวย ดงจะไดอธบายตอไป

2.1 ชนสวนยดหยน (Elastic component)

ชนสวนยดหยนทาหนาทเกบและปลอยพลงงานศกยระหวางการสนสะเทอน ตวอยางของชนสวน

ยดหยน ไดแก สปรงชนดตางๆ รวมถงชนสวนอนๆ ททาหนาทคลายสปรง รปท 2-3 แสดงถงแรงภายใน

สปรง fk และความสมพนธระหวางระยะยด x กบแรงภายนอกทกระทา F จากรปจะไดวาแรงในสปรงม

ความสมพนธกบแรงภายนอกและระยะยดดงสมการ

kxFfk −=−= (2-1)

รปท 2-3 แรงภายในสปรง และความสมพนธระหวางสปรงกบระยะยด [1]

โดย k คอคาคงทสปรง (spring stiffness) ซงอาจทราบคาไดจากทดลอง คาคงทสปรงนจะทาใหทราบวา

สปรงเสยรปไดงายหรอยากเพยงใดเมอมแรงหรอแรงบดกระทา โดยหากคา k นอยแสดงวาสปรงเสยรปงาย

หรออาจเรยกวาสปรงออน แตถา k มคามากแสดงวาสปรงเสยรปไดยาก หรออาจเรยกวาสปรงแขง สวน

เครองหมายลบในสมการท (2-1) แสดงถงทศทางทแรงในสปรงกระทา จะมทศทางตรงกนขามกบทศทาง

ของแรงภายนอกเสมอ

สวนพลงงานศกย V ทสะสมอยในสปรงสามารถหาไดจากสมการ

2

0 21)( kxdxkxV

x

== ∫ (2-2)

F

Ffk

x F

xk

1

k


นอกจากสปรงขดทพบเหนกนไดทวไปแลว ชนสวนยดหยนอนๆ ททาหนาททานองเดยวกบสปรง ก

สามารถพจารณาวาเปนสปรงในระบบการสนสะเทอนไดเชนกน เพอความสะดวกในทนจะเรยกชนสวน

ยดหยนอนๆ เหลานวา “สปรง” ดวยเชนกน ตวอยางของชนสวนเหลานแสดงในรปท 2-4

Thin rod Tosion bar Cantilever beam

lEAFk =

δ=

lGJMk b=

θ= 3

3lEIFk =

δ=

รปท 2-4 ตวอยางชนสวนอนๆ ทประพฤตตวเชนเดยวกบสปรง

Thin rod

Thin rod เมอไดรบแรงในแนวแกนแลวจะยดออก เมอไมมแรงกระทา Thin rod จะหดลงมาเหลอความยาว

เทาเดม คาคงทสปรงในกรณของ Thin rod สามารถหาไดจากความสมพนธของโมดลสยดหยน E ความเคน

σ และความเครยด ε ดงสมการ

lAFE

//

δ=

εσ

=

ดงนน δ=δ⋅

= k

lEAF (2-3)

จากสมการ (2-3) จะไดวา l

EAFk =δ

= (2-4)

Torsion bar

เมอมแรงบดมากระทากบ Torsion bar ซงยาว l ดงแสดงในรปท 2-4 Torsion bar จะถกบดไปเปนมม θ

เมอไมมแรงบดกระทาแลว Torsion bar จะบดคนตวกลบมาทรปรางเดม คาคงทสปรงของ Torsion bar

สามารถไดโดยใชความสมพนธระหวางแรงบด M กบมมบด θ ดงสมการ bGJ

Ml=θ

ดงนน θ=θ⋅

= k

lGJM b (2-5)

จากสมการ (2-5) จะไดวา l

GJMk b=θ

= (2-6)

เนองจากในกรณนเปนคาคงทของสปรงบด ดงนนหนวยของคาคงทสปรงจะเปน N.m/rad ซงแตกตางจาก

คาคงทสปรงในกรณเชงเสน ซงจะมหนวยเปน N/m

E, A

l

δ

FG, Jb

l

Mθ

E, I

l

δ

F


Cantilever beam

คานแบบ Cantilever หรอคานแบบอนๆ กประพฤตตวเชนเดยวกบสปรงเชนกน โดยเมอออกแรงกดใน

ทศทางตงฉากกนแกนคาน จะทาใหคานโกงออก δ แตเมอไมมแรงกระทา คานจะคนตวสสภาพเดม คาคง

ตวสปรงในกรณนสามารถหาได จากสมการแสดงความสมพนธของระยะโกงกบแรงกระทา ในกรณของคาน

แบบ Cantilever ดงแสดงในรปท 2-4 จะไดความสมพนธดงสมการ EI

Fl3

3

=δ

ดงนน δ=δ⋅

= k

lEIF 3

3 (2-7)

จากสมการ (2-7) จะได 3

3lEIFk =

δ= (2-8)

รปท 2-5 แสดงชนสวนททาหนาทเชนเดยวกบสปรง โดยรป (ก) แสดง torsion spring ซงใชกน

ทวไปในบานพบตางๆ สวนรป (ข) แสดง Torsion bar ทใชในระบบรองรบ (suspension system) ของ

รถยนต โดยสวนของ Lower control arm จะตดกบลอรถยนต เมอรถยนตวงชนเนนลกระนาด หรอตกหลม

สวน Lower control arm จะมการเคลอนทข นลง และสงผลให Torsion bar บด เพอรองรบการเคลอนทและ

สงผานการเคลอนททมขนาดนอยไปยงตวรถยนตและหองโดยสารตอไป สาหรบรป (ค) กแสดงถงการใช

แหนบสปรง ซงกคอคานททาหนาทเปนสปรงในระบบรองรบของรถยนตเชนกน

(ก) Torsion spring (ข) Torsion bar (ค) แหนบในรถยนต

รปท 2-5 ตวอยางสปรงและชนสวนททาหนาทเชนเดยวกบสปรง [2], [3], [4]

ระบบทประกอบดวยสปรงหลายตว

ในระบบการสนสะเทอนนนอาจจะประกอบดวยชนสวนยดหยนตางๆ ประกอบอยดวยกน ในการ

วเคราะหจะพจารณาการประกอบกนของชนสวนยดหยน เปนเชนเดยวกบการตอกนของสปรง ซงมรปแบบ

การตอพนฐานอย 2 แบบ ไดแกการตอแบบขนาน และการตอแบบอนกรม


(ก) การตอแบบขนาน

(ข) การตอแบบอนกรม

รปท 2-6 การตอสปรงแบบขนานและแบบอนกรม

การตอแบบขนาน

การตอสปรงแบบขนานแสดงดงรปท 2-6(ก) จะเหนวาระยะยดของสปรงทกๆ ตวจะมคาเทากน และเมอ

พจารณาแรงทกระทาจะพบวา ผลรวมของแรงทกระทากบสปรงแตละตวจะมคาเทากบแรงรวมทกระทากบ

ระบบดงแสดงดวยสมการ

321 FFFF ++= (2-9)

แทนความสมพนธของแรงกบคาคงทสปรงและระยะยดลงในสมการ (2-9) จะได

δ+δ+δ=δ 321 kkkkeq

ดงนน 321 kkkkeq ++= (2-10)

โดย keq หมายถงคาคงทสปรงของระบบรวมทงหมด จะเหนวาในการตอแบบขนานนน คาคงทสปรงจะ

เทากบผลบวกของคาคงทสปรงแตละตว และสามารถเขยนในรปทวไปไดดงสมการ

∑=

=n

iieq kk

1

(2-11)

โดย n คอจานวนสปรง

การตอแบบอนกรม

การตอสปรงแบบอนกรมแสดงดงรปท 2-6(ข) ในกรณนนแรงทกระทากบสปรงแตละตวจะมคาเทากน แต

ระยะยดของสปรงแตละตวจะตางกนหากคาคงทของสปรงไมเทากน โดยระยะยดรวมจะเทากบผลรวมระยะ

ยดของสปรงแตละตว ดงนน

321 δ+δ+δ=δ (2-12)

แทนความสมพนธของแรงกบคาคงทสปรงและระยะยด จะได

F

k1

k2

k3

F

F1

F2

F3

F1

F2

F3

k1

k2

k3

Fk1 k2

FFF k1 k2

21 0 34 33 I n t ro M ech V i b r at บทท 2 | 1 0

321 k

FkF

kF

kF

eq

++=

ดงนน 321

1111kkkkeq

++= (2-13)

หรอเขยนในรปทวไปไดดงสมการ 1

1

1−

=

= ∑

n

i ieq k

k (2-14)

การตอกนของชนสวนยดหยนในระบบการสนสะเทอนมกจะพจารณาเปนการตอกนแบบขนาน หรอ

แบบอนกรม อยางไรกตามหากการตอกนไมสอดคลองกบรปแบบใดรปแบบหนง คาคงทของสปรงรวมก

จะตองหาไดโดยการพจารณาความสมพนธของแรง ระยะยดหด โดยตรง

2.2 สวนประกอบทแทนความเฉอย (Inertia component)

สวนประกอบทแทนความเฉอยไดแก มวล m ในการเคลอนทแบบเลอนท และโมเมนตความเฉอย J

ในการเคลอนทแบบหมน สวนประกอบเหลานทาหนาทเกบและปลอยพลงงานจลนในระบบการสนสะเทอน

โดยพลงงานจลน T ของมวลเมอเคลอนทแบบเลอนทหาไดจาก

2

21 xmT = (2-15)

โดย x คอความเรวการเคลอนท

สวนพลงงานจลนในกรณการหมนหาไดจาก

2

21

θ= JT (2-16)

โดย θ คอความเรวเชงมมของการหมน

2.3 สวนประกอบทแทนการสญเสยพลงงานของระบบ

ตามทไดกลาวมาแลววา สาหรบการสนสะเทอนทไมมการสญเสยพลงงานจากระบบเลย การสนจะ

เกดขนตลอดไปโดยไมหยด หากไมมพลงงานภายนอกใสเขามาเพอเปลยนแปลงระบบ อยางไรกตามใน

ความเปนจรงแลวระบบการสนสะเทอนจะสญเสยพลงงานไปกบสาเหตตางๆ เชนการสญเสยพลงงานในการ

เสยรปของสปรง แรงเสยดทาน หรอแรงตานทานการเคลอนทจากอากาศ เปนตน โดยพลงงานทสญเสยจะ

เปลยนรปเปนรปของความรอน หรอเสยง ดวยเหตนพลงงานในระบบการสนสะเทอนจงนอยลงเรอยๆ ทาให

ขนาดการสนสะเทอนนอยลงจนกระทงหยดสน

ระบบการสนสะเทอนโดยทวไปมกจะแทนการสญเสยพลงงานจากสาเหตตางๆ วาเปนการสญเสย

จากตวหนวงการสนสะเทอน (Damper) โดยตวหนวงการสนสะเทอนทใชกนมากในการวเคราะหปญหาการ


สนสะเทอนไดแก viscous damper ซงเปนตวหนวงซงเปนผลจากความตานทานการเคลอนทของวตถเมอ

เคลอนทในตวกลางทเปนของไหล เชน อากาศ กาซ หรอของเหลว ตวอยางของ viscous damper ในงาน

ทางวศวกรรม เชน (1) ฟลมของสารหลอลนบนพนผวทมการเคลอนทสมพทธกน ใน journal bearing หรอ

นามนหลอลนระหวางกระบอกสบและลกสบ (2) การเคลอนทของของไหลผานรขนาดเลก (orifice)

สาหรบ viscous damper แรงตานทานการเคลอนท fd จะมขนาดแปรผนตรงกบความเรวการ

เคลอนท ตามสมการ

xcFfd −=−= (2-17)

โดย c คอสมประสทธความหนวง (damping coefficient) เครองหมายลบแสดงใหเหนวาแรงทเกด

เปนแรงตานทานการเคลอนทและมทศตรงกนขามกบทศของความเรว รปท 2-7 แสดงสญลกษณของ

viscous damper ซงเปนรปกระบอกสบและลกสบ (dashpot)

รปท 2-7 สญลกษณของตวหนวงการสนสะเทอนในระบบการสนสะเทอน

สมการทเกยวของกบสวนประกอบของระบบการสนสะเทอนซงไดแก ชนสวนยดหยน ความเฉอย

หรอมวล และตวหนวงการสนสะเทอน ทแสดงขางตนจะใชสาหรบระบบทมการเคลอนทแบบเลอนท สาหรบ

ระบบทเปนการหมน รปแบบของสมการจะเปลยนแปลงเลกนอย โดย แรงจะถกเปลยนเปนแรงบด การ

เคลอนทเชงเสนจะถกเปลยนเปนการเคลอนทเชงมม ตารางท 2-1 แสดงการเปรยบเทยบระหวางสมการทใช

ในระบบเชงเสนกบระบบเชงมม

ตารางท 2-1 สมการในระบบเชงเสนและเชงมม

สมการ เชงเสน เชงมม

แรงจากสปรง kxFk = θ= Tk kM

แรงจากตวหนวงการสนสะเทอน xcFd = θ= Td cM

สมการการเคลอนท xmF = θ= JM

cF

Ffd


ตวอยางท 2-1 Determine the torsional spring

constant of the steel propeller shaft shown in

the figure. (Shear modulus G = 80 GPa)

เนองจากเมอมแรงบดกระทากบเพลา propeller แรงบดทกระทากบเพลาทงสองสวนจะมขนาดเทากน

สวนมมบดทงหมดในระบบ จะเปนผลรวมของมมบดของเพลาแตละเพลา ดงนนจงไดวาการตอกนของ

เพลา propeller สองสวนเปนการตอกนของของสปรงแบบอนกรม (แรงทกระทากบสปรงแตละตวเทากน

ระยะยดของสปรงเทากบผลรวมระยะยดของสปรงแตละตว) ดงรป

k1 k2

เนองจากเพลาแตละชวงเปน Torsion bar กลวง คา k จะหาไดจากl

GJk =

โดยคา J หาไดจาก32

)( 44 dDJ −π=

ดงนน k จะหาไดจากl

dDGl

GJk32

)( 44 −π==

เพราะฉะนน Nm/rad 105255.25232

)2.03.0()1080( 6449

1 ×=×

−π×=k

Nm/rad 109012.8332

)15.025.0()1080( 6449

2 ×=×

−π×=k

สปรงตอกนแบบอนกรม ดงนน21

21

1

21

11kk

kkkk

keq +=

+=

−

Nm/rad 106.6109012.8105255.25

)109012.8)(105255.25( 666

66

×=×+×××

=eqk ANS

(Singiresu S. Rao, Mechanical Vibrations, 4th

edition in SI Units, Ex. 1.3)


ตวอยางท 2-2 A hoisting drum, carrying a steel

wire rope, is mounted at the end of a cantilever

beam as shown in the figure. Determine the

equivalent spring constant of the system when

the suspended length of the wire rope is l.Assume that the net cross-sectional diameter of

the wire rope is d and the Young’s modulus of

the beam and the wire rope is E.

b

l

φ d

W

A

A’

at

A-A’

ในขอนแรงเนองจากนาหนก W ทาให wire rope ยดออก และแรงเดยวกนนทาใหคานโกงลงดวย โดย

ระยะทมวล W เคลอนทลงมาเทากบผลรวมของระยะยดของ wire rope และระยะทคานแอน ดงนนจงอาจ

พจารณาระบบนเปนการตอกนของสปรงแบบอนกรม โดย kb แทนคาคงทสปรงของคาน สวน kr แทน

คาคงทสปรงของ wire rope ดงแสดงในรป

kr

kb

คา kb ของคานหาไดจากความสมพนธของระยะโกงของคานและแรงกระทา

ดงสมการ

3

33

33 412133

bEatat

bE

bEIkb =

==

คา kr หาไดจากความสมพนธระหวางแรงและระยะยดของ wire rope ดงสมการ

lEd

lAEkr 4

2π==

คา keq ของระบบหาไดจากการรวมคา kb และ kr แบบอนกรมดงน

1

23

314411

−−

π

+=

+=

Edl

Eatb

kkk

rbeq

332

23

latbddatkeq +π

π= ANS

(Singiresu S. Rao, Mechanical Vibrations, 4th edition in SI Units, Ex. 1.4)


3. การสรางแบบจาลองระบบการสนสะเทอน

ในปญหาการสนสะเทอนจรงนนมกมความซบซอน มปจจยทสงผลตอการสนสะเทอนจานวนมาก

การวเคราะหปญหาการสนสะเทอนจงตองเรมจากจาลองระบบจรงทมความซบซอน ใหเปนระบบทงายตอ

การวเคราะหเสยกอน จงจะสามารถวเคราะหโดยใชหลกการทางฟสกสและทางคณตศาสตรตอไปได

รปท 2-8 แสดงถงแผนผงตวอยางการวเคราะหปญหาการสนสะเทอน จากระบบจรงทมความ

ซบซอน ปญหาจะถกทาใหมความซบซอนลดนอยลงโดยการตงสมมตฐานตางๆ และสรางเปนแบบจาลอง

กายภาพ (Physical model) ซงมกประกอบดวยสวนประกอบทเปนมวล สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน

จากแบบจาลองกายภาพ ผวเคราะหสามารถใชทฤษฎ กฎ ทางฟสกสตางๆ เชน กฎการเคลอนทของนวตน

หรอใชวธการทางพลงงาน สรางแบบจาลองทางคณตศาสตร (Mathematical model) และสมการ

คณตศาสตรออกมาได เมอแกสมการทางคณตศาสตรนจะทาใหทราบลกษณะการสนสะเทอนของระบบการ

สนสะเทอนได ความถกตองของการสนสะเทอนทคานวณไดนจะทราบไดโดยการเปรยบเทยบผลการ

คานวณกบผลการทดสอบการสนสะเทอน และหากตองการใหผลทไดใกลเคยงกบผลการวดการสนสะเทอน

มากยงขน กอาจจาเปนทจะตองพจารณาเพมปจจยตางๆ ในขนตอนการสรางแบบจาลองทางกายภาพให

ใกลเคยงกบปญหาจรงยงขน ซงกมกจะเพมความซบซอนในการคานวณมากขนตามไปดวย ดงนนการ

วเคราะหปญหาการสนสะเทอน ผวเคราะหจงตองคานงถงความถกตองแมนยาของผลลพธทไดรวมถงความ

ซบซอนยงยากในการคานวณประกอบกนไปดวย

รปท 2-8 แผนผงตวอยางการวเคราะหปญหาการสนสะเทอน

Actual system

Physical modelingMake simple approximations based on engineering judgement

Physical model

Mathematical modelingApply physical laws to obtain equation of motion

Math model

AnalysisSolve EOM to predict dynamic characteristics and time response

Predicted response

Tests

Make design decisionChoose physical parameters, change or augment system if necessary

Actual response


3.1 องศาความอสระ

องศาความเปนอสระ (Degree of freedom) คอตวเลขแสดงจานวนพกดทเปนอสระตอกนทนอย

ทสด ทสามารถใชอธบายตาแหนงของสวนตางๆ ของระบบได ทเวลาใดๆ รปท 2-9 ถงรปท 2-12 แสดง

ระบบทมองศาความเปนอสระตางๆ กน

รปท 2-9 แสดงระบบทม 1 องศาอสระ ตาแหนงทแนนอนของระบบเหลานสามารถบอกไดโดยใชตว

แปรแสดงพกดเพยงตวแปรเดยวเทานน เชน ตาแหนงของ Slider ในกลไก Slider-crank-spring ในรป (a)

สามารถบอกไดโดยใชพกด x หรอ θ ตวใดตวหนง (x และ θ ไมเปนอสระตอกน) มวล m ในรป (b) ก

สามารถบอกพกดไดโดยใชพกด x เพยงตวเดยว เชนเดยวกบตาแหนงของจานหมนในรป (c) กแสดงไดโดย

พกด θ เพยงตวเดยวเชนกน

รปท 2-9 ระบบทม 1 องศาอสระ [5]


รปท 2-10 แสดงระบบทม 2 องศาอสระ ในระบบเหลานจาเปนจะตองใชตวแปร 2 ตวเพอบอก

ตาแหนงทแนนอนของสวนประกอบตางๆ ของระบบ ในรป (a) มวลทง 2 กอนเชอมตอกนดวยสปรงยดหยน

ได ดงนนการบอกตาแหนงของมวลจงตองบอกทง 2 กอน (x1 และ x2) จงจะทราบตาแหนงทแนนอน

ทานองเดยวกบรป (b) จานหมนทงสองจานเชอมตอกนดวยเพลาทยดหยนได ดงนนการหมนของจานทงคก

อาจจะไมหมนไปพรอมกนได ดงนนจงตองใชตวแปร θ1 และ θ2 เพอบอกมมทจานแตละตวหมน สวนในรป

(c) จาเปนจะตองใชพกด x บอกตาแหนงของมวล m และใชมม θ เพอบอกพกดการแกวงของลกตม รปท 2-


11 แสดงระบบทม 3 องศาอสระ ทานองเดยวกบระบบทม 2 องศาอสระ การบอกตาแหนงของมวล ลกตม

หรอ จาน ทงสามอนในแตละรป กตองใชตวแปรบอกตาแหนง 3 ตวเชนกน

รปท 2-12 แสดงระบบทมจานวนองศาอสระไมจากด (Infinite-number-of-degrees-of-freedom

system) หรอ Continuous or distributed systems ตวอยางทแสดงในรปคอคานทปลายดานหนงยดแนน

จะพบวาตาแหนงตางๆ อาจมการเสยรปทแตกตางกนได หากมแรงกระทารปแบบตางกนมากระทา ดงนน

การแสดงลกษณะการเสยรปของคานจงตองใชระบบพกดแบบทมองศาอสระไมจากด

แทจรงแลววตถทกชนดทมการเสยรปได ควรจะถกพจารณาเปนวตถทมจานวนองศาอสระไมจากด

ทงหมด อยางไรกตามการพจารณาแบบนถงแมวาจะใหความแมนยาสง แตกมการคานวณทละเอยดสงขน

ตามไปดวย ดงนนในการสรางแบบจาลองการสนสะเทอนในหลายๆ ครง จงมกตงสมมตฐานใหวตถท

พจารณาเปนวตถแขงเกรง ไมมการเสยรป ทาใหระบบสามารถพจารณาเปนระบบทมองศาอสระนอยๆ ซงม

การคานวณซบซอนนอยกวาได


รปท 2-12 ระบบทมจานวนองศาอสระไมจากด [5]


3.2 แบบจาลองกายภาพ

แบบจาลองกายภาพเปนการจาลองระบบจรงทมความซบซอน ใหเปนระบบอยางงาย ทสามารถ

นาไปวเคราะหการสนสะเทอนตอไปได โดยระบบทจาลองจะประกอบดวยความเฉอยหรอมวล สปรง และตว

หนวงการสนสะเทอน ตวอยางของการสรางแบบจาลองกายภาพแสดงดงตอไปน

การสนสะเทอนของรถมอเตอรไซค

รปท 2-13 แสดงการจาลองการสนสะเทอนของรถมอเตอรไซค ใหกลายเปนแบบจาลองกายภาพ

อยางงาย จะเหนวาการสรางแบบจาลองกายภาพอาจทาไดหลายแบบ ขนอยกบวตถประสงคของการศกษา

ความแมนยาทตองการ และความซบซอนในการคานวณ

รปท 2-13 ตวอยางการจาลองปญหาจรงใหเปนระบบกายภาพ [5]

รปท 2-13 (b) แสดงระบบอยางงายทสดโดยรวมมวลของคนขบ ตวรถ และลอรถ เปนมวล meq

เพยงตวเดยว สวนคา keq กรวมผลของความยดหยนของยาง strut รวมทงคนขบเขาดวยกน ทานอง

เดยวกนคา ceq กเปนผลมาจากทง strut และคนขบ ระบบนมจานวนองศาอสระเพยง 1 เทานน ซงพกดท

บอกการเคลอนทข นลงแสดงถงภาพรวมของการสนสะเทอนขน-ลงของคนและรถทงหมด ถงแมแบบจาลอง

นจะมขอดทมความซบซอนนอย แตกไมสามารถอธบายไดวาดานหนารถและดานหลงรถจะสนขนลงอยางไร

และไมสามารถบอกไดวา strut ชวยลดการสงผานการสนสะเทอนไดอยางไร ถาผวเคราะหตองการพจารณา

ถงประเดนเหลาน จะตองปรบปรงแบบจาลองกายภาพใหคานงถงผลของการสนสะเทอนของลอหนาและ

หลง และแยกผลของยางกบ strut ออกจากกน ดงแบบจาลองในรป (c) ซงแยกลอหนาและหลงออกจากกน

และแยกผลของมวลลอ mw ออกจากมวลรวมของคนและตวรถ หากพจารณาวา strut มสมประสทธ

rider

rider

vehiclestrut

wheeltire


ความหนวง cs มากกวายางมากๆ กอาจจะละสมประสทธความหนวงของยางได ดงแสดงในรป คา ks และ

kt แสดงคาคงทสปรงของ strut และยางตามลาดบ การพจารณาประเดนเหลานเพมขนมาทาใหองศาความ

อสระของระบบนเพมเปน 4 ซงเพมความซบซอนในการคานวณขนอยางมาก อยางไรกตามในแบบจาลองใน

รป (c) กยงไมสามารถอธบายถงการสงผานการสนสะเทอนระหวางตวรถกบคนขบได หากตองการอธบาย

สวนนจะตองสรางแบบจาลองใหคนขบแยกออกจากตวรถ ดงแสดงในรป (d) โดย mr คอมวลของคนขบ mv

คอมวลของตวรถ kr และ cr คอคาคงทสปรง และสมประสทธความหนวงของคนขบตามลาดบ สงผลให

ระบบนจะมจานวนองศาอสระเพมขนเปน 5 แตถาไมตองการทราบผลการสนสะเทอนดานหนาและหลงของ

รถมอเตอรไซค แตตองการทราบผลของ strut ตอการสงผานการสนสะเทอนไปทคนกบรถ กอาจจะสราง

แบบจาลองแบบในรป (e) ซงมองศาความอสระ 2 กได โดยรวมมวลลอหนาและหลงเขาดวยกน และรวม

คาคงทสปรงและคาความหนวงดานหนาและหลงเขาดวยกน

จะเหนวาแบบจาลองตางๆ ทสรางขนมจานวนองศาอสระตางกน จานวนองศาอสระทเพมมากขน

สงผลอยางมากตอความซบซอนในการคานวณ ดงนนในการวเคราะหโดยทวไปมกจะเลอกแบบจาลองทม

จานวนองศาอสระนอยทสดทยงสามารถตอบวตถประสงคของการวเคราะหได

เครองซกผา

รปท 2-14 แสดงแบบจาลองกายภาพของเครองซกผาแบบฝาหนา ทแกนหมนของถงซกผาอยใน

แนวนอนขนานกบพนโลก จะเหนวาถงเครองซกผาถกจาลองดวยกลองมวล m สวนของยางทตดตงกบฐาน

ถกจาลองดวยสปรงและตวหนวงการสนสะเทอน สวนแรงทเกดจากการหมนป นผา ถกจาลองดวยแรงไม

สมดลทเกดจากการเคลอนทของมวล m0 โดย e และ ω จะสมพนธกบขนาดของถงซกผา และความเรวรอบ

หมนในการซกตามลาดบ อยางไรกตามแบบจาลองนจะพจารณาการสนขนลงของถงซกผาเพยงอยางเดยว

โดยไมไดคานงถงการสนสะเทอนในทศทางดานขาง

รปท 2-14 แบบจาลองกายภาพของเครองซกผาแบบฝาหนา [6]


จากตวอยางขางตนจะเหนวา การสรางแบบจาลองของระบบการสนสะเทอนไมไดมรปแบบทถกตอง

เพยงรปแบบเดยวเทานน แตสามารถสรางไดหลากหลายรปแบบ ขนอยกบวตถประสงคของการวเคราะห

และสมมตฐานตางๆ ทใช แบบจาลองทซบซอนอาจจะสามารถทานายพฤตกรรมของการสนสะเทอนได

ถกตองแมนยากวา แตกตองใชการคานวณทซบซอนกวาเชนกน ดงนนในการสรางแบบจาลองของระบบการ

สนสะเทอนจะตองพจารณาประเดนตางๆ ทงวตถประสงคทตองการ สมมตฐานทสมเหตสมผล ความ

ซบซอนของแบบจาลอง และวธการคานวณทจะใชแกปญหาประกอบกนดวย

4. สมการการเคลอนท

ในหวขอท 3 ไดกลาวถงขนตอนการวเคราะหปญหาการสนสะเทอน และไดกลาวถงการสราง

แบบจาลองกายภาพ ซงจาลองระบบจรงใหเปนระบบอยางงายทประกอบดวยมวล สปรง และตวหนวงการ

สนสะเทอน ในหวขอนจะแสดงถงการสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร ซงเปนสมการหรอระบบสมการท

แสดงการเคลอนทของระบบการสนสะเทอนนนๆ จากแบบจาลองกายภาพ เนองจากสมการทสรางขนจะใช

อธบายการเคลอนทของวตถ จงอาจเรยกสมการทสรางขนวา สมการการเคลอนท (Equation of Motion)

โดยทวไปสมการการเคลอนทจะสรางขนโดยอาศยกฎการเคลอนทของนวตน หรอโดยอาศยหลกการของ

พลงงาน

4.1 การสรางสมการการเคลอนทโดยอาศยกฎการเคลอนทของนวตน

การสรางสมการการเคลอนทโดยวธนมข นตอนสรปไดดงน

1. พจารณาจานวนองศาความอสระ และกาหนดพกดทจะใชและทศทางบวกของพกดนนๆ โดยพกดท

กาหนดจะตองวดเทยบกบแกนหยดนง ไมตดไปกบวตถทเคลอนท

2. เขยนความสมพนธของรปราง และการเคลอนท

3. เขยน Free body diagram (FBD) และสรางสมการโดยใชกฎขอท 2 ของนวตน ซงอาจเปนสมการ

นวตนสาหรบปญหาเชงเสน ∑ = xmF หรอเชงมม ∑ θ= JT โดยจานวนสมการทจาเปนตอง

สรางจะเทากบจานวนองศาอสระของระบบ

4. รวมสมการทงหมดเขาดวยกน

ตวอยางตอไปนจะแสดงการสรางสมการการเคลอนท เพอใหเขาใจถงขนตอนตางๆ ชดเจนยงขน


ตวอยางท 2-3 ระบบทประกอบดวยมวลและสปรง

ระบบทประกอบดวยมวลและสปรง

1. ระบบในรปเปนระบบทมองศาความอสระ 1 (1-dof) กาหนดพกด x โดยวดจากตาแหนงสมดลของ

วตถ โดยมทศทางชลงดานลางเปนทศทางบวก

2. เมอกาหนดพกด x ตามขอ 1 จะไดความเรวและความเรง เปน และ ตามลาดบ

3. สมมตใหวตถเคลอนทในทศทางทการเคลอนท x เปนบวก และเขยน FBD จะได FBD ดงแสดงในรป

จาก FBD จะสามารถเขยนสมการแสดงการเคลอนทไดดงน

ทสมดล จาก ดงนน

ขณะเคลอนท จาก

4. แทนความสมพนธในสมการทสมดลลงในสมการขณะการเคลอนทจะไดสมการการเคลอนทดงน

ANS

Note

I. ในตวอยางน อาจจะสมมตใหพกด x ชข นดานบนกได และเพอไมใหเกดความสบสนในการกาหนด

ทศทาง จงขอแนะนาใหสมมตวตถเคลอนทตามทศทางบวกของ x สาหรบทศทางของแรงจะตอง

พจารณาดวยวาขณะนนสปรงยดหรอหด โดย

1. ในกรณท x หดมากกวาระยะ ∆ ทเปนระยะยดจากสมดล สปรงจะหด สงผลใหเกดแรงสปรงดนมวล

ลงดานลาง

2. ในกรณท x หดนอยกวาระยะ ∆ สปรงจะยงยดอย สงผลใหเกดแรงสปรงดงมวลขนดานบน

II. กรณทมแรงภายนอก F(t) มากระทากบมวล m สมการขณะเคลอนทจะกลายเปน

และจะไดสมการการเคลอนทเปน

จะเหนวาทางดานซายมอของสมการจะเหมอนกบกรณทไมมแรงมากระทา คอจะแสดงลกษณะของ

ระบบวามมวล ความแขงสปรง และตวหนวงการสนสะเทอน (ถาม) เทาไร สวนดานขวาของสมการจะ

แสดงถงแรงภายนอกทกระทากบระบบ


ตวอยางท 2-4 เขยนสมการการเคลอนทของ

ระบบทแสดงในรป โดยกาหนดใหรอกตวเลกม

รศม r สวนตวใหญมรศม 4r รอกทงระบบหมน

ไปดวยกนและมโมเมนตความเฉอย Jo

FBD

ถงแมวาระบบนจะมมวล 2 กอน อยางไรกตาม

การเคลอนทของมวล m กบรอกมความเกยวเนอง

กน ทาใหเมอบอกตาแหนงของมวล m จะทราบ

การเคลอนทของรอกได ดงนนระบบนจงเปน

ระบบทมองศาอสระ 1 หรอ 1-dof

เมอสมมตใหมวลเคลอนทไปทางบวก x รอกจะ

หมนในทศทางทวนเขมนาฬกา ในสภาวะนจะ

เขยน FBD ไดดงรป

sF

T

xO

yO

T

mg

m xx ,

ทสมดล จาก [ ]∑ = 0OM 0)4(00 =− rFrT s

0)4)((0 =∆− rkrT

[ ]∑ = 0xF 00 =− mgT

(1)

(2)

จากสมการ (1) และ (2) จะได ∆= kmg 4 (3)

เมอมการเคลอนท ระยะยดสปรงจะเปลยนจาก ∆ เปน ∆+4rθ

จาก [ ]∑ = xmFx xmTmg =− (4)

[ ]∑ θ= OO JM θ=θ+∆−

OJrrkTr )4)(4( (5)

แทน T จากสมการ (4) และความสมพนธในสมการ (3) ลงสมการ (5) จะได

θ=θ+∆−− OJrrkrxmmg )4)(4()(

θ=θ−∆−−∆ OJkrrkrxmrk 21644

016 2 =θ++θ krxmrJO

แต ดงนน จาก (6) จะไดθ= rx

(6)

016)( 22 =++ kxrxmrJO ANS

(Singiresu S. Rao, Mechanical Vibrations, 4th

edition in SI Units, Prob.2.45-46)


ตวอยางท 2-5 ระบบทประกอบดวยมวลสองกอนดงแสดงในรป

1. ระบบทแสดงในรปประกอบดวยมวล 2 กอน ทการเคลอนทของแตละกอนเปนอสระตอกน ดงนน

การบอกตาแหนงของระบบ จงตองบอกตาแหนงของมวลทงสองกอน ระบบนจงเปนระบบทม

องศาอสระ 2 หรอ 2-dof และมสมการการเคลอนท 2 สมการ

2. กาหนดการเคลอนทของมวล m1 และ m2 เปน x1 และ x2 ตามลาดบ และมทศทางบวกชไป

ทางขวามอดงแสดงในรป

3. สมมตใหมวลทงสองกอนเคลอนทไปในทศทางบวก และ x2 > x1 จะไดวาแรงในสปรงทกระทา

ระหวางมวล m1 และ m2 จะเปนแรงดง ดงนนจะเขยน FBD และสมการการเคลอนทไดดง น

มวล m1

ANS

k1 k2

c1 c2

m1 m2

x1 x2l1

l2

f(t)

m1

m2 f(t)

FBD [ ]xx maF =∑111111122122 )()( xmxcxkxxcxxk =−−−+−

22122122 )()()( xmxxcxxktf =−−−−

=

−

−++

−

−++

)(

00

0

2

1

22

221

2

1

22

221

2

1

2

1

tfxx

kkkkk

xx

ccccc

xx

mm

0)()( 221212212111 =−++−++ xkxkkxcxccxm

มวล m2

)(2212221222 tfxkxkxcxcxm =+−+−

เขยนเปนรปเมตรกซไดเปน

)(tFKxxCxM =++ หรอ

M คอ “mass or inertia matrix”

C คอ “damping matrix”

K คอ “stiffness matrix”

x คอ position vector

F คอ input vector

โดย


4.2 การสรางสมการการเคลอนทโดยอาศยหลกการของพลงงาน

สมการการเคลอนทสามารถสรางไดโดยอาศยหลกการของพลงงาน ในทนจะกลาวถงการใช

หลกการพลงงานสาหรบระบบทไมมแรงภายนอกมากระทาและไมมการสญเสยพลงงาน (ไมมตวหนวงการ

สนสะเทอน) ซงเปนกรณทงายทสดเทานน

สาหรบระบบทไมมแรงภายนอกมากระทา และไมมการสญเสยพลงงาน จะไดวาพลงงานทงหมด

ของระบบจะเปนผลรวมของพลงงานศกย U และพลงงานจลน T และผลรวมนจะมคาคงท ความสมพนธน

สามารถเขยนเปนสมการไดเปน

Constant =+UT (2-18)

หรอ 2211 UTUT +=+ (2-19)

พจารณาระบบทประกอบดวยสปรงและมวล ดงแสดงในรปท 2-15

1. ทตาแหนง 1 ซงเปนตาแหนงสงสด และตาแหนง 3 ซงเปนตาแหนงตาสด ทงสองตาแหนงนสปรงยด

เตมท จงมพลงงานศกยมากทสด ( max31 UUU == ) สวนพลงงานจลนนน เนองจากตาแหนงท 1 และ

ตาแหนงท 3 มวลไมมการเคลอนทดงนนพลงงานจลนจงเปนศนย ( 0=T )

2. ทตาแหนง 2 ซงเปนตาแหนงทสมดลและเปนตาแหนงอางอง ทตาแหนงนสปรงไมมการยดหด ดงนน

พลงงานศกยจงมคาเปน 0 ( 0=U ) พลงงานทงหมดของตาแหนงนจงเปนพลงงานจลน ( maxTT = )

เมอแทนความสมพนธของพลงงานในขอ 1 และ 2 ลงในสมการท (2-19) จะได

maxmax TU = (2-20)

รปท 2-15 ระบบทประกอบดวยมวลและสปรง

mm

mEquilibrium position

1

23


ตวอยางท 2-6 ระบบทประกอบดวยมวลและสปรง

เพอไมใหเกดความสบสน จะสมมตใหมวลเคลอนทตามทศทาง +x ซงตาลงกวาจดอางอง และทาให

สปรงยดออก ∆+xพลงงานศกยของระบบนแบงออกเปนสองสวนคอพลงงานศกยโนมถวงและพลงงานศกยสปรง ดงน

ANS

2)(21 xkUSpring +∆=

พลงงานจลนหาไดจาก

mEquilibrium

Unstretched∆x

Ref.

mgxUGrav −=

2

21 xmT =

[ ].constUT =+ .)(21

21 22 constxkmgxxm =+∆+−

Differentiating 0)( =+∆+− xxkxmgxxm

0)( =+∆+− xkxkmgxm

เนองจากทสมดล ∆= kmg และทตาแหนงทวไป 0≠x

ดงนนจะได EOM 0=+ kxxm


ตวอยางท 2-7 Derive the EOM of an airplane’s steering-gear mechanism for the nose wheel

of its landing gear. The mechanism is modeled as the single-degree-of-freedom system

illustrated in the figure. [Inman/1.49]

พลงงานศกยของระบบแบงออกเปนสองสวนคอพลงงานศกยจากการบดของเพลาทมคา k = k1 และ

พลงงานศกยสปรงของสปรงทมคา k = k2

ANS

22

21 2

121 xkkU +θ=

[ ].constUT =+ .21

21

21

21 2

22

122 constxkkxmJ =+θ++θ

Differentiating 021 =+θθ++θθ xxkkxxmJ

rxθ

rxθ

rx −=−=−=θ , ,จากความสมพนธ

พลงงานจลนของระบบนแบงออกเปนสองสวนคอพลงงานจลนจากการหมนเฟองทมคาโมเมนตความ

เฉอย J และจากการเคลอนทของ rack มวล m ดงน

22

21

21 xmJT +θ=

แทนในสมการดานบนจะได 021 =+

−

−++

−

− xxk

rx

rxkxxm

rx

rxJ

จดรปได 0221

2 =

++

+ xk

rkx

rJmx

0≠x ในตาแหนงทวๆ ไป ดงนน 0221

2 =

++

+ xk

rkx

rJm

( ) ( ) 0221

2 =+++ xrkkxmrJ หรอ

(Inman D. J., Engineering Vibration, 2nd edition, Prob.1.49)


5. การประมาณเชงเสน (Linearization)

สมการการเคลอนททสรางขนจากหวขอทผานมาจะอยในรปของสมการอนพนธอนดบ 2 เมอแก

สมการ หรอระบบสมการทแสดงการเคลอนทแลว จะทาใหทราบวาระบบทตองการศกษามลกษณะการ

สนสะเทอนอยางไร อยางไรกตามการแกสมการอนพนธอนดบ 2 นน จะสามารถทาไดงายหากสมการนน

เปนสมการเชงเสน (Linear equation) แตถาสมการทไดไมเปนสมการเชงเสน (Non-linear equation) การ

แกสมการจะทาไดยาก หรออาจทาไมไดเลย นอกจากนหลกการ Superposition ซงใชไดในระบบเชงเสน ยง

ใชไมไดในสมการทไมใชเชงเสนอกดวย

รปแบบสมการทเปนเชงเสนและไมเปนเชงเสนสรปอยในรปท 2-16 สาหรบสมการอนพนธอนดบ

สองดงรปแบบทแสดงในรปท 2-16 นน หากสมประสทธของตวแปรตาม เปนคาคงทหรอเปนฟงกชนของตว

แปรตน จะถอวาสมการนนเปนสมการเชงเสน แตถาหากวาสมประสทธของตวแปรตามเปนฟงกชนของตว

แปรตามแลว จะถอวาสมการนนไมเปนสมการเชงเสน และถาหากวาในสมการอนพนธมพจนทเปนฟงกชน

อดศย (Transcendental function) อย เชนมฟงกชน exponential, logarithmic หรอฟงกชนตรโกณมตอย ก

ถอวาไมเปนสมการเชงเสนเชนกน

รปท 2-16 สมการเชงเสนและสมการทไมเปนเชงเสน

dcydxdyb

dxyda =++2

2

• a, b, c, d = constant, or f(x) Linear equation

• a, b, c, d = f(y)• There are transcendental

functions in the equationNon-linear equation

Function that cannot be defined directly by algebraic formulasEx. Exponential, logarithmic, trigonometric functions


พจารณาระบบตอไปน

รปท 2-17 การสนสะเทอนของลกตม

ระบบดงรปสามารถหาสมการการเคลอนทไดดงน

[ ]θ=∑ JM θ=θ− 2sin mlmgl

0sin =θ

+θ

lg

จะเหนวาสมการทไดมฟงกชนตรโกณมตอย สมการการเคลอนทของลกตมนจงไมใชสมการแบบเชงเสน

การแกสมการเพอหาคาตอบจงทาไดยาก และไมสามารถใชหลกการ Superposition ได เพอใหการ

แกปญหาของสมการทไมเปนเชงเสน เชนทพบในระบบการสนสะเทอนของลกตมนทาไดงายขน สมการทไม

เปนเชงเสนจะถกประมาณใหเปนสมการเชงเสน โดยใชหลกการของอนกรมเทยเลอร (Taylor series) ดงน

อนกรมเทยเลอร

ฟงกชน f(x) ใดๆ ซงมอนพนธทกอนดบทจด x0 จะสามารถเขยนฟงกชนนนใหอยในรปผลบวกของ

อนกรมอนนต ซงเรยกวาอนกรมเทยเลอรไดดงสมการ

+−

++′′−+′−+= )(

!)()(

!2)()()()()( 0

)(00

20

000 xfnxxxfxxxfxxxfxf n

n

(2-21)

ในกรณท x0 มคาแตกตางจาก x มากๆ คาของ f(x) จะเทากบผลบวกของอนกรมทางดานขวามอซง

มจานวนพจนเปนอนนต หรอถาตองการคาโดยประมาณกอาจจะตองใชพจนทางดานขวามอจานวนมากเพอ

จะทาใหคาทางดานขวามอมคาใกลเคยงกบ f(x) แตถาหากเลอกจด x0 ใหมคาใกลๆ กบจด x ทตองการ

ประมาณคา จะไดวาพจนหลงๆ ทางดานขวามอของอนกรมเทยเลอรจะมคานอย จนสามารถละทงได การ

ประมาณคา f(x) จงอาจจะใชพจนทางดานขวามอของสมการท (2-21) เพยงแค 2 พจนเทานน กสามารถ

ประมาณคาอยางแมนยาได ดงสมการ

)()()()( 000 xfxxxfxf ′−+≅ (2-22)

การประมาณคาดงแสดงในสมการท (2-22) จะเรยกวา First-order approximation รปท 2-18 แสดง

ถงการประมาณคาตามสมการท (2-22) โดยจด x0 (Operating point) เปนจดททราบคา f(x0) หากตองการ

ทราบคาของ f(x) ทจด x ใกลๆ จะทาไดโดยนาคา f(x0) หรอ y0 ในรปมาบวกดวยผลคณระหวางคาความ

ชนของเสนสมผสโคง ซงกคออนพนธอนดบหนงของฟงกชน กบระยะหางระหวางจด x กบ x0 เนองจาก

m

lθg

mg

Tθ


การประมาณคาแบบนเปนการประมาณคาโดยใชเสนตรงทสมผสกบจด x0 เปนตวประมาณ จงเรยกการ

ประมาณเชนนวาการประมาณเชงเสน (Linearization) การประมาณแบบนจะทาไดแมนยา กตอเมอเปนการ

ประมาณทจด x0 ใกลกบจด x เทานน

รปท 2-18 การประมาณแบบเชงเสน [1]

เพอใหเขาใจถงการประมาณเชงเสน พจารณาตวอยางตอไปน

ฟงกชน )sin(xy =

จาก )()()()( 000 xfxxxfxf ′−+≅

ดงนน 0

))(sin()()sin()sin( 00xxdx

xdxxxx=

−+≅

)cos()()sin()sin( 000 xxxxx −+≅

ถาให 00 =x จะได xxx =−+≅ )0cos()0()0sin()sin(

ซงหมายถง xx ≅)sin( เมอ x มคาใกล 0

ถาให 20π

=x จะได 1)2

cos()2

()2

sin()sin( =ππ

−+π

≅ xx

ซงหมายถง 1)sin( ≅x เมอ x มคาใกล 2π

ดงนนสาหรบสมการการแกวงของลกตม 0sin =θ

+θ

lg

เมอทาการประมาณเชงเสนเมอมม θ มคานอยๆ )0( →θ จะได 0=θ

+θ

lg

ซงหมายถงหากลกตมแกวงเบาๆ ทมมเลกๆ จะสามารถอธบายการเคลอนทของลกตมไดโดยประมาณดวย

สมการ 0=θ

+θ

lg ซงเปนสมการแบบเชงเสน


6. สรป

ในบทนกลาวถงหลกการพนฐาน และสวนประกอบทสาคญของระบบการสนสะเทอน ซง

ประกอบดวย มวล สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน เมอทราบถงสวนประกอบทสาคญแลว ในบทนได

กลาวถงวธการในการแกปญหาการสนสะเทอนในภาพรวม ตงแตการสรางแบบจาลองทางกายภาพอยางงาย

จากระบบการสนสะเทอนจรงๆ ทมความซบซอน ซงการสรางแบบจาลองตองคานงถงความแมนยาตาม

วตถประสงคทตองการศกษา รวมถงความซบซอนในการคานวณประกอบกน โดยระบบทมองศาอสระมาก

มกจะมความแมนยามาก แตกจะมความยงยากในการแกสมการเพมมากขน เมอไดแบบจาลองทาง

กายภาพแลว ขนตอนตอมาของการแกปญหาคอ การสรางสมการการเคลอนท ซงสามารถสรางไดโดยใช

สมการการเคลอนทของนวตน หรออาจใชวธการพลงงานกได สมการทไดจะอยในรปสมการอนพนธอนดบ

สอง ถาสมการการเคลอนทเปนสมการเชงเสนจะสามารถแกสมการไดงาย และสามารถใชหลกการของ

Superposition ในการคานวณได แตถาหากสมการไมเปนสมการเชงเสน กสามารถประมาณเปนสมการเชง

เสนได โดยใชการประมาณดวยอนกรมเทยเลอรอนดบ 1

References

4. Jintanawan, T., 2004, Introduction to Mechanical Vibration

5. https://plus.google.com/102204893089851828346

6. Jack Erjavec, 2004, Automotive Technology, a systems approach 4th edition, Thomson.

7. https://en.wikipedia.org/wiki/Leaf_spring

8. Rao, S. S., 2005, Mechanical Vibrations, 4th edition, Prentice Hall.

9. Inman, D. J., 2001, Engineering Vibration, 2nd

edition, Prentice Hall.

https://plus.google.com/102204893089851828346�

https://en.wikipedia.org/wiki/Leaf_spring�


แบบฝกหด

1. The uniform solid cylinder of mass m and

radius r rolls without slipping during its

oscillation on the circular surface of radius R.

