1

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ค าชแจง

การใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบคร

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน เลมท 1 การหารลงตว (Exact Division) เปนชดนวตกรรมทจดท าขนเพอประกอบการจดการเรยนรสาระคณตศาสตร ในหนวยการเรยนรท 3 เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน จ านวนทงสน 5 เลม ประกอบดวย เลมท 1 เรอง การหารลงตว (Exact Division) เลมท 2 เรอง จ านวนเฉพาะ (Prime Numbers) เลมท 3 เรอง ขนตอนวธการหาร (Division Algorithm) เลมท 4 เรอง ตวหารรวมมาก (G.C.D.) เลมท 5 เรอง ตวคณรวมนอย (L.C.M.) แบบฝกทกเลม ประกอบดวย 1) ค าชแจงการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบคร 2) ค าชแจงการใชแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตรส าหรบนกเรยน 3) สาระและมาตรฐานการเรยนร ผลการเรยนร จดประสงค คณลกษณะอนพงประสงค 4) ใบความร 5) แบบฝกทกษะคณตศาสตร 6) เฉลยแบบฝกทกษะคณตศาสตร 7) แบบทดสอบกอนเรยนและหลงเรยนดวยแบบฝกทกษะคณตศาสตร แนวปฏบตส าหรบครในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร 1. ศกษาคมอการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรนใหเขาใจ 2. ชแจงขนตอนการเรยนในการใชแบบฝกเสรมทกษะคณตศาสตรน ใหนกเรยนเขาใจ 3. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยนดวยแบบฝกเสรมทกษะกอนศกษา เนอหาจาก ใบความร 4. ท าแบบฝกทกษะคณตศาสตร และตรวจค าตอบจากเฉลยทละแบบฝก 5. ดแลใหนกเรยนปฏบตตามขนตอน และใหค าแนะน าเมอนกเรยนพบปญหา 6. ประเมนผลการเรยนรของนกเรยนอยางตอเนอง และใหแรงเสรมในการปฏบตกจกรรมของนกเรยน 7. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยนดวยแบบฝกทกษะคณตศาสตร เมอศกษาใบความร และท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรเสรจสน 8. บนทกผลการประเมนหลงการจดการเรยนร โดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรทกครง

2

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ค าชแจง

การใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรส าหรบนกเรยน ขนตอนการปฏบตส าหรบนกเรยนกอนการใชแบบฝกทกษะ คณตศาสตรฉบบน 1. ศกษาขนตอนการใชแบบฝกทกษะนใหเขาใจชดเจน 2. ศกษาสาระและมาตรฐานการเรยนร สาระการเรยนรแกนกลาง ตวชวด จดประสงค และคณลกษณะอนพงประสงค 3. ท าแบบทดสอบกอนเรยนดวยแบบฝกทกษะคณตศาสตร ตรวจค าตอบจากเฉลย แลวบนทกคะแนนลงในแบบบนทกคะแนน 4. ศกษาท าความเขาใจเนอหาจากใบความร ท าแบบฝกดวยตนเอง และตรวจค าตอบจากเฉลยไปทละแบบฝกตามล าดบ เมอพบปญหา ใหขอ ค าแนะน าหรอค าปรกษาจากครทนท 5. ท าแบบทดสอบหลงเรยนดวยแบบฝกทกษะคณตศาสตร ตรวจค าตอบจากเฉลยทาย แบบฝก 6. ประเมนผลการท าแบบทดสอบกบเกณฑ - ผานเกณฑการประเมนใหศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมตอไป – ไมผานเกณฑการประเมนใหยอนกลบไปศกษาและท าความเขาใจเนอหาจากใบความรและท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรดวยตนเอง ใหมอกครง

3

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ผลการเรยนร จดประสงคการเรยนร คณลกษณะอนพงประสงค

ผลการเรยนร น าสมบตของจ านวนเตมไปใชในการใหเหตผลเกยวกบการหารลงตวได จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนบอกนยามของการหารลงตวได 2. นกเรยนสามารถน าความรเรองการหารลงตวไปใชแกปญหาได คณลกษณะอนพงประสงค 1. มวนย 2. ใฝเรยนร 3. มงมนในการท างาน

