Pibo

on ch

omso

mbatแบบทดสอบชดท 2 เรอง จ ำนวนจรง

(1) ขอความตอไปนถกหรอผด

(1.1) ถา n I+ และ n > 1 จะได n na = a (1.2) ถา a, b > 0 แลว b a = a - b

(2) ใหหาคาของจ านวนจรง m ทนอยทสดทท าให (2.1) 0.5 4x < m เมอ -3 < 2x - 1 < 0.5

(2.2) 5x

2x

< m เมอ x (2,6)

(2.3) 25x 2 < m เมอ 5x < 6

(3) ถา 1 -x < 5 และ 2 -y < 4 แลว y x มคาอยในชวงใด (4) ใหหาค าตอบของสมการตอไปน

(4.1) x2- 6 x + 8 = 0 (4.2) 1 -x + 1 x = 2 (4.3) [Ent’30] 4 -x + 3 -x = 1

(5) ถา A เปนเซตค าตอบของสมการ 3x 2 = 2 + 3 x และ B เปนเซตค าตอบ ของสมการ 3x 2 = 2 + 3x แลวใหหาเซต B A ' (6) ใหหาผลบวกของค าตอบทงหมดของสมการ 2) 8(x 2 - 2) 14(x + 3 = 0

(7) ถา A = { x I | 3 3x x2 = 3 2x } และ B { x I |

2x3x5

= 2 } แลว ใหหาคา a2+ b2

เมอ a, b เปนคาขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสดของ A B

(8) ใหหาค าตอบทงหมดของสมการ 2x

x

=x3

(9) ใหหาค าตอบของอสมการตอไปน

(9.1) 1 -2x < 3x + 2 (9.4) 21x

3

x

(9.2) 3 < 2 -x < 6 (9.5) 1x

x

2

(9.3) x + x1 >0 และ x2- x - 2 < 0

(10) ถา A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2

2x + x 4 และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ x < 7 - x

แลวใหหาเซต (A B)'

Pibo

on ch

omso

mbat(11) ถา A = { x R | x <

254x

5} แลวขอความตอไปนถกหรอผด

(11.1) ถา a, b A แลว (a + b)/2 A (11.2) ถา a, b เปนขอบเขตบนคานอยสด และขอบเขตลางคามากสดของ A แลว a + b A

(12) ถา A = { x R | 2x2 < 14 } และ B { x R | x1 - 1 > 0} แลว มจ านวนเตมใน A B '

กจ านวน (13) ใหหาคา a, b, c ทเปนจ านวนนบทนอยทสด ทท าให

(13.1) -4 < x < 1 เปนค าตอบของอสมการ b ax < c (13.2) x < -10 หรอ x > 8 เปนค าตอบของอสมการ b ax > c

(14) ใหหาค าตอบของอสมการตอไปน (14.1)3x + 2 < 4x + 1

(14.2) 1x2x

< 2

(14.3) 7 -x < 5 < 25 -5x (14.4) 1 -x + 3 -x < 5 -x

(14.5) 2xx45xx

22

1

(15) ใหหาค าตอบของอสมการ 3 -x < 2 -x (16) ใหหาคา x ทท าให

(16.1) (1 - x )(1 + x) เปนจ านวนจรงบวก (16.2) (1 - x )(1 + x) เปนจ านวนจรงลบ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Pibo

on ch

omso

mbatเฉลยแบบทดสอบชดท 2 เรอง จ ำนวนจรง

ขอ (1) ผดทกขอ

(1.1) ผด n na = a , n = จ านวนค a , n = จ านวนค

(1.2) ผด เชน a = 0, b = -1

จะได ba = 1, a - b = -1 ขอ (2) (2.1) 3.5

-3 < 2x -1 < 0.5-2 < 2x < 1.5

-1 < x < 0.75

-4 < 4x < 3 -3.5 < 4x + 0.5 < 3.5 0.54x < 3.5

(2.2) 17/3

2 < x < 6 31 <

2x < 1

-1 < x2

- < 31

- 5 < x2

- + 6 < 3

17

แสดงวา 6x25x

215x2x

อยในชวง (5,

317 )

