ใบความรท 1.1.1คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.1 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ1. ลำ�ดบอนนตและอนกรมอนนต (infinite sequence and infinite series )ทบทวนความหมายของคำาวาลำาดบลำ�ดบคอ สมาชกของเรนจของฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวก ซงเขยนเรยงตามลำาดบ ถาโดเมนเปนเซตจำากดเรยกวาลำาดบจำากด(finite sequence) ถาโดเมนเปนเซตอนนตเรยกวาลำ�ดบอนนต (infinite sequence) เชน จากตวอยางตอไปนกำาหนดรปทวไปของลำาดบจงเขยนลำาดบโดยแจกแจงสมาชก

1. เมอ n = 1,2,3,4 ลำาดบคอ 2,5,8,11 ซงเปนลำาดบจำากด

2. ลำาดบคอ 2,5,10,17,26,………ซงเปนลำาดบอนนต

3. เมอ n = 1,2,3,……,10 ลำาดบคอ ซงเปนลำาดบ…………………… ………

4. ลำาดบคอ…………………….. ซงเปนลำาดบ………………

5. ลำาดบคอ ซงเปน……………………ลำาดบ………………หม�ยเหต ถาโจทยไมกำาหนดโดเมนใหแสดงวาโดเมนคอเซตของจำานวนเตมบวก

1.1 ลมตของลำ�ดบ (limit of sequence )

ลมตของลำาดบคอการพจารณาคาของ ของลำาดบอนนตเมอ n มคามากขนเรอยๆโดยไมมทสนสด (ใชสญลกษณ ) วามลกษณะอยางไร ลำาดบทมลมตคอลำาดบทคาของ เขาใกลหรอเทากบคาใดคาหนงเพยงคาเดยวเรยกลำาดบทมลมตวา ลำาดบคอนเวอรเจนต (convergent sequence)และเรยกลำาดบทไมมลมตวา ลำาดบไดเวอรเจนต (divergent sequence)

พจารณาลำาดบตอไปน 1.

0 1 2 3 4 5 6 7

จากกราฟจะเหนวาเมอคาของ n มคามากขนเรอยๆโดยไมมทสนสดคาของ n

2. = 2

3.

จากกราฟจะเหนวาคาของ n มคามากขนเรอยๆคาของ จะเขาใกล 1- จากทง 3 ตวอยางจะเหนวา ถาคาของ n มคามากขนเรอยๆโดยไมมทสนสด คาของ จะเขาใกลหรอเทากบคาใดคาหนงเพยงคาเดยวเทานน (L) ลกษณะเชนนเรากลาวไดวา

5 4 3

1 2 3 4 5 6 7

n0

จากกราฟจะเหนวาเมอคาของ n มคามากขนเรอยๆคาของ กจะมคา

2 1

1 2 3 4 5 6 7

n0

= 2

ลำ�ดบ มลมตเท�กบ L เขยนแทนดวย จากลำาดบ

จะได

หรอ ซงลำาดบทหาลมตไดเรยกวา ลำ�ดบลเข�หรอลำ�ดบ

คอนเวอรเจนต(convergent sequence)

4. = 3n + 2

จากกราฟจะเหนวาเมอคาของ n มคามากขนเรอยๆคาของ กจะมคามากขนเรอยๆคอไมเขาใกลคาใดเลย

5.

25 20 15

1 2 3 4 5 6 7

n0

= 3n+2

1 2 3 4 5 6 7

n

จากกราฟจะเหนวาเมอคาของ n มคามากขนเรอยๆคาของ มคาเทากบ –1 และ 1สลบกนไป ลกษณะเชนนเราเรยกวา ลำ�ดบแกวงกวด(oscillating sequence) จากตวอยางขอ 4 และ 5 จะเหนวาลำาดบ เมอ n มคามากขนเรอยๆโดยไมมทสนสด คาของ ไมเขาใกลคาใดเลยหรอเขาใกลมากกวา 1 คา ลกษณะเชนนเรยกวาลำาดบ ไมมลมต อาจเขยนแทนดวย

(มคามากขนไมมทสนสด)

หรอ (มคานอยลงไมมทสนสด)แตทนยมใชคอบอกวา

ไมมลมตเรยกลำาดบทไมมลมตวา ลำ�ดบลออก หรอ ลำ�ดบไดเวอรเจนต (divergent sequence)

ใบความรท 1.1.2คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.1.2 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

การหาลมตของลำาดบนอกจากจะใชวธการเขยนกราฟแลว เพอความสะดวกและรวดเรวในการคำานวณเราจะใชทฤษฎลมตเขาชวย

ทฤษฎลมต ถา c เปนคาคงตวและ และ

แลว

1. เชน…………………………………………………………………………………

2. เชน…………………………………………………………………

3. เชน…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. เชน………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….

5.

