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53. Mathematik-Olympiade 4. Stufe (Bundesrunde) Olympiadeklasse 10 Aufgaben – 2. Tag c 2014 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbar in logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnung herangezogene Aussagen sind zu beweisen, falls sie nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind. Auf eine Beweisangabe kann außerdem verzichtet werden, wenn die Aussage einen eigenen Namen besitzt und dadurch als allgemein bekannt angesehen werden kann. 531044 Gegeben sind eine positive natürliche Zahl z und zwei Zahlenfolgen a n und b n mit folgenden Eigenschaften: a 1 =4 z, b 1 = 1 4 z sowie a n+1 = a n + b n 2 ,b n+1 = a n · b n a n+1 für n =1, 2,... a) Beweisen Sie, dass dann stets a n + b n ≥ 2 z gilt. b) Beweisen Sie, dass jedes Folgenglied a n größer ist als das nächste Glied a n+1 . 531045 Gegeben ist ein Dreieck ABC . Der Mittelpunkt von AB sei D . Auf der Strecke CD wird ein beliebiger Punkt P gewählt, und M sei der Mittelpunkt der Strecke PD . Durch P und M werden Parallelen zur Geraden AB gelegt. Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit den Dreiecksseiten AC und BC bilden ein Trapez. Für welche Lage von P ist der Flächeninhalt dieses Trapezes am größten? 531046 Kann man für alle positiven ganzen Zahlen m, n mit m<n die Menge Z der ganzen Zahlen in unendlich viele Teilmengen zu je drei Zahlen so zerlegen, dass in jeder Teilmenge die drei Zahlen die drei Abstände m, n bzw. m + n voneinander haben? Hinweis: „Zerlegung“ bedeutet, dass jede ganze Zahl in genau einer Teilmenge enthalten sein soll. Die Abstände der drei Zahlen a, b, c sind |a − b|, |a − c| und |b − c|.
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Olimpiada Alemã de matematica
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53. Mathematik-Olympiade4. Stufe (Bundesrunde)
Olympiadeklasse 10Aufgaben – 2. Tag
c© 2014 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V.www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten.
Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbarin logisch und grammatisch einwandfreien Sätzen dargestellt werden. Zur Lösungsgewinnungherangezogene Aussagen sind zu beweisen, falls sie nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind.Auf eine Beweisangabe kann außerdem verzichtet werden, wenn die Aussage einen eigenenNamen besitzt und dadurch als allgemein bekannt angesehen werden kann.
531044
Gegeben sind eine positive natürliche Zahl z und zwei Zahlenfolgen an und bn mit folgendenEigenschaften:
a1 = 4 z, b1 =1
4z
sowie
an+1 =an + bn
2, bn+1 =
an · bnan+1
für n = 1, 2, . . .
a) Beweisen Sie, dass dann stets an + bn ≥ 2 z gilt.b) Beweisen Sie, dass jedes Folgenglied an größer ist als das nächste Glied an+1.
531045
Gegeben ist ein Dreieck ABC . Der Mittelpunkt von AB sei D . Auf der Strecke CD wirdein beliebiger Punkt P gewählt, und M sei der Mittelpunkt der Strecke PD . Durch P undM werden Parallelen zur Geraden AB gelegt. Die Schnittpunkte dieser Parallelen mit denDreiecksseiten AC und BC bilden ein Trapez.
Für welche Lage von P ist der Flächeninhalt dieses Trapezes am größten?
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Kann man für alle positiven ganzen Zahlen m,n mit m < n die Menge Z der ganzen Zahlenin unendlich viele Teilmengen zu je drei Zahlen so zerlegen, dass in jeder Teilmenge die dreiZahlen die drei Abstände m, n bzw. m+ n voneinander haben?
Hinweis: „Zerlegung“ bedeutet, dass jede ganze Zahl in genau einer Teilmenge enthalten seinsoll. Die Abstände der drei Zahlen a, b, c sind |a− b|, |a− c| und |b− c|.