3175x

2x

(2.3) 96

-6 < x + 5 < 6 -11 < x < 1

0 < x2 < 121 -25 < x2 - 25 < 96 25 x2 - < 96

ขอ (3) [0, 12)

-5 < x - 1 < 5 -4 < x < 6

และ -4 < y - 2 < 4 -2 < y < 6

ดงนน-6 < x + y < 12 y x [0, 12)

Pibo

on ch

omso

mbatขอ (4) (4.1) 2, -2, 4, -4

2x - 6 x + 8 = 0

( x - 4)( x - 2) = 0 x = 2 หรอ 4

ตอบ {2, -2, 4, -4} (4.2) [-1, 1] ขอนแบงชวงยอยดงน

ก. เมอ x < -1 จะได

-x + 1- x - 1 = 2 -2x = 2 x = - 1

ข. เมอ -1 x < 1 จะได

-x + 1+ x + 1=2 2 =2 [-1, 1) ค. เมอ x 1 จะได

x - 1+ x + 1=2 2x =2 x = 1 {1}

ตอบ [-1, 1] (4.3) [3, 4] ขอนแบงชวงยอยดงน ก. เมอ x < 3 จะได

-x + 4 - x + 3 = 1 -2x = -6 x = 3 ข. เมอ 3 x < 4 จะได

-x + 4 + x - 3 = 1 1= 1 [3, 4) ค. เมอ x 4 จะได

x - 4 + x - 3 = 1 2x =8 x = 4 {4} ตอบ [3, 4]

ขอ (5) [-2/3, 0) เซต A ; แบงชวงยอยดงน

ก. เมอ x < -2/3 จะได

-2 - 3x =2 - 3x -2 =2

Pibo

on ch

omso

mbat

ข. เมอ -2/3 x < 0 จะได

2 + 3x =2 - 3x 6x = 0 x = 0 ค. เมอ x 0 จะได 2 + 3x =2 + 3x 0 = 0 [0, ) A = [0, ) เซต B; แบงชวงยอยดงน

ก. เมอ x < -2/3 จะได

-2 + 3x =2 + 3x -2 = 2 ข. เมอ x -2/3 จะได

2 + 3x =2 + 3x 0 = 0 [-2/3, )

B = [-2/3, )

ดงนนตอบ B A' = B - A [ 32

, 0)

ขอ (6) -8 032x142x8 2

02x3)(42x(2 )1

2x23 หรอ

41

x {-2 +23 , -2 -

23 , -2 +

41 , -2 -

41 }

ผลบวกค าตอบคอ -8 ขอ (7) 90 ** เนองจากทงสองขางเปนบวกเสมอ จงสามารถยกก าลงสองทงสองขางได

A; ยกก าลงสอง 2 ขางแลวยายมาลบกน

(x2 + 3x + 3)2 - (2x + 3)2 = 0

(x2 + 3x + 3 -2x - 3)(x2 + 3x + 3 + 2x + 3)= 0 (x2 + x)(x2 +5x +6)= 0 x(x + 1)(x + 2)(x + 3)= 0

A = {0, -1, -2, -3}

Pibo

on ch

omso

mbat ตอมาคด B; 3x 5 - = 4 2x

(การยายสวนขนมาคณ อยาลมเงอนไขวาสวนหามเปน 0 นนคอ x หามเปน -2 ดวย) ยกก าลงสอง 2 ขางแลวยายมาลบกน เหมอนเดม

(5 - 3x)2 - (2x + 4)2 = 0

(5 - 3x -2x - 4)(5 - 3x + 2x + 4) = 0

(1-5x)(9 - x)= 0 B = {9} (โจทยบอกใหเปนจ านวนเตมเทานน)

จะได A B = {0, -1, -2, -3, 9}

a = 9, b = -3 a2 + b2 = 90 ขอ (8) 1, 6

ถอดคาสมบรณได 2 กรณคอ x < 0 กบ x 0 แตพบวา x < 0 ไมได เพราะขวามอจะตดลบ ... จง เหลอแคกรณ x 0 เทานน (โดยทจรงแลว x 0 เพราะ 00 ไมนยาม)

x2)x( = x3 2x2

1x = x3

ก. มองเฉพาะเลขชก าลง 2x21 = 3

x2 = 6 x = 6 ข. มองวาฐานของเลขยกก าลง x = 1 กได เพราะ 1 ยกก าลงอะไรกได 1 เทากน ตอบ {1, 6 }