4

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

แบบทดสอบกอนเรยน

เรอง การหารลงตว ค าสง : ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตอง ขอใดกลาวถกตองทกขอความ ก. 2 | 10, 6 12 ข. 4 | 12, 7 18 ค. 4 | 18, 8 16 ง. 6 | 12, 8 16 จงหาจ านวนสมาชกในเซต {11, 12, ..., 90} ทหารดวย 4 ลงตว ก. 18 ข. 19 ค. 20 ง. 21 ให a, b และ c เปนจ านวนเตมซง a | b และ b | c ขอใดสรปถกตอง ก. a | c ข. c | a ค. a c ง. c a ให a และ b เปนจ านวนเตมซง a | b และ b | a ขอใดสรปถกตอง ก. a = b ข. a = -b ค. a = b ง. a = b = 1 จ านวนเตมบวกทหาร 150 ลงตว มทงหมดกจ านวน ก. 12 ข. 15 ค. 18 ง. 24

5

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ส าหรบจ านวนเตม a ขอใดตอไปนผด ก. 2 | (a2 – a) ข. 3 | (a3 – a) ค. 4 | (a4 – a) ง. 4 | a(a – 3)(a2-3a + 2)

ก าหนดให m, n และ c เปนจ านวนเตม แลวขอใดตอไปนแสดงความหมายของ n หาร m ลงตวถกตอง

ก. n = mc ข. m = nc ค. c = mn

ง. cm

n

ถา a และ b เปนจ านวนเตม และ b ≠ 0 แลว b | a หมายถงขอใด

ก. a = bc เมอ c เปนจ านวนจรง ข. a = bc เมอ c เปนจ านวนธรรมชาต ค. a = bc เมอ c เปนจ านวนเตม ง. a = bc เมอ c เปนจ านวนตรรกยะ

ถา a และ b เปนจ านวนเตม ซง b ≠ 0 และ a = bc ซง c เปนจ านวนเตมแลว ขอใดตอไปนถกตอง

ก. a | b ข. b | a ค. a b ง. b a

ถา a และ b เปนจ านวนเตม ซง b ≠ 0 และ a = bc ซง c เปนจ านวนตรรกยะทไมใชจ านวนเตมแลว ขอใดตอไปนถกตอง

ก. a | b ข. b | a ค. a b ง. b a

6

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ใบความรท 1.1

นยามของการหารลงตว

ในการศกษาเกยวกบจ านวนตางๆ จ านวนเตมเปนจ านวนทมนกคณตศาสตรหลายทานใหความสนใจทจะศกษาเปนพเศษ จากการคนควาเกยวกบจ านวนเตมท าใหเกดความรใหมๆ เกยวกบจ านวนเตมขนมา ซงองคความรดงกลาวไดรบการพสจนและตรวจสอบแนนอนแลววาเปนจรง จงสรปเปนทฤษฎขนมา ให I = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} เปนเซตของจ านวนเตม พจารณาผลหารของจ านวนเตมกบจ านวนเตมตอไปน

32

6 (ผลหาร คอ 3 ซงเปนจ านวนเตม)

25

10 (ผลหาร คอ 2 ซงเปนจ านวนเตม)

42

8

(ผลหาร คอ -4 ซงเปนจ านวนเตม)

5.22

5 (ผลหาร คอ 2.5 ซงไมเปนจ านวนเตม)

75.14

7 (ผลหาร คอ 1.75 ซงไมเปนจ านวนเตม)

จะพบวา เซตของจ านวนเตมไมมสมบตปดส าหรบการหาร กลาวคอ ผลหารไมจ าเปนตองเปนจ านวนเตมเสมอไป แตกจะมบางกรณทมผลหารเปนจ านวนเตม เราเรยกการหารดงกลาววา “หารลงตว” เชน

