หน่วยที่ 2 -...
Transcript of หน่วยที่ 2 -...
การวเคราะหคาสถตเบองตน
สาระการเรยนร 1 การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง 1.1 คาเฉลยเลขคณต 1.2 มธยฐาน 1.3 ฐานนยม 2 การวดการกระจายของขอมล 2.1 การวดการกระจายแบบสมบรณ 2.2 การวดการกระจายแบบสมพทธ
จดประสงคการเรยนร 1. หาคาเฉลยเลขคณตของขอมลทก าหนดใหได 2. หาคามธยฐานของขอมลทก าหนดใหได 3. หาคาฐานนยมของขอมลทก าหนดใหได 4. เลอกใชคากลางทเหมาะสมกบขอมลไดถกตอง 5. หาคาการกระจายของขอมลทก าหนดใหได 6. เปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละชดไดถกตอง
แนวคด
1. การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง เปนการหาคาทเปนตวแทนทดของขอมลทงหมด เพออธบายลกษณะของเรองราวตางๆ ของขอมลนนๆ สามารถท าไดหลายวธ แตละวธขนอยกบลกษณะของขอมลและวตถประสงคของการน าขอมลไปใช คากลางทจะกลาวถงทส าคญม 3 คาดงน
1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) 2. มธยฐาน (Median) 3. ฐานนยม (Mode)
หนวยท 2
การวเคราะหคาสถตเบองตน
การวเคราะหคาสถตเบองตน
2. การวดการกระจายของขอมล เปนคาทบอกใหทราบวาขอมลชดนนเขาใกลคากลาง หรอแตกตางจากคากลางมากนอยเพยงใด การวดกระจายของขอมล ม 2 แบบดงน
1. การวดการกระจายแบบสมบรณ (Absolute Variation) 2. การวดการกระจายแบบสมพทธ (Relative Variation)
2.1 การวดการกระจายแบบสมบรณ เปนการจดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยวทตองการทราบวาขอมลชดนนมการกระจายมากนอยเพยงใด ซงสามารถท าได 4 วธดงน
1. พสย (Range) 2. สวนเบยงเบนควอไทล (Quartile Deviation) 3. สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation) 4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
ส าหรบในหนวยนจะกลาวถง การวดการกระจายแบบสมบรณเพยง 2 วธ คอพสยและสวนเบยงเบนมาตรฐาน 2.2 การวดการกระจายแบบสมพทธ เปนการวดการกระจายของขอมลตงแตสองชดขนไป เพอใชเปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละชดวาขอมลชดใดมการกระจายมากนอยกวากน โดยหาจาก อตราสวนของคาทไดจากการวดการกระจายแบบสมบรณกบคากลางของขอมลชดนน คาทค านวณไดเรยกวา สมประสทธของการกระจาย แบงออกเปน 4 วธดงน
1. สมประสทธของพสย (Coefficient of Range) 2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล (Coefficient of Quartile
Deviation) 3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (Coefficient of Mean Deviation) 4. สมประสทธการแปรผน (Coefficient of Variation)
แตในหนวยน จะกลาวถงการวดการกระจายสมพทธ เพยง 2 วธ คอสมประสทธพสย และสมประสทธการแปรผน
26
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ค าชแจง ขอสอบปรนยมจ านวน 10 ขอ ใหนกศกษาเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยว
1. ถา nn332211
xf.....xfxfxf เขยนเปนสญลกษณไดดงขอใด
ก.
n
1iixif
ข.
n
1inn xf
ค.
n
1n ni
xf
ง.
4
1inn xf
จ. i
4
1iixf
2. คนกลมหนงมอายแตกตางกนดงน 26, 34, 40, 26, 32, 22 ป จงหาวาอก 5 ปขางหนาอาย เฉลยของคนกลมนจะเปนเทาใด ก. 45 ข. 40 ค. 35 ง. 30 จ. 25 3. สวนสงของเดก 8 คน วดเปนเซนตเมตรไดดงน 110, 120, 110, 108, 112, 110, 118, 112 ขอ ใดถกตอง ก. คาเฉลยเลขคณตมคานอยกวามธยฐาน ข. คาเฉลยเลขคณตมคามากกวามธยฐาน ค. ฐานนยมมคามากกวามธยฐาน ง. ฐานนยมมคามากกวาคาเฉลยเลขคณต จ. ไมมฐานนยม
27
แบบทดสอบกอนเรยน
การวเคราะหคาสถตเบองตน
4. จากการศกษาคณภาพของอาหารเสรมชนดหนงกบหนทดลอง 4 กลม เปนเวลา 1 เดอน ปรากฏผล ดงน กลมท 1 หนจ านวน 5 ตว มน าหนกเพมขนโดยเฉลย 7.7 กก. กลมท 2 หนจ านวน 12 ตว มน าหนกเพมขนโดยเฉลย 8.3 กก. กลมท 3 หนจ านวน 20 ตว มน าหนกเพมขนโดยเฉลย 11.2 กก. กลมท 4 หนจ านวน 8 ตว มน าหนกเพมขนโดยเฉลย 4.6 กก. จงหาน าหนกเพมโดยเฉลยจากหนทใชทดลองทงหมด ก. 6.42 ข. 7.53 ค. 8.86 ง. 9.35 จ. 10.14 5. บรษทตวแทนจ าหนายรถจกรยานยนตมยอดจ าหนายในรอบ 6 เดอน ดงน 25, 30, 20, 18, 27, 30 คน ตามล าดบ คาเฉลยเลขคณตของยอดขายเปนเทาใด ก. 20 ข. 22 ค. 25 ง. 27 จ. 30 6. จากโจทยขอ 5. สวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเทากบขอใด ก. 4.26 ข. 4.62 ค. 4.72 ง. 4.82 จ. 4.86
28
การวเคราะหคาสถตเบองตน
7. นายประโยชน ไดน าขอมลรายไดจากการขายหลอดไฟฟาในแตละวนของเดอนมถนายน ซงมยอด การขายแตละวนทใกลเคยงกน เพอมาค านวณหาจ านวนเงนรายไดทอยตรงกลางทเหมาะสม นายประโยชนควรค านวณคาสถตใด ก. คาเฉลยเลขคณต ข. มธยฐาน ค. ฐานนยม ง. สมประสทธการแปรผน จ. สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8. ตารางแสดงน าหนกของนกศกษาเปนกโลกรม
น าหนก (กโลกรม) จ านวน (คน) 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60
6 10 12 8 4
จงพจารณาวาขอความใดตอไปนถกตอง ก. ชนทมความถสะสมเปน 16 มจดกงกลางชนเทากบ 47.5 ข. มธยฐานอยในชนทมน าหนกระหวาง 41-45 ค. คาเฉลยเลขคณตของน าหนกมคาเทากบ 47.25 ง. ฐานนยมอยในชนทมน าหนกเดยวกนกบมธยฐาน จ. ชนทมความถสงสด มขดจ ากดบนเทากบ 50
ขอมลน ตอบค าถามขอ 9-10
คาจางของพนกงานในบรษท 3 แผนก มคาเฉลยและความแปรปรวน ดงตารางขางลางน
แผนก คาเฉลย (บาท) ความแปรปรวน A 3,500 225 B 5,000 400 C 4,500 900
29
การวเคราะหคาสถตเบองตน