(หมายเหต โจทยขอนควรจะใชเรอง log ชวยคด) ขอ (9) (9.1) (-1/5, ) แยกชวงยอยเหมอนขอ 4, 5 กได

ก. เมอ x < 1/2 จะได

-2x + 1< 3x + 2 -1<5x x > - 1/5

(-1/5, 1/2) ข. เมอ x 1/2 จะได

2x - 1< 3x + 2 -3 < x x > - 3 [1/2, )

ตอบ (-1/5, ) [ หมายเหต ขอนใชวธยกก าลงสอง 2 ขางเหมอนขอ 7 กได จะไวกวา.. แตจะตองไมลมเงอนไขวา

ฝงขวาตอง > 0 เสมอ (คอ x > -2/3) ]

Pibo

on ch

omso

mbat (9.2) (-4, -1) (5, 8)

นอกคาสมบรณเปนตวเลข จงแกแบบนได

-6 < x - 2 < -3 หรอ 3 < x - 2 < 6

-4 < x < -1 5 < x < 8

ตอบ (-4, -1) (5, 8) (9.3) (-1, 2) - {0}

จาก x1x + > 0 แยกชวงยอยคด

ก. เมอ x < 0 จะได

0x1x0x

1x2

0x1)1)(x(x

เขยนเสนจ านวนไดเปน (-1, 0) (1, ) น าไปอนเตอรเซค

เงอนไขได (-1, 0) ข. เมอ x 0 จะได

0x1x0x

1x2

(ดานบนแยกตวประกอบไมออก) เขยนเสนจ านวนไดเปน

(0, ) น าไปอนเตอรเซคเงอนไขได (0, ) ฉะนน ค าตอบในสวนนคอ

(-1, 0) (0, ) ตอมา จาก x2 - x -2 < 0 (x -2)(x + 1) < 0 เขยนเสนจ านวน ไดค าตอบเปน (-1, 2)

สรปค าตอบของขอน

x (-1, 0) (0, ) และ x (-1, 2) เชอมดวยค าวา “และ” แปลวา อนเตอรเซค

ไดค าตอบ x (-1, 0) (0, 2)

(9.4) ( 1, 3) [2

213 , )

แยกชวงยอย ก. เมอ x < 1 จะได

x1x3x21x

3

01x

xx301x3 2

01x3xx2

x + 1 0 x -1

(-1, 1)

Pibo

on ch

omso

mbat ข. เมอ x 1 จะได

0x3x3x21x

3

03xxx03x

xx 223333

03)(x)2

213)(x2213(x

(แยกดวยสตร)แลวเขยนเสนจ านวน

โดยคดวา 21 4 กวาๆ

จะได [ 2213 , 3) [ 2

213 , )อนเตอรเซคกบเงอนไขชวง

ไดเปน [1, 3) [ 2213 , )

ตอบ ( 1, 3) [ 2213 , )

(9.5) (- , -2] (-1, 1) [2, ) ให A แทน x จะไดอสมการกลายเปน

021AA21A

A

01A2A01A

2 AA

2

เขยนเสนจ านวนไดเปน A (- , 1) [2, ) แต A จะตองมากกวาหรอเทากบ 0 เทานน

นนคอ A [0, 1) [2, ) เทานน และจะได x (- ,-2] (-1, 1) [2, ) นนเอง

ตอบ (- ,-2] (-1, 1) [2, ) ขอ (10) (2, )

A; แยกชวงยอย ก. เมอ x < -2 จะได

2),(10x 010x

082x2x04x22x

ข. เมอ x -2 จะได

2,22x 063x

082x2x04x22x

ดงนนA = (- , 2] [ หมายเหต อสมการนถายาย x ไปลบทางขวา กจะเหนวาใชวธยกก าลงสองทง 2 ขาง แบบขอ 7 ได ]