Derive the EOM. [J.L.Meriam & L.G.Kraige /8.93]

ANS 0sin)(3

2=

−+ θθ

rRg

2. Consider the disk of the figure connected to

two springs. Derive EOM for small angle q (t). [Inman/1.82]

ANS 0)(223 22 =++ θθ arkmr

3. A control pedal of an aircraft can be modeled

as the single-degree-of-freedom system shown

in the figure. Consider the level as a massless

shaft and the pedal as a lumped mass at the

end of the shaft. Determine the EOM in q.

Assume the spring to be unstretched at q = 0. [Inman/1.50]

ANS 0)( 212

22 =++ θθ klmglml


บทท 3

การสนสะเทอนแบบอสระ

1. บทนา

การสนสะเทอนแบบอสระ (Free vibration) หมายถงการสนสะเทอนทเกดขนเนองจากมแรง หรอ

แรงบดมารบกวนสภาวะสมดลในตอนแรกทาใหเรมสนสะเทอน แตขณะทส นสะเทอนเปนการสนอยางอสระ

ไมมแรงหรอแรงบดภายนอกใดมากระทาตอระบบเลย ตวอยางของการสนสะเทอนแบบอสระ ไดแก การสน

ของลกตมนาฬกา การแกวงของชงชา เปนตน (ในตวอยางเหลานจะพจารณาใหแรงตานทานอากาศ ซง

กระทาตลอดเวลาทวตถสนสะเทอนมคานอย และละไวจากการวเคราะห) สาหรบในบทนจะกลาวถงการ

สนสะเทอนแบบอสระของระบบทมองศาความเปนอสระเทากบหนงเทานน สาหรบปญหาการสนสะเทอนทม

องศาความเปนอสระมากกวาหนงนนจะกลาวถงในบทตอๆ ไป โดยจะเรมจากสมการการเคลอนทของการ

สนสะเทอนแบบอสระ รปแบบผลเฉลยของสมการอนพนธทเกยวของ และจะไดกลาวถงลกษณะการ

สนสะเทอนแบบอสระของระบบทมตวหนวงการสนสะเทอน และไมมการสนสะเทอนตอไป

2. สมการการเคลอนทของการสนแบบอสระ

จากทกลาวมาในบทท 2 (หวขอท 4 และตวอยางท 2-3) จะไดวาสมการการเคลอนทของระบบการ

สนสะเทอนใดๆ สามารถเขยนใหอยในรปอยางงายไดดงสมการ

)()()()( tFtkxtxctxm =++ (3-1)

โดยทางดานซายมอของสมการจะเปนสวนทแสดงถงลกษณะของระบบ ซงประกอบดวยขอมลของ

มวล ตวหนวงการสนสะเทอน และคาคงทของสปรง สวนทางดานขวามอจะแสดงถงแรง (หรอแรงบด)

ภายนอกทกระทากบระบบ สาหรบการสนอยางอสระ เนองจากไมมแรงภายนอกกระทาตอระบบขณะสน

ทางดานขวามอจงมคาเปนศนย ดงนนสมการ (3-1) จะกลายเปน

0)()()( =++ tkxtxctxm (3-2)

ลกษณะการสนสะเทอนของระบบจะสามารถทราบไดโดยการแกสมการอนพนธ (3-2) ในหวขอ

ตอไปจะทบทวนถงผลเฉลยของสมการอนพนธทมรปแบบเชนเดยวกบสมการท (3-2)

ทบทวนการแกสมการอนพนธอนดบสอง

พจารณาสมการอนพนธอนดบสองทมรปแบบเชนเดยวกบสมการ (3-2) ดงแสดงในสมการ

0322

2

1 =++ yadxdya

dxyda (3-3)

การแกสมการ (3-3) ในขนแรกจะตองหาผลเฉลยของสมการชวย (Auxiliary equation) เสยกอน โดยสมการ

ชวยจะเปนสมการพหนามทมสมประสทธเหมอนสมการท (3-3) และแทนอนพนธอนดบสอง (2

2

dxyd ) ดวยตว


แปรกาลงสอง ( 2r ) แทนอนพนธอนดบหนง (dxdy ) ดวยตวแปรกาลงหนง ( r ) และแทนตวแปร y ในสมการ

ท (3-3) ดวยหนง ดงแสดงในสมการ

0322

1 =++ arara (3-4)

ให r1 และ r2 เปนคาตอบของสมการชวย (3-4) คาของ r1 และ r2 มโอกาสเปนไปได 3 กรณคอ 1) r1 และ

r2 เปนจานวนจรงทมคาไมเทากน 2) r1 และ r2 เปนจานวนจรงทมคาเทากน และ 3) r1 และ r2 เปนจานวน

เชงซอน สาหรบคาตอบของสมการอนพนธ (3-3) กจะมรปแบบแตกตางกน 3 รปแบบ ตามรปแบบคาตอบ

r1 และ r2 ของสมการชวยดงน

กรณท 1: r1 และ r2 เปนจานวนจรงทมคาไมเทากน ( 21 rr ≠ )

ในกรณนจะไดคาตอบของสมการอนพนธ (3-3) เปน xrxr eCeCy 21

21 += (3-5)

โดย C1 และ C2 เปนคาคงท

กรณท 2: r1 และ r2 เปนจานวนจรงทมคาเทากน ( 21 rr = )

ในกรณนจะไดคาตอบของสมการอนพนธ (3-3) เปน xrexCCy 1)( 21 += (3-6)


กรณท 3: r1 และ r2 เปนจานวนเชงซอน

ให biar +=1 เนองจากคาตอบเปนจานวนเชงซอน จะไดวาจะไดวาคอนจเกตของ 1r จะเปนคาตอบดวย

ดงนน biar −=2 ในกรณนจะไดคาตอบของสมการอนพนธ (3-3) เปน xbiaxbia eCeCy )(

2)(

1−+ += (3-7)


จากสมการเอกลกษณของออยเลอร θ+θ=θ sincos iei

แทนในสมการ (3-7) และจดรปจะได

))sin()cos(( 21 bxAbxAey ax += (3-8)

หรอ )sin( φ+= bxAey ax (3-9)

โดย A1, A2 หรอ A, φ เปนคาคงท

รปแบบของสมการผลลพธตางๆ ขางตน จะแสดงรปแบบตางๆ ของการเคลอนทของระบบการ

สนสะเทอน ดงจะกลาวถงการสนสะเทอนแบบตางๆ ในหวขอตอๆ ไป

3. การสนแบบอสระของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน

จากรปแบบสมการของการสนอยางอสระในสมการท (3-2) หากไมมตวหนวงการสนสะเทอน จะ

เขยนไดเปน


0)()( =+ tkxtxm (3-10)

ลกษณะการสนสะเทอนในกรณนหาไดจากการแกสมการอนพนธ (3-10) ในกรณนสมการชวยคอ

02 =+ kmr (3-11)

ซงจะไดคาตอบของสมการชวยเปน ( )mki±

เนองจากคาความแขงสปรง k และมวล m เปนจานวนบวกเสมอ ดงนนคาตอบของสมการ (3-11) จงเปน

จานวนจนตภาพเสมอ จากสมการท (3-8) และ (3-9) จะไดวาคาตอบของสมการอนพนธ (3-10) ซงแสดง

ถงการเคลอนทของระบบการสนทไมมตวหนวงการสนสะเทอน แสดงไดดงสมการ

)sin()cos( 21 tmkAt

mkAx += (3-12)

หรอ )sin( φ+= tmkAx (3-13)

โดย A1, A2 หรอ A, φ เปนคาคงทซงไดจากเงอนไขคาเรมตน (initial condition) ของการสนสะเทอน เชน

ตอนเรมสน ตาแหนงของมวล x อยทใด หรอมวลเคลอนทดวยความเรวเทาใด การหาคาคงทเหลานจะ

กลาวถงในหวขอตอๆ ไป สาหรบในสมการท (3-13) ตวแปร A แสดงถงขนาดของการสนสะเทอน สวน φ

แสดงถงเฟสของการสนสะเทอน

รปท 3-1 แสดงกราฟการสนสะเทอนของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ซงเขยนตามรปแบบ

สมการท (3-13) เนองจากรปแบบของสมการเปนฟงกชนไซน ดงนนการสนสะเทอนจะเกดขนตลอด โดย

ขนาดการสนสะเทอนจะมคาเทากบ A และจะไมลดลง ในทางกายภาพอาจอธบายไดวา การไมมตวหนวง

การสนสะเทอนทาใหไมมการสญเสยพลงงานออกจากระบบ พลงงานการสนสะเทอนในระบบจงคงท ขนาด

การสนจงไมลดลง สวนตาแหนงบนกราฟไซนทแสดงจดเรมตนของการสนสะเทอนสมพนธกบตวแปร φ

นอกจากนยงจะเหนวาคาบการสนสะเทอน τ จะมความสมพนธกบคาความแขงสปรงและมวลดงสมการ

รปท 3-1 กราฟการสนสะเทอนแบบอสระของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน [1]

mkπτ 2

=

mkφ


mkπ

=τ2

(3-14)

แตจากทคาบการสนสะเทอน τ มความสมพนธกบความถการสนสะเทอน f (frequency) และ

ความเรวเชงมมของการสน ω (angular velocity of the cyclic motion หรอ circular frequency) ดงสมการ

ωπ

==τ21

f

ดงนนจะไดวา mk=ω (3-15)

จะเหนวาความเรวเชงมมการสน ความถการสน หรอคาบการสนสะเทอนในกรณการสนอยางอสระ

นนจะขนอยกบคาความแขงของสปรง k และมวล m ของระบบเทานน ไมขนกบสภาวะเรมตนของการ

สนสะเทอนเลย พจารณาตวอยางระบบทมมวลและสปรงเพยงสองสวนประกอบเทานน ระบบนกจะม

ความถการสนสะเทอนอยคาหนงซงสมพนธกบคาความแขงสปรงและมวล ถงแมวาจะยดสปรงหรอกดสปรง

ในตอนเรมตนเพอปลอยใหสปรงสนแตกตางกนอยางไร ระบบนกยงสนทความถเทาเดมซงคานวณไดตาม

สมการท (3-15) เสมอไมสามารถเปลยนแปลงได เนองจากคาความถนเปนสมบตของระบบการสนสะเทอน

จงเรยกความถนวา ความถธรรมชาต (natural frequency) และเขยนโดยใชตวอกษร n หอยทายตวแปรไว

ดงนนสมการท (3-15) จงอาจเขยนไดวา

mkn =ω (3-16)

และ mkfn π=

21

(3-17)

จากทกลาวมาขางตน อาจสรปการอธบายความหมายของความถธรรมชาตไดวา ความถธรรมชาต

เปนความถการสนของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ทปลอยใหเกดการสนอยางอสระ หรออาจกลาว

อกอยางวา ถาใหระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอนสนอยางอสระแลว ระบบนนจะสนดวยความถเทากบ

ความถธรรมชาต

Note

ในวชาการสนสะเทอนนน คาวาความถการสนสะเทอนอาจหมายถง ความเรวเชงมมของการสน ω

ซงมหนวยเปน rad/s หรออาจหมายถงความถการสนสะเทอน f ซงมหนวยเปน Hz กได บอยครงทเรยก

คา mkn =ω วาเปนความถธรรมชาต ทงทปรมาณจรงเปนความเรวเชงมมของการสน ดงนนในการ

กลาวถงคาของความถธรรมชาต จาเปนทจะตองพจารณาหนวยของความถธรรมชาตดวย

สภาวะเรมตนสนสะเทอนและลกษณะการสนสะเทอน

สภาวะเรมตนสนสะเทอน (Initial condition) หมายถงสภาวะของระบบตอนทเรมพจารณาการ

สนสะเทอน (ทเวลา t = 0) ซงไดแก ตาแหนงของมวล และความเรวของมวลในขณะนน เพอใหเขาใจถง

ความสมพนธของสภาวะเรมตนสนสะเทอนตอลกษณะการสนสะเทอน พจารณาตวอยางตอไปน


ตวอยางท 3-1

กาหนดสมการการเคลอนท 0)()( =+ tkxtxm

และกาหนดสภาวะเรมตนสนสะเทอนเปน

1. ทเวลา t = 0 ใหมวลของระบบอยทตาแหนง 0x หรอ 0)0( xx =

2. ทเวลา t = 0 ใหมวลของระบบมความเรว 0v หรอ 0)0( vx =

จากสมการการเคลอนทจะได 0)()( =+ txmktx

หรอเขยนไดในรป 0)()( 2 =ω+ txtx n

สมการการเคลอนนมคาตอบของสมการเปน )sin()( φ+ω= tAtx n (1)

หาอนพนธสมการ (1) เทยบเวลาจะไดความเรว )cos()( φ+ωω= tAtx nn (2)

แทนเงอนไขคาเรมตนท t = 0 ลงในสมการท (1) และ (2) จะได

เงอนไข 0)0( xx = จะได )sin(0 φ= Ax (3)

และ เงอนไข 0)0( vx = จะได )cos(0 φω= nAv (4)

สมการท (3) และ (4) มตวแปรทไมทราบคา 2 ตวคอ A และ φ เมอแกระบบสมการ (3) และ (4) จะได

n

n vxA

ω+ω

=20

20

2

และ 0

01tanv

xnω=φ −

เมอแทนคา A และ φ ลงในสมการแสดงลกษณะการสนสะเทอน สมการ (1) จะได

)tansin()(0

0120

20

2

vxt

vxtx n

nn

n ω+ω

ω+ω

= − ANS

Note

จะเหนวาสภาวะเรมตนสนสะเทอนจะสงผลตอขนาดของการสนสะเทอน และเฟสของการสนสะเทอน ใน

กรณของระบบทประกอบดวยมวลและสปรง อาจยกตวอยางสภาวะเรมตนใหเหนภาพชดเจนขนไดดงน

1. หากดงมวลหรอกดมวลใหสปรงยดหรอหดมาก ( 0x มาก) ขนาดการสนสะเทอน A จะมาก หากดงนอย

( 0x นอย) ขนาดการสนสะเทอน A จะนอย

2. คา 0x อาจจะมคาเทากบศนยได แตในขณะนน 0v ตองไมเทากบศนย

3. ถาทง 0x และ 0v มคาเปนศนยทงค จะไมเกดการสนสะเทอน นนคอระบบมวลและสปรงทสมดลอย

เมอไมทาใหตาแหนงของมวลออกจากสมดล และไมทาใหเกดการเคลอนท ระบบกยงสมดลอยเชนเดม

จงไมเกดการสนสะเทอน



A vehicle wheel, tire, and suspension assembly can be modeled crudely as a single-degree-of-

freedom spring-mass system. The mass of the assembly is measured to be about 300 kilograms

(kg). Its frequency of oscillation is observed to be 10 rad/s. What is the approximate stiffness of the

tire, wheel, and suspension assembly? (Inman D. J., Engineering Vibration, 2nd edition, Ex.1.1.2)

ระบบของรถ ลอ ยาง และระบบรองรบของรถยนต สามารถจาลองอยางงายใหเปนระบบ 1-dof ท

ประกอบดวยมวลและสปรง ดงนนเมอสนสะเทอนระบบจะสนสะเทอนทความถเทากบความถธรรมชาตของ

ระบบ ตามทโจทยกาหนดจะได

rad/s 10==mk

nω

ดงนน N/m 000,3010300 22 =×== nmk ω ANS

ความสมพนธระหวางการขจด ความเรว และความเรง ระหวางการสนสะเทอน

การขจดของการสนสะเทอนในระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอนสามารถอธบายไดดวยสมการ

)sin()( φ+ω= tAtx n (3-18)

ความเรวสามารถหาไดโดยหาอนพนธของการขจดเทยบกบเวลา ดงแสดงในสมการ

)cos()( φ+ωω= tAtx nn (3-19)

ทานองเดยวกน ความเรงกสามารถหาไดโดยหาอนพนธของความเรวเทยบกบเวลา ดงแสดงในสมการ

)sin()( 2 φ+ωω−= tAtx nn (3-20)

รปท 3-2 แสดงกราฟเปรยบเทยบการขจด ความเรว และความเรงของการสนสะเทอน ตามสมการท

(3-18) ถง (3-20) จากกราฟจะเหนวาขนาดของการสนสะเทอนจะแตกตางกน โดยมคาเทากบ A , Anω

และ An2ω สาหรบ การขจด ความเรว และความเรงตามลาดบ สาหรบเฟสของการสนสะเทอนนน เฟสของ

การขจด ความเรว และความเรง จะตางกนอยอยางละ 90° และการขจดจะมเฟสตรงขามกบความเรง


รปท 3-2 การเปรยบเทยบการขจด กบความเรว และความเรง ของการสนสะเทอน [2]

4. การสนแบบอสระของระบบทมตวหนวงการสนสะเทอน

ในหวขอท 3 ไดกลาวถงการสนแบบอสระของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ซงจะพบวาใน

ระบบเหลานนขนาดของการสนสะเทอนจะมขนาดคงทไมลดลง เนองจากไมมการสญเสยพลงงานในระบบ

เลย อยางไรกตามในระบบจรงแลว จะมการสญเสยพลงงานเนองจากสาเหตตางๆ เชน จากแรงเสยดทาน

แรงตานทานการเคลอนทของของไหล การสญเสยพลงงานในการเสยรปของวสด เปนตน ดงนนการจาลอง

ระบบการสนสะเทอนจงมกจะตองรวมตวหนวงการสนสะเทอนเขาไปดวย รปท 3-3 แสดงระบบการ

สนสะเทอนอยางงาย ซงประกอบดวยมวล สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน สมการการเคลอนทของระบบ

การสนสะเทอนนคอ

0)()()( =++ tkxtxctxm (3-21)

ในการแกสมการอนพนธท (3-21) เพอหาสมการแสดงการสนสะเทอนนน สามารถเขยนสมการชวยไดเปน

02 =++ kcrmr

คาตอบของสมการชวย (3-21) คอ m

mkccr2

42

2,1−±−

= (3-22)

คาตอบของสมการนเปนไปไดสามกรณคอ


รปท 3-3 ระบบอยางงายทประกอบดวยมวล สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน

1. กรณ 042 <− mkc : กรณนคาตอบจะเปนจานวนเชงซอน ซงมสวนจรงเปนจานวนจรงลบ

ในกรณนคาตอบของสมการอนพนธจะอยในรปแบบเดยวกบสมการ (3-9) คอ

)sin( φ+= bxAey ax (3-9)

2. กรณ 042 =− mkc : กรณนคาตอบของสมการชวย 1r และ 2r จะเปนจานวนจรงลบทมคาเทากน

โดย mcrrr

221 −===

ดงนนคาตอบของสมการอนพนธในกรณนจงอยในรปแบบเดยวกบสมการ (3-6) คอ xrexCCy 1)( 21 += (3-6)

3. กรณ 042 >− mkc : กรณนคาตอบของสมการชวย 1r และ 2r จะเปนจานวนจรงลบ 2 จานวนท

แตกตางกน ทงนเนองจากคา m, c และ k มคาเปนบวกเสมอ จงทาให mkcc 42 −> เสมอ

ดงนนคาตอบของสมการอนพนธในกรณนจงอยในรปแบบเดยวกบสมการ (3-5) คอ xrxr eCeCy 21

21 += (3-5)

เมอพจารณารปแบบสมการ (3-5), (3-6) และ (3-9) ซงแสดงถงลกษณะการเคลอนท y ของมวล m

จะพบวา สมการท (3-9) มวลจะมการสนสะเทอน (มการเคลอนทกลบไปกลบมา) เนองจากในสมการมเทอม

ของฟงกชนไซนประกอบอย สวนสมการท (3-5) และ (3-6) จะไมมการสนสะเทอนเนองจากในสมการมแต

เทอมของฟงกชน exponential เทานน จะเหนวากรณท 2 จะเปนกรณทเปลยนผานจากระบบทมการสนไป

เปนไมมการสน พจารณาสมการ 042 =− mkc ซงเปนเงอนไขของกรณทสอง หรออาจเขยนไดวา

ncr mmkcc ω22 === (3-23)

คาสมประสทธตวหนวงการสนสะเทอน c ในสมการ (3-23) นเรยกวาเปนคาสมประสทธตวหนวง

การสนสะเทอนวกฤต (Critical damping coefficient, crc ) ซงเปนคาตวหนวงททาใหระบบเปลยนจากระบบ

ทมการสนไปเปนระบบทไมมการสน หากสมประสทธตวหนวงการสนสะเทอนมคานอยกวาคาในสมการท

(3-23) แลวจะพบวาระบบจะมการสนสะเทอน แตถาสมประสทธตวหนวงการสนสะเทอนมคามากกวาคาใน

สมการท (3-23) แลว ระบบจะไมมการสนสะเทอน

อตราสวนระหวางสมประสทธตวหนวงการสนสะเทอนกบคาตวหนวงวกฤต จะถกเรยกวาอตราสวน

การหนวง (Damping ratio, ζ ) ดงแสดงในสมการ

m

k

c


kmc

mc

cc

ncr 22===

ωζ (3-24)

อตราสวนการหนวงนจะบอกใหทราบวาระบบทพจารณาจะมการสนสะเทอนหรอไม ดงจะอธบายตอไป

พจารณาสมการการเคลอนท (3-1) เมอแทนคา c ตามสมการท (3-24) และคาความสมพนธระหวาง

ความถธรรมชาตกบมวล และคาคงทสปรง ในสมการท (3-16) ลงไปจะไดสมการการเคลอนทในอกรปแบบ

หนงดงสมการ

02 2 =++ xxx nn ωζω (3-25)

ทานองเดยวกนคาตอบของสมการชวย (3-22) กสามารถเขยนไดเปน

122,1 −±−= ζωζω nnr (3-26)

และคาตอบทเปนไปไดสามกรณทกลาวขางตนอาจเขยนไดดงน

1. กรณ 042 <− mkc หรออาจเขยนไดเปน 012 <−ζ หรอ 10 << ζ

กรณนคาตวหนวงมคานอยจงเกดการสนสะเทอน เรยกกรณนวา Under damped motion

2. กรณ 042 =− mkc หรออาจเขยนไดเปน 012 =−ζ หรอ 1=ζ

กรณนคาตวหนวงมคาเทากบคาตวหนวงวกฤต ซงเปลยนจากระบบทส นเปนระบบทไมส น เรยกกรณ

นวา Critically damped motion

3. กรณ 042 >− mkc หรออาจเขยนไดเปน 012 >−ζ หรอ ζ<1

กรณนคาตวหนวงมคามากกวาคาวกฤตจงไมเกดการสนสะเทอน เรยกกรณนวา Over damped

motion

4.1 Under damped motion

กรณนเกดเมอคาอตราสวนการหนวง ζ มคาระหวางศนยถงหนง ( 10 << ζ ) คาตอบของสมการ

ชวย (3-26) สามารถเขยนไดเปน

jr nn2

2,1 1 ζωζω −±−=

และคาตอบของสมการอนพนธ ซงแสดงการเคลอนทตามรปแบบสมการ (3-9) สามารถเขยนไดเปน

)sin()( φωζω += − tAetx dtn (3-27)

เมอ 21 ζωω −= nd (3-28)

และ A และ φ เปนคาคงททข นอยกบเงอนไขเรมตนการสน

สมการท (3-27) ประกอบจากผลคณของเทอมฟงกชน exponential ทยกกาลงตดลบ ซงทาใหคา

ของฟงกชนมคาลดลงเมอเวลา t เพมมากขน กบเทอมฟงกชนไซน ซงแสดงใหเหนถงการสนกลบไปกลบมา

ดงนนลกษณะการสนสะเทอนในกรณน จะเปนการสนกลบไปกลบมา และขนาดการสนมคาลดลงเมอเวลา t


เพมมากขนเนองจากการสญเสยพลงงานไปกบตวหนวงการสนสะเทอน สมการ (3-27) สามารถนามา

เขยนเปนกราฟแสดงการเคลอนทไดดงแสดงในรปท 3-4

เมอพจารณาถงความถการสนสะเทอน ซงดไดจากความถของฟงกชนไซนในสมการ (3-27) จะ

พบวาความถการสนสะเทอนจะมคาเทากบ dω ซงแตกตางจากความถธรรมชาตกรณการสนทไมมตวหนวง

การสนสะเทอนเลกนอย อยางไรกตามคา dω จะขนอยกบลกษณะของระบบ ไดแกคามวล ความแขงสปรง

และ คาความหนวงการสนสะเทอน เทานน ดงนนหากมระบบหนงซงมคาเหลานคงท ระบบนกจะสนอยาง

อสระดวยความถ dω เทานน ดวยเหตนจงเรยกคา dω วาความถธรรมชาตของระบบทมตวหนวง

(Damped natural frequency) และหากระบบไมมตวหนวงการสนสะเทอน หรอ ζ มคาเทากบ 0 สมการ

ท (3-27) และ (3-28) กจะลดรปไดเปนสมการ (3-13) ซงแสดงลกษณะการสนสะเทอนในกรณทไมมตว

หนวงการสนสะเทอน เชนเดยวกบทกลาวมาแลวในหวขอท 3

รปท 3-4 การสนสะเทอนแบบ Under damped motion [2]

4.2 Critically damped motion

กรณนเกดเมอคาอตราสวนการหนวง ζ มคาเทากบหนง ( 1=ζ ) คาตอบของสมการชวย (3-26)

สามารถเขยนไดเปน

nnr ωζω −=−=2,1

คาตอบของสมการอนพนธ ซงแสดงการเคลอนทตามรปแบบสมการ (3-6) สามารถเขยนไดเปน

tnetaatx ω−+= )()( 21 (3-29)

โดย 1a และ 2a เปนคาคงททข นอยกบเงอนไขเรมตนการสน

เนองจากไมมเทอมฟงกชนไซนในสมการ (3-29) ดงนนจงไมเกดการสนขน มวล m ทถกกระทาโดย

เงอนไขเรมตนใหออกจากสภาวะสมดล จะคอยๆ เคลอนทกลบสสภาวะสมดลโดยไมสน รปท 3-5 แสดงถง

การเคลอนทของมวลตามสมการท (3-29) กราฟเสนตางๆ แสดงถงลกษณะการเคลอนทเมอมเงอนไขเรมตน


แตกตางกน ตวหนวงการสนสะเทอนในกรณนเปนตวหนวงการสนสะเทอนทนอยทสดทจะไมทาใหเกดการ

สนสะเทอนขน

รปท 3-5 การเคลอนทแบบ Critically damped motion [2]

4.3 Over damped motion

กรณนเกดเมอคาอตราสวนการหนวง ζ มคามากกวาหนง ( 1>ζ ) คาตอบของสมการชวยในกรณ

นจะเปนเชนเดยวกบสมการท (3-26) คอ

122,1 −±−= ζωζω nnr

คาตอบของสมการอนพนธ ซงแสดงการเคลอนทตามรปแบบสมการ (3-5) สามารถเขยนไดเปน

)()( )1(2

)1(1

22 ttt nnn eaeaetx −+−−− += ζωζωζω (3-30)

โดย 1a และ 2a เปนคาคงททข นอยกบเงอนไขเรมตนการสน

เนองจากไมมเทอมฟงกชนไซนในสมการ (3-30) กรณกไมมการสนสะเทอนเกดขน เชนเดยวกบ

กรณ Critically damped motion เนองจากมสมประสทธการหนวงมากเกนไป ลกษณะกราฟของกรณน

ตามสมการท (3-30) แสดงในรปท 3-6 เสนกราฟเสนตางๆ แสดงการเคลอนทเมอมเงอนไขเรมตนท

แตกตางกน


รปท 3-6 การเคลอนทแบบ Over damped motion [2]

ถงแมวาลกษณะกราฟของกรณ Over damped motion และ Critically damped motion จะมรปราง

คลายคลงกน แตทงสองกรณกเขยนมาจากสมการทแตกตางกน และเมอเปรยบเทยบถงเวลาทมวลใชเพอ

กลบคนสสภาวะสมดลแลว จะพบวากรณ Critically damped motion มวลจะกลบเขาสตาแหนงสมดลไดเรว

กวากรณ Over damped motion

ตวอยางท 3-3 A Spring-mass-damper system has mass of 100 kg, stiffness of 3000 N/m and

damping coefficient of 300 kg/s. Calculate the undamped natural frequency, the damping ratio

and the damped natural frequency. Does the solution oscillate? This system is given a zero

initial velocity and an initial displacement of 0.1 m. Calculate the vibration response. [inman

1.40, 1.42]

รปทางดานซายมอแสดงระบบ มวล-สปรง-และตว

หนวงการสนสะเทอนตามรปโจทย การเคลอนท

ของระบบนสามารถอธบายไดดวยสมการm

k

c 0=++ kxxcxm

Undamped natural frequency หาไดจาก rad/s 477.51003000

===mk

nω ANS

Damping ratio หาไดจาก 274.0)100)(3000(2

3002

===kmcζ ANS

เนองจากอตราสวนการหนวงมคานอยกวา 1 ดงนนระบบจงเปนแบบ Under-damped motion และ

มการสนสะเทอน โดยความถการสนสะเทอนเทากบ Damped natural frequency ซงหาไดจาก

(Inman D. J., Engineering Vibration, 2nd edition, Prob.1.40, 1.42)


Damped natural frequency rad/s 27.5274.01477.51 22 =−=−= ζωω nd ANS

การสนสะเทอนเปนแบบ Under-damped motion ดงนนลกษณะการสนสะเทอนจงสามารถอธบาย

ไดดวยสมการ)sin()( φωζω += − tAetx d

tn

แทนคา ζ, ωn และ ωd ลงในสมการจะได

)27.5sin()( )477.5)(274.0( φ+= − tAetx t

)27.5sin()( 5.1 φ+= − tAetx t

คาคงท A และมมเฟส φ สามารถหาไดจากเง อนไขคาเร มต นดงน

หาอนพนธของสมการท (2) เทยบกบเวลา จะไดสมการแสดงความเรวการเคลอนท ดงน

(1)

(2)

)27.5cos()27.5()27.5sin()5.1()( 15.5.1 φφ +++−== −− tAeteAtxv tt

[ ])27.5cos(27.5)27.5sin()5.1()( 5.1 φφ +++−== − ttAetxv t (3)

แทนเง อนไขคาเร มตนลงในสมการแสดงการเคลอนท สมการท(2) และสมการแสดงความเรวการ

เคลอนท สมการท (3)

ANS

ทเวลา t = 0, x = 0.1 m

(4)φφ sin)0sin(1.0 0 AAe =+=

ทเวลา t = 0, v = 0 m/s

[ ])0cos(27.5)0sin(5.10 0 φφ +++−= Ae

[ ]φφ cos27.5sin5.10 +−= A

เนองจากขนาดการสนสะเทอน A ไมเปน 0 ตลอดเวลา ดงนน

φφ cos27.5sin5.10 +−= (5)

แกสมการท (4) และ (5) จะได

rad 293.1 ,104.0 == φA

แทนในสมการการเคลอนท สมการท (2) จะไดสมการทอธบายการเคลอนทของระบบการ

สนสะเทอน ดงน

)293.127.5sin(104.0)( 5.1 += − tetx t

Note มมทใชในสมการการเคลอนท ตองเปนหนวยเรเดยนเสมอ


5. Logarithmic decrement

ในระบบการสนสะเทอนทประกอบดวยมวล m คาความแขงสปรง k และคาสมประสทธความหนวง

c นน คา m และ k ทจะนามาใชในแบบจาลองการสนสะเทอนนนมกจะหาไดงาย สาหรบมวล m อาจใชการ

ชงดวยตาชง หรออาจใชการทดสอบหาความสมพนธระหวางแรงกระทากบระยะทเสยรปไปในกรณของคา k

อยางไรกตามคาสมประสทธความหนวงมกจะหาคาไดยาก โดยทวไปมกจะประมาณจากลกษณะการ

สนสะเทอนของระบบ ในหวนจะกลาวถงวธการหนงทใชประมาณคา c ของระบบทมความสมประสทธ

ความหนวงนอย และเปน under damped motion ซงเปนระบบทพบไดมากในโครงสรางทางวศวกรรม

ทวไป หลกการทใชเปนการพจารณาการลดลงของขนาดการสนสะเทอนของระบบ หรอทเรยกกนวา

Logarithmic decrement

รปท 3-7 Logarithmic decrement [2]

พจารณากราฟแสดงการสนสะเทอนของระบบแสดงในรปท 3-7 จากรปจะนยาม Logarithmic

decrement δ ดงน

)()(lnTtx

tx+

=δ (3-31)

โดย )(tx คอขนาดการสนสะเทอนทตาแหนง t ใดๆ

T คอคาบการสนสะเทอน

)( Ttx + คอขนาดการสนสะเทอนทเวลาผานไป 1 คาบนบจากเวลา t

ตามนยามจะใชขนาดการสนสะเทอนทเวลา t ใดๆ กได แตเพอความสะดวกในการกาหนดจด จง

มกจะเลอกจดยอดเปนตาแหนง t เชน ในรปท 3-7 หากใหตาแหนง t1 เปนตาแหนง t แลว ตาแหนง t2 กจะ

เปนตาแหนง t + T


แทนคา )(tx และ )( Ttx + ตามความสมพนธในสมการ (3-27) ลงในสมการ (3-31) จะได

))(sin(

)sin(ln )( φω

φωδ ζω

ζω

+++

= +−

−

TtAetAe

dTt

dt

n

n

(3-32)

เนองจากฟงกชนไซนทเวลา t ใดๆ จะมคาเทากบคาไซนเมอเวลาผานไป 1 คาบ ( Tt + ) ดงนน

สมการท (3-32) จะเขยนไดเปน

Te nTn ζωδ ζω == ln (3-33)

เนองจากคาบการสนสะเทอน d

Tω

π2= ดงนน

22 12

122

ζ

πζ

ζω

πζωω

πζωδ−

=−

⋅=⋅=n

nd

n (3-34)

จากสมการท (3-34) จะพบวาคา Logarithmic decrement, δ จะขนกบคา damping ratio, ζ เพยงอยาง

เดยว ดงนนจงอาจเขยนคา ζ ในรปฟงกชนของ δ ไดดงสมการ

224 δπ

δζ+

= (3-35)

ในการทดลองวดสญญาณการสนสะเทอนของระบบทส นสะเทอนอยางอสระ จะไดลกษณะสญญาณ

ดงกราฟในรปท 3-7 ดงนนจงทราบขนาดการสนสะเทอน )(tx และ )( Ttx + ทาใหสามารถคานวณคา

Logarithmic decrement, δ และหาคาอตราสวนความหนวง ζ ไดจากสมการท (3-35)

ในการหาคา Logarithmic decrement อาจใชจานวนคาบในการคานวณมากกวา 1 คาบกได หากใช

จานวนคาบทงหมด n คาบ จะสามารถหาคา δ ไดจากสมการ

)()(ln1nTtxtx

n +=δ (3-36)


ระบบการสนสะเทอนประกอบดวย มวล-สปรง-ตวหนวงการสนสะเทอน โดยมวลมขนาด 2 kg คาความแขง

สปรงเทากบ 1.5 kN/m จากการทดลองสงเกตลกษณะการสนสะเทอน พบวา จดทเกดการสนสะเทอนสง

ทสดครงแรก มขนาดการสนสะเทอน 9 มม. สวนจดทเกดการสนสะเทอนสงทสดครงตอมา มขนาดการ

สนสะเทอน 1 มม. จากขอมลขางตน จงคานวณหาขนาดสมประสทธความหนวงของระบบ

จากขอมลทกาหนด จะสามารถหาคา Logarithmic decrement ไดจาก

1972.219ln

)()(ln ==

+=

Ttxtxδ

เมอทราบคา Logarithmic decrement จะสามารถหาคาอตราสวนการหนวงไดจาก

(Inman D. J., Engineering Vibration, 2nd edition, Ex. 1.6.2)


33.01972.24

1972.24 2222

=+

=+

=πδπ

δζ

จากความสมพนธระหวางอตราสวนการหนวง กบคาความหนวง ความแขงสปรง และมวล จะสามารถ

คานวณหาคาสมประสทธความหนวงไดดงน

)2)(105.1(2233.0

3×====

ckmc

cc

cr

ζ

เพราะฉะนน 15.36=c kg/s ANS

6. สภาพสมดลและเสถยรภาพของระบบ

6.1 สภาพสมดล

สภาพสมดลหมายถงสภาวะทระบบทางกลอยในสภาพเดมไมเปลยนแปลง ซงจะเกดขนเมอไมมแรง

ลพธภายนอกมารบกวน เนองจากในสภาวะสมดล มวลไมมความเรง และความเรว ดงนนการหาสภาพ

สมดลจงทาไดโดยกาหนดให 0== xx หรอ 0== θθ ดงแสดงในตวอยางดานลาง


ระบบในรปสามารถเขยนสมการการเคลอนทไดดงน

)(sin2 tMmglml =+ θθ

ใหทสภาวะสมดล เกดท 0θθ =

และจะไดวาวตถไมมการเคลอนทเมออยในสภาวะสมดล ดงนน

0== θθ และถาหากสมมตใหไมมโมเมนตภายนอกมากระทา จะได

0sin 0 =θmgl

หรอไดวา 0sin 0 =θ

ดงนน πθ n±=0 เมอ n = 0, 1, 2, …

ซงหมายความวา สภาพสมดลของระบบทแสดงในรปเกดขนได 2

กรณ คอ สมดลในสภาวะ 0 องศา และ 180 องศา

m

lθg M(t)


6.2 เสถยรภาพของระบบ

ระบบทางกลทอยในสภาพสมดลจะถอวาเปนสภาพสมดลทมเสถยรภาพ เมอระบบนนสนดวยขนาด

การสนสะเทอนทคงทรอบตาแหนงสมดลเดม หรอสามารถกลบคนสสภาวะสมดลเดมได หากมแรงภายนอก

มากระทา รปท 3-8 แสดงตวอยางระบบทประกอบดวยลกตม เชนเดยวกบระบบในตวอยางท 3-x จากรป

จะเหนวาสมดลทเกดทมม 0 องศา เปนสภาพสมดลทมเสถยรภาพ เนองจากเมอมแรงภายนอกมากระทาให

ระบบมการเคลอนท ระบบจะสนรอบจดสมดลเดม (หากพจารณาวาไมมตวหนวงการสนสะเทอนในระบบ)

หรอสนรอบจดสมดลเดมดวยขนาดทนอยลงเรอยๆ จนหยดสนทจดสมดลเดม (หากพจารณาวามตวหนวง

การสนสะเทอน) เมอเปรยบเทยบกบทมม 180 องศา จะพบวาทมม 180 องศา เปนสภาพสมดลทไมม

เสถยรภาพ เนองจากเมอมแรงมากระทาแลว ระบบจะเกดการเคลอนทไปทตาแหนงอน และไมสามารถ

กลบคนสสภาพสมดลเดมไดอก

รปท 3-8 สภาพสมดลทมเสถยรภาพ และไมมเสถยรภาพ

เมอพจารณาสมการการเคลอนทของระบบการสนสะเทอนโดยทวไป ซงแสดงโดยสมการ (3-2) ดงน

0)()()( =++ tkxtxctxm (3-2)

เนองจากสมประสทธของเทอม )(tx , )(tx และ )(tx มคาเปนบวกทงหมด (คามวล m

สมประสทธการหนวง c และคาความแขงสปรง k มคาเปนบวกเสมอ) ดงนนคาตอบของสมการอนพนธ (3-

2) จะแสดงลกษณะการสนสะเทอน ซงอาจจะเปนแบบ Under damped motion, Critically damped motion

หรอ Over damped motion ดงทไดกลาวไวในหวขอท 4 จะพบวาไมวาจะเปนในกรณใดกตาม ระบบจะ

หยดสนทสมดลเดมท x = 0 เสมอ ดงนนระบบทแสดงขางตนจงเปนระบบทมเสถยรภาพ

อยางไรกตามหากสรางสมการการเคลอนทในรปแบบเชนเดยวกบสมการท (3-2) แลว แต

สมประสทธของเทอม )(tx , )(tx และ )(tx ในสมการไมเปนบวก (หรอลบ) ทงหมด เมอแกสมการดวย

วธการทแสดงในหวขอท 4 แลว จะพบวาสวนจรงของคาตอบของสมการชวย (3-22) จะมคาเปนบวก ซง

แสดงใหเหนวา เมอเวลา t เพมมากขน ขนาดการสนสะเทอนกจะเพมมากขน ดงแสดงตวอยางในรปท 3-9

Equi.

Equi.