32

6 จงกลาวไดวา 2 หาร 6 ลงตว

25

10 จงกลาวไดวา 5 หาร 10 ลงตว

42

8

จงกลาวไดวา 2 หาร -8 ลงตว

7

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

จากความเขาใจดงกลาว ไดมนยามของการหารลงตวดงน บทนยาม ให a และ b เปนจ านวนเตม โดยท b ≠ 0 a หาร b ลงตว กตอเมอ มจ านวนเตม c ทท าให b = ac เรยก b วาเปน “ตวหาร (Divisor)” ของ a เรยก a วาเปน “พหคณ (Multiple)” ของ b ขอตกลง ใชสญลกษณ b | a แทน b หาร a ลงตว และ b a แทน b หาร a ไมลงตว ตวอยางท 1 2 | 8 เพราะ มจ านวนเตม 4 ทท าให 8 = 2 · 4 -3 | 12 เพราะ มจ านวนเตม -4 ทท าให 12 = (-3)(-4) 9 | 0 เพราะ มจ านวนเตม 0 ทท าให 0 = 9 · 0 3 5 เพราะ ไมมจ านวนเตม c ทท าให 5 = 3c

ตวอยางท 2 จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 20, d 30 และd

80 8

วธท า ก าหนดให d เปนจ านวนเตมบวก ซง d | 20 ………….(1) ดงนน d = 1, 2, 4, 5, 10, 20 (จ านวนทหาร 20 ลงตว) ก าหนดให d 30 ………….(2) จากเงอนไข (2) เพมเตม จะได d = 4, 20

ก าหนดให d

80 8 ………….(3)

ถา d = 4, 204

80 ซง 20 8

ถา d = 20, 420

80 ซง 4 8

ดงนน d ทเปนไปตามเงอนไขทง 3 ขอ คอ 4 สรป จากทงสามเงอนไข จะได d = 4

สญลกษณตางๆ ตองใชใหคลอง

8

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ตวอยางท 3 จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 18 | d และ d | 216 วธท า ก าหนดให 18 | d จะได d = 18m เมอ m เปนจ านวนเตมบวก ก าหนดให d | 216 จะได 216 = dn เมอ n เปนจ านวนเตมบวก แทนคา 216 = (18m)n นนคอ 12 = mn ดงนน m | 12 (เพราะ n เปนจ านวนเตมบวก) เนองจาก m เปนจ านวนเตมบวก ดงนน m = 1, 2, 3, 4, 6 12 จาก d = 18m จะได d = 18(1), 18(2), 18(3), 18(4), 18(6), 18(12) d = 18, 36, 54, 72, 108, 216

9

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

แบบฝกทกษะท 1.1

1. ใหนกเรยนเตมเหตผลในแตละขอ (1) 4 | 20 เพราะ ........................................................................................................ ...................... (2) 5 | 35 เพราะ ......................................................................................................... ..................... (3) 7 | 49 เพราะ ............................................................................................................................. . (4) -6 | 42 เพราะ .............................................................................................................................. (5) 9 | 0 เพราะ ............................................................................................................................. . (6) 3 25 เพราะ ............................................. ................................................................................. (7) 8 52 เพราะ ........................................................................................................ ...................... (8) 12 13 เพราะ ............................................................................................................................. . (9) -11 23 เพราะ ............................................................................................................................. . (10) 9 19 เพราะ ........................................................................................................ ......................

10

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

2. ใหนกเรยนหาค าตอบใหสมเหตสมผล (1) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 12 | d และ d | 72 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (2) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 10 | d และ d | 150 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (3) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 15 | d และ d | 675 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (4) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 11 | d และ d | 1320 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

11

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

(5) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 23 | d และ d | 1288 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (6) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 16, d | 20 และ d 11 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (7) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 20, d | 30 และ d 36 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (8) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 42, d 72 และ d 28 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

12

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

(9) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 25, d 40 และd

25 10

………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (10) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 21, d | 30 และ d 8 ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

13

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ใบความรท 1.2

ทฤษฎบทของการหารลงตว ความรเกยวกบการหารลงตวเปนความรซงสามารถพสจนและแสดงใหเหนไดวาเปนจรงแลว มดงน ทฤษฎบท 1 ก าหนด a, b, c เปนจ านวนเตมใดๆ โดยท a ≠ 0 และ b ≠ 0 ถา a | b และ b | c แลว a | c

