J

' .

Sead SAKIC, prof. masin stv~

v

TEHNICKA MEHANIKA ZBIRKA ZADATAKA ZA UCENIKE SREDNJIH SKOlA

1996.

4:=200'" 1.em

U. 1m l..°1cm

, -

, . ....

Sead SAKIC, prof. masinstva ZBIRKA ZAOATAKA

IZ TEHNICKE MEHANIKE - prvo izdanje -

Recenzenti : Nedzad Mrsi6, dipl.inz.masinstva Mehmed Moranjki6, dipl.inz.masinstva

Izdavac: OJL "OENFAS" Tuzla

Graficka obrada: Ozevad Alici6

Stampa: OJL "OENFAS" - Tuzla

Za stampariju: Suljo Hasanovi6

Tiraz 1500

Tuzla, 1996.

Sead SAKIC, prof. masinstva

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEHNICKE MEHANIKE

ZA UCENIKE SREDNJIH SKOlA

STATIKA

OTPORNOST MATERIJAlA

KINEMATIKA

D1NAMIKA

(Rijeseni zadaci i zadaci za vjezbanje)

PREDGOVOR

Predmet TEHNICKA MEHANIKA je jedan ad fundamentalnih predmeta u nekim strucnim i tehnickim skalama. Nastavni sadriaji avag predmeta predpastavljaju uspjesnu rea/izaciju sama rjesavanjem prakticnih zadataka. Tehnicka mehanika abuhvata cetiri ablasti kaje se izucavaju u strucnim skalama ita .· statiku, cvrstacu materijala, kinematiku i dinamiku. Nedastatak udzbenika i adgavarajucih prirucnika nametnua je patrebu za avakvam zb irkam zadataka u kajaj su abuhvacene sve cetiri ab lasti. Zb irka zadataka uraaena je prema nastavnam planu i programu masinske strucne i masinske tehnicke skale. Indentican program je u jas nekalika strucnih i tehnickih skala , taka da se Zbirka maze karistiti u sljedecim strucnim skalama.

1. Masinska strucna skala, I razred, 2. Saabracajna strucna skala, I razred, 3. Metalurska-vatrostalna strucna skala, I razred, 4. Rudarska strucna skala, I razred, 5. Zeljeznicka strucna skala, I razred.

te tehnickim skalama:

1. Masinska tehn icka skala, I, /I i /II razred, 2. Saabracajna tehn icka skala, I razred, 3. Rudarska-gealaska tehnicka skala, /I razred 4. Zeljeznicka-saabracajna skala, I i /I razred 5. Metalurska tehnicka skala, I razred

Autar

SADRZAJ

1.STATIKA

1.1. Kolinearne sile .

1.2. Suceljene sile raznih pravaca ...... .... ..... ....... .. ...... .. ............ .. ......... ............. .

1

2

6

9

1.3. Rastavljanje sile na dvije komponente

1.4. Ravnoteza sila ........

1.5. Sistem proizvoljnih sila u ravni ........................... ... ................ ..... .... .. ......... .. 15

1.6. Siaganje paralelnih sila ....... .... . ....................... ........ .. ..... .... .. ....... .. ... .. ...... 16

1.7. Siaganje proizvoljnog sistema sila .. . .............. .... .............. .. .. ..................... 22

1.8. Odredivanje tezista ............. . .. ..................... 26

1.9. Papus - Guldinove teoreme .. .. .. ... .. .. ................. ...... ........... ... ........ .................. 30

1.10. Nosaci (puni ravn i) ..... .. .. ..... ....... ....... ..... .... .. . .... .......... .. ........ 33

1.11 . Resetkasti nosaci ........ . ........ ........ .................... .... ... ........ .... .... .. .............. 48

1.12. Zadaci za vjezbanje (nosaci) . .. .. .... .... ... ..... ........ .... ... ........................... 52

1.13. Trenje .. ... ...... .... . .. . .. .... ....... .. .. .......... ... .......... .......... .. ...... .. .... ............ 55

1.14. Proste masine ............ .. ..... .. ... .. .. ................................ ... ...... . 59

2. CVRSTOCA (OTPORNOST) MATERIJALA

2. 1. Aksijalna naprezanja .................... .. ... .. ... ..... .. ................. ... .. ...... ... .. ..... .. ... 63

2.2. Smicanje .. ... ...... .. .. . .......... .. ....... ........ ... .. . .... ...... . 73

2.3. Geometrijske karakteristike poprecnih presjeka nosaca . .. .. ... ........ .. .............. 78

2.4. Savijanje ..... ........ .... .. .... ........ .. .. .... .. ........ .... .. . ....... ........... .............. ...... ... .. ... ... 85

2.5. Staticki neodredeni nosaci ......... .... ....... ..... .. ............................. .. .. .. ... .. ........... 94

2.6. Uvijanje - torzija .. .. .. .... .. ... ..... .. ...... ... ........ .... .... .. ... ...... .... .... ..... ... .. ..... .. ... ..... 96

2.7. Izvijanje .... ... .......... .. .. .... ......... ..... ... ................... .......... ........... ...... ... .. .. .. ......... 98

2.8. Siozeno naprezanje .... .. ............. ....... ...................... ....... ...... ...... .... ..... .. ... .. ..... 103

I

3. KINEMATIKA

3.1. Jednoliko pravolinijsko kretanje ...................... ................. .. ............................. 110

3.2. Jednako ubrzano i jednako usporeno pravolinijsko kretanje ... .. ...................... 111

3.3. Kruzno kretanje .... ........................................... ................................ .. ... .......... 114

3.4. Oscilatorno kretanje ......................... .... ............. ....... .... .. ............ ........... .... ...... 117

3.5. Siozeno kretanje ............ ....... .. ........................ : ..................... .............. ........ .... 118

3.6. Translatorno i rotaciono kretanje krutog tijela ............................................. ... . 120

3.7. Ravno kretanje. Kretanje stapa u ravni ... ... ....... ... .. .......................... .... ........... 123

3.B. Mehanizmi ....... ...... ... ...... ........ .... ..... .......... .... ........................... ..... .............. ... 125

4.DINAMIKA

4.1. Rad i snaga ..... .... ...... ..... .............................................. .. ... ................... .. ........ 128

4.2. Impuls sile i kolicina kretanja .. ... .. .......... ....... ... .. ........................... .. .... .. ........ .. 131

4.3. Energija ....... .. ......... .. ................ .. ... ..... ..... .... ... ... ....... .. ................ ... ..... .. .. ........ 134

4.4. Centrifugalna i centripetalna sila .......... .. ..... .... .... ..... ..... ........... .. .... ... .. ............ 135

4.5. Dalamberov princip ..... .. ..... ..... ..... ...................................... ........................ .. ... 138

4.6. Dinamika rotirajuceg tijela ......... ... .. .... ....... ... .... ... ... ... ...................................... 140

4 .7. Dinamika oscilatornog kretanja ................ .. .............. ... ... .. ......... ........ ..... ......... 143

Tabele ................ ...... ......... ............. ....... ..................... .. ........ .. ..... ... .. · .............. 144

Literatura ................ ......... ............. ................. .. ........ .......... ......... ..... ............ .. . 148

1. STATIKA

(

1. STATIKA

1.1. Kolinearne sile

1.1.1. Tacku A napadaju dvije kolinearne sile (s1.1) istog smjera : F,=40N i F,=20N . Odredi rezultantu!

~ .~

A ocrl ______ ~~ ... I-, __ ---:f,F~:J. 1_. ~I

10 N UF=1cm FR=F,+ F,

F R=40 + 20 = 60 N

sl.1

1.1.2. Tacku A napadaju kolinearne sile (sI.2) : F,=50N ; F,=40N ; F,= - 20N ; F.= 20N ; Fs= -30N. Odredi rezultantu!

-. .~ ~

A~ ____________ r-~~1~ ______ ~~ __ h~~ i!: '(

I , --I -i; ... Fsii.--_---..:.,==-.---'I

F ~J sl.2

FR=F, + F, + F, + F. + Fs FR= 50 + 40 + (-20) + 20 + (-30) = 60 N

FR= 60 N

1.1.3. Materijalnu tacku N napadaju kolinearne sile suprotnih smjerova: F,=300N ; F,= -400N ; F,= 200N ; F,= -600N ; Odredi rezultantu!

1.1 .4. Potisna sila rakete je F, a njena tezina G. Kolika je rezultujuca sila F R koja prouzrukuje start rakete?

1.

1.2. Suceljene sile razni h pravaea

1.2.1. Tacku M napadaju sile F,=60N i F,=40N, koje zaklapaju ugao 0.=600. Odredi ve licinu , pravac i smjer rezu ltante !

.-_ .. _._ .... _---_ .. __ ... - ........ -..",..",;

/ u = 10 N

F 1 em

/ . p,,,'e'og,,m ,ii,

M ~~----------------~ ;:; s l. 3

Trokut sila

sl.4

Analiticka metoda:

- .-.. -.-- .--.-.. -----,,;.~

sl.5 X XR

2.

Y,=F, . Sina,=60 . 0 = 0

Y,=F, . Sina,=40 . 0,866 = 34,64 N

Fy=Y, + Y,= 0 + 34,64 N

Fy=34,64 N

X,=F, cosU,=60 . 1 = 60 N

X,=F, cosU,=40 . 0,5 = 20 N

Fx=X, + x,= 60 + 20 = 80 N

FR=Y F/ + F: = Y34,64' + 80' = Y7600

FR= 87 N

1.2.2. Odredi analitickim i grafickim putem rezultantu (i njen polozaj) datih sila (51.6) koje djeluju na jednu tacku:F,=200N , F,= 400N, F,=100N, F,= 300N. Date sile 5 osom X zaklapaju uglove:

U,=4So, 0.,=90°, 0.,=180°, 0.,=3150.

Rjesenje :

a) Analiticka metoda:

FR=YF: + Fy'

Fx=X, 7" X, + X, + X,

Fy=Y, + y, + y, + y, Y2 X,=F, . cos 45°= 200 · - = 141N

2

X2=F, . cos 90°= 400 . 0 = 0

X3=F,' cos 180°= 100 · (-1) = -100 N

Y2 X,=F ' cos31So=300'-=212N

4 2

Y,=F, . sin 45°= 200 · Y2 = 141 N 2

Y3=F,' sin 180°= 100· 0 = 0

Y.=F,· sin 315°= 300 . (- Y2) = -212 N . 2

3.

Fx=141 - 100 + 212 = 253 N

Fy=141 + 400 - 212 = 329 N

FR=YF: + F/ =Y2532 + 3292 = 415 N

tg a = ~ = 329 = 1 30 ; a = 52°24' Fx 253 •

sl.6

a) Graficka metoda:

Odaberemo po volji tacku 0 i redom nanesimo sile F" .F2 • F3, iF. paralelno sa zadanim silama u unaprijed odabranom mjerilu, na pro

4.

... f:

sl.7

o

1.2.3. Na camac sa jedrima (A) djeluje vjetar silom F,=400N, a tok rijeke silom F,= 600N. Pravac djelovanja vjetra i pravac toka rijeke zaklapaju ugao od a. = 45° (sI.8). Pod dejstvom koje sile FR ce se kretati jedrilica i pod kojim uglom u odnosu na tok rijeke?

sl.8

5.

A

1.2.4. Analitickim i grafickim putem odredi rezultantu (i njen polozaj) si la koje napadaju tacku N : F,= SON, F,=30N, F3=70N, 0:,=0°, 0:,=60°, 0:3=2700 ?

1.2.5. Na praveu AS nalazi se tacka M. Na tacku M pocnu djelovati sile F,= 1000N i F,=600N. Za koliki ugao ce se otkloniti pravae kretanja tacke M u odnosu na pravae AS?

M ()-------- -_ .. - .. .. . .. - -.-.--- - -. -- .. . - . . - - - . . - .. --- -- • . --.. 0 t

1.3. R astav ljanje sile na dv i je kompon ente

1.3.1.

6.

Dva stapa AS i Be (s1.9) vezani su meausobno u zglobu S, a u zglobovima A i C ia vertikalan zid. Odrediti sile u stapovimal

U =1000 N F 1 em

Fe= em · U =2 8 .1000 = 2800N F , .1

F A= em . U~~2 .10100 = 2000N

Analiticka metoda:

F =_G_= 2000 e eos45° Vi

2

= 2836N

FA= G . tg4So=2000 . 1= 2000N

1.3.2.

sL10

Analiticka metoda:

~=_G_ sin200 sin1000

B

$;20N

7.

Teret G visi na dva kanapa AS i AC (s\'1 0) . Odrediti sile u kana pima aka je apterecenje kaa prema sl.1 O!

U=~ F 1 em

1.3.3. Na vrhu resetkaste konstrukeije (sl. 11) djejstvuje horizontalna sila F = 2S0N. Odredi sile u stapovima ab i be konstrukcije.

-(J. F

sl.11

1.3.4 . Dizaliea dize teret G = SOOO N (sI.12). Odrediti sile u stapovima AB i BC, ako stap AB sa vertikalnim zidom zaklapa ugao od 30°, a stap BC od 60°

/ 8

sl.12

1.3.S. Teret G = 300 N objesen je u tacki C 0 uze AB (sI.13). Potrebno je rastaviti silu G na dvije komponente u praveima uzeta AC i CB ako su dati uglovi ex. = 60° i ~ = 4So.

sl.13

8.

1.4. Ravnoteza sila

Ravnoteza tri sile koje leze u istoj ravni

1.4.1. Stap duzine AB, tezine G, vezan je zglobom u tacki A, dok se na drugom kraju u tacki 0 oslanja na zid (51.14) . Odredi sile u zglobu A i tacki 0 zida!

51.14

Tezinu stapa G nacrtamo u razmjeri UF, a zatim je rastavimo na

poznate pravce reakcija u tacki A i tacki 0 (tri sile sijeku s~ u ~dnoj

tacki i Cine zatvoren trokut sila) . Dobijene duzine vektora FA i Fo pomnozimo sa razmjerom za silu UFo

1.4.2. Izracunati sile F, i F, u zicama AB i AC, koje su u tacki A meausobnog spoja opterecene teretom G = 1500 N. Zice sa horizontalom koja prolazi kroz tacku A (51.15) zaklapaju uglove ito: zica AB ~ 30°, a zica AC ~ 60°

c

51.15

9.

a.,

b

Graficka metoda:

U =300 N F 1 em

F, = bc . UF=2,5cm . 300 N =750 N

1 cm

F2 = ac' UF=4,3cm . 300 N =1290 N 1 cm

Analiticka metoda:

Koristeci se uslovima ravnoteze:

LY,=O

dobijamo dvije jednacine koje nam omogucavaju odredivanje velicine sila F, i F2 •

LX;=O; F, cos 30° - F2 cos 60° = 0

LY,=O ; F, sin 30° + F2 sin 60° - G = 0

Iz prvog uslova ravnoteza (LX.=O) dobijamo zavisnost izmedu sila F, i F2 :

_ cos 60° _ ~ . _ F, - F2 300 - ,~ F2 - 0,575 F2 .

cos v 3

2

Zamjenom vrijednosti za F, u jednacini drugog uslova ravnoteze

(LY;=O) dobijamo velicinu sile F2 :

0,575 F2 sin 30° + F2 sin 60° - G = 0

0,575 ' 0,5 F2 + Vi F2 = 1500 2

F2 = 1293 N

F, = 0,575 F2 = 0,575 . 1293 = 743 N

1.4.3. Celicna kugla tezine G = 100 N, oslanja se na dvije glatke kose ravni

OA i 08 koje sa horizontalom zaklapaju ~60~ ~ 300 kako to pokazuje

s1.16. Izracunati sile reakcije kojima se ravni 08 i OA odupiru

pritiscima kugle.

10.

A

sl.16

Graficka metoda:

U = 20 N F 1 cm

c

Fo.= bc . U =44 cm . 20 N = 88 N F, 1 cm

- 20N Fi5li= ac · UF=2,5 cm . -1- = 50 N

cm

Ana liticka metoda:

c

G ,

-G b

LY,=O Fo. . sin 60°· Fi5li sin 30°· G =0

F F cos 30° (. . d •. ) 0.= i5li cos 600 IZ prve Je naclne

F cos 30° . 60° F . 30° i5li. cos 600 . Sin + Os sin = G

F- = G = 100 100

08 (COS 30° . sin 600+sin 300) 13 2 cos 60° ("2 13 1

1 ·-2-+2) 2

13

2 Fo.= 50 N . -1 - = 50 ·13= 86,S N

2

11 .