Stable at θ = 0 Unstable at θ = π


ดงนนจงสรปไดวาระบบทมคาสมประสทธของเทอม )(tx , )(tx และ )(tx ในสมการไมเปนบวก (หรอลบ)

ทงหมด เปนระบบทไมมเสถยรภาพ

รปท 3-9 การเคลอนทของระบบทไมมเสถยรภาพ [2]


พจารณาระบบในตวอยางท 3-5 อกครง ระบบนมสมการการ

เคลอนทเมอไมมแรงภายนอกมากระทาดงน

0sin2 =+ θθ mglml

พจารณาสภาพสมดลทเกดท πθ =0

ทาการประมาณเทอม θsin แบบเชงเสนรอบจด πθ =0 จะได

000 cos)(sinsin θθθθθ −+≅

)()1)((0sin θππθθ −=−−+≅

แทนคา θsin ลงในสมการการเคลอนท จะได

0)(2 =−+ θπθ mglml

πθθ mglmglml −=−2

จะเหนวาสมประสทธของเทอม θ มคาเปนลบ และตางจาก

สมประสทธของเทอม θ ดงนนสภาพสมดลท πθ =0 จงไมม

เสถยรภาพ ดงแสดงในรปท 3-8 ดานขวามอ

Flutter instability

m

lθg M(t)


7. การออกแบบระบบการสนสะเทอน

การออกแบบระบบการสนสะเทอนทาไดโดยเลอกสวนประกอบของระบบการสนสะเทอน เชน มวล

ความแขงสปรง และคาความหนวง เพอใหเกดลกษณะการสนสะเทอนทตองการ เชน ตองการใหระบบสน

แบบ Under-damped motion, Over-damped motion หรอ Critically damped motion หรอจะเปนการ

ออกแบบเพอควบคมใหความถธรรมชาตอยในชวงทตองการ โดยการเลอกขนาดมวล หรอความแขงสปรง

เปนตน


ระบบรองรบของรถยนตขนาดเลกสามารถจาลองไดเปน ระบบการสนสะเทอน 1-dof ซงประกอบดวย มวล

สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน และมสมการแสดงการสนสะเทอนเปน

0)()()( =++ tkxtxctxm

มวลของรถมคาเทากบ 1361 kg สวนคา Static deflection มคาเทากบ 0.05 ม. ใหคานวณคา c และ k

เพอทจะทาใหการสนสะเทอนของรถเปนแบบ Critically damped motion และถามมวลของผโดยสาร และ

สมภาระ m0 รวม 290 kg เพมเขาไปในรถ จะเกดผลกระทบตอการสนสะเทอนอยางไร

เนองการกาหนดระยะ Static deflection ของสปรงเทากบ 0.05 เมตร จาก ∆= kmg จะได

N/m 1067.205.0

81.91361 5×=×

=∆

=mgk ANS

เมอสนสะเทอนแบบ Critically damped motion คา ζ = 1 คา c จะหาไดจาก

kg/s 1081.3)1361)(1067.2(22 45 ×=×=== kmcc cr ANS

เมอมมวลของผโดยสารและสมภาระเพมเขาไป 290 kg มวลรวมของระบบการสนสะเทอนจะเพมเปน

kg 16512901361 =+

ในกรณน คาอตราสวนการหนวงจะเปลยนเปน

91.0)1651)(1067.2(2

1081.3mk2

c5

4

=×

×=

′=ζ

จะเหนวาในกรณนจะเกดการสนขน การเปลยนแปลงอนๆ ในระบบไดแก

Static deflection: m 06.01067.2

81.916515 =

××

==∆k

mg

ความถธรรมชาตของระบบ: rad/s 7.121651

1067.2 5

=×

=′

=mk

nω

ความถการสนสะเทอนของระบบ: rad/s 27.591.017.121 22 =−=−= ζωω nd ANS



Note ในขอนถงแมจะออกแบบใหระบบรองรบของรถมการเคลอนทแบบ Critically damped motion ซงไมม

การสนสะเทอนเกดขน เพอใหรถกลบเขาสสภาวะสมดลเดมไดเรวทสดเมอมแรงภายนอกมากระทา อยางไร

กตามหากนาหนกของรถเปลยนแปลงไปเนองจากนาหนกทเพมเขามาของผโดยสารหรอของสมภาระ การ

สนสะเทอนของระบบกจะเปลยนแปลงไป ในขอนระบบจะเปลยนจากไมสนสะเทอนมาเปนการสนสะเทอน

8. สรป

ในบทนกลาวถงการสนสะเทอนอยางอสระ โดยเรมจากระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน ซงใน

ระบบนการสนจะสนดวยความถเทากบความถธรรมชาตของระบบ และขนาดการสนสะเทอนจะไมลดนอยลง

เนองจากไมมการสญเสยพลงงานออกจากระบบ หลงจากนนจงอธบายถงการสนสะเทอนของระบบทมตว

หนวงการสนสะเทอน ลกษณะการเคลอนทของระบบทมตวหนวงนจะแบงออกเปน 3 กรณขนกบขนาดของ

สมประสทธการหนวง ไดแก 1) ระบบทมขนาดตวหนวงนอยจะสนกลบไปกลบมา ดวยความถเทากบความถ

ธรรมชาตของระบบทมตวหนวงการสนสะเทอน และมขนาดลดนอยลงเรอยๆ จนหยดสน หรอทเรยกวา

Under damped motion 2) ระบบทมสมประสทธการหนวงเทากบคาสมประสทธการหนวงคาวกฤต หรอท

เรยกวา Critically damped motion ในระบบนขนาดการเคลอนทจะคอยๆ ลดลงจนหยดการเคลอนท โดยไม

มการสนสะเทอน และ 3) ระบบทมสมประสทธการหนวงมากหรอทเรยกวา Over damped motion ระบบ

แบบนกจะไมเกดการสนสะเทอนเชนเดยวกบระบบทมสมประสทธความหนวงเทากบคาวกฤต โดยขนาด

การเคลอนทจะลงลงจนหยดนงเมอเวลาผานไปชวงเวลาหนง ในบทนยงไดกลาวถงการพจารณาสภาพ

สมดล และเสถยรภาพของระบบ ซงสามารถรไดโดยทนทจากรปแบบสมการการเคลอนท

ความเขาใจผลของสวนประกอบตางๆ ตอลกษณะการสนสะเทอนทาใหสามารถออกแบบขนาดของ

สวนประกอบตางๆ เพอใหระบบมลกษณะการสนสะเทอนตามทตองการ เชน สามารถออกแบบใหระบบสน

แบบ Over-damped motion, Critically damped motion หรอ Under-damped motion หรอออกแบบให

ระบบมความถธรรมชาตตามทตองการได

References



edition, Prentice Hall..



1. The 7.3 kg uniform bar AB is hinged at C and

is attached at A to a spring of constant k = 730

N/m. If end A is given a small displacement and

released, determine (a) the frequency of small

oscillations, (b) the smallest value of the spring

constant k for which oscillation will occur. [F.P. Beer, E.R.Johnston Jr. and W.E.Clausen, 19.57]

ANS f = 3 Hz, k = 81.19 N/m

2. A Spring-mass-damper system has mass of 150 kg, stiffness of 1500 N/m and damping

coefficient of 200 kg/s. Calculate the undamped natural frequency, the damping ratio and the

damped natural frequency. Is the system overdamped, underdamped or critically damped? Does

the solution oscillate? This system is given an initial velocity of 10 mm/s and an initial displacement

of -5 mm. Calculate the vibration response. [Inman 1.41, 1.43]

ANS rad/s 1623.3=nω , 2108.0=ζ , underdamped motion, rad/s 0912.3=dω

[ ] m. 0912.3sin4309.00912.3cos005.0)( 667.0 ttetx t −−= −

3. จงหาเงอนไขททาใหระบบในรปมเสถยรภาพ

ANS lmgk 2

>

4. For a m-c-k system, m = 5 kg, k = 5000 N/m. During free vibration, the amplitude decays to 0.25

of its initial value after five cycles. (a) Calculate the viscous damping coefficient, c. (b) Choose a

dashpot’s viscous damping value such that when placed in parallel with the spring reduces the

frequency of oscillation to 9 rad/s. [Inman 1.72,1.73]

ANS (a) kg/s 13.9407=c , (b) kg/s 15.303=c

kA

B

G

C

5cm32cm


บทท 4

การสนสะเทอนแบบบงคบ

1. บทนา

การสนสะเทอนแบบบงคบ (Force vibration) เปนการสนสะเทอนซงเกดเนองจากพลงงานภายนอก

กระทากบระบบระหวางการสนสะเทอน โดยพลงงานภายนอกทกระทานนอาจจะอยในรปของแรง แรงบด

หรออาจเปนการขจดเพอบงคบใหเกดการสนกได รปท 4-1 แสดงตวอยางของพลงงานภายนอกทใสใหกบ

ระบบ โดยในรปทางดานซาย พลงงานภายนอกอยในรปแรงกระทา โดยแรงเกดจากการเคลอนทข นลงของ

กระบอกสบ และแรงเหวยงของขอเหวยง (Crank) และกานสง (Connecting rod) ขณะทางาน สาหรบรป

ทางดานขวา พลงงานภายนอกอยในรปการใสการขจด โดยในรปแสดงแบบจาลองระบบการสนสะเทอนของ

รถยนตซงเคลอนทบนถนนขรขระ ความขรขระของถนนเปรยบเสมอนการใสการขจดเพอบงคบใหตวรถ

เคลอนทข น-ลง ตามคาบความขรขระของถนน

รปท 4-1 ตวอยางพลงงานภายนอกทใสเขาในระบบการสนสะเทอน [1]

รปท 4-2 รปแบบของพลงงานภายนอกทใหกบระบบการสนสะเทอน

Applied force Displacement excitation

1. Harmonic (sinusoidal) input 2. Arbitrary periodic input

t

F

t

F

3. Impact 4. Arbitrary nonperiodic input

t

F

t

F


รปท 4-2 แสดงรปแบบของพลงงานภายนอกแบบตางๆ ทใสใหกบระบบ ไดแก 1) พลงงานแบบฮาร

โมนก หรอพลงงานทมการแปรผนเปนลกษณะฟงกชนไซน 2) พลงงานทเปนคาบรปแบบใดๆ 3) พลงงาน

จากการกระแทก หรอพลซ (Pulse) และ 4) พลงงานรปแบบใดๆ และไมมความสมพนธเปนคาบ

สาหรบเครองจกรกลทใชในงานทางวศวกรรมจานวนมากนนจะมการทางานเปนคาบ โดยพลงงานท

กระตนใหระบบสน อาจจะมาจากการทางานของเครองยนต หรอมอเตอรตนกาลง หรอมาจากกลไกการ

ทางานทมลกษณะเปนคาบเชน ชดเฟอง หรอลกเบยว หรออาจเกดมาจากความผดปกตของเครองจกรหมน

เชน ความไมสมดลของเครองยนต ความเสยหายภายในตลบลกปน เปนตน ลกษณะพลงงานกระตนของ

ชนสวนกลเหลานจะสอดคลองกบทแสดงในรปท 4-2(2) อยางไรกตามในการแกปญหาเหลานนน จาเปนท

จะตองเขาใจลกษณะการสนสะเทอนทเปนคาบแบบฮารโมนกในรปท 4-2(1) เสยกอน ซงใน Part A ของบท

นจะกลาวถงหลกในการวเคราะหปญหาการสนสะเทอนเนองจากการกระตนแบบฮารโมนก หลงจากนนใน

Part B จะไดกลาวถงวธการประยกตใชหลกการใน Part A กบปญหาทางวศวกรรมบางปญหา เชน การ

สนสะเทอนจากความไมสมดล การกระตนจากการสนสะเทอนของพน หรอการประยกตใชหลกการนในการ

วดการสนสะเทอน สวนการสนสะเทอนเนองจากการกระตนลกษณะเปนคาบรปแบบใดๆ และการ

สนสะเทอนจากการกระตนแบบพลซ ซงมกเกดจากการกระแทก และการสนสะเทอนเนองจากการกระตน

แบบใดๆ จะกลาวถงในบทตอๆ ไป

PART A: Force vibration

2. การสนสะเทอนแบบบงคบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน

2.1 สมการการเคลอนทของการสนสะเทอนแบบบงคบทไมมตวหนวงการสนสะเทอนและผลเฉลย

รปท 4-3 แสดงระบบการสนสะเทอนอยางงายทไมมตวหนวงการสนสะเทอน และมแรงกระตนแบบ

ฮารโมนกกระทากบระบบ และแผนผงแรงทกระทากบมวล m สาหรบระบบในรปจะสามารถเขยนสมการ

การเคลอนทไดดงสมการ

tFtkxtxm ωcos)()( 0=+ (4-1)

หรอ tftxtx n ωω cos)()( 02 =+ (4-2)

รปท 4-3 ระบบการสนสะเทอนทมแรงกระตนแบบฮารโมนกกระทากบระบบ

k mF(t)=F0cosωt

x

F(t)kx

mg

N

FBD


คาตอบหรอผลเฉลย )(tx ของสมการ (4-1) และสมการท (4-2) ซงแสดงลกษณะการสนสะเทอนของระบบ

สามารถแบงออกไดเปนสองสวน ดงแสดงดวยสมการ

)()()( txtxtx ph += (4-3)

โดย )(txh เรยกวา Homogeneous solution เปนคาตอบของสมการ 0)()( =+ tkxtxm

)(tx p เรยกวา Particular solution เปนคาตอบของสมการ tFtkxtxm ωcos)()( 0=+

ถงแมวา )(txh จะไมใชคาตอบของสมการการเคลอนท (4-1) แต )()()( txtxtx ph += กเปน

คาตอบของสมการ (4-1) เชนเดยวกบ )(tx p ดงจะเหนไดจากเมอแทนคา )(tx ในสมการ (4-3) ลงใน

สมการ (4-1) แลว กจะทาใหสมการ (4-1) เปนจรงเชนกน และเมอเปรยบเทยบ )(tx กบ )(tx p แลว จะ

พบวา )(tx เปนคาตอบในรปทสมบรณกวา สาหรบความหมายทางกายภาพของคาตอบทงสองสวนจะ

อธบายถงในหวขอถดๆ ไป

เนองจาก )(txh เปนคาตอบของสมการ 0)()( =+ tkxtxm ซงเปนสมการแสดงการสนสะเทอน

อยางอสระ ดงนน )(txh จงมรปแบบเชนเดยวกบการสนสะเทอนแบบอสระของระบบทไมมตวหนวงการ

สนสะเทอน ดงแสดงดวยสมการ

tAtAtx nnh ωω cossin)( 21 += (4-4)

หรอ )sin()( φω += tAtx nh (4-5)

สาหรบ )(tx p ซงเปนคาตอบของสมการ (4-1) นน จากการสงเกตพฤตกรรมการสนสะเทอนของ

วตถเมอมการกระตนทความถ ω มากระทาแลว วตถนนจะสนทความถ ω ดวย และเนองจากการกระตน

อยในรปของฟงกชน cosine ลกษณะคาตอบของสมการจงตองเปนฟงกชน cosine ดวย ถงจะทาใหเมอแทน

คาตอบ )(tx p เขาไปในสมการ (4-1) สมการจงเปนจรง ดวยเหตผลดงกลาว จงไดวา )(tx p ซงแสดงถง

ลกษณะการสนสะเทอนจะสามารถเขยนไดในรปของสมการ

tXtx p ωcos)( = (4-6)

โดย X เปนขนาดของ )(tx p ซงสามารถหาไดโดยการแทนคา )(tx p ลงในสมการ (4-1) เมอแทน

)(tx p ลงในสมการ (4-1) จะได

tFtkXtmX ωωωω coscoscos 02 =+−

20

ωmkF

X−

= (4-7)

ดงนนคา )(tx p คอ tmkF

tx p ωω

cos)( 20

−= (4-8)

เมอรวมคาตอบทงสองสวนเขาดวยกน จะไดลกษณะการสนสะเทอนเมอมการกระตนดวยความถ ω มา

กระทากบระบบดงสมการ

tmkF

tAtAtxtxtx nnph ωω

ωω coscossin)()()( 20

21 −++=+= (4-9)


โดยคาคงท A1 และ A2 สามารถหาไดจากเงอนไขคาเรมตน

สาหรบสมการท (4-9) แสดงใหเหนวาเมอใหการกระตนทความถ ω กบระบบ ระบบจะสนทความถ

สองความถ ไดแกความถธรรมชาต nω และความถทเทากบความถทมากระตนกระตน ω โดยขนาดของ

การสนทเทากบความถทมากระตน ω จะขนอยกบ ขนาดของการกระตน และสมบตของระบบ ไดแกความ

แขงสปรง และมวล สวนขนาดของการสนทความถธรรมชาต nω จะขนกบสภาวะเรมตนของการสนเทานน

รปท 4-4 แสดงถงลกษณะการสนสะเทอนของระบบ x ซงแสดงในรปดานลาง การสนสะเทอนนเปนผลรวม

ของ )(txh และ )(tx p ทแสดงในรปดานบนทงสองรปตามลาดบ

รปท 4-4 การสนสะเทอนของระบบ ซงเปนผลรวมจาก )(txh และ )(tx p [2]

2.2 เงอนไขคาเรมตนกบการสนสะเทอนแบบบงคบสาหรบระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน

ขนาดของการสนสะเทอนเนองจากการกระตนภายนอก )(tx p จะขนอยกบขนาดของการกระตน

และสมบตของระบบ อยางไรกตามขนาดการสนสะเทอน )(txh จะขนกบเงอนไขเรมตนการสนสะเทอน ดง

แสดงดวยเทอมคาคงท A1 และ A2 ในสมการ (4-9) คาคงนเหลานสามารถหาไดดงวธแสดงในตวอยาง

ตอไปน

สมมตใหเงอนไขเรมตนเปนดงน

เงอนไขท 1 เมอเรมตนสนสะเทอน วตถอยทตาแหนง 0x หรอ 0)0( xtx ==

เงอนไขท 2 เมอเรมตนสนสะเทอน วตถมความเรว 0v หรอ 00)0( vxtx ===

จะสงเกตวา คาคงททไมทราบคาในสมการท (4-9) มทงหมด 2 ตว ดงนนจงจาเปนตองใชเงอนไขคาเรมตน

2 ตวในการแกปญหาน

แทนเงอนไขท 1 ลงในสมการ (4-9) จะได

20

20 ωmkF

Ax−

+=

ดงนน 2

002 ωmk

FxA

−−= (4-10)


ความเรวการเคลอนทหาไดโดยหาอนพนธของสมการท (4-9) ดงน

tmk

FtAtAtx nnnn ω

ωω

ωωωω sinsincos)( 20

21 −−−= (4-11)

แทนเงอนไขท 2 ลงในสมการ (4-11) จะได

nAvx ω100 ==

ดงนน n

vA

ω0

1 = (4-12)

แทนคา A1 และ A2 ทหาไดในสมการ (4-9) จะไดสมการแสดงการเคลอนทดงน

tmkF

tmkF

xtv

tx nnn

ωω

ωω

ωω

coscossin)( 20

20

00

−+

−−+= (4-13)

สมการท (4-13) อาจเขยนในอกรปหนงไดดงน

tf

tf

xtv

txn

nn

nn

ωωω

ωωω

ωω

coscossin)( 220

220

00

−+

−

−+= (4-14)

รปท 4-5 แสดงตวอยางผลของความถของการกระตนตอลกษณะการสนสะเทอนของระบบ โดย

ระบบในรปมความถธรรมชาต 1 Hz ระบบถกกระตนดวยแรงทมขนาดเทากนแตความถของการกระตน

ตางกน และมเงอนไขเรมตนการสนเหมอนกน โดยความถทกระตนในตวอยางเปนความถทนอยกวา

ความถธรรมชาต ความถใกลเคยงกบความถธรรมชาต และความถมากกวาความถธรรมชาต จากรปจะ

เหนวาถงแมขนาดการกระตนจะมคาเทาเดมทกๆ กรณ แตหากมความถการกระตนทแตกตางกนแลว ระบบ

กจะสนสะเทอนตางกนได

รปท 4-5 ผลของความถการกระตนตอลกษณะการสนสะเทอนของระบบ

km F(t)=F0cosωt

Natural freq. fn = 1 HzExcited force/mass f0 = 1 N/kgExcited freq. f = 0.4, 1.01, 1.6 Hzx0 = 0.01 mv0 = 1 m/s

xh

xp

x

0.4 Hz 1.01 Hz 1.6 Hz

+ + +


2.3 เฟสของการสนสะเทอน

เฟสของการสนสะเทอน (Phase of the vibration response) แสดงถงจงหวะของการสนสะเทอน

สาหรบการสนสะเทอนทเปนแบบฮารโมนกนน เฟสมกจะบอกดวยมม หนวยเปนองศาหรอเรเดยน โดยใน

การสนสะเทอนแบบบงคบนน เฟสจะหมายถงความแตกตางกนของจงหวะการกระตนภายนอกกบจงหวะ

การสนสะเทอนของระบบ ตวอยางเชน ระบบในรปท 4-5 ไดรบการกระตนแบบฮารโมนก หากในขณะนน

แรงกระตนมทศทางไปทางขวา และมวลกเคลอนทไปทางขวาดวยพรอมๆ กน จะเรยกวาเฟสของการ

กระตนกบเฟสการสนสะเทอนตรงกน หรอความตางเฟส 0° แตถาหากในขณะนนแรงกระตนมทศทางไป

ทางขวา แตมวลเคลอนทไปทางซายตรงกนขามกนพอด จะเรยกกรณนวาเฟสของการกระตนตรงขามกบ

เฟสของการสนสะเทอน หรอความตางเฟส 180° ความตางเฟสอาจจะมคาใดๆ กไดขนกบวาจงหวะการ

กระตน กบจงหวะการสนสะเทอนแตกตางกนเทาใด

พจารณาเทอมท 3 ของสมการ (4-14) ซงแสดงการสนสะเทอน xp เนองจากแรงภายนอก )(0 tF ซง

เขยนในรปของแรงตอมวล )(0 tf ดงน

tf

txn

p ωωω

cos)( 220

−= (4-15)

tftf ωcos)( 00 = (4-16)

จากสมการท (4-15) และ (4-16) จะเหนวาหากความถของแรงกระตนมคานอยกวาความถธรรมชาต

ของระบบแลว สมประสทธของเทอม tωcos ของทงสองสมการจะมคาเปนบวก (หรอลบ) เหมอนกน ซง

แปลความไดวาจงหวะของแรงและการสนสะเทอนตรงกนหรอเฟสตรงกน แตหากความถของแรงกระตน

มากกวาความถธรรมชาต สมประสทธของเทอม tωcos จะมคาเปนบวกลบตางกน ซงแสดงใหเหนวา

จงหวะของแรงและการสนสะเทอนตรงกนขามกน หรอเฟสตางกน 180° หรออาจเรยกวาเฟสตรงขามกน

รปท 4-6 การสนสะเทอนทเฟสของการกระตนตรงกบเฟสของการสนสะเทอน

Natural freq. fn = 0.1 HzExcited force/mass f0 = 40 N/kgExcited freq. f = 0.02 Hzx0 = 0.1 mv0 = 0 m/s

f0

xp

x f0

ω/ωn = 0.2


รปท 4-6 แสดงตวอยางการสนสะเทอนเมอความถธรรมชาตมคามากกวาความถทมากระตน กรณน

จงไดวาเฟสของการสนสะเทอนจะตรงกบเฟสของแรงกระตน ซงจะเหนไดจากกราฟของ xp ซงมเฟสตรงกบ

เฟสของการกระตน f กราฟทงสองมคามากและนอยในจงหวะเดยวกน สาหรบรปดานลางแสดงกราฟ

ระหวางคา x ซงเปนผลรวมของ xh และ xp เมอเทยบกบคา f

รปท 4-7 แสดงตวอยางการสนสะเทอนเมอความถธรรมชาตมคานอยกวาความถทมากระตน เฟส

การสนสะเทอนในกรณนจงตรงขามกบเฟสของแรงกระตน ซงจะเหนไดจากกราฟของ xp และ f ทมคามาก

และนอยตรงกนขามกน เมอตวหนงมคามากอกตวหนงจะมคานอย เมอตวหนงมคานอยอกตวหนงจะมคา

มาก รปดานลางแสดงกราฟระหวางคา x ซงเปนผลรวมของ xh และ xp เมอเทยบกบคา f

รปท 4-7 การสนสะเทอนทเฟสของการกระตนตรงกนขามกบเฟสของการสนสะเทอน

2.4 บท (Beat)

พจารณาสมการแสดงการสนสะเทอนแบบบงคบ ในสมการท (4-14) ซงแสดงอกครงดานลาง

tf

tf

xtv

txn

nn

nn

ωωω

ωωω

ωω

coscossin)( 220

220

00

−+

−

−+= (4-17)

ในกรณทเง อนไขเรมตนสนเปนศนย คอ 00 =x และ 00 =v (กรณนเงอนไขเรมตนเปนศนยทง

สองตวได ซงแสดงถงในขณะทระบบหยดนง มแรงกระทาภายนอกใหวตถเรมสน) จะสามารถเขยนสมการท

(4-17) ไดดงน

)cos(coscoscos)( 220

220

220 tt

ft

ft

ftx n

nnn

n

ωωωω

ωωω

ωωω

−−

=−

+−

−=

+

−

−= tt

ftx nn

n 2sin

2sin

2)( 22

0 ωωωωωω

(4-18)

Natural freq. fn = 0.1 HzExcited force/mass f0 = 40 N/kgExcited freq. f = 1 Hzx0 = 0.1 mv0 = 0 m/s

f0

xp

x f0

ω/ωn = 10


หากความถธรรมชาต nω มคาใกลเคยงกบความถทมากระตน ω สมการท (4-18) สามารถเขยน

เปนกราฟการสนสะเทอนไดดงรปท 4-8 จากรปจะพบวาคาบการสนสะเทอนจะสามารถแบงออกไดเปน

สองสวน ไดแกคาบการสนสะเทอน T1 ซงเปนคาบการเปลยนแปลงขนาดของกรอบ (envelope) ของ

สญญาณ และคาบการสนสะเทอน T2 ซงเปนคาบของการเปลยนแปลงยอยๆ โดยคาของ T1 และ T2

สอดคลองกบความถในเทอมฟงกชนไซนทแสดงในสมการท (4-18) และสามารถหาไดจากสมการ

รปท 4-8 สญญาณบท [3]

2/2

1 ωωπ

−=

n

T (4-19)

( ) 2/

22 ωω

π+

=n

T (4-20)

การเปลยนแปลงในลกษณะนอาจเรยกอกอยางวา Amplitude Modulation (AM) ซงหลกการนมใช

ในการสงสญญาณวทยในระยะทางไมไกลมากนก นอกจากคาบเวลา T1 และ T2 ขางตนแลว ลกษณะ

สญญาณนยงสามารถพจารณาวาเปนสญญาณคาบ โดยมคาบของสญญาณเทากบ Tb ดงแสดงในรปท 4-8

และเขยนไดตามสมการ

ωωπ−

==n

bTT 221 (4-21)

เรยกคาบสญญาณนวาคาบของบท สวนความถทสมพนธกบคาบในสมการ (4-21) เรยกวาความถบท ดง

แสดงดวยสมการ

ωωω −= nb (4-22)

รปท 4-9 แสดงการเกดสญญาณบทจากสญญาณ xh และ xp ทมความถใกลเคยงกน จากรปจะ

พบวา สวนของสญญาณบททมขนาดมาก (สวนทแสดงดวยเสนสแดง) เกดมาจากการเสรมกนของสญญาณ

xh และ xp ชวงทมเฟสตรงกน และสวนทมขนาดนอยในสญญาณบท (สวนทแสดงดวยเสนสเขยว) เกดจาก

การหกลางกนของสญญาณ xh และ xp ชวงทมเฟสตางกน

1T

2T

bT


รปท 4-9 การเกดบท

2.5 การสนพอง (Resonance)

เมอความถของการกระตน ซงอาจอยในรปแรง แรงบด หรอการกระตนโดยการขจด มคาเทากบ

ความถธรรมชาตของระบบ ขนาดของการสนสะเทอนจะมคามาก หากพจารณาคา xp ในสมการ (4-8) จะได

วาสวนของขนาดจะมคามากจนถงอนนต อยางไรกตามในระบบจรงเมอใหการกระตนทความถธรรมชาต

ขนาดการสนสะเทอนไมไดสงจนเทากบอนนตในทนท แตขนาดการสนสะเทอนจะคอยๆ เพมสงขน ดงนน

สมการท (4-8) จงไมอาจแทนพฤตกรรมการสนสะเทอนทตาแหนงสนพองไดอยางถกตอง และคาอนนตใน

สมการคณตศาสตรนน ในความเปนจรงกจะไมเกดเหตการณเชนนน เนองจากขนาดการสนสะเทอนจะ

คอยๆ สงขนจนเมอเกนกวาคาความแขงแรงของวสดยดหยนจะรบไวได ระบบกจะพงลง ในกรณการสนพอง

สมการซงแสดงคา xp สามารถเขยนไดดงน

ttXtx p ωsin)( = (4-23)

โดย X คอตวแปรทแสดงความรวดเรวในการเพมขนของขนาดการสนสะเทอน สวนความถ nωω =

จากสมการท (4-23) จะได

tXttXtx p ωωω cossin)( +=

และ tXttXtx p ωωωω sincos2)( 2−= (4-24)

คา X หาไดโดยการแทนคา xp และ px ลงในสมการการเคลอนท (4-2) (หรอสมการ (4-1)) ดงนนจะได

tfttXtXttX ωωωωωωω cossinsincos2 022 =+−

เพราะฉะนน ω20f

X = (4-25)

Natural freq. fn = 5 HzExcited force/mass f0 = 10 N/kgExcited freq. f = 5.5 Hzx0 = 0 mv0 = 0 m/s

xp

xh

x


ดงนน ttf

tx p ωω

sin2

)( 0= (4-26)

เมอรวมการสนสะเทอนทงหมด ซงเปนผลมาจาก hx ในสมการ (4-4) และ px ในสมการ (4-26) จะได

ttf

tAtAtxtxx ph ωω

ωω sin2

cossin)()( 021 ++=+= (4-27)

โดยความถ nωω =

หากกาหนดเงอนคาเรมตนให 0)0( xx = และ 0)0( vx = จะสามารถหาคาคงท A1 และ A2 ไดดงน

จากสมการ (4-27) ความเรวของการเคลอนทหาไดจาก

ttf

tf

tAtAx ωωω

ωωωω cos2

sin2

sincos 0021 ++−= (4-28)

แทนเงอนไขคาเรมตนลงในสมการท (4-27) และ (4-28) จะได

20 Ax =

และ ω10 Av =

หรอ ω01 vA =

แทนคาคงทลงในสมการแสดงการสนสะเทอนทตาแหนงสนพอง (4-27) จะได

ttf

txtv

x ωω

ωωω

sin2

cossin 00

0 ++= (4-29)

รปท (4-10) แสดงการสนพอง เมอเงอนไขเรมตนสนเปนศนย ( 00 =x และ 00 =v )

รปท 4-10 การสนพองเมอเงอนไขคาเรมตนเปนศนย [3]


ตวอยางท 4-1 The engine is mounted on a foundation block

which is spring-supported. Describe the steady-state vibration

of the system if the block and engine have a total weight of

7500 N (≈ 750 kg) and the engine, when running, creates an

impressed force F = 250sin(2t) N, where t is in seconds.

Assume that the system vibrates only in the vertical direction,

with the positive displacement measured downward, and that

the total stiffness of the springs can be represented as k = 30

kN/m. Also determine the rotational speed w of the engine

which will cause resonance. (R. C. Hibbeler, Engineering

Mechanics Dynamics 11th edition in SI Units, Prob. 22-55,56)

)sin(0 tFkxxm ω=+

จากทโจทยสามารถเขยนแบบจาลองแสดงระบบการสนสะเทอน

และ FBD ไดดงรป และเขยน EOM ไดดงน

tAtAx nnh ωω cossin 21 +=

FBD

x

kx

สาหรบ xp จะอยในรปแบบสมการ tXxp ωsin=

[ ]xmF =Σ

rad/s 26.6)81.9/7500(1030 3 =×== mknω

EOM

tFtkXtmX ωωωω sinsinsin 02 =+−

Model

)2sin(250 tF =

คาตอบของสมการ EOM แบงออกไดเปน 2 สวน คอ xh และ xp

เนองจากไมมตวหนวงการสนสะเทอนในระบบ ดงนนจะเขยน xh

ไดดงน

โดย

แทนคา xp ลงในสมการ EOM จะได

20

ωmkFX

−=

ดงนนคาตอบทงหมดซงแสดงการสนสะเทอนของระบบนจะเขยนไดดงสมการ

tmkFtAtAxxx nnph ω

ωωω sincossin 2

021 −

++=+=

เมอสมมตใหทเวลา t=0 การขจดเปน x0 และความเรวเร มตนเปน v0 จะสามารถหาคา A1, A2 ไดดงน

(1)

(2)

(3)


เมอ t=0, x=x0 แทนในสมการ (3) จะได

−

−=nn mk

FvAωω

ωω 200

1

tmk

FtAtAvx nnnn ωω

ωωωωω cossincos 20

21 −+−== (4)

20 Ax =

หาอนพนธของสมการ (3) จะได

เมอ t=0, v=v0 แทนลงในสมการ (4) จะได

20

10 ωωω

mkFAv n −

+=

แทนคาคงททหาไดลงในสมการ (3) จะไดสมการแสดงการสนสะเทอนของระบบ ดงน

tmkFtxt

mkFvx nn

nn

ωω

ωωωω

ωωsincossin 2

002

0

−++

−

−= ANS

เนองจากไมมตวหนวงการสนสะเทอนในระบบ ทง xh และ xp จงเปนการสนสะเทอนในสภาวะคงตว

ทงหมด อยางไรกตามในความเปนจรง การหนวงอาจจะเกดขนจากปจจยตางๆ เชน การสญเสย

พลงงานในการเสยรปของวตถ แรงเสยดทาน (แตอาจมขนาดเลก จงละทงไปในการสร างแบบจาลอง)

ดงนน การสนสะเทอนในสภาวะคงตวในความหมายทวๆ ไป จงมกจะหมายถง xp เทานน

ในกรณทมความหนวงเกดขน การสนสะเทอนในสภาวะคงตวคอ

m 2sin)1028.9(

2sin2

81.975001030

250sin

3

232

0

t

ttmkFxx p

−×=

×−×=

−== ω

ω

ดงนนจะไดวาขนาดการสนสะเทอนในกรณทมความหนวงขนาดเลกอยดวยคอ 9.28 มม.

สาหรบการสนพองจะเกดเมอความถของแรงกระตนเทากบความถธรรมชาตของวตถ ดงน

rad/s 26.62 === nf ωπω rpm) (60 Hz 1=f

ANS

ANS


3. การสนสะเทอนแบบบงคบทมตวหนวงการสนสะเทอน

3.1 สมการการเคลอนทของการสนสะเทอนแบบบงคบทมตวหนวงการสนสะเทอนและผลเฉลย

รปท 4-11 แสดงระบบการสนสะเทอนทมตวหนวงการสนสะเทอน และถกกระทาดวยแรงกระตน

แบบฮารโมนก สาหรบระบบในรปจะสามารถเขยนสมการการเคลอนทไดดงสมการ

tFtkxtxctxm ωcos)()()( 0=++ (4-30)

หรอ tftxtxtx nn ωωζω cos)()(2)( 02 =++ (4-31)

คาตอบหรอผลเฉลย )(tx ของสมการ (4-30) และสมการท (4-31) ซงแสดงลกษณะการสนสะเทอนของ

ระบบสามารถแบงออกไดเปนสองสวน เชนเดยวกบกรณระบบทไมมตวหนวง ดงแสดงดวยสมการ

)()()( txtxtx ph += (4-32)

โดย )(txh คอ Homogeneous solution เปนคาตอบของสมการ 0)()(2)( 2 =++ txtxtx nn ωζω

)(tx p คอ Particular solution เปนคาตอบของสมการ tftxtxtx nn ωωζω cos)()(2)( 02 =++

รปท 4-11 ระบบการสนสะเทอนแบบบงคบทมตวหนวงการสนสะเทอน

เนองจาก )(txh เปนคาตอบของสมการ 0)()(2)( 2 =++ txtxtx nn ωζω ซงเปนสมการเดยวกบ

สมการทแสดงการสนสะเทอนอยางอสระ ดงนนคาตอบจงเปนเชนเดยวกบคาตอบของการสนสะเทอนอยาง

อสระทแสดงไวในบทกอนหนา โดยคาตอบสามารถแบงออกไดเปน 3 กรณ ตามคาของอตราสวนการหนวง

ของระบบ ดงน

1. กรณทอตราสวนการหนวงมคาระหวาง 0-1 )10( << ζ หรอ Under damped motion

)sin()( φωζω += − tAetx dt

hn (4-33)

เมอ 21 ζωω −= nd (4-34)

และ A และ φ เปนคาคงททข นอยกบเงอนไขเรมตนการสน

2. กรณทอตราสวนการหนวงมคาเทากบ 1 )1( =ζ หรอ Critically damped motion t

hnetaatx ω−+= )()( 21 (4-35)

เมอ 1a และ 2a เปนคาคงททข นอยกบเงอนไขเรมตนการสน

3. กรณทอตราสวนการหนวงมคามากกวา 1 )1( >ζ หรอ Over damped motion

)()( )1(2

)1(1

22 ttth

nnn eaeaetx −+−−− += ζωζωζω (4-36)

F(t)=F0cosωt

x

m

k

c


เมอ 1a และ 2a เปนคาคงททข นอยกบเงอนไขเรมตนการสน

สาหรบ )(tx p ซงเปนคาตอบของสมการ (4-30) หรอ (4-31) นน กสามารถหาไดจากการสงเกต

พฤตกรรมการสนสะเทอน หรอจากการแกสมการอนพนธ เชนเดยวกบกรณของการสนทไมมตวหนวงการ

สนสะเทอน เนองจากวตถเมอมการกระตนทความถ ω มากระทาแลว วตถนนจะสนทความถ ω ดวย

และเนองจากการกระตนอยในรปของฟงกชน cosine ลกษณะคาตอบของสมการจงตองเปนฟงกชน sine

หรอ cosine ดวย ถงจะทาใหเมอแทนคาตอบ )(tx p เขาไปในสมการ (4-31) แลวสมการจงมโอกาสเปนจรง

ได ดวยเหตผลดงกลาว จงไดวา )(tx p จะสามารถเขยนไดในรปของสมการ

)sin()cos()( tBtAtx ssp ωω += (4-37)

หรอ )cos()( θω −= tXtx p (4-38)

เนองจาก )(tx p เปนคาตอบของสมการ (4-31) คาคงท X และ θ (หรอ sA และ sB ) สามารถหา

ไดโดยแทน )(tx p ในสมการ (4-38) (หรอสมการ (4-37)) ลงในสมการ (4-31) ดงน

tftxtxtx pnpnp ωωζω cos)()(2)( 02 =++

tftXtXtX nn ωθωωθωωζωθωω cos)cos()sin(2)cos( 022 =−+−−−−

[ ] tfttX nn ωθωωζωθωωω cos)sin(2)cos()( 022 =−−−−⋅

[ ]tf

ttX

nn

nnnn ω

ωζωωω

θωωζωθωωωωζωωω cos

)2()(

)sin(2)cos()()2()( 02222

222222 =

+−

−−−−⋅+−⋅

ให αωζωωω

ωωcos

)2()(

)(2222

22

=+−

−

nn

n และ αωζωωω

ωζωsin

)2()(

22222

=+− nn

n ดงรปท 4-12 จะได

[ ] tfttX nn ωθωαθωαωζωωω cos)sin(sin)cos(cos)2()( 02222 =−⋅−−⋅⋅+−⋅

tftX nn ωαθωωζωωω cos)cos()2()( 02222 =+−⋅+−⋅ (4-39)

รปท 4-12 มมเฟสของการสนสะเทอนแบบบงคบ

)( 22 ωω −n

ωζωn2

2222 )2()( ωζωωω nn +−

α


จากสมการท (4-39) สมการจะเปนจรงไดเมอ

02222 )2()( fX nn =+−⋅ ωζωωω

หรอ 2222

0

)2()( ωζωωω nn

fX

+−= (4-40)

และ tt ωαθω cos)cos( =+−

หรอ

−

== 22

2arctan

ωωωζω

αθn

n (4-41)

จากสมการท (4-38), (4-40) และ (4-41) ทาใหสามารถเขยน )(tx p ไดดงสมการ

−

−+−

= 222222

0 2arctancos

)2()()(

ωωωζω

ωωζωωω n

n

nn

p tf

tx (4-42)

เมอรวมคาตอบทงสองสวนคอ )(txh จากสมการ (4-33) หรอ (4-35) หรอ (4-36) กบ )(tx p จาก

สมการ (4-42) เขาดวยกนจะได ผลเฉลยซงแสดงถงลกษณะการสนสะเทอน )(tx ตวอยางของลกษณะ

การสนสะเทอนแบบบงคบของระบบทเปนแบบ Under damped motion แสดงดงสมการ

)cos()sin()()()( θωφωζω −++=+= − tXtAetxtxtx dt

phn (4-43)

ตวอยางกราฟการสนสะเทอนของสมการท (4-43) แสดงในรปท 4-13 จากสมการท (4-43) และรปท 4-13

จะไดวาสวน )(txh จะมคาลดลง และหายไปเมอเวลาผานไปนานเพยงพอ แตสวน )(tx p จะคงอยตราบท

ยงมแรงภายนอก 0F มากระทา ดงนนการสนสะเทอน )(tx ในชวงแรกจงมผลจากทง )(txh และ )(tx p

แตเมอเวลาผานไป )(tx จะมคาเทากบ )(tx p

รปท 4-13 ตวอยางกราฟแสดงการสนสะเทอนแบบบงคบของระบบทเปน Under damped motion [2]

เนองจากสวน )(txh (ไมวาจะเปนระบบ Under damped motion, Critically damped motion หรอ

Over damped motion) จะมผลเพยงแคชวงตนๆ ของการสนเทานน จงมชอเรยกวา ผลตอบสนองชวขณะ

(Transient response) สวน )(tx p ทมผลตลอดตราบทยงมแรงภายนอกกระทามชอเรยกวา ผลตอบสนอง


ในสภาวะคงตว (Steady state response) ในปญหาการสนแบบบงคบ โดยทวๆ ไปมกจะสนใจสวนของ

ผลตอบสนองในสภาวะคงตวเนองจาก ผลตอบสนองชวขณะจะหายไปในเวลาไมนานหลงจากเรมเกดการ

สนสะเทอน

3.2 ผลตอบสนองในสภาวะคงตวทความถแรงกระตนตางๆ

ขนาดของการสนสะเทอนในสภาวะคงตวแสดงดงสมการ (4-40) และนามาแสดงอกครงในทน

2222

0

)2()( ωζωωω nn

fX

+−= (4-40)

จากสมการท (4-40) จะเหนวาขนาดการสนสะเทอน X ขนอยกบทงลกษณะของระบบการสนสะเทอน

(ไดแกคา m, c, k ซงแสดงออกโดยตวแปร nω และ ζ ) และลกษณะของแรงทกระทาทงขนาด ( 0f ) และ

ความถของแรงกระทา (ω ) สมการท (4-40) สามารถจดรปไดดงสมการ

2220

2

0 )2()1(1

rrfX

FXk n

ζ

ω

+−== (4-44)

โดย nr ωω=

รปท 4-14 แสดงความสมพนธทแสดงในสมการท (4-44) โดยสมมตใหระบบการสนสะเทอนระบบ

หนงถกกระทาดวยแรงขนาดคงท แกนตงแสดงเทอมไรมตทางดานซายของสมการซงสมพนธกบขนาดการ

สนสะเทอน สวนแกนนอนแสดงเทอมไรมต r ซงสมพนธกบความถของแรงกระตน

รปท 4-14 ความสมพนธของขนาดการสนสะเทอนทความถแรงกระตนตางๆ [3]


จากรปจะเหนวาถงแมระบบการสนสะเทอนจะถกกระตนดวยแรงขนาดคงท แตถาหากความถของ

แรงกระตนแตกตางกน กจะทาใหขนาดของการสนสะเทอนทเกดขนแตกตางกนได โดยหากระบบถกกระตน

ทความถตาๆ ขนาดการสนสะเทอนทเกดขนจะใกลเคยงกบคาการเสยรปเมอระบบถกแรงขนาดเทากนน

กระทาในสภาวะสมดล (Static deformation) ขนาดการสนสะเทอนจะเพมมากขนหากความถการกระตน

เพมมากขน และการสนสะเทอนจะมขนาดมาก เมอระบบถกกระตนดวยแรงทมความถใกลเคยงกบความถ

ธรรมชาต )1( =r ปรากฏการณทระบบถกกระตนดวยแรงทมความถเทากบความถธรรมชาต จะเรยกวา

การเกดการสนพอง (resonance) และเมอเพมความถการสนสะเทอนใหมากกวาความถธรรมชาต ขนาด

ของการสนสะเทอนจะลดลง

เมอพจารณาถงผลของอตราสวนการหนวงตอขนาดการสนสะเทอนจะพบวา ยงขนาดของอตราสวน

การหนวงมาก ขนาดการสนสะเทอนเมอระบบถกแรงทมความถใกลเคยงความถธรรมชาตกระทาจะมคา

ลดลง นอกจากนยงพบวาความถแรงกระตนททาใหเกดขนาดการสนสะเทอนมากทสดจะลดลง และหางจาก

ความถธรรมชาตมากขนเมอระบบมอตราสวนความหนวงมากขน

การหาความถของแรงกระตนทจะทาใหขนาดการสนสะเทอนมากทสด สามารถหาไดโดยวธการหา

จดสงสดของฟงกชนโดยทวไป จากความรในวชาแคลคลสจะไดวาอนพนธของฟงกชนจะมคาเทากบศนยท

ตาแหนงสงสดของฟงกชน ในกรณนจะได

0)2()1(

1222

=

+− rrdrd

ζ (4-45)

เมอแกสมการท (4-45) จะได 221 ζ−=r

หรอ 221 ζωω −= n (4-46)

จากสมการท (4-46) จะเหนไดวาตาแหนงทเกดการสนสะเทอนมากทสด ไมตรงกบทงความถ

ธรรมชาต nω และความถธรรมชาตของระบบทมตวหนวง dω แตมคานอยกวา อยางไรกตามระบบ

โดยทวไปมกมอตราสวนการหนวงนอย (เชน โครงสรางทไมไดม Damper ประกอบอย) ดงนนตาแหนงท

ขนาดการสนสะเทอนมคามากทสด จงมกเกดเมอแรงกระตนมความถใกลเคยงกบความถธรรมชาต

สาหรบขนาดของการสนสะเทอนมากทสดนน สามารถหาไดโดยแทนคา r หรอ nω จากสมการท

(4-46) ลงในสมการท (4-44) โดยขนาดการสนสะเทอนทมากทสดมคาเทากบ

2max0 12

1ζζ −

=

FXk (4-47)

สาหรบความสมพนธของมมเฟสทความถตางๆ หาไดจากสมการ (4-41) ซงสามารถจดรปสมการได


−= 21

2arctanrrζθ (4-48)


รปท 4-15 ความสมพนธของมมเฟสทความถแรงกระตนตางๆ [3]

รปท 4-15 แสดงความสมพนธของมมเฟสทความถของการกระตนตางๆ ตามสมการท (4-48)

เนองจากแรงกระตนในระบบการสนสะเทอนนเทากบ tF ωcos0 (สมการ (4-30)) สวนลกษณะการ

สนสะเทอนแสดงดวยสมการ )cos()( θω −= tXtx p (สมการ (4-38)) ดงนนความตางเฟส θ จงแสดง

จงหวะทแตกตางกนของแรงกระทากบผลลพธการสนสะเทอน ทานองเดยวกบทอธบายไวในหวขอท 2.3 ใน

บทน และอาจจะพจารณางายๆ ไดวาหากแรงกระทากบระบบและทศทางการสนสะเทอนคอนขางไป

ในทางเดยวกนแลว จะไดวามมเฟสจะคอนขางตรงกน (ใกลกบ 0°) แตหากทศทางการสนสะเทอนตรง

คอนขางจะตรงกนขามกบทศของแรงกระทาแลว จะไดวามมเฟสจะคอนขางตรงขามกน (ใกลกบ 180°)