9. คาจางของแผนก B มการกระจายเทาใด ก. 0.004 ข. 0.08 ค. 12.5 ง. 250 จ. 8% 10. อยากทราบวาคาจางของพนกงานแผนกใดมการกระจายมากทสด ก. แผนก A ข. แผนก C ค. แผนก B ง. แผนก A และ B จ. แผนก A และ C
30
การวเคราะหคาสถตเบองตน
การวเคราะหขอมลทางสถตเปนวธการศกษาขอมลพนฐาน กอนน าขอมลไปใชประโยชน ทางดาน ตาง ๆ เชน การเปรยบเทยบขอมล การแกปญหาขอมล หรอตดสนใจบางอยางเกยวกบขอมลอยางมหลกการและเหตผล และสามารถน าขอมลทไดจากการวเคราะห ไปใชในการคาดคะเนหรอพยากรณเหตการณตางๆ ไวลวงหนาได สถตทใชในการวเคราะหขอมลเบองตน ไดแก รอยละ การวดแนวโนมเขาสสวนกลางของขอมล การวดต าแหนงของขอมล การวดการกระจายของขอมล การเปรยบเทยบคากลางของขอมล เปนตน
ส าหรบการวเคราะหขอมลโดยใชรอยละ เปนการวเคราะหทไมสามารถบอกรายละเอยดเกยวกบลกษณะของขอมลได ดงนน จงจ าเปนตองใชสถตตวอนในการอธบายลกษณะของขอมล ดงรายละเอยดในหวขอตอไปน
การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง
การวดแนวโนมเขาสสวนกลาง เปนการค านวณหาคากลาง ทเปนตวแทนทดของขอมล เพออธบายลกษณะของเรองราวตางๆ ของขอมลนนๆ ไดอยางรวดเรว การวดแนวโนมเขาสสวนกลางสามารถท าไดหลายวธ แตละวธขนอยกบลกษณะของขอมลและวตถประสงคของการน าขอมลไปใช คากลางของขอมลม 5 คาดงน
1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) 2. มธยฐาน (Median) 3. ฐานนยม (Mode) 4. มชฌมเรขาคณต (Geometric Mean) 5. มชฌมฮารโมนก (Harmonic Mean)
แตคากลางทนยมน าไปใชมากทสดในทางธรกจม 3 คา คอคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและ ฐานนยม ดงนนในหนวยการเรยนน จะกลาวถงเฉพาะคากลาง 3 คาน
1. คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) คาเฉลยเลขคณต เปนการวดแนวโนมเขาสสวนกลางทนยมใชมากทสด ใชกบขอมลเชง
ปรมาณและตวแปรทใชจะอยในระดบมาตรการวดอนตรภาค (Interval Scale) ขนไป การหาคาเฉลยเลขคณต แบงการหาได 4 กรณ
การวเคราะหคาสถตเบองตน
31
การวเคราะหคาสถตเบองตน
1. กรณทขอมลไมแจกแจงความถ การหาคาเฉลยท าไดโดยน าขอมลทงหมดมารวมกนแลวหารดวยจ านวนขอมลทงหมด คาเฉลยเลขคณตทไดจะใชสญลกษณ μ (อานวา มว) หรอ x (อานวา เอกซบาร) การค านวณคาเฉลยแสดงดงสตร
ถา x1 , x2 , x3 , ….., xN เปนขอมล N จ านวน
N
N
1ii
μ
x (กรณขอมลมาจากทกหนวยของประชากร)
N
xN
1ii
μ = N
x...xxxN321
หรอ n
xx
n
1ii
(กรณขอมลมาจากกลมตวอยาง)
n
xx
n
1ii
= n
x...xxxn321
ตวอยางท 1 จากการทดสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลอง นกศกษาสาขาสถาปตยกรรมจ านวน 15 คน ไดคะแนนดงน 15 ,18 , 12 , 10 , 9 , 17 , 6 , 15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 , 10 จงหาคาเฉลยของคะแนนการสอบในครงน วธท า ก าหนดให xi แทน คะแนนสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลองของคนท 1,2,3,….15 x แทน คาเฉลยของคะแนนการสอบ
n
xx
n
1ii
= n
x...xxxn321
15
10...........910121815x
= 15181
= 12.067
ดงนน คาเฉลยเลขคณต เทากบ 12.067
32
การวเคราะหคาสถตเบองตน
2. กรณทขอมลแจกแจงความถ การหาคาเฉลยเลขคณต หาไดดงสตร
ถา x1 , x2 , x3 , ….., xk เปนขอมล k จ านวน และ f1 , f2 , f3 , ….., fk เปนจ านวนความถของขอมล k จ านวน
จะได N
xf
f
xfk
1iii
k
1ii
k
1iii
μ
(กรณขอมลมาจากทกหนวยของประชากร)
μ = k321
kk332211f....fff
xf.....xfxfxf
หรอ n
xfx
n
1i ii (กรณขอมลมาจากกลมตวอยาง)
ตวอยางท 2 จงหาคาเฉลยเลขคณตของคาใชจายของนกศกษาทงหมด
คาใชจาย (บาท) 100 120 150 200 250 300 จ านวนนกศกษา (คน) 10 12 15 20 8 5
วธท า ก าหนดให xi แทน คาใชจายของนกเรยน x แทน คาใชจายเฉลยของนกเรยนทงหมด
คาใชจาย (xi) จ านวนนกศกษา (fi) fixi
100 120 150 200 250 300
10 12 15 20 8 5
1,000 1,440 2,250 4,000 2,000 1,500
70 12,190
μ = N
xfk
1iii
33
การวเคราะหคาสถตเบองตน
= 70
12,190
= 174.143
ดงนน คาเฉลยเลขคณตของการใชจายของนกศกษากลมนคอ 174.143 บาท
ตวอยางท 3 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานบรษทแหงหนง จงหาคาเฉลยน าหนกของพนกงานบรษทแหงน
น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79
6 5 7 8 10 5 3 1
วธท า ก าหนดให xi แทน จดกงกลางของขอมลน าหนกแตละชน fi แทน จ านวนพนกงานทมน าหนกในแตละชน x แทน คาเฉลยของน าหนกพนกงาน
น าหนก จ านวนคน (fi) จดกงกลางชน (xi) fi xi 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79
6 5 7 8 10 5 3 1
42 47 52 57 62 67 72 77
252 235 364 456 620 335 216 77
N = 45 2555
34
การวเคราะหคาสถตเบองตน
n
xfx
n
1i ii
= 45
2555
= 56.778
ดงนน น าหนกเฉลยของพนกงานบรษทแหงนเทากบ 56.778 กโลกรม
กรณท 3 การหาคาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก ใชในกรณทขอมลมคาน าหนกหรอความส าคญไมเทากน เชน การค านวณเกรดเฉลยทางการเรยน การหาคาเฉลยเลขคณตของราคาสนคาชนดเดยวกนแตมน าหนกหรอปรมาณขายตางกน จะใชการหาคาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก (Weighted Arithmetic Mean) ดงน ถา x1 , x2 , x3 , ….., xN เปนคาขอมลแตละคา และ w1 , w2 , w3 , ….., wN เปนคาถวงน าหนกของขอมลหรอคาความส าคญของขอมลแตละคา ตามล าดบ แลว
คาเฉลยเลขคณตถวงน าหนก )(x = N321
NN332211w....www
xw.....xwxwxw