1.4.4. Metalni stap AB, pricvrscen je za vertikalni zid pomocu zg loba u tacki A i zicom u tacki C (sl.17). Stap i zica sa zidom cine ugao

od 600. Odrediti otpor oslonca u zglobu i si lu u zici, ako je tezina stapa G = 100 N i ako ana djeluje na sredin i stapa.

A /' sl.17

FA= be . U =3 45· 25 = 86 N

F ' 1

Fee= ac . UF=2" 215 = 50 N

Analiticka metoda:

25 N UF= 1 em

b

Posto je graficko rjesenje pravougli trougao sila sa uglom u tjemenu od 60°, mozemo racunskim putem preko sile G izracunati trazene velicine sila .

sin 60° = ~ V3 FA= G · sin 60° =100 ._-= 86,5 N

2 F­cos 600 -~ -G

1 F- = G · cos 60° =100 .-= 50 N

9C 2

1.4.5. Na glatkoj povrsini AB koja sa horizontalom zaklapa ugao a =300, lezi kugla koja je uzetom pricvrscena za drugu vertikalnu povrsinu u tacki C. Odrediti silu pritiska Fn kugle na podlogu, kao i silu u uzetu Foe, ako je uze paralelno sa povrsinom AB i ako je tezina kugle G=60 N, (sl. 18).

12.

sl.18

1.4.6. Kran (dizalica) se sastoji od dva stapa: AC = 1,2 m i BC = 1,6 m. Stapovi su pricvrsceni za zid u tackama A i B, pri cemu je njihevo medusobno rastojanje AB = 2,4 m. U tacki C objesen je teret G = 30 000 N (sI.19) . Odredi sile u stapovima F 1 iF,.

sl.19

13.

1.4.7. Stap AB pricvrscen je za nepomican zglob A (sI.20). Na sredini u tacki T stapa objesen je teret G = 2500 N. Za drugi kraj stapa vezano je uze

1.4.8.

1.4.9.

(u tacki B) , koje je prebaceno preko nepomicnog kotura u tacki C, a optereceno silom F koja je potrebna da bi stap odrfavala u polozaju koji je prikazan na sl. 20 tj. pod uglom a..

Odrediti velicinu i smjer sile u uzetu kao i otpor oslonea, ako je: a. = 45°, a dio uzeta BC paralelom sa horizonta lnom ravn i.

sl.20

Ljestviee AB, duzine 3 m, tezine G = 200 N, oslanjaju se na vertikalan gladak zid u tacki Ai hrapav pod u tacki B. Izracunati reakeije veze u ovim tackama, ako pravae Ijestviee zaklapa sa horizontalom ugao a. = 45°(sI.21).

/A

/

sl.21

Lampa tezine 15 N (sI.22) objesena je u tacki C 0 sredinu uzeta AB. Krajevi uzeta vezani su za kuke koje se nalaze na istoj visini. Kolike su sile u dijelovima uzeta AC i BC; ako je AC = BC = 10em. U ravnoteznom polozaju zbog opterecenja - tezine lampe G , tacka C je za 8 em niza od prave AB.

A B

sl.22

14.

1 .5. Sistem proizvoljnih sila U r~"n l

1.5.1. Izracunati momenat sile F koja djeluje po osnoviei ravnokrakog trougla AB, za momentne tacke A, B i C. Osnoviea trougla AB = 6em, krak AC = BC = Scm, a sila iznosi F = 200 (sI.23).

C

I

I I

:1, I I

: F

1\ /3 sl.23

M: = 0 ; M~ = 0 ; M~ = - F . h = - 200 . 4 = - 800 Nem

1.5.2. Izracunaj momente sila F I iF, za momentnu tacku 0, ako je F I = 30 N, F, = 40 N! Sile napadaju zajednicku tacku A, a medusobno zaklapaju ugao od 900 (sI.24) h, = 4 em ; h, = 2,5 em. Velicinu kraka h odredi graficki sa erteza, kao i velicinu rezultante F.!

U= 1 em U=~ L 1em F 1 em

h I "", ... ,

- ' -- -~

sl.24

M, = F, . h, = 30 · 4 = 120 N em

M, = F,' h, = 40 · 2,5 = 100 N em

M. = F •. h = 50 · 4,4 = 220 N em

15.

1.5.3. Izracunaj kolikim ce se momentom M. obrtati tocak poluprecnika R = 2,5 m na koga djeluju sile F,= 400 N i F,= 200 N u tacki kao na sl. 25.

'I

F,

~: ' J -1,5m ~ I

Ijl y..,/"

,/' J( \ --- --- - .- .. -cp.-----i--->

~ sl.25

M. = M, + M, = F, . 2 - F, ' 1,5 = 400 · 2 - 200 · 1,5 = 500 Nm

1.5.4. Duz ivica pravougaone ploce ABeD (sI.26) djeluju sile F, = 600 N, F, = 1000 N, F, = 500 N i F. = 200 N. Izracunati moment rezultante ovih sila za tacku E.

M. = M, + M, + M, + M. = F, . I , + F, . I, + F, . I, - F •. I.

M. = 600 . 2 + 1000 . 0 + 500 . 1 - 200 - 5

MR = 700 Nm

___ " __ P.:.~ __ _ ---I

sl.26

1.6 . Slijeganje paralelnih sila

1.6.1 . Na tijelo u tackama N, i N, djeluju dvije paralelne sile istih smjerova, F, = 80 N, F, = 40 N. Ako je rastojanje izmedu napadnih linija sila I = 1,4 m, odrediti velicinu rezultante, kao i polozaj njene napadne linije (sI.27).

16.

u = 20 N F 1 em

u = 0,5 m l 1 em

--.,.-_ ...... . ~.- -~ .•...... - .. --............ ...

~ C . , /' ; N'J. \

! NI ~ \11 x~. _ . .JJ_" m )

---.. F2.. ,,/ / '-- .- .- ' ---.... _- --_ ...... '

..

.F,

FR = F,+ F2 = 80 + 40 = 120 N

Koristimo momentno pravilo:

F.·X =F,·0+F2· 1,4

X=~= 40 '1,4 F. 120

X = 0,466 m

17.

1.6.2. Odredi velicinu i polozaj rezultante dviju paralelnih sila suprotnih smjerova: F, = 60 N i F, = 180 N (sI.28). Rastojanje izmedu napadnih tacaka N, iN" N;N, = I = 10 em.

_.-.... - . . ' - ...: -- ....... ~

.. ,r"

- 1~- -

sl.28

./

u = 40 N F 1 em

\.

u = 4 em l 1 em

Rezultantu dvije paralelne sile suprotnih smjerova nalazi se sa strane vece sile na udaljenosti X.

FR = F,- F, = 180 - 60 = 120 N

FR· X = F, . I

F, . I 60· 10 X =-F-

R- =~= 5 em

1.6.3. Graficki i racunski odredi velicinu, smjer i polozaj napadne linije rezultante dviju paralelnih sila, istih smjerova, ako je F, = 100 N, F, = 160 N, a N,N, = 20 em (sI.29)!

18.

u = 40 N , 1 em

U = 5 em L 1 em

F2 ~ I I \

\ \

\ \

\ 1 \

I \ C I #,. Hz. p ::, .-. ~- I F,

\

I \

I \ Ii \ F, - - -- -1- --

. I ~ -rR Fz

sl.29

Najprije izracunajmo rezultantu sila:

F R = F, + F, = 1 00 + 160 = 260 N

Zatim napisimo momentne jednacine sila F, i F, za tacku C:

F, . P = F,' q P + q = N,N,

19.

Iz ovog sistema jednacina izracunavamo velicine p i q, na osnovu Kojih odredujemo polozaj napadne linije rezultante:

100 P = 160 q P + q = 20

1,6 q + q = 20 2,6 q = 20

20 q =2,6= 7,7 em

p = 20 - q = 20 - 7,7 = 12,3 em

1.6.4. Graficki i racunski odredi vel icinu , smjer i polozaj sila suprotnih smjerova, ako je F, = 80 N ; F, = 200 N, a N,N, = 15 em (sI.30) .

r----------1----~-.- - ,,-

sl.30

20.

F,

FR = F, - F, , jer je F, > F,

F R = 200 - 80 = 120 N

Momente jednacina si la F, i F, za tacku C je:

F, . P = F, ' q

N,N, = P - q

80 P = 200 q

p- q =15

2,5 q-q = 15

1,5 q = 15

q = 10 em

p = 25 q

p = 15 + q = 15 + 10 = 25 em

1.6.5. Na stapu koj i je objesen 0 dva paralelna uzeta AE i BO, visi u tacki C, teret tezine G = 900 N (sI.31). Odrediti sile u uzadima, ako je AC=p=40 em i BC = q = 60 em! Tezinu stapa zanemariti.

/. D

~ p -~- Fg

A t::=*=====1'

sl.31

Zbir sila FA i Fe jednak je rezultanti G.

FA + Fe = G

Momentna jednacina za tacku C je:

40 FA = 60 Fe 3

FA = Z- Fe

Zamjena vrijednosti za FA = ~ Fe, U prvoj jednacini dobijamo:

3 Z-FA+F. =G

2,5 Fe=G

G 900 Fe =2,5 = 2;5= 360 N

FA = G - Fe = 900 - 360 = 540 N

21.

1.6.6. 0 gredu koja je pricvrscena za dva stapa A i S (sI.32) treba objesiti teret G = 4000 N. Rastojanje izmedu stapova iznosi [= 4m. U kojoj tacki C treba objesiti teret G da opterecenje manje optereeenog stapa S, ne prede 750 N.

sl.32

1.6.7. Graficki i racunski odrediti velicinu i polozaj napadne linije rezultante dviju paralelnih sila istih smjerova. Sile su F, = 380 N, a F, = 640 N ; rastojanje izmedu napadnih linija sila N,N, = 25 em.

1.6.8. Graficki i analiticki odredi polozaj napadne linije rezultante paraleln ih sila istih smjerova, ako je F. = 650 N ; F, = 360 N i NJJ, = 16 em!

1.7. Siaganje proizvoljnog sistema sila (primjena veriznog poligona)

1.7. 1. GrafiCkom metodom odredi velicinu i polozaj rezultante zadatog sistema proizvoljnih sila (sI.33).

Polotaj sila

sl.33 Poligon sila

22.

1.7.2. Grafickom metodom odrediti velicinu i polozaj rezu ltante sistema sila kao na sl. 34. (Velicine sila i njihov polozaj uzeti sa slike).

i=i , I f-+-+--+-- -'----:-

-,·t~ ~ t I ......

-' ,'- -·--T-·" , _ . .:...: -1----,

;1 1~ t:ti-t- ~J sl.34

1,7.3. Na tijelo djeluje tri sile F" F, i F, u napadnim tackama prema sl. 35, Naci velicinu, pravac i smjer rezultante, kao i polozaj njene napadne linije u planu polozaja sila! F, = 20 N ; F, = 50 N i F, = 30 N.

Cl[!J,-_- F~~_ .. '1'\C ",lml: ~: .. ~tC .. ~--~

U : d , ' , F. l

lSi ' . \' v ! --. .. .. ,y.-. ...... .. 'i-.. , ! / ; I \: . i

'. i i ._; ... ' .. I._j" .. ~-, ; ' ::! yR ; , '; , F. ! ' -:-,.;

.~ • I • -, I .• A o

sl.35

x, = F, cos 45°

X, = 0

y, = F, sin 45°

y, = .. F2

X, = F, cos 0° Y3 = 0

XR = LX, = X, + X3 YR = LY, = 1, + Y3

V2 X = 20 . -= 14 1 N , 2 '

V2 y, = 20 '2= 14,1 N

X3 = 30 . 1 = 30 N y, = - 50 N

XR =14,1 +30=44,1N YR = 14,1 .. 50 = -35,9 N

FR= V X.' + yo' = V44, l' + ( .. 35,9)'

FR= 57 N

23.

Moment rezultante za tacku 0 giasi:

M~ = M~ + Mci + Mci

Mci = X, . 2 - y, . 1 = 14,1 . 2 - 14,1 . 1

Mci =14,1Nem

M;; = F2 . 4 = 50 . 4 = 200N em

M;; = F, . 2 = 30 . 2 = 60N em

F. . d = 14,1 + 200 + 60 = 274,1N em

d - 274 ,1 - 57

d = 4,8 em (udaljenost pravea rezultante od tacke 0)

Da bi se odredio polozaj napadne linije rezultan te u planu polozaja sila potrebno je da izracunamo odsjecke OA i 08 sto ih cini napadna linija rezultante na X, odnosno Y - osi.

- M~ 2741 OA = ~ = f-3t.9)= 7,6 em

- M~ 2741 08 = ~ = 441= 6,2 em

R ,

YR - 35 9 tgaR = ---x = 441 = -0 ,81

R ,

1.7.4. Odrediti velicinu, pravae i smjer rezultante sila: F, = 10 N, F2 = 30 N, F, = 15 N i F, = 40 N (s1.36).

a)

o

-_._. - .. _-._-_ . __ ... _----..

~­

~~-- --i-~--+.-L--1 ! I i

i • I

sl.36 a

24.

- .. - £..J-------,,:j..-~------.-.. -- -

b) --I

j 1---+---+------1I~---.. - .... .... . ~--+-....... - --!

'--" - _ .'-'-.

o

sl. 36 b

1.7.5. Homogena greda AB = 21 = 8m, tezine G = 500N oslanja se u tacki A na gladak horizontalan zid i na vertikalni ispust C. U tacki B oslanja se na strmu ravan koja sa horizontalom zaklapa ugao od 60° (sI.37). Greda sa horizontalom zaklapa ugao od 300. Odrediti otpore u osloncima grede.

sl. 37

Sila F. lezi na osi y, a sila Fe na osi X. Napisimo jednacine za racunske us love ravnoteze:

LY, =O ; F. -G+y. =O

LM. = 0 ; G · ( cos300 - X • . b - Y • . a = 0

25.

a = 2 (cos300 b = 2 (sin300 X, = F. cos 30°

Yb = F. sin300

x ~

y

Iz momenta jednacine mozemo izracunati silu Fa:

GI cos 30° - Fa cos 30° . 21 sin300 - F. sin300 . 21 cos300 = 0/: 1 cos300

G - F B • 2 sin300 - F. 2 sin300 = 0

G = 4F. sin300

G F. =----

4 sin300

500 ---1- = 250N

4 · -2

Iz prve i druge jednacine ravnoteze mozemo da izracunamo i ostale nepoznate sile Fe i FA' Najprije izracunajmo vrijednosti komponenata Xa i Ya:

V3 X. = F.cos30o = 250 . -= 216,25 N

2

Y. = FBsin300 = 250 · J.- = 125 N 2

Iz prve jednacine:

Fe = X. = 216,25 N, a iz druge jednacine

FA = G - Ya= 500 -125 = 375 N

1.8. Od red i van jet e z i 5 t a

1.8.1. Analiticki i graficki odredi teziste izlomljenih homogenih linija (sl.38a i 38b).

Zcrn ' . /' ---.....-.........-.*---

I I, ~~ " Ii ~

'I I 4 ~

i I i I

I X . ot---+-.a...-.t---~~

sl. 38a

26.

I, = 2 , I, = 6 , I, = 3

X, = 1 , X, = 2 , X, = 3,5

Y, = 6 , y, = 3 , y, = 0

X = T

I, X, + I, X, + I,X, I

I = I, + I, + I, = 2 + 6 + 3 = 11

2 . 1 + 6 . 2 + 3 . 3,5 24 5 -------=..=....:..L.::-= 22 em

11 11 '

_-'./ , ~y.!...., +--'.I,..!.y,---, +........;!.I,~y'c- 2 · 6 + 6 . 3 + 3 . 0 30 YT = - - - = 2 7 em

I 11 11'

51. 38b

X, = 0 I, = 3 em

X, = 1,5

X = 3 + l...!:.. = 3 + 0 95 = 3 95 , n ' ,

y, = 1,5

y, = 3

y, = 1,5

I, = 3em dn

1, = T=4,7em

I = I, + I, + I, = 3 + 3 + 4,7 = 10,7

I, X, + I, X, + l,X, _ 3 . 0 + 3 . 1,5 + 4,7 ' 3,95 XT = I - 10,7 =2,1 em

YT = I, y, + I, y, + I,y,

I 3·1 ,5+3 · 3+4,7'1,5

---'------:-::--::-----'----'--- = 1,9 em 10,7

27.

