MECHANICS OF

MATERIALS

Fourth Edition

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CHAPTER

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9 Deflexão de Vigas

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Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

9 - 2

Deflection of Beams

Deformação de uma viga sob carregamento transversal

Equação da curva elástica

Determinação directa da curva elástica da distribuição de carga...

Vigas estaticamente indeterminadas

Problema 9.1

Problema 9.3

Método da sobreposição

Problema 9.7

Aplicação da sobreposição a vigas estaticamente indeterminadas

Problema 9.8

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9 - 3

Deformação de uma Viga sob Carga Transversal

• A relação entre o momento flector e a

curvatura para flexão pura mantém-se válida

para carregamentos transversais genéricos.

EI

xM )(1

• Viga encastrada sujeita a uma carga

concentrada na extremidade livre,

EI

Px1

• A curvatura varia linearmente com x

• Na extremidade livre

A,

AA

ρρ

,01

• No suporte B,PL

EIB

B

,01

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9 - 4

Deformação de uma Viga sob Carga Transversal

• Viga em balanço

• Reacções em A e C

• Diagrama do momento flector

• A curvatura é nula nos pontos onde o momento

flector é zero, i.e., em cada extremidade e em E.

EI

xM )(1

• A viga tem a concavidade para cima onde o

momento flector é positivo e para baixo onde ele

é negativo.

• A curvatura máxima ocorre onde a grandeza do

momento é máxima.

• Para determinar o deslocamento máximo e o

declive é necessário a equação da forma da viga

ou curva elástica.

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9 - 5

Equação da Curva Elástica

• Do cálculo elementar ,

2

2

232

2

2

1

1

dx

yd

dx

dy

dx

yd

• Substituindo e integrando,

21

00

1

0

2

21

CxCdxxMdxyEI

CdxxMdx

dyEIEI

xMdx

ydEIEI

xx

x

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9 - 6

Equação da Curva Elástica

21

00

CxCdxxMdxyEI

xx

• As constantes são determinadas a partir das

condições de fronteira

• Três casos para vigas estaticamente determinadas

– Viga simplesmente apoiada

0,0 BA yy

– Viga em balanço0,0 BA yy

– Viga encastrada0,0 AAy

• Carregamentos mais complicados requerem

integrais múltiplos e a aplicação de condições

de continuidade de deslocamentos e declive.

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Determinação Directa da Curva Elástica a Partir da

Distribuição de Carga

• A equação para o deslocamento da viga é

xwdx

ydEI

dx

Md4

4

2

2

432

2213

161 CxCxCxC

dxxwdxdxdxxyEI

• Integrando quatro vezes, segue-se

• Para uma viga sujeita a uma carga distribuída,

xwdx

dV

dx

MdxV

dx

dM2

2

• As constantes são determinadas a partir das

condições de fronteira.

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Vigas Estaticamente Indeterminadas

• Considere uma viga com suportes fixos em A e um

suporte rolante em B.

• A partir de um diagrama de corpo livre, note que

há quatro componentes de reacção desconhecidas.

• Condições para equilíbrio estático

000 Ayx MFF

A viga é estaticamente indeterminada.

21

00

CxCdxxMdxyEI

xx

• Também temos a equação do deslocamento da viga,

que introduz duas incógnitas mas fornece três

equações adicionais para as condições de

fronteira:

0,At 00,0At yLxyx

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9 - 9

Problema 9.1

m 2.1m4.5kN200

GPa 20001300101360 46

aLP

EmmIW

Para o troço AB da viga em balanço, (a)

obtenha equação da curva elástica, (b)

determine o deslocamento máximo,

(c) calcule ymax.

SOLUÇÃO:

• Desenvolva uma expressão para

M(x) e obtenha a equação diferencial

da curva elástica .

• Integre a equação diferencial duas

vezes e aplique as condições de

fronteira para obter a curva elástica.

• Localize o ponto de declive zero ou o

ponto de deslocamento máximo.

• Calcule o deslocamento máximo.

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9 - 10

Problema 9.1

SOLUÇÃO:

• Desenvolva uma espressão para M(x) e

derive a equação diferencial da curva elástica.

- Reacções:

L

aPR

L

PaR BA 1

- A partir do diagrama de corpo livre para o

troço AD,

LxxL

aPM 0

xL

aP

dx

ydEI

2

2

- A equação diferencial da curva elástica

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9 - 11

Problema 9.1

PaLCLCLL

aPyLx

Cyx

6

1

6

10:0,at

0:0,0at

113

2

• Integre duas vezes a equação diferencial e

aplique as condições de fronteira para obter a

curva elástica.