หรอ x =
N
1ii
N
1iii
w
xw
ตวอยางท 4 สมหญงมผลการเรยนแตละวชาของภาคเรยนท 1 เปนดงน
วชา หนวยกต ระดบผลการเรยน 1. เศรษฐศาสตร 2. ภาษาไทย 3. ภาษาองกฤษ 4. วทยาศาสตร 5. สถตและการวางแผนการทดลอง 6. การเปนผประกอบการ
2 2 3 3 3 2
3 3.5 4
2.5 2.5 4
จงหาผลการเรยนเฉลยของสมหญงในภาคเรยนน
35
การวเคราะหคาสถตเบองตน
วธท า ก าหนดให xi แทน ระดบผลการเรยนวชาท 1,2,3,….6 wi แทน จ านวนหนวยกตทเรยนของแตละวชา x แทน เกรดเฉลย
x = N321
NN332211w....www
xw.....xwxwxw
x = 233322
2(4)3(2.5)3(2.5)3(4)2(3.5)2(3)
= 15
8771276
= 1547
= 3.133
ดงนน สมหญงมผลการเรยนเฉลยในภาคเรยนนเทากบ 3.133
ตวอยางท 5 พอคาขายผลไม ซอสมเขยวหวานมาสามขนาด โดยซอสมขนาดใหญ มา 8 กโลกรม ราคากโลกรมละ 70 บาท ซอสมขนาดกลางมา 12 กโลกรม ราคากโลกรมละ 50 บาท และซอสมขนาดเลกมา 6 กโลกรม ราคากโลกรมละ 35 บาท เพอมาคละและขายรวมกนอยากทราบวาพอคาตองขายสมราคากโลกรมละเทาไรจงจะไมขาดทน
วธท า ก าหนดให xi แทน ราคาสมเขยวหวานแตละขนาด wi แทน จ านวนสมเขยวหวานแตละขนาดทซอ x แทน ราคาเฉลย
x = N321
NN332211w....www
xw.....xwxwxw
x = 6128
35(6)50(12)70(8)
= 26
210600560
= 26
1370
= 53.69 บาท
ดงนน พอคาตองขายสมในราคาไมต ากวา 53.69 บาท จงจะไมขาดทน
36
การวเคราะหคาสถตเบองตน
กรณท 4 การหาคาเฉลยเลขคณตรวม
ใชส าหรบการวเคราะหขอมลเดยวกนแตมหลายๆ ชดและแตละชดกมคาเฉลยเลขคณตไวแลว เชน ผลการเรยนเฉลยในแตละภาคเรยน เมอตองการทราบผลการเรยนเฉลยทกภาคเรยน หรอผลการเรยนเฉลยรวม สามารถท าได ดงน ถา 1x , 2x , 3x , ….., kx เปนคาเฉลยของผลการเรยน k ภาคเรยน และ n1 , n2 , n3 ,……, nk เปนจ านวนหนวยกตทเรยนในแตละภาคเรยน ดงนน
คาเฉลยเลขคณตรวม )(x = k321
kk332211n....nnn
xn.....xnxnxn
หรอ x =
k
1ii
k
1iii
n
Xn
ตวอยางท 6 นกศกษาระดบ ปวส1. แผนกเทคนคอตสาหกรรม จ านวน 5 หอง ในแตละหองมจ านวนนกศกษา ดงน 38 40 42 35 37 คน ในการสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลอง ผลปรากฏวา มคะแนนเฉลยแตละหอง ดงน 67 78.5 69 82 และ 74 ตามล าดบ จงหาคะแนนเฉลยรวมของการสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลองในครงน
วธท า คาเฉลยเลขคณตรวม )(X =
k
N
XN
1ii
k
1iii
= 3735424038
37(74)35(82)42(69)40(78.5)38(67)
= 192
2,7382,8702,8983,1402,546
= 192
14,192
= 73.92 ดงนน คะแนนเฉลยรวมของการสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลองเทากบ 73.92 คะแนน
37
รวม
รน
การวเคราะหคาสถตเบองตน
สมบตของคาเฉลยเลขคณต 1. ผลรวมของขอมลทงหมด มคาเทากบ จ านวนของขอมลทงหมดคณกบคาเฉลยเลขคณต นนคอ
N
XN
1ii
μ จะไดวา
N
1ii
x = Nμ
2. ผลรวมของผลตางระหวางคาของขอมลแตละตวกบคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนนจะมคาเทากบศนยเสมอ นนคอ
N
1iμix = 0
3. ถาน าคาคงทไปบวกหรอลบกบขอมลแตละตว แลวน าไปคาหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเลขทคณตทไดใหม จะมคาเทากบคาเฉลยเลขคณตชดเดมบวกกบคาคงทนนเสมอ นนคอ μ ใหม = μ เดม ± c ; c = คาคงท
4. ถาน าคาคงทไปคณหรอหารกบขอมลแตละตว แลวน าไปคาหาคาเฉลยเลขคณต คาเฉลยเลขทคณตทไดใหม จะมคาเทากบคาเฉลยเลขคณตชดเดมคณหรอหารดวยคาคงทนนเสมอ นนคอ
μ ใหม = cμ เดม หรอ μ ใหม = c1μ เดม
5. คาเฉลยเลขคณตของขอมลจะมคาอยระหวางคาทนอยทสดและคาทมากทสดของขอมล นนคอ Xmin < X < Xmax
2. คามธยฐาน (Median) มธยฐาน เปนการน าขอมลมาจดเรยงอนดบ จากนอยไปหามาก หรอจากมากไปหานอย
แลวหาต าแหนงของขอมลทอยตรงกลางของขอมลทงหมด การค านวณมธยฐาน ขอมลจะอยในมาตราเรยงอนดบ (Ordinal Scales)
การหาคามธยฐานของขอมล แบงการหาออกเปน 2 กรณ 1. กรณขอมลไมแจกแจงความถ
การหาคามธยฐานของขอมลไมแจกแจงความถ ขนตอนการหาท าไดดงน 1. น าขอมลทมอยทงหมดมาจดเรยง อาจจะเรยงจากนอยไปหามากหรอจากมากไปหานอย
2. หาต าแหนงของคามธยฐานจาก 2
1n ( n คอจ านวนขอมลทงหมด)
3. พจารณาต าแหนงของมธยฐาน จากขอมลทจดเรยง แลวอานคามธยฐาน
38
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ตวอยางท 7 จากการทดสอบวชาสถตเพองานอาชพของนกศกษาปรญญาตร สาขาวชาอเลกทรอนกส จ านวน 15 คน ไดคะแนนดงน 15 , 18 , 12 , 10 , 9 , 17 , 6 , 15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 , 10 จงหามธยฐานของขอมลชดน วธท า ขนตอนการหา น าขอมลมาจดเรยงล าดบจากนอย ไปหามาก จะได 6 , 9 , 9, 10 , 10 ,10 , 11 , 12 , 12 , 13 , 14 , 15 , 15 , 17 , 18
หาต าแหนงของขอมล จาก 2
1n = 2
115 = 8
จะเหนวาคะแนนทเปนมธยฐานอยในต าแหนงท 8 ซงจากขอมลทเรยงไวต าแหนงท 8 ตรงกบคะแนนเปน 12
สรปวา คะแนนทเปนมธยฐานคอ 12
ตวอยางท 8 จากวดสวนสงของนกเรยนอนบาล 1 โรงเรยนในจงหวดอดรธานจ านวน 20 คน เปนดงน 78 , 88 , 62 , 60 , 80 , 67 , 60 , 55 , 50 , 49 , 61 , 53 , 62 , 74 , 70 , 55 , 71 , 48 , 61 , 40 มหนวยเปนเซนตเมตร จงหามธยฐานของขอมลชดน วธท า ขนตอนการหา น าขอมลมาจดเรยงล าดบจากนอย ไปหามาก จะได 40 , 48 , 49 , 50, 53 , 55 ,55 , 60 , 60 , 61 , 61 , 62 , 62 , 67 , 70 , 71 , 74 , 78 , 80 , 88
หาต าแหนงของขอมล จาก 2
1n = 2
120 = 10.5
จะเหนวา ไมมขอมลในต าแหนงท 10.5 ดงนนจงเอาขอมลในต าแหนงท 10 และ 11 มา
รวมกนแลวหารสอง ดงน 2
6161 = 61