จากรปท 4-15 จะพบวาเมอใหแรงกระตนทความถตาๆ มมเฟสจะมคาใกล 0° ซงหมายถงระบบจะ

สนโดยมจงหวะใกลเคยงกบจงหวะของแรงกระตน เมอความถของแรงกระตนเพมขน จะพบวามมเฟสซง

แสดงถงจงหวะการสนของระบบจะตางกบแรงกระตนมากขน และมมเฟสจะมคาเทากบ 90° ( 2π rad)

เมอความถแรงกระตนเทากบความถธรรมชาตของระบบ และหากใหแรงกระตนทความถสงกวาความถ

ธรรมชาตมากๆ มมเฟสจะมคาเทากบ 180° (π rad)

เมอพจารณาถงผลของความหนวง จะพบวาถาความหนวงนอยการเปลยนแปลงของเฟสเมอกระตน

ดวยความถทหางจากความถธรรมชาตจะนอย แตจะมการเปลยนแปลงของเฟสอยางรวดเรวเมอกระตนท

ความถใกลเคยงกบความถธรรมชาต ( 1≈r ) แตถาหากความหนวงของระบบมคามากขนการ

เปลยนแปลงของเฟสจะคอยๆ สมาเสมอขน


3.3 การวเคราะหดวยวธการ Frequency response

วธการ Frequency response เปนวธการหนงทใชหาคาตอบหรอผลเฉลยการสนสะเทอนของระบบ

เชนเดยวกบวธการทกลาวไปในหวขอทผานมา วธการนทาไดโดยประยกตใชสตรของออยเลอร (Euler’s

formula) และแนวคดของวธการ superposition โดยสตรของออยเลอรสามารถแสดงไดดงสมการ

tjte tj ωωω sincos += (4-49)

โดย 12 −=j

พจารณาสมการการเคลอนทของระบบการสนสะเทอนพนฐาน ดงแสดงในสมการ (4-30) และนามาเขยน

ใหมดงน

tFtkxtxctxm ωcos)()()( 0=++ (4-50)

หากเปลยนดานขวามอของสมการใหอยในรป tjeF ω0 และคาตอบของสมการเปลยนจาก )(tx เปน )(tz

จะได tjeFtkztzctzm ω

0)()()( =++ (4-51)

หรอ )sin(cos)()()( 0 tjtFtkztzctzm ωω +=++ (4-52)

จะเหนวาสมการท (4-52) จะคลายคลงกบสมการ (4-50) เพยงแตเพมเทอม )sin(0 tjF ω ซงเปน

สวนจนตภาพเขามาเทานน เนองจากสมการ (4-52) เปนสมการแบบเชงเสน จงสามารถใชแนวคดของการ

superposition ได ดงนนคาตอบของสมการ )(tz (ซงเปนจานวนเชงซอน เพราะดานขวามอเปนจานวน

เชงซอน) จงเปนผลรวมของคาตอบของสมการ (4-50) ซงกคอ )(tx (ซงเปนจานวนจรง) และคาตอบของ

สมการทมรปแบบเชนเดยวกบสมการ (4-50) แตดานขวามอเปน )sin(0 tjF ω ดงแสดงในสมการ

)sin()()()( 0 tjFtkytyctym ω=++ (4-53)

เนองจากดานขวามอของสมการ (4-53) เปนจานวนจนตภาพ ดงนนคาตอบ )(ty ของสมการนจงเปน

จานวนจนตภาพดวย

วธการหาคาตอบโดยวธ Frequency response จะไมหาคาตอบของสมการท (4-50) โดยตรง แตจะ

หาคาตอบของสมการ (4-51) แทน โดยคาตอบ )(txp ทตองการจะเปนสวนจรงของคาตอบ )(tz ของ

สมการ (4-51) ดงสมการ

)Re()( ztxp = (4-54)

พจารณาสมการท (4-51) เนองจากดานขวามอของสมการเปนฟงกชน exponential ดงนนคาตอบ )(tz

จงตองอยในรปแบบ exponential ดวย เพอทเมอแทนคาเขาในสมการ (4-51) แลว จะสามารถทาใหสมการ

เปนจรงได ดวยเหตน )(tz จงสามารถเขยนไดดงสมการ tjZetz ω=)( (4-55)

โดยทคาคงท Z เปนจานวนเชงซอน

การหาคา Z ทาไดโดยแทนคา )(tz ซงเปนคาตอบของสมการ (4-51) ลงในสมการท (4-51) ดงน tjtjtjtj eFkZeeZjceZm ωωωω ωω 0

2 )()( =++−


[ ] tjtj eFZekjcm ωωωω 02 =⋅++−

[ ] 02 )( FZjcmk =⋅+− ωω

หรอ 002 )()(

1 FjHFjcmk

Z ωωω

=+−

= (4-56)

โดย ωω

ωjcmkF

ZjH+−

==)(

1)( 20

(4-57)

จะเหนวา )( ωjH เปนอตราสวนเชงซอนระหวาง Z ซงอาจจะพจารณาวาเปนการสนสะเทอนหรอ

การตอบสนองของระบบ (output) กบขนาดแรงขาเขาซงกระตนใหเกดการสน 0F (input) โดยท )( ωjH

เปนฟงกชนของความถดวย ดงนน )( ωjH จงมชอเรยกวา Complex frequency response function

จากสมการท (4-56) เขยนจานวนเชงซอนสวนใหอยในรปเชงขวจะได

[ ] [ ]θ

θ ωωωωj

je

cmkF

ecmkFZ −⋅

+−=

+−= 2/1222

02/1222

0

)()()()( (4-58)

โดย

−= 2arctan

ωωθmk

c (4-59)

และจาก tjZetz ω=)( จะได

[ ])(

2/12220

)()()( θω

ωω−⋅

+−= tje

cmkFtz (4-60)

เนองจาก )Re()( ztxp = ดงนน

[ ] )cos()()(

)( 2/12220 θω

ωω−⋅

+−= t

cmkFtxp

(4-61)

หรอ )cos()()( 0 θωω −⋅= tFjHtxp (4-62)

โดย θ หาไดจากสมการท (4-59)

สมการท (4-61) สามารถเขยนในรปของ ความถธรรมชาต อตราสวนการหนวง ไดดงแสดงในสมการท (4-

42) และนามาเขยนใหมอกครงดงน

−

−+−

= 222222

0 2arctancos

)2()()(

ωωωζω

ωωζωωω n

n

nn

p tf

tx (4-63)

จะเหนวาการคานวณทงสองวธไมวาจะใชการแกสมการอนพนธและพนฐานทางตรโกณมต หรอใช

วธการวเคราะหดวยวธ Frequency response ซงใชพนฐานเกยวกบจานวนเชงซอน จะไดผลลพธ

เชนเดยวกน


ตวอยาง 4-2

For a vibrating system, m = 10 kg, k = 2500 N/m, and c = 45 Ns/m. A harmonic force of amplitude

180 N and frequency 3.5 Hz acts on the mass. If the initial displacement and velocity of the mass

are 15 mm and 5m/s, find the complete solution representing the motion of the mass. (Singiresu S.

Rao, Mechanical Vibrations 4th edition in SI units, Prob.3/33)

จากขอมลทโจทยกาหนดใหสามารถสรปไดดงน

kg 10=m , N/m 2500=k , Ns/m 45=c

N 1800 =F , rad/s 9911.21)5.3(22 === ππω f

m 015.00 =x , m/s 50 =v

เนองจากรปแบบสมการ EOM เปนเชนเดยวกบสมการ tFtkxtxctxm ωcos)()()( 0=++ ดงนนจะสามารถ

หาคาตอบไดดงน

[ ] [ ] m 0709.0)9911.2145())9911.21(102500(

180)()( 2/12222/1222

0 =×+−

=+−

=ωω cmk

FX

rad) 0.4007( 9582.22)9911.21(102500

9911.2145arctanarctan 22 −=°−=

−

×=

−=

ωωθmk

c

)4007.09911.21cos(0709.0)cos( +=−= ttXxp θω

เนองจากคาตอบกรณของการสนแบบบงคบ ph xxx += ดงนนการหาผลเฉลยทสมบรณซงแสดงการ

สนสะเทอนของระบบจงตองหาคา hx ดวย อยางไรกตามจาเปนทจะตองรคา damping ratio เสยกอน

เพอทจะทราบรปแบบของสมการทอธบายการสนสะเทอน

1423.01025002

452

=×

==kmcζ

เนองจากคา damping ratio < 1 จงเปนแบบ Under-damped motion รปแบบของ hx เปนดงสมการ

)cos( φωζω += − tAex dt

hn

rad/s 8114.15102500 === mknω

rad/s 6505.151423.018114.151 22 =−×=−= ζωω nd

รปแบบของการสนสะเทอน ph xxx += สามารถแสดงไดดงสมการ

)4007.09911.21cos(0709.0)cos( +++= − ttAex dtn φωζω

สมการขางตนจะพบวามตวไมทราบคา 2 ตวคอขนาด A และมมเฟส φ ซงสามารถหาไดจากเงอนไขเรมตน

ดงน

(1)

(2)

(3)


1) เมอ t = 0, m 015.00 =x แทนคาลงในสมการ (3) จะได

)4007.0cos(0709.0)cos(015.0 += φA

0503.0)cos( −=φA

2) เมอ t = 0, m/s 50 =v

หาอนพนธของสมการ (3) เทยบกบเวลาจะได

)4007.09911.21sin()9911.21(0709.0 )]sin()()cos()([

+−⋅++−++−== −−

ttAetAevx dd

tdn

t nn φωωφωζω ζωζω

แทนเงอนไขท 2) ลงในสมการท (5) จะได

)4007.0sin()9911.210709.0()]sin()cos([5 ×−−−= φωφζω dn AA

)4007.0sin()9911.210709.0()]sin()6505.15()0503.0)(8114.151423.0([5 ×−−−×−= φA

3511.0)sin( −=φA

แกสมการท (4) และ (6) จะได 3547.0−=A , rad 4285.1=φ

แทนคาทงหมดลงในสมการ (3) จะได

)4007.09911.21cos(0709.0)4285.16505.15cos(3547.0 )8114.151423.0( +++−= ×− ttex t

)4007.09911.21cos(0709.0)4285.16505.15cos(3547.0 25.2 +++−= − ttex t


A weight attached to a spring of stiffness 525 N/m has a viscous damping device. When the weight

is displaced and released, the period of vibration is 1.80 s, and the ratio of consecutive amplitudes

is 4.2 to 1.0. Determine the amplitude and phase when a force F = 2cos(3t) acts on the system. (William T. Thomson & Marie Dillon Dahleh, Theory of Vibration with Applications 5th edition Prob.3/3)

จากขอมลทโจทยกาหนดใหสามารถสรปไดดงน

N/m 525=k s 80.12 == dT ωπ (เมอปลอยใหสนอยางอสระ มวลจะสนดวยความถธรรมชาตทมตวหนวง dω )

1/2.4)(/)( =+Ttxtx

จากขอมลคาบการสนสะเทอนจะสามารถหา dω ไดดงน

rad/s 4907.380.122 === ππω Td

(4)

(5)

(6)

ANS


เนองจากโจทยกาหนดอตราการลดลงของขนาดการสนสะเทอนเมอปลอยใหสนอยางอสระ ดงนนจงสามารถ

คานวณหาคา Logarithmic decrement และอตราสวนการหนวง และคาทเกยวของอนๆ ไดดงน

( ) 4351.112.4ln ==δ

2227.04351.14

4351.14 2222

=+

=+

=πδπ

δζ

rad/s 5806.32227.01

4907.31 22

=−

=−

=ζ

ωω dn

rad/s 5255806.3mm

kn ===ω kg 40.9494=m

เมอทราบความถธรรมชาต อตราสวนการหนวง จะสามารถหาขนาดของการสนสะเทอนเมอมแรงมากระทา

ไดดงน

m 107.98)35806.32227.02()3(3.5806

9494.40/2)2()(

3-

222222220 ×=

⋅⋅⋅+−=

+−=

ωζωωω nn

fX

39.5135806.3

35806.32227.02arctan2arctan 2222 °=

−⋅⋅⋅

=

−

=ωωωζωθ

n

n

ANS


PART B: Applications

4. การสนสะเทอนจากความไมสมดลจากการหมน (Rotating unbalance)

เครองจกรกลจานวนมากทางานโดยการหมน เชน เครองยนตตนกาลง มอเตอร ป ม กงหน เครอง

ซกผา ลอรถยนต เปนตน ในการหมนนน หากชนสวนมความไมสมดลจะเกดแรงหนศนยกลางขน แรงนจะ

เพมขนอยางมากในชนสวนทหมนดวยความเรวรอบสง และเปนตนเหตสาคญของปญหาการสนสะเทอน

ในหวขอนจะกลาวถงการสรางแบบจาลองเพอจาลองการเกดการสนสะเทอนจากความไมสมดล วธการสราง

สมการการเคลอนท รวมถงการแกสมการตามลาดบ

ปญหาการสนสะเทอนจากความไมสมดล สามารถจาลองไดดวยแบบจาลองดงแสดงในรปท 4-16(ก)

โดยกลองสเหลยมมวล m แทนเครองจกรทเกดความไมสมดล (มวลนรวมมวลทไมสมดลอยดวย) โดยมวลน

ถกรองรบดวยสปรง และตวหนวงการสนสะเทอน เชนเดยวกบระบบการสนสะเทอนโดยทวไป สวนความไม

สมดลจากการหมนสามารถแทนไดดวยมวล m0 ซงหมนรอบแกนกลางของเครองจกร โดยตาแหนงทมมวล

ไมสมดลตดอยเกดทตาแหนงหางจากจดหมน e (วดตามแนวรศม) สวนความเรวรอบการหมนคอ ω

(ก) (ข)

รปท 4-16 แบบจาลองการสนสะเทอนจากความไมสมดล และ FBD [2]

รปท 4-16(ข) แสดง FBD ของระบบในรป 4-16(ก) เนองจากในทนจะพจารณาระบบทเปน 1 dof

ซงมการสนสะเทอนในแนวดงเทานน รป FBD นจงแสดงเฉพาะแรงในแนวดง FBD1 แสดง FBD ของมวล

ทไมสมดล m0 แรง Fr เปนแรงคปฏกรยาทเครองจกรกระทากบสวนทไมสมดล สวน FBD2 แสดงสวนของ

เครองจกรโดยไมรวมมวลทไมสมดล แรงทกระทากบเครองจกรประกอบดวยแรง Fr ซงเปนผลจากสวนทไม

สมดลและทาใหเครองจกรเกดการสนสะเทอน และแรงเนองจากสปรงและตวหนวงการสนสะเทอน พกดท

บอกการเคลอนทของเครองจกรคอ x(t) สวนการเคลอนทของมวลทไมสมดล m0 มผลมาจากทงการเคลอนท

ของเครองจกรและการเคลอนทของสวนทไมสมดล ดงนนการเคลอนทของมวล m0 จงเทากบ )()( txtx r+

จาก FBD1 จะเขยนสมการแสดงการเคลอนทไดดงน

rr Fxxm −=+ )(0 (4-64)

m0

m e

Fr

kx

m0Fr

trω

)()( txtx r+

xc

0mm −

)(tx

FBD 1 FBD 2


สวนจาก FBD2 จะไดสมการดงน

kxxcFxmm r −−=− )( 0 (4-65)

สาหรบคา xr จะสามารถหาไดจากสมการ

tex rr ωsin= (4-66)

จากความสมพนธในสมการท (4-64)-(4-66) จะไดสมการการเคลอนทของการสนสะเทอนจากการหมนทไม

สมดลดงสมการ

temkxxcxm rr ωω sin20=++ (4-67)

หรอสามารถเขยนในรปของความถธรรมชาต และอตราสวนการหนวงไดดงสมการ

tm

emxxx rrnn ωωωζω sin2 202 =++ (4-68)

สมการท (4-67) หรอ (4-68) อยในรปแบบของสมการการสนสะเทอนแบบบงคบโดยทวไป และสามารถใช

วธตางๆ ทไดกลาวมาแลวหาคาตอบได

กาหนดให tj rZetz ω=)( และ )](Im[)( tztx = และเขยนสมการการเคลอนทใหอยในรปเชงซอน จะได

rjrnn

tem

emzzz ωωωζω 2022 =++

เมอแทนคา )(tz ลงในสมการการเคลอนทในรปแบบเชงซอน จะได

+−

=

+−

=rjr

rm

emjm

emZrnrn

r

ζωζωωωω

212 2

20

22

20

เมอ nrr ωω= และใหการตอบสนองเชงความถ

+−

=rjr

rHζ

ω21

)( 2

2 จะได

)sin()sin()()](Im[)( 0 θωθωω +=+== tXtHm

emtztx rr (4-69)

และ 2

1

12tan

rr

−= − ζθ (4-70)

โดย 222

2

)2()1()(

rrrH

ζω

+−=

เมอเขยนกราฟระหวางขนาดการตอบสนองเชงความถ )(ωH กบอตราสวนความถ r จะไดดงรปท

4-17 จากกราฟจะพบวา เมอความเรวรอบการทางานของเครองจกรนอย ขนาดของการสนสะเทอนจาก

ความไมสมดลจะมคานอย (เขาใกล 0) ขนาดของการสนสะเทอนจะมคาเพมมากขนเมอความเรวรอบการ

ทางานเขาใกลกบความถธรรมชาตของระบบ 1== nrr ωω และเมอความเรวรอบการทางานมคา

มากกวาความถธรรมชาตมากๆ คา )(ωH จะมคาเขาใกล 1 การเพมตวหนวงการสนสะเทอนจะทาให

ขนาดการสนสะเทอนลดลง


รปท 4-17 ผลตอบสนองเชงความถของปญหาการสนสะเทอนจากความไมสมดล [3]

emmXH

0

)( =ω


ตวอยางท 4-4 The Schematic diagram of a Francis water turbine is shown in which water flows

from A into the blades B and down into the tail race C. The rotor has a mass of 250 kg and an

unbalance (me) of 0.25 kg-m. the radial clearance between the rotor and the stator is 5 mm. the

turbine operates in the speed range 600 to 3000 rpm. The steel shaft carrying the rotor can be

assumed to be clamped at the bearings. Determine the diameter of the shaft so that the rotor is

always clear of the stator at all the operating speeds of the turbine. Assume damping to be

negligible. (ดดแปลงจาก Singiresu S. Rao, Mechanical Vibrations, 4th edition in SI Units, Ex. 3.5)

)sin(2 tmekxxM ωω=+

จากทโจทยกาหนด สามารถสรางแบบจาลองอยางงาย 1dof เพออธบายการสนสะเทอนไดดงรป

และจะได EOM ดงสมการEOM

ขนาดการสนสะเทอน )1( 2

2

rr

MmeX

−= (ไมมความหนวงในระบบ)

เนองจากขนาดการสนสะเทอนตองมคานอยกวา 5 มม. ดงนน

)1(25025.0105 2

23

max rrX−

=×= −

กาหนดให: E = 207 GPa,

==

6433 4

33

dlE

lEIk π

1180.1,9129.0=r

เพอใหเลอกชวงทออกแบบไดเหมาะสม จงตองพจารณากราฟแสดงความสมพนธระหวางขนาดการ

สนสะเทอน ทความถตางๆ ดงน

Model

k จากการเสยรปของแกนเพลา

M

me

5 mm.


จากกราฟจะเหนวาตองออกแบบใหอยในชวงท 1 ( r < 0.9129) หรอใหอยในชวงท 2 ( r > 1.1180)

การสนสะเทอนของ Francis turbine จงจะไมเกน 5 มม.

ชวงการทางานตามทโจทยกาหนดเปนดงน rad/s 20602600 ππ

=×

ζ = 0

0.9129 1.1180

1 2

525.0

005.0250=

×=

meMX

600 rpm

rad/s 1006023000 ππ

=×3000 rpm

เนองจากชวงความเรวรอบใชงาน (ω) ถกกาหนดไวแลว การออกแบบ Francis turbine ใหทางานได

ในชวงทตองการจงตองทาโดยการออกแบบคาความถธรรมชาตใหไดชวง r ทเหมาะสมตามตองการ

ออกแบบใหอยในชวงท 1 9129.0≤=n

rωω

ในชวงนการใชงานท 3000 rpm จะทาใหเกด r ทใกลเคยงกบคาวกฤตมากกวา ดงนน

9129.0100≤

nωπ

rad/s 1333.3449129.0

100=≥

πωn

หาคาความแขงสปรงไดดงน

rad/s 1333.344250

≥=k

nω N/m 10961.2 7×≥k

หาเสนผานศนยกลางเพลาไดจาก

N/m 10961.2642

)10207(364

3 74

3

94

3 ×≥

×=

=

ddlEk ππ

mm 297≥d


ออกแบบใหอยในชวงท 2 1180.1≥=n

rωω

ในชวงนการใชงานท 600 rpm จะทาใหเกด r ทใกลเคยงกบคาวกฤตมากกวา ดงนน

1180.120≥

nωπ

rad/s 1985.561180.120

=≤πωn

หาคาความแขงสปรงไดดงน

rad/s 1985.56250

≤=k

nω N/m 10895.7 5×≤k

หาเสนผานศนยกลางเพลาไดจาก

N/m 10895.7642

)10207(364

3 54

3

94

3 ×≤

×=

=

ddlEk ππ

mm 120≤d

จากทแสดงวธทาขางตน จะพบวา

1. อาจจะเลอกขนาดเสนผานศนยกลางเพลาใหใหญกวา 297 มม. เพอใหชวงทางานอยในชวงท 1 หรอ

อาจเลอกขนาดเสนผานศนยกลางใหเลกกวา 120 มม. เพอใหชวงทางานอยในชวงท 2 กได

2. จะตองพจารณาถงความแขงแรงของเพลาประกอบดวย ซงการเลอกใหเพลาทมขนาดใหญกวาจะม

ความแขงแรง และทนทานกบความลาไดมากกวา

3. เพลาขนาดใหญจะปลอดภยกวาในขณะเร มเดนเคร อง เนองจากชวงทางานอยในชวงท 1 การ

เดนเคร องจะไมผานชวง resonance ซงมขนาดการสนสะเทอนสง หากชวงทางานอยในชวงท 2 การ

เดนเคร องจะตองผานชวง resonance ซงจะมขนาดการสนสะเทอนสง หากขนาดการสนมากกวา 5

มม. ซงเปนระยะหางระหวางใบกงหนกบโครงดานนอกแลว กอาจจะเกดความเสยหายได หาก

ออกแบบในทางานอยในชวงท 2 การเพมตวหนวงการสนสะเทอนเขาไปในระบบ จงเปนสงจาเปน

ANS


5. การสนสะเทอนจากการสนสะเทอนของพน (Base excitation)

ในหวขอนจะกลาวถงการสนสะเทอนซงเกดขนจากการกระตนจากการสนสะเทอนของพน ตวอยาง

ของปญหาการสนสะเทอนจากการสนของพน เชน 1) เครองจกรกลทสนใจวางอยในบรเวณทพนมการ

สนสะเทอน ซงการสนของพนอาจเกดจากเครองจกรขนาดใหญอนๆ ทวางอยในบรเวณเดยวกน 2) การ

สนสะเทอนของรถเมอแลนอยบนถนนทขรขระ การสนสะเทอนจากพนจะทาใหตวรถสนสะเทอน ดงนน

รถยนตจงตองมการออกแบบระบบรองรบ (Suspension system) เพอลดการสนสะเทอนและเพม

เสถยรภาพในการขบข 3) การสนสะเทอนของอาคารเนองจากแผนดนไหว

การสนสะเทอนจากพนสามารถสรางแบบจาลองไดดงแสดงในรปท 4-18(ก) ในสวนของมวล m ซง

แทนระบบหรอเครองจกรทสนใจ จะเปนเชนเดยวกบแบบจาลองระบบการสนสะเทอนทไดกลาวถงในหวขอ

ทผานๆ มา ซงประกอบดวยมวล สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน สาหรบการสนสะเทอนของฐานจาลอง

ดวยการเคลอนทของฐาน y(t) สวนรปท 4-18(ข) แสดง FBD ของระบบในรปซายมอ สงเกตวาแรงจากสปรง

และแรงจากตวหนวงการสนสะเทอนจะขนอยกบระยะสมพทธ และความเรวสมพทธระหวางมวลกบพน ดง

สมการ )( yxkFs −= และ )( yxcFd −= ตามลาดบ (สมมตใหระยะการเคลอนท x ของมวล m มากกวา

การเคลอนท y ของพน) จาก FBD จะสามารถสรางสมการเพออธบายการเคลอนทของการสนสะเทอนจาก

การสนของพนไดดงน

0)()( =−+−+ yxkyxcxm (4-71)

หากใหการสนของพนเปนแบบฮารโมนกจะได tYty bωcos)( = เมอแทนลงในสมการ (4-71) จะได

tkYtcYkxxcxm bbb ωωω cossin +−=++ (4-72)

(ก) (ข)

รปท 4-18 แบบจาลองการสนสะเทอนจากการสนสะเทอนของพน และ FBD [3]

จะเหนวาสมการ (4-71) เปนสมการการสนสะเทอนแบบบงคบ ซงถกกระตนดวยแรง 2 แรงท

ความถเดยวกน แตมเฟสและขนาดแตกตางกน การแกสมการอาจใชวธตางๆ ดงทไดอธบายมากอนหนา

FBD


โดยพจารณาแรงทละแรง และใชหลกการ Superposition เพอหาคาตอบ ในทนจะใชวธการ Frequency

response แสดงดงตอไปน

กาหนดให tj bZetz ω=)( และ )](Re[)( tztx = และ ]Re[cos)( tjb

bYetYty ωω ==

จากสมการท (4-71) เขยนสมการในรปของความถธรรมชาต และอตราสวนการหนวงจะได

yyxxx nnnn22 22 ωζωωζω +=++

เขยนสมการใหอยในรปเชงซอน จะได tj

ntj

bnnnbb YeYejzzz ωω ωωζωωζω 22 22 +=++ (4-73)

tjnbn

tjnbnb

bb YejZej ωω ωωζωωωζωω )2()2( 222 +=++−

Yrjr

rjYj

jZbnnb

bnn

+−

+=

++−

+=

)2(1)2(1

22

222

2

ζζ

ωζωωωωζωω

เมอ nbr ωω= และใหการตอบสนองเชงความถ

+−

+=

)2(1)2(1)( 2 rjr

jrHζ

ζω จะได

YeHYHZ jθωω )()( =⋅=

และ )()()()( θωωθω ωω +=== tjtjjtj bbb YeHYeeHZetz

เนองจาก )](Re[)( tztx = ดงนน

)cos()cos()()( θωθωω +=+= tXtYHtx bb (4-74)

และ 222

2

)2()1()2(1)(

rrrH

YX

ζζω+−

+== (4-75)

อตราสวนระหวางขนาดการเคลอนทของวตถ X (Output displacement) กบขนาดการเคลอนทของ

พน Y (Input displacement) ดงแสดงในสมการ (4-75) มชอเรยกวา Displacement transmissibility

อตราสวนนแสดงใหเหนวาวตถจะเคลอนทไปเทาไรเมอใหการกระตนโดยการสนของพนทความถตางๆ

รปท 4-19 แสดงความสมพนธของ Displacement transmissibility ทความถตางๆ จะเหนวาถาพน

สนดวยความถตาๆ การสนของมวลจะมขนาดเทากบการสนของพน และเมอความถของการสนสะเทอนของ

พนเพมขนจนเขาใกลความถธรรมชาตแลว ขนาดของการสนสะเทอนจะเพมขนอยางมาก แตเมอความถการ

สนของพนเพมขนอก จนอตราสวน r เกนกวา 2 แลว การสนสะเทอนของมวลทสนใจจะมขนาดลดลง

สาหรบผลของอตราสวนการหนวงจะพบวา เมออตราสวนการหนวงเพมจะทาใหขนาดการสนสะเทอนลดลง

หากการสนเกดทความถตา (อตราสวน r นอยกวา 2 ) และการเพมอตราสวนการหนวงจะสงผลใหขนาด

ลดลงอยางมากหากการสนของพนเกดใกลกบชวงความถธรรมชาต แตหากการสนของพนเกดทความถสง

(อตราสวน r มากกวา 2 ) แลว การเพมอตราสวนการหนวงกลบทาใหขนาดของการสนสะเทอนเพมขน

ความรเกยวกบการสนสะเทอนเนองจากการสนของพนทกลาวถงในหวขอน จะเปนประโยชนอยาง

มากในการออกแบบระบบใหไดรบผลการสนสะเทอนจากการสนของพนนอยๆ ทงในแงของขนาดการ


สนสะเทอน และแรงทสงผาน รายละเอยดของการออกแบบเพอควบคมขนาดการสนสะเทอนน จะกลาวถง

อกครงในบทถดๆ ไป

รปท 4-19 ความสมพนธระหวางคา Displacement transmissibility ทความถตางๆ [2]

Increase ζ

Increase ζ

r


ตวอยางท 4-5 Determine the amplitude of vertical vibration of

the spring-mounted trailer as it travels at a velocity of 25

km/h over the road whose contour may be expressed by a

sinusoid. The mass of the trailer is 500 kg and that of the

wheels alone may be neglected. During loading, each 75 kg

added to the load caused the trailer to sag 3 mm on its

springs. Assume that the wheels are in contact with the road

at all times and neglect damping. At what critical speed vc is

the vibration of the trailer greatest? (J. L. Meriam & L. G.

Kraige, Engineering Mechanics Dynamics 5th edition Prob. 8/71)

[ ]kxF =

จากทโจทยกาหนดระยะยบตว 3 มม. เมอเพมนาหนก 75 kg จะทาใหสามารถคานวณหาคาความ

แขงสปรงไดจาก

m 103×v

ในขอนการกระตนเกดจากการเคลอนทของรถทวงบนถนนลกคลน ซงมคาบของยอดลกคลน 1.2 m

ความถของการกระตนคอเวลาทใชในการเคลอนท 1 รอบ (1 คาบ) ซงจะขนอยกบความเรวของรถ

และสามารถหาไดดง น

)103(81.975 3−×=× k N/m 245250=k

ระยะการเคลอนท ใชเวลา

ระยะ 1 คาบ ใชเวลา

sec 6060×

m .21 sec 4.321.210

60063 vv

=××× sec 32.4

vT =

เมอรถวงดวยความเรว 25 km/h จะได sec 0.17282532.4

==T rad/s 36.361 2==

Tπω

FBD

x

)( xk −δ

ความเปนลกคลนของถนนสามารถเขยนเปนสมการคณตศาสตร ดงน

)361.36sin()1025(sin 30 tt −×== ωδδ

[ ]xmF =Σ xmxk =− )(δ

tkkkxxm ωδδ sin0==+

คาตอบของสมการจะอยในรป นาไปแทนใน EOM จะไดtXx ωsin=

EOM

tktkXtmX ωδωωω sinsinsin 02 =+−


ANS

ดงนน ขนาดการสนสะเทอนในกรณนเทากบ

02 )( δω kXmk =−

mkkX 2

0

ωδ

−=

m 014745.0)500()361.36(245250

)1025)(245250(2

3

20 −=

−×

=−

=−

mkkXωδ

เคร องหมายลบ แสดงถงเฟสทตางกน 180° ระหวางจงหวะการกระตน (ลกคลนบนถนน) กบจงหวะการสนขนลงของตวรถ เนองจากความถการกระต นมากกวาความถธรรมชาตของระบบ

mm 745.14=X

ความเรววกฤต vc จะเกดเมอความถการกระตนเทากบความถธรรมชาต หรอ nωω =

rad/s 1472.22500

245250===

mk

nω

จากความสมพนธระหวางความเรวกบคาบการสนสะเทอน จะไดncv

Tωπ232.4

==

ดงนน km/h 23.152

)1472.22(32.4232.4

===ππ

ωncv ANS


6. อปกรณวดการสนสะเทอน

ในหวขอทผานมา ไดอธบายถงการสนสะเทอนซงถกกระตนจากการสนสะเทอนของพน สาหรบใน

หวขอนจะกลาวถงการใชหลกการทานองเดยวกนในการสรางอปกรณวดการสนสะเทอน ซงอาจวดเปนการ

ขจดในการสนสะเทอน หรออาจเปนการวดความเรงการสนสะเทอน รปท 4-20(ก) แสดงโครงสรางพนฐาน

ของอปกรณวดการสนสะเทอน ซงประกอบดวย มวล สปรง และตวหนวงการสนสะเทอน อยภายในฝาครอบ

ซงตดอยกบชนสวนสนสะเทอนทตองการวดขนาด โดย x แสดงการเคลอนทของมวล m ทอยภายใน สวน y

แสดงถงขนาดการสนสะเทอนทตองการวด ระยะทอานคาไดคอระยะสมพทธระหวางการเคลอนทของมวล x

กบขนาดการสนสะเทอน y เนองจากหลกการทใชเปนเชนเดยวกบการสนสะเทอนจากการสนของพน ดงนน

FBD ทแสดงในรปท 4-20(ข) จงเปนเชนเดยวกบ FBD ในปญหาการสนสะเทอนของพนในหวขอกอนหนา

และสามารถเขยนสมการการเคลอนทไดเชนเดยวกนดงสมการ (4-71) ทยกมาเขยนซาอกครงดงน

0)()( =−+−+ yxkyxcxm (4-71)

(ก) (ข)

รปท 4-20 แผนผงแสดงหลกการอปกรณวดการสนสะเทอน [2]

เนองจากระยะทอานไดเปนระยะสมพทธ กาหนดให )()()( tytxtw −= และแทนลงในสมการท (4-71) และ

จดรปจะไดดงสมการ

ymkwwcwm −=++ (4-76)

กาหนดใหการสนสะเทอนทตองการวดเปนการสนแบบฮารโมนก จะได tYty bωcos)( =

สมการท (4-76) สามารถเขยนใหอยในรปของความถธรรมชาต และอตราสวนการหนวงไดดงน

ywww nn −=++ 22 ωζω (4-76)

การหาคาตอบของสมการท (4-76) ทาไดทานองเดยวกบปญหาการสนสะเทอนจากการสนของพน ดงน

กาหนดให tjZetz ω=)( , )](Re[)( tztw = และ ]Re[cos)( tjYetYty ωω == จะสามารถเขยนสมการ (4-

76) ในรปสมการเชงซอนไดดงน tj

nn Yezzz ωωωζω 222 =++

( ) tjtjnn YeZej ωω ωωωζωω 222 2 =++−


Yrjr

rYj

Znn

+−

=

++−

=ζωωζωω

ω212 2

2

22

2

เมอ nr ωω= และใหการตอบสนองเชงความถ

+−

==)2(1

)()( 2

2

rjrrTH

ζωω จะได

YeTYTZ jθωω )()( =⋅=

และ )()()()( θωωθω ωω +=== tjtjjtj YeTYeeTZetz

เนองจาก )](Re[)( tztw = ดงนน

)cos()cos()()( θωθωω +=+= tWtYTtw (4-77)

และ 222

2

)2()1()(

rrrT

YW

ζω

+−== (4-78)

โดยอตราสวน )(ωTYW = แสดงถงขนาดการสนสะเทอนทอานคาได (การขจดสมพทธ W)

เทยบกบการสนสะเทอนของชนสวนทตองการวดการสนสะเทอน Y และมชอเรยกวา Displacement

transmissibility (ชอเดยวกบหวขอการสนสะเทอนจากการสนของฐาน แตคาไมเทากน เนองจากในหวขอ

กอนหนาพจารณาระยะ Output ทสนใจเปนระยะสมบรณ X แตในหวขอนจะพจารณา Output เปนการขจด

สมพทธ W) หลกการพนฐานทกลาวมานจะนาไปใชกบอปกรณวดการขจดการสนสะเทอน (Seismometer)

และอปกรณวดความเรงการสนสะเทอน (Accelerometer) ดงจะอธบายตอไป

Seismometer

Seismometer เปนเครองมอวดการขจด (displacement) ของการสนสะเทอน และมกใชวดการ

สนสะเทอนจากแผนดนไหว ตวอยางของ Seismometer แสดงดงรปท 4-21 สาหรบหลกการของ

seismometer เปนไปดงทกลาวมาแลวดงแสดงแผนผงในรปท 4-20 ดงนนสมการแสดงความสมพนธของ

ระยะทวดไดกบขนาดการสนสะเทอนของ seismometer จงเปนเชนเดยวกบสมการท (4-78) รปท 4-22

แสดงความสมพนธของ )(ωTYW = ทความถการสนสะเทอนตางๆ จากรปจะเหนวาในชวง 3≥r

อตราสวน YW มคาประมาณ 1 ซงหมายถงคา W ทอานได มคาใกลเคยงกบขนาดการสนสะเทอน Y

ชวงท r มคามากๆ จงเปนชวงทางานของ Seismometer เนองจากตองการให nr ωω= มคามาก การ

ออกแบบ Seismometer จงตองออกแบบใหมความถธรรมชาต mkn =ω ตา ซงทาไดโดยใชมวลทม

ขนาดใหญ หรอออกแบบใหความแขงของสปรงนอย ซงสงผลใหอปกรณมขนาดใหญ ในทางปฏบต

Seismometer มกจะมความถธรรมชาตอยในชวง 1-5 Hz และสามารถวดการขจดของการสนสะเทอนในชวง

10-500 Hz


http://www.eoearth.org/view/

article/164600/

รปท 4-21 Seismometer

รปท 4-22 ความสมพนธของ Displacement transmissibility ทความถตางๆ [4], [2]

Accelerometer

Accelerometer เปนตวเซนเซอรทใชวดความเรงของการสนสะเทอน และใชกนอยางแพรหลายใน

การวดการสนสะเทอนโดยทวไป ตวอยางของ Accelerometer แสดงในรปท 4-23(ก) สวนหลกการของ

Accelerometer อยางงาย แสดงในรปท 4-23(ข) ซงสามารถเทยบเคยงไดกบแผนผงในรปท 4-20 เพยงแต

เปลยนสปรงและตวหนวงในรปท 4-20 เปนวสดประเภท quartz หรอเปน ceramic crystals (ชนสเหลองใน

รปท 4-23) วสดประเภทนจะมสมบต Piezoelectric effect โดยเมอมแรงมากระทา วสดจะเกดความเคน

และเกดประจบวกและลบสะสมทผวดานตรงขามกนเกดเปนความตางศกยไฟฟาขน ความตางศกยทเกดขน

จะเปนสดสวนโดยตรงกบแรง (หรอความเรง) ทกระทา Accelerometer ทใชหลกการเชนนจะถกเรยกวา

Piezoelectric accelerometer

YWT =)(ω

r

Increasing ζ

Range for seismometer

http://www.eoearth.org/view/article/164600/�



http://www.pcb.com/ http://www.pcb.com/

(ก) (ข)

รปท 4-23 Accelerometer และหลกการทางาน [5]

เนองจาก Accelerometer ใชหลกการซงแสดงดงรปท 4-20 ดงนนจงสามารถใชสมการท (4-78)

เพอมาอธบายได เพยงแตในสมการท (4-78) เปนความสมพนธของการขจด จงตองปรบรปสมการใหอยใน

รปความเรงเสยกอน จากสมการ

222

2

)2()1()(

rrrT

YW

ζω

+−== (4-78)

จะได 222

2

222

2

)2()1()2()1(

)(

rr

A

rrYW nyn

ζ

ω

ζ

ωω

+−=

+−=

หรอ 222

2

)2()1( rr

AW y

nζ

ω+−

=⋅ (4-79)

รปท 4-24 แสดงความสมพนธของเทอม 222 )2()1(

1rr ζ+−

ทคา r ตางๆ หรออาจจะพจารณา

วาเปนทความถตางๆ กได จากรปจะเหนวาเมอคา r นอยๆ เทอม 222 )2()1(

1rr ζ+−

จะมคาเขาใกล

1 ทาใหจากสมการท (4-79) สามารถประมาณไดดงสมการ yn AW =⋅ 2ω ซงจะเหนวาคาทวดไดจะแสดงถง

ความเรงของวตถทตองการนนเอง จากรปท 4-24 จะเหนวาคาอตราสวนความหนวงจะมผลตอชวงท

Accelerometer จะทางานไดเปนอยางมาก หากคาอตราสวนความหนวงมคาอยในชวง 0.65-0.7 จะทาให

ชวงททางานไดของ Accelerometer กวางทสด โดยมคาตงแต 6.00 ≤≤ r สวนคาในแกน y จะอยในชวง

0.96-1.04 เนองจากตองการให nr ωω= มคานอย Accelerometer จงถกออกแบบใหมความถธรรมชาต

สง ซงอาจทาไดโดยใชมวลขนาดเลกและคาความแขงสปรงมาก และเนองจากขอดท Accelerometer ม

ขนาดเลกและมกมความไว (sensitivity) สง Accelerometer จงเปนทนยมใชในการวดการสนสะเทอน

http://www.pcb.com/Accelerometers/Sensing_Geometries.aspx�



โดยทวไป ในทางปฏบต Accelerometer มกมความถธรรมชาตประมาณ 30-50 kHz และนาหนกนอยกวา

20 gm. และสามารถใชไดในชวง 0-10 kHz

รปท 4-24 การตอบสนองเชงความถของ Accelerometer [2]

Increasing ζ

r


ตวอยางท 4-6 An accelerometer has a suspended mass of 0.01 kg with a damped natural

frequency of vibration of 150 Hz. When mounted on an engine undergoing an acceleration of 1 g

at an operating speed of 6000 rpm, the acceleration is recorded as 9.5 m/s2 by the instrument.

Find the damping constant and the spring stiffness of the accelerometer. (Singiresu S. Rao,

Mechanical Vibrations, 4th edition in SI Units, Ex. 10.3)

จากอตราสวนความเรงทวดได กบคาจรง จะได

9684.081.95.9

)2()1(1

valueTrue valueMeasured

222

2

==+−

=⋅

=rrA

W

y

n

ζω

0663.1)2()1( 222 =+− rr ζ

ความเรวรอบการทางาน

(2)

rad/s 32.6286026000 =×=πω

Damped natural frequency rad/s 48.942)150(21 2 ==−= πζωω nd

ดงนนจะได 6667.048.94232.628

11 22==

−=

−=

ζζωω

ωω r

nd

แกสมการท (2) จะได

216667.0 ζ−=r แทนลงในสมการ (1) และจดรปจะได

07576.02714.25801.1 24 =+− ζζ

(1)

9115.0,5260.02 =ζ 9547.0,7253.0=ζ

เนองจากชวงใชงานของ Accelerometer จะมคามากกวา เมอ ζ มคาประมาณ 0.7 ดงนนเลอกคา

ζ = 0.7253 มาคานวณ

Natural frequency rad/s 1368.88897253.0148.942

1 22=

−=

−=

ζωω d

n

คาความแขงสปรง N/m 5628.18738)8889.1368(01.0 22 === nmk ω

คาสมประสทธ ความหนวง s/mN 8571.19)7253.0)(8889.1368)(01.0(22 ⋅=== ζωnmc ANS


7. สรป

ในบทนกลาวถงการสนสะเทอนทมการกระตนภายนอกบงคบใหเกดการสนสะเทอน ใน Part A ซง

เปนสวนทเกยวกบทฤษฎจะเรมโดยพจารณาจากระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน และระบบทมตวหนวง

การสนสะเทอนตามลาดบ ในระบบทมการกระตนภายนอก ลกษณะการสนสะเทอนจะประกอบดวยผลการ

สนสะเทอนชวขณะ และผลการสนสะเทอนในสภาวะคงตว สาหรบผลการสนสะเทอนชวขณะจะขนอยกบ

พารามเตอรของระบบการสนสะเทอนอนไดแก มวล คาความแขงสปรง และคาสมประสทธความหนวง โดย

การสนสะเทอนในสวนนจะมขนาดลดลงและหายไปเมอเวลาผานไปนานพอ สวนผลการสนสะเทอนใน

สภาวะคงตวจะขนอยกบขนาดและความถของการกระตน โดยการสนสะเทอนจะเกดทความถเดยวกบ

ความถการกระตนเสมอ และการสนสะเทอนนจะคงอยตลอดตราบทยงมแรงกระตนกระทาอย และเมอมการ

กระตนทความถทใกลกบความถธรรมชาตของระบบ ระบบจะเกดการสนสะเทอนอยางรนแรงทเรยกวาการ

สนพอง สาหรบมมเฟสของการสนสะเทอนซงแสดงถงความแตกตางระหวางจงหวะของการสนสะเทอนและ

แรงกระตนนน จะมเปลยนแปลงจาก 0° ซงหมายถงแรงกระตนและการสนเกดในจงหวะและทศทางเดยวกน

ไปถง 180° ซงแสดงถงทศทางทตรงกนขามกนของแรงกระตนกบการสนสะเทอน เมอความถของการ

กระตนมคามากขน สาหรบใน Part B จะแสดงถงตวอยางการใชความรเกยวกบการสนสะเทอนแบบบงคบ

ในปญหาทางวศวกรรม ไดแก การสนสะเทอนจากความไมสมดลของการหมน การสนสะเทอนซงเกดจาก

การสนของพน และการประยกตใชในอปกรณวดการสนสะเทอน อนไดแก Seismometer ซงเปนอปกรณวด

การขจด และ Accelerometer ซงเปนอปกรณวดความเรงของการสนสะเทอน

References





15. http://www.eoearth.org/view/article/164600/

16. http://www.pcb.com/





1. A small 2 kg sphere B is attached to the bar AB of

negligible mass which is supported at A by a pin and

bracket and connected at C to a moving support D by

means of a spring of constant k = 3.6 kN/m. Knowing that

support D undergoes a vertical displacement δ =

δmsin(ωft), where δm = 3 mm and ωf = 15 rad/s,

determine (a) the magnitude of the maximum angular

velocity of bar AB, (b) the magnitude of the maximum

acceleration of sphere B. [F.P.Beer, E.R.Johnston Jr,

W.E.Clausen: 19/108]

ANS (a) 0.45 rad/s, (b) 2.7 m/s2

2. The block of mass m = 45 kg is suspended by two

springs each of stiffness k = 3 kN/m and is acted upon by

the force F = 350cos(15t) N where t is the time in

seconds. Determine the amplitude X of the steady-state

motion if the viscous damping coefficient c is (a) 0 and (b)

900 Ns/m. [J. L. Meriam & L. G. Kraige 8/52]

ANS (a) X = -0.0848 m, (b) X = 0.0248 m

3. A spring-mass is excited by a force F0cos(wt). At resonance, the amplitude is measured to be

0.58 cm. At 0.8 resonant frequency, the amplitude is measured to be 0.46 cm. Determine the

damping factor z of the system. [William T. Thomson & Marie Dillon Dahleh, Theory of Vibration with

Applications 5th edition 3/5]

ANS 1847.0=ζ


4. An electric motor has an eccentric mass of 1 kg (10%

of the total mass) and is set on two identical springs (k =

3.2 N/mm). The motor runs at 1750 rpm, and the mass

eccentricity is 100 mm from the center. The springs are

mounted 250 mm apart with the motor shaft in the center.