I

i I

~ I \,1

1-<)1

i !

sl. 39

S, = 5 em' X, = 0,5 em

S, = 3 em' X, = 2,5 em

S3 = 5 em' X3 = 3,5 em

x = S, X, + S, X, + S3X3 T S

S, Y, + S, y, + S3Y3 YT = S

Y, = 2,5 em

y, = 4,5 em

Y3 = 0,5 em

2 em' U=--5 1 em

}/ SJ /

5 . 0,5 + 3 . 2,5 + 5 . 3,5 13 = 2,1 em

5 . 2,5 + 3 . 4,5 + 5 . 0,5 13 =2,2em

1.B.3. Odrediti polozaj tezista tijela sastavljenog od valjka poluprecnika r = 20 em a visina h = 40 em i pravog stozca osnove poluprecnika r = 20 em, a vis in~ h, = 60 em (sI.40)

Ovo tijelo je sastavljeno od valjka cija je zapremina V, = r'rr . h = 20' rr . 4 = 16000 rr em' 1 1

i stozea zapremine V, =- r'rr · h, = -20'rr · 60 = BOOOrr em3.

3 3

Zamisljamo da sile V1 i V2 djeluju u tezistima T1 i T2. Linija T1 T2 je osa simetrije, a posto je teziste na njoj, potreban je jos same jedan podatak.

2B.

sl. 40

LV · Y v,Y, + v,Y, Y =---=

T LV v , + v,

Graficko rjesenje : Osu simetrije tijela ertamo u razmjeri

U = 20 em a sile u razmjeri U = BOOO ITem' L 1 em v 1 em

Crtamo veriini poligon za pravae sile koji je upravan na osu simetrije 0 ,. U presjeku T teiisne linije i osi simetrije je teiiste sloie­nog tijela.

Analticko rjesenje : Koordinatni sistem uzecemo tako da se koordinatni pocetak ° poklapa sa tackom T" osa 0 , sa osom simetrije na kojoj se nalazi teiiste T sloienog tijela . Udaljenost YT teiista T od koordinantnog pocetka data je obraseem:

16000IT . 20 + BOOOIT . 60 - 33 3 em 16000IT + BOOOIT '

1.B.4. Graficki i analiticki odrediti poloi aj teiista sloienih homogenih linija datih na sl. 41.

A 1------r-i

4=---------,0 1---- 3 ..

sl. 41

29.

Y

1.8.5. Graficki i analiticki odrediti polozaj tezista 510zenih povrsina datih na 51. 42.

d)

L

51. 42

~ -~ -

~ JO

1.8.6 . Graficki i analiticki odrediti polozaj tezista 510zenih tijela datih na 51. 431

51. 43

1.9. Pap U 5 • G u I din 0 vet e 0 rem e

1.9.1. Izr?cunati povrsinu na5talu obrtanjem 510zene linije oko 05e y (51.44)

i--o-____ ._.~-"'c ___ ,...,~ ... 51. 44

I, = 4 em x, = 2 em

I, = 3 em x, = 4 em

1 = I, + I, = 4 + 3 = 7 em

I, X, +I,X, 1

X, = 2,85 em

30.

4 · 2+3 ·4

7 S = 21t · XT ·1 S=2 · 3,14 · 2,85 · 7

S = 17,9 em'

I .~ r

~!~, I I I

i

1.9.2. Izracunati povrsinu nastalu obrtanjem sloiene linije oko ose y (sl. 45).

~~_ . ~ocm-t

I sl. 45

II = 20 em

I, = r7t = 15·3,14 = 47,1 em

I = II + I, = 20 + 47,1 = 67 ,1 em

XI = 20 em

x, = 30 + ~ = 30 + 9,5 = 39,5 em

x = II XI + I, X, T I

XT = 33,6 em

20 · 20 + 47,1 · 39,5

67,1

S=21t·XT ·1 =2 · 3,1 4 · 33 ,6 · 67,1

S = 14158 em'

1.9.3. Izracunaj povrsinu nastalu obrtanjem homogenih linija oko ose y kao sto pokazuje sl. 46.

y y

3.

sl. 46

31.

1.9.4. Izracunati zapreminu na5talu abrtanjem pavrsine (51. 47) aka y a5e.

'/#

I !

I 15' , 40 , ._./"'- _._-- - -I

51. 47 XT =

S = r'1t= 15'· 3,14 353 ' ' 2 2 em

s, = 40 . 30 = 1200 em'

s = s' -s ' = 1200 - 353 = 847 em'

4r X, = 31t + 15 = 21 ,3 em

X, = 35 em

s, X, - S , X,

S

1200·35 - 353 · 21 ,3

847

XT = 58,4 em

v = 21t · s · XT

V=2·3,14·847·58,4

v = 310640 em'

1.9.5. Izracunati zapreminu na5talu abrtanjem pavrsine aka y a5e date na 51. 48 ..

y

a

51. 48

32.

1.10 . Nos a c i (puni ravni)

1.10.1. Nosac AS = I = 10m, opterecen silama F, = 4000 N, F, = 6000 N i F, = 2000 N (51.49)

b). ~ I

Odrediti otpor oslonaea FA i Fa, maksimalni napadni moment i transve­rzalnu silu u kriticnom presjeku.

-

F,

U = 2000 N F 1 em

a

F, b

Fa c

2

7

~ Fj l/Wl.lllJLLmLLlllllJ..lJ..I.F..~2"""""rrTT",..,J,...TTT1"..,-riB'1 i-(j~-,---!.H~_---I

~ 51. 49

33.

Analiticka metoda: Odredivanje otpora oslonaea:

~Y=O

FA - F, - F, - F, + Fe = 0

FA + F. = F, + F, + F, = 4000 + 6000 + 2000 = 12000 N

~M. = 0

FA· 10 - F, · 8- F,· 5 - F,· 2 = 0

1 OF A = 4000 . 8 + 6000 . 5 + 2000 . 2

32000 + 30000 + 4000 FA = 10

FA = 6600 N

Fe = 12000 - FA = 12000 - 6600

Fe = 5400 N

Odredivanje maksimalnog momenta:

M, = FA· 2 = 6600 · 2 = 13200 Nm

M, = FA· 5 - F, . 3 = 6600 · 5 - 4000·3 = 21000 Nm

M, = FA . 8 - F, . 6 - F, . 3 = 6600 . 8 - 4000 . 6 - 6000 . 3 = 10800 Nm

Mm" = M, = 21000 Nm

Odredivanje transverzalnih sila:

Fn = FA - F, = 6600 - 4000 = 2600 N

FT, = FA - F, - F, = 6600 - 4000 - 6000 = -3400 N

FTJ = FA - F, - F, - F3 = 6600 - 4000 - 6000 - 2000 = -5400 N

Maksimalni moment smo mogli odrediti i na ovaj nacin:

Mm" = UL . UF • H . Ym.,

_ 2 m 2000 N Mma. - 1 em .1Cri1. 3,25 em . 1,6 em

Mm .. '" 21000 Nm

34.

aU'

~ 1000 N U,= 1 em Ur=~

b

a

sl. 50

35.

p

1.10.2. Zadata je greda AS = I = 4 m (sl .50) opterecena kosom silom F, = 4000 N, na sredini nosaca , cija napadna linija sa x - osom zaklapa ugao od 1350

Odrediti otpore oslonca, nacrtati dijagram napadnog momenta, transve­rzalnih i aksijalnih sila! Izracunati maksimalni moment (M sm,,)!

Graficka metoda:

Za graficko izracunavanje otpora oslonca FA i Fa mozemo se koristiti uslovom da tri sile budu u ravnotezi. Posto je pokretni oslonac u osloncu B, to je pravac napadne linije si le Fa poznat . Produzimo napadnu liniju sile F, ona ce sjeci napadnu liniju sile Fa U tacki K. Oa bi tri sile FA' Fa iF bile u ravnotezi , moraju se sjeci u jednoj tacki.

Analiticka metoda:

Koristeci se uslovom ravnoteze : LX = 0 ; LY = 0 i LM = 0, napisemo tri jednacine, iz kojih izracunavamo tri nepoznate velicine: XA, YA i Fa. Otpor oslonca FA izracunavamo primjenom Pitagorine teoreme. Prethodno izracunavamo komponente sile F, u pravcu X i Y - ose.

X = Y = F . sin45° = 4000 · 0,7 = 2800 N

LX = 0 ; -XA + X = 0 ; XA = X = 2800 N

LMA = 0 ; -Fa' 4 + Y . 2 = 0

F =~= 2800 · 2= 1400 N a 4 4

LY = 0 ; YA - Y + Fa = 0

YA = Y - Fa = 2800 - 1400 = 1400 N

FA= Y X.' + Y.' = Y2800' + 1400' = 3100 N

Konstrukcijom veriznog poligona u stvari dobijamo odmah i dijagram napadnog momenta. Najveci moment savijanja: Msmax je ispod sile F, odnosno njene Y - komponente.

M = F . h = F . ~= Y . ~= 1400· 2 = 2800 N max A a2

A 2

1.10.3. Prostu gredu duzine 1= 6 m, napadaju: jedna vertikalna sila F, = 1500 N, i jedna kosa sila F, = 4000 N, (sl. 51). Sila F, s X - osom zaklapa ugao a. = 60°

Iz uslova ravnoteze odredujemo otpor oslonca:

LX = 0 X, - Xa = 0

LY=O ; FA+Ya=F,+Y,

36.

U = 1000 N F ---:;-em-

~=~ UL= ~

~~tc~~h~ 1cm

~ 2m 2m

a

a' Ifl l F, b

1 2

s p

Yz 3 >;

H

_----L... __ JWill1UillUil~", sl. 51

37.

LM. = 0 ; FA" - F, · 4- Y, . 2 = 0

Razlaganjem sile F, dobijemo njene komponente: X, i Y,.

x, = F, . eos60o = 4000 · 0,5 = 2000 N

Y, = F, . sin600 = 4000 . 0,87 = 3480 N

Iz momentne jednacine mozemo izracunati otpor oslonea FA'

F = 4F, + 2Y, =4 . 1500 + 2 . 3480 A , 6 2160 N

Iz jednacine LY = 0 izracunavamo komponentu Y •.

Y. =F, +Y, -FA Y. = 1500 + 3480 - 2160

Y. = 2820 N

Iz dijagrama transverzalnih sila vidimo da transverzalna sila mijenja znak u presjeku ispod si le F" sto znaci da u tom presjeku vlada najveci napadni moment: Msm.,.

Msm •• = Y. · 2 = 2820 . 2 = 5640 Nm

Graficki vrijednost maksimalnog momenta izracunavamo koristeci se jednacinom:

1 m 1000 N Fsm •• = 1 em . 1Cril . 2,6 em· 2 em = 5600 Nm

1.10.4. Prosta greda duzine , = 6 m, opterecena je kontinualnim opterecenjem q = 1000 N/m. Odrediti reakeije FA i F.,maksimalni moment savijanja Msm ... te moment savijanja i transverzalnu silu u presjeku n - n (sl. 52)!

F = F =.!L.i = 1000 . 6 = 3000 N A • 2 2

q . ,' 1000 · 6' Msm •• = -8- = - -8- = 4500 Nm

Fsn-n = FA . 2,3 - q . ~ , 3'= 6900 - 2645 = 4255 Nm

Frn.n = FA - q . 2,3 = 3000 - 1000 . 2,3 = 700 N

38.

U F = ---;;--:-:1 =--1 em

1.10.5. Prosta greda opterecena je kombinovanim opterecenjem kao na sl. 53, pri cemu je 1 = 450 N/m, F, = 300 N, a F, = 750 N. Konstruisati dijagram napadnog momenta i dijagram transverzalnih sila. Odrediti kriticni presjek i izracunati maksimalni moment. .

Analiticko rjesenje:

LY=O

FA - F, - F, - F, + Fa = 0

FA + Fa = F, + F, + F, = 3000 + 750 + 1350 = 2400 N

Iz drugog uslova ravnoteze LMa = 0 izracunavamo otpor oslonea FA:

39.

6 FA - 5F, - 3F, - 2,5 F, = 0

5F, + 3F, + 2,5 F, 6

1500+2250+3375 7125 FA 6 =-6-= 1187,5 N

Fe = 2400 - FA = 2400 - 1187,5 = 1212,5 N

Iz dijagrama transverzalnih sila vidimo da transverzalna sila mijenja znak u presjeku grede is pod sile F,. U ovom presjeku napadni moment ima maksimalnu vrijednost:

Msm" = FA . 3 - F, . 2 - q . 0,5

Msm .. = 1187,5 · 3 - 300 · 2 - 450 · 0,5

Msm .. = 3562,5 - 600 - 225

Msm .. = 2737,5 N ·m

Grafickim izracunavanjem maksimalni moment iznosi :

F = ~. 200 N . 4,25 em . 3,25 em = 2730 Nm Sm.. 1 em 1 em

1.10.6. Odrediti otpore oslonaea proste grede AB = I = 4m opterecene spregom momenta M = - F . r = -800 Nm (sl. 54), ako je F = 400 N, a r = 2 m. Tacka C napadnog momenta sprega je udaljena za a = 2,5 m od otpora oslonea FA . Naertati momentno polje i polje poprecnih sila!

Anal iticko rjesenje:

2: MA = M - Fe . , = 0

M -800 Fe =-'- =-4- = -200 N

2: Me = M + FA . , = 0

F -~- -(-800) - 200 N . - , - 4 -

40.

U =200 Nm M 1 em

u = 200 N F 1 em

o

... F

'-'---'9I .~

j ~ I / / 3 /

/ /

/ ,/

/ 1

sl. 54

1.10.7. Izracunati otpore oslonaea proste grede AS = I = 4m opterecene vertika lnom ekseetricnom silom F = 500 N, ako je a = 1 m i e = 1,5 m (sl. 55) .

Analiticko rjesen je:

Redukovanjem sile F na tacku C dobija se ta sila u tacki C i spreg , cij i je moment M = F . e = 500 . 1,5 = 750 Nm .

Iz uslova ravnoteze dobija se:

~ MA = -F • . I + F . a + M = 0

F = F· a + M = 500 · 1 + 750= 312 5 N • I 4 '

~ M. = FA . I - F(/ - a) + M = 0

F(l-a)-M 500(4-1)-750 FA = I - 4 =187,5N

41 .

u

F U= 1m

L 1 em 200 N UF 1 em

71

-~ -- 0

2-/"

Fs sl. 55

1.10.8. Presta greda AS = 1= 4m opterecena je vertikalnom silom F, = 400 N, spregom ciji je moment M = 300 Nm i horizontalnom ekseetricnom silom F, = 300 N. Ako je a = 1m, e = 0,5 m odredi otpore oslonaea FA i Fe (sl. 56).

sl. 56

, L MA = F, . a + M + F, . e - Fe . 1=0

F · a+M+F ·e F' 1 e I

400 · 1 + 300 + 300 . 0,5 4 =212,5N

L Me = YA . 1- 3 a F, + M + F, . e = 0

3aF -M-F ·e YA = ' I 1

LX = F, - X. = 0

42.

3 . 1 . 400 - 300 - 150 4 187,5 N

X.= F, = 300 N

FA= " X.' + y: = '-/300' + 187,5' = 353 N

1 10.9. Konzola AS = I = 2,5 m optereeena Je silama F, = 3 kN i F, = D,S kN (sl. 57) . Odredlti otpor uklJestenja sile FA i moment ukljestenJa M •.

m 1m

F

Analiticko rjesenje:

~Y=FA -F , -F, =O

F. = F, + F2 = 3 + 0,5 = 3,5 kN

43,

u = 0,5 m l 1 em

7

.L..J~2~_=--_-=:::::::~ p 3, S H

51. 57

M, = -Msmu = -(F, . 1,5 + F, . 2,5) = -(3 . 1,5 + 0 ,5 2,5) = -5,75 kNm .

Radi kontrole vrijednosti izracunatog momenta njegovu vrijedno5t mozemo izracunati i grafickom metodom :

M = -M = 0,5 m . 11 kN . 3,8 em . (-3,05 em) = -5,78 kNm A Smu 1 em em

1.10.1 0. Konzola (sl. 58) opterecena je kombinovano . Odrediti maksimalni moment i naertati momentno polje i polje tran5verzalnih sila!