สรปวา ขอมลทเปนมธยฐานคอ 61
2. กรณขอมลแจกแจงความถ การหาคามธยฐานของขอมลแจกแจงความถ ขนตอนการหาท าไดดงน
1. หาความถสะสม
2. หาต าแหนงของคามธยฐานจากสตร 2n
3. พจารณาต าแหนงมธยฐานตามขอ 2 เทยบกบความถสะสม วาอยในชนใด แลวน าไปหาคามธยฐาน ซงการหาคามธยฐานอาจใชวธการเทยบบญญตไตรยางศ การค านวณตามสตร หรอหาจากกราฟความถสะสมกได ดงรายละเอยดตอไปน
39
การวเคราะหคาสถตเบองตน
สตรการค านวณหาคามธยฐาน
มธยฐาน =
m
Lf
f2N
IL
L = ขอบลางของอนตรภาคชนทมมธยฐานอย I = ความกวางของอนตรภาคชน N = จ านวนขอมลทงหมด ∑FL = ความถสะสมกอนถงชนมธยฐานอย (ขอมลเรยงจากนอยไปมาก) fm = ความถในชนมธยฐานอย
ตวอยางท 9 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานบรษทแหงหนง จงหาน าหนกทเปนมธยฐาน
น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79
3 4 7 8 10 5 4 4
วธท า จากขอมลตองหาความถสะสม น าหนก (กก) จ านวนคน (fi) ความถสะสม
40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79
3 4 7 8 10 5 4 4
3 7 14 22
32 *** 37 41 45
40
การวเคราะหคาสถตเบองตน
หาต าแหนงของมธยฐาน 245
2N = 22.5
ค านวณหาคามธยฐานไดโดยวธ ดงน 1. การเทยบบญญตไตรยางค
ความถสะสมตางกน (32 – 22) = 10 น าหนกตางกน (64.5 – 59.5) = 5
ถาความถสะสมตางกน (22.5 – 22) = 0.5 น าหนกจะตางกน 10
0.5x5 = 0.25
ดงนน น าหนกทเปนมธยฐาน เทากบ 59.5 + 0.25 = 59.75 กโลกรม
2. การใชสตร ต าแหนงของมธยฐานอยในชนทมความถสะสมเทากบ 22.5
(อยในชนท 5 ตรงกบชนน าหนก 60-64 )
จากสตร มธยฐาน =
m
Lf
f2N
IL
จะได =
102222.5559.5
= 59.5 +0.25 = 59.75
ดงนน น าหนกทเปนมธยฐานคอ 59.75 กโลกรม
ตวอยางท 10 ขอมลตอไปนเปนชวงอายของผชายทดดบหร แลวเปนมะเรงในโรงพยาบาลแหงหนง ทมาตรวจพบในรอบเดอน 3 เดอน จงหาอายทเปนมธยฐานของชายทดดบหรและเปนมะเรง
อาย (ป) จ านวนคน 14-23 24-33 34-43 44-53 54-63 64-73
5 7 4 8 12 4
41
การวเคราะหคาสถตเบองตน
วธท า หาความถสะสม อาย (ป) จ านวนคน ความถสะสม 14-23 24-33 34-43 44-53 54-63 64-73
5 7 4 8 12 4
5 12 16 24 36 40
หาต าแหนงของมธยฐาน 240
2N = 20
ค านวณหาคามธยฐานไดโดยวธ ดงน 1. การเทยบบญญตไตรยางค
ความถสะสมตางกน (24 – 16) = 8 อายตางกน (53.5 – 43.5) = 10
ถาความถสะสมตางกน (20 – 16) = 4 อายจะตางกน 8
4x10 = 5
ดงนน อายทเปนมธยฐาน เทากบ 43.5 + 5 = 48.5 ป
2. การใชสตร ต าแหนงของมธยฐานอยในชนทมความถสะสมเทากบ 20
(อยในชนท 4 ตรงกบชวงอาย 44-53 )
จากสตร มธยฐาน =
m
L
f
f2N
IL
จะได =
816201043.5
= 43.5 + 5 = 48.5 ดงนน อายทเปนมธยฐานคอ 48.5 ป
การหาคามธยฐาน สามารถหาไดจากกราฟแสดงความถสะสม ดงน 1. เขยนความเสนโคงความถสะสม (Ogive curve)
2. ลากเสนตรงจากแกน y ตรงจด 2N ใหขนานแกน x เพอตดเสนกราฟ
42
การวเคราะหคาสถตเบองตน
3. ลากเสนตรง ณ. จดตดของกราฟใหขนานแกน y ตงฉากกบแกน x จดตดบนแกน x จดนนเปนคามธยฐาน
ความถสะสม y
2N
คามธยฐาน ขอมล x
3. คาฐานนยม (Mode) ฐานนยม เปนคากลางของขอมลทเลอกจากขอมลทมความถมากทสด หรอชนของ
ขอมลทมความถสงทสด ขอมลทหาฐานนยมจะอยในมาตรนามบญญต (Nominal Scale) การหาฐานนยม แบงการหาได 2 กรณ 1. กรณขอมลไมแจกแจงความถ การหาฐานนยาม จะเลอกเอาขอมลทเกดซ าๆ บอยทสด
มาเปนฐานนยม ซงฐานนยมอาจจะมคาเดยว หลายคา หรอบางขอมลอาจจะไมมฐานนยมกได
ตวอยางท 11 จากการวดสวนสงของนกเรยนอนบาล 1 โรงเรยนในจงหวดอดรธานจ านวน 20 คน เปนดงน 78 , 88 , 62 , 60 , 80 , 67 , 60 , 55 , 50 , 49 , 61 , 53 , 62 , 74 , 70 , 55 , 71 , 48 , 61 , 40 มหนวยเปนเซนตเมตร จงหาฐานนยมของขอมลชดน
จดเรยงขอมลเพอใหดงายขน 40 , 48 , 49 , 50, 53 , 55 ,55 , 60 , 60 , 61 , 61 , 62 , 62 , 67 , 70 , 71 , 74 , 78 ,
80 , 88 จะเหนวาขอมลทเกดซ าจ านวนเทากนมจ านวน 4 คา คอ 55 , 60 , 61 , 62 ดงนน ฐานนยม คอ 55 , 60 , 61 , 62
43
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ตวอยางท 12 จากการทดสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลอง ของนกศกษาระดบประกาศนยบตรวชาชพชนสงสาขาเทคโนโลยสารสนเทศ จ านวน 15 คน ไดคะแนนดงน 15 , 18 ,12 , 10 , 9 , 17 , 6 ,15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 ,10 จงหาฐานนยมของขอมลชดน จดเรยงขอมลเพอใหดงายขน
6 , 9 , 9, 10 , 10 ,10 , 11 , 12 , 12 , 13 , 14 , 15 , 15 , 17 , 18 จะเหนวาขอมลทเกดซ าบอยทสด คอ 10 ดงนน ฐานนยม คอ 10
ตวอยางท 13 จงหาฐานนยมจากขอมล 10 , 11 , 12 , 14 , 16 , 9 , 8 ขอมลชดนไมมฐานนยม เนองจากไมมขอมลตวใดเกดซ ามากกวาหนงครง
จากตวอยางท 11, 12, และ 13 จะเหนไดวาฐานนยมในบางขออาจจะมคามากกวาหนงคาหรอบางขออาจจะไมมฐานนยมกได
2. กรณขอมลแจกแจงความถ การหาฐานนยมท าไดโดยเลอกชนขอมลทมความถสงสดมาค านวณหาฐานนยม การค านวณหาคาฐานนยมได ตามสตรค านวณดงน
ฐานนยม =
21
1 IL
L = ขอบลางของอนตรภาคชนทฐานนยมอย I = ความกวางของอนตรภาคชน
1Δ = ผลตางของความถในชนทฐานนยมอย กบชนคะแนนต ากวาทตดกน
2
Δ = ผลตางของความถในชนทฐานนยมอย กบชนคะแนนสงกวาทตดกน
ตวอยางท 14 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานในบรษทแหงหนง จงหาฐานนยม
น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69
3 4 7 8
10 *** 5
44
การวเคราะหคาสถตเบองตน