เชน………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………….

6. เชน………………………………………………………. เชน…………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

7. เชน…………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….

8. เชน…………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….ตวอยางท 1 จงหาลมตของลำาดบ วธทำา

ตวอยางท 2 กำาหนด จงหาลมตของวธทำา

จดรปจะได

ตวอยางท 3 กำาหนด จงหาลมตของวธทำา

จดรปจะได

ตวอยางท 4 กำาหนด จงหาลมตของวธทำา

ตวอยางท 5 กำาหนด จงหาลมตของวธทำา

ตวอยางท 6 กำาหนด จงหาลมตของวธทำา

ตวอยางท 7 กำาหนด จงหาลมตของวธทำา

การหาลมตของลำาดบนอกจากจะเขยนกราฟและใชทฤษฎลมตแลวเพอใหหาลมตไดสะดวกและรวดเรวยงขนมขอสงเกตดงน1. ถากำาลงสงสดของเศษและกำาลงสงสดของสวนมคาเทากนแลว

จะมคาเทากบสมประสทธของเศษและสวนของพจนทม

กำาลงสงสด เชน จะได

จะได

จะได

2. ถากำาลงสงสดของเศษนอยกวากำาลงสงสดของสวนจะได

เชน

จะได

3. ถากำาลงสงสดของเศษมากกวากำาลงสงสดของสวนจะไดวาลำาดบนนไมมลมต เชน

จะได หรอ ไมมลมต

4. ถาพจนทวไปอยในรปของ จะตองจดรปโดยใชสงยคคณทงเศษและสวนแลวจงหาลมตเชน จดรปโดยใชสงยคจะได

(ไมมลมต)

จดรปโดยใชสงยคจะได

5.

เชน

ใบความรท 1.2.1คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.2.1 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

1.2 ผลบวกของอนกรมอนนต ทบทวนเรองอนกรมทนกเรยนไดเรยนมาแลวในคณตศาสตรพนฐาน ค 32102อนกรมเลขคณต เปนอนกรมทเกดจากการนำาพจนแตละพจนของลำาดบเลขคณตมาเขยนใหอยในรปผลบวกซงมทงอนกรมจำากดและอนกรมอนนตซงอนกรมเลขคณตมพจนทวไปคอ

ซง ,d คอผลตางรวม , n คอ จำานวนพจนและผลบวก n พจนแรกคอ อนกรมเรข�คณต เปนอนกรมทเกดจากการนำาพจนแตละพจนของลำาดบเรขาคณตมาเขยนใหอยในรปผลบวกซงมทงอนกรมจำากดและอนกรมอนนตซงอนกรมเรขาคณตมพจนทวไปคอ

ซง ,r คออตราสวนรวม , n คอ จำานวนพจน

และผลบวก n พจนแรกคอ

และยงมอนกรมอนอกซงอยในรปทงเลขคณตและเรขาคณตหรออนกรมซงไมอยในรปใดเลยการจะหาพจนทวไปและผลบวก n พจนแรกจะตองจดรปเพอทจะเขาสตรใดสตรหนง

ทบทวนสตรของผลบวก

เชน 1. 1+2+3+4+……….+10 =

2. 1+4+9+16+25+36+49 =

3. 1+8+27+64+125+216 =

1.2.1 ลำ�ดบผลบวกยอยของอนกรมอนนตผลบวกของอนกรมอนนตคอ ลมตของลำ�ดบของผลบวก

ยอยของอนกรมอนนตนนเมอลำาดบนนมลมตพจ�รณ� หาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรม 2+4+6+8+……….

1.

2. 3.

วธทำา จากโจทยเปนอนกรมเลขคณต จากสตร แทนคาในสตรจะได

จะเหนวาถาหาผลบวกถงพจนทเทาใดกหาไดแตถาหาผลบวกไปเรอยๆโดยไมมทสนสดคอ n มคามากขนเรอยๆซงกจะเปนการหาผลบวกของอนกรมอนนตซงจะตองใชลมตเขาชวยพจ�รณ� อนกรม ให เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมจะได

.

.

.

เรยก แตละจำานวนวา ผลบวกยอย และถานำาผลบวกยอยแตละจำานวนมาเขยนใหอยในรปของลำาดบ เรยกลำาดบทไดวา ลำ�ดบของผลบวกยอยของอนกรมเชน หาผลบวกของอนกรม

วธทำา หาผลบวกยอยของอนกรมซงเปนอนกรมเรขาคณตและเปนอนกรมอนนต

, ,

ลำาดบผลบวกยอยของอนกรมคอ

แสดงวาหาผลบวก n พจนได ถา n มคามากขนเรอยๆคาของ จะมคาเทาใดเราจะตองหาคาลมตของ เมอซงเปนการหาผลบวกของอนกรมอนนตนนเอง ถาเราทดลองหาจะได

หมายความวาถา n มคามากขนเรอยๆ

ผลบวกของอนกรม จะมคาเทากบ

จงหาลำาดบของผลบวกยอยของอนกรมตอไปน1.วธทำา …………

ลำาดบผลบวกยอยคอ………………………………………………………………………………..