.-j i

I· i I

2,.., ..J. I I ! i

U= ~ U = 400N 1 1 em F 1 em

51. 58

Maksimalni moment se izracuna tako da 5e saberu momenti sila sa de5ne 5trane tacke A:

Ms.n., = 3q . 1,5 + F . 5 = 3 . 400 . 1,5 + 600 · 5 = 4800 Nm

44.

Koristeci graficke parametre maksimaln i moment se racuna prema:

M - U U H Y - 1 m . 400 N . 4,25 em . 2,8 em Sma. - L· F · . m .. - 1 em 1 em

MSm .. = 4760 Nm

1.10.11 . Gredu sa prepustima napadaju koneetrisane sile F, = 2 kN , F, = 6,2 kN i F, = 4 kN (51. 59). Raspon grede je { = 10m, a duzina prepusta X, = X, = 2 m. Odredditi otpore oslonaea FA i Fe, maksimalni moment savijanja MSm" , te naertati momentno polje i polje transverzalnih si la !

45.

2m UL= 1 em

U=~ F 1 em

Analiticko rjesenje :

F. + FB = F, + F, + FJ = 2 + 6,2 +4 = 12,2 kN

F. + 10 - F, . 12 - F,· 6 + FJ · 2 = 0

F12+ F6-F2 212+62 · 6 -4·2 FA- ' 10' J - 10 = 5,32 kN

FB= 12,2 - FA = 12,2 - 5,32 = 6,88 kN

Opas·an presjek na gredi nalazi se ispod jedne od sila , sto znaci u tacki A, tacki 2 iii tacki B. Racunajuci apsolutne vrijednosti momenta za te tacke dobit cemo maksimalni moment savijanja.

MA = - F, . 2 = - 2 . 2 = - 4 kNm

M, = - F, . 6 + FA· 4 = - 2 · 6 + 5,32· 4 = 9,28 kNm

MB = F J • 2 = 4 . 2 = 8 kNm

MSmax = M, = 9,28 kNm

1.10.12. Greda sa prepustima opterecena je koncetrisanim silama F, = 280 N i F, = 400 N i kontinualnim, ravnomjerno rasporedenim opterecenjem

q = 150 N/m (51. 60) Izracunaj reakcije FA i FB, maksimalni moment savijanja Msmaxo te nacrtaj momentno polje i polje transverzaln ih si la!

Analiticko rjesenje :

FA + F B = F, + F, + 3, = 280 + 400 + 3 . 150 = 1130 N

LMB = 0

-F, . 5 + FA· 4 - F, . 3 + 3,· 0,5 = 0

F, . 5 + F, . 3 - 3, · 0,5 4

F. = 706 N

280 . 5 + 400 . 3 + 3 . 150 . 0,5 4

FB= 1130 - F. = 1130 - 706 = 424 N

Transverzalne sile mijenjaju svoj znak u tackama A, B i na udaljenosti X od oslonca A. Izracunavanjem momenta u ovim tatkama i njihovim poredenjem, dobit cemo maksimalni moment savijanja.

46.

F, D~~~-+ __ ~~~~~~

sl. 60

M, = -F, . 1 = -280 . 1 = -280 Nm

Me = q . 0,5 = 150 . 0,5 = 75 Nm

q-150 N/m

F,

U = 200 m L 1 em

1 m UF= TCm

p

Vrijednost velicine X dobijemo iz uslova da je zbir transverzalnih sila, sa lijeve iii sa desne strane tog presjeka, jednak nuli:

FT = 0 (uzet cemo sa lijeve strane)

'47 .

-F I + FA - F, -(X - 2) . q = 0

-F I + F. - F, - Xq + 2q = 0

-F I + FA - F, + 2q -280 + 706 - 400 + 300 X = q q

X =2,17m

Mx = - F, ' 3,17 + FA' 2,17 - F,' 1,17 - O,17q ' o'r Mx =177Nm

Prema tome je:

Msm" = MA = -280 Nm

1.11, Resetkast i nosaci

1.11 .1. Dizalica na 51. 61 opterecena je silom F = 1 kN. Odrediti reakcije F. i Fa, te sile U stapovima grafickom Kremoninom metodom i Riterovom racunskom metodom.

j, .tf-.. ___ Lt!L-+-_. __ -.~.--- -;

~; ; , $~/:/l~:IkN -.! ~ I . . t-n' " -- -- -- /I ,//

i ~ (PJ // Up:: 0,8 HI / ~~m

51. 61

6r~i f ifa.»4. ~ ... el,'.,: + J',"e 2,"(;

UJ.,. :: • a,s 1"1

icm

2 ~

- -~

-2." 2,2- 2.,'2

48.

I

s = 2n - 3 = 2 . 4 - 3 = 5 stapova

!)

+ F 01,5

Kremonin ~ plansila

/ I '. F; -6, / ,,~ 3

/ +Fs '

Riterova metoda (51 . 62)

U = 0,5 m l 1 em

c I, = 2,5 m

12 = 1,8 m

I, = 0,75 m

i5 = 0,95 m

I. = 0,70 m

17 = 0,57 m

51. 62

_ Velicine ( I ) mjerimo sa slike: mnozimo sa razmjerom Ul .

Ova metoda se koristi uslovom ravnoteze LM = ° na izdvojene dijelove resetke, zato se zove metoda momenata. Zove se jos i metoda presjeka , jer da bi se izracunala si la u jed nom takvom stapu , treba presjeci eijelu resetku obuhvatajuci pri tome doticni stap.

LMo = F . i2 - F, . I, = ° (Momenti sila F2 , F3 i F, su jednaki nuli)

12 1 8 F, = F . -I = 1 ° 75 = 2,40 kN , '

LM. = F . I, + F, . 15 = ° (Momenti sila F, i F3 su jednaki nuli)

I, 2,5 F, = -F · -[ = 1 . ° 95 = 2,63 kN

5 '

LME = F . 1,5 + F3 . I. = ° (Momenti sila F, i F, su jednaki nuli)

F3 = -F · 1/,5 = 1 · 6 ' ~ = 2,14 kN . '

Za izracunavanje sile F2 uzet cemo presjek KL resetke i momentnu tacku E:

LME = F· 1,5 + F2 • I, = ° F2 = -F· 1c.

15

= 1 . 0\57 = -2,63 kN , '

49.

Za izracunavanje sile F, uzet cemo presjek PR i momentnu tacku E:

LME = F . 1,5 - F, . 1 = 0

F = F . 12 = 1 . 11,5 = 1,5 kN , 1

1.11 .2. Resetkasti nosac opterecen je silama F 1 = 1,5 kN, F 2 = 2,5 kN i F

J = 4 kN (sl. 63) . Odrediti si le u stapovima grafickom Kreminovom

metodom , a sile u stapovima 4,5 i 6 Riterc;:>vom analitickom metodom .

3m 3m 3m

KREMONIN PLAN SILA

@

®

sl. 63

50.

3 m

F.-3

If

u. .fkN F Tem

U. d..!!!..-. L 1em

Reakcije F. i Fe odredimo analiticki i ucrtamo ih u razmjeri u poligon sila_

Ly = FA - F, - F2 - F, + Fe = 0

F. + Fe = F, + F2 + F, = 1,5 + 2,5 + 4 = 8 kN

F. + Fe = 8 kN

LMe = FA - 12 - F, - 9 - F 2 - 6 - F, - 3 = 0

F - 9 + F - 6 + F - 3 1,5 - 9 + 2,5 - 6 + 4 - 3 F = ' 2 ,

• 12 12

FA=3,4kN

FA = 8 - FA = 8 - 3,4 = 4,6 kN

Riterova metoda (5 1. 64)

U =~ U=~ L 1 cm F 1 cm

51. 64

Iz momentne jednacine za lacku III , dobijamo vrijednosl sile

u slapu 4:

LMe= O ; F. - 3 +Fu.- 2 =O

Fu. =-tFA =-~ - 3,4=-5,1kN

L M1V =O ; FA- 6-F, - 3-FU6 -2=O

F -6-F -3 3 4- 6- 1 5-3 F - A , = ' , = 7 95 kN

U6 2 2 '

51 _

LM" = 0 ; FA' 3 - Fl)6 . 2 - FU5 . h = 0 (h - izmjerimo sa crteza)

FA . 3 - F U6 • 2 _ 3,4 ' 3 - 7,95 . 2 h - 1,65

FU5 = -3,45 kN

1.12. Zadaci za vjezbanje (nosac ·i)

1.12.1. Izracunati otpore oslonaca, maksimalni moment savijanja i transverzalne sile za grede kao na 51. 65. Nacrtati momentno polje i polje transverzalnih sila l

/

1f-18J1oJ, 1=;= 620N ,~ __ ~~ __ ~ ____ ~B

2m .2m \ Fz=1, kN Ff 3kN·

Ff=185N

r:: I,m ~ .-______ ~----~I ·7,5m 3m

b)

F=4,5kf.l F,-:.2~N F;::: 4/dJ

2

B I , 4m

Fa Jm

.1' it,S ", 2m d) e)

J

2kNlm

4m -F)

7,5 kNjm

J.. ) .

sl. 65

2,5 k. N/m

9)

2k.HJ..n Fi- ~2kN /' ."

B

i)

1.12.2. Za zadate konzole na sl. 66 odrediti silu ukljestenja FA' maksi­malni moment savijanja , te naertati dijagrame momentnog polja i transverzalnih sila , a za zadatke pod (e) i (d) i horizontalnih sila.

I.I--_~ fTl I 4.

1 m "---i

a)

F;; lo()o N

A. 'I

n---2_""_,_~_~ c)

F, ::.IH-I /i-../kf.l F;-:.lkN i=f*H/.,

i ! b)

;

~4m---l J .--.. ----.-.£..~-,--.-----.

d) .' -51. 66

53.

1.12.3. Odrediti otpore oslonaca FA i F. gre~e · opterecene spregom (M) i silom F, ( sl. 67).

F :;;00'"

A f J i" . ~

/ /'

F · 20",., . ....e -~ ~--..........

_--____ .. 40 ('m

---- .. ~. -' , .

r-. = 200N 1

-i 60c'u<, . . . ----'

sl. 67

1.12.4. Odrediti otpore oslonaca FA iF. grede opterecene spregom vertikalnom ekscentricnom silom F, i vertikalnom silom F, (sl. 68) .

, B

r -_ ... _-.. --_ .. _ ...... sl. 68

1.12.5. Odrediti sile u stapovima resetkastog nosaca (sl. 69), koristeci se Kremoninom i Rihterovom metodom.

3m

sl. 69

54.

1.12.6. Odrediti sile u stapovima resetkastog nosaca (51. 70) koristeci se Kremon inom metodom.

.... . 7", _ __ _

_ ____ 5"_m~ _ _

51. 70

1.13. Trenje

1.13.1. Za ravnomjerno pokretanje tijela tezine G = 1500 N (51. 71) na horizontalnoj podlozi potrebna je sila F = 375 N. Kol iki je koeficijent trenja il i ugao trenja p izmedu tijela i podloge?

G:;: {5'I>O#

F~376-N

/

51. 71

U ovom slucaju za ravnomjerno pokretanje tijela potrebno je savladati samu silu trenja Fil.

F"=il·FN~F

F" =ilG~F

Odavde slijedi :

FN = G = 1500 N

F 375 il = tgp = G = 1500= 0,25

tgp =0,25, P = 14°

55.

c)

1.13.2. Teret tezine G = 500 N treba pomjeriti u vrh strme ravni (sl. 72) koja s horizontom zaklapa ugao a. = 30°. Odrediti vrijednost si le F paralelne s kosinom (strmom ravninom), kojom treba djelovati na teret, a koja je potrebna za pomjeranje tog tereta uz kosinu . Koeficijent trenja pri kretanju tereta po kosini iznosi 11 = 0,4.

sl. 72

Rjesenje: Iz slike 72 proizilazi da je:

G = 500 N

a. = 30°

F .::: FI1+ G· sina.

11 = 0,4

F=?

FI1 = I1Gsina. = 0,4 . 500 . 0,866 = 174 N

Gsina. = 500 . 0,5 = 250 N

F= 174+ 250=424N

1.13.3. Kolika je sila F potrebna za podizanje masinskog dijela, tezine G = 15000 N po celicnim nosacima koji sa horizontalom zaklapaju ugao a. = 15° (koristi sl. 72) . Kol(ka ce sila Fo biti potrebna za stavljanje elementa u pokret? Koeficijenti trenja su 110 = 0,1 5 i 11=0,1.

Rjesenje: Prvo iznalazimo uglove trenja pomocu trigonometrijskih funkcija.

11 = tgp = 0,1

P = 5°40'

110= tgpo= 0,15

Po= 8°30'

56.

Silu za podizanje tereta uz kosu ravan jednolikim kretanjem izracunavamo pomocu obrasca:

sin(a + Pl sin 20°40' 0,353 F = G cosp = G cos 5040' = 15000 0,995 = 5220 N

Istim obrascem izracunavamo i silu Fo, same umjesto P uzimamo Po:

sin (a + po) sin 23°30' 0,399 Fo = G cospo G cos 8030' = 15000 0989 = 6000 N

1.13.4. Kolika je vucna sila F potrebna za kretanje tijela tezine G = 20000 N po drvenom horizontalnom podu pomocu celicnih valjaka poluprecnika R = 5 cm, tezine G, = 200 N? Sila F djeluje u visini vrha valjka ; f, = 0,005 cm izmedu tijela i valjka , a f, = 0,1 cm izmedu valjka i poda.

Rjesenje : Kotrljanju se protive momenti izmedu predmeta i valjka:

M, = G . f, = 20000·0,005 = 100 Ncm,

i izmedu valjka i poda:

M, = (G + G,) . f, = 20200 . 0,1 = 2020 Ncm.

Ove momente, u slucaju jednolikog kretanja , uravnotezava moment vucne sile F:

M = F · 2R

i mozemo napisati:

M = M, + M" iii 2RF = 100 + 2020 = 2120 Ncm,

odakle je vucna sila :

F - _~L2120 - 212 N - 2R- 10 - .

1.13.5. Izracunati vucnu silu voza tezine G = 2000 kN pri usponu nagiba v = 15 %0. Kolika je vucna sila u horizontali, a kolika niz strmu ravan?

Rjesenje : Za kretanje uz strmu ravan primjenicemo obrazac

F = G (V '!' ~, ), uzimajuci za ~ vrijednost 0,005:

F = G (V + ~,) = 2000 (0,015 + 0,005) = 40 kN

57.

u horizontali je V = 0, i onda je:

F' = G · 1-1, = 2000 · 0,005 = 10 kN;

a za kretanje niz strmu ravan sila kocenja je:

F" = G ( V - 1-1, ) = 2000 (0,015 - 0,005) = 20 kN .

1.13.6. Kol ika je sila F potrebna za kretanje klizanjem predmeta, tezine G = 4000 N, jednolikim pravolinijskim kretanjem po horizontalnom podu, ako je koefieijent trenja ~L = 0,56? ( F = 2240 N)

1.13.7. Kolikom silom F konj vuce saoniee, tezine G = 7500 N, po snijegu u horizontalnom jednolikom kretanju ako je ~ = 0,04? (F = 300 N)

1.13.8. Kolika je sila F potrebna za podizanje celicnog masinskog dijela, tezine G = 20 kN, jednolikim kretanjem uz kosu ravan od celicnih nosaca duzine I = 6m koji su na jednom kraju izdignuti za 1 m, ako je ~ = 0,22, i :

a) ako je sila F paralelna sa kosom ravni (F = 7,67 kN) b) ako je sila F horizontalna (F = 8 kN)

1.13.9. Kolikom silom F treba pridrzavati masinski dio, tezine G = 80 kN, pri spustanju jednolikim kretanjem po nosacima duzine I = 8 m , koji su na jed nom kraju uzdignuti za 1 m, ako je ~ = 0,20 ? (F = 4,5 kN).

1.13.10. Kolika je sila F potrebna za kotrljanje valjka od livenog gvozda tezine G = 24 kN, precnika D = 60 em, po horizontali , ako sila djeluje horizontal no u visini ose valjka , a koefieijent otpora pri kotrljanju f = 4 mm ? (F = 320 N).