Neglect damping and determine the amplitude of vertical

vibration. [Inman, 2.45]

ANS cm 02.1≈X

5. The accelerometer has a natural frequency of 120 kHz and a damping ratio of 0.2. Calculate the

error in measurement of sinusoidal vibration at 60 kHz. [Inman, 2.53]

ANS error 28.83%


บทท 5

การสนสะเทอนแบบบงคบจากแรงรปแบบตางๆ

1. บทนา

ในบทท 4 ไดกลาวถงการสนสะเทอนแบบบงคบ ซงเกดจากพลงงานภายนอกแบบฮารโมนก ซง

เปนรปแบบอยางงาย และเปนพนฐานของการพจารณาการสนสะเทอนโดยพลงงานภายนอกรปแบบอนๆ

ในบทนจะไดกลาวถงวธการพจารณาการสนสะเทอนแบบบงคบ ซงเกดจากพลงงานภายนอกรปแบบอนๆ

โดยจะแบงเปน 3 สวนใหญๆ เรมจาก Part A ซงกลาวถงการสนสะเทอนจากพลงงานเปนคาบรปแบบใดๆ

หลงจากนน ใน Part B จงจะกลาวถงการสนแบบบงคบจากการกระแทก หรอพลซ (Pulse) ซงผลเฉลยทได

จากการกระแทกน ยงเปนพนฐานของการพจารณาการสนเนองจากพลงงานกระตนรปแบบใดๆ ซงไมม

ความสมพนธเปนคาบ ใน Part C ซงจะกลาวถงเปนลาดบสดทายของบทน

PART A การสนสะเทอนจากพลงงานเปนคาบรปแบบใดๆ

2. ลกษณะการกระตนและแนวคดในการวเคราะหปญหา

เครองจกรกลแทบทกชนด ไมวาจะเปนเครองยนต มอเตอร พดลม ป ม หรอชนสวนกลในเครองจกร

เชน เฟอง โซ สายพาน ตลบลกปน จะมการทางานเปนคาบ ดงนนพลงงานกระตนททาใหเกดการ

สนสะเทอนในเครองจกรกลหรอชนสวนเหลานจงมลกษณะเปนคาบดวย ตวอยางการกระตนทเปนคาบแสดง

ดงรปท 5-1

รปท 5-1 ตวอยางการกระตนทมลกษณะเปนคาบ [1]


หากกาหนดใหคาบของการกระตนเหลานมคาเทากบ T จะสามารถเขยนความสมพนธของฟงกชน

ของการกระตนไดดงสมการ

)()( TtFtF += (5-1)

เนองจากฟงกชนทเปนคาบรปแบบใดๆ กตาม จะสามารถเขยนใหอยในรปอนกรมอนนตของผลรวม

ของฟงกชนไซน และโคไซน ทมความถเปนจานวนเทาของความถทมากระตน (1/T) ไดตามหลกการของ

อนกรมฟเรยร (Furier series) ดงแสดงในแผนภาพรปท 5-2 และสมการ

++++

++++=

)3sin()2sin()sin(

)3cos()2cos()cos(2

)(

030201

0302010

tbtbtb

tatataa

tF

ωωω

ωωω

หรอ ∑∞

=

++=1

000 )sincos(

2)(

nnn tnbtna

atF ωω (5-2)

โดย Tπω 2

0 = คอความถการกระตนของฟงกชนคาบรปแบบใดๆ

รปท 5-2 ความสมพนธของฟงกชนทเปนคาบกบผลรวมฟงกชนไซนซอยดตามการแปลงอนกรมฟเรยร [2]

คาคงท 0a ในสมการ (5-2) สามารถหาไดโดยคณคา dt และอนทเกรตทงสองขางของสมการ (5-2)

ตงแต 0 ถงคาบ T เทอมทมพจนของไซน และโคไซน เมออนทเกรตครบหนงคาบจะมคาเปนศนยทงหมด

เหลออยแตเพยงพจนของ 0a โดยจะหาคา 0a ไดจากสมการ

∫=T

dttFT

a0

0 )(2

คาคงท na และ nb กสามารถหาไดทานองเดยวกบ 0a โดยการคณคา dttm )cos( 0ω หรอ

dttm )sin( 0ω ในสมการ (5-2) และอนทเกรตทงสองขางของสมการตงแต 0 ถง T การอนทเกรตเทอมทม

Periodic excitationFourier series

Sum of harmonic excitationsF(t)


พจน dttma )cos( 00 ω หรอ dttma )sin( 00 ω และเทอม dttmtnan )sin()cos( 00 ωω หรอ

dttmtnbn )cos()sin( 00 ωω ครบหนงคาบจะไดคาเปนศนยทงหมด แตสาหรบการอนทเกรตเทอม

dttmtnan )cos()cos( 00 ωω หรอ dttmtnbn )sin()sin( 00 ωω แลว คาทไดจะเทากบศนยหากคา m ไม

เทากบ n แตการอนทเกรตจะมคาเมอ m เทากบ n ดงนนดวยวธนจะเหลอเพยงเทอมทมคา m เทากบ n

ซงเปนสมประสทธของ na และ nb เทานน เมอจดรปสมการจะทาใหหาคา na และ nb ไดดงสมการ

∫=T

n dttntFT

a0

0 )cos()(2 ω และ ∫=T

n dttntFT

b0

0 )sin()(2 ω

จากพนฐานของอนกรมฟเรยรขางตน ปญหาการสนสะเทอนจากการกระตนทเปนคาบซงมสมการ

การเคลอนท

)(tFkxxcxm =++ (5-3)

จงสามารถเขยนแทนไดดวยสมการ

∑∞

=

++=++1

000 )sincos(

2 nnn tnbtna

akxxcxm ωω (5-4)

เนองจากในสมการท (5-4) แรงกระตนดานขวามอของสมการแตละเทอม เปนคาคงท หรออยในรป

ของฮารโมนคฟงกชน ซงการสนสะเทอนโดยแรงกระตนแตละเทอมสามารถหาผลเฉลยไดทงหมด หากให

x1, x2, x3, … เปนผลเฉลยการสนสะเทอนเนองจากแรงกระตนทางดานขวาแตละเทอม จะสามารถหาผล

เฉลยการสนสะเทอนเนองจากฟงกชนทเปนคาบ F(t) ในสมการท (5-3) ไดดวยหลกการ superposition โดย

หากให x(t) เปนผลเฉลยของสมการ (5-3) หรอ (5-4) จะไดวา

+++= 321)( xxxtx (5-5)

Note

1. การจะใชหลกการ superposition ได สมการการเคลอนทตองเปนสมการเชงเสน (Linear equation)

หากไมใชสมการเชงเสน ตองประมาณใหเปนสมการเชงเสนเสยกอน

2. เนองจากฟงกชน F(t) จะเขยนใหอยในรปอนกรมอนนตไดตามหลกการของอนกรมฟเรยร ดงนน

ผลเฉลยในสมการ (5-5) จะถกตอง กตอเมอรวมคา x ตางๆ ไปจนถงพจนทอนนต อยางไรกตามใน

การคานวณจรงๆ ไมสามารถทาได จงอาจจะประมาณคาการสนสะเทอน x โดยใชพจนแรกๆ ของ

xn ได ตามสมการ

nxxxxtx ++++≈ 321)(


3. โดเมนความถและการหาผลเฉลย

หลกการของการเขยนฟงกชนทเปนคาบใหอยในรปของผลรวมของอนกรมฟเรยร ทาใหสามารถ

เปลยนรปแบบการแสดงผลของฟงกชนจากโดเมนเวลาใหอยในรปของโดเมนความถได ดงแสดงในรปท 5-3

ดานลางซายมอในรปท 5-3 แสดงฟงกชนคลนรปสเหลยมโดยแกนนอนเปนแกนเวลา เรยกการแสดงฟงกชน

โดยแกนนอนเปนแกนเวลานวา การแสดงผลในโดเมนเวลา สาหรบฟงกชนคลนรปสเหลยมนสามารถเขยน

ในรปผลรวมของฟงกชนไซนและโคไซน ทความถเปนจานวนเทาของความถฟงกชนคลนรปสเหลยม 0ω

ตามหลกการของอนกรมฟเรยรได และผลรวมของฟงกชนไซนและโคไซนทความถใดๆ นน ยงสามารถ

เขยนใหอยในรปของฟงกชนโคไซน (หรอไซน) ทมมเฟสตางๆ กนไดดงสมการ

)cos()sin()cos( 000 nnnn tnCtnbtna φωωω −=+

โดย 22nnn baC += และ )arctan( nnn ab=φ

หากนาคา nC และมมเฟส nφ ทความถตางๆ ในอนกรมฟเรยรมาเขยนกราฟโดยใหแกนนอนแสดง

ความถ ดงแสดงทางดานขวาของรปท 5-3 แลว จะทาใหสามารถแสดงขอมลของกราฟรปสเหลยมไดในอก

รปแบบหนง การแสดงขอมลในรปแบบทแกนนอนแสดงความถนนเรยกวา การแสดงผลในโดเมนความถ ซง

สามารถแปลความหมายไดวา กราฟรปสเหลยมในโดเมนเวลา ประกอบขนจากฟงกชนโคไซนทมขนาด C1

และมมเฟส 1φ รวมกบฟงกชนโคไซนทมขนาด C2 และมมเฟส 2φ และรวมกบฟงกชนโคไซนทมขนาด C

และมมเฟส φ ไปเรอยๆ ดงแสดงในรป

รปท 5-3 การแสดงคาของฟงกชนในรปโดเมนเวลาและโดเมนความถ [2]

Time domain Frequency domain

Amplitude and phase must be collected


Note

1. เราอาจแสดงขอมลของฟงกชนทเปนคาบในรปของโดเมนเวลา หรอโดเมนความถซงประกอบดวย

ขอมลทงขนาดและมมเฟสกได โดยการแสดงทงในโดเมนเวลาและโดเมนความถจะใหขอมล

เชนเดยวกน

2. การแสดงผลของขอมลในโดเมนความถ อาจเรยกชออกอยางวา สเปกตรมของขอมลนน

การหาผลเฉลยของการสนสะเทอนโดยการกระตนทเปนคาบ สามารถทาไดโดยใหหลกการของการ

ตอบสนองเชงความถ (Frequency response) ดงทไดอธบายมาในบทท 4 และแสดงสรปในรปท 5-4 (a)

จากรปจะเหนวาหากทราบการตอบสนองเชงความถ Η(jω) เมอกาหนดการกระตนทางดานซายมอ จะ

สามารถคานวณหาคาผลเฉลยซงแสดงทางดานขวามอไดโดยงาย ในกรณของการกระตนตามรปแบบของ

สมการท (5-4) จะสามารถหาผลเฉลยไดดงแสดงในรปท 5-4 (b)

(a)

(b)

รปท 5-4 ผลตอบสนองเชงความถ

รปท 5-5 แสดงตวอยางของการหาผลเฉลยของระบบเชงเสนทถกกระตนดวยแรงทมลกษณะเปน

คลนรปสเหลยม โดยแรงกระตนนสามารถเขยนใหอยในโดเมนความถ โดยแยกเปนสเปกตรมของขนาดแรง

และสเปกตรมของมมเฟสของแรง สาหรบการตอบสนองเชงความถ Η(jω) สามารถแยกออกเปนการ

ตอบสนองเชงความถของขนาด และของมมเฟสเชนกน โดยผลเฉลยในโดเมนความถของขนาดการ

สนสะเทอน x(ω) สามารถหาไดโดยคณขนาดของแรงกระตนกบการตอบสนองเชงความถของขนาด ท

ความถเดยวกบความถแรงกระตนนน สวนมมเฟสของผลเฉลยสามารถหาไดทานองเดยวกน โดยบวกมม

เฟสของแรงกระตนกบผลการตอบสนองเชงความถของมมเฟสทความถนน ขอมลของขนาดและเฟสของการ

tjeF ω0

)(0 )( θ+ωω tjejHF

)cos(0 tF ω )cos()(0 θ+ωω tjHF

)sin(0 tF ω )sin()(0 θ+ωω tjHF

)( ωjH

)( ωjH

20a

)cos( 0tnan ω

)sin( 0tnbn ω

)(tF

)0()2( 0 Ha

)cos()( 00 nn tnjnHa θωω +

)sin()( 00 nn tnjnHb θωω +

)(txpFourier series

Superposition

21 0 34 33 I n t ro M ech V i b r at บทท 5 | 1 0 0

สนสะเทอนในโดเมนความถสามารถเปลยนใหอยในรปของโดเมนเวลา ดงแสดงดวยกราฟของ xp(t) ทาง

ดานบนขวาของรป

รปท 5-5 การหาผลเฉลยของระบบทถกระตนดวยแรงทเปนคาบโดยวธการตอบสนองเชงความถ [2]


A square wave force F(t) is applied to a 1-kg mass with k = 4 N/m. Determine steady-state

response of the mass

สมการการเคลอนท (EOM) ของระบบในรป สามารถเขยนไดดงน : )(tFkxxm =+

เมอแทนคามวลและคาความแขงเกรงของสปรง จะได : )(4 tFxx =+

จากสมการจะไดคาความถธรรมชาต 2/ == mknω rad/s

H

km

F(t)

x

2π 4π

F(t)

t

A

-A


สาหรบแรงกระตนสามารถเขยนในรปฟงกชนไดเปน

2/0;)( TtAtF <≤=

และ TtTAtF <≤−= 2/;)(

จากรปจะได π2=T และ 1222

0 ===πππω

T rad/s

เมอสามารถเขยน )(tF ในรปฟงกชนไดแลว จะสามารถปรบใหอยในรปของอนกรมฟเรยรไดดงน

∑∞

=

++=1

000 )sincos(

2)(

nnn tnbtna

atF ωω

สามารถหาคาคงทตางๆ ไดจาก

022)(2 2

000 =

−+== ∫∫∫

π

π

π

πAdtAdtdttF

Ta

T

0)cos()cos(22)cos()(2 2

000 =

−+== ∫∫∫

π

π

π

πω dtntAdtntAdttntF

Ta

T

n

)cos1(2)sin()sin(22)sin()(2 2

000 π

ππω

π

π

π

nn

AdtntAdtntAdttntFT

bT

n −=

−+== ∫∫∫

ดงนนจะได

+++= tttAtF 5sin

513sin

31sin4)(

π

แทนคาฟงกชน )(tF ลงใน EOM จะได

+++=+ tttAxx 5sin

513sin

31sin44

π

Review

การหาผลเฉลยการสนสะเทอนดวยวธการ Frequency response

EOM: tFkxxm ωsin0=+

The steady-state response:

โดย:

)sin()()( 0 θωω +⋅= tFHtx p

22

1)(ωω

ω−

=n

H

nωωθ <= when,0

nωωπθ >−= when,


จากผลเฉลยทแสดงขางตน จะสามารถหาคาตอบของสมการ EOM ไดดงน

++++++= )5sin()5(

51)3sin()3(

31)sin()1(4

531 θθθπ

tHtHtHAx p

โดยคา )(ωH และ nθ หาไดจากตารางดานลาง

ANS


PART B การสนสะเทอนจากการกระแทกหรอพลซ

4. ฟงกชนอมพลซ (Impulse function)

การกระแทกเปนการใหแรงในชวงเวลาสนๆ เชนการเคาะของคอนทระบบการสนสะเทอนระบบหนง

ดงแสดงตวอยางในรปท 5-6(a) หากเขยนกราฟของแรงกระทาระหวางแรงกบเวลา จะไดกราฟดงแสดงใน

รปท 5-6(b) โดยชวงเวลาทแรงกระทาจะเปนเพยงชวงสนๆ สวนขนาดแรงทกระทามกจะมคามาก ในทาง

คณตศาสตรไดจาลองแรงเนองจากการกระแทกในรป 5-6(b) ใหเปนดงรปท 5-6(c) โดยแรงกระแทกจะ

กระทาทเวลาตงแต ετ − จนถงเวลา ετ + โดยขนาดของแรงกระทาในชวงเวลานมคาคงทเทากบ ε2F

(Daniel J. Inman, Engineering Vibration, 2nd edition)

(a) (b) (c)

รปท 5-6 การกระแทกและการจาลองการกระแทกทางคณตศาสตร [2], [1]

จากรปท 5-6(c) จะเขยนความสมพนธของฟงกชนแรง F(t) ไดดงน

0 ετ −≤t

=)(tF ε2

F ετετ +<<− t (5-6)

0 ετ +≥t

โดย ε เปนคาบวกทมขนาดเลก จากนยามของ F(t) ขางตน สามารถนา F(t) มาอนทเกรตเพอหาการดล

หรออมพลซ (Impulse, I) ของแรงไดดงสมการ

∫+

−

=ετ

ετ

ε dttFI )()(

อยางไรกตามเนองจาก F(t) ในชวงอนๆ มคาเปนศนยทงหมด ดงนนจงสามารถเขยนสมการการอนทเกรต

ใหครอบคลมชวงทกวางขนไดดงน


∫+∞

∞−

= dttFI )()(ε (5-7)

ผลของการอนทเกรตสมการ (5-7) จะไดพนทใตกราฟในรปท 5-6(c) และสามารถเขยนเปนสมการไดดงน

FFdttFI ˆ22

ˆ)()( =⋅== ∫

+∞

∞−

εε

ε (5-8)

เมอชวงเวลาทแรงกระทาสนมากๆ ( 0→ε ) อาจจะนยามฟงกชนอมพลซ F(t) ไดตามสมการ

0)( =−τtF เมอ τ≠t (5-9)

และ FdttF ˆ)( =−∫+∞

∞−

τ (5-10)

ในกรณท 1ˆ =F ฟงกชนอมพลซ F(t) จะถกเรยกวา ฟงกชนอมพลซหนงหนวย (Unit implulse function)

หรอ Dirac delta function ซงใชสญลกษณ )(tδ และมหนวยเปน N ไดตามสมการ

0)( =−τδ t เมอ τ≠t (5-11)

และ 1)( =−∫+∞

∞−

dtt τδ (5-12)

5. การสนสะเทอนจากการกระตนโดยอมพลซ

กอนทจะพจารณาถงลกษณะการสนสะเทอนจากการดล หรออมพลซ ในเบองตนจะอธบายกอนวา

การกระแทกนนทาใหวตถเกดการเปลยนแปลงการเคลอนทไดอยางไร เมอพจารณาถงสมการการเคลอนท

ของนวตน ในกรณทวตถเคลอนทเปนเสนตรง จาก maF = จะได

∫∫ = dtmaFdt )(

หรอ vmvvmI ∆=−= )( 12 (5-13)

จะเหนวาการดลทาใหความเรวของการเคลอนทเปลยนแปลงไป รปท 5-7 แสดงวตถทในตอนแรก

หยดนง เมอไดรบการกระแทกทเวลา t = 0 จะมการเปลยนแปลงโมเมนตม โดยความเรวเปลยนไปเปน 0v

และจะไดวา 00 )0( mvvmI =−= หรอ mF

mIv

ˆ0 == โดยการขจดไมมการเปลยนแปลงในชวงเวลาน

รปท 5-7 ผลของการกระแทก (อมพลซ) ตอลกษณะการเคลอนทของวตถ [2]

impact


สาหรบในระบบการสนสะเทอน ดงเชนในตวอยางรปท 5-6(a) นน หากสมมตใหวตถไดรบแรงททา

ใหเกดอมพลซหนงหนวย ทเวลา t = 0 จะสามารถเขยนสมการการเคลอนทไดดงน

)(tkxxcxm δ=++ (5-14)

เนองจากวตถหยดเรมเคลอนทจากหยดนง จงมเงอนไขคาเรมตนดงน

0)0(,0)0(,0 === xxt (5-15)

อยางไรกตามเมอพจารณาเวลาทผานไปเพยงเลกนอย ( += 0t ) หลงจากทแรงจากอมพลซหนง

หนวยกระทาแลว ระบบนจะไมมแรงกระทาอกตอไป โดยผลของแรงทาใหวตถเรมเคลอนทโดยมความเรว

เทากบ mm

FmIv 1ˆ

0 === แตยงถอวายงไมมการเปลยนแปลงการขจด ในกรณนจะสามารถเขยนสมการ

การเคลอนทและเงอนไขคาเรมตนไดดงน

0=++ kxxcxm (5-16)

mxxt 1)0(,0)0(,0 === + (5-17)

จากการพจารณาขางตนจงสรปไดวา การสนสะเทอนจากแรงททาใหเกดอมพลซหนงหนวย มคา

เทากบการสนสะเทอนอยางอสระ ซงมความเรวเรมตนเทากบ mx 1)0( = ดงนนการหาผลเฉลยทแสดงถง

ลกษณะการสนสะเทอน จงสามารถทาไดดวยวธการเชนเดยวกบการหาผลเฉลยของการสนสะเทอนอยาง

อสระ

จากสมการท (5-16) และ (5-17) ในกรณทระบบเปนแบบ Underdamp จะสามารถหาผลเฉลยของ

การสนสะเทอนอยางอสระไดดงสมการ

tem

txth dt

d

n ωω

ζω sin1)()( −== (5-18)

กราฟแสดงการสนตามสมการท (5-18) แสดงในรปท 5-8 ซงจะเหนไดวาเปนเชนเดยวกบลกษณะการ

สนสะเทอนแบบอสระ ทมเง อนไขเรมตนเปนความเรวเพยงอยางเดยวโดยไมมการขจด

รปท 5-8 การสนสะเทอนเนองจากอมพลซทเวลา t = 0 [1]


หากการกระแทกเกดทเวลา τ=t การหาผลเฉลยกทาไดทานองเดยวกน โดยกอนการกระแทก

วตถจะไมมการสนสะเทอน สวนหลงการกระแทกวตถจะมการสนเชนเดยวกบทแสดงในสมการ (5-18)

เพยงแตคา t ในสมการจะเปลยนไปเปน τ−t แทน โดยจะสรปเปนสมการไดดงน

0)( =tx เมอ τ≤< t0 (5-19)

)(sin1)()( )( τωω

τ τζω −=−= −− tem

thtx dt

d

n เมอ τ>t (5-20)

เรยก )(th และ )( τ−th ฟงกชนการตอบสนองตออมพลซ (Impulse response function)

เมอระบบถกกระทาดวยแรงททาใหเกดอมพลซขนาดใดๆ กยงสามารถหาการสนสะเทอนของระบบ

ไดโดยใชวธการเดยวกน โดยในกรณนสมการการเคลอนทคอ

)(ˆ tFkxxcxm δ=++ (5-21)

โดย F คอขนาดของอมพลซ สวนเงอนไขเรมตนในกรณนคอ 0)0(,0)0(,0 === xxt

สมการท (5-21) และเงอนไขเรมตนขางตน สามารถแปลงใหเปนสมการการสนสะเทอนอยางอสระ และ

เงอนไขเรมตนทใชคานวณทานองเดยวกบสมการ (5-16) และ (5-17) ไดดงน

0=++ kxxcxm (5-22)

mFxxt ˆ)0(,0)0(,0 === + (5-23)

สาหรบการสนสะเทอนตามสมการ (5-22) สามารถแสดงไดในรปเดยวกบสมการ (5-18) โดยเปลยนขนาด

จากอมพลซหนงหนวยเปน F ดงน

)(ˆsinˆ

)( thFtem

Ftx dt

d

n ⋅== − ωω

ζω (5-24)

เมอการกระแทกเกดทเวลา τ=t ใดๆ กสามารถหาผลเฉลยไดดงสมการ

0)( =tx เมอ τ≤< t0 (5-25)

)(sinˆ

)(ˆ)( )( τωω

τ τζω −=−⋅= −− tem

FthFtx dt

d

n เมอ τ>t (5-26)



ในระบบมวล-สปรง-ตวหนวง อยางงาย กาหนดให m = 1 kg, c = 0.5 kg/s และ k = 4 N/m

ระบบนถกกระทาดวยแรงกระแทก )(1.0)(2.0)( τδδ −+= tttF

จงหาผลตอบสนองของระบบตอแรงกระแทกน (Daniel J. Inman, Engineering Vibration, Second edition, Ex.3.1.1)

จากโจทยจะได

ความถธรรมชาต 214 ==nω rad/s

อตราสวนการหนวง 125.0)212(5.0)2( =××== nmc ωζ

เนองจากระบบนเปนระบบเชงเสน จงสามารถใชหลกการของ superposition ได

ในทนจะพจารณาผลของแรงกระแทกทละตว แลวจงนามารวมกนในภายหลง

สาหรบแรง )(2.0)( ttF δ= จะไดผลการสนสะเทอนตามสมการ (5-26) ดงน

)125.012sin()125.012)(1(

2.0)( 2)2)(125.0(

21 tetx t ⋅−−

= −

)984.1sin(1008.0)( 25.01 tetx t−=

สาหรบแรง )(1.0)( τδ −= ttF จะไดผลการสนสะเทอนตามสมการ (5-26) ดงน

))(125.012sin()125.012)(1(

1.0)( 2))(2)(125.0(

22 ττ −⋅−−

= −− tetx t

))(984.1sin(0504.0)( )(25.02 ττ −= −− tetx t

เมอรวมผลของการสนสะเทอนทงสองสวนเขาดวยกน จะไดสมการทแสดงถงผลเฉลยขอการสนสะเทอนดงน

)()()( 21 txtxtx +=

= )984.1sin(1008.0 25.0 te t− τ<< t0 ))(984.1sin(0504.0)984.1sin(1008.0 )(25.025.0 ττ −+ −−− tete tt τ≥t

กาหนดให Heaviside step function มนยามดงตอไปน

)( τ−Φ t or )( τ−tH = 0 เมอ τ<< t0

= 1 เมอ τ≥t

ดงนนจะสามารถเขยนการสนสะเทอนไดดงน

[ ] )())(984.1sin(0504.0)984.1sin(1008.0)( )(25.025.0 τττ −Φ⋅−+= −−− ttetetx tt ANS


หากให 5.0=τ จะสามารถเขยนกราฟของแรงกระแทกไดดงรปทางดานซายมอ สวนกราฟการสนสะเทอน

แสดงทางดานขวามอ โดยเสนทบแสดงการสนสะเทอน )(1 tx จากแรงทเวลา t = 0 s เพยงแรงเดยว เมอถง

เวลาท t = 0.5 s เนองจากผลของแรงกระแทกอกครงหนง ทาใหการสนสะเทอนเพมขน โดยเสนประแสดง

ผลรวมของการสนสะเทอนจากแรงทงสองครง ( )()( 21 txtx + )

Response

)()()( 21 txtxtx +=

0.5 )()( 1 txtx =


Part B การสนสะเทอนจากการกระตนรปแบบใดๆ

6. Convolution integral และผลการตอบสนองการสนสะเทอน

ในสวนนจะกลาวถงการสนสะเทอนจากการกระตนรปแบบใดๆ ดงแสดงตวอยางในรปท 5-9 สาหรบ

การหาผลการสนสะเทอนเนองจากการกระตนลกษณะน จะตองใชพนฐานความร 3 สวนประกอบกน อน

ไดแก 1) การตอบสนองตอการกระตนแบบอมพลซซงกลาวถงไปแลวในสวนกอนหนา 2) หลกการ

Superposition และ 3) Convolution integral

รปท 5-9 ตวอยางแรงกระตนรปแบบใดๆ [2]

รปท 5-10 แสดงแนวคดในการหาผลเฉลยของแรงกระตนแบบใดๆ และหลกการของ Convolution

integral รปบนสดทางดานซายมอแสดงถงแรงกระตนรปแบบใดๆ โดยแรงกระตนนสามารถพจารณาวาเกด

จากการประกอบกนของฟงกชนพลซขนาดตางๆ เรยงตอๆ กน ดงแสดงในรปดานลางซายมอ โดยเมอ

พจารณาตามลาดบเวลาทแรงกระทาจะพบวา เมอพลซทเวลา t1 กระทากบระบบการสนสะเทอนแลว จะทา

ใหระบบสนตามกราฟ x1 ทางดานขวามอ โดยความสมพนธระหวางแรงกระตนกบการสนสะเทอนเปนไป

ตาม Response function (h(t)) เมอเวลาผานไปเปนเวลา t2 พลซทเวลานกจะทาใหเกดการสนสะเทอน x2

ซงจะเรมสนทเวลา t2 เชนเดยวกนกบพลซทเวลา t3 กจะทาใหเกดการสนสะเทอน x3 โดยเรมสนทเวลา t3

เปนเชนนไปเรอยๆ ตราบทยงมแรงกระตนกระทากบระบบอย ผลการสนสะเทอนรวม x สามารถหาได

โดยรวม x1, x2, x3, … เขาดวยกนตามลาดบเวลาทแรงมากระทา โดยผลการสนสะเทอนรวม x แสดงดง

กราฟดานบนทางดานขวามอ หลกการทอธบายขางตน สามารถนามาเขยนเปนสมการคณตศาสตรไดดงน

+++= )()()()( 321 txtxtxtx (5-27)

การสนสะเทอน )(),(),( 321 txtxtx เปนการสนเนองจากการกระตนแบบอมพลซ จงสามารถ

เขยนใหอยในรปผลคณของขนาดอมพลซ และฟงกชนการตอบสนองตออมพลซดงสมการ (5-24) ได ดงนน

สมการดานบนจะสามารถเขยนไดเปน

+−+−+−= )(ˆ)(ˆ)(ˆ)( 332211 tthFtthFtthFtx (5-28)


รปท 5-10 การหาผลเฉลยการสนสะเทอนของแรงกระตนรปแบบใดๆ และ Convolution integral [2]

เนองจากขนาดของอมพลซ F หาไดจากผลคณของขนาดแรงและชวงเวลาทแรงกระทา ดงนนจะได

+−⋅∆+−⋅∆+−⋅∆= )()()()( 332211 tthtFtthtFtthtFtx (5-29)

กาหนดให τ คอเวลาทแรง F กระทากบระบบ ดงนนจะสามารถเขยน 321 ,, ttt ไดเปน

321 ,, τττ ชวงเวลา t∆ เขยนไดเปน τ∆ และจะไดดวยวาแรง F เปนฟงกชนของ τ หรอ )(τF เมอ

พจารณาใหการแบงชวงเวลา τ∆ เลกๆ สมการ (5-29) จะสามารถเขยนใหอยในรปการอนทเกรตไดดงน

∫ −⋅=t

dthFtx0

)()()( τττ (5-30)

สมการท (5-30) มชอเรยกวา Convolution integral ในกรณทใช Convolution integral เพอหาผล

การตอบสนองของระบบดงทไดอธบายมาขางตน สมการ Convolution integral อาจเรยกอกอยางวา

Duhamel integral ตามชอของนกคณตศาสตรชาวฝรงเศส J. M. C. Duhamel (1797-1872)

ในกรณทแรงกระทาไมเปนฟงกชนตอเนอง ผลของการสนสะเทอนกสามารถหาไดโดยใชหลกการ

ขางตนเพยงแตแยกชวงของแรง และ Convolution integral ออกเปน 2 ชวง ดงน

กาหนด EOM =++ kxxcxm )(1 tF 10 tt <≤

)(2 tF 1tt ≥


ผลเฉลยคอ =)(tx

∫ −⋅1

01 )()(

t

dthF τττ 10 tt <≤

(5-31)

∫∫ −⋅+−⋅t

t

t

dthFdthF1

1

)()()()( 20

1 ττττττ 1tt ≥

ขอสงเกต

เนองจากแรงทกระตนไมไดเปนคาบหรอมสวนประกอบทเปนฟงกชนฮารโมนก ดงนนความถการ

สนสะเทอนตามสมการท (5-30) หรอ (5-31) จงเทากบความถของฟงกชนการตอบสนองตออมพลซ

)( τ−th ซงกคอความถธรรมชาตทมตวหนวงการสนสะเทอน dω (ในกรณทระบบเปนแบบ underdamped

motion)


หาลกษณะการสนสะเทอนของระบบมวล สปรง และตว

หนวงการสนอยางงาย ทไดรบแรงกระทาดงรป และ

แสดงดวย EOM ดานลาง

=++ kxxcxm 0 00 tt <≤

F0 0tt ≥

เงอนไขเรมตน 000 ==vx

ระบบเปนแบบ underdamped motion (Daniel J. Inman, Engineering Vibration, Second edition,

Ex. 3.2.1)

เนองจากในชวง 00 tt <≤ ไมมแรงภายนอกกระทา และเงอนไขเรมตนเปน 000 ==vx ทาใหในชวงแรก

ระบบไมมการเคลอนท และระบบจะเรมสนเมอ 0tt ≥ เมอเรมมแรงคงทมากระทา

จาก )(sin1)( )( τωω

τ τζω −=− −− tem

th dt

d

n

และ 0)( FF =τ

แทนลงในสมการ Convolution integral จะได

∫ −⋅= −−t

td

t

d

dtem

Ftx n

0

)(sin1)( )(0 ττω

ωτζω

∫ −= −t

td

t

d

dteemFtx nn

0

)(sin)( 0 ττωω

τζωζω


อนทเกรตออกมาจะได

[ ]θωζ

ζω −−−

−= −− )(cos1

)( 0)(

200 0 tte

kF

kFtx d

ttn เมอ 0tt ≥

โดย 2

1

1tan

ζζθ−

= −

จากผลการสนสะเทอนทไดจะสามารถแบงออกเปน 2 สวนคอ

1. Static displacement : kF0

2. สวนทมการสน : [ ]θωζ

ζω −−−

−− )(cos1

0)(

20 0 tte

kF

dttn

เมอทดลองกาหนดคาตวแปรตางๆ จะสามารถเขยนกราฟไดดงน

1.0=ζ

16.3=nω rad/s

300 =F N

1000=k N/m

00 =t sec

จากกราฟจะเหนไดวา การใหแรงกระตนแบบ step function ทโจทยกาหนดจะทาใหจดสมดลใหมเลอนขน

ไปตามคา Static displacement และจะสนรอบจดสมดลใหมนดวยความถธรรมชาตทมการหนวง dω

ANS



หาลกษณะการสนสะเทอนของระบบมวล สปรง และตวหนวงการสนอยาง

งาย ทไดรบแรงกระทาดงรป และแสดงดวย EOM ดานลาง

=++ kxxcxm F0 10 tt <≤

0 1tt ≥

เงอนไขเรมตน 000 ==vx

ระบบเปนแบบ underdamped motion (Daniel J. Inman, Engineering Vibration, Second edition, Ex. 3.2.2)

ในตวอยางนเปนการใหแรงขนาดคงทในชวงระยะเวลาหนง หลงจากนนจงเอาแรงทใหออก ในขอนอาจทาได

โดยใชหลกการ Superposition ของแรงทกระทากบระบบ ดงแสดงในรปดานลาง

1. ชวงแรกจะใหแรงทมขนาดคงท 0F กบระบบ

2. หลงจาก 1tt = จะใหแรงทมขนาดตรงกนขาม เพอหกลางกบแรงในชวงแรก ทาใหผลลพธเหมอนกบการ

ไมไดใหแรงอะไรกบระบบ

จะเหนวาทงสองชวงเปนการพจารณาแรงในรปแบบ Step function ซงทราบผลเฉลยอยแลวดงแสดงใน

ตวอยางกอนหนา การคานวณจงทาไดโดยงาย

สาหรบในชวงแรก สามารถหาลกษณะการสนสะเทอนไดเชนเดยวกบตวอยางกอนหนา

[ ]θωζ

ζω −−−

−= −− )(cos1

)( 0)(

200 0 tte

kF

kFtx d


โดย 2

1

1tan

ζζθ−

= −


เมอ 00 =t จะได

[ ]θωζ

ζω −−

−== − tek

FkFtxtx d

tn cos1

)()(2

001 เมอ 10 tt ≤<

ในชวงทสองการสนสะเทอนจะเพมสวนทใหแรงในทศตรงขามเขามา โดยจะสามารถหาไดเชนเดยวกบ

ตวอยางกอนหนาเชนกน ปรบเพยงแทน 0)( FF −=τ จะได

[ ]θωζ

ζω −−−

+−

= −− )(cos1

)( 1)(

200

21 tte

kF

kFtx d


นาการสนสะเทอนทงสองสวนมารวมเขาดวยกนจะได

[ ] [ ]

−−

−+

−+

−

−−=

+=

−−− θωζ

θωζ

ζωζω )(cos1

cos1

)()()(

1)(

200

200

21

1 ttek

FkFte

kF

kF

txtxtx

dtt

dt nn

[ ][ ])cos()(cos1

)( 120 1 θωθωζ

ζωζω −−−−−

= − ttteek

Ftx ddtt nn เมอ 1tt >


ในขอนหากตองการทาตรงๆ โดยไมใชวธ Superposition อาจทาไดดงน

1. ชวง 10 tt ≤< ทาเหมอนในตวอยาง

2. ชวง 1tt > เนองจากไมมแรงกระทา แสดงวาระบบสนอยางอสระ ดงนนลกษณะการสนสะเทอนจงเปน

เชนเดยวกบการสนอยางอสระ โดยการหาคา initial condition ในชวงนจะตองสมพนธกบตาแหนงใน

ชวงแรก คอ )()( 111 txtx = และ )()()( 1111 txtxtv ==

ANS

ANS


7. สรป

ในบทนกลาวถงการหาลกษณะการสนสะเทอนแบบบงคบจากการกระตนภายนอกรปแบบตางๆ

โดยแบงการพจารณาตามลกษณะของการกระตนออกเปน 3 ประเภทใหญๆ ไดแก 1) การกระตนแบบเปน

คาบ 2) การกระตนแบบอมพลซ หรอการกระแทก และ 3) การกระตนแบบใดๆ ซงไมเปนคาบ

สาหรบการกระตนแบบเปนคาบนน จะใชหลกการของอนกรมฟเรยร แปลงฟงกชนการกระตนทเปน

คาบใหอยในรปผลบวกของฟงกชนไซนซอยดทมความถเปนจานวนเทาของฟงกชนคาบนน เนองจากแตละ

พจนของฟงกชนไซนซอยดสามารถหาผลเฉลยไดโดยงายโดยพจารณาผลตอบสนองเชงความถ

เชนเดยวกบทไดกลาวมาแลวในบทกอนหนา เมอทราบผลเฉลยแตละพจนแลวจงสามารถหาลกษณะการ

สนสะเทอนรวมไดโดยใชหลกการของ Superposition

การกระตนแบบอมพลซนนสามารถพจารณาไดเชนเดยวกบการสนสะเทอนอยางอสระ โดยม

เงอนไขคาเรมตนเปนความเรวตนทสอดคลองกบการเปลยนแปลงโมเมนตมเนองจากการดลนน สวนการ

ขจดเรมตนมคาเปนศนย สาหรบการกระตนแบบใดๆ จะพจารณาฟงกชนของการกระตนเปนการรวมกนของ

ฟงกชนพลซยอยๆ ดงนนจงสามารถใชหลกการพนฐานของผลเฉลยในกรณของการกระตนแบบอมพลซใน

กรณนได โดยผลของการกระตนแบบอมพลซทเวลาตางๆ จะถกนามารวมกนโดย Convolution integral

สาหรบปญหาทางวศวกรรมนนประกอบขนจากการกระตนทมรปแบบตามทกลาวมาทงหมดในบทน

ความเขาใจในการหาลกษณะการสนสะเทอนของการกระตนรปแบบพนฐานเหลาน ทาใหสามารถนาไป

ประยกตใชกบปญหาทซบซอนตอไปได

References






1. The valve and its elastic stem are modeled as

shown in the figure. Find the steady-state response

of the valve when the pressure in the chamber varies

as indicated in the figure. m = 0.25 kg, k = 2500

N/m, c = 10 Ns/m. [Rao, Ex.4.1]

ANS

−−−

−−=

)0380483.03cos(0017828.0

)0125664.0cos(015930.0019635.0)(

tttx p

π

π

2. กาหนด EOM: )4()()(4)(2)( −−=++ tttxtxtx δδ และเงอนไขคาเรมตน mm 10 =x และ

mm/s 10 −=v หาลกษณะการเคลอนทของระบบ

ANS )4())4(3sin(3

13cos)( 4 −Φ

−−= +−− ttetetx tt


3. Determine the response of the compacting

machine shown in the figure when a linearly varying

force is applied due to the motion of the cam. [Rao,

Ex.4.9]

ANS [ ]ttk

Ftx nnn

ωωωδ sin)( −=


บทท 6

การสนสะเทอนของระบบทมองศาอสระมากกวาหนง

1. บทนา

ในบททผานมาระบบทนามาวเคราะหการสนสะเทอนจะเปนระบบทมองศาอสระ (Degree of

freedom) เทากบหนงทงหมด อยางไรกตามปญหาทพบโดยทวไปแลวจะมความซบซอนกวานนมาก การ

สรางแบบจาลองการสนสะเทอนเพออธบายลกษณะการสนสะเทอนในหลายๆ ครง จงตองสรางใหมจานวน

องศาอสระมากกวาหนง เพอใหผลลพธทคานวณไดมความใกลเคยงกบความเปนจรงมากยงขน สาหรบใน

บทนจะกลาวถงวธการวเคราะหปญหาการสนสะเทอนของระบบทมองศาอสระมากกวาหนง โดยขอบเขต

ของปญหาทวเคราะหจะแสดงดงตารางท 6-1 โดยวธการวเคราะหปญหาจะแบงออกเปน 2 วธไดแก 1) วธ

หาผลเฉลยโดยตรง และ 2) การวเคราะหโดยวธโมดล โดยในสวนแรกของบทจะกลาวถงวธโดยตรงกอน

และจะกลาวถงวธโมดลในลาดบถดไป สาหรบระบบทพจารณานนจะเนนไปทระบบทไมมตวหนวงการ

สนสะเทอนซงสามารถวเคราะหไดโดยงาย และในหลายๆ ครงกสามารถใชผลทไดประมาณลกษณะการสน

ในระบบทมตวหนวงขนาดนอยๆ ไดเปนอยางด อยางไรกตามในสวนทายของบทกจะมกลาวถงการวเคราะห

ในระบบทมตวหนวง และลกษณะเฉพาะของตวหนวงททาใหสามารถวเคราะหดวยวธโมดลไดดวย

ตารางท 6-1 ขอบเขตของปญหาทจะกลาวถงในบทท 6

Free Vibration Forced Vibration

Undamped 1. Direct

2. Modal Analysis

1. Direct (harmonic excitation)

2. Modal Analysis

Damped 1. Modal Analysis

(only some systems)

1. Modal Analysis

(only some systems)

2. การสนสะเทอนอยางอสระของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน

หวขอนจะกลาวถงการหาการสนสะเทอนของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน โดยวธการ

วเคราะหโดยตรง สาหรบตวอยางของปญหาทจะยกเพออธบายจะเปนปญหาทมองศาอสระเทากบ 2

เนองจากมความซบซอนนอย สามารถเขาใจไดโดยงาย อยางไรกตามวธการนกสามารถประยกตใชไดกบ

ระบบทมองศาอสระสงขนไปไดเชนกน

พจารณาระบบทมองศาอสระเทากบ 2 ดงแสดงในรปท 6-1


รปท 6-1 ระบบทมองศาอสระเทากบ 2 และแผนผงวตถอสระ (Free Body Diagram, FBD)

จากรป และ แผนผงวตถอสระ (FBD) จะสามารถเขยนสมการการเคลอนทของมวลแตละกอนไดดงน

1211 )( xmxxkkx =−−−

2221 2)( xmkxxxk =−−

สมการทงสองสามารถเขยนใหอยในรปเมตรกซไดดงสมการ

=

−

−+

00

22

200

2

1

2

1

xx

kkkk

xx

mm

(6-1)

โดยสมการ (6-1) อาจจะเขยนแบบยอไดเปน

)()()( ttt FKxxM =+ (6-2)

โดยตวอกษรตวหนาในสมการจะหมายถงเมตรกซ หรอเวคเตอร และ

M คอเมตรกซของมวล (inertia of mass matrix) มมต (n×n) ในทนคอ (2×2)

K คอเมตรกซของความแขงเกรง (stiffness matrix) มมต (n×n) ในทนคอ (2×2)

F คอเวคเตอรของแรงภายนอกทกระทา (external force vector) มมต (n×1) ในทนคอ (2×1)

x คอเวคเตอรบอกตาแหนง (position vector) มมต (n×1) ในทนคอ (2×1)