213

12

6

1

2

1

CxCxL

aPyEI

CxL

aP

dx

dyEI

xL

aP

dx

ydEI

2

2

32

6 L

x

L

x

EI

PaLy

PaLxxL

aPyEI

L

x

EI

PaL

dx

dyPaLx

L

aP

dx

dyEI

6

1

6

1

3166

1

2

1

3

22

Substituindo,

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9 - 12

Problema 9.1

• Localize o ponto de declive nulo e o

ponto de deslocamento máximo.

32

6 L

x

L

x

EI

PaLy

LL

xL

x

EI

PaL

dx

dym

m 577.03

316

02

• Calcule o correspondente deslocamento

máximo.

32

max 577.0577.06EI

PaLy

EI

PaLy

60642.0

2

max

469

23

max10300Pa102006

m5.4m2.1102000642.0

m

Ny

mm2.5maxy

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9 - 13

Problema 9.3

Para a viga de secção uniforme,

determine a reacção em A, obtenha a

equação da curva elástica e

determine o declive em A. (Note que

a viga é estaticamente indeterminada

de 1º grau)

SOLUÇÃO:

• Desenvolva a equação diferencial da

curva elástica (será implicitamente

dependente da reacção em A).

• Integre duas vezes e aplique as

condições de fronteira para calcular a

reacção em A e para obter a curva

elástica.

• Calcule o deslocamento em A.

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9 - 14

Problema 9.3

• Considere o momento que actua na secção D.

L

xwxRM

Mx

L

xwxR

M

A

A

D

6

032

1

0

30

20

L

xwxRM

dx

ydEI A

6

30

2

2

• A equação diferencial da curva elástica ,

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9 - 15

Problema 9.3

L

xwxRM

dx

ydEI A

6

30

2

2

• Integrando duas vezes

21

503

1

402

1206

1

242

1

CxCL

xwxRyEI

CL

xwxREI

dx

dyEI

A

A

• Aplicando as condições de fronteira

:

01206

1:0,at

0242

1:0,at

0:0,0at

21

403

1

302

2

CLCLw

LRyLx

CLw

LRLx

Cyx

A

A

• Calcule a reacção em A

030

1

3

1 40

3 LwLRA LwRA 010

1

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Problema 9.3

xLwL

xwxLwyEI 3

0

503

0120

1

12010

1

6

1

xLxLxEIL

wy 43250 2

120

• Substituindo os valores de C1, C2, e RA

na equação da curva elástica,

42240 65120

LxLxEIL

w

dx

dy

EI

LwA

120

30

• Diferenciando uma vez para calcular o declive,

at x = 0,

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9 - 17

Método da Sobreposição

Principio da Sobreposição:

• As deformações de vigas sujeitas a

combinações de cargas podem ser

obtidas como combinações lineares das

deformações devidas às cargas

individuais

• O procedimento é facilitado pela

existência de tabelas de soluções

para os tipos mais comuns de

carregamentos e suportes.

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9 - 18

Problema 9.7

Para a viga e carregamento da Fig,

determine o declive e o deslocamento

no ponto B.

SOLUÇÃO:

Sobreponha as deformações devidas ao caso de carga I e II , tal como

se ilustra.

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Problema 9.7

Caso de carga I

EI

wLIB

6

3

EI

wLy IB

8

4

Caso de carga II

EI

wLIIC

48

3

EI

wLy IIC

128

4

No troço de viga CB, zero e a curva elástica é

uma linha recta.

EI

wLIICIIB

48

3

EI

wLL

EI

wL

EI

wLy IIB

384

7

248128

434

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9 - 20

Problema 9.7

EI

wL

EI

wLIIBIBB

486

33

EI

wL

EI

wLyyy IIBIBB

384

7

8

44

EI

wLB

48

7 3

EI

wLyB

384

41 4

Combine as duas soluções,

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9 - 21

Aplicação da Sobreposição a Vigas Estaticamente

Indeterminadas

• O método da sobreposição pode ser

aplicado para determinar as reacções

nos suportes de vigas estaticamente

indeterminadas.

• Designe uma das reacções como

redundante e elimine ou modifique o

suporte.

• Determine o deslocamento da viga sem

o suporte redundante.

• Trate a reacção redundante como uma

carga desconhecida que, conjuntamente

com as outras cargas, pode produzir

deformações compatíveis com os

suportes originais.