1.13.11. Kolikaje vucna sila kod vozila, tezine G = 200 kN, otpora voznje

1-1 = 0,01 : a) po horizontali b) uz i niz strmu ravan uspona 40 %o?

58.

A

1.14. Proste mas ne

1.14.1. Izracunati velicinu sile F koja treba da djeluje horizontalno u tacki B ugaone poluge ABC (sl. 73) da bi bilo ravnoteze, ako u tacki A djeluje vertikalno teret G = 200 N.

Graficko rjesenje: B F

u = 100 N F 1 em

-.---- -_ .. _ ----......---.;...- F

sl. 73

Racunsko rjesenje:

Koristicemo LM = 0 uzimajuci za momentnu tacku oslonae C:

L Me = F . 20 - 200 . 35 = 0

F = 20~O 35 350 N.

Fe=V G' + F' = V200' + 350' = 403 N

1.14.2. Prava prizmaticna poluga AB (sl. 74), duzine I = 60 em, tezine G = 200 N,nosi na svoja dva kraka terete G, = 500 N i G, = 1100 N. Gdje treba da bude oslonae D da bi poluga bila u ravnotezi?

A F=======C::;:::==:!:D===~ B x

sl. 74

59.

G

Rjesenje: Na ovu polugu djeluju njena tezina G usredini C poluge, tereti G, i G, na krajevima i otpor Fo u osloneu D. Posto je polozaj oslonea D nepoznat, njegovo rastojanje od kraja B obiljezicemo sa X. Primjenicemo uslov ravnoteze uzimajuci D za momentnu tacku:

L Mo = G,X - G (+-X) - G, (/- X) = 0

G,X - Gt+ GX - G,l + G,X = 0

G X (G, + G + G,) -/ (2+ G,)= 0

/ (~ + G,) 60 . 600 X = 20 em G, + G + G, 1800

1.14.3. Kolika je sila F potrebna za podizanje tereta G = 1200 N Arhime­dovom koturacom koja ima ukupno 2n = 10 koturova?

Rjesenje:

F = G .1.. = 1200 .1.. = 120 N 2n 10

1.14.4. Kolika je sila F potrebna za podizanje tereta G = 2000 N potenei­jalnom koturacom koja ima n = pokretna kotura?

Rjesenje:

F = £ = 2000 = 125 N 2" 2'

1.14.5. Kolika je sila potrebna za podizanje tereta G = 6000 N diferenei­jalnom koturacom poluprecnika R = 15 em i r = 14 em?

Rjesenje:

F=£ (R-r) = 6000 (15-14)=200N 2r 2 . 15

1.14.6. Koliki se teret G moze podici vitlom ciji je poluprecnik valjka R = 10 em, duzine ruciee l = 30 em, ako na jednu rucieu djelujemo silom F, = 120 N, a na drugu silom F, = 150 N (sl. 75)? r,

r,

60.

Rjesenje: Primjenjujemo uslov ravnoteze LM = 0 za osu obrtanja:

L Me = F, . / + F, . / - G . R = 0

F, · [ + F, ./ 120 · 30 + 150 . 30 = 81 0 N G - R = 10

1.14.7. Izracunati kol ika je sila F potrebna za utiskivanje potpuno

glatkog klina, cela sirine b = 10 em, a duzine l = 25 em, u tijelo koje daje otpor Q = 2000 N ( 51. 76) .

Rjesenje:

F = Q . .Q. = 2000 . 1.Q = 800 N [ 25

1.14.8. Dvokratkom polugom cij i je krak sile a = 90 em, a krak tereta b = 15 em podizemo teret G = 3000 N. Kolika mora bit i sila F? (F = 500)

1.14.9. Koliki teret G mozemo podi6i silom F = 300 N dvokrakom polugom cij i je krak sile f = 120 em , a krak tereta q = 20 em? (G = 1800 N).

1.14.10. Kolikaje sila F potrebna da·drZi ravnotezu teretu G = 5000 N na Arhimedovoj koturaci sa cetiri para koturova? (F = 625 N).

1.14.1 1. Kolika je sila F potrebna za podizanje tereta G = 4000 N pomo6u poteneijalne koturace sa dva pomicna kotura? (F = 1000 N).

"'--________ ~ ___ 61.

1.14.12. Koli ka je sila F potrebna za podizanje tereta G = 400 N pomocu

vitia ciji je dobos poluprecnika r. = 6 em , a duzina ruciee I = 30 em? (F = 80 N).

1.14.13. Kol iki teret G mozemo podici silom F = 50 N difereneijalnom koturacom poluprecnika R = 18 em i r = 17 em? (G = 1800 N).

1.14.14. Kolika je sila F, paralelna sa kosom ravni, potrebna za odrzavanje ravnoteze tereta G = 3000 N na glatkoj kosoj ravni cija je duzina

I = 3m, a visina h = 0,4 m? (F = 480 N).

1.1 4.15. Koliki teret G mozemo odrZati u ravnotezi na glatkoj kosoj ravni

duzine I = 4m i visine h = 0,5 m silom F = 120 N paralelnom sa kosom ravni ? (G = 960 N).

62.

2. CVRSTOCA MATERIJALA

2.1. A k si j a I naN apr e zan j a

2.1.1. Bakrena ziea duzine 300m, presjeka 50 mm', opterecena je silom od 8000 N. Koliko je apsolutno produ ljenje ziee ako je za bakrenu zieu E = 1,1 . 10' N/em' ?

Rjesenje:

/). [ =~ = 8000 . 30000 43 ,6 em = 436 mm S · E 0,5 - 1,1 ' 10'

2.1.2. Cilindricna poluga od dur-aluminijuma, precnika do = 20mm, jednim svojim krajem je ukljestena, a na drug om opterecena zatezucom silom F = 50 kN. Odredi za kol iko ce se smanjiti precnik poluge pri njenoj deformacij i usljed opterecenja (F). Dato je: modul elasticnosti dur-aluminija je E = 0,7 _ 10' kn/em' i Puessonov koeficijent 11 = 0,36.

Rjesenje:

Iz obrasea: /).[ =~ SE , sl ijed i:

11 = S F E = £ - speeificno izduzenje

F 50 £ =- - = , - 22,75 . 10'" S · E 0,7 .10, .3,14 ' 2

4 Poprecnu deformaciju poluge E, racunamo iz izraza za Puasonov koeficijent, dakile:

I-l = - ~' Odavde je £, = - I-l . £

£,= - 0,36 · 22 ,75 · 10'" = - 8,2 - 10"

Posto je:

~d= E, . do = - 8,2 - 10" . 2 = - 16,4 . 1 0'" em

Dakle, precnik poluge se smanji za ~l = 16,4 . 10'" em

2.1 .3. ~tap duzine 1 = 1 m poprecnog presjeka 60 x 10 mm pod dejstvom

spoljne sile izduzi se za ~ = 0,02 em. Izracunati suzavanje

poprecnog presjeka ~a i ~b ako je Puasonov broj 11 = 0,3.

63.

Rjesenje: Prvo racunamo speeificno Izduzenje e .

Poprecnu deformaeiju e , racunamo iz izraza:

II-- ~ ,... - E

e, = - 11 . e = - 0,3 . 0,0002 = - 0,00006.

Posto je: 6 a

e, =--a- ' 6 a= a . e,= 60 · (-0,00006) = - 0,0036 mm

e, = ~b 6 b= be,= 10 (-0,00006) = - 0,0006 mm

2.1.4. Koliki je modul elasticnosti zeljeza ako se stap duzine 43 em presjeka 3 em' pri opterecenju od 30000 N produzi za 0,02 em?

2.1.5. Celicna ziea promjera d = 4mm, duzine I = 10m ,opterecena je silom F = 1,5 kN, E = 2,2 . 10' N/em' . Odredite:

a) naprezanje u ziei, b) apsolutno produzenje ziee.

2.1.6. Kolika je apsolutno produzenje celicne poluge (E = 2,1 . 10' N/em' ) Kruznog presjeka duzine I = 500 mm ako je nategnuta aksijalnom

silom tako da u njoj vlada naprezanje er = 7000 N/em' ?

2.1.7. Koliko je apsolutno produzenje celicne ziee duzine I = 2 m, promjera 1 mm, ako je opterecena je silom F = 500 N. E = 2,2 . 10' N/em' ,

2.1.8. Dimenzionisati celicnu sipku kvadratnog presjeka , opterecenu aksijalnom zateznom silom F = 250 kN ako je dozvoljeni napon ered = 10000 N/em'.

er =~= 250000 25 em' ered 10000

a =Vs =V2s a = 5 em

64.

2.1.9. izracunati nosivost ianca (51. 77) sa karikama precnika d = 2 em ako je dozvoijeni napon aed =15 kN/cm'.

Rjesenje:

Teret F raspodjeijuje se na obje grane ianca. Prema tome, ako se sa (S) obiljezi poprecni presjek jedne grane ianca, moze se napisati :

F=2 . s.aed=2 d' rc aed=2.2'. 3,14 15 =F=94,2kN. 4 4

2.1.10. Ceiicna sipka duzine 1 = 0,7 m, kvadratnog poprecnog presjeka, ivice a = 2 em izduzi se pod dejstvom aksijaine siie F, = 30 kN za !11 = 0,25 mm, a prekid materijaia nastane pod dejstvom sile F, = 132 kN.

izracunati: a) specificno izduzenje £; b) stvarni napon ae;

c) modui eiasticnosti E; d) jacinu materijaia am. Rjesenje :

a) specificno izduzenje:

(' =M= 0,025 = 0 000357 c. I 70 '

b) stvarni napon :

ae = £L = 30000 = 7500 N/cm" S 4 '

c) modui eiasticnosti :

a 750 E =£=0,000357 2,1· 10' N/cm' ;

d) jacina materijaia:

a = £L= 132000 = 33000 N/cm' M S 4

65.

2.1.11. Koliku aksijalnu pritisnu silu moze sa sigurnoscu primiti stub male relativne duzine datog poprecnog presjeka (s l. 78) od livenog celika ako je O"ed =12000 N/em' ?

Rjesenje:

F = s . O"ed = 2.268000 N

S = 33 . 33 - 30 . 30 Ibmm

I. 33cmm I ---

J ~ i ~ i ~ . limn) ---S = 1089 - 900

1-- i

I , E S = 189 em' E.

~r

sl. 78

2.1.12. Dimenzionisati stub male visine izlozen aksijalnoj pritisnoj sili F = 80 kN ako je pravougaonog poprecnog presjeka sa odnosom strana alb = 2/3, a O"ed = 800 N/em' .

Rjesenje:

S = -.E.... = 80000 = 100 ' O"ed 800 em

S = a· b

S-~b' - 3

a = b ~

b= y 3 ~ S = y3iOO=~=12,2em

a = ~ . 12 2 "" 8 1 em 3 ' ,

2.1.13. Dimenzionisati stub male visine izlozen aksijalnoj pritisnoj sili F = 40 kN ako je prstenastog poprecnog presjeka, odnosno precnika dID = 1/4, a O"ed = 8000 N/em' .(sl. 79)

66.

51. 79

Rjesenje: 8 =L= 40000 = 5 em'

cred 8000

8 = D'n_ d'n . d =JL 4 4 ' 4

_ D'n (~)'n _ D'n D'n 1 _ D'n 1 8- 4 - 4 -4-4.16-4(1- 16)

D = y 64 . 8 Y 64 · 5 15 . n = 15 · 314 = 2,5em d=~ =~=06em

4 4 '

2.1.14. Koliki je premjer celicne ziee cvrstoce 18 . 10' N/em' ako pukne pri opterecenju od 8,82 kN?

2.1 .15. Koliko je specificno izduzenje stapa ako mu je pocetna duzina 30 em, a uzduzno preduzenje 5,4 mm?

2.1.16. Koliki je unutrasnji promjer prstenastog stuba opterecenog na sabijanje (tiak) silom od 400 kN ako je vanjski promjer

140 mm, a cred = 5000 N/em' ?

2.1.17. Kolikim se teretom moze opteretiti zidani stub od opeke presjeka 51 x 51 em ako normalno naprezanje u njemu ne smije biti vece od 50 N/em'?

67.

2.1.18. Horizontalna celicna motka (sl. 80) duga 7 m visi na dva celicna uzeta promjera d, = 10 mm, d, = 20 mm. Uzeta su duga 3m. Motka je opterecena si lama F, = 30 kN i F, = 10 kN prema slici . Odrediti sile u uzadima F 5 1 i F 5"

preduljenja 11/, i 111, i naprezanja Ge, i Ge, u uzetima.

// / / // /

dt eh

I Fs, )F;,

2M ----. I

~ F7..-F, I

-~'-1-

sl. 80

2.1.19. Stapovi naerlane konstrukeije su od celika (sl. 81 ) i istog poprecnog presjeka od 40 em' . Sila F = 100 kN . Odredite naprezanje u stapovima.

/ / / /

sl. 81

68.

2.1.20. Dimenzion isati element duzine I = 30 m kruznog poprecnog presjeka opterecen aksijalnom zateznom si lom F = 200 kN ako je dozvoljeni napon <Jed = 10000 N/em' i Y = 78,5 N/dm'.

Rjesenje:

8 - F 200000 <Jed -I ·Y = 10000 - 3000 . 0,0785 = 20,48 em'

d' rc 1~ V4 . 20 48 8=4 ; d= ~~-rc- = ~= 5em

2.1.21. Pri kojoj ce se duzini prekinuti vertikalno objeseno

cel icno uze jacine pri kidanju <JM = 600 N/mm' ?

Rjesenje: <JM 60000 I, =y =0,0785= 764000 em = 7,64 km

2.1.22. Pri kojoj ce se visini h, srusiti od sopstvene tezine zid cija

je jacina materijala <J MC = 160 N/em' , a speeificna tezina Y = 16 N/dm' ?

Rjesenje: h <JMC 160 ' =y = 0,016 = 10000 em = 100 m

2.1.23. Koliko je korisno opterecenje okruglog celicnog stapa promjera

d = 5 em, dugog I = 240 m. <Jed = 8000 N/em', y = 78,5 N/dm' ?

Rjesenje: Vlastita tezina stapa:

G = 8 · / . Y = O,5'~ 3,14 . 2400.78,5 = 37000 N

Nosivost stapa:

5'rc F = 8 . <Jed = -4-· 8000 = 157000 N

Korisno opterecenje:

F,,, = F · G = 157000 - 37000 = 120000 N

2.1.24. Okrugao celicni stap dug 240 m mora nositi koristan

teret od 120 kN. <Jed = 8000 N/em' , Y = 78,5 N/dm', Kolika

ce biti usteda na tezini materijala ako se stap izradi kao tijelo jednake cvrstoce i podijeli na cetiri dijela, svaki visok 60 m (sl. 82)?

69.

Rjesenje: Kod jednolikog oblika slap bi morae imal i presjek:

s = FK cred- I·y

120000 , 8000 - 2400 . 0,785 19,6 em

d' rr S =-4-= 19,6

d = 5 em

a tezina :

G = S . I . Y = 0,196 . 2400 . 78 ,S = 36,895 N

Kod l ijela jednakog olpora smanjeno je dopusleno naprezanje

za svaki dio duzine t = 60 m = 6000 em, pa je:

cr' ed =cred -/ . Y = 8000 - 471 = 7529 N/em'"" 7530 N/em'

1. dio:

S = Fk., _ 120000 15,9 em' , cr ~d 7530

d,'rr S, =-4- = 15,9 d, = 4,5 em

G, = S, · [' . y = 0,159 . 600 . 78 ,S

G, = 7500 N

D --.:­C'I

, dl(=5~m

~ I

,o):Mrt ..

~

I dz ::.It,C",.,

i (:1

_Q ~ '-a '

-f S; ;

~ ! ""' ;

-+ ~ l , !

~ : I

-+ ~ I ~

2. dio: 1 = Fk., + G, = 120000 + 7500 = 1695 em' -----+--4----1.

S, cr ' 7530 ' ed

S = d,'rr = 16 95 d 6 ' 4 ' ; 2 = 4, em

p. :::.12okN k"l.

sl. 82

G, = S2' I ' . Y = 0,1695 . 600 . 78,S = 7970 N

70.