Pibo

on ch

omso

mbatB; แยกชวงยอย

ก. เมอ x < 7 จะได

x < -x + 7 2x < 7 x < 27 7 (- ,

27 )

ข. เมอ x 7 จะได x < x - 7 0 < -7

ดงนนB (- , 27) =

A B = (- , 2] ... ตอบ (A B)' = (2, ) ขอ (11) ถกทกขอ คดทละซก คอ

2x < 54x และ 54x 10 จาก 2x < 54x ใชวธแยกชวงยอย

ก. เมอ x < -5/4 จะได

2x < - 4x -5 6x < -5 x < -5/6

อนเตอรเซคกบเงอนไขไขชวงแลวได (- ,-5/4)

ข. เมอ x -5/4 จะได

2x < 4x +5 -5 < 2x x > -5/2

อนเตอรเซคกบเงอนไขไขชวงแลวได [-5/4, ) ดงนน ซกแรกไดค าตอบรวมกนเปน x R ตอมา จาก 54x 10 จะได

-10 4x + 5 10 -15 4x 5

-15/4 x 5/4

ดงนน สองซกอนเตอรเซคไดเปน A = [ 4

15 , 4

5 ]

(11.1) ถกเสมอ เพราะ A เปนชวงตอเนอง เสมอA2b)(a

(11.2) 4 5 + )4

15( =

410

A ถก

ขอ (12) 7 A ; - 14 < x2 - 2 < 14

-12 < x2 < 16 คอ 0 x2 < 16

-4 < x < 4 A = (-4, 4)

Pibo

on ch

omso

mbatB;

x1

- 1 0 00 x1

xx1 x --

เขยนเสนจ านวนไดค าตอบเปน B = (0, 1)

A B ' = A - B = (-4, 0] [1, 4) ค าตอบคอ มจ านวนเตมอย 7 จ านวน ขอ (13) (13.1) 2, 3, 5

เทคนคการคดคอ น า 2

14 = 2 3

ลบออกทกสวนของอสมการ เพอใหตวเลขทางซายและ

ทางขวาเปนเลขเดยวกน จะได 2312

3x234

5 c 3, b2, a นนคอ32x

32x25

23x2

5

5

55

(13.2) 1, 1, 9

คดเชนเดยวกบขอทแลว คอ น า 2

810 = -1 ลบออก

จะได x + 1 < -9 หรอ x + 1 > 9 1 x > 9 นนคอ a = 1, b = 1, c = 9 ขอ (14) (14.1) (- , -3/7) (1, ) เนองจากเปนบวกทงสองขาง สามารถยกก าลงสองไดเลย ดงน

(3x +2)2 < (4x + 1)2 (3x +2)2 - (4x + 1)2 < 0

(3x + 2 - 4x - 1)(3x + 2 + 4x + 1) < 0

(-x + 1)(7x + 3) < 0 (x - 1)(7x + 3) > 0

เขยนเสนจ านวนไดค าตอบเปน (- , 73

) (1, )

(14.2) (- , -4) (0, ) เนองจากตวสวนมคาสมบรณจงเปนบวกเสมอ สามารถคณยายไปไวทางขวาไดทนท และ จากนนยงสามารถยกก าลงสองได (เหมอนขอทแลว) (แตตองไมลมเงอนไขตวสวน คอ x

หามเปน -1)

(x -2)2 < (2x +2)2 (x -2)2 - (2x + 2)2 < 0

(x -2 -2x -2)(x -2 + 2x +2)< 0

(-x - 4)(3x) < 0 3(x + 4)(x) > 0

เขยนเสนจ านวนไดค าตอบเปน (- ,-4) (0, )

Pibo

on ch

omso

mbat (14.3) (2, 4) (6, 12)

คดทละซก คอ 7 x < 5 และ 25 5x > 5

ก. จาก 7 x < 5 จะได -5 < x - 7 < 5 นนคอ 2 < x < 12 ข. จาก 25 5x > 5 จะได

5x - 25 > 5 หรอ 5x - 25 < -5 นนคอ x > 6 หรอ x < 4 น า ก. อนเตอรเซค ข. ไดค าตอบ (2, 4) (6, 12) (14.4) (-1, 3) แยกชวงยอยเปน 4 ชวง