จากการสงเกตลกษณะการสนสะเทอนอยางอสระของระบบทมองศาอสระมากกวาหนงพบวา การ

สนสะเทอนจะเปนแบบ Synchronous motion ซงหมายถงระบบพกดทใชบอกตาแหนงของระบบนนทกๆ

ตว จะเคลอนทไปพรอมๆ กน ซงกคอผานจดสมดล และผานจดทมขนาดการสนสงทสดพรอมๆ กน และ

อตราสวนขนาดของพกดแตละตวจะมคาเทากนตลอดเวลา เพอใหสามารถเขาใจไดชดเจนยงขน พจารณา

ระบบทมองศาอสระเทากบสอง ดงแสดงในรปท 6-2 ดงน

1. ในตวอยางนระบบพกดทใชอธบายการเคลอนท คอระยะทวดจากจดสมดล X1 และ X2 ซงใน

ทนแสดงถงการเคลอนทของมวลแตละกอนตามลาดบ

2. จะเหนวามวลทงสองกอนจะเคลอนทผานจดทมขนาดการสนสงทสดพรอมๆ กน และผานจด

สมดลพรอมๆ กน ไมวาเคลอนทในกรณท 1 หรอ 2 กตาม

m 2mk k k

x1 x2

m 2mkx1 k(x1-x2) kx2


3. อตราสวนของขนาดของพกด X1/X2 จะมคาคงทเสมอไมวาจะพจารณาทตาแหนงใดกตาม

การสนสะเทอนเมอไมมตวหนวงการสนสะเทอนจะเปนแบบฮารโมนก เชนเดยวกบระบบทมองศา

อสระเทากบหนง ดงนนรปแบบสมการทใชอธบายลกษณะการสนสะเทอนจงสามารถเขยนใหอยในรป

)sin( φω += tAx หรอ )( φω += tjAex ในกรณของระบบทมองศาอสระมากกวาหนง เนองจากการสน

จะเปนแบบ Synchronous motion มวลทงสองกอนจงตองเคลอนทไปพรอมๆ กน มความถในการสนเทากน

และมมมเฟสเทากน ดวยเหตนการสนสะเทอนของมวลแตละกอนในตวอยางจงสามารถเขยนไดดวยสมการ

)sin(11 φω += tAx หรอ )(11

φω += tjeAx (6-3)

)sin(22 φω += tAx หรอ )(22

φω += tjeAx (6-4)

รปท 6-2 การเคลอนทแบบ Synchronous motion ของระบบทมองศาอสระเทากบสอง [1]

ยอนกลบไปยงระบบในรปท 6-1 เนองจากลกษณะการสนเปนไปตามคา 1x และ 2x ในสมการ (6-

3) และ (6-4) หรออาจกลาวไดวา 1x และ 2x เปนคาตอบของสมการ EOM (6-1) ดงนนเมอแทนคาลงใน

สมการ (6-1) สมการจงเปนจรงดงน

=

−

−+

−−

00

22

200

2

1

2

12

2

xx

kkkk

xx

mm

ωω

0KxM =+− )()(2 ttxω

=

−−−−

00

222

2

12

2

AA

mkkkmkω

ω 0xMK =− )()( 2 tω (6-5)

รปแบบปญหาทอยในรปแบบสมการ (6-5) มชอเรยกวา Eigen value problem สมการท (6-5) จะเปนจรง

เสมอ เมอคาดเทอรมแนนต ของเมตรกซมคาเทากบ 0 ดงนนจะได

=

−−−−

00

222

2

2

mkkkmkω

ω 0MK =− )()det( 2 txω (6-6)

สมการท (6-6) มชอเรยกวา Characteristic equation (CHE) จากสมการนจะได

time

x1 x2 x1x2


0233

224 =

+

−

mk

mk ωω (6-7)

เมอแกสมการ (6-7) จะได

mk634.02

1 =ω และ mk366.22

2 =ω

และ mk634.01 =ω และ

mk366.22 =ω (6-8)

คา 2ω นเรยกวา Eigen value สวนคา ω แสดงถงความถการสนสะเทอน คา ω นตองเปนบวก

เสมอ คา ω ทเปนลบไมมความหมายทางกายภาพ สาหรบคา ω ทเปนบวก ตวทมคานอยกวาจะ

กาหนดใหเปน 1ω สวนตวทมากกวาจะกาหนดใหเปน 2ω หากระบบมองศาอสระมากกวาน กจะเรยงลาดบ

จากนอยไปมากเชนเดยวกบในตวอยางน

จากการคานวณขางตนพบวา การสนสะเทอนของระบบจะมความถเทากบ 1ω หรอ 2ω เสมอไมวา

จะใหเงอนไขคาเรมตนอยางไร ดงนนคานจงเปนคาความถธรรมชาตของระบบ จานวนของความถธรรมชาต

จะเทากบจานวนองศาความเปนอสระของระบบ ในกรณระบบทมองศาอสระเทากบหนงจะมความถ

ธรรมชาตเพยงคาเดยว สวนระบบทมสององศาอสระจะมความถธรรมชาต 2 ตว ในทานองเดยวกนหาก

ระบบมองศาอสระเทากบ n กจะมจานวนความถธรรมชาตเทากบ n เชนกน

จากสมการท (6-5) จะไดความสมพนธระหวางอตราสวนของ A1 และ A2 ซงเปนขนาดของการ

สนสะเทอนตามสมการ (6-3) และ (6-4) ออกมาดงน

kmk

mkk

AA 2

22

1 222

ωω

−=

−= (6-9)

ในกรณท 1ωω = จะไดอตราสวนของ A1 และ A2 ดงน

731.0)634.0(22

)634.0(2)1(2

1 =−

=−

=

k

mmkk

mmkk

kAA (6-10)

ในกรณท 2ωω = จะไดอตราสวนของ A1 และ A2 ดงน

73.2)366.2(22

)366.2(2)2(2

1 −=−

=−

=

k

mmkk

mmkk

kAA (6-11)

อตราสวน A1/A2 แสดงถงรปรางการสนสะเทอนของระบบ หรอ mode shape ดงแสดงตวอยางใน

รปท 6-3 ในกรณ 1ωω = คา ( ) 731.0)1(21 =AA คาทเปนบวกแสดงใหเหนวามวลทงสองกอนจะเคลอนท

ไปทศทางเดยวกน โดยหากมวลกอนท 2 เคลอนทได 1 หนวยแลว มวลกอนท 1 จะเคลอนทได 0.731

หนวยเสมอ คาอตราสวนในกรณท 1ωω = นเรยกวา The first mode shape สวนกรณ 2ωω = คา

( ) 73.2)2(21 −=AA คาทเปนลบแสดงวามวลทงสองกอนเคลอนทในทศทางตรงกนขามกน โดยหากมวล


กอนท 2 เคลอนทในทศทางบวกเปนระยะ 1 หนวยแลว มวลกอนท 1 กจะเคลอนทในทศทางลบ (ตรงกน

ขาม) ดวยขนาด 2.73 หนวย Mode shape ในกรณนเรยกวา The second mode shape

Mode shape ทไดกลาวมาขางตนอาจเขยนแสดงดวยเวคเตอร )(1 xφ หรอ )(2 xφ ดงแสดงในรปท

6-3 และมชอเรยกวา Eigen vector เนองจาก Mode shape เปนอตราสวนดงนนจงอาจแสดงคาในเวคเตอร

เปนเทาไรกได เพยงแตใหอตราสวนคงเดม อยางไรกตามโดยทวไปนยมจดใหคาในเวคเตอรตวใดตวหนงม

คาเทากบ 1 เวคเตอร

หมายเหต

ในกรณทเปนระบบทมองศาอสระมากกวา 2 แลว การหาอตราสวนขนาดในสมการ (6-11) อาจจะ

ทาไดไมสะดวกนก และสมการท (6-5) กไมอาจจะแกไดคาตอบทแนนอนออกมาได อยางไรกตามจะ

สามารถหาอตราสวนของ A ได โดยวธกาหนดให A ตวใดตวหนงมคาคงทเทากบ 1 ไปกอน

รปท 6-3 Mode shape ของการสนสะเทอน

ถงแมวาจะสามารถหาอตราสวนของขนาดการสนสะเทอนของมวลทงสองกอนได แตเนองจากขนาด

การสนสะเทอนจะขนอยกบคาเงอนไขเรมตนของระบบดวย ดงนนจงยงไมสามารถหาคาไดหากไมกาหนด

เงอนไขเรมตนมาให จากการคานวณขางตนจะพบวาคาตอบของสมการ (6-1) จะมอย 2 ชด ขนกบ

คาความถธรรมชาต ไดแก

ชดท 1 1ωω = )sin(1732.0

)sin(732.0

111111

1

2

1 ψωψω +

=+

=

tctc

cxx

1ω=ω

731.0)1(

2

1 =

AA 73.2

)2(

2

1 −=

AAAmp. ratio Amp. ratio

=φ1731.0

)(1 x

−

=φ1

73.2)(2 x

The first mode shape The second mode shape

0.731 1

-2.73

1

2ω=ω

same directionOpposite direction


ชดท 2 2ωω = )sin(1

73.2)sin(

73.222222

2

2

2

1 ψωψω +

−

=+

−

=

tctc

cxx

โดยคา 1c , 2c และ 1ψ , 2ψ เปนคาคงทซงหาไดจากเงอนไขคาเรมตนของระบบ

เนองจากระบบการสนสะเทอนเปนระบบเชงเสน หากทราบวาคาตอบชดท 1 และชดท 2 เปน

คาตอบของสมการ EOM แลว จะไดวาผลรวมของคาตอบชดท 1 และชดท 2 กจะเปนคาตอบของ EOM

ดวย ดงนนคาตอบสมบรณทแสดงการสนของระบบในรปท 6-1) จงสามารถแสดงไดดวยสมการ

)sin(1

73.2)sin(

1732.0

2221112

1 ψωψω +

−

++

=

tctcxx

(6-12)

สมการ (6-12) แสดงใหเหนวามวลทงกอนท 1 และกอนท 2 จะสนดวยความถ 1ω ท Mode shape

1 ผสมกบสนดวยความถ 2ω ท Mode shape 2 โดยสวนประกอบของความถหรอ Mode shape ไหนจะ

มากนอยกวากน ขนอยกบเงอนไขเรมตน ซงสงผลตอคา 1c , 2c ซงแสดงขนาดการสนสะเทอนของแต

Mode shape

ขอระวง นสต นกศกษา จานวนมากมกจะมความเขาใจผดวามวลกอนท 1 จะสนดวย 1ω สวนมวลกอนท 2

จะสนดวย 2ω ซงไมถกตอง

การหาคาคงทของการสนสะเทอนจากเงอนไขคาเรมตน

สมการท (6-12) มคาคงทอย 4 ตว ไดแก 1c , 2c และ 1ψ , 2ψ คาเหลานสามารถหาไดโดยการ

กาหนดเงอนไขเรมตนการสนสะเทอน 4 ตว ซงไดแก การขจดเรมตนของมวลทงสองกอน และความเรว

เรมตนของมวลทงสองกอนดงตวอยางตอไปน

กาหนดให

=

42

)0()0(

2

1

xx

และ

=

00

)0()0(

2

1

xx

จากสมการ (6-12) หาอนพนธเทยบกบเวลา จะไดคาความเรวการเคลอนทดงน

)cos(1

73.2)cos(

1732.0

222211112

1 ψωωψωω +

−

++

=

tctcxx

(6-13)

แทนเงอนไขเรมตนทกาหนดใหลงในสมการ (6-12) และ (6-13) จะได

=

42

)0()0(

2

1

xx

2211 sin1

73.2sin

1732.0

42

ψψ

−

+

=

cc (6-14)

=

00

)0()0(

2

1

xx

222111 cos

173.2

cos1732.0

00

ψωψω

−

+

=

cc (6-15)

สมการท (6-14) และ (6-15) แตละสมการประกอบดวย 2 สมการยอยซงแสดงการเคลอนทของมวล

กอนท 1 และ 2 ดงนนสมการทงหมดจงม 4 สมการ และมตวแปรไมทราบคา 4 ตว จงสามารถแกสมการ

เพอหาคาทไมทราบได โดยจากการแกสมการจะได

,732.31 =c ,268.02 =c และ 2/21 πψψ ==


แทนคาคงทเหลานลงในสมการ (6-12) จะสามารถหาสมการทอธบายการสนสะเทอนไดดงน

)2

sin(1

73.2268.0)

2sin(

1732.0

732.3 212

1 πωπω +

−

++

=

ttxx

ttxx

212

1 cos268.0732.0

cos732.3732.2

ωω

−

+

=

(6-16)

จากขนตอนทไดอธบายมาขางตนทงหมด อาจสรปวธการหาลกษณะการสนสะเทอนอยางอสระของระบบทม

องศาอสระมากกวาหนงและไมมตวหนวงการสนสะเทอนโดยวธโดยตรง ไดดงรปท 6-4

รปท 6-4 สรปขนตอนการวเคราะหปญหาการสนสะเทอนอยางอสระ

ของระบบทมองศาอสระมากกวาหนง และไมมตวหนวงการสนสะเทอน

0KxxM =+ )()( tt

The motion is synchronous: constant ω and φ

0KxMx =+ω− )()(2 tt

0xMK =ω− )()( 2 t

Eigen value problem

0)det( 2 =ω− MKCharacteristics equation

2nω Eigen value

nNnn ωωω ,,, 21 N natural freq.

0xMK =ω− ini )( 2

ix Eigen vector

)sin( φ+ω= tAx )( φ+ω= tjeAor

N mode shapesNxxx ,,, 21

EOM1

2

3

4 5

Direct Method

Free-undamped response

)sin()sin()sin()( 22221111 NNNN tAtAtAt φ+ω+φ+ω+φ+ω= xxxx

∑=

φ+ω=N

iiiii tAt

1)sin()( xx

6

where A and φ are from initial condition x(0) and v(0)



จากการสนสะเทอนของระบบในรปท 6-1 ซงมลกษณะการสนตามสมการท (6-12)

)sin(1

73.2)sin(

1732.0

2221112

1 ψωψω +

−

++

=

tctcxx

ใหหาคาคงทการสนสะเทอนเมอกาหนด

(a)

=

2464.1

)0()0(

2

1

xx

และ

=

00

)0()0(

2

1

xx

(b)

−

=

173.2

)0()0(

2

1

xx

และ

=

00

)0()0(

2

1

xx

(a) แทนคาเงอนไขเรมตนลงในสมการ

แทนคาเงอนไข

=

2464.1

)0()0(

2

1

xx

ลงในสมการ (6-12) จะได

)sin(1

73.2)sin(

1732.0

2464.1

2211 ψψ

−

+

=

cc (1)

แทนคาเงอนไข

=

00

)0()0(

2

1

xx

ลงในสมการ (6-13) จะได

)cos(1

73.2)cos(

1732.0

00

222111 ψωψω

−

+

=

cc (2)

จากการสงเกตเงอนไขขนาดการสนสะเทอนตามสมการ (1) พบวาอตราสวนของขนาดการสนทกาหนดมาให

เทากบอตราสวนขนาดของ Mode shape ท 1 พอด ดงนนจะไดวา 02 =c

สมการท (1) และ (2) จงสามารถลดรปไดเปน

)sin(1732.0

2464.1

11 ψ

=

c (3)

)cos(1732.0

00

111 ψω

=

c (4)

คา 01 ≠c เพราะการสนสะเทอนในสมการ (3) ไมเทากบศนยตลอดเวลา ดงนนสมการ (4) จะเปนจรงเมอ

มมเฟส 21 πψ = เมอแทนคามมเฟสนในสมการท (3) จะไดคา 21 =c

จากคาคงททหาไดขางตน จงไดสมการการเคลอนท

)2sin(2464.1

)2sin(1732.0

2 112

1 πωπω +

=+

⋅=

ttxx

ANS


(b) ในขอนจะพบวาเงอนไขขนาดการสนสะเทอนทกาหนดให ตรงกบอตราสวนขนาดของ Mode shape 2

พอด โดยการพจารณาในทานองเดยวกบขอ (a) จะไดผลลพธการสนสะเทอนดงสมการ

)2sin(1

73.22

2

1 πω +

−

=

txx


1. โดยปกตการสนสะเทอนของระบบทมองศาอสระมากกวาหนง จะเปนผลรวมของการสนสะเทอนทความถ

ธรรมชาตตางๆ และ Mode shape ตางๆ ในกรณของระบบทมองศาอสระเทากบ 2 กจะมผลรวมของ

ความถธรรมชาต และ Mode shape ทง 2 ดงสมการ (6-12)

2. หากจดใหเงอนไขเรมตนตรงกบ Mode shape ใด Mode shape หนงแลว การสนสะเทอนจะเกดท Mode

shape นน และเกดทความถธรรมชาตทตรงกบ Mode shape นนเทานน

ANS


3. การสนสะเทอนแบบบงคบของระบบทไมมตวหนวงการสนสะเทอน

โดยปกตในระบบทมองศาอสระมากกวาหนงนนเมอมแรงภายนอกมากระทากบระบบ จะไมสามารถ

วเคราะหหาการสนสะเทอนโดยตรงได อยางไรกตามในกรณเฉพาะทแรงภายนอกเปนแบบฮารโมนก จะ

สามารถวเคราะหหาลกษณะการสนสะเทอนโดยตรงได พจารณาระบบการสนสะเทอนทมองศาอสระเทากบ

สอง ซงสามารถเขยนสมการการเคลอนท EOM ไดดงน

tF

xx

kkkk

xx

mm

ωsin00

0 1

2

1

2221

1211

2

1

2

1

=

+

(6-17)

เนองจากระบบไมมตวหนวงการสนสะเทอน และแรงกระตนอยในรปฮารโมนก ซงมความถเทากบ

ω ดงนนการสนสะเทอนทเกดขนจงตองอยในรปแบบฮารโมนก ซงมความถเทากบ ω ดวยดงสมการ

tXX

xx

ωsin2

1

2

1

=

(6-18)

สมการ (6-18) เปนคาตอบของสมการ (6-17) เมอแทนสมการ (6-18) เขาในสมการ (6-17) จะได

=

−−

01

2

12

22221

122

111 FXX

mkkkmk

ωω

(6-19)

หากให [ ])(ωZ แทนเมตรกซ 2×2 ในสมการ (6-19) สมการจะเขยนอยางยอไดเปน

[ ]

=

0

)( 1

2

1 FXX

Z ω

เวคเตอร X ซงเปนขนาดการสนสะเทอน สามารถหาไดโดยการคณอนเวอรสของเมตรกซ Z เขาทางดาน

ซายมอทงสองขางของสมการดงน

[ ] [ ] [ ]

=

−−

0)()()( 11

2

11 FZ

XX

ZZ ωωω

[ ]

=

−

0)( 11

2

1 FZ

XX

ω

−−−−

=

0)(

1 12

11121

122

222

2

1 Fmkkkmk

ZXX

ωω

ω (6-20)

โดย )(ωZ คอคาดเทอรมแนนต ของเมตรกซ [ ])(ωZ และหาไดจาก

))(()( 222

22121 ωωωωω −−= mmZ (6-21)

จากสมการ (6-20) และ (6-21) จะสามารถหาขนาดการสนสะเทอนของมวลแตละกอนไดจาก

))(()(

222

22121

12

2221 ωωωω

ω−−

−=

mmFmkX (6-22)

))(( 222

22121

1212 ωωωω −−

−=

mmFkX (6-23)



ระบบในรปมสมการการเคลอนท EOM ดงน

tF

xx

kkkk

xx

mm

ωsin02

20

0 1

2

1

2

1

=

−

−+

จงแสดงลกษณะการสนสะเทอนแบบบงคบของระบบ

จาก EOM สามารถหาคาความถธรรมชาตของระบบไดเทากบ

mk

=1ω และ mk3

2 =ω

เมอแทนคามวลและความแขงเกรงตาม EOM ในสมการ (6-22) และ (6-23) จะสามารถหาการขจดของการ

สนสะเทอนแบบบงคบของมวลกอนท 1 และกอนทสองไดดงน

))(()2(

222

221

21

2

1 ωωωωω

−−−

=m

FmkX

))(( 222

221

21

2 ωωωω −−=

mkFX

เมอนาผลการสนสะเทอนของมวลแตละกอนมาวาดกราฟเทยบกบความถการกระตน ω จะไดกราฟดงรป

โดยแกนตงในรปแสดงคา FXk

เสนสนาเงนแสดงการสนสะเทอนของมวลกอนท 1

เสนสแดงแสดงการสนสะเทอนของมวลกอนท 2

ลกษณะการสนของระบบในตวอยางนสามารถแบง

ออกไดเปนชวงๆ ดงน

1. 1ωω <

ในชวงนเสนกราฟการสนของมวลทงสองกอนเปนบวก

ทงค แสดงใหเหนวามวลทงสองกอนสนในทศทาง

เดยวกน และมเฟสตรงกบแรงกระตนทใหกบระบบ

(คอแรงกระตนใหมวลไปทางไหน มวลกเคลอนไปทาง

นน) รปดานลางกราฟแสดงถงการเคลอนทของมวล

โดยมวลกอนทหนงแสดงดวยสนาเงน และมวลกอนท

สองแสดงดวยสแดง

m mk k k

x1 x2

F1sinωt

Force response of a 2 DOF system

0 1 2 3

012

3

45

-1

-2-3

-4

-5

FXk

1ωω

1

2

FkX

1

1

FkX

1ω=ω 2ω=ω

Same direction

Opposite direction


2. 21 ωωω <<

ในชวงนครงแรก เสนกราฟการสนของมวลทงสองกอนเปนลบทงค แสดงใหเหนวามวลทงสองกอนสนใน

ทศทางเดยวกน คาของกราฟทเปนลบแสดงวาการขจดมเฟสตรงกนขามกบแรงกระตนทใหกบระบบ (คอ

แรงกระตนใหมวลไปทางไหน มวลกเคลอนไปทศตรงกนขาม)

สาหรบในครงหลง เสนกราฟแสดงการสนของมวลกอนท 1 เปนบวก สวนมวลกอนท 2 เปนลบ แสดงใหเหน

วามวลทงสองกอนเคลอนทในทศทางตรงกนขามกน หากมวลกอนท 1 เคลอนไปทางขวา มวลกอนท 2 กจะ

เคลอนไปทางซาย ขนาดของมวลกอนท 1 ทเปนบวกแสดงใหเหนวาทศทางการเคลอนทของมวลกบทศทาง

ของแรงกระทาเปนไปในทศทางเดยวกน

3. ωω <2

ในชวงนเสนกราฟการสนของมวลกอนท 1 เปนลบ สวนกอนท 2 เปนบวก แสดงใหเหนวาทงสองกอน

เคลอนทในทศทางตรงกนขามกน โดยในชวงนมวลกอนท 2 จะมทศทางการเคลอนทในทศทางเดยวกบแรง

ทกระตน

จากกราฟยงสงเกตไดวาเมอ 1ωω = หรอ 2ωω = ขนาดการสนสะเทอนของมวลทงสองกอนจะม

คามาก เรยกความถนวา ความถการสนพอง (Resonance frequencies) ขนาดของการสนในทาง

คณตศาสตรจะมคาเขาใกลอนนต แตในความเปนจรงขนาดจะเพมขนมากจนกระทงเกนกวาขดจากดการ

ยดหยนของระบบ ทาใหระบบเสยหายกอนทขนาดจะเพมไปถงอนนต

เมอความถการกระตนเขาใกล 1ω ขนาดการสนจะมากโดยมวลจะสนในทศทางเดยวกน และม

อตราสวนของขนาดการขจดเขาใกล Mode shape ท 1 แตเมอความถการกระตนเขาใกล 2ω มวลทงสอง

กอนจะสนในทศทางตรงกนขามกน และมอตราสวนของขนาดการสนเขาใกล Mode shape ท 2

นอกจากนยงพบอกวามความถททาใหมวลกอนทมแรงมากระทา (ในกรณนคอมวลกอนท 1) ม

ขนาดการสนสะเทอนเทากบศนย ซงหมายความวาในขณะนนมวลกอนท 1 จะไมเกดการสนเลย มวลกอนท

สองเทานนทเกดการสนสะเทอน ขอสงเกตในกรณนสามารถนาไปใชประยกตเพอควบคมการสนสะเทอน

ของมวลกอนทตองการได โดยรายละเอยดจะไดกลาวถงอกครงในหวขอ “ตวดดซบการสนสะเทอน

(Vibration absorber)” ในบทท 7 วธการควบคมการสนสะเทอน


4. การวเคราะหโดยวธโมดล

4.1 หลกการของการวเคราะหโมดล

ปญหาการสนสะเทอนของระบบทมหลายองศาอสระมความซบซอน เนองจากสมการการเคลอนท

ของทงระบบมความเกยวของกน (Coupled equations) ไมสามารถแยกระบบสมการใหเปนสมการยอยๆ

เพอแกหาผลการสนสะเทอนโดยตรงได เพอใหเขาใจลกษณะปญหายงขน พจารณาสมการท (6-1) ซงนามา

เขยนอกครงดงน

=

−

−+

00

22

200

2

1

2

1

xx

kkkk

xx

mm

(6-1)

ระบบสมการนประกอบดวยสมการยอย 2 สมการ ซงไมสามารถแกไดโดยตรง เนองจากแตละสมการตดตว

แปรสองตวคอ 1x และ 2x การแกสมการเพอหาลกษณะการสนสะเทอนจงตองแกระบบสมการพรอมๆ กน

รปท 6-5 แสดงระบบทมองศาอสระเทากบ 2 รปทางดานซายมอแสดงการกาหนดระบบพกด x ซง

แสดงการเคลอนทในแนวดงทจดศนยถวง และมมทมวลหมน θ เพออธบายการเคลอนท โดยหากใชระบบ

พกดนแลวจะไดสมการการเคลอนดงแสดงทางดานลางซายมอ แตถาหากใชระบบพกดอนดงแสดงในรป

ทางดานขวา โดยให 1x แสดงการเคลอนททปลายดานซาย สวนมมทมวลหมน θ กกาหนดใหวดเทยบกบ

ปลายดานซายเชนกน การกาหนดพกดเชนนจะทาใหไดสมการการเคลอนทดงแสดงทางดานลางขวามอ ซง

แตกตางจากการกาหนดพกดตามแบบแรก

รปท 6-5 ระบบพกดกบสมการการเคลอนท

1k 2k

2l1l

mg

θ

xRef.

)( 11 θ− lxk)( 22 θ− lxk

1k 2k1l mg

θ1x

Ref.

11xk)( 12 θ+ lxk

=

θ

+−−+

+

θ

00

00

222

2111122

112221 xlklklklklklkkkx

Jm

=

θ

++

θ

001

222

2211

11

1 xlklklkkkx

Jmlmlm


ตวอยางนแสดงใหเหนวาการกาหนดพกดแสดงการเคลอนทแตกตางกน ทาใหไดสมการการ

เคลอนททตางกนดวย สาหรบวธการวเคราะหโมดลจะใชประโยชนจากคณสมบตการสมมาตรของเมตรกซ

ของมวล และเมตรกซความแขงเกรง และคณสมบตความตงฉาก (Orthogonality property) ของ Mode

shape แปลงพกดการเคลอนทใหเปนพกดโมดล (Modal coordinate) ทาใหระบบสมการทมสมการการ

เคลอนทยอยๆ แตละสมการทมความเกยวของกน กลายเปนสมการหนงองศาอสระทเปนอสระตอกน จง

สามารถแกสมการแยกกนโดยตรงได

รปท 6-6 หลกการวเคราะหโมดล

รปท 6-6 แสดงตวอยางของการวเคราะหแบบโมดลเพอใหเขาใจในภาพรวมของการคานวณ เรม

จากสมการการเคลอนท ซงในทนแสดงตวอยางสมการทางดานซายมอในรปท 6-5 จะเหนวาสมการน

ประกอบดวยสมการยอยๆ ทเกยวของกนไมสามารถแกโดยตรงได การวเคราะหโมดลจะเปลยนรปแบบ

สมการนจากพกด x และ θ มาเปนพกดโมดล 1r และ 2r ทาใหสามารถแปลงรปแบบสมการการเคลอนท

ทเกยวของกน กลายเปนสมการทสมการยอยแตละสมการเปนอสระตอกนดงสมการ

)(11211 tNrr n =+ ω และ )(22

222 tNrr n =+ ω

สมการขางบนนสามารถแกไดโดยตรงโดยใชหลกการทไดกลาวมาแลวในบทกอนหนา เมอแก

สมการอนพนธยอยๆ ในพกดโมดลไดแลว คาตอบทไดจะเปนการเคลอนทในพกดโมดลเทยบกบเวลา )(tr

จงจาเปนทจะตองแปลงผลทไดนใหกลบไปอยในพกดเดม ซงกคอการเคลอนท )(tx ตามทตองการ

=

θ

+−−+

+

θ

0

)(0

0222

2111122

112221 tFxlklklklklklkkkx

Jm

)()()( ttt FKxxM =+

=

ωω

+

)()(

00

1001

2

1

2

12

2

21

2

1

tNtN

rr

rr

n

n

)()()( ttt NΛrr =+

EOM in physical coordinate (Coordinates are coupled)

EOM in modal coordinate (Independent SDOF equations)

Solve for )(tr

Transform r(t) back to x(t)


เนองจากวธการวเคราะหโมดลเปนการแกสมการยอยๆ ทเปนอสระตอกน ดงนนจะสามารถหา

ผลตอบสนองชวขณะ (Transient response) นอกเหนอจากผลตอบสนองในสภาวะคงตว (Steady state

response) ไดดวย และในกรณทเปนการสนสะเทอนแบบบงคบ ซงถกกระทาดวยแรงรปแบบใดๆ ปญหาน

ไมอาจแกไดดวยวธโดยตรง แตกสามารถใชการวเคราะหแบบโมดลในแกปญหาได

หมายเหต พกดโมดล 1r และ 2r ในทางกายภาพนนจะสมพนธกบการเคลอนทตาม Mode shape ท 1 และ

ท 2 ของระบบนนตามลาดบ

4.2 คณสมบตความตงฉาก

กาหนดให ix และ jx เปนเวคเตอรของ mode shape (Eigen vector) ซงสมพนธกบความถ

ธรรมชาต iω และ jω ตามลาดบ เนองจากเมตรกซของมวล M และเมตรกซของความแขงเกรง K เปน

เมตรกซทสมมาตรเสมอ ดวยคณสมบตความตงฉาก (Orthogonal property) จะไดความสมพนธของ

เวคเตอรของ mode shape และเมตรกซของมวลและเมตรกซความแขงเกรงดงน

0=iTj Mxx และ 0=i

Tj Kxx เมอ ji ≠ (6-24)

iiiTi M=Mxx และ iii

Ti K=Kxx (6-25)

ในกรณของระบบทองศาอสระเทากบ 2 สมการ (6-24) และ (6-25) สามารถเขยนในรปเตมของการ

คณเมตรกซและเวคเตอรเพอความเขาใจไดดงน

{ }0

2

1

2221

121121 =

i

j

xx

mmmmxx

และ { }

02

1

2221

121121 =

i

j

xx

kkkkxx

(6-26)

{ }ii

i

i Mxx

mmmmxx

=

2

1

2221

121121 และ { }

iii

i Kxx

kkkkxx

=

2

1

2221

121121 (6-27)

จะเหนวาหากใชเวคเตอรของ Mode shape คนละ Mode คณเขากบเมตรกซของมวลและความแขงเกรง

ตามสมการ (6-26) และ (6-27) แลว คาทไดจะเทากบศนย แตถาใชเวคเตอรของ Mode shape ทเปน mode

เดยวกนแลวคาทไดจะไมเทากบศนย

เนองจากขนาดของ Mode shape จะกาหนดเปนเทาใดกได แตอตราสวนของ Mode shape ตองคง

เดมเสมอ เมอปรบขนาดของเวคเตอรของ Mode shape เทยบกบเมตรกซของมวลโดยการคณคาคงท C ท

เหมาะสมจะไดเวคเตอรของ Normalized mode shape iu และ ju หรออาจเรยกวา Nomalized eigen

vector ซงมสมบตดงน

ii Cxu = (6-28)

0=iTj Muu และ 0=i

Tj Kuu (6-29)

1=iTi Muu (6-30)

จะเหนวาสมการ (6-29) เปนสมบตเดยวกบสมการ (6-24) สวนการปรบขนาดเวคเตอรของ Mode shape

ในสมการ (6-28) จะสงผลใหขนาด iiM ในสมการ (6-25) มคาเทากบ 1


ปญหาการสนสะเทอนของระบบทมองศาอสระมากกวา 1 จะเปนปญหาแบบ Eigen value problem

ซงมรปแบบสมการทใชแกดงแสดงมาแลวในสมการ (6-5) และนามาเขยนใหมอกครงในทน

0xMK =− )()( 2 tω (6-5)

เมอพจารณากรณทความถธรรมชาตท i สดสวนของ x แตละตวในเวคเตอร )(tx ในสมการ (6-5) จะม

ความสมพนธตาม Mode shape ใน mode ท i เมอแทนเวคเตอรของ Normalized mode shape ใน

mode ท i iu ลงในสมการจะได

0uMK =− ii )( 2ω

หรอ iii MuKu 2ω=

เมอคณทงสองขางของสมการดวย Tiu จะได

iTiii

Ti MuuKuu 2ω=

ใชสมบตของ Normalize mode shape ในสมการท (6-30) จะได 22ii

Tiii

Ti ωω == MuuKuu (6-31)

สมการนแสดงใหเหนถงสมบตอกอยางหนงของเวคเตอรของ Normalized mode shape ซงจะถกใชตอไปใน

การวเคราะหโมดล

หากนาเวคเตอรของ normalized mode shape มารวมเขาดวยกนใหเปนเมตรกซ จะเรยกเมตรกซ

นนวาโมดลเมตรกซ (Modal matrix) ถาเปนระบบทมองศาอสระเทากบ n โมดลเมตรกซกจะมมต nn×


[ ]

==

nnnn

n

n

n

uuu

uuuuuu

21

22212

12111

21 uuuU (6-32)

โดยคา pqu ในเมตรกซ หมายถงคา normalized mode shape ของ mode ท p และเปนตวท q

ความสมพนธในสมการท (6-29), (6-30) และ (6-31) สามารถนามาประยกตใชในกรณของโมดล

เมตรกซไดดงสมการ

[ ] I

u

uu

MuuuMUU =

=

=

100

010001

2

1

21

n

nT (6-33)

[ ] Λ

u

uu

KuuuKUU =

=

=

2

22

21

2

1

21

00

0000

nn

nT

ω

ωω

(6-34)


โดยเมตรกซ Λ ในสมการท (6-34) มชอเรยกวาสเปกทรลเมตรกซ (Spectral matrix)

ความสมพนธในสมการ (6-32) ถง (6-34) จะถกนาไปใชในการวเคราะหโมดล ซงจะกลาวถงในหวขอถดไป

4.3 ขนตอนการวเคราะหโมดล

พจารณาสมการการเคลอนทในรปแบบสมการ (6-2) ดงน

)()()( ttt FKxxM =+ (6-2)

กาหนดเวคเตอรของพกดโมดล (Modal coordinate) )(tr มความสมพนธกบพกด )(tx ดงสมการ

)()( tt Urx = (6-35)

แทนความสมพนธในสมการ (6-35) ลงในสมการ (6-2) จะได

)()()( ttt FKUrrM U =+

คณทงสองขางของสมการดวย TU จะได

)()()( ttt TTT FUKUrUrM UU =+

จากความสมพนธสมการท (6-33) และ (6-34) จะได

)()()( ttt T FUΛrr =+ (6-36)

สมการ (6-36) เขยนใหอยในรปเตมของการคณเมตรกซไดดงน

=

=

+

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

00

0000

)(

)()(

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

2

22

21

2

1

tN

tNtN

tF

tFtF

uuu

uuuuuu

tr

trtr

tr

trtr

nn

T

nnnn

n

n

nnn

ω

ωω

(6-37)

สมการท (6-37) เปนระบบสมการซงประกอบดวยสมการยอยๆ ทเปนอสระตอกน n สมการ ดงนนจง

สามารถแกสมการหาคา )(tri ของสมการยอยๆ ไดโดยตรง

เนองจากการวเคราะหดวยวธโมดลจะเปลยนจากพกดปกตเปนพกดโมดล ดงนนคาเงอนไขเรมตนท

กาหนดในพกดปกต )0(x จงตองเปลยนใหเปนเงอนไขเรมตนในพกดโมดลดวย โดยใชความสมพนธใน

สมการ (6-35) เชนกน ดงน

)0()0( Urx =

คณทงสองขางดวย MUT จะได )0()0( MUrUMxU TT =

เมอใชความสมพนธในสมการ (6-33) จะได )0()0( MxUr T= (6-38)

และ )0()0( xMUr T= (6-39)

สมการท (6-38) และ (6-39) แสดงเงอนไขเรมตนในระบบพกดโมดล เมอใชเงอนไขเหลานจะ

สามารถหาผลเฉลย )(tr ออกมาได อยางไรกตามผลทไดเปนผลในระบบพกดโมดล จงตองแปลงผลทได

กลบไปเปนผลเฉลย )(tx ซงแสดงการสนสะเทอนตามทตองการ โดยใชสมการ (6-35) ขนตอนการ

วเคราะหโมดลทไดกลาวมาแลวขางตนสามารถสรปอกครงไดดงแผนภาพในรปท 6-7


6-7 ขนตอนการวเคราะหโมดล


ขนตอนทกลาวมาทงหมดจะทาโดย Normalized mode shape อยางไรกตามการวเคราะหอาจจะทา

โดยตรงจากเวคเตอรและเมตรกซของ mode shape ตามความสมพนธพนฐานในสมการ (6-24) และ (6-25)

เพยงแตวาเมตรกซของมวล และเมตรกซของความแขงเกรงทแปลงแลวในพกดโมดลจะแตกตางไปจาก

สมการท (6-36) และ (6-37) โดยจะไดรปแบบสมการดานลางแทนสมการ (6-37)

=

+

)(

)()(

)(

)()(

00

0000

)(

)()(

00

0000

2

1

2

1

22

11

2

1

22

11

tN

tNtN

tr

trtr

K

KK

tr

trtr

M

MM

nnnnnnn

1. Draw FBD, apply Newton’s law to obtain EOM2. Solve for natural frequencies through CHE3. Determine mode shapes through EVP4. Construct modal matrix (normalized)

)()()( ttt FKxxM =+

0xMK =ω− )()( 2 t0)det( 2 =ω− MK

[ ]nuuuU 21=

IMUU =T

ΛKUU =T

5. Perform a coordinate transformation )()( tt Urx =

)()()( ttt FKxxM =+ )()()( ttt FKUrrMU =+

)()()( ttt TTT FUKUrUrMUU =+

)()()( ttt T FUΛrr =+

6. Transform the initial conditions to modal coordinates

)()( tt Urx =

IMUU =T

)0()0( Urx =

)0()0( MUrUMxU TT =

)0()0( MxUr T=

From

and )0()0( xMUr T=

7. Find the response in modal coordinates8. Transform the response in modal coordinate

back to that in original coordinate )()( tt Urx =

=)(tr)(tr

)(tx



ระบบการสนสะเทอนทมองศาอสระเทากบ 2 มสมการการเคลอนท

=

−

−+

00

33327

1009

2

1

2

1

xx

xx

กาหนดเงอนไขเรมตน

=

01

0x และ

=

00

0v

จงหาลกษณะการสนสะเทอนของระบบน

เนองจากการสนสะเทอนของระบบเปนแบบ Synchronous motion คาตอบจะอยในรปฟงกชนไซนซอยด

)sin( φω += tAx และ xx 2ω−= เมอแทนคานลงในสมการการเคลอนทจะไดสมการในรปแบบ

เดยวกบสมการ (6-5) ดงน

=

−−−−

00

333927

2

12

2

xx

ωω

0XMK =− )( 2ω (1)

และจะได Characteristics equation ดงน

033

39272

2

=−−−−

ωω

หรอ 09)3)(927( 22 =−−− ωω

คาตอบของ Characteristics equation คอ

221 =ω ดงนน rad/s 21 =ω

422 =ω ดงนน rad/s 22 =ω

จากสมการ (1) จะไดความสมพนธ

33

9273 2

22

1 ωω

−=

−=

xx

(2)

แทนคา 1ω และ 2ω ลงในสมการ (2) เพอหา Mode shape จะได

เมอ 21 == ωω 31

2

1 =xx

หรอ

=

31

12

1

ωxx

Mode shape ท 1

เมอ 22 == ωω 31

2

1 −=

xx

หรอ

−

=

31

22

1

ωxx

Mode shape ท 2

ทาการ Normalize mode shape เพอให 1=iTi Muu โดยกาหนดให ii Cxu =

กรณ 21 == ωω

=

=31

12

11 C

xx

Cω

u


จาก 1=iTi Muu จะได { } 1

31

1009

312 =

C 23

1=C

ดงนน

=31

231

1u

กรณ 22 == ωω

−

=

=31

22

12 C

xx

Cω

u


31

1009

312 =

−

−C

231

=C

ดงนน

−

=31

231

2u

เมอหา Normalized mode shape ของแตละ mode ไดแลวจะสามารถหา Modal matrix ไดดงน

[ ]

−==

3311

231

21 uuU

จาก EOM )()()( ttt FKxxM =+

ให )()( tt Urx = จะได )()()( ttt FKUrrM U =+

)()()( ttt TTT FUKUrUrM UU =+

)()()( ttt T FUΛrr =+ (3)

Check

IM UU =

=

−

−

=1001

3311

231

1009

3131

231T

ΛKUU =

=

−

−

−

−

=4002

3311

231

33327

3131

231T

และ

=

−

=00

00

3131

231)(tT FU

เมอแทนในสมการ (3) จะได

=

+

00

4002

2

1

2

1

rr

rr

(4)

สมการ (4) นสามารถแกไดโดยตรง และมคาตอบดงน

)2sin( 111 θ+= tAr (5)

)2sin( 222 θ+= tAr (6)

และ )2cos(2 111 θ+= tAr (7)


)2cos(2 222 θ+= tAr (8)

หาเงอนไขเรมตนในระบบพกดโมดลจากสมการ (6-38) และ (6-39) ดงน

จาก )0()0( MxUr T=

−=

−

=

33

21

01

1009

3131

231

)0()0(

2

1

rr

จาก )0()0( xMUr T=

=

−

=

00

00

1009

3131

231

)0()0(

2

1

rr

แทนคาเงอนไขเรมตนนในสมการท (5)-(6) เพอหาคาคงทในกรณ 1r

)sin(2

3)0( 111 θAr ==

)cos(20)0( 111 θAr ==

แกสมการขางบนจะได 21 πθ = และ 231 =A ดงนน

ttr 2cos2

3)2

2sin(2

31 =+=

π (9)

แทนคาเงอนไขเรมตนนในสมการท (7)-(8) เพอหาคาคงทในกรณ 2r

)sin(23)0( 222 θAr =

−=

)cos(20)0( 222 θAr ==

แกสมการขางบนจะได 22 πθ = และ 232 −=A ดงนน

ttr 2cos23)

22sin(

23

2−

=+−

=π (10)

คา 1r และ 2r ในสมการ (9) และ (10) เปนการสนสะเทอนในพกดโมดล จงตองแปลงกลบเพอใหไดการ

สนสะเทอนในระบบพกดทโจทยกาหนด

จาก )()( tt Urx =

−

−=

t

t

xx

2cos23

2cos2

3

3311

231

2

1

−

+=

tt

tt

xx

2cos232cos

23

2cos212cos

21

2

1 ANS


5. Rigid body mode

ในระบบการสนสะเทอนบางระบบอาจม Mode shape ทระบบทงระบบเคลอนทไปดวยกน

เชนเดยวกบการเคลอนทของวตถแขงเกรง Mode shape ทมลกษณะเชนนเรยกวา Rigid body mode

เนองจากเปนการเคลอนทไปดวยกนหรอหมนไปดวยกน ดงนนความถธรรมชาตทสอดคลองกบ Rigid body

mode จงมคาเทากบศนย ( 0=nω ) ตวอยางของระบบทมการสนสะเทอน mode หนงเปน Rigid body

mode แสดงในรปท 6-8 โดยทงรป (a) และ (b) แสดงระบบซงประกอบดวยมวล 2 กอน เชอมตอกนดวย

สปรง โดยรป (b) เพลาตรงกลางทาหนาทเปนสปรง เมอวตถเกดการสนจะเกดไดเพยง 2 กรณเทานน คอ

มวลทงสองเคลอนทคนละทศทางกน และมวลทงสองกอนเคลอนทไปพรอมๆ กน หรอหมนไปพรอมๆ กน

Mode shape ทมวลทงสองกอนเคลอนทไปพรอมๆ กนนคอ Rigid body mode

6-8 ตวอยางระบบทม Mode shape หนงเปน Rigid body mode [2]


หาลกษณะการสนสะเทอนของระบบดงแสดงในรป

กาหนดให m1 = 1 kg, m2 = 4 kg, k = 400 N/m

เงอนไขเรมตน

=

001.0

0x และ

=

00

0v



ระบบทโจทยกาหนดสามารถเขยน FBD ไดดงรปทางดาน

ซายมอ และสามารถเขยนสมการการเคลอนทไดดงน

EOM )( 1211 xxkxm −=

)( 1222 xxkxm −−=

หรอเขยนในรปเมตรกซไดดงน

=

−

−+

00

1111

00

2

1

2

1

2

1

xx

kxx

mm

=

−

−+

00

400400400400

4001

2

1

2

1

xx

xx

จาก EOM จะเขยน สมการเพอคานวณหาความถธรรมชาต และ Mode shape ไดดงน

=

−−−−

00

4400400400400

2

12

2

xx

ωω

(1)

Characteristics equation 0MK =− )det( 2ω

04400400

4004002

2

=−−

−−ω

ω หรอ 0400)4400)(400( 222 =−−− ωω

แกสมการออกมาจะได

021 =ω rad/s 01 =ω Rigid body mode

50022 =ω rad/s 36.222 =ω

จากสมการท (1) จะสามารถหาความสมพนธเพอหา Mode shape ดงน

22

1

400400

ω−=

xx

แทนคา 1ω และ 2ω ลงในสมการเพอหา Mode shape จะได

เมอ rad/s 01 == ωω 11

2

1 =xx

หรอ

=

11

12

1

ωxx

Mode shape ท 1

เมอ rad/s 36.222 == ωω 1

4

2

1

−=

xx

หรอ

−

=

14

22

1

ωxx

Mode shape ท 2

ทาการ Normalize mode shape เพอให 1=iTi Muu โดยกาหนดให ii Cxu =

กรณ rad/s 01 == ωω

=

=11

12

11 C

xx

Cω

u


11

4001

112 =

C 5

1=C

ดงนน

=11

51

1u


กรณ rad/s 36.222 == ωω

−

=

=1

4

22

12 C

xx

Cω

u


14

4001

142 =

−

−C

521

=C

ดงนน

−

=1

452

12u

Modal matrix คอ [ ]

−

==211

215

121 uuU

เนองจากไมมแรงภายนอกมากระทากบระบบ

=00

)(tT FU

จาก )()()( ttt T FUΛrr =+ ดงนนสมการ EOM จะแปลงใหอยในพกดโมดลไดดงน

=

+

00

500000

1001

2

1

2

1

rr

rr

(2)

สมการนสามารถแกไดโดยตรงดงน

01 =r 211 CtCr += (3)

0500 22 =+ rr )36.22cos(32 θ+= tCr (4)

และจะได 11 Cr = (5)

)36.22sin()36.22(32 θ+−= tCr (6)

หาเงอนไขเรมตนในระบบพกดโมดลดงน

จาก )0()0( MxUr T=

=

−

=

008944.0004472.0

001.0

4001

21211

51

)0()0(

2

1

rr

จาก )0()0( xMUr T=

=

−

=

00

00

4001

21211

51

)0()0(

2

1

rr

แทนเงอนไขเรมตนลงในสมการ (3)-(6) และแกสมการ จะได

C1 = 0, C2 = 0.004472, C3 = 0.008944, θ = 0 rad

ดงนนผลเฉลยในพกดโมดลคอ

004472.01 =r (7)

)36.22cos(008944.02 tr = (8)

คา 1r และ 2r ในสมการ (7) และ (8) เปนการสนสะเทอนในพกดโมดล จงตองแปลงกลบเพอใหไดการ

สนสะเทอนในระบบพกดทโจทยกาหนด

จาก )()( tt Urx =

−

=

)36.22cos(008944.0004472.0

21121

51

2

1

txx


−+

=

)36.22cos(002.0002.0)36.22cos(008.0002.0

2

1

tt

xx

ANS

จากผลทไดแสดงใหเหนวามวลทงสองกอนมการเลอนทไปเปนระยะ 0.002 m เนองจากมการเคลอนท

mode หนงทเปน Rigid body mode และมการสนดวยความถธรรมชาต 22.36 rad/s รอบจดสมดลใหม โดย

มทศทางการเคลอนทตรงขามกนตามสดสวนของ mode shape ท 2

6. การวเคราะหโมดลในระบบทมความหนวง

การวเคราะหทไดกลาวมากอนหนานทงหมด เปนการวเคราะหในปญหาทไมมตวหนวงการ

สนสะเทอนในระบบ ในกรณทมตวหนวงการสนสะเทอนนน โดยปกตวธการวเคราะหโมดลจะไมสามารถ

กระทาได เนองจากเทอมทเกยวของกบเมตรกซของตวหนวงการสนสะเทอน C จะไมสามารถแปลงเปน

เมตรกซในแนวเสนทแยงมมได ระบบสมการจงยงเกยวของกนอยไมสามารถแกไดโดยตรง อยางไรกตาม

มบางกรณทการวเคราะหโดยวธโมดลสามารถกระทาได หากเมตรกซของมวล ความแขงเกรง และ

ความหนวง มความสมพนธกนดงสมการ

CKMKCM 11 −− = (6-40)

ระบบทมคาความหนวงทมความสมพนธดงนจะเรยกวา Classical damped system สาหรบกรณ

อยางงายทสอดคลองกบสมการ (6-40) ไดแกกรณทสมประสทธการหนวงเปนสดสวนโดยตรงกบมวลและ

ความแขงเกรงของระบบ ดงสมการ

KMC βα += (6-41)

เมอคา α และ β เปนคาคงท คาสมประสทธการหนวงนมชอเรยกวา Proportional damping

สาหรบในทนจะพจารณาเฉพาะกรณนเทานน พจารณาสมการการเคลอนทซงมตวหนวงการสนสะเทอนใน

ระบบ ดงสมการ

)()()()( tttt FKxxCxM =++ (6-42)

เนองจากตวหนวงการสนสะเทอนเปนสดสวนกบเมตรกซของมวลตามสมการ (6-41) เมอแทนคาลง

ในสมการ (6-42) จะได

)()()()()( tttt FKxxKMxM =+++ βα (6-43)

ทาการหาเมตรกซของ Mode shape U ตามวธการเดยวกบกรณทไมมตวหนวงการสนสะเทอน

และกาหนดให )()( tt Urx = เมอแทนลงในสมการ (6-43) จะได

)()()()()( tttt FKUrrUKMrMU =+++ βα

คณทกพจนของสมการดวย TU จะได

)()()()()( TTTT tttt FUKUrUrUKMUrMUU =+++ βα


)()()()()()( T ttttt NFUΛrrΛIr ==+β+α+ (6-44)

สมการ (6-44) สามารถเขยนใหอยในรปเตมของเมตรกซไดดงน

=

+

+

+

)(

)()(

)(

)()(

00

0000

)(

)()(

00

0000

000

010001

)(

)()(

2

1

2

1

2

22

21

2

1

2

22

21

2

1

tN

tNtN

tr

trtr

tr

trtr

tr

trtr

nnnnnn

ω

ωω

ω

ωω

βα

(6-45)

จะเหนวาสมการยอยแตละสมการไมมความเกยวของกน และสามารถแกไดโดยตรง โดยสมการยอย

แตละสมการจะอยในรป

)()()()()( 22 tNtrtrtr iiiiii =+++ ωβωα

หรอ )()()(2)( 2 tNtrtrtr iiiiiii =++ ωωζ (6-46)

เมอ 22 iii βωαωζ +=

สมการท (6-46) อยในรปแบบเดยวกบสมการของระบบทมองศาอสระเทากบหนงทมตวหนวงการ

สนสะเทอนโดยทวไป จงสามารถแกสมการไดโดยงาย และเนองจากคาตอบทหาไดอยในพกดโมดล จงตอง

แปลงกลบใหอยในพกดปกต ดวยสมการ )()( tt Urx = เชนเดยวกบปญหาทไมมตวหนวงการสนสะเทอน


Determine the forced response of a belt-driven lathe as shown in the figure for zero initial

conditions and the applied moment M(t) is a unit impulse.