3. dio:

F,,, +G, +G, S, = (J '

120000 + 7500 + 7970 -'--'-'--'--......:....:....:....---'-~-=- = 18 em'

ed 7530

S = d,'n; = 18 , 4 d, = 4.8 em

G, = S3' /' . Y = 0.18 . 600 . 78.5 = 8500 N

4. dio:

F,,, + G,+G, +G, S, =

120000 + 7500 + 7970 + 8500 , 7530 = 19.1 em

S = d,'n; = 19 1 ' 4 . ; d, = 5 em

G, = S. /' . y = 0.191 . 600 . 78.5 = 9000 N

Ukupna tezina tijela jednake cvrstoce:

G = 7500 + 7970 + 8500 + 9000 = 32970 N

Usteda na tezini je :

36895 - 32970 = 3925 N

2.1.25. Koliki mora biti promjer stapa kruznog presjeka duzine 40 m ako je na kraju opterecen silom od 10 kN uzevsi u obzir tezinu materijala specificne tezine y = 78.5 N/dm'. ako je (Jed = 7000 N/em' ?

2.1.26. S kolikom se aksijalnom silom smije opteretiti stap kruznog presjeka promjera 12 mm. duzine 200 m. ako je (Jed = 7000 N/em'.

a y = 78.5 N/dm'?

2.1.27. Kolika je kriticna duzina ziee ako je (J M = 30000 N/em'.

a y = 78.5 N/dm' ?

71 .

2.1.28. Celicni slap poprecnog presjeka S = 10 cm' ucvrscen je izmedu nepomicnog oslonca A i B na lemperaluri I, = 20°C (sl. 83). Izracunati vel icine sila kojima slap priliskuje na oslonce i normalni napon koji ce naslupili u malerijalu ako se slap zagrije do temperalure I, = 40°C. Toplolni koe­ficijenl islezanja a = 11 x 10", a E = 21 . 10· N/cm'.

Rjesenje:

F = S . E . a (I, - I,)

F=10 · 21 · 106 · 11 · 10" (40 -20)

F = 46200 N

a = E . a (I, - I,)

a = 21 . 106 . 11 . 10.6(40 - 20)

a = 4620 N/cm'

F

sl. 83

2. 1.29. Okrugla celicna molka promjera 40 mm, duga 2 m, okrece se oko jednog kraja. Odredile :

a) cenlrifugalnu silu pri kojoj ce se molka slomili ako je a M = 40000 N/cm' ; y = 78,5 N/dm',

b) pri kojem broju okrela dolazi do loma?

(n =-1-fg· aM) I· IT. Y

2.1.30. Koliko je zbog cenlrifugalne sile naprezanje u vijencu remenice promjera 3000 mm ako remenica cini n = 300 °/min , a y = 72 N/dm' ?

2.1.31. Koliko je zbog cenlrifugalne sile naprezanje u brusnoj ploci promjera 1000 mm, debeloj 300 mm, ako ona cini 120 c/min, a y = 24 N/dm'? Pri kojem ce se broju okrela brus rasprsnuli ako je a M = 500 N/cm'?

(a =_1 .l. v'N/cm' ) ; (n =_1_~3aM· g) v 3 g rIT. Y

72.

($

2.1.32. Kolika mora biti debeo lim parnog kotla promjera D = 1,8 m ako je 'p = 0,7 , cvrstoca lima a ... = 36000 N/em' , koefieijent sigurnosti v = 4,5, a pritisak (tla k) u kotlu

p = 100 N/em' ?

Rjesenje:

Deblj ina lima

b= (~+ 1 . 10 ' ) 2 'p ·a od

a = a ... = 36000 = 8000 N/em' od IJ 4 ,5

180 . 100 b = 2 . 0,7. 8000 + 0,001 = 1,6 em

2. 1.33. Promjer celicne cijevi za dovod pare je 400 mm. Debljina stijene cijevi je 9 mm. Spoj izmedu dvije eijevi je ucinjen pomocu 16 vijaka promjera 118" . Koliko je naprezanje u eijevi usljed pritiska (tlaka) pare od p = 120 N/em' :

a) u poprecnom presjeku cijevi , b) u uzduznom presjeku, e) u vijeima.

2.1.34. Kolika mora biti debljina stijene parnog cilindra promjera 600 mm ako je pritisak (tlak) u eilindru p = 50 N/em' , a aed = 1000 N/em'?

2.2. Smieanje

2.2.1. Jednorezna zakoviea opterecena je na odrez (smik) silom od 30 kN . Koliki mora biti njezin promjer ako je dopusteno naprezanje na smieanje 1'sd = 9000 N/em'?

Rjesenje: F

"[ Sd=~

4

frt 30000 d = 2 -- = 2 314.9000 = 2 em = 20 mm

1'[ ·1'sd

73.

2.2.2. Ova pljosnata ze ljeza (sl. 84) debela 6 mm treba spojiti s dvije zakoviee tako da mogu podn ijet i opterecenJe od 20 kN.

Izracunajte: a) promjer zakoviee ako je T Sd = 9000 N/em' ,

Rjesenje:

a)

b) sirinu pljosnatog zeljeza ako je dopusteno naprezanje na istezanje (vlak) (Jed = 10000 N/em'.

sl. 84

F T Sd = ---d"'"'-rr-

i k 4

i= 2 ;k = 1

F (J =-

b) ed S

F 20000 S = - = ---= 2 em'

(Jed 10000

S = 0,6 (b - 1,2)

b = S + 0,72 4,5 em = 45 mm 0,6

2.2.3. Strojem za probijanje (staneom) mora se iz lima debelog 6 mm prosijeeanjem dobiti oblik prma sl. 85. Kolika je za to potrebna sila ako je cvrstoca lima na istezanje (vlak) (J M = 40000 N/em'?

74 .

Rjesenje :

Buduei da je 'tM = 0,8 (JM

'tM = 0,8 40000 = 32000 N/em'

Opseg lima (0) vee gotovog oblika je:

0 = 15 + 5 + 7,5 +10 + 5 + 10 + 2,5 + 2,5' n 0 = 62 ,85 em

Povrsina lima koja se prosijeea je:

S = 0 . b = 62,85 . 0,6 = 37,7 em'

Sila potrebna za probijanje je:

1---150

F = 'tM . S = 32000 . 37,7 = 1.206400 N = 1206,4 kN sl. 85

2.2.4 . Ekseentar-presom, koja proizvodi pritisak od 400 kN, mora se probijati ce licn i lim (s l. 86) cvrstoee 'tM = 36000 N/em'. Koja se najveea debljina lima moze probijati kod kruznih 1 kvadratnih oblika ako patriea od alatnog celika cvrstoee (J M = 88000 N/em' mora raditi s koeficijentom v = 2?

sl. 86 Rjesenje:

Dopusteno naprezanje na patrieu :

(J = (J M = 88000 = 44000 N/em' 10 v 2

Najveea povrsina probijanja dobije se iz izraza:

S F max 400000 11 5 ' max =-=t;;= 36000 = ,em

75.

22.5.

Kod kruznih oblika je povrsina probijanja :

Smax = dTr . b

gdje je b debljina lima, a d promjer kruzne patrice.

Iz izraza za naprezanje na tlak patrice:

S = F max = 400000 = 9 1 ' aid 44000 , em

d' Tr S =- 4-= 9,1

d = 3,41 em

Najveca debljina lima pri kruznom probijanju:

Smax 11,5 b = dTr = 3,14 . 3, 14 - 1,03 em

Pri probijanja kvadratnih oblika povrsina probijanja je:

Smax = 4· a . b

Iz izraza za naprezanja na tlak patrice znamo da je S = 9,1 em' , pa je prema tome:

S = a'

a = 'V9:1 = 3,01 em

Najveca debljina lima pri probijanju kvadrata :

Smax 11 ,5 b = 4 . a = 4 . 3 01 = 0,92 em

Poluga od pljosnatog celika s otvorom za svornjak prema sl. 87 prenosi silu od 120 kN; aed = 8000 N/em'. Debljina motke a = 1,5 em. Odredite sirinu motke b i promjer svornjaka.

76.

2.2.6. Kol iki je promjer svornjaka (sl. 88) koj i spaja dvije motke opterecene si lom od 40 kN ako je L sd = 6500 N/cm'.

"OM

sl. 88

2.2.7. Strojem za probijanje treba isijecati iz lima debelog 8 mm plocice oblika prema sl. 89. LM = 32000 N/cm'. Kolika je sila potrebna za probijanje?

sl. 89

2.2.8. Zatik prema sl. 90 opterecen je silom od 50 kN. Odredite njegov promjer d i visinu glave h ako je <Jed = 8000 N/cm' .

sl. 90

77.

2.3. Geomet rijske karakterisitike poprecnih presjeka nosaca

2.3.1. Koliki je vlastiti aksija lni moment inereije i moment otpora pravokutnika sirokog b = 6 em i visokog h = 10 em s obzirom na os Xis obzirom na os y?

Rjesenje:

bh3 6 · 103 ,

Ix =- =--- = 500 em 12 12

b · h3 10 .63 ,

Iy =12 =-1-2- = 180 em

Wx = ~= ~= 100 em3

6 6

Wy = .b..:...Q'= ~= 60 em3

6 6

2.3.2. Odredite vlastiti aksijalni moment inereije i moment otpora kvadrata sa stranieom a = 160 mm iz koga je eentricno izrezan krug promjera d = 120 mm (sl. 91)

Rjesenje:

, d' '''' _ 16' Ix=ly=~ , e 12 -"64- 12

Ix = ly = 4444 em'

12' 1! 64

Ix = Iy = ~ - 4444 = 555 5 em3

Ym.. 8 '

sl. 91

2.3.3. Odredite aksijalni moment inereije i aksijalni moment otpora pravokutnika s obzirom na njegovu dijagonalu (sl. 92) .

Rjesenje: Kako nam je poznat aksijalni moment inereije trokuta s obzirom na njegovu bazu, a pravokutni se sastoji od dva trokuta, to je:

78.

dh" id = 2 '12

h' = h cot>

eop = ~ 1 h ' b ' 1 h' b'

id =6d(-d-) =6d 7 ' paje

Kako je povrsina pravokutnika S = h . b, to je

S' id = 6d' em'

Aksijalni moment otpora pravokutnika s obzirom na dijagonalu jest

Wd -~ __ Id-- h' - b

h(j

h' b Wd =6Ciem'

,,' , bh/ ct

sl. 91

2.3.4 . Odredite vlastiti moment inercije polukruga (sl. 93) .

sl. 93

Rjesenje:

Teziste polukruga nalazi se 'na osi y na udaljenosti Yo = ~ od ose 1;. Aksijalni moment inercije polukruga s obzirom na

os I; jednak je polovini momenta inereije kruga, tj.

79.

r'1[ 1 ~ = 8

pa je vlastiti moment inereije polukruga iz izraza

I ~ = Ix + s . Yo'

Ix = I~ - s . Yo'

Ix = r'1[ _ ( 1[ (~)' 8 2 31[

Ix = 0,11 r' em'

2.3 .5. Izracunajte moment inereije i moment otpora naertanog profila s obzirom na tezisnu os x - x (sl. 94).

Rjesenje:

Posto se tezista povrsina 81 i 82 nalaze na istoj osi X - X, to mozemo odgo­varajuce momente inereije jednostavno zbrojiti

4 · 22' 18 5' Ix = lx, + lx, = -1-2- + 1i- = 3735 em'

Ix 3735 Wx = -- = -- = 340 em'

Ym" 11

sl. 94

2.3.6. Izracunajte moment inereije i moment otpora naertanog profila (sl. 95) s obzirom .na tezisnu os x - x.

Rjesenje:

Ix= 161}O' 16

1'210'= 9333,3 em'

Ix 9333,3 Wx = -- = -- = 933 3 em'

Ym" 10 '

sl. 95

80.

2.3.7. Odredite moment inercije i moment otpora za tezisnu osu slozene povrsine prema sl. 96.

51. 96

Rjesenje:

lik je simetrican i teziste mu se nalazi na simetrali koja je os y. Stoga je Xo= O. Teziste lika nab cemo prema poucku 0 momentu povrsine tj .:

S . Yo = S,Y, + S,Y, + S,Y,

s I y I

,y _I

" = 90 em' y, ~ 33 em ! s,y, - 2970 em' ! , s,- lOOem' y, - 20 em I s,y, - 2000 em' i

,,- 220 em' I y. = 5 em s.y, = 1100 em' ,

S=4\Oem' I I tsy - 6070 em' I ,

:Esy 6070 Y.- S = ill Y. - 14,8 em

81 .

• CO" : " :, , teziste T. povuci cemo eentralnu os X eijelog IiKd , 0U1<.:J 1 udalJenost pojed inih osi do ove eentralne osi, tj .:

a,= 18,2 em a2= 5,2 em a3= 9,8 em

Nakon toga izracunajmo momente inereije pojedinih likova 5

obzirom na eentralnu os eijelog lika po Stajnerovu poucku, tj .:

15 · 6' lx, = -1-2- + 15 . 6 . 18,2' = 30081,6 em'

5 ·20' lx, = -1-2- + 5 . 20 . 5,2' = 6037,3 em'

lx, = 221'21 0\ 22·10·9,8' = 22962,1 em'

Ix = lx, + lx, + lx, = 30081 ,6 + 6037,3 + 22962,1

Ix = 59081 em'

Moment otpora:

Ix 59081 Wx = -- = --- = 2787 em'

Ym" 21 ,2

2.3.8. Odredite aksijalni moment inereije i aksijalni moment otpora kvadrata 5 obzirom na njegovu dijagonalu (51. 97). .

h'· Y, V2a

51. 97

82.

2.3.9. Odredite moment illereije i moment otpora naertanih profila 5 obzirom na tezisnu 05 x - x (51. 98 ; 99).

xJ-----~~-----x <:> x-!~"-'I----X ~

51. 98 51. 99

2.3. 10. Odredite moment inereije Ix i moment otpora Wx profila (51. 100), koj i 5e sastoj i od C 22 (citaj U zeljeza broj 22) i od zeljeza L 50 . 50 · 6. Iz tabliee za profilna zeljeza izvad imo potrebne podatke:

Rjesenje:

za L 50 · 50 · 6

S,= 5,69 em'

e = 1,45 em

Ix = 12,8 em'

za U22

S2= 37,4 em'

e=2,14em

Ix = 2690 em'

i a ~

sl. 100

Teziste sastavljenog profila naci cemo prema izrazu:

yo= 12,2 em

a, = 8,4 em

a, = 1,2 em

5,69' 20,55 + 37,4 . 11 ---''-----'----'---- - 12,2 em

5,69 + 37,4

83.

I

Moment inereije Lprofila s obzirom na eentralnu os sloienog profila:

lx, = 12,8 + 5,69 . 8,4'

lx, = 414,3 em'

Moment inereije U profila s obzirom na eentra lnu os sloienog profila:

lx, = 2690 + 37,4 . 1,2'

lx, = 2744 em'

Moment inereiJe sloienog profi la:

Ix = lx, + lx, = 414,3 + 2744 = 31 58,3 em'

Moment otpora:

Ix 3158,3 Wx = -- = ---

Ymn 12,2

Wx = 258,8 em'

2.3. 11 . Koliki je moment inereije i moment otpora naertanog profila s obzirom na os x - x (sl. 101).

12 100 12mm

sl. 101

84.

2.3. 12. Na 51. 102 prikazan je poprecni pre5jek traverze jedne dizalice. Izracunajte momente inercije 5 obzirom na 05U X - X i 5 obzirom na 05U y - y.

51. 102

2.3.13. Izracunajte momente inercije Ix i Iy, te momente otpora W x i Wy slozenih profila prema 51. 103 ; 104; 105. Potrebne podatke uzmite iz tablica za profil na zeljeza.

)(~""-f-""--,x

y

sl. 103

2 .4. Savijanje

51. 104 51. 105

2.4 .1. Greda je oslonjena na dva o51onca i opterecena kao na 51. 106. (F , = 1500 N, F, = 3500 N, F, = 2000 N) duzine I = 10 m, a, = 2 m, a, = 4,5 m, a, = 7 m. Kolike 5U dimenzije grede ako je ista pravougaonog pre5jeka 5 odnosom b : h = 5 : 7 i ako je dozvoljeno naprezanje na 5avijanje 0'" = 8kN/cm' ?

85 .