2.

วธทำา

………………..

ลำาดบผลบวกยอยคอ………………………………………………………………………………..

ใบความรท 1.2.2คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.2.2 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจนย�ม ผลบวกของอนกรมอนนตคอ ลมตของลำาดบของผลบวกยอยของอนกรมนน เมอลำาดบนนมลมต

อนกรมอนนตทมผลบวกเรยกวาอนกรมคอนเวอรเจนต (convergent series)

อนกรมอนนตทไมสามารถหาผลบวกไดคอ ไมมลมตเรยกวาอนกรมไดเวอรเจนต (divergent series)

หลกก�รห�ผลบวกของอนกรมอนนต1. หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมคอหา 2. นำา ไปหาลมต

3. ถา หาคาไดคาดงกลาวคอผลบวกของอนกรมอนนตซง

เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

4. ถา หาคาไมไดแสดงวาอนกรมอนนตไมสามารถหาผล

บวกถงอนนตไดซงเปนอนกรมไดเวอรเจนต

ตวอยางท 1 จงพจารณาวาอนกรมใดตอไปนเปนอนกรมคอนเวอรเจนตหรอไดเวอรเจนต ถาเปนอนกรมคอนเวอรเจนตจงหาผลบวกถงอนนต1.2.3.วธทำา1. เปนอนกรมเรขาคณตม

จาก

แสดงวาเปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผล

บวกอนนตเทากบ

2. อนกรมนไมเปนเลขคณตและเรขาคณต

(การหาผลบวกถงพจนท n จะใช แทนได)

จากลกษณะการหาลมตจะเหนวากำาลงของเศษมากกวากำาลงของสวนแสดงวาไมมลมตเพราะฉะนนอนกรมนเปนอนกรมไดเวอรเจนตไมมผลบวกอนนต

3. อนกรมนเปนอนกรมเลขคณต

อาจหา แทนกได

จากลกษณะการหาลมตจะเหนวากำาลงของเศษมากกวากำาลงของสวนแสดงวาไมมลมต

เพราะฉะนนอนกรมนเปนอนกรมไดเวอรเจนตไมมผลบวกอนนตตวอยางท 2 จงหาผลบวกของอนกรมอนนตตอไปน1.วธทำา จะเหนวาอนกรมนไมเปนทงเลขคณตและเรขาคณตแลวจะหา ไมไดเนองจากสมบตของ ไมมทอยในรปผลคณและผลหาร จะตองใชวธจดรปของอนกรมใหมจะเหนวาสวนเปนลกษณะของลำาดบเลขคณตคณกน 2 ชดหาพจนท n ไดเปน ให

2.วธทำา จดรปอนกรมใหม ให

2

แสดงวาอนกรมนเปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ

3. วธทำา ให

จะเหนวากำาลงของเศษมากกวาสวนแสดงวาไมมลมตเปนอนกรมไดเวอรเจนต4. วธทำา จดรปอนกรมใหม ให

แสดงวาอนกรมนเปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ

ใบความรท 1.2.3คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.2.3 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

เพอใหนกเรยนหาผลบวกของอนกรมอนนตไดสะดวกและรวดเรวขนมขอสงเกตดงน1. ผลบวกของอนกรมอนนตทเปนอนกรมเลขคณต

- ถา อนกรมคอ 0+0+0+0+……..จะได

= 0 และ = 0จะเปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ 0

- ถา เชน 0+2+4+6+……….จะเหนวาเมอ n มคามากขนเรอยๆไมมทสนสดไมสามารถหาผลบวกอนกรมอนนตได เปนอนกรมไดเวอรเจนต

- ถา เชน 2+2+2+2+………….จะเหนวาเมอ n มคามากขนเรอยๆไมมทสนสดไมสามารถหาผลบวกอนกรมอนนตได เปนอนกรมไดเวอรเจนต

- ถา จาก จะเหนวากำาลงของเศษมากกวากำาลงของสวน หาลมตไมไดแสดงวาเปนอนกรมไดเวอรเจนตสรป อนกรมอนนตทเปนอนกรมเลขคณตจะหาผลบวกอนนตไดเพยงกรณแรกเทานน2. ผลบวกอนกรมอนนตทเปนอนกรมเรขาคณตพจารณา อนกรมเรขาคณต

- ถา ลำาดบผลบวกยอยคอ

จะหาคาไมได คอไมมลมต เชน 3+3+3+…………เปน

อนกรมไดเวอรเจนต- ถา ลำาดบผลบวกยอย

คอ จะเหนวาลำาดบของผลบวกยอยจะเขาใกล 2 คาคอ 0 กบ แสดงวาไมมลมต เชน 1+(-1)+1+(-1)+…………เปนอนกรมไดเวอรเจนต