Given

• Bearings are modeled as providing

viscous damping

• Shafts provide stiffness

• Belt drive provides an applied torque

/radkg.m10 2321 === JJJ

N.m/rad10321 == kk

N.m.s/rad2=c (Inman D. J., Engineering Vibration, 2nd edition, Ex. 4.8.1)


จาก FBD จะสามารถเขยนสมการการเคลอนทไดดงน

)()( 1212111 θθθθθ −+−= ckJ

)()()()( 232321212122 θθθθθθθθθ −+−+−−−−= ckckJ

)()()( 2323233 tMckJ +−−−−= θθθθθ

หรออาจเขยนในรปเมตรกซไดดงน

=

−−+−

−+

−−−

−+

)(00

0

0

02

0

000000

3

2

1

22

2211

11

3

2

1

3

2

1

3

2

1

tkkkkkk

kk

ccccc

cc

JJ

J

δθθθ

θθθ

θθθ

และเขยนในรปอยางยอไดเปน )(tMKθθCθJ =++

หาคาความถธรรมชาตของระบบโดยพจารณา Characteristic equation (CHE) กรณทไมมตวหนวงการ


00

0)(

32

22

222

211

112

12 =

−−−−+−

−−=−

JkkkJkkk

kJk

ωω

ωω JK

จากสมการ CHE จะไดความถธรรมชาตออกมา 3 คา ไดแก

rad/s 300,10,0 321 === ωωω

นาความถธรรมชาตทไดแทนลงในสมการ 0ΘJK =− )( 2ω เพอหา Mode shape

1st Mode: rad/s 01 =ω

0ΘJK =− 121 )( ω 0=

ΘΘΘ

−−−

−

13

2

13

110121

01110


เมอให 11 C=Θ จะได

=

111

11 Cu

เนองจาก rad/s 01 =ω ดงนน Mode shape นจงเปน Rigid body mode และไดอตราสวนการเคลอนท

ของมวลแตละกอนเทากนหมด

2nd Mode: rad/s 102 =ω

0ΘJK =− 222 )( ω 0=

ΘΘΘ

−−−

−

23

2

13

010111

01010


−=

101

22 Cu

3rd Mode: rad/s 3003 =ω

0ΘJK =− 323 )( ω 0=

ΘΘΘ

−−−−−

−−

33

2

13

210111

01210


−=12

1

33 Cu

เมอได Mode shape แลว ขนตอไปทาการ Normalized mode shape โดยสมการ 1=iTi Juu

1st mode

{ } 1111

100001000010

1112111 =

= CT Juu

โดยจะได 301

1 =C และ

=

111

301

1u

2nd mode

{ } 11

01

100001000010

1012222 =

−

−= CT Juu



2 =C และ

−=

101

201

2u

3rd mode

{ } 112

1

100001000010

1212333 =

−

−= CT Juu


3 =C และ

−=12

1

601

3u

นา Mode shape ทไดมาสราง Modal matrix ไดดงน

−

−=

601

201

301

6020

301

601

201

301

U

วเคราะหโมดล โดยแปลงระบบพกดเปนพกดโมดลดวยสมการ )()( tt Urθ =

แปลงเงอนไขเรมตนซงเปน zero initial conditions ใหอยในพกดโมดลดวยสมการ

0JθUr == )0()0( T และ 0θJUr == )0()0( T

พจารณาเมตรกซของตวหนวงการสนสะเทอน C พบวาเมตรกซนเปนสดสวนกบเมตรกซของความแขง

เกรง K ดงสมการ

KKC 3102220242

022−×==

−−−

−= β

ดงนนจะสามารถแปลง EOM ใหอยในพกดโมดลไดดงน

)(tMKUrrKUrJU =++ β

)(tTTTT MUKUrUrKUUrJUU =++ β

)(tT MUΛrrΛrI =++ β

หรอเขยนเปนรปเตมไดดงน


−=

=

+

+

601201

301)(

)(00

3000001000000

3000001000000

100010001

3

2

1

3

2

1

3

2

1

ttr

rr

rrr

rrr

T δδ

β U

สมการยอยในระบบสมการขางบนเปนอสระตอกน จงสามารถแยกแกสมการทละสมการได โดยมคาตอบ

ของแตละสมการยอยดงน

สมการ เงอนไขเรมตน ผลเฉลย

)(301

1 tr δ= 0)0()0( 11 == rr

ttr301)(1 =

)(2011002.0 222 trrr δ−

=++ 0)0()0( 22 == rr

tetr dt

d2

1.0

22 sin

201)( ωω

−−=

)(6013006.0 333 trrr δ=++

0)0()0( 33 == rr tetr d

t

d3

3.0

33 sin

601)( ωω

−=

คา dω หาจากความสมพนธของสมประสทธเทอม ir กบ iiωζ2 และสมการ 21 iidi ζωω −=

เชนเดยวกบปญหากรณระบบทมองศาอสระเทากบหนง ดงน

01 =ζ

01.0)10(2

2.02 ==ζ rad/s 9995.901.0110 2

2 =−=dω

01732.030026.0

3 ==ζ rad/s 3179.1701732.01300 23 =−×=dω

คาตอบทไดเปนคาตอบในระบบพกดโมดล จงตองแปลงกลบเปนพกดปกตดวยสมการ )()( tt Urθ = ดงน

−

−

−=

=

−

−

te

te

t

ttt

t

dt

d

dt

d

33.0

3

21.0

23

2

1

sin60

1

sin20

1301

601

201

301

6020

301

601

201

301

)()()(

)(

ωω

ωωθ

θθ

θ


++

−

+−

=

=

−−

−

−−

tetet

tet

tetet

ttt

t

dt

dd

t

d

dt

d

dt

dd

t

d

33.0

32

1.0

2

33.0

3

33.0

32

1.0

2

3

2

1

sin60

1sin20

1301

sin30

1301

sin60

1sin20

1301

)()()(

)(

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

θθθ

θ ANS

รปดานลางแสดงถงลกษณะการสนสะเทอนของมวลแตละกอนในขอน โดยรปทางดานซายแสดงการ

สนสะเทอนในพกดโมดล สวนรปทางดานขวาแสดงการสนสะเทอนในระบบพกดตามรปโจทย


7. สรป

ในบทนกลาวถงการวเคราะหการสนสะเทอนของระบบทมองศาอสระมากกวาหนง ในการวเคราะห

จะตองหาความถธรรมชาตของระบบ และ Mode shape ซงแสดงลกษณะของการสนสะเทอนของระบบ

เสยกอน ในการสนอยางอสระ ลกษณะการสนสะเทอนจะเกดจากการผสมกนของการสนทความถธรรมชาต

ตางๆ และ Mode shape ตางๆ ซงลกษณะการสนจะใกลเคยงกบ Mode shape ใดนน ขนอยกบเงอนไข

เรมตนของระบบ ในสวนครงหลงของบทกลาวถงการวเคราะหแบบโมดล ซงใชหลกการการเปลยนพกดของ

ระบบใหเปนระบบพกดโมดล ทาใหระบบของสมการการเคลอนทซงแตละสมการยอยมความเกยวของกน

สามารถแยกออกเปนสมการยอยๆ ทเปนอสระตอกน จงสามารถแกปญหาไดโดยตรง เมอแกสมการเสรจจง

แปลงระบบพกดโมดลใหกลบเปนระบบพกดเดม การวเคราะหโมดลนนนอกจากจะนาไปประยกตเพอเขยน

โปรแกรมคานวณไดสะดวกแลว ยงสามารถนาไปใชกบปญหาการสนสะเทอนแบบบงคบทรปแบบของแรง

กระทาไมใชแรงแบบฮารโมนค ซงไมสามารถแกไดดวยวธโดยตรงไดดวย ในสวนสดทายของบทกลาวถง

ระบบทมตวหนวงการสนสะเทอนซงเปนสดสวนกบมวลและความแขงเกรงของระบบ ซงเปนกรณเฉพาะท

สามารถประยกตใชวธวเคราะหโมดลในการแกปญหาได สาหรบกรณทมตวหนวงการสนสะเทอนเปนคา

อนๆ อาจจะตองใชวธการประมาณคาอตราสวนความหนวงในการแกปญหา

References





lb 3220=W , 2rg

WJ C = , ft 4=r ,

ft 5.41 =l , lb/ft 24001 =k ,

ft 5.52 =l , lb/ft 26002 =k

1. Determine the normal modes of vibration of an

automobile simulated by simplified 2-dof system. [Thomson, 5.3.2]

ANS

rad/s 9.61 =ω , rad/s 06.92 =ω ,

ft/rad 6.141

−=

ωθx

, ft/rad 09.12

=

ωθx

=

−

−+

00

2112

00

2

1

2

1

xx

aT

xx

mm

เงอนไขเรมตน

=00

0x ,

=10

0v

2. 2-dof string-bead system ม EOM และเงอนไข

เรมตนแสดงดงรป หาลกษณะการเคลอนทของมวลทง

2 กอน

ANS

rad/s 1 maT

=ω , rad/s 32 ma

T=ω ,

=11

21

1 mu ,

−

=1

121

2 mu

ttx 22

11

1 sin2

1sin2

1 ωω

ωω

−=

ttx 22

11

2 sin2

1sin2

1 ωω

ωω

+=

1k2k

θx

2l1l


m0 = 2 kg, m = 1 kg, k1 = 200 N/m, k2 = 100 N/m

and r = 0.2 m. ( 2

21 mrJ = )

3. From the system shown below assume that the

rope passing over the cylinder does not slip

1. Determine the natural frequencies and the

mode shapes of the system.

2. Also find the response when

=

θ 0

1.0)0()0(x

,

and

=

00

)0()0(

θx

.

ANS

=

+−−

+

00

)(210

02

212

222

0 θθx

rkkrkrkkx

rmm

rad/s 6537.71 =ω , rad/s 4776.182 =ω ,

=9136.19239.0

1u ,

−

=6197.43825.0

2u

−+

=

ttttx

4776.18cos1767.06537.7cos1768.04776.18cos01463.06537.7cos08536.0

θ


บทท 7

วธการควบคมการสนสะเทอน

1. บทนา

การสนสะเทอนเปนเรองทพบไดในเครองจกรกลตางๆ ทมการเคลอนท ไมวาจะเปนการหมน หรอ

การเคลอนทกลบไปกลบมาของชนสวน การทจะทาใหเครองจกรไมเกดการสนสะเทอนเลยเปนสงทเปนไป

ไดยากหรออาจเปนไปไมไดเลย เนองจากเมอชนสวนเคลอนทจะมความเรงเกดขนเนองจากมการเปลยนทศ

ทางการเคลอนท เครองจกรกลหลายๆ ชนดมธรรมชาตการทางานทไมมความสมดล เชน ลกสบของ

เครองยนตทมเคลอนทไปกลบในแนวเสนตรง การทางานของป มนา การหมนป นผาของเครองซกผา เปนตน

และหากมความไมสมดลเกดขนแมเพยงเลกนอย กอาจจะสงผลเกดแรงกระทากบเครองจกรในขนาดทมาก

ได หากความถของแรงกระทาใกลเคยงกบชวงความถธรรมชาตของเครองจกร ดงทไดกลาวถงไปแลวในบท

กอนหนา นอกจากจะกอใหเกดความเสยหายกบตวเครองจกรกลนนแลว การสนสะเทอนนยงอาจสงผล

กระทบไปทเครองจกรกลอนๆ ทวางอยในบรเวณใกลเคยงกนได ถงแมวาการสนสะเทอนจะไมสามารถ

หลกเลยงได แตกอาจควบคมใหอยในชวงทสามารถทางานอยางปลอดภยได

รปท 7-1 แสดงแผนผงตวอยางการวเคราะหระบบการสนสะเทอนเพอควบคมการสน กระบวนการ

วเคราะหปญหาเรมจากการสรางแบบจาลองของระบบ ดงทกลาวมาแลวในบทท 2 เพอใหทราบถงลกษณะ

ของระบบและธรรมชาตของแรงกระตนทเกดขน หลงจากนนจงวเคราะหหาลกษณะการสนสะเทอน โดยการ

แกสมการการเคลอนททสรางขน เมอทราบลกษณะการสนสะเทอนแลว การควบคมการสนสะเทอนก

สามารถทาไดโดยการปรบเปลยนพารามเตอรตางๆ ของระบบ เชน มวล ความแขงสปรง คาความหนวง

เพอควบคมไมใหการสนสะเทอนจากภายนอกกระทบกบระบบ หรอควบคมไมใหการสนสะเทอนของระบบ

แพรไปสระบบอนๆ หรออาจเพอควบคมขนาดการสนสะเทอนของระบบโดยตรง ทงนการทจะปรบเปลยน

พารามเตอรอยางไรนน กขนอยกบธรรมชาตของแรงกระตน เชน เปนแรงกระตนแบบเปนคาบ หรอเปนการ

กระแทก เปนตน นอกจากนยงตองคานงถงขนาดทยอมรบไดของการขจด ความเรว และความเรงของการ

สนสะเทอนดวย ทายทสดเมอเลอกวธการควบคมการสนสะเทอนไดแลว กตองมการทดสอบเพอตรวจสอบ

หาระดบการสนสะเทอนจรง และอาจมการปรบเปลยนพารามเตอรเพมเตม หากระดบการสนยงมคามาก

สาหรบในบทนจะกลาวถงการควบคมการสนสะเทอน 3 รปแบบ ดงแสดงในรปท 7-2 ไดแก 1) การ

ปองกนการสนสะเทอนจากพนไมใหสงผานไปยงเครองจกร 2) การปองกนไมใหการสนสะเทอนจาก

เครองจกรสงผานไปยงพนและกระจายไปยงเครองจกรอนๆ และ 3) การลดการสนสะเทอนของตวเครองจกร

โดยตรง โดย 2 รปแบบแรกเปนการปองกนการสงผานการสนสะเทอน หรอเรยกวา Vibration isolation

สวนรปแบบสดทายเปนการตดอปกรณเพอเปลยนแปลงระบบ ทาใหเครองจกรทสนใจมขนาดการ

สนสะเทอนลดลง เนองจากอปกรณทตดตงเขาไปทาหนาทดดซบการสนสะเทอน รปแบบนจงมชอเรยกวา

Vibration absorber


รปท 7-1 ขนตอนการวเคราะหระบบการสนสะเทอนเพอควบคมการสน

(ก) (ข)

(ค)

รปท 7-2 รปแบบการควบคมการสนสะเทอน [1]

Actual system Modeling

Analysis Solve EOM to predict dynamic characteristics and vibration response

Make design decisionChoose physical parametersChange system• Isolations• Absorbers

Design Criteria• Nature of input• Acceptable amplitude

level, displacement, velocity, or acceleration

Test

Vibration isolator × Vibration

isolator ×

m

ma

m

Vibration absorber


2. การควบคมการสงผานการสนสะเทอนจากพนไปยงเครองจกร

การสงผานการสนสะเทอนจากพนไปยงเครองจกรแสดงดงรปท 7-2(ก) การควบคมการสงผานการ

สนสะเทอนทาไดโดยออกแบบ Vibration isolator ซงกคอสปรงและตวหนวงการสนสะเทอนทมคาเหมาะสม

ทาใหการสนสะเทอนจากพนสงผานไปยงเครองจกรนอยลงได ตวอยางการควบคมการสนสะเทอนใน

รปแบบนไดแก ระบบรองรบของรถยนต ซงชวยลดการสนสะเทอนอนเนองมาจากความไมเรยบของสภาพ

พนถนน ใหสงผานไปยงหองผโดยสารไดนอยลง หรอโตะควบคมการสนสะเทอน (Table isolator) ซงทา

หนาทลดการสนสะเทอนจากพนทจะสงผานไปยงเครองจกรหรออปกรณอเลกทรอนกสทวางบนโตะ เปนตน

การวเคราะหปญหาในกรณนเปนเชนเดยวกบปญหาการสนสะเทอนจากการสนของพน ทไดกลาวมาแลวใน

บทท 4 สาหรบในทนจะกลาวทบทวนพอสงเขป รปท 7-3 แสดงการสนสะเทอนเนองจากการสนของพน

และ FBD ซงเปนรปเดยวกบรปท 4-18 รปแบบสมการการเคลอนทในกรณนคอ

kyyckxxcxm +=++

หรอ yyxxx nnnn22 22 ωζωωζω +=++ (7-1)

เมอกาหนดใหการเคลอนทของพนเปนแบบฮารโมนก ]Re[cos)( tjYetYty ωω == การตอบสนอง

ในรปแบบเชงซอนคอ tjZetz ω=)( และ )](Re[)( tztx = แทนคาเหลานลงในสมการ (7-1) และให

nr ωω= จะได

222

2

)2()1()2(1)(

rrrT

YX

ζζω+−

+== (7-2)

สมการท (7-2) แสดงความสมพนธระหวางขนาดการเคลอนทของวตถทสนใจ X กบขนาดการ

สนสะเทอนของพน Y และมชอเรยกวา Displacement transmissibility (T.R.) อตราสวนนแสดงใหเหนวา

วตถจะเคลอนทไปเทาไรเมอใหการกระตนโดยการสนของพนทความถตางๆ โดยความสมพนธตามสมการท

(7-2) จะเขยนเปนกราฟไดดงแสดงในรปท 7-4(ก) และสวนขยายชวง 2>r ในรป 7-4(ข)

(ก) (ข)

รปท 7-3 แบบจาลองการสนสะเทอนจากการสนสะเทอนของพน และ FBD [1]

FBD


(ก) (ข)

รปท 7-4 ความสมพนธระหวางคา Displacement transmissibility ทความถตางๆ [2]

จากรปท 7-4 จะไดวา เมอความถการกระตนมคานอยๆ (เขาใกล 0 Hz) คา T.R. จะมคาเขาใกล 1

ซงแสดงใหเหนวาการขจดของการสนสะเทอนของพนมคาเทากบการสนสะเทอนของมวลทสนใจ เมอความถ

การสนสะเทอนเพมมากยงขนขนาดของการสนสะเทอนจะเพมมากขน และจะมคามากเมอความถการ

กระตนเขาใกลความถธรรมชาตของระบบ (r = 1) และจะพบวาขนาดของการสนสะเทอนของมวลจะลดลง

นอยกวาขนาดการสนของพนทมากระตน (T.R. ≤ 1) เมอ 2>r ชวงนมชอเรยกวาชวง isolation ดงนน

หากตองการควบคมใหการสงผานการสนสะเทอนไปยงมวลมคานอย จะตองออกแบบใหระบบมการสนอย

ในชวงน เนองจากคา r ยงมาก ขนาดของการสงผานการสนสะเทอนจะลดลง การจะเพมคา r นน ทาได

โดยลดความถธรรมชาต ซงทาไดโดยลดคาความแขงสปรง k และเพมมวล m ของระบบ สาหรบผลของตว

หนวงการสนสะเทอนนนจะพบวา ถงแมตวหนวงการสนสะเทอนจะชวยลดการสนสะเทอนในชวงใกลๆ กบ

resonance ไดมาก แตสาหรบในชวงทเกดการ isolation นน ยงคาอตราสวนการหนวงมคามาก ขนาดการ

สนสะเทอนกลบเพมมากขนดวย ดงนนในการออกแบบ vibration isolation การกาหนดคาอตราสวนการ

หนวงมากเกนไปจงไมเปนผลด นอกจากจะพจารณาการสงผานการสนสะเทอนหรอ T.R. แลว แรงท

สงผานกจาเปนทจะตองพจารณาเชนกน

จาก FBD ในรปท 7-3(ข) จะไดวาแรงสงผานมคาเทากบผลบวกของแรงทสงผานโดยสปรง และ

สงผานโดยตวหนวงการสนสะเทอน และจาก EOM จะไดวาแรงนมคาเทากบ xm − ดงสมการ

xmyxcyxktF −=−+−= )()()( (7-3)

ดงนนจะได )cos()cos()()cos()( 22 θωθωωωθωω +=+=+= tFtTYmtXmtF T

และ 222

22

)2()1()2(1

rrrr

kYFT

ζζ+−

+= (7-4)

อตราสวนในสมการท (7-4) เรยกวา Force transmissibility ซงเปนอตราสวนแสดงขนาดแรงสงผาน

ทความถตางๆ รปท 7-5 แสดงกราฟความสมพนธของ Force transmissibility ตามสมการท (7-4) จากรป

Isolation region


จะพบวา Force transmissibility จะมคามากกวา 1 แมวาจะเปนชวง isolation ซง 2>r กตาม และจะ

พบวาคา Force transmissibility จะมคาเพมมากขนเมอคาอตราสวนการหนวงมคาเพมขน

รปท 7-5 ความสมพนธระหวางคา Force transmissibility ทความถตางๆ [1]


An electronic control system for an automobile engine is to be mounted on top of the fender inside

the engine compartment of the automobile as illustrated in the figure. To protect it from fatigue and

breakage, it is desirable to isolate the module from the vibration induced in the car body by road

and engine vibration. Hence the module is mounted on an isolator. Design the isolator (pick c and

k). Once the design values for isolator are chosen, calculate the magnitude of the force transmitted

to the module through the isolator.

Given

1. The mass of the module is 3 kg.

2. The dominant vibration of the fender is

approximated by )35sin(01.0)( tty = m.

3. It is desire to keep the displacement of the

module less than 0.005 m at all times. (Daniel J. Inman, Engineering Vibration, 2nd edition Ex.

5.2.1)


จากโจทยจะไดวาขนาดการสนสะเทอนของโครงรถ Y เทากบ 0.01 m สวนการสนสะเทอนของ module X ท

ตองการคอนอยกวา 0.005 m ดงนนจะได

5.001.0

005.0T.R. ===YX

เมอพจารณาจากกราฟดานลาง จะไดวาเมอ T.R. = 0.5 อาจจะเลอกจดทตองการออกแบบ r และอตราสวน

ความหนวง ζ ไดเปนคๆ ดงทแสดงในตารางในรปดานลาง

สมมตในทนเลอกใช 02.0=ζ จะไดวา r = 1.73 จากคาทเลอกนสามารถหาคาตางๆ ไดดงน

1. ความถธรรมชาต หาไดจาก 73.135 === nnr ωωω

ดงนน rad/s 231.20=nω

2. คาความแขงสปรง k หาไดจาก rad/s 231.203 === kmknω

ดงนน N/m 1228=k

3. คาสมประสทธความหนวง c หาไดจาก kg/s 428.2)231.20)(3)(02.0(22 === nmc ωζ

เมอไดคา k และ c เบองตนแลว กสามารถนาไปเปดหาคา k และ c ทเหมาะสมจาก catalog ตอไป

หากเลอกไดหลายชด อาจตองพจารณาจากราคา ความยากงายในการประกอบ ชวงอณหภมใช

งาน เปนตน

อปกรณบางอยางอาจถกจากดดวยแรงทกระทา ดงนนตองพจารณาคาแรงทสงผานดวย ดงน

T.R.)()2()1(

)2(1 2222

22 kYr

rrrkYrFT =

+−+

=ζ

ζ

ดงนน N 375.18)5.0()73.1)(01.0)(1228( 2 ==TF

หากคาทคานวณไดไมมากเกนไป กสามารถใชไดเลย ถาแรงยงมากเกนไป กจาเปนทจะตอง

ยอนกลบไปพจารณา r และ ζ คใหม และทาการคานวณใหมอกครง

ANS

ANS

ANS


สาหรบปญหาบางชนด ระยะ static deflection อาจจะเปนเงอนไขในการตดตง จงอาจตรวจสอบ

ระยะนดวย ดงน

m 024.01228

)81.9)(3(===

kmgδ

ระยะ 2.4 cm นในกรณทเปนรถยนตอาจจะเหมาะสม อยางไรกตามคานอาจจะมากเกนไปสาหรบ

ปญหาอนๆ เชน กรณของคอมพวเตอรโนตบก เปนตน

จากตวอยางนจะพบวาการออกแบบ Isolator นน นอกจากจะตองพจารณาถงเงอนไขของขนาด

การสนสะเทอนแลว ยงตองพจารณาถงแรงสงผาน และระยะ static deflection ดวยเนองจากอาจม

ความเกยวของกบการใชงาน

การวเคราะหปญหาในตวอยางน จาเปนตองมการตงสมมตฐานหลายๆ อยาง เชน การกาหนดให

แรงอยในรป )35sin(01.0)( tty = ซงในความเปนจรง ความถของการกระตนอาจจะเปลยนแปลง

จากสาเหตตางๆ เชน สภาพพนผวถนน ความเรวการเคลอนท หรอความเรวรอบเครองยนต

อยางไรกตามคา y ทกาหนดโดยผออกแบบ ควรเปนคาวกฤตทเหมาะสมในการออกแบบ เชน

ขนาดการสนสะเทอน Y ทความถอนๆ อาจจะนอยกวา 0.01 m หรอการกระตนทความถอนอาจจะ

มความถมากกวา 35 rad/s ซงจะสงผลใหคา r ในกรณแรงกระตนอน มคามากกวาคาทใช

ออกแบบ ซงคา T.R. ทความถสงๆ นนจะมคานอยกวาคาทออกแบบอยแลว จงสามารถใชงานได

เปนตน

ตวอยาง 7-2 A sensitive electronic system, of mass 30 kg, is

supported by a spring-damper system on the floor of a building that

is subjected to a harmonic motion in the frequency range 10-75 Hz.

If the damping ratio of the suspension is 0.25, determine the

stiffness of the suspension if the amplitude of vibration transmitted

to the system is to be less than 15 percent of the floor vibration

over the given frequency range. (Singiresu S. Rao, Mechanical

Vibrations, 4th edition, Prob. 9.46)

จากโจทยกาหนดใหการสงผานการสนสะเทอนนอยกวา 15 เปอรเซนต ดงนนจะได

15.0T.R. ≤=YX พจารณาให T.R. = 0.15

10-75 Hz

30 kg


จากความสมพนธของคา T.R. กบคาอตราสวนความหนวงและอตราสวนความถจะได

222

2

222

2

)25.02()1()25.02(1

)2()1()2(115.0T.R.

rrr

rrr

⋅⋅+−⋅⋅+

=+−

+==

ζζ

คานวณหาคาอตราสวนความเรวได r = 3.9546

ดงนน kmr

n

⋅=== ωωω9546.3

แทนคามวลของระบบ 30 kg จะได k309546.3 ⋅= ω

หรอ 29183.1 ω=k N/m

จะเหนวาคา k ททาให T.R. = 0.15 จะแตกตางกนตามความถของการกระตน

กรณการกระตนท 10 Hz จะได rad/s 832.62)10(2 == πω

และ N/m 0776.7573)832.62(9183.1 2 ==k

กรณการกระตนท 75 Hz จะได rad/s 240.471)75(2 == πω

และ N/m 6163.425985)240.471(9183.1 2 ==k

เนองจากคา k ทนอยกวาจะสงผลใหความถธรรมชาตของระบบนอยกวา เมอนาไปคานวณหาคา r

จะไดคา r ทสงกวาเมอระบบถกกระตนดวยความถเดยวกน ดงนนในกรณนจงควรเลอกใชคาความ

แขงสปรง 7573.0776 N/m

การตรวจสอบ

ตรวจสอบวาคา k = 7573.0776 N/m ใชไดหรอไมหากมแรงกระตนความถ 75 Hz

ในกรณน rad/s 240.471=ω และ rad/s 15.8882300776.7573 === mknω

และ 6567.298882.15240.471 === nr ωω

15.001691.0)6567.2925.02()6567.291(

)6567.2925.02(1T.R. 222

2

≤=⋅⋅+−

⋅⋅+=

ดงนนจงยนยนไดวา k = 7573.0776 N/m สามารถทาใหการสนสะเทอนทสงผานมาทระบบนอย

กวา 15 เปอรเซนตไดตลอดในชวงความถทกาหนด


หากตรวจสอบโดยใชคา k = 425,985.6163 N/m ในกรณทระบบถกกระตนดวยความถ 10 Hz จะ

คานวณคา T.R. ไดเทากบ 1.3455 ซงมากกวาคาทกาหนดคอ 0.15 มาก จงสรปไดวาคา k =

425,985.6163 N/m ไมสามารถทาใหการสงผานการสนสะเทอนนอยกวาทกาหนดตลอดชวงได

ANS


3. การควบคมการสงผานการสนสะเทอนจากเครองจกรไปยงพน

เมอเครองจกรทางานจะเกดการสนสะเทอนขน การสนสะเทอนจะสงผานโครงสรางและระบบรองรบ

ของเครองจกรไปยงพนและสงผานไปยงอปกรณอนๆ ทอยใกลเคยงตอไป ตวอยางปญหาในกรณน เชน

การทางานของเครองซกผาซงโดยธรรมชาตของการทางานไมมความสมดล เนองจากผาทหมนป นในเครอง

ไมอาจจะกระจายอยางสมาเสมอในถงซกได การสนสะเทอนทเกดขนจะสงผานไปยงพนและเครองใชอนๆ

ภายในบานตอไป ดงนนการออกแบบเครองซกผาจงตองมการออกแบบระบบรองรบอยางด เพอใหการ

สงผานการสนสะเทอนไปยงสวนอนๆ มคานอย ตวอยางอนๆ เชน ในเครองจกรขนาดใหญเชน ป ม หรอ

คอมเพรสเซอร การสนสะเทอนทเกดขนมคามาก ดงนนทฐานรองรบของเครองจกรเหลานจงตองมการตดตง

Isolator เพอลดการสงผานการสนสะเทอนไปยงพนดวยเสมอ ตวอยางของ Isolator ทใชในเครองจกรเหลาน

แสดงดงรปท 7-6

Greenheck Fan Corp., Catalog Mounting Bases and Vibration

Isolation SN Rev.2 March 2006

Fabreeka Vibration & Shock control, Foundation

Isolation Solutions for Equipment & Machines

รปท 7-5 ตวอยาง Isolator [3], [4]


การวเคราะหปญหาการสงผานการสนสะเทอนไปยงพน เรมจากการเขยนแบบจาลองและ FBD ดง

แสดงในรปท 7-6 เมอกาหนดใหแรงกระทาเปนแบบฮารโมนค จะไดวาปญหานเปนรปแบบเดยวกบปญหา

การสนสะเทอนแบบบงคบดงไดกลาวมาแลวในบทท 4 จาก FBD สามารถเขยนสมการการเคลอนทไดดงน

)cos(0 tFkxxcxm ω=++ (7-5)

การสนสะเทอนสามารถอธบายไดดวยสมการ )cos()( θω −= tXtx

โดยขนาดการสนสะเทอนหาไดจาก 222

0

)2()1( rr

kFX

ζ+−= โดย nr ωω=

สาหรบแรงทกระทากบพนจะกระทาผานสปรงและตวหนวงการสนสะเทอน ดงแสดงดวยสมการ

)()()( txctkxtFT +=

)sin()cos()( θωωθω −−−= tXctkXtFT (7-6)

(ก) (ข)

รปท 7-6 แบบจาลองการเพอหาแรงจากการสนสะเทอนทกระทากบพน และ FBD [1]

ขนาดของแรงในสมการท (7-6) สามารถหาไดหลายวธ อาจจะใชวธทางตรโกณมต วธจานวนเชงซอน หรอ

อาจพจารณาโดยใชเวคเตอรหมนดงน รปท 7-7 แสดงแผนภาพเวคเตอรของแรงทกระทาผานสปรง และ

ตวหนวงการสนสะเทอน โดยเวคเตอรทงสองเปนเวคเตอรซงหมนดวยความเรวเชงมม ω คาของแรงใน

เวลานนๆ หาจากผลรวมของเวคเตอรทถกฉายลงบนแกนจรง เนองจากเวคเตอรของแรงทสงผานตวหนวง

การสนสะเทอนเปนฟงกชน sine ดงนนมมจงตางจากแรงทสงผานสปรง ซงเปนฟงกชน cosine อย 90

องศา โดยเวคเตอรไหนจะนาหรอตาม ขนอยกบเครองหมายบวกลบในสมการ เชนในสมการท (7-6) เทอม

ของ sine มเครองหมายเปนลบ แสดงใหเหนวามมตองนาหนาอย 90 องศา เปนตน จากแผนภาพในรปท

7-7 จะเหนวาขนาดของแรงสงผานรวมจากสปรงและตวหนวงการสนสะเทอนจะหาไดจากผลรวมของ

เวคเตอรทงสอง ดงสมการ

F(t)

)(tkx )(txc

FBD


รปท 7-7 แผนภาพเวคเตอรแสดงแรงทกระทากบพนผานสปรงและตวหนวงการสนสะเทอน

22222 )()()( ωω ckXXckXtFT +=+=

222

222

0

)2()1()( ω

ζck

rr

kFtFT +

+−=

จดรปสมการ จะได

222

2

0 )2()1()2(1)(

rrr

FtFT

ζζ+−

+= (7-7)

สมการท (7-7) เรยกวา Force transmissibility (T.R.) แสดงใหเหนถงอตราสวนของแรงสงผานตอแรง

กระตนทความถตางๆ สมการนเหมอนกบสมการ (7-2) ซงแสดง Displacement transmissibility ในหวขอ

การสนสะเทอนจากการสนของในหวขอทแลว จงมลกษณะของกราฟความสมพนธเชนเดยวกนกบรปท 7-4

และนามาเขยนซาอกครงในรปท 7-8

(ก) (ข)

รปท 7-8 ความสมพนธระหวางคา Force transmissibility ทความถตางๆ

(กรณแรงสงผานจากเครองจกรไปยงพน) [2]

จากรปจะสรปไดวา การสงผานแรงจะลดลงเมอ 2>r เรยกชวงทการสงผานแรงลดลงวาชวง isolation

และเพอทจะทาใหคา r มคามาก จงตองออกแบบใหความถธรรมชาตของระบบมคานอย ซงทาไดโดยใช

Re

Im

kXcωX

ωt-φ

Isolation region


สปรงทมคาความแขงนอย หรอเพมมวลของระบบ สาหรบในชวง isolation การเพมคาอตราสวนการหนวง

จะทาใหการสนสะเทอนเพมมากขน ดงนนในการออกแบบ isolator จงไมตองการใหมอตราสวนการหนวง

มาก อยางไรกตามตวหนวงการสนสะเทอนยงมความจาเปนอยเพอลดการสนสะเทอนท resonance ซงเปน

จดทตองผานในขณะเพมความเรวเมอเรมเดนเครองกอนไปถงจดทางานทไดออกแบบไว

หากความถการกระตนสงกวาความถธรรมชาตมาก เชน เมอ 3>r และอตราสวนการหนวงนอยๆ

เชน เมออตราสวนการหนวง 2.0<ζ จะเหนวาคา T.R. แทบจะไมขนกบอตราสวนการหนวงเลย ในกรณน

อาจประมาณสมการท (7-7) โดยทไมคานงถงตวหนวงการสนสะเทอนของระบบดงสมการ

11.. 2 −

≈r

RT (7-8)

เมอกาหนดให การลดลงของการสงผาน R = 1 – T.R. จะได

111..1 2 −

−=−=r

RTR

จดรปจะได mkR

Rr/1

2 ω=

−−

= (7-9)

เนองจากในการใชงานจรง ขอมลทมมกอยในรปของความเรวรอบหมนของเครองจกร n ทมหนวยเปน rpm

สวนคาความแขงของสปรง k ในหลายๆ ครงกบอกเปนคายบตวของสปรง (Static deflection, ∆) โดย

∆= mgk ดงนนจงสามารถเขยนสมการท (7-9) ในรปของตวแปรเหลานไดดงน

)1(29093.29

)1()2(

260

RR

RRgn

−∆−

=−∆−

=π

หรอ

−∆−

+∆−=)1(

29093.29loglog21log

RRn (7-10)

สมการท (7-10) สามารถนาไปวาดกราฟความสมพนธระหวางคายบตวของสปรง และคาความเรว

รอบหมนเครองจกร ทเปอรเซนตการลดลงของการสงผานแรงตางๆ ใน Log-scale ไดดงรปท 7-9 สาหรบ

ชวง Percent reduction หมายถงชวงทแรงสงผานนอยกวาแรงกระตน สวน Amplification เปนชวงทแรง

สงผานมากกวาแรงกระตน การใชรปท 7-9 ในการออกแบบ ทาไดโดยกาหนดคาเปอรเซนตการสงผานแรง

ทตองการ เมอทราบความเรวรอบการทางานของเครองจกร จะสามารถดกราฟเพอหาคาการยบตวของ

สปรง และนาไปเลอกหาคาความแขงสปรงไดโดยคานวณจากสมการ ∆= mgk


รปท 7-9 ความสมพนธระหวางคายบตวของสปรงและคาความเรวรอบหมนเครองจกร ทเปอรเซนตการ

ลดลงของการสงผานแรงสนสะเทอนตางๆ [1]


ตวอยาง 7-3 A model of a washing machine is illustrated in

the figure. A bundle of wet clothes form a mass of 10 kg

(m0, mb) and causes a rotating unbalance. The rotating

mass is 20 kg (including m0) and the diameter of the washer

basket (2e) is 50 cm. Assume that the spin cycle rotates at

300 rpm. Let k be 1000 N/m and 01.0=ζ . (a) Calculate

the force transmitted to the sides of the washing machine.