F,

A ~, -----;------~~------~------~B

51. 106

Rjesenje :

a) Reakeije u osloneima

LMA = 0

F = F" 8,+ F2 " 82 +F3 "a 3

B I

Fa =3275 N

1500 . 2 + 3500 . 4,5 + 2000 . 7

10

FA = F, + F2 + F, - Fa = 1500 + 3500 + 2000 - 3275

FA =3725 N

b) Maksimalni moment savijanja

Transverzalna si la mijenja predznak ispred sile F2, te se tu nalazi opasan presjek, a ujedno i maksimalni moment savijanja :

M,rnax = M" = FA . a, - F,(a, - a,)

M,rnax = 3725 . 4,5 - 1500 . (4,5 - 2)

M,rnax = 16762 - 3750

Mlrnax = 13012 Nm = 1301200 Nem

e) Otporni moment presjeka:

W = M'm" _1301200=1627 ' cr 8000 ' em

Id

86.

W-~ - 6 b : h=5 : 7

5 b=7h

+h - h' 5 W=--6- =T2 h'

h _- ~ 452 . W _- 11 45

2 -~ 162,7 "= 11 ,1 em

5 b =7- 11 ,1 = 7,9 em

2.42 Okrug la celicna motka mora se upotrijebiti kao konzola koja je opterecena silom od 8 kN (51. 107). Koliki mora biti promjer motke ako je aId = 12000 N/em'?

F=8kN

{~160mm---

51. 107

Rjesenje:

MI = F - I = 8000 - 16 = 128000 N - em

MI 128000 , W =cr.=12500 = 10,7 em

Id

W= 0,1 d'

W 10,7 VlfVW d= (f,1=O,T=4,74em

87 _

Uzet cemo motku promjera d = 50 mm, pa je moment otpora

W=0,1 d' =0,1 · 5' = 12,5cm'

Najvece stvarno naprezanje:

a -~ - 128000 = 10240 N/cm' 1- W - 12,5

2.4.3. Nosac na dva oslonca duzine 2,25 m djelimicno je kontinuirano opterecen Fq = 45 kN . Koliki je moment otpora ako a id = 8000 N/cm'

(s l. 108)?

Rjesenje:

Poprecna sila u bilo kojem presjeku kominuiranog optecenja na udalje­nosti X od lijevog oslonca iznosi :

F, = FA - q(x - m)

gdje je (q) specificno opterecenje po duznom metru .

Tamo gdje poprecna sila jednaka nuli ii i gdje mijenja svoj predznak nalazi se opasan presjek, pa postavljamo da je:

FA- q(x -m) =O

FA X =-- +m q

a moment savijanja za taj presjek:

_ (x - m)' Mlma, - FA· X - q---

2

U• I '·· 45000 nasem s ucaJu Je q =-[- = 45000 N/m

88.

FA

Reakeije:

F = Fq . b = 45000 . 0,75 = 15000 N A / 2,25

F = Fq . a _ 45000 . 1,5 = 30000 N B / 2,25

Sada odredujemo X:

15000 . X = 45000 + 1 = 1,33 m, pa Je

M,ma. = 15000 . 1,33 - 450002. 0,33'= 15500 Nm = 1550000 Nem

Moment otpora:

W = M,ma• = 1550000 = 193,75 em'

a'd 8000

2.4.4. Dvokraka poluga koja se moze okretati oko osovine 0 opterecena je na jednom kraju silom od 40 kN (sl. 109). Izracunajte:a) visinu h poprecnog kvadratnog presjeka x _ x

poluge ako je a 'd = 5000 N/em' ,

b) visinu h poprecnog pravokutnog presjeka y _ y

poluge ako je sirina b = t h,

e) najvece naprezanje u presjeku 0 = 0

89.

2.4.5. Drvena konzola pravokutnog presjeka (s l. 110) duga I ::: 0,8 m,

kontinuirano je opteretena sa q ::: 30 kN/m ; b : h ::: 5 : 7 ; a rd ::: 1000 N/cm' . Odredite b i h i najvete stvarno naprezanje.

q = 30kN(m

"--....... : __ I .-. 1=(),8m. •

sl. 11 0

2.4.6. Kolika mora biti visina poprecnog presjeka spiralnog pera (sl. 11) ako na nj djeluje sila od 6500 N, a a rd ::: 50000 N/cm'?

sl. 111

2.4.7. Vagonska osovina kruznog presjeka opteretena je na svakoj strani silom od 70 kN (sl. 112). Koliki mora biti premjer osovine ako je a rd ::: 5000 N/cm'? Nacrtajte momentnu plohu i dijagram poprecnih sila!

90.

~----~ f500--------~

sl. 112

2.4 .8. Celicna konzola krui:nog poprecnog presjeka duga I = 120 em, opterecena je na kraju silom od 40 kN ; cr 'd = 4000 N/em'. Odrediti promjer konzole u opasanom presjeku i promjere za X, = 200 mm, X, = 300 mm i X, = 600 mm racunajuci od slobodnog kraja konzole (sl. 113).

sl. 113

2.4 .9. Greda (sl. 114) duga 4 m opterecena je silom od 50 kN po sredini; cr'd = 10000 N/em'. Na osnovu usvojenog I profila nosac treba pojacati lame lama tako da zadovolji nosenje date sile u opasnom presjeku.

91 .

,- .'"

sl. 114

Rjesenje:

Najveci moment savijanja :

M = ~ 50000 · 4 = 50000 N = 5 000000 Nem tm3x 4 4 m .

Prema tome nosac mora imati moment otpora :

W Mtm3x 5.000000 - 500 3

(J 10000 em td

Upotrijebimo Ii nosac 122, vidjet cemo iz tabliee da je njegov moment otpora premalen , jer iznosi Wo=278 em3

.

Razlika ;:., W izmedu potrebnog momenta c:>tpora (W) i momenta otpra (Wo), koj i smo upotrijebili , moramo nadoknaditi lamelama kojima cemo nosac pojacati s obje strane opasnog presjeka : Stoga je:

;:"W=W-Wo

;:.,W = 500 - 278 = 222 em3

Debljina nosaca 122 je prema tabliei (na kraju Zbirke) t = 1,22 em, sirina b = 9,8 em, a visina h = 22 em. Mi cemo uzeti jedan par lamela debelih S = 1,2 em i sirokih b = 10 em, pa je njihov moment otpora :

WL = b . s . h = 10 . 1,2 . 22 = 264 em3

a ukupni moment otpora poprecnog presjeka nosaca s lamelama je:

Wx = 278 + 264 = 542 em3

92.

Duzinu lamela (\,) izracunat cemo ovako : nosac bez lamela moze biti opterecen momentom savijanja:

Ako je X udaljenost presjeka, koji je pojacan lamelama, do oslonea i ako u tom podrucju nema sila , onda je :

Me = FA· X = We· a'd

X - We · a 'd , a duzina lamela (A) - FA

A = /- 2X

U nasem slucaju reakcija FA = 25000 N, We = 278 em' a 'd = 10000 N/em' : pa je:

X =278 · 10000 111,2 em 25000

A =4-2 . 1,112=1 ,8m

Srafirana povrsina momentne plohe na sliei oznacava moment savijanja koj i nosac bez lamale ne moze izdrZati.

2.4.10. Konzola (sl 115) duga 3m opterecena je na kraju silom od 40 kN, a id = 10000 N/em'. Poprecni presjek nosaca je 134. Nosac treba pojacati parom lamela sirokih b = 14 em i debelih s = 1 em. Odrediti duzinu lamela!

F=40kN

J34

sl. 115 Rjesenje:

Iz tabliee profilnih nosaca naci cemo za 134 da je

We = 923 em'. Najveci moment savijanja Mfm ... = F . / = 40000 . 3 = = 120000 Nm = 12 . 10' Nem, pa nosac mora imati moment

otpora W 121·0~ 0' = 1200 em' . Razlika momenta otpora je:

!1w = W - We = 1200 - 923 = 277 em'

93.

Moment otpora jednog para lamela je:

WL = b . s . h = 14 . 1 . 34 = 476 em'

a ukupni moment otpora je:

Wx = 923 + 476 = 1399 em'

x - Wo· cr ld 923 . 10000 231 - F - 40000 em

Duzina lamela:

A = I - X = 300 - 231 = 69 em

2.5. Staticki neodredeni nosaci

2.5.1 . Odrediti reakcije i reakeioni moment konzole s jednolikim opterecenjem i jednim pomicnim osloneem (sl. 116) ako je duzina konzole I = 3 m; q = 200 kN/m. Odredi dimenzije

poprecnog presjeka koji je kvadrat, a cr,. = 10000 N/em2

,

Rjesenje:

~ qN/m 8) t11rdlmIWIIIIII~llllllijllllllllllll~

_ _ { -1

cJ ---------------

,~ ·A I~=& bJ : :IIIIIIIIIIIIIIIIIJIIJIIIIIIIIIIIIII!llIIIIIIIIIIIllW

~

dJ

sl. 116

F F 3 .l =_3_200 ·3=1 800=225kN y = B =8 q 8 8

5 5 3000 F =-q·1 =-200 · 3 =--= 375 kN

A 8 · 8 8

94.

Reakeioni moment:

M = __ 3_q . /' = - _1-200 - 3' = - 225 kNm A 8 8

W=~ 6

225· 10' 10'

2250 em'

a =~ =1 6 . 2250 = -Y 13500 =

a = 24 em

2.5.2. RIJeSite nosac na tri oslonca (sl 117) kontinuirano optereeen ako Je / = 6 m, q = 4 kN/m Naertajte momentnu plohu i dijagram poprecnih sila!

sl. 117

Rjesenje '

F B = -} q . I = +. 4 . 6 = 15 kN

3 3 FA = Fe = 16 q ./ = 16-4 . 6 = 4,5 kN

95.

U dijagramu momenta, momentna ploha omedena paralelom predstavlja kontinuirano opterecenje , a momentna ploha omedena trokutom predstavlja momente od reakeije F s'

Razlika ovih momenata daje moment u tacki B. 5 ~ ,

Me =32 ' ql' -+ ql' =32 = 4~26

Me = 4,5 kNm

2.6. Uvijanje· t orzija

2.6.1. Izracunaj precnik vratila kruznog presjeka koji prenosi snagu P = 184 kW pri broju obrtaja n = 125 °/min ako je 'I'd = 7 kN/em' .

Rjesenje:

Precnik vratila odredujemo po obraseu:

3 3,-----

d = 1 72 \1 955 · P = 1 72 , ~ n· 'I'd '

d=10,08em

955 · 184 125 · 7

2.6.2. Koliki je precnik vratila elektromotora od 5 kW koje se obrce sa n = 1500 °/min? Dozvoljeno naprezanje na torziju je 'I'd = 3,5 kN/em' .

Rjesenje :

Mt = 955 ~ = 95515500

Mt = 3,184 kNem

Kako je 'I'd = ~' o

W =~= 3,184 = 0 91 em3

o 'I 'd 3,5 '

3W, 3 d = Wo = ~ 0,91 = 1 65 em

0,2 0,2 '

96.

2.6.3. Ko liki promjer mora imati okrugla motka od Ijevanog ze ljeza koja je opterecena momentom torzije od 8000 Nm i koliki je

kut zakretanja , ako je motka duga 12 m, a 1:" = 6000 N/em',

G = 83 · 10' N/em'?

Rjesenje :

d = 11 ~ = 11 5 . 8 .1 0' = 8,7 em = 90 mm I "C" I 6 · 10'

Polarni moment inereije:

I, = 0,1 d' = 0,1 . 9' = 656 em'

Kut zakretanja:

-ro = 1~o . GM' .' 11 = 1~o . 800000 · 1200 I" I" 8300000 . 656 ,

2.6.4. Dimenzionisati vratilo kruznog prstenastog poprecnog presjeka sa 'f' = dID = 1/3 ako je P = 500 kW pri n = 180 a/min i

"C" = 2400 N/em'.

2.6.5. Izracunati najveci tangencijalni napon i ugao uvijanja kod

vratila duzine L = 5,m i precnika d = 90 mm, koje prenosi snagu P = 35 kW pri n = 200 a/min .

2.6.6. Odredi vanjski precnik celicnog vratila kruznog prstenastog presjeka koje se prenosi snagu od 53 kW pri n = 120 a/min ,

ako je 'f' = 0,666!

2.6.7. Na vratilu je smjesteno zupcasto kolo promjera 1,2 m na cijem obodu djeluje sila od 20 kN. Vratilo ima promjer 10 em, a dugo je 5m. Odredite naprezanje u vratilu i kut zakretanja ako je G = 83 · 10' N/em'.

97.

2.7 . lzvijanje

2.7.1. Kolika je vitkost cilindricnog stapa promjera d kome je duzina jednaka dvostrukom promjeru (51. 118)?

1

'" - -

1=2d

51. 118

Rjesenje:

Presjek:

d'1( s=T em'

Moment inereije:

d'1( , 1m" = I, = 64' em

Radijus inercije:

. lf1:'" I min = ~ S =

Vitkost stapa:

d'1( ·4 64 d'1(

A = _I = 2d . 4 = 8 i d

>

-

2.7.2. Treba dimenzionisati stap kruznog presjeka, zglobno vezan na oba kraja, duiine I = 4 m i opterecen silom F = 100 kN.

E = 2,1 ·1 0' kN/em', a V = 5.

Rjesenje: Iz Ojlerovog obrasea slijedi:

I =LP= 100 · 160000 ~ 5 = 381 em' 1(·E 10·2,1·10

98.

Kako je 1= ~d' = 381 em' , to je

d = ~ 381 . 64 = 7 02 em n '

Usvajamo: d = 7,5 em

Poluprecnik inereije: ; = H= ~ ~8\.;, -2,7 em

Vitkos!: "" =_1 = 400 = 148 i 2,7

Posto je "" > 100, to je primjena Oj lerovog obras'ea moguca.

2.7.3. Drveni stap (sl. 119) kvadratnog presjeka sa stranieama (a), dug je I = 6 m, opterecen je s F = 100 kN . Izracunajte dimenzije stupa ako je E = 1010 kN/m' (10' N/em'), a koe-

fieijent sigurnosti v = 7.

sl. 119

Rjesenje:

Ovo je drugi slucaj opterecenja pa je nosivost stupa:

F =~= n' . E . I_ v 4· V· I'

4 · V · I' · F ImIn = -'--'-,--'---'--n . E

4 . 7 . 36 . 100000

10 . 1010

Imln = 1008 · 10 .am' = 100800 em'

99.

a' I = - = 100800 mJn 12

a = ~ 100800 . 12

a = 33 em

Rad ijus inereije:

. _1n:;;;- _lrT _11a' _1133' tmin - rS-~12a' -~12 - ~T2

im1n = 9,5 em

Vitkost stapa:

A = _I = 600 = 63 i 9,5

Buduci da je vitkost manja od 100, moramo primjeniti Tetmajerovu formulu :

a k = (293 - 1,94 A)· 105 N/m'

a k = (293 - 1,94 ' 63) . 105 N/m'

a k = 171 . 105 N/m' = 1710 N/em'

Kako je dopusteno opterecenje:

F =~= s · a K = a'· a K =167kN>100kN dop v v V

vece od zadanog, to je stup dobra dimenzioniran.

2.7.4. Drveni stup dug 2 m ucvrscen je u zglobovima na oba kraja . Poprecni presjek stupa je pravokutni okvir (sl. 120) presjeka 180 x 60 mm i 120 x 50 mm; E = 1,15'10'0 N/m' (11 , 5 . 105 N/em' ). Kolika je kriticna sila po Ojleru i po Tetmajeru?

Rjesenje :

Presjek stupa:

s = 18 . 6 - 12 . 5 = 48 em'

100.

Moment inereije:

18 . 6' 12 · 53 , Ix = - 12-- - 1-2- = 199 em

sl. 120

Rad ijus inereije:

i =1rc- =~ 199 = 203em' min ~S 48 '

Vitkost stupa:

A = _1_ = 200 = 99 < 100 i 2,03

Po Ojleru :

11:' . E . I.... 11:'. 11 ,5 . 10' . 199 F, - I' 200' = 57210 N

Po Tetmejeru:

F, = S . cr, F, = S (293 -1 ,94 A)' 10'

F, = 48 (293 -1 ,94 · 99) · 10' . 10"

F, = 48480 N

(U ovoj formuli za Fk uvrstiti smo (S) u m' , pa je 48 em' = 48 . 10~ m')

101 .

2.7.5. Stup presjeka I NP, duzine I = 4 m zglobno vezan na oba kraja izlozen izvijanju silom F = 100 kN . Izracunati broj profila ako je /) = 4, a modul elasticnosti 21 . 10' N/em' !