พสจน สมมตให a | b และ b | c จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax จะมจ านวนเตม y ทท าให c = by จะได c = (ax) y c = a (xy) เนองจาก xy เปนจ านวนเตม ดงนน a | c ตวอยางท 1 ถา 12 | 36 และ 36 | 180 แลว 12 | 180 ถา 15 | 45 และ 45 | 225 แลว 15 | 225 ทฤษฎบท 2 ก าหนด a, b เปนจ านวนเตมบวก ซง a | b แลวจะได a ≤ b พสจน

สมมตให a | b จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax เนองจาก a และ b เปนจ านวนเตมบวก ท าใหทราบวา x เปนจ านวนเตมบวกดวย แสดงวา x ≥ 1 น า a ซงเปนจ านวนเตมบวกมาคณทงสองขางของอสมการ จะได ax ≥ a (เพราะ a เปนจ านวนเตมบวก) ดงนน b ≥ a

14

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ตวอยางท 2 ถา 9 | 36 จะเหนวา 9 < 36 ถา 15 | 15 จะเหนวา 15 = 15 ทฤษฎบท 3 ก าหนด a, b, c เปนจ านวนเตมใดๆ โดยท a | b และ b | c แลว a | (bx + cy) เมอ x, y เปนจ านวนเตมใดๆ

พสจน สมมตให a | b และ a | c จะมจ านวนเตม m ทท าให b = am จะมจ านวนเตม n ทท าให c = an จะได bx+cy = (am)x+(an)y เมอ x และ y เปนจ านวนเตม = a(mx+ny) เนองจาก mx+ny เปนจ านวนเตม ดงนน a | (bx+cy) ตวอยางท 3 3 | 9 และ 3 | 15 จะเหนวา 3 | (9·2 + 15·4) 12 | 24 และ 12 | 120 จะเหนวา 12 | (24·(-2) + 120·7) ทฤษฎบท 4 ให a, b และ c เปนจ านวนเตม 1. ถา a | b แลว a | bc 2. ถา a | b แลว ax | bx เมอ x เปนจ านวนเตมทไมเทากบศนย 3. ถา a | b แลว b | a แลว a = b 4. ถา a | b และ a | (b + c) แลว a | c 5. ถา a | (b1 +b2 + b3 +…+bn) และ a | b1 และ a | b2 และ a | b3 และ ... และ a | bn-1 แลว a | bn 6. ถา a | b และ c | d แลว ac | bd 7. ถา a | b และ b ≠ 0 แลว |a| ≤ |b| 8. ถา a | b และ b |a แลว |a| = |b| 9. a | a 10 1 | a 11. a | 0

15

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ตวอยางท 4 5 | 10 แลว 5 | 10·2 2 | 6 แลว 2·3 | 6·3 5 | 5 1 | 20 5 | 0

16

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

แบบฝกทกษะท 1.2

1.ใหนกเรยนศกษาทฤษฎบท 1 และ 2 แลวเตมขอความตอไปน ทฤษฎบท 1 ก าหนด a, b, c เปนจ านวนเตมใดๆ โดยท a ≠ 0 และ b ≠ 0 ถา a | b และ b | c แลว a | c ทฤษฎบท 2 ก าหนด a, b เปนจ านวนเตมบวก ซง a | b แลวจะได a ≤ b (1) 6 | 18 และ 18 | 72 ดงนน ..................................................................................... (2) -5 | 10 และ 10 | 50 ดงนน ..................................................................................... (3) -12 | 48 และ 48 | 240 ดงนน ..................................................................................... (4) 36 | 108 และ 108 | 1,080 ดงนน ................................................................................ (5) 25 | 250 และ 250 | 10,000 ดงนน ................................................................................ 2. ใหนกเรยนแสดงขอความตอไปนเปนจรง (1) ถา a | b และ b | c แลว a | (b + c) a | b จะมจ านวนเตม d ทท าให b = ad ………….(1) b | c จะมจ านวนเตม c ทท าให c = bc .…………(2) (1) + (2) จะได b + c = …………………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………… = …………………………………………………………………………………… ดงนน ..................................................................................................................... ............ (2) ถา a | (3x – 2y) และ a | (5x – 4y) แลว a | x a | (3x – 2y) จะมจ านวนเตม d ทท าให ......................................................................(1) a | (5x – 4y) จะมจ านวนเตม e ทท าให .......................................................................(2)