- ถา พจารณา จาก

จะเหนวา

- ถา จาก

จะหาผลบวกของอนกรมอนนตไดซงมคาเทากบ ซงเปนอนกรมคอนเวอรเจนต

สรป 1. ถา จะหาผลบวกของอนกรมอนนตไมไดเปนอนกรมไดเวอรเจนต

2. ถา จะหาผลบวกของอนกรมอนนตไดซงมคาเทากบ ซงเปนอนกรมคอนเวอรเจนตตวอยางท 1 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต

วธทำา จากอนกรมอนนตเปนอนกรมเรขาคณตม r = 3ซง เปนอนกรมไดเวอรเจนตหาผลบวกอนนตไมได

- ถาจะลองทำาด จาก

หาคาไมไดเนองจากกำาลงของเศษมากกวากำาลงของ

สวน

ตวอยางท 2 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต

วธทำา เปนอนกรมเรขาคณตม r = ซง เปนอนกรมคอนเวอรเจนต

มผลบวกอนนตเทากบ

- ถาจะลองทำาด จาก

เปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ 1ตวอยางท 3 ถา จงหาผลบวกอนกรมอนนต

วธทำา จาก

จะเหนวา เพราะฉะนนผลบวกอนกรมอนนตเทากบ

ตวอยางท 4 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต

วธทำา

จะเหนวา มกำาลงของเศษมากกวากำาลงของสวนเพราะฉะนน

ไมมลมต

เปนอนกรมไดเวอรเจนตไมมผลบวกอนนตตวอยางท 5 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต

วธทำา ให แทนผลบวกของอนกรมอนนตคอ

ผลบวกของอนกรมอนนตเทากบ 3

ตวอยางท 6 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต

วธทำา จดรปใหมเปน

พจารณาอนกรมอนนต ให

แทนคา ใน

เพราะฉะนนผลบวกของอนกรมอนนตเทากบ 0.3010

ตวอยางท 7 ให c เปนคาคงทและ

จงหาคาของ c

วธทำา เนองจาก

ใบความรท 1.3คำาชแจง ใหนกเรยนศกษาใบความรท 1.3 ใหเขาใจ ถาไมเขาใจใหสอบถามเพอนหรอครผสอนและถามบางขอใหนกเรยนทำาจงทำาใหเปนผลสำาเรจ

c

การเขยนทศนยมซำาใหอยในรปของเศษสวนกระทำาไดหลายวธและวธหนงกคอการนำาความรเกยวกบอนกรมอนนตมาใชแตเวลาทนกเรยนทำาขอสอบเลอกวธทงายทสดตวอยางท 1 จงเขยน ใหอยในรปเศษสวนวธทำา วธท 1 วธนนกเรยนเคยเรยนมาแลวให x = 0.2121212121……………….(1)เอา 100(1)จะได 100x = 21.21212121…………………(2)เอา(2)-(1)จะได 99x = 21 วธท 2 ใชผลบวกอนกรมอนนต

ซงเปนอนกรมเรขาคณตม

ตวอยางท 2 จงเขยน ใหอยในรปเศษสวน

วธท 1

ให x = 4.3878787………………………(1)10 (1),10x=43.878787……………………….(2)100(2),1000x = 4387.8787…………………..(3)(3) – (2),990x = 4344

วธท 2

ตวอยางท 3 ถาลากสวนของเสนตรงเชอมจดกงกลางดานของรปสเหลยมจตรส จะไดรปสเหลยมจตรสดงรป1. ถารปสเหลยมจตรสรปแรกมเสนรอบรปยาว 20 หนวย รปสเหลยมจตรสรปทสองมเสนรอบรปยาวเทาใด

2. ถากระบวนการเกดรปใหมของรปสเหลยมจตรสเกดขนอยางตอเนองไมสนสด ผลบวกของความยาวของเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเปนเทาใด

I J

KL

E

F

G

H

CD

BA

วธท ำา 1. รปสเหลยมจตรส ABCD ยาวดานละ 5 หนวย มเสนรอบรปเทากบ 20 หนวย รปสเหลยมรปทสอง EFGH มความยาวดานละ

เสนรอบรปของสเหลยมจตรสรปทสองยาวเทากบ

2. รปสเหลยม IJKL ยาวดานละ

เสนรอบรปของสเหลยมจตรสรปทสามยาวเทากบ

จะเหนวาผลบวกของเสนรอบรปของสเหลยมจตรสทงสามรปคอ

ซงเปนอนกรมเรขาคณตม ผลบวกของเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดหาไดจาก

มผลบวกอนนตเทากบ