วธท า เลอกชนทมความถสงสดมาค านวณหาฐานนยม ดงนน ชนทมความถสดสดคอ ชนทมน าหนก 60-64 จงเลอกชนนมาค านวณฐานนยม
ฐานนยม =
21
1 IL
=
522 559.5
= 59.5 + 1.43
= 60.93 ดงนน น าหนกทเปนฐานนยม คอ 60.93 กโลกรม
การหาฐานนยม สามารถหาไดจากกราฟฮสโตรแกรม 1. เขยนกราฟฮสโตรแกรมลากเสนเชอมทแยงขอบแทงของฮสโตรแกรมทสงสดกบขอบ
แทงทตดกนทง 2 ดาน 2. ลากเสนตรงไปตงฉากกบแกน x จากจดตดกนของเสนทแยงมมทงสอง 3. อานคาบนแกน x เปนคาฐานนยม ดงรป
ความถ
อนตรภาคชน ฐานนยม
การจะเลอกใชคากลางของขอมลแตละชนดนน ขนอยกบลกษณะของขอมลและประโยชนทจะน าไปใช แตคากลางทนยมน าไปใชมากทสดคอ คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) และเปนคากลางทน าขอมลทกตวในชดมารวมค านวณ และมคณสมบตทจะโยงไปสการอนมานสถตตอไปไดด
คากลางของขอมลทงสามคา เมอน ามาแจกแจงความถ และน ามาเขยนกราฟเสนโคงความถ จะไดกราฟทมลกษณะตางๆ กน ดงแผนภาพตอไปน
45
การวเคราะหคาสถตเบองตน
1. กราฟสมมาตร (Normal of Bell-Shaped Curve) คอกราฟทมคาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยม อยทจดเดยวกน ดงกราฟ
MeanMode
Median
กราฟรปโคงปกต (Normal curve)
2. กราฟเบทางซายหรอทางลบ (Negatively Skewed Curve) คอกราฟทมเสนโคงความถชนนอยอยทางดานซายมอ ฐานนยมจะมคามากทสด รองลงมาเปนคามธยฐาน และคาเฉลยเลขคณตมคานอยทสด ดงกราฟ
Mean Mode
Median
กราฟรปโคงเบทางลบ (Negatively skewed)
3. กราฟเบทางขวาหรอทางบวก (Positively Skewed Curve) คอกราฟทมเสนโคงความถชนนอยอยทางดานขวามอ คาเฉลยเลขคณตจะมคามากทสด รองลงมาเปนคามธยฐาน และฐานนยมมคานอยทสด ดงกราฟ
MeanMode
Median
กราฟรปโคงเบทางลบ (Positively skewed)
การวดแนวโนมเขาสสวนกลางของขอมลเพยงอยางเดยว ยงไมท าใหทราบถงลกษณะของขอมลชดนน จงตองมการวดการกระจายของขอมลควบคกบคากลางของขอมลไปดวย จงจะเหนลกษณะของขอมลนนๆ ทชดเจนยงขน
46
การวเคราะหคาสถตเบองตน
2. การวดการกระจายของขอมล การวดการกระจายของขอมล เปนคาทบอกใหทราบวาขอมลชดนนเขาใกลคากลาง หรอแตกตางจากคากลางมากนอยเพยงใด การวดกระจายของขอมล ม 2 แบบดงน
2.1 การวดการกระจายแบบสมบรณ (Absolute Variation) 2.2 การวดการกระจายแบบสมพทธ (Relative Variation)
2.1 การวดการกระจายแบบสมบรณ เปนการจดการกระจายของขอมลเพยงชดเดยวทตองการทราบวาขอมลชดนนมการกระจายมากนอยเพยงใด ซงสามารถท าได 4 วธดงน
1. พสย (Range) 2. สวนเบยงเบนควอไทล (Quartile Deviation) 3. สวนเบยงเบนเฉลย (Mean Deviation) 4. สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)
ส าหรบในหนวยนจะกลาวถงการวดการกระจายแบบสมบรณเพยง 2 วธคอ พสยและสวนเบยงเบนมาตรฐาน
2.1.1 พสย (Rang) พสย เปนคาการวดการกระจายทหางาย และคาทไดมความหยาบ ไมละเอยด
เพราะในการหาจะใชขอมลสงสดกบขอมลต าสดเทานน การหาพสยสามารถท าได 2 กรณดงน
กรณทขอมลไมแจกแจงความถ
พสย = คาสงสด – คาต าสด
ตวอยางท 15 คะแนนการสอบของนกเรยน 15 คนเปนดงน 15 , 18 , 12 , 10 , 9 , 17 , 6 , 15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 , 10 จงหาพสย
วธท า จากขอมล 15 , 18 , 12 , 10 , 9 , 17 , 6 , 15 , 10 , 9 , 11 , 13 , 12 , 14 , 10
พสย = คาสงสด – คาต าสด = 18 – 6 = 12
47
การวเคราะหคาสถตเบองตน
กรณขอมลแจกแจงความถ
พสย = ขอบบนของอนตรภาคชนสงสด – ขอบลางของอนตรภาคชนต าสด
ตวอยางท 16 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานบรษทแหงหนง จงหาพสย
น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69
3 4 7 8 10 5
พสย = ขอบบนของอนตรภาคชนสงสด – ขอบลางของอนตร = 69.5 – 39.5 = 30
ขอสงเกต
1. การหาพสยสามารถหาไดอยางรวดเรว เพราะใชคาของขอมลเพยงสองคาเทานน 2. ถาขอมลบางตวมคามากหรอนอยผดปกตจากขอมลตวอนๆ จะท าใหพสยทค านวณไดม
คาสงมาก 3. ถาขอมลมการแจกแจงความถเปนอนตรภาคชนเปด จะไมสามารถค านวณหาพสยได 4. พสยมคามาก แสดงวาขอมลมการกระจายจากคากลางมาก และถาพสยมคานอยแสดง
วาขอมลมการกระจายจากคากลางนอย
2.1.2 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) สวนเบยงเบนมาตรฐาน เปนคาทน าไปใชวดการกระจายของขอมล ทนยมมากทสด
ทแสดงใหเหนวาขอมลนนมการกระจายหางออกจากคาเฉลยเลขคณตมากนอยเพยงใด สวนเบยงเบนมาตรฐาน ใชสญลกษณ ( ) อานวา ซกมา (sigma) แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร และใชสญลกษณ S หรอ S.D. แทนสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวอยาง เพอใหทราบถงลกษณะของ
48
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ขอมลอยางชดเจน เมอมคาเฉลยเลขคณตตองมคาเบยงเบนมาตรฐานควบคในขอมลชดนนเสมอ การหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน ท าได 2 กรณดงน
1. กรณทขอมลไมแจกแจงความถ
สตร1
N
x2N
1ii
μ
σ หรอ S.D.
n
xx2n
1ii
สตร 2 2
N
1i
2i
N
xμσ
หรอ S.D. 2
n
1i
2i
xn
x
สวนเบยงเบนมาตรฐานมความสมพนธกบความแปรปรวน (Variance) สญลกษณ ( 2σ ) แทนความแปรปรวนของประชากร และ S2 หรอ (S.D.)2 แทนความแปรปรวนของตวอยาง หมายถง ความเบยงเบนของขอมลแตละตวกบคาเฉลยนนจะมคาทงบวกและลบ แตเมอน าขอมลเบยงเบนนมาบวกกนจะไดคาเทากบ 0
ความแปรปรวนของประชากร
N
iX2
N
1i
2
μ
σ หรอ
2
N
1
2
Ni
ix2 μσ
ความแปรปรวนของตวอยาง
n
xix(S.D.)
n
1i
2
2
หรอ
2
n
1i
2i
2 xn
x(S.D.)