ก. เมอ x < 1 จะได

-x + 1 - x + 3 < -x + 5 -1 < x (-1, 1) ข. เมอ 1 x < 3 จะได

x - 1 - x + 3 < -x + 5 x < 3 [1, 3) ค. เมอ 3 < x < 5 จะได

x - 1 + x - 3 < -x + 5 x < 3 ง. เมอ x > 5 จะได

x - 1 + x - 3 < x - 5 x < -1

รวมกนทกชวงยอยแลวไดค าตอบ (-1, 3) (14.5) (- , -1] [-1/3, 3]-{1, -2} ขอนสามารถยายสวนขนไปคณทางขวาแลวยกก าลงสองทง 2 ขาง เพอท าผลตางก าลงสอง

แบบขอ 14.1, 14.2 ไดเลย.. โดยตองไมลมเงอนไขตวสวน คอ x หามเปน -2 กบ 1 แตถา

ตองการคดแบบตรงๆ จะไดแบบน... 1xx

5xxหรอ 1xx

5xx2

2

2

2

2

4

2

4

ก. จาก 1xx

5xx2

2

2

4 จะได

0

12

)1

12

)2

2

24

))(x(x(3x 0))(x(x

6x(

0xx

xx5xx2

22

เขยนเสนจ านวนไดค าตอบ (- ,-2) [-1/3, 1)

Pibo

on ch

omso

mbat ข. จาก 1

xx5xx

2

2

2

4 จะได

0

12

)1

2

24

))(x(x3)(x2(x

0xx

xx5xx2

22

เขยนเสนจ านวนไดค าตอบ (-2, -1] (1, 3] ขอ ก. และ ข. เชอมดวยค าวา “หรอ” คอยเนยน

ดงนน ค าตอบคอ (- ,-1] [-1/3, 3] - {-2, 1} ขอ (15) (- , -1/2) (5/2, ) มคาสมบรณซอนกน พจารณาชนในสดกอน ก. เมอ x < 0 จะไดสมการโจทยกลายเปน 3 x < 2 x ยกก าลงสอง 2 ขางแลวยายมาลบกน

(- x - 3)2 < (x -2)2 (- x - 3)2 - (x -2)2 < 0

(- x - 3 - x +2)(- x - 3 + x -2) < 0

(-2x - 1)(-5) < 0 (2x + 1)(5) < 0 ไดเปน x < - 1/2 อนเตอรเซคกบเงอนไขไดชวงเดม ข. เมอ x 0 จะไดสมการโจทยกลายเปน 3 x < 2 x ยกก าลงสอง 2 ขางแลวยายมาลบกน

(x - 3)2 < (x -2)2 (x - 3)2 - (x - 2)2 < 0

(x - 3 - x +2)(x - 3 + x -2) < 0

(-1)(2x -5) < 0 (1)(2x -5) > 0

ไดเปน x > 5/2 อนเตอรเซคกบเงอนไขไดชวงเดม สรปขอนค าตอบคอ (- ,-1/2) (5/2, ) ขอ (16) (16.1) (- , -1) (-1, 1) ก. เมอ x < 0 จะได (1 + x)(1 + x) > 0 (x + 1)2 > 0

ซงเปนจรงเสมอยกเวนท x = -1 (จะเขยนเสนจ านวนเพอหาค าตอบกได)

ดงนน ค าตอบของชวงนคอ (- ,-1) (-1, 0)

ข. เมอ x 0 จะได (1 - x)(1 + x) > 0 (x - 1)(x + 1) < 0

เขยนเสนจ านวนไดค าตอบเปน (-1, 1) และน าไปรวมกบเงอนไขชวง ไดเปน [0, 1)

สรปรวมขอนตอบวา (- ,-1) (-1, 1) (16.2) (1, ) คดวธเดยวกนกบขอทแลวกได หรอจะใชค าตอบเดมมาคดกจะรวา ค าตอบคอ (1, )

(จด x = -1 และ 1 เราไมน ามาตอบ เพราะเปนจดทท าให (1 - x )(1 + x) เปนศนย)