(1)×2 ; จะได .................................................................................................................(3) (3) – (2) ; จะได ................................................................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (3) ถา a | b และ b | c แลว a | (b - c) ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

17

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

(4) ถา a | (b + c) และ a | b แลว a | c ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (5) ถา a | b และ a | c แลว a | bc ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (6) ถา ab | c แลว a | b และ b | c ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (7) ถา a | b แลว a | bc ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

18

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

(8) ถา a | b แลว ax | bx เมอ x เปนจ านวนเตมทไมเทากบศนย ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (9) ถา a | b และ c | d แลว ac | bd ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… (10) ถา a | b และ b | a แลว |a| = |b| ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………

19

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

แบบทดสอบหลงเรยน

เรอง การหารลงตว ค าสง : ใหนกเรยนเลอกค าตอบทถกตอง ขอใดกลาวถกตองทกขอความ ก. 3 | 12, 7 14 ข. 3 | 12, 7 18 ค. 5 | 12, 6 18 ง. 5 | 22, 9 20 จงหาจ านวนสมาชกในเซต {18, 19, ..., 102} ทหารดวย 4 ลงตว ก. 18 ข. 19 ค. 20 ง. 21 ให a และ b เปนจ านวนเตมซง 2 | a และ a | b ขอสรปใดถกตอง ก. 2 b ข. a = 2 ค. b = 2 ง. 2 | b ให a, b และ c เปนจ านวนเตม ซง a | b และ a | c จงพจารณาขอความตอไปน (1) a | bc (2) a | (b + c) ขอใดตอไปนถกตอง ก. ขอ (1) เทานนเปนจรง ข. ขอ (2) เทานนเปนจรง ค. ขอ (1) และขอ (2) ตางกเปนจรง ง. ขอ (1) และ ขอ (2) ตางกเปนเทจ จ านวนเตมบวกทหาร 120 ลงตว มทงหมดกจ านวน ก. 12 ข. 16 ค. 18 ง. 24

20

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ก าหนดให a และ b เปนจ านวนเตม ซง b ≠ 0 แลว b | a หมายถงขอใดตอไปน ก. a = bc เมอ c เปนจ านวนเตม ข. a = bc เมอ c เปนจ านวนตรรกยะ ค. a = bc เมอ c เปนจ านวนนบ ง. a = bc เมอ c เปนจ านวนเตมศนย

ก าหนดให a, b และ c เปนจ านวนเตม ถา a | b และ b | c แลวขอใดตอไปนถกตอง

ก. c | a ข. a | c ค. c | b ง. b | c

ถา a และ b เปนจ านวนเตมบวก ซง a | b แลวขอใดตอไปนถกตอง

ก. a > b ข. b > a ค. a ≤ b ง. b ≤ a

จ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 17 | d และ d | 85 มทงหมดกจ านวน

ก. 2 จ านวน ข. 3 จ านวน ค. 4 จ านวน ง. 5 จ านวน

จ านวนเตมบวก d ในขอตอไปน ท าให d | 16, d 35 และd

16 30 คอจ านวนในขอใด

ก. 1 ข. 4 ค. 8 ง. 16

21

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

...เอกสารอางอง...

กระทรวงศกษาธการ. (2552). หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551.

กรงเทพฯ: โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย จ ากด. จกรนทร วรรณโพธกลาง. (2554). คมอสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร ม.4 เลม 1. กรงเทพฯ:

เรองแสงการพมพ. ทรงวทย สวรรณธาดา. (2555). หนงสอเรยนเสรมคณตศาสตรเพมเตม ม.4 ภาคเรยนท 1. กรงเทพฯ:

แมค. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2553). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม

คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4 – 6 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ: โรงพมพ สกสค. ลาดพราว.