ตวอยางท 17 จากขอมล 10 , 12 , 11 , 15 , 8 ,16 , 14 , 13 , 15 , 16 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน
วธท า x = 10
16........111210
= 10130
= 13
49
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ค านวณตามสตร 1
10
1i
2i
xx = (10-13)2+(12-13)2+(11-13)2+(15-13)2+(8-13)2+(16-13)2+(14-13)2+(13- 13)2
+(15-13)2+(16-13)2
= 9 + 1 + 4 + 4 + 25 + 9 + 1 + 0 + 4 + 9 = 66
ดงนน S.D. = 1066
= 6.6 = 2.57
และ (S.D.)2 = 1066
= 2.57 ค านวณตามสตร 2
10
1i
2ix = 102 + 122 + 112 + 152 + 82 + 162 + 142 + 132 + 152 + 162
= 100 + 144 + 121 + 225 + 64 + 256 + 196 + 169 + 225 + 256 = 1,756
S.D. = 2
n
1i
2i
xn
x
= 2(13)10
1756
= 169175.6 = 6.6 = 2.57
และ (S.D.)2 = 2(13)10
1756
= 175.6 – 169 = 6.6 ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลเทากบ 2.57 และ 6.6 ตามล าดบ
50
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ตวอยางท 18 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนความสงของพนกงานบรการบนสายการบนของบรษทหนง จ านวน 5 คน ดงน 165 174 158 160 และ 154 เซนตเมตร
วธท า
x = 5
154160158174165
= 5
811
= 162.2
5
1i
2i
xx = (165-162.2)2+(174-162.2)2+(158-162.2)2+(160-162.2)2+(154-162.2)2
= 7.84 + 139.24 + 17.64 + 4.84 + 67.24 = 236.8
ดงนน S.D. = 5
236.8
= 47.36 = 6.88
และ (S.D.)2 = 5
236.8
= 47.36 ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของความสงเทากบ 6.88 และ 47.36 เซนตเมตร
2. กรณทขอมลแจกแจงความถ
สตร 1
N
xfN
1i
2ii
μ
σ หรอ
n
xxfS.D.
n
1i
2ii
สตร 2
2μ
N
1i
2ii
N
xfσ
หรอ
2
n
1i
2ii
xn
xfS.D.
51
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ความแปรปรวนของประชากร
N1i
Xif2
N2
i
μ
σ หรอ 2μN
N
1i2)i(xif2
σ
ความแปรปรวนของตวอยาง
n
xixf(S.D.)
n
1i
2i
2
หรอ
21i2 xn
n 2ixif
(S.D.)
ตวอยางท 19 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของพนกงานบรษทแหงหนง จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน
น าหนก (กก) จ านวน(คน) 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69
3 4 7 8 10 5
วธท า น าหนก (กก) จ านวนคน
(fi) จดกงกลาง
(xi) (fixi) xx
i 2
ixx fi 2
ixx
40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69
5 7 6 9 8 5
42 47 52 57 62 67
210 329 312 513 496 335
-12.88 -7.88 -2.88 2.12 7.12 12.12
165.89 62.09 8.29 4.49 50.69 146.89
829.45 434.63 49.74 40.41 405.52 734.45
40 2,195 438.34 2,494.2
52
การวเคราะหคาสถตเบองตน
x = 40
2,195
= 54.88
S.D. =
n
nxxf
1i
2ii
= 40
2,494.2
= 62.355 = 7.897
ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานของน าหนกเทากบ 7.897 กโลกรม
ตวอยางท 20 ขอมลตอไปนเปนผลการเรยนเฉลยของนกศกษา จ านวน 30 คน จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนผลการเรยนของนกเรยนกลมน
ผลการเรยนเฉลย จ านวน(คน) 1.51 – 2.00 2.01 – 2.50 2.51 – 3.00 3.01 – 3.50 3.51 – 4.00
3 8 7 9 3
วธท า เกรดเฉลย จ านวนคน
(fi) จดกงกลาง
(xi) (fixi) xx
i 2
ixx fi 2
ixx
1.51 – 2.00 2.01 – 2.50 2.51 – 3.00 3.01 – 3.50 3.51 – 4.00
3 8 7 9 3
1.755 2.255 2.755 3.255 3.755
5.265 18.04 19.285 29.295 11.265
-1.017 -0.517 -0.017 0.483 0.983
1.034 0.267 0.0003 0.233 0.966
3.102 2.136 0.002 2.099 2.898
N = 30 83.15 10.24
x = 30
83.15
53
การวเคราะหคาสถตเบองตน
= 2.772
S.D. =
n
xxfn
1i
2ii
= 30
10.24
= 0.341
= 0.584
(S.D.)2 = 30
10.24
= 0.341 ดงนน สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของผลการเรยนเทากบ 0.584 และ 0.341 ตามล าดบ
สมบตทส าคญบางประการของสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1. สวนเบยงเบนมาตรฐานมคามากกวาหรอเทากบศนยเสมอ 2 ถาน าคาคงทไปบวกหรอลบกบทกๆ คาของขอมล สวนเบยงเบนมาตรฐานชดใหมจะมคา
เทากบสวนเบยงเบนมาตรฐานชดเดม 3. ถาน าคาคงทไปคณหรอหารกบทก ๆ คาของขอมล แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานใหม จะ
เทากบสวนเบยงเบนมาตรฐานเดม คณหรอหารกบคาสมบรณของคาคงท 4. ถาขอมลแตละตวมคาเทากนหมด แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดนนจะ
เทากบศนย
2.2 การวดการกระจายแบบสมพทธ การวดการกระจายแบบสมพทธ เปนการวดการกระจายของขอมลตงแตสองชดขนไป เพอใชเปรยบเทยบการกระจายของขอมลในแตละชด วาขอมลชดใดมการกระจายมากนอยกวากน โดยหาจาก อตราสวนของคาทไดจากการวดการกระจายแบบสมบรณกบคากลางของขอมลชดนน คาทค านวณไดเรยกวา สมประสทธของการกระจาย
54
การวเคราะหคาสถตเบองตน
สมประสทธของการกระจาย แบงออกเปน 4 วธดงน 1. สมประสทธพสย (Coefficient of Range) 2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล (Coefficient of Quartile
Deviation) 3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย (Coefficient of Mean Deviation) 4. สมประสทธการแปรผน (Coefficient of Variation)
แตในหนวยน จะกลาวถงการวดการกระจายสมพทธ เพยง 2 วธ คอ สมประสทธพสย และสมประสทธการแปรผน
2.2.1 สมประสทธพสย (Coefficient of Range) สมประสทธพสย เปนการวดการกระจายทใชขอมลเพยงสองคา คอคาสงสดกบขอมลต าสด ซงคาสมประสทธพสย เปนอตราสวนของผลตางระหวางขอมลสงสดกบขอมลต าสด และผลบวกของขอมลสงสดกบขอมลต าสด ดงสตร
สมประสทธพสย = minmax
minmaxX.XXX
ตวอยางท 21 จงเปรยบเทยบคะแนนสอบวชาสถตและการวางแผนการทดลองของนกศกษาสองกลม ในวทยาลยแหงหนง คะแนนสอบกลมท 1 60 75 52 48 80 66 77 72 61 63 75 50 56 คะแนนสอบกลมท 2 80 86 62 50 58 77 66 53 73 81 69 72 60 70 59
สมประสทธพสย = minmax
minmaxX.XXX
สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลม 1 = 48804880
= 12832
= 0.25 สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลมทหนงเทากบ 0.25 หรอ 25 %
55
การวเคราะหคาสถตเบองตน
สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลม 2 = 50865086
= 13636
= 0.26 สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลมทสองเทากบ 0.26 หรอ 26%
ดงนน สมประสทธพสยของคะแนนสอบนกศกษากลมทสองสงกวากลมทหนง แสดงวาคะแนนสอบของนกศกษากลมทสองมการกระจายมากกวากลมทหนง
2.2.2 สมประสทธการแปรผน (Coefficient of Variation) สมประสทธการแปรผน เปนการวดการกระจายทนกสถตนยมน าไปใชมากทสด ใช
สญลกษณ C.V. แทนสมประสทธการแปรผน ดงสตร
C.V. ประชากร = μ
σ
C.V. ตวอยาง = x
S.D.