(b) The quantities m, m0, e and ω are all fixed by the

previous design, Design the isolation system so that the

force transmitted to the side of the washing machine is less

than 100 N. (Daniel J. Inman, Engineering Vibration, 2nd edition,

Prob. 5.8-5.9)

(a) หาแรงจากการสนสะเทอนทถายไปยงตวเครอง

จากโจทยสามารถคานวณหาคาตางๆ ไดดงน

rad/s 071.720

1000===

mk

nω

rad/s 31.415960

30022 =

== ππω f

443.4071.74159.31

===n

rωω

Ns/m 2.8284)(7.071)2(20)(0.012m n === ζωc

ขนาดการสนสะเทอนเกดจากความไมสมดลของมวลของผาทถกเหวยงใหชดกบผวดานในของถง

ซกถา และสามารถหาไดจาก

222

20

222

20

2220

)2()1()2()1(

)(

)2()1( rrr

mem

rrkem

rrkFX

ζζ

ω

ζ +−=

+−=

+−=

ดงนน m 1317.0)443.401.02()443.41(

443.420

)25.0(10222

2

=⋅⋅+−

=X

แรงทสงผานสปรงและตวหนวงการสนสะเทอนไปยงตวเครองหาไดจาก

N 132.2)4159.31()8284.2(1000(0.1317) 222222 =+=+= ωckXFT

ANS


(b) ออกแบบใหแรงทสงผานนอยกวา 100 N

พจารณาใหแรงสงผาน = 100 N จะได

0405.0)4159.31)(25.0(10

100.. 2200

====ωem

FFFRT TT

จาก 222

2

)2()1()2(1..

rrrRT

ζζ+−

+= จะพบวา T.R. ขนอยกบทงคา r และ ζ ซงเกยวของกบคา

k และคา c ของระบบ ดงนนจะตองกาหนดคา ζ เสยกอนจงจะคานวณหาคา r ได

สมมตให 01.0=ζ จะได

0405.0)01.02()1(

)01.02(1.. 222

2

=⋅⋅+−

⋅⋅+=

rrrRT

คานวณหาคา r ได โดย 079.5=r

เมอทราบคา r จะสามารถคานวณหาคา k และ c ไดจาก

204159.31079.5

kr

n

===ωω ดงนน N/m 765=k

จาก kmc

2=ζ ดงนน Ns/m 47.2)20)(765()01.0(22 === kmc ζ


หากตองการปรบคาออกแบบ ทาไดโดยกาหนดคาอตราสวนความหนวงใหม และคานวณตาม

วธการขางตนซาอกครง

ANS

ANS


4. Shock Isolator

แรงกระแทกหมายถงแรงกระทาในชวงเวลาสนๆ อาจเกดเพยงเสยวของวนาท เนองจากแรง

กระแทกมกมขนาดมาก หากไมมการออกแบบเพอรองรบแรงกระแทกแลว พลงงานจากการกระแทกจะสง

ถายไปยงเครองจกรและทาใหเกดความเสยหายได ตวอยางของปญหา เชน ระบบรองรบของรถยนต ชวย

ดดซบแรงกระแทกทเกดขน เมอรถยนตตกหลม หรอชนเนนกระโดด เปนตน รปท 7-10 แสดงแบบจาลอง

ของการกระแทก ลกษณะฟงกชนการกระแทก และการตอบสนองเชงความถของระบบตอการกระแทก

รปท 7-10 การสนสะเทอนจากการกระแทก [1]

จากรปท 7-10 ชวงเวลา t1 เปนชวงเวลาทมแรงกระทา คาในแกนแนวดงแสดงถงอตราสวนของ

ความเรงของมวลตอความเรงของแรงกระแทก พนททแรเงาในรปเปนสวนทอตราสวนความเรงนอยกวา 1

ซงหมายความวามวลมความเรงนอยกวาความเรงของแรงกระแทก จะเหนวาผลของการกระแทกจะนอยเมอ

ความถธรรมชาตของระบบตองมคานอย การออกแบบ shock isolator จงตองออกแบบใหมคาความแขง

สปรงนอย การเปลยนแปลงอตราสวนความหนวงมผลอยางมากตอการลดลงของขนาดการสนสะเทอน ยงม

ความหนวงมากขนาดการสนสะเทอนจากการกระแทกจะยงนอย

จะเหนวาการออกแบบ isolator ทงในกรณทแรงกระตนเปนคาบหรอเปนแรงกระแทก ควรใชคา

ความแขงสปรงทไมมากนกแตกตองไมนอยไปจนทาใหระบบไมมความแขงแรง สาหรบคาความหนวงท

เหมาะสมนนจะขนอยกบลกษณะแรงกระตนวาเปนอยางไร กรณทแรงกระตนเปนคาบ คาอตราสวน

ความหนวงควรมคานอย แตหากเปนแรงกระแทก อตราสวนความหนวงควรจะมคามาก

1.0


5. ตวดดซบการสนสะเทอน (Vibration absorber)

ในหวขอทผานมา การควบคมการสนสะเทอนทาโดยการลดการสงผานการสนสะเทอนทงจาก

แหลงกาเนดการสนสะเทอนไปยงสวนอนๆ และการสนสะเทอนจากพนมายงเครองจกรทสนใจ สาหรบการ

ควบคมการสนสะเทอนในหวขอนจะไมใชการควบคมการสงผานการสนสะเทอน แตจะเปนการลดการ

สนสะเทอนของระบบหรอเครองจกรทตองการโดยตรง ดวยการเพมอปกรณทเรยกวาตวดดซบการ

สนสะเทอนเขาไปในระบบ หลกการของการดดซบการสนสะเทอนอาจแสดงไดดงรปท 7-2(ค) และนามา

แสดงอกครงในรปท 7-11(ก) ในรปดานซายมอ ระบบอยางงายประกอบดวยมวลและสปรง ระบบนเปน

ระบบ 1-dof เมอมวลสนจะมกราฟการตอบสนองเชงความถดงแสดงดวยเสนประในรปท 7-11(ข) หากมวล

หรอเครองจกรจาเปนตองทางานในชวงความเรวรอบหมนทใกลเคยงกบความถธรรมชาต (ชวงทแรงเงาส

สม) การสนสะเทอนของมวลจะมขนาดสงมาก การควบคมการสนทาโดยตดตงตวดดซบการสนสะเทอน ma

เขาในระบบ โดยยดกบระบบดวยสปรง ดงแสดงในรปท 7-11(ก) ดานขวามอ เมอตดตวดดซบการ

สนสะเทอนเขาไปแลวระบบจะเปลยนแปลงจาก 1-dof เปน 2-dof ดงนนกราฟการตอบสนองเชงความถจงม

รปรางเปลยนไป ดงแสดงดวยเสนทบในรปท 7-11(ข) โดยชวงทมขนาดการสนมากม 2 ชวง ซงเปนชวงท

ใกลกบความถธรรมชาตทง 2 คาของระบบใหม หากเลอกใชขนาดมวลของตวดดซบการสนสะเทอน และ

คาความแขงสปรงทตดตวดดซบการสนสะเทอนทเหมาะสม จะสามารถออกแบบใหชวงใชงานเดม (ชวงแร

เงาสสม) กลายเปนชวงทมขนาดการสนสะเทอนนอยของระบบใหมได การใชหลกการนจะเหมาะกบระบบท

ความถการทางานไมเปลยนแปลงมากนก เนองจากชวงทตวดดซบการสนสะเทอนใชงานไดไมกวางนก การ

เปลยนความเรวรอบการทางานมากๆ อาจทาใหชวงทางานไปตรงกบความถธรรมชาตของระบบใหมได

(ก)

(ข)

รปท 7-11 หลกการของการดดซบการสนสะเทอน

m

ma

m

Vibration absorber

Frequency

Dis

p. (m

ain

mas

s)

Operation freq.


https://en.wikipedia.org/wiki/Tuned_mass_damper

(ก)

https://en.wikipedia.org/wiki/Tuned_mass_damper

[1] https://moreaedesign.files.wordpress.com

[2] www.gerbusa.com

(ข) (ค)

รปท 7-12 ตวอยางการใชหลกการของตวดดซบการสนสะเทอนในงานทางวศวกรรม

รปท 7-12 แสดงตวอยางการใชหลกการของตวดดซบการสนสะเทอนในงานทางวศวกรรม รปท 7-

12(ก) เปนการใชลกตมขนาดใหญเพอเปนตวดดซบการสนสะเทอนในตก Taipei 101 ประเทศไตหวน เมอ

เกดการสนสะเทอนของตกซงอาจเกดมาจากแรงลม หรอแผนดนไหว การแกวงของลกตมจะชวยลดการสน

[1]

[2]

https://en.wikipedia.org/wiki/Tuned_mass_damper�

https://en.wikipedia.org/wiki/Tuned_mass_damper�

https://moreaedesign.files.wordpress.com/2010/09/milleniumbr_dampers1024.jpg�

http://www.gerbusa.com/�


ของตวตกโดยรวมลงได รปท 7-12(ข) แสดงตวดดซบการสนสะเทอนทใชในสายไฟฟาแรงสง ซงจะชวยลด

การสนของสายไฟเมอมลมพาย สาหรบรปท 7-13(ค) แสดงมวลตดสปรงซงตดอยดานลางของสะพาน

Millennium ในกรงลอนดอน ประเทศองกฤษ เพอดดซบและควบคมการสนสะเทอนแนวดงของสะพาน

5.1 วธการวเคราะหปญหา

พจารณาระบบในรปท 7-13 ซงประกอบดวยมวล m และสปรงความแขง k และถกกระทาดวยแรง

ภายนอกแบบฮารโมนก เพอควบคมการสนสะเทอนระบบนจงตดตวดดซบการสนสะเทอน ma การเชอมตอ

ระหวางมวลทงสองกอนผานสปรงทมความแขง ka การเคลอนทของมวล m แสดงดวยระยะ x สวนการ

เคลอนทของมวล ma แสดงดวยระยะ xa ระบบนเปนระบบ 2-dof และสามารถเขยนสมการการเคลอนทได


=

−

−++

0

sin0

0 0 tFxx

kkkkk

xx

mm

aaa

aa

aa

ω

(7-11)

เนองจากการเคลอนทเปนแบบ Synchronous motion ซงมวลทงสองกอนจะสนดวยความถเทากน

เทากบความถของแรงกระตน และจะผานจดทมการขจดสงทสดหรอตาสด และผานจดสมดลพรอมๆ กน

ดงนนลกษณะการสนสะเทอนของมวลทงสองกอนสามารถแสดงไดดวยสมการ

tXtx ωsin)( = และ tXtx aa ωsin)( = (7-12)

แทนการเคลอนท x และ xa ลงในสมการการเคลอนท (7-11) จะได

tF

tXX

mkkkmkk

aaaa

aa ωωω

ωsin

0sin 0

2

2

=

−−−−+

−−−−+

=

−

00

1

2

2 Fmkkkmkk

XX

aaa

aa

a ωω

รปท 7-13 ระบบทตดตวดดซบการสนสะเทอน [1]


−

∆=

−+−

∆=

0

02

02

2 )(10

1Fk

FmkFmkkk

kmkXX

a

aa

aa

aaa

a

ωω

ω (7-13)

โดย ∆ คอ Determinant ของเมตรกซ

−−−−+

2

2

ωω

aaa

aa

mkkkmkk

และมคาเทากบ 222 ))(( aaaa kmkmkk −−−+=∆ ωω

จากสมการท (7-13) จะไดขนาดการเคลอนทของมวล m และมวลของตวดดซบการสนสะเทอน ma


∆−

= 02 )( FmkX aa ω (7-14ก)

และ ∆

= 0FkX aa (7-14ข)

จากสมการท (7-14) จะพบวาสามารถทจะเลอกคา ma และ ka ทเหมาะสมเพอใหขนาดการ

สนสะเทอนของมวล m เทากบศนยได โดยขนาดการสนสะเทอนของมวล m จะเปนศนยเมอ

a

a

mk

=2ω (7-15)

และเมอกาหนดคา ma และ ka ใหมความสมพนธดงสมการท (7-15) จะไดวาการสนสะเทอนของตวดดซบ

การสนสะเทอนดงสมการท (7-14) และ (7-12) จะมคาเทากบ

a

a kFX 0−= และ t

kFtx

aa ωsin)( 0−= (7-16)

และจะพบวาแรงทกระทากบมวล m โดยมวล ma จะมคาเทากบ

00 )( FkFkXk aaaa −=−= (7-17)

จากสมการ (7-17) จะเหนวาแรงทมวล ma กระทากบมวล m จะมคาเทากบขนาดของแรงภายนอก F0 พอด

ทาใหแรงลพธทกระทากบมวล m มคาเทากบศนยตลอดเวลา ดงนนมวล m จงไมมการเคลอนท หรอ X = 0

เมอกาหนดให mk

p =ω แสดงความถธรรมชาตของระบบในตอนแรกทยงไมตดตวดดซบการสน

a

aa m

k=ω แสดงความถธรรมชาตของตวดดซบการสน เมอยงไมไดตดกบระบบ

mma=µ แสดงอตราสวนมวล

p

a

ωωβ = แสดงอตราสวนความถธรรมชาตของตวดดซบการสนกบของระบบ

และ a

rωω

= แสดงอตราสวนความถแรงกระตนตอความถธรรมชาตของตวดดซบการสน


แทนคาทงหมดลงในสมการ (7.14ก) จะไดสมการทแสดงความสมพนธของขนาดการสนสะเทอนของมวล m

ของระบบ แบบไรมตดงสมการ

2222

2

0 )1)(1(1

µβµβ −−−+−

=rr

rFXk (7-18)

รปท 7-14 แสดงการตอบสนองเชงความถของมวล m ในระบบทตดตวดดซบการสนสะเทอนตาม

สมการ (7-18) โดยกาหนดให 25.0=µ และ 1=β จะเหนวาชวงทขนาดการสนสะเทอนเกดนอยกวา

ระยะยบตวสถตของระบบทเกดจากแรง F0 จะแสดงในชวงทแรเงาสนาตาล ชวงนเปนชวงทางานของตวดด

ซบการสนสะเทอน ( aa ωωω 118.1908.0 ≤≤ ) โดยคามวลของตวดดซบการสน ma และความแขงสปรงท

ใชตดตวดดซบการสน ka จะตองเลอกเพอทาใหชวงการสน r ตกอยในชวงทแรเงาน โดยตองระวงไมใหคา r

มคาเทากบหรอใกลกบ 0.781 หรอ 1.28 ซงเปนตาแหนงทเกดการสนพอง (resonance) ทาใหระบบซงตด

ตวดดซบการสนสะเทอนสนอยางรนแรงและเสยหายได

รปท 7-14 การตอบสนองเชงความถของระบบทตดตวดดซบการสนสะเทอน [2]

5.2 ความสมพนธของอตราสวนมวลกบความถธรรมชาตของระบบ

เมอตดตวดดซบการสนสะเทอนเขาไปในระบบ ระบบการสนสะเทอนจะกลายเปนระบบ 2-dof โดย

ความถธรรมชาตของระบบจะสามารถหาไดจากสมการ Characteristic equation (CHE) ดงสมการ

0)det( 2 =− MK ω (7-19)

หรอสามารถเขยนในรปเมตรกซไดดงสมการ


02

2

=−−−−+

ωω

aaa

aa

mkkkmkk

หรอ 0))(( 222 =−−−+ aaaa kmkmkk ωω (7-20)

โดยคา ω ทคานวณไดจากสมการ (7-20) จะเปนคาความถธรรมชาต nω ของระบบทตดตวดดซบการ


เมอแทนความสมพนธ pω , aω , µ และ β ตามทกาหนดขางตนลงในสมการ (7-20) และแทนคา

ω ในสมการ (7-20) ดวย nω จะสามารถเขยนสมการ (7-20) ไดดงสมการ

[ ] 01)1(1 2

22

2

2

22 =+

++−

a

n

a

n

ωω

µβωω

β (7-21)

ความสมพนธตามสมการ (7-21) สามารถแสดงไดดงกราฟในรปท 7-15 โดยในรปกาหนดใหคา

อตราสวนความถธรรมชาต 1=β หรอหมายความวาตวดดซบการสนสะเทอนไดถกออกแบบใหมความถ

ธรรมชาต aω เทากบความถธรรมชาตของระบบเดมกอนตดตวดดซบการสน pω ซงจะทาใหขนาดการ

สนสะเทอนของมวล m เมอทางานทความถธรรมชาตเดม ( pωω = ) มคาเทากบศนย จากรป 7-15 ยง

พบวาเมออตราสวนของมวล µ เพมขน ชวงหางระหวางความถธรรมชาต 1ω และ 2ω (ระยะระหวาง

เสนประ ในรปท 7-14) มคากวางขน ซงจะสงผลใหชวงการทางานของตวดดซบการสนสะเทอน (ชวงทแรเงา

ในรปท 7-14) จะกวางขนเชนกน ถงแมวาการเพมคา µ หรอมวลของตวดดซบการสน am จะสงผลดททา

ใหชวงการทางานเพมมากขน แตถามากเกนไปกจะสงผลตอปญหาความเคน และความลาของสปรงทยดตว

ดดซบการสนไดเชนกน โดยปกตในการใชงานจะเลอกใชคาอตราสวนของมวลประมาณ 0.05 – 0.25

รปท 7-15 ความสมพนธระหวางอตราสวนมวล µ กบความถธรรมชาตของระบบทตดตวดดซบการสน [1]


5.3 ผลของตวหนวงการสนสะเทอนตอตวดดซบการสน

การวเคราะหในหวขอทผานๆ มาไมไดคานงถงผลของตวหนวงการสนสะเทอน อยางไรกตามใน

ความเปนจรง ถงแมวาจะตดตงตวดดซบการสนเขากบระบบดวยสปรงเทานน กยงมความหนวงเกดขน ซง

อาจเกดจากการเสยพลงงานระหวางการเสยรปของสปรงได รปท 7-16 แสดงการตอบสนองเชงความถของ

ระบบทตดตวดดซบการสนสะเทอนและมผลของความหนวงรวมอยดวย จะเหนวาเมอความหนวงมคาเพม

มากขน ขนาดการสนสะเทอนทความถธรรมชาตจะตาลง อยางไรกตามจะทาใหการสนสะเทอนทจดทางานม

คาสงมากขนดวย สาหรบในระบบทยดตวดดซบการสนดวยสปรงเทานน อตราสวนความหนวงมกจะมคา

นอย ทาใหการคานวณโดยประมาณใหไมมผลของตวหนวงการสนสะเทอนมความสมเหตสมผล และชวยลด

ความซบซอนในการคานวณลงไดมาก

รปท 7-16 การตอบสนองเชงความถของระบบทตดตวดดซบการสนสะเทอนและมผลของความหนวง [2]

5.4 ขนตอนการออกแบบตวดดซบการสนสะเทอน

จากทไดกลาวมาในหวขอท 5 สามารถสรปขนตอนการออกแบบตวดดซบการสนสะเทอนไดเปนขนๆ ดงน

1. เลอกความถการทางาน ω ทตองการปรบใหมขนาดการสนสะเทอนเทากบศนย

2. ทราบความสมพนธของมวลของตวดดซบการสนสะเทอน ma และคาความแขงสปรง ka จาก

aaa mk=ω

3. เลอกคา ma และ ka โดยคานงถงขอจากดดานแรง และระยะเคลอนทของตวดดซบการสนสะเทอน

4. ตรวจสอบอตราสวนของมวล mma=µ โดยคาทแนะนาอยระหวาง 0.05 - 0.25


ตวอยาง 7-4 A pipe carrying steam through as a section

of a factory vibrates violently when the driving pump hits a

speed of 232 rpm. In an attempt to design an absorber, a

trial 1 kg absorber tuned to 232 rpm was attached. By

changing the pump speed, it was found that the pipe-

absorber system has a resonance at 198 rpm. Redesign

the absorber so that the natural frequencies are less than

160 rpm and more than 320 rpm. (ดดแปลงจาก William T.

Thomson and Marie D. Dahleh, Theory of Vibration with Application

5th edition, Prob.5-46)

เพอใหเขาใจการแกปญหาในตวอยางนจะแยกการพจารณาออกเปน 3 กรณ ดงน

1. กรณทยงไมไดตดตวดดซบการสนสะเทอน จงพจารณาไดวาเปนระบบ 1-dof ในกรณนป ม

สนมากท 232 rpm (ความถธรรมชาต nω เกดท 232 rpm)

2. เมอทดลองตดตวดดซบการสนขนาด 1 กก. และปรบใหการสนสะเทอนท 232 rpm มคา

เทากบศนย (tune ไปท 232 rpm) ในกรณนระบบจะเปลยนเปน 2-dof ดงนนพบวาความถ

ธรรมชาตใหมของระบบจะเปลยนไปจากเดมทเกดทความถเดยว คอท 232 rpm เปนเกดท

ความถ 2 ความถ ซงความถธรรมชาตตวหนงของระบบ ( 1ω ) มคาเทากบ 198 rpm (อกตว

หนง ( 2ω ) จะเกดทความเรวรอบสงกวา 232 rpm)

3. เปนกรณทโจทยตองการ คอจะเปลยนตวดดซบการสนสะเทอนใหมอยางไร ความถธรรมชาต

จงจะเปลยนไปเปนเกดทความเรวรอบนอยกวา 160 rpm ( 1ω ) และเกดทมากกวา 320 rpm

( 2ω )

กรณท 1 จะไดวา rad/s 295.24)60232(2 === πωω pn

กรณท 2 จะไดวา kg 1=am และเนองจาก tune ไปท 232 rpm แสดงวา

rad/s 295.24== pa ωω และ 1== pa ωωβ

เมอตดตวดดซบ ระบบจะกลายเปน 2-dof ซง rpm 1981 =ω ดงนน 7284.0232198

2

2

2

21 ==aω

ω

แทนคา 1=β และ 7284.02

21 =aω

ω ลงในสมการ

[ ] 01)1(1 2

22

2

2

22 =+

++−

a

n

a

n

ωω

µβωω

β

(1)


จะได ( ) [ ]( ) 017284.0)1(117284.01 222 =+++− µ

ดงนนจะได 1.0=µ และจะสามารถหามวลเดมของระบบไดจาก 1.01 === MMmaµ

ดงนนจะได kg 10=M

กรณท 3 ออกแบบตวดดซบใหม เพอให rpm 1601 ≤ω และ rpm 3202 ≥ω

กาหนดให tune ไปท 232 rpm เชนเดม ดงนน 1=β

1. พจารณาเมอให rpm 1601 =ω

จะได 4756.0232160

2

2

2

21 ==aω

ω แทนในสมการ (1)

( ) [ ]( ) 014756.0)1(114756.01 222 =+++− µ

ดงนน 5782.0=µ

2. พจารณาเมอให rpm 3201 =ω

จะได 9025.1232320

2

2

2

21 ==aω

ω แทนในสมการ (1)

( ) [ ]( ) 019025.1)1(119025.11 222 =+++− µ

ดงนน 4281.0=µ

เนองจากคาอตราสวนมวล µ ทมากกวาจะใหชวงใชงานมากกวา หรอ 1ω กบ 2ω หางกน

มากกวา ดงนนเลอก 5782.0=µ เพอใหชวงทางาน rpm 1601 ≤ω และ rpm 3202 ≥ω

เมอทราบอตราสวนมวล จะสามารถหามวลของตวดดซบการสนไดจาก

5782.010 === aa mMmµ ดงนน kg 782.5=am

จาก rad/s 295.24== pa ωω ดงนน rad/s 295.24782.5 === aaaa kmkω

จะได N/m 99.3413=ak

สรปไดวา มวลของตวดดซบการสน kg 782.5=am และความแขงสปรง N/m 99.3413=ak

Note ในตวอยางนเลอกอตราสวนมวล 5782.0=µ เพอใหตอบสนองความตองการในแงของชวง

การทางาน แตคาทเลอกมากกวาคาทแนะนาคอ 0.25 ซงอาจจะสงผลตอปญหาหาความแขงแรง

และความลาของสปรงทยดตวดดซบการสนได

ANS


6. สรป

ในบทนกลาวถงวธการควบคมการสนสะเทอน โดยแบงออกเปน 1) การควบคมการสงผานการ

สนสะเทอน และ 2) การลดการสนสะเทอนของเครองจกรทสนใจ โดยตดตงตวดดซบการสนสะเทอน

สาหรบการควบคมการสงผาน สามารถแบงออกเปนกรณตางๆ ไดแกการควบคมการสงผานการสนจากพน

ไปยงเครองจกรทสนใจ การสงผานจากเครองจกรตนเหตการณสนสะเทอนไปยงพน และการควบคมการ

สนสะเทอนจากการกระแทก หลกการของการควบคมการสงผานจะเปนการเลอกคาความแขงสปรง และตว

หนวงการสนสะเทอนทเหมาะสม เพอควบคมใหการสงผานการขจดและแรงมคาทนอยลงกวาขนาดของการ

กระตน สวนหลกการของการลดการสนสะเทอนโดยตดตงตวดดซบการสนสะเทอนจะเปนการเปลยนแปลง

ระบบจาก 1-dof ไปเปน 2-dof โดยเพมมวลของตวดดซบการสนสะเทอนเขาไปในระบบ ทาใหความถทเคย

มการสนสะเทอนมาก มการสนสะเทอนลดลงหรออาจไมมการสนสะเทอนเลย การควบคมการสนสะเทอนใน

วธนทาโดยเลอกขนาดมวลของตวดดซบการสน และคาความแขงสปรงทจะใชตดตงตวดดซบทเหมาะสม

ตามความสมพนธทไดแสดงไว นอกจากนขนาดมวลของดดซบกไมควรจะมากเกนไปนกเพอลดปญหา

เกยวกบความลาและความแขงแรงของวสด

References




23. Greenheck Fan Corp., Catalog Mounting Bases and Vibration Isolation SN Rev.2 March 2006

24. Fabreeka Vibration & Shock control, Foundation Isolation Solutions for Equipment & Machines



1. Design the suspension of an automobile such

that the maximum vertical acceleration felt by the

driver is less than 2g at all speeds between 65

and 130 km/h while traveling on a road whose

surface varies sinusoidally as y(s) = 0.15sin(6.7s)

meter where s is the horizontal distance in meter.

The mass of the automobile, with the driver, is

680 kg and the damping ratio of the suspension is

to be 0.05. Use a single degree of freedom model

for the automobile. [Rao, 9.40]

ANS k < 18.95 kN/m, c < 359 N.s/m

2. It has been found that a printing press, of mass 300 kg and operating speed 3000 rpm,

produces a repeating force of 30,000 N when attached to a rigid foundation. Find a suitable

viscously damped isolator to satisfy the following requirements: (a) the static deflection should be

as small as possible; (b) the steady-state amplitude should be less than 2.5 mm; (c) the amplitude

during start-up conditions should not exceed 20 mm; and (d) the force transmitted to the foundation

should be less than 10,000 N.

ANS k = 6960 kN/m, c = 9844.48 Ns/m

3. A radial saw base has a mass of 73.16 kg and

is driven by a motor. The motor runs at constant

speed and produces a 13-N force at 180 cpm.

The manufacturer wants a vibration absorber

designed to drive the table oscillation to zero.

Design the absorber assuming that the stiffness

provided by the table legs is 2600 N/m. Absorber

has a maximum deflection of 0.2 cm. [Inman, 5.3.1]

ANS ma = 18.29 kg, ka = 6500 N/m

s = horizontal distance (m)s = horizontal distance (m)


4. An electric motor, having an unbalance of 2 kg-cm, is mounted at the end of a steel cantilever

beam, as shown in Fig. The beam is observed to vibrate with large amplitudes at the operating

speed of 1500 rpm of the motor. It is proposed to add a vibration absorber to reduce the vibration

of the beam. Determine the ratio of the absorber mass to the mass of the motor needed in order to

have the lower natural frequency of the resulting system equal to 75 percent of the operating

speed of motor. If the mass of the motor is 300 kg, determine the stiffness and mass of the

absorber. Also find the amplitude of vibration of the absorber mass. [Rao, 9.52]

ANS ma/M = 0.3403, ma = 102.08 kg,

ka = 2.52 MN/m, Xa = 0.2 mm


บทท 8

การวดและการจดการสญญาณการสนสะเทอนเบองตน

1. บทนา

ในบททผานๆ มา เราไดศกษาถงหลกการของการเกดการสนสะเทอน และลกษณะการสนสะเทอน

เนองจากการกระตนรปแบบตางๆ รวมถงวธการทจะควบคมการสนสะเทอน ในการตรวจสอบถงความ

ถกตองของการวเคราะหและการออกแบบระบบการสนสะเทอน การวดและการทดสอบการสนสะเทอนจง

เปนเรองจาเปน สาหรบในบทนจะกลาวนาใหรจกถงวธการวดและการจดการสญญาณการสนสะเทอน และ

ตวอยางของประโยชนของการวดการสนสะเทอนในระดบเบองตนเทานน โดยวธการทดสอบการสนสะเทอน

หรอวธการวเคราะหสญญาณการสนสะเทอน ซงไมไดรวมอยในขอบเขตของวชา “การสนสะเทอนทางกล

เบองตน” จะไมกลาวถงในทน

2. ความสาคญของการวดการสนสะเทอน

การใชประโยชนจากการทดสอบการสนสะเทอนอาจแบงออกไดเปน 3 ดานใหญๆ ไดแก

1. การทดสอบเพอหาพารามเตอรทสาคญของระบบการสนสะเทอน และการตรวจสอบความถกตอง

ของแบบจาลองการสนสะเทอน: ในการศกษาการสนสะเทอนมกจะตองสรางแบบจาลองทางคณตศาสตรเพอ

อธบายการสนสะเทอน และสรางสมการการเคลอนทเพอทานายลกษณะการสนสะเทอนของระบบ ดงทได

กลาวถงในบทกอนๆ อยางไรกตามการทจะสามารถคานวณตามสมการทสรางมาไดนน จาเปนทจะตอง

ทราบพารามเตอรทสาคญตางๆ กอน บางพารามเตอรเชน มวล (m) อาจหาไดโดยการชงนาหนกตรง

อยางไรกตามในหลายๆ กรณพารามเตอร เชน ความหนวง (c) โมเมนตความเฉอย (J) คาความแขงเกรง

(k) ไมอาจหาไดโดยงายจงจาเปนทจะตองหาจากการทดสอบการสนสะเทอน เมอทราบคาพารามเตอร

เหลานจะทาใหสามารถทานายลกษณะการสนสะเทอน ความถธรรมชาต และ Mode shapes ของการ

สนสะเทอนได ซงความถกตองของคาความถธรรมชาตและ Mode shapes ทคานวณได กสามารถ

ตรวจสอบไดจากการวดการสนสะเทอนเชนกน

2. ใชเพอทดสอบความแขงแรงทนทานของผลตภณฑ เชน การทดสอบความเสยหายจากการ

กระแทก การทดสอบการตกกระแทก การทดสอบความลาจากแรงทกระทากลบไปกลบมาซาๆ

3. ใชเพอตรวจสอบสภาพของเครองจกร โดยในสภาวะการทางานปกต เครองจกรอาจมขนาดการ

สนสะเทอน และมความถการสนสะเทอนอยคาหนง แตหากมความผดปกต หรอความเสยหายเกดขนจะ

สงผลใหขนาดการสนสะเทอนเพมสงขน และอาจเกดการสนสะเทอนทความถทเปลยนแปลงไปจากเดม การ

วดขนาดการสนสะเทอนของเครองจกรโดยสมาเสมอจงเปนการตรวจสอบสภาพของเครองจกร และทาให

ตรวจพบความเสยหายตงแตขณะเรมตนได


3. อปกรณทเกยวของในการวดการสนสะเทอน

ระบบการวดการสนสะเทอนประกอบดวยสวนประกอบตางๆ ไดแก 1. ชนงานทตองการวดการ

สนสะเทอน 2. เซนเซอร (Sensors) 3. ตวกระตน (Actuators) 4. เครองขยายสญญาณ (Signal amplifiers)

และ 5. เครองวเคราะหสญญาณ (Signal analyzers) ในทนจะกลาวถงสวนประกอบทสาคญบางสวนดงน

3.1 เซนเซอร

เซนเซอรเปนเครองมอทใชเปลยนแรงหรอการเคลอนททางกลใหเปนสญญาณทางไฟฟา เซนเซอรท

ใชในการวดการสนสะเทอนอาจวดปรมาณทเปนการขจด ความเรว หรอความเรงกไดขนกบชนดและ

หลกการของเซนเซอร เซนเซอรอาจแบงออกเปน 2 ชนดตามลกษณะการตดตงไดแก เซนเซอรทสมผสกบ

ชนงาน และเซนเซอรทไมสมผสกบชนงาน ดงแสดงในรปท 8.1 โดยเซนเซอรทสมผสกบชนงานมกจะมราคา

ถก ใชงานงาย แตเนองจากเซนเซอรตดอยกบชนงาน มวลของเซนเซอรจงอาจมผลตอมวลรวมของระบบ

การสนสะเทอนได ดงนนการจะวดการสนสะเทอนไดอยางถกตองมวลของเซนเซอรจงตองมขนาดนอยกวา

มวลของระบบมากๆ ตวอยางของเซนเซอรทตดกบชนงานไดแก สเตรนเกจ (Strain gauge) Siesmic

velocity transducer หรอทพบเหนกนมากทสดกคอ Accelerometer สาหรบเซนเซอรทไมสมผสกบชนงาน

นนจะมขอดคอตวเซนเซอรจะไมสงผลตอการสนสะเทอนของระบบ อยางไรกตามการตดตงของเซนเซอร

ตองระวงไมใหเซนเซอรไดรบผลของการสนสะเทอนของชนงานดวย ตวอยางของเซนเซอรชนดนไดแก

proximity sensor ซงใชหลกการของการเหนยวนากระแสไฟฟาเมอสนามแมเหลกมการเปลยนแปลง หรอ

Laser Doppler vibrometer ซงใชหลกการของปรากฏการณ Doppler ในการวดสญญาณความเรว

รปท 8-1 ตวอยางเซนเซอร แบงตามลกษณะการสมผสกบชนงาน [1]

Contact sensors: Non-contact sensors

Laser DopplerVibrometer

• Relatively cheep• Easy to use• Mass effect

• No effect on vibration• Effectively use on the moving part• Sensor should be isolate from

vibration


3.2 ตวกระตนการสนสะเทอน (Actuators)

ตวกระตนการสนสะเทอนเปนอปกรณทใหแรงกระตนกบระบบ ตวกระตนทพบเหนกนบอยๆ ไดแก

Impulse hammer ดงแสดงในรปท 8.2 (ก) ซงทาหนาทสรางแรงกระตนแบบ Impulse กบระบบ ทาใหระบบ

สนดวยความถธรรมชาตของมน โดยชวงความถทกระตนไดจะสมพนธกบคาบเวลาทเกดการกระแทกดง

แสดงในรปท 8-2 (ข) ตวกระตนทใชกนมากอกชนดหนงไดแก Vibration shaker ตวแสดงในรปท 8-3

ตวกระตนนจะใหการกระตนไดหลากหลาย ทงการกระตนลกษณะเปนคาบซงปรบคาความถหรอขนาดได

หรอการกระตนแบบสม

http://www.pcb.com/Products/model/086D05

(ก) (ข)

รปท 8-2 Impulse hammer และชวงใชงาน [2], [3]

http://www.sentekdynamics.com/medium-force-shakers/

รปท 8-3 Vibration shaker [4]


3.3 ตววเคราะหสญญาณ (Signal analyzers)

ตววเคราะหสญญาณเปนอปกรณทใชบนทกสญญาณ และจดการสญญาณใหอยในรปแบบทงายตอ

การวเคราะหตอไป โดยอาจมสวนขยายสญญาณ (Signal amplifiers) รวมอยดวย ตวอยางเครองวเคราะห

สญญาณแสดงในรปท 8-4 ในปจจบนตววเคราะหสญญาณมฟงกชนการทางานทหลากหลาย ซงรวมถง การ

บนทกลกษณะสญญาณในโดเมนเวลา การกรองสญญาณ (filtering) การแปลงสญญาณเปนโดเมนความถ

โดยใชการแปลงฟเรยรแบบเรว (Fast Fourier Transform, FFT) การหาคาฟงกชนการตอบสนองเชงความถ

(Frequency Response Function) เปนตน เครองวเคราะหสญญาณบางรนถกออกแบบใหมขนาดเลก และ

สามารถพกพาไปวดการสนสะเทอนทหนางานได จงเหมาะกบการวดการสนสะเทอนในงานการตรวจสอบ

สภาพของเครองจกรในการซอมบารง

https://www.rohde-schwarz.com/us/product/fsvr-

productstartpage_63493-11047.html

http://www.tek.com/spectrum-analyzer

รปท 8-4 เครองวเคราะหสญญาณ [5], [6]

ตวอยางระบบการวดการสนสะเทอนทประกอบดวยอปกรณขางตนแสดงในรปท 8-5 โดย structure

ในรปแสดงถงชนงานทตองการวดการสนสะเทอน ชนงานทถกกระตนโดย Exciter (Actuator) โดยรปแบบ

การกระตนถกกาหนดโดยเครองกาเนดสญญาณ (Signal generator) สาหรบการวดสญญาณเรมดวย

Transducer (sensors) ซงทาหนาทรบสญญาณแรง หรอการเคลอนทของชนงาน และเปลยนเปนสญญาณ

ทางไฟฟา สญญาณรบกวน หรอสญญาณความถสงทไมเกยวของจะถกกรองออกดวย Signal conditioner

กอนทจะถกบนทกดวย Recorder หรอถกวเคราะหตอดวยเครองวเคราะหสญญาณ Signal analyzer โดยใน

ตวอยางนขอมลทงหมดจะถกรวบรวมเพอทาการวเคราะหโมดล (Modal analysis) เพอหาคาพารามเตอร

เกยวกบการสนสะเทอนของชนทดสอบตอไป


รปท 8-5 ตวอยางระบบการวดการสนสะเทอน [3]

4. การวดการสนสะเทอนเบองตน

4.1 การเลอกปรมาณการสนสะเทอนเพอวด

การวเคราะหการสนสะเทอนทไดกลาวถงในบทกอนหนาทงหมด ขนาดการสนสะเทอนจะแสดง

ออกมาในรปของการขจด อยางไรกตามเนองจากการขจดมความสมพนธกบความเรวและความเรง การวด

ความเรวและความเรงกอาจใชเพอแสดงการสนสะเทอนได พจารณาสมการแสดงความสมพนธระหวางการ

ขจด ความเรวและความเรง ตอไปน

)cos( φω += tXx (8-1)

)sin( φωω +−= tXv (8-2)

)cos(2 φωω +−= tXa (8-3)

1. เนองจากพลงงานเปนปรมาณทเกยวของกบความเรว เชน พลงงานจลนเปนฟงกชนของ

ความเรวยกกาลงสอง ดงนนความเรวจงเปนปรมาณพนฐานตวหนงทใชในการวดการสนสะเทอน

2. จากสมการจะพบวาหากขนาดของการขจดเปน X ขนาดของความเรวและความเรงจะหาไดโดย

คณขนาดของการขจดดวย ความเรวเชงมม ω หรอ 2ω ตามลาดบ ดงนนหากการสนสะเทอนเกดท

ความถสง ขนาดความเรงกจะมคามากกวาความเรวและการขจด ดวยเหตนในการวดการสนสะเทอนของ

เครองจกรโดยทวๆ ไปทมกมความถสง ( >1000 Hz) จงวดปรมาณทเปนความเรง ในทางตรงกนขามการวด

การสนสะเทอนทความถตาๆ ( <10 Hz) เชนการสนสะเทอนจากแผนดนไหว จงอาจวดขนาดของการขจด

แทน สาหรบการสนสะเทอนทความถปานกลาง (10-1000 Hz) มกนยมวดความเรว

4.2 สญญาณดจตลของการสนสะเทอน

การวดสญญาณการสนสะเทอนของเครองวดสญญาณในปจจบนจะสมวดสญญาณ โดยเวลาทแตละ

จดถกสมวดจะหางเทาๆ กน ลกษณะการสมวดสญญาณแสดงดงรปท 8-6 ความถทใชสมวดการสนสะเทอน


มชอเรยกวาความถสมสญญาณ Sampling frequency สาหรบชวงเวลาทแตละจดขอมลหางกนนนสามารถ

คานวณไดจากความถสมสญญาณดงสมการ

frequency Sampling

1=t (8-4)

รปท 8-6 ตวอยางการสมวดการสนสะเทอน [3]

จากรปท 8-6 และสมการท (8-4) จะเหนวายงใชความถสมสญญาณสงขนเทาใด กจะทาใหวด

สญญาณไดตรงกบลกษณะสญญาณจรงมากขนเทานน อยางไรกตามหากใชความถสมสญญาณสงมาก

เกนไปกจะสงผลตอจานวนจดขอมลทตองจดเกบและดาเนนการตอมากขนเกนกวาความจาเปน โดยอาจได

รายละเอยดของขอมลเพมขนเพยงเลกนอย ในทางตรงขามหากใชจานวนจดความถสมสญญาณนอยมาก

เกนไปแลว อาจจะเกดปรากฎการณทเรยกวา Aliasing ขนได ปรากฏการณนเกดขนเนองจากสญญาณทสม

มความถนอยเกนไป จงทาใหสญญาณทสรางใหมจากจดขอมลทสมไดมคาความถตากวาทเกดขนจรง

ตวอยางปรากฏการณนแสดงในรปท 8-7 ในรปท 8-7 จดสแดงแสดงจดททาการสมสญญาณสวนเสนทบ

แสดงถงสญญาณทตองการวด รปท 8-7 (บน) แสดงใหเหนถงการสมสญญาณทมากเพยงพอ แนวของจดส

แดงกบแนวของเสนสญญาณเปนเชนเดยวกนทาใหทราบถงลกษณะของสญญาณตงตนได แตรปกลางและ

รปลางจะพบวาการสมสญญาณมความถการสมตาเกนไป เมอนาจดขอมลทสมไดมาสรางสญญาณใหมจงได

สญญาณทไมถกตอง และมความถตากวาความถสญญาณจรง

การแกปญหาการเกด Aliasing นอาจทาไดโดยเลอกความถสมสญญาณใหมากกวาความถทสนใจ

จะวดไมนอยกวา 2.5 เทา ยกตวอยางเชน หากทราบวาความถสงสดทอาจเกดขนในเครองจกรมคา 5000

Hz กควรสมสญญาณทความถไมตากวา 2.5 × 5000 = 12500 Hz นอกจากการเลอกความถสมสญญาณ

ใหเหมาะสมแลว กอาจใช Antialiasing filter ซงเปน Low-pass filter แบบหนงซงจะตดความถทสงเกนกวา

ทสนใจออกไป


รปท 8-7 ปรากฏการณ Aliasing [7]

5. การวเคราะหฟเรยร

การวเคราะหสญญาณพนฐานทใชกนมากคอ การเปลยนสญญาณในโดเมนเวลาเปนโดเมนความถ

โดยใชการแปลงแบบฟเรยร (Fourier transform) หลกการของการแปลงฟเรยรมความคลายคลงกบการ

เขยนสญญาณทเปนฟงกชนคาบ ใหเปนผลรวมของฟงกชนไซนซอยดดงทกลาวมาในบทท 5 โดยสมการท

ใชในการแปลงฟเรยรคอ

∫∞

∞−

−= dtetxX tjω

πω )(

21)( (8-5)

โดย )(ωX คอสญญาณในโดเมนความถ และ )(tx คอสญญาณในโดเมนเวลา สาหรบตวอยาง

ความสมพนธระหวางสญญาณในโดเมนเวลาและโดเมนความถ แสดงดงตวอยางในรปท 8-8 โดยสญญาณท

เปนฟงกชนไซนซอยดในตวอยาง คอ )sin()2cos()( tXtXtx ωπω =−= เมอแปลงเปนโดเมน

ความถ จะแสดงดวยเสนในแนวดง ซความสงของเสนหมายถงขนาดของสญญาณ X และเกดทตาแหนงใน

แกนนอน ซงเทากบความถ ω ของสญญาณ จะสงเกตวาขอมลเฟส จะไมแสดงในสเปคตรมในรปท 8-8

อยางไรกตามในการแปลงฟเรยร จะไดขอมลของคาเฟสออกมาเชนกน ซงอาจจะแสดงไดดวยกราฟของคา

เฟสในโดเมนความถ

สาหรบตวอยางในรปลางแสดงใหเหนวา สญญาณเปนคาบในโดเมนเวลา แสดงไดดวยเสนใน

แนวดงหลายๆ เสนทความถตางๆ กน เมอแปลงเปนโดเมนความถ ซงหมายความวา สญญาณเปนคาบใน

โดเมนเวลา เกดจากผลรวมของฟงกชนไซนซอยด หลายๆ ความถ ซงมขนาดแตกตางกน


รปท 8-8 สญญาณในโดเมนเวลา และโดเมนความถ [3]

ตวอยางการใชการแปลงฟเรยรเพอวเคราะหสญญาณการสนสะเทอน ในงานการตรวจสอบการ

ทางานของเครองจกรแสดงดงรปท 8-9 รปทางดานซายมอแสดงการวดการสนสะเทอนของระบบของ

เครองจกร และแสดงผลมาในโดเมนเวลา เนองจากการสนสะเทอนอาจเปนผลมาจากเครองจกรตางๆ และ

จากสาเหตตางๆ ผลการวดในโดเมนเวลาจงเปนผลรวมของสญญาณและมความซบซอน ยากตอการ

วเคราะห สาหรบในตวอยางทางดานขวามอ เปนการแสดงขอมลในโดเมนความถ เนองจากยอดของ

สญญาณแตละยอดทแสดงในกราฟสเปคตรม จะสอดคลองกบความถในการทางานของชนสวนของ

เครองจกร จงทราบไดวายอดของสญญาณแตละยอดเปนผลมาจากเครองจกรตวใด โดยในรปยอดทความถ

ตาๆ เปนผลมาจากการหมนของมอเตอร การประกอบของคบปลง สวนยอดทมความถสงๆ เปนผลมาจาก

การขบกนของเฟอง และการทางานของตลบลกปน เมอขนาดการสนสะเทอนทความถใดมคามากผดปกต ก

อาจตรวจสอบยอนกลบไปถงชนสวนททางานนนๆ ได


รปท 8-9 ตวอยางการวเคราะหสญญาณในโดเมนความถ [7]

6. สรป

ในบทนไดกลาวนาใหเหนถงความสาคญของการวดและการทดสอบการสนสะเทอน โดยไดเรม

กลาวถงสวนประกอบตางๆ ของการวดการสนสะเทอน ซงไดแก เซนเซอร ตวกระตน เครองขยายสญญาณ

และเครองวเคราะหสญญาณ จากนนไดกลาวถงการวดการสนสะเทอนเบองตน โดยการวดสญญาณทม

ความถตาเหมาะทจะวดการขจด ทความถกลางๆ จะวดความเรว สวนทความถสงมกจะวดความเรง การวด

สญญาณจะวดออกมาเปนสญญาณดจตล ซงตองมการสมความถวดสญญาณใหมากเพยงพอ ในสวนทาย

ของบทไดกลาวถงการแปลงสญญาณในโดเมนเวลา ใหเปนโดเมนความถ โดยใชการแปลงฟเรยร และได

แนะนาใหเหนประโยชนของการวเคราะหในโดเมนความถดวย

References


26. http://www.pcb.com/Products/model/086D05



28. http://www.sentekdynamics.com/medium-force-shakers/

29. https://www.rohde-schwarz.com/us/product/fsvr-productstartpage_63493-11047.html

30. http://www.tek.com/spectrum-analyzer

31. https://www.onosokki.co.jp/English/hp_e/whats_new/SV_rpt/SV_5/sv5.htm

http://www.pcb.com/Products/model/086D05�

http://www.sentekdynamics.com/medium-force-shakers/�

https://www.rohde-schwarz.com/us/product/fsvr-productstartpage_63493-11047.html�

http://www.tek.com/spectrum-analyzer�

https://www.onosokki.co.jp/English/hp_e/whats_new/SV_rpt/SV_5/sv5.htm�

สารบัญpioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433 Intro... · บทที่ 1 | 2...

Documents

Transcript of สารบัญpioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433 Intro... · บทที่ 1 | 2...