สเทพ จนทรสมศกด. (2533). ระบบจ านวน. กรงเทพฯ: หางหนสวนจากดพทกษการพมพ. อจฉรา หาญชวงศ. (2542). ทฤษฎจ านวน. กรงเทพฯ: โรงพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

22

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ภาคผนวก

23

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

ขอ ค าตอบ ข ค ก ค ก ค ข ค ข ง

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

ขอ ค าตอบ ข ง ง ค ข ก ข ค ก ข

24

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1 1. ใหนกเรยนเตมเหตผลในแตละขอ (1) 4 | 20 เพราะ มจ านวนเตม 5 ทท าให 20 = 4 · 5 (2) 5 | 35 เพราะ มจ านวนเตม 7 ทท าให 35 = 5 · 7 (3) 7 | 49 เพราะ มจ านวนเตม 7 ทท าให 49 = 7 · 7 (4) -6 | 42 เพราะ มจ านวนเตม -7 ทท าให 42 = (-6) · 7 (5) 9 | 0 เพราะ มจ านวนเตม 0 ทท าให 0 = 9 · 0 (6) 3 25 เพราะ ไมมจ านวนเตม c ทท าให 25 = 3c (7) 8 52 เพราะ ไมมจ านวนเตม c ทท าให 52 = 8c (8) 12 13 เพราะ ไมมจ านวนเตม c ทท าให 12 = 12c (9) -11 23 เพราะ ไมมจ านวนเตม c ทท าให 23 = (-11)c (10) 9 19 เพราะ ไมมจ านวนเตม c ทท าให 19 = 9c 2. ใหนกเรยนหาค าตอบใหสมเหตสมผล (1) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 12 | d และ d | 72 d = 12, 24, 36, 72 (2) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 10 | d และ d | 150 d = 10, 30, 50 (3) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 15 | d และ d | 675 d = 15, 45, 75, 135, 225, 675 (4) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 11 | d และ d | 1320 d = 11, 22, 33, 44, 55, 66, 110, 132, 220, 264, 330, 660, 1320 (5) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมด ซง 23 | d และ d | 1288 d = 23, 46, 92, 161, 184, 322, 644, 1288 (6) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 16, d | 20 และ d 11 d = 2, 4 (7) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 20, d | 30 และ d 36 d = 5, 10 (8) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 42, d 72 และ d 28 d = 21, 42

(9) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 25, d 40 และd

25 10

d = 25 (10) จงหาจ านวนเตมบวก d ทงหมดทท าให d | 21, d | 30 และ d 8 d = 3

25

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2 1.ใหนกเรยนศกษาทฤษฎบท 1 และ 2 แลวเตมขอความตอไปน (1) 6 | 18 และ 18 | 72 ดงนน 6 | 72 (2) -5 | 10 และ 10 | 50 ดงนน -5 | 50 (3) -12 | 48 และ 48 | 240 ดงนน -12 | 240 (4) 36 | 108 และ 108 | 1,080 ดงนน 36 | 1080 (5) 25 | 250 และ 250 | 10,000 ดงนน 25 | 10000 2. ใหนกเรยนแสดงขอความตอไปนเปนจรง (1) ถา a | b และ b | c แลว a | (b + c) a | b จะมจ านวนเตม d ทท าให b = ad ………….(1) b | c จะมจ านวนเตม c ทท าให c = bc .…………(2) (1) + (2) จะได b + c = ad + bc = ad + (ad)y = a(d + dy) เนองจาก d + dy เปนจ านวนเตม ดงนน a | (b + c) (2) ถา a | (3x – 2y) และ a | (5x – 4y) แลว a | x a | (3x – 2y) จะมจ านวนเตม d ทท า 3x – 2y = ad .............(1) a | (5x – 4y) จะมจ านวนเตม e ทท าให 5x – 4y = ac …………...(2)

(1)×2 ; จะได 6x – 4y = 2ad ...............(3) (3) – (2) ; จะได x = 2ad - ae = a(2d – e) เนองจาก 2d – e เปนจ านวนเตม ดงนน a | x (3) ถา a | b และ b | c แลว a | (b - c) a | b จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax ………..(1) b | c จะมจ านวนเตม y ทท าให c = by ………..(2) น า (1)-(2) จะได b – c = ax – by = ax – (ax)y = a(x – xy) เนองจาก x – xy เปนจ านวนเตม ดงนน a | (b – c)