ตวอยางท 22 จงหาสมประสทธของการแปรผนของคะแนนสอบนกศกษา 2 กลม
คะแนนสอบแตละคน กลม 1 8 7 6 4 4 9 7 7 คะแนนสอบแตละคน กลม 2 5 6 8 4 5 6 7 8
สมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบ กลม 1 = 1
1μ
σ
1
μ = 8
7...678
= 852
= 6.5
1σ = 8
6.5)(8.....6.5)(76.5)(8 222
= 822
= 2.75 = 1.658
56
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ดงนน สมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบ กลม 1 = 1
1μ
σ
= 6.5
1.658
= 0.255 หรอ 25.5%
สมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบ กลม 2 = 2μ2σ
2μ = 8
8...865
= 849
= 6.125
2σ = 8
6.125)(8.....6.125)(66.125)(5 222
= 8
14.87
= 1.858 = 1.363
ดงนน สมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบ กลม 2 = 2μ2σ
= 6.1251.363
= 0.223 หรอ 22.3% สรป สมประสทธการแปรผนคะแนนสอบนกศกษากลมทหนงสงกวากลมทสอง แสดงวา คะแนนการสอบของนกศกษากลมทหนง มการกระจายคะแนนมากกวากลมทสอง
ตวอยางท 23 จงหาคะแนนการสอบของนกศกษาวาแบบสอบฉบบไหนมคะแนนดกวากน
คะแนนเฉลย สวนเบยงเบนมาตรฐาน แบบสอบฉบบท 1 55 8 แบบสอบฉบบท 2 68 11
สมประสทธการแปรผน = μ
σ
57
การวเคราะหคาสถตเบองตน
สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 1 = 558
= 0.145 สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 1 เทากบ 0.145 หรอ 14.5%
สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 2 = 6811
= 0.162 สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 2 เทากบ 0.162 หรอ 16.2% ดงนน สมประสทธการแปรผนของแบบสอบฉบบท 2 สงกวาฉบบท 1 แสดงวา คะแนนการสอบดวยแบบสอบฉบบทสองกระจายมากกวาฉบบทหนง นนคอ คะแนนการสอบดวยแบบสอบฉบบทหนงดกวาฉบบทสอง
58
การวเคราะหคาสถตเบองตน
1. จากขอมล น าหนกของนกเรยนชนประถมศกษาปท 1 จ านวน 15 คน เปนดงน 35 27 19 28 22 27 26 35 30 21 20 17 20 20 28
1.1 หาคาเฉลยของน าหนก
15
XX
15
1ii
= 15
282020172021303526272228192735
= 15
..........
= …………. ดงนนคาเฉลยน าหนกของนกเรยนกลมน เทากบ………………………… กโลกรม
1.2 หาคามธยฐาน ขนตอนการหามธยฐาน 1. จดเรยงขอมลจาก นอยไปหามาก
…………………………………………………………………………………………………………………………หาต าแหนงของมธยฐาน จากขอมลทเรยงไว
ต าแหนง = 2
1n = 2
1........ = ……………………………………………
มธยฐานอยในต าแหนงท…………………ตรงกบตวเลข.............................................. 2. ดงนน คามธยฐานเทากบ ……………………………………………………………………………
1.3 หาคาฐานนยม (เลอกจากขอมลทเกดซ าบอยทสด) ฐานนยมเทากบ………………………………………………………………………………………………….
2. จากขอมลจงเตมค าตอบใหถกตอง ขอมล คาเฉลย มธยฐาน ฐานนยม
1) 5 5 4 5 7 7 9 8 2) 10 11 12 13 14 15 3) 12 12 12 12 12 12 4) 4 4 5 5 6 6 7 7 5) 11 10 10 9 8 6 5
…………………………. …………………………. …………………………. …………………………. …………………………
………………………… ………………………… ………………………… ………………………… …………………………
…………………… …………………… …………………… …………………… ……………………
เอกสารแนะแนวทางท 2.1
59
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ขอมลคาจางรายวนของแมบานในโรงพยาบาลแหงหนงเปน ดงน คาจาง จ านวน (คน)
150-199 200.249 250-299 300-349 350-399 400-449 450-499
7 10 12 8 6 4 3
จงหาคาเฉลยของคาจางรายวน คามธยฐาน และคาฐานนยม
คาจาง จ านวน (คน) จดกงกลาง (Xi) fiXi ความถสะสม 150-199 200.249 250-299 300-349 350-399 400-449 450-499
7 10 12 8 6 4 3
…………… …………… …………… …………… …………… …………… ……………
…………… …………… …………… …………… …………… …………… …………...
…………… …………… …………… …………… …………… …………… ……………
............xfii
n = ………
1) หาคาเฉลยเลขคณต n
iXf
X
n
1 ii =
.................
................
= ……………………………..
เอกสารแนะแนวทางท 2.2
60
การวเคราะหคาสถตเบองตน
2) มธยฐาน หาต าแหนง 2n =
2............
= …………………………………..
ค านวณ หามธยฐาน
m
L
f
f2N
IL
L = …………………… I = ……………………. 2n = …………………………..
................. Lf
mf =……………………
แทนคาตามสตร จะได
.........
...............................
= …………………………………………….. = ……………………………………………… = ……………………………………………..
3. ฐานนยม การหาฐานนยม จะเลอกชนทมความถสงทสด
สตรการหาฐานนยม
21
1 IL
L = ขอบลางของอนตรภาคชนทฐานนยมอย =…………………………………. I = ความกวางของอนตรภาคชน =………………………………………………….
1 = ผลตางของความถในชนทฐานนยมอย กบชนคะแนนต ากวาทตดกน =………………….
2 = ผลตางของความถในชนทฐานนยมอย กบชนคะแนนสงกวาทตดกน =…………………
แทนคา =
................
..............................
= .............
.............
ฐานนยม = ………………….
61
การวเคราะหคาสถตเบองตน
1. จากขอมล น าหนกของนกเรยนชนประถมศกษาปท 1 จ านวน 10 คน เปนดงน 35 27 19 28 22 27 26 35 30 21
1.1 จงหาพสย พสย = คาสงสด - คาต าสด = ……………… - …………….. = ………………………..
1.2 หาสวนเบยงเบนมาตรฐาน
S.D.
n
xx2n
1ii
10
xx
10
1ii
= 10
.......... = ………………………….
10
1i
2i
xx = ……………………………………………………………………………………………………...........
=………………………………………………………………………………………………………………………….. =…………………………………………………………………………………………………………………………..
S.D.
n
xx2n
1ii
= ...........
...............
= ……………………… = ………………………
เอกสารแนะแนวทางท 2.3
62
การวเคราะหคาสถตเบองตน
2. ขอมลคาใชจายรายวนของนกศกษาระดบ ปวส. สาขาการจดการโลจสตกส วทยาลยเทคนคอดรธาน
คาจาง จ านวนนกศกษา (คน) 150 - 159 160 - 169 170 - 179 180 - 189 190 - 199 200 - 209 210 - 219
3 5 12 8 5 4 3
พสย = …………………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………….
คาจาง จ านวนนกศกษา (คน)
xi fixi xix 2xix fi 2xix
150 - 159 160 - 169 170 - 179 180 - 189 190 - 199 200 - 209 210 - 219
3 5 12 8 5 4 3
n = …………
S.D. = ...........
...........
= ............. = ……………….
63
การวเคราะหคาสถตเบองตน
1. จากการสอบถามอายของนกเรยนกลมหนงเปนดงน 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17 จงหาคาเฉลยเลขคณตของอายนกเรยนกลมน ( 2 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของยอดขายอาหารตอสปดาหของแตละรานในวทยาลยเทคนคอดรธาน เปนดงน 4,200 5,300 5,800 6,500 5,300 7,600 8,000 6,300 (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
แบบฝกหดทายหนวยท 2
64
การวเคราะหคาสถตเบองตน
3. ขอมลตอไปน เปนน าหนกของนกศกษา ประดบ ปวส. ของวทยาลยแหงหนง น าหนก (กก) จ านวนนกศกษา
45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79
8 10 6 7 5 3 1
จงหา คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของนกศกษากลมน (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. จงหาคาพสย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน ของน าหนกหม 8 ตวทเพมขนตอสปดาห มหนวยเปนกโลกรม ขอมลเปนดงน 5, 5.3 , 6.5 , 4.5 , 7 , 8 , 6.7 , 6 (3 คะแนน) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….... ……………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
65
การวเคราะหคาสถตเบองตน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… 5. ขอมลตอไปน เปนน าหนกของนกศกษา ประดบ ปวส. ของวทยาลยแหงหนง
น าหนก (กก) จ านวนนกศกษา 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79
8 10 6 7 5 3 1
จงหา พสย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน ของน าหนกนกศกษากลมน (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
66
การวเคราะหคาสถตเบองตน
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………..…………….......... …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… …………………………………………………………………………………………………………………………..………………… 6. น าหนกของนกศกษา ปวส. จ านวน 15 คน ไดขอมลน าหนก ดงน น าหนกนกศกษาชาย (กก) 60 55 70 53 69 58 77 80 59 น าหนกนกศกษาหญง (กก) 45 40 42 61 45 59 จงเปรยบเทยบการกระจายของน าหนกระหวางนกศกษาชายและนกศกษาหญง (3 คะแนน) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
67
การวเคราะหคาสถตเบองตน
ค าชแจง ขอสอบปรนยมจ านวน 10 ขอ ใหนกศกษาเลอกค าตอบทถกทสดเพยงค าตอบเดยว
1. ถา 3yx...3yx3yx773322 เขยนเปนสญลกษณไดดงขอใด
ก )
7
1iii
y(x
ข.
)3y(x7
1iii
ค. )y(x7
2iii
ง.
)
7
2iii
3y(x
จ. 3 )y(x7
2iii
2. คนกลมหนงมน าหนกแตกตางกนดงน 46, 44, 40, 49, 52, 42 กโลกรม หลงจากนนพบวาเครองชงน าหนกอานคาไดมากกวาความเปนจรง 3 กโลกรม จงหาน าหนกเฉลยจรงของคนกลมน
ก. 43 ข. 42 ค. 42.5 ง. 41 จ. 41.5 3. ถาสวนสงของนกเรยน 10 คน วดเปนเซนตเมตรไดดงน 110, 120, 110, 108, 112, 110, 118,
112 125 138 ขอใดตอไปนถกตอง ก. คาเฉลยเลขคณตมคานอยกวามธยฐาน ข. คาเฉลยเลขคณตมคามากกวามธยฐาน ค. ฐานนยมมคามากกวามธยฐาน ง. ฐานนยมมคามากกวาคาเฉลยเลขคณต จ. คามธยฐานมคาเทากบฐานนยม
แบบทดสอบหลงเรยน
68
การวเคราะหคาสถตเบองตน
4. สมชายมผลการเรยนของภาคเรยนท 1/2559 แตละวชาเปนดงน วชา หนวยกต เกรด
ภาษาไทย คณตศาสตร ภาษาองกฤษ วทยาศาสตร สงคมศกษา พละศกษา วสดชาง
2 2 2 2
1.5 1 3
3.5 3 4
2.5 3 4 4
อยากทราบวาสมชายไดเกรดเฉลยในภาคเรยนนเทากบเทาใด ก. 3.42 ข. 3.44 ค. 3.45 ง. 3.46 จ. 3.47 5. บรษทตวแทนจ าหนายเครองคอมพวเตอรมยอดจ าหนายในรอบ 6 เดอน ดงน 25, 30, 20, 18, 27, 30 เครองตามล าดบ คาเฉลยยอดขายตอเดอนไดกเครอง ก. 21 ข. 22 ค. 23 ง. 24 จ. 25 6. จากโจทยขอ 5. สวนเบยงเบนมาตรฐานมคาเทากบขอใด ก. 4.26 ข. 4.62 ค. 4.72 ง. 4.82 จ. 4.86
69
การวเคราะหคาสถตเบองตน
7. คาใชจายตอเดอนของนกศกษา 5 เปนดงน 3,000 4,500 7,000 70,000 และ 4,000 คา ค านวณรายจายทอยตรงกลางทเหมาะสมควรเปนคาใด ก. คาเฉลยเลขคณต ข. มธยฐาน ค. ฐานนยม ง. สมประสทธการแปรผน จ. สวนเบยงเบนมาตรฐาน 8. ตารางแสดงน าหนกของนกศกษาเปนกโลกรม
น าหนก (กโลกรม) จ านวน (คน) 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60
4 8 12 10 6
จงพจารณาวาขอความใดตอไปนถกตอง ก. ชนทมความถสะสมเปน 16 มจดกงกลางชนเทากบ 47.5 ข. มธยฐานอยในชนทมน าหนกระหวาง 41-45 ค. คาเฉลยเลขคณตของน าหนกมคาเทากบ 47.25 ง. ฐานนยมอยในชนทมน าหนกเดยวกนกบมธยฐาน จ. ชนทมความถสงสด มจดกงกลางเทากบ 47.50
ขอมลน ตอบค าถามขอ 9-10 คาจางของพนกงานในบรษท 3 แผนก มคาเฉลยและความแปรปรวน ดงตารางขางลางน
แผนก คาเฉลย (บาท) ความแปรปรวน A 4,500 25 B 5,000 81 C 5,500 121
70
การวเคราะหคาสถตเบองตน
9. คาจางของแผนก C มการกระจายเทาใด ก. 0.002 ข. 0.02 ค. 0.022 ง. 45.45% จ. 500 10. อยากทราบวาคาจางของพนกงานแผนกใดมการกระจายมากทสด ก. แผนก A ข. แผนก C ค. แผนก B ง. แผนก A และ B จ. แผนก A และ C
71