26

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

(4) ถา a | (b + c) และ a | b แลว a | c a | (b + c) จะมจ านวนเตม x ทท าให b + c = ax ………..(1) a | b จะมจ านวนเตม y ทท าให b = ay ………..(2) น า (2) แทนใน (1) ay + c = ax c = ax – ay = a(x – y) เนองจาก x – y เปนจ านวนเตม ดงนน a | c (5) ถา a | b และ a | c แลว a | bc a | b จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax ………..(1) a | c จะมจ านวนเตม y ทท าให c = ay ………..(2) น า (1)(2) จะได bc = (ax)(ay) = a(axy) เนองจาก axy เปนจ านวนเตม ดงนน a | bc (6) ถา ab | c แลว a | b และ b | c ab | c จะมจ านวนเตม x ทท าให c = abx ………..(1) c = a(bx) และ c = b(ax) เนองจาก ax และ bx เปนจ านวนเตม ดงนน a | b และ b | c (7) ถา a | b แลว a | bc a | b จะมจ านวนเตม c ทท าให b = ac ………..(1) น า c x (1) จะได bc = (ac)c = a(cc) เนองจาก cc เปนจ านวนเตม ดงนน a | bc (8) ถา a | b แลว ax | bx เมอ x เปนจ านวนเตมทไมเทากบศนย a | b จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax ………..(1) น า x·(1) จะได bx = (ax)(x) = a(xx) เนองจาก xx เปนจ านวนเตม ดงนน ax | bx

27

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

(9) ถา a | b และ c | d แลว ac | bd a | b จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax ………..(1) c | d จะมจ านวนเตม y ทท าให d = cy ………..(2) น า (1)(2) จะได bd = (ax)(cy) = (ac)(xy) เนองจาก xy เปนจ านวนเตม ดงนน ac | bd (10) ถา a | b และ b | a แลว |a| = |b| a | b จะมจ านวนเตม x ทท าให b = ax ………..(1) b | a จะมจ านวนเตม y ทท าให a = by ………..(2) น า (1 แทนใน )(2) จะได a = (ax)(y) = a(xy) เนองจาก xy = 1 ดงนน |a| = |b|

28

แบบฝกทกษะคณตศาสตรเพมเตม ม.4 นางกรนรนทร อรกล เลมท 1 การหารลงตว ต าแหนงคร วทยฐานะครช านาญการ โรงเรยนโพนงามศกษา

ประวตเจาของผลงาน

ประวตสวนตว

ชอ นางกรนรนทร อรกล วน เดอน ปเกด 5 พฤษภาคม 2528 ทอยปจจบน 105 หม 7 ต าบลสามคคพฒนา อ าเภออากาศอ านวย จงหวดสกลนคร ต าแหนงปจจบน ต าแหนง คร วทยฐานะ ครช านาญการ

สถานทท างาน โรงเรยนโพนงามศกษา อ าเภออากาศอ านวย จงหวดสกลนคร

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 23

โทรศพท 042 168 065

ประวตการศกษา

พ.ศ. 2540 ประถมศกษาปท 6 โรงเรยนบานหนองสามขา อ าเภออากาศอ านวย

จงหวดสกลนคร

พ.ศ. 2546 มธยมศกษาปท 6 โรงเรยนโพนงามศกษา อ าเภออากาศอ านวย

จงหวดสกลนคร

พ.ศ. 2552 ปรญญาตร (ค.บ.) วชาเอก คณตศาสตร มหาวทยาลยราชภฎสกลนคร จงหวดสกลนคร

พ.ศ. 2555 ปรญญาโท (ค.ม.) สาขา การวจยและพฒนาการศกษา

มหาวทยาลยราชภฎสกลนคร จงหวดสกลนคร

ประวตการท างาน

พ.ศ. 2552 ครผชวย โรงเรยนโพนงามศกษา อ าเภออากาศอ านวย

จงหวดสกลนคร สงกด ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 23

พ.ศ. 2555 คร คศ. 1 โรงเรยนโพนงามศกษา อ าเภออากาศอ านวย

จงหวดสกลนคร สงกด ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 23

พ.ศ. 2558 คร คศ. 2 โรงเรยนโพนงามศกษา อ าเภออากาศอ านวย จงหวดสกลนคร สงกด ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา

เขต 23