Rjesenje :

I mln = F · I'· V

n;' . E 100000 . 160000 . 4 ,

10 . 21 . 10' = 305 em

Ovom momentu inereije odgovara I NP 26 sa 1 = 365 em' , iy = 2,32 em i S = 53 ,4 em' .

Vitkost stapa:

A =_1_ = 400 = 172 > 100 i 2,32

Izbor profila je dobar, jer se nalazimo u elasticnom podrucju , za koje smo primjenili Ojlerov obrazae.

2.7.6 . Kod koje je duzine celicnog stupa kruznog presjeka opterecenje na tlak jednako opterecenju na izvijanje ako je koefieijent sigurnosti v = 5? Promjer stupa d = 5 em ; E = 21,5 . 10· N/em', <J" = 50000 N/em' . Stup je ucvrscen prema drugom slucaju. Uputa : Opterecenje na tlak jednako opterecenju na izvijanje!

2.7.7. Pokretna dizaliea (s l. 121) opterecenaje silom od 30 kN. Izracunajte: a) silu u horizontalnom stapu dizaliee,

b) moment inereije poprecnog presjeka stapa ako je koefieijent sigurnost v = 6 uz pretpostavku da imamo drugi slucaj ucvrscenja ; E = 21 . 10· N/em' ,

e) odredite broj profila ako se stap sastoji od dva U NP zeljeza koji su prislonjeni jedan uz drugi.

A~------~--~n----~~t-~ J[

presiek n-n

sl. 121

102.

2.7.8. Dimenzionirajte stup od borovine kru i nog presjeka koji je na oba kraja zg lobno vezan ako je F = 50 kN ; I = 4m ; E = 10· N/cm' ; II = 8

2.7.9. Stup od Ijevanog ieljeza, koji nije ukopan u zemlju (sl. 122) dug 4 m, mora nosit i teret od 50 kN . Koliko mora biti debela stijena stupa presjeka krui nog vijenca kod desetorostrukog osiguranja ako je vanjski promjer D = 24 cm , E = 10' N/cm'?

F=50kN

, I I ! :"'~d~ : - -' ! , O=24cm " , ' LJ.1' .

sl. 122

2. 8 . Siozeno naprezanje

2.8.1. Izracunati najvec':e normalne napone u poprecnom presjeku S prizmaticnog stapa datog pravougaonog poprecnog presjeka (sl. 123), ekscentricno napregnutog silom F = 50 kN , koja je paralelna sa osom stapa, a prolazi kroz tacku poprecnog presjeka: a) N ; b) M ; c) C. Odredite poloi aj neutralne ose i nacrtajte dijagrame normalnog napona za sva tri slucaja l

Rjesenje:

a) Ako napadna linija sile prolazec':i kroz tacku N, tada c':e najvec':i normal ni napon biti dui ivica AD i CB, koji imaju vrijednost:

F ( ex ) 50000 ( 10 . 10) crc. = S = 1 +-;-, =10 , 20 1 + 100/3 =

y

cr cs = 1000 N/cm'

F ( e . X) 50000 ( 10 . 10 ) cr AD = S · 1 + T = 1 0 . 20 1 - 100/3 =

y

cr AD = - 500 N/cm'

103.

sl. 123

Prethodno smo izracunali:

., Iy b'h/12 b' 20' 100 , l y = S= ~ = 12=12 =Tcm

Na osnovu dobijenih vrijednosti crCB i cr AD nacrtali smo dijagram normalnog napona (sl. 123a). Neutralna osa je paralelna sa osom na odstojanju X· dobijenom obrascem:

., . I y 100/3 10

X =--[-=-"1Q=-T cm

b) Ako napadna linija sile prolaze6i kroz tacku M, onda 6e najve6i normalni naponi biti duz ivice AS i CD i ima6e vrijednosti:

crAB

= FS .(1+~)=50000(1+~)=1000N/cm' i'x 10·20 25/3

cr F. (1 +~) = 50000 (1 -~) = - 500 N/cm' CD = S i'x 10 . 20 25/3

104.

Prethodno smo izracunali:

., Ix bh' /12 h' 10' 25 I x= S=~=12=12=3em

Na osnovu dobijenih vrijednosti G A. i G CD naertali smo dijagram normalnog napona (sl. 123b). Neutralna osa je paralelna sa osom X i udaljena je od nje za y', koje odredujemo sljedecim obraseem:

. i 'x 25/3 5 Y = - c = --:s ="'3 em

e) Ako napadna linija sile prolazi kroz tacku C, tad a su najveci normalni naponi u tackama CiA:

_ F (+ ~+ YoY ) _50000 ( 10·10 5 · 5) _ , G , - S · 1 ., -.-, -1(f2o 1 - 100/3 - 25/3 - - 1250 N/em

I y ! x

Polozaj neutralne ose odredujemo njenim dvjema tackama na osama X i y, koje izracunavamo pomocu obrazaea:

. ;'x 25/3 5 Y=- To = - - 5 - =-"'3 em

Na osnovu odredenog polozaja neutralne ose i vrijednosti G c i G A

naertali smo dijagram napona (sl. 123e).

2.8.2. Izracunati najvece normalne napone u presjeku S kratkog stapa, poprecnog presjeka I NP 50 koji je ekseentricno pritisnut silom F = 360 kN koja je paralelna sa osom stapa i prolazi kroz napadnu tacku poprecnog presjeka: a) A; b) B ; e) C. Odrediti polozaj neutralne ose i naertati dijagrame normalnih napona za sva tri slucaja (sI.124).

Rjesenje:

a) Ako napadna linija sile F prolazi kroz tacku A, tad a ce najveCi normalni napon biti u tackama ivice CK, a najmanji u tackama ivice ED, i imace vrijednost: :

105.

sl. 124

cr =_~ ' (1+ ~ )=_360000(1+20 '25)=_4600NI ' CK S I ~ 180 19,6' em

cr =_~ ' (1+ ~ )=_360000(1_20 '25) = 600NI ' EO S ;' 180 19. 6' em y ,

Neutralna osa NO je paralelna sa osom y i udaljena je od nje za :

. i~ 196' X = - x = - 2t)- = - 19,2 em

o

b) Ako napadna linija sile prolazi kroz tacku S, tada ce najveCi naponi biti u tackama C i E, a najmanji u D i K i imace vrijednosti:

cr F (1+ ~ ) = _ 360000 (1 + 8 . 9,25 ) = _ 12680 N/em' EC = - S ' ;'x 180 3,72'

cr - F (1+ ~ ) = _ 360000 (1 _ 8 . 9,25 ) = 8640 N/em' OK --S' ;'x 180 3,72'

106.

U tablieama smo nasli da je ix = 3,72 em Neutra lna Je osa NO, paralelna sa osom X, na razdaljini :

· ;~ 3722

Y = - -e-= - 8= - 1,73 em

e) Ako napadna linija sile F prolazi kroz tacku C, tada ce najveci normalni naponi biti u tackama C i 0 i imace vrij ednosti:

0c = _- SF (1 + ~ + J.ii ) = _360000( 1 + 25 25 + 9,25 9,25) = _ 17560 N/em'

i~ i'x 1BO 19,6' 3,72'

00 = _- SF (1 +~ + YoY) = }60000(1 _ 2525 _ 9,259,25) = 13560 N/em'

i ~ i'x 1BO 19,6' 3,72'

Polozaj neutralne ose odreden je njenim dvjema tackama na osama x i y, a cije su udaljenosti od koordinatnog pocetka x' i y':

· i' 196' x = - -it= - 25= - 15,6 em

· i' 372' Y = - --"-= - ""'-'-=-= - 1 5 em Yo 9,25 '

Neutralna osa je NO,.

2.B .3 . Dimenzionisati konzolu kruznog poprecnog presjeka duzine I, = 2 m na cijem slobodnom kraju djeluje ekseentricna sila F = BOOO N sa ekseentritetom I, = 1,2 m ako je 0 1d = 10000 N/em' (51. 125).

51. 125

107.

Rjesenje:

Izracunamo idealni moment savijanja M, koji pri d imenzion isanju korist imo kao momenat savijanja:

1 r --- 1 ,-------:-M, = 2- (Mf +Y M" + M") =2(BOOO . 2 of Y(BOOO . 2)' + (8000 . 1,2)' = 17320 Nm

=~_ 1732000 _ . , W 0" - 10000 - 173,2 em

lId' W = 32

lr.:=-d = ~ 173 , 2 . .9~ = 12 eM

fd

2.8.4. Izracunat i liajvtcJ normalne :liipone I' :xesjeku S kuke di?l:lliee, (sl. 126), optc:ecene silom F = 50 kN aka)e d = 10 e'l1, a e = 12 em.

sl. 126

2.B.5. Izracunati najvece normalne napone u presjeku S nosaca I NP 20 ekseentricno opterecenog silom F = 4000 N (sl. 127) ako je e = 30 em.

2.B.6. Dimenzionisati drveni nosac AB kvadratnog poprecnog presjeka, ekseentricno opterecen silom F = BOOO (sl. 12B), ako je

O"ed = 1000 N/em' . .

108.

2.8.7. Izracunati najvece napone u presjeku S nosaca sastavljenog od dva profi la c::: NP 20 (51. 129), ekseentricno pritisnut silom F = 200 kN ako je e = 8 em.

/

~_HP

51. 127 51. 128 51. 129

109.

3. KINEMATIKA

3.1 . Jed n 0 I i k 0 P r a v 0 lin i j s k 0 k ret a n j e

3.1.1. Brzi voz za 2 sala i 45 min . prevali pUI od 180 km. Kolika je brzina voza?

Rjesenje :

8 = V '

5 180 V =-1-= 2,75 = 65,4 km/h

Da bi dobili brzinu u m/s poslupicemo na sljedeci nacin:

Kako je: 1 km = 1000 m i 1" = 3600 5,

imamo V = 180 . 1000 18,16 m/s 2,75 .3600

3.1.2. Aulomobi l se krelao dijelom pula od mjesla A do mjesla B brzinom 60 km/h u vremenu od 3", a zalim je od mjesla B do mjesta C isao brzinom 75 km/h u vremenu 2,5 o. Kolika su raslojanja od A do Bi B do C, koliki je ukupni pUI presao?

Rjesenje: AB = 8, = V,' I, = 60 · 3 = 180 km

BC = 8, = V, . I, = 75 . 2,5 = 187,5 km

AC = 8 = 8 , + 8 , = 180 + 187,5 = 367 ,5 km

3.1.3. Turisla prede pUI do podnozja planine 8 , = 8 km za vrijeme I, = 2 h, a pUI uz planinu 8, = 6 km za vrijeme I, = 3 h. Kolika je srednja brzina V5 , na pulu 8 ,? Kolika je V5, na pulu 8" a kolika V5 na cijelom pulu?

Rjesenje:

V = ~= 8 km= 4 km/h 5 ' I, 2 km

V =~= 6 km= 2 km/h 5' I, 3 km

8 8 + 8 14 k V = =-'--' =---.!!l= 2 8 km/h

5 I I , + I, 5 km '

110.

3.1.4. Rendisaljka ima pri radnom hodu brzinu VI = 0,8 mIs, a pri jalovom V, = 2 VI ' Koliko je vremena II polrebno za jedan

radni hod i I, za jedan jalov hod pri obradi ploce duzine I = 3m?

3.1.5. Koliko je vremena polrebno da voz precle pUI s = 80 km slalnom brzinom v = 20 m/s?

3.1 .6. Ova covjeka krenu jedan prema drugom iz lacke A i B meclusobno udaljenih 140 m. Prvi se krece brzinom V1 = 3m/s a drugi brzinom V2 = 4 m/s . Za koje ce se vrijeme sresli i koliki ce : . svaki od njih , prevalil i?

1~t:J /J2

3.2. Jednako ubrzano i jednako usporeno pravolinijsko kretanje

3.2.1 . Zrno iz puscane eijevi izlazi brzinom V = 700 m/s. Cijev je dugacka 80 em. Koliko je ubrzanje zrna i kako se dugo zrno krelalo kroz eijev?

Rjesenje:

Zrno se pocelo krelali iz slanja mirovanja, Ij. Vo = 0, pa korislimo obrasee :

1. v = a. I

at' 2. s=2

Iz prve jednacine: I = + ' pa uvrslavanjem u drugu jednacinu imamo:

a . (':!"")' v' s= __ a_=-

2 2a

_.L_ 700' _ 490000 = 306250 I ' a - 2 s - 2 . 0,8 - 1,6 m s

v 700 t = a =306250= 0,00228 s

111 .

3.2.2 . Voz izlazi sa slanice 5 ubrzanjem a = 0,5 m/s2. Na kojoj udaljenosti od slanice dostiie brzinu od 72 km/h?

Rjesenje :

1000 V(m/s) = V (km/h) · 3600

1000 V = 72 . 3600 = 20 m/s

S obzirom da je Va= 010 je :

V = a · t

s=~ 2

1=~=~=40s a 0,5

_ 0,5.40'_ 400 5 - 2 - m

3.2 .3. Voz ima pocetnu brzinu Va = 90 km/h i usporenje a = 2 m/s'. Za koliko vremena ce se zaustaviti, i koliko ce biti zaustavni put?

Rjesenje:

V = Va- a · 1

s=Vt-~ a 2

Kada se voz zaustavi njegova konacna brzina V = 0, te je:

Va = a· I 1000 ( Vo = 90 . 3600 = 25 m/s )

t= ~=~= 1255 a 2 '

5 = 25 . 12 5 _ 2 . 12,5' , 2

5 = 156,25 m

3.2.4. Voz koji se krece brzinom 80 km/h zauslaviti ce se kocenjem na putu od 200 m. Koliko je trajalo kocenje i k01iko je usp0renje?

112.

Rjesenje :

V=O 1000 Vo = 80 · 3600 = 22,2 m/s

V=Vo -a · t=O

Vo = a · t v t=_o a

s _ Vo' _ Vo' _ 2Vo' -Vo'_ Vo' -2 2a-~-2a

V ' 222' a = 2 Os = 2 . 200 = 1,232 mIs'

t - 22,2 -18 - 1,232 - s

3.2.5. Koliko je ubrzanje (a) tacke cija je brzina VO = 40 m/s porasla za vrijeme t = 8 s na V = 60 m/s . Koliki je put (S) presla tacka za to vrijeme?

3.2.6. Aulomobil na putu S = 480 m poveca svoju brzinu od Vo = 10 m/s na V = 14 m/s. Koliko je ubrzanje i za koliko je vremena povecana brzina sa Vo na V?

3.2.7. Tacka se krece pravolinijski sa pocetnom brzinom Vo = 11 m/s i za vrijeme I = 18 s prede puI s = 279 m. Koliko je ubrzanje imala i koliko joj je krajnja brzina?

3.2.8. Aulomobil smanji brzinu od Vo = 90 km/h na V = 60 km/h na putu s = 20 m. Koliko je bilo usporenje i koliko je vremena Irajalo usporeno kretanje?

3.2.9. Tramvaj vozi brzinom od 36 km/h . Koliko je usporenje ako se kocenjem zauslavi na pulu od 30 m?

3.2.10. Koliko je ubrazanje topovskog zrna koje pri izlazu iz cijevi ima brzinu V = 800 mIs, a duzina cijevi je l = 2m? Koliko se vremena zrno kretalo kroz cijev?

3.2.11 . Izmedu mjesta MiN je razdaljina 20 km. Iz N pode pjesak u smjeru MN brzinom V, = 5 km/h, a iz M u islom smjeru, dva sata kasnije pode biciklista brzinom V, = 15 km/h. Kada ce i gdje biciklista stici pjesaka?

113.

3.3. K r u z n 0 k ret a n j e

3.3.1. Zamajae poluprecnika r = 30 em obrce se 120 °/min . Kolika je brzina tacke na obodu zamajea?

Rjesenje:

V - r11: · n_ 0,30'3,14 · 120 - 30 - 30 - 3,768 m/s

3.3.2. Koliki broj obrtaja (n) u minuti mora imati lacka krecuci se po kruznoj periferiji poluprecnika r = 60 em, da bi imala obodnu brzinu v = 2 m/s?

30 v 30 ·2 n = -rn:-= __ .=.c:-~ __ = 31,85 °/s 0,6 '3,14

3.3.3. Zamajae se pocne obrtati jednako ubrzano i nakon 5 min. ima 90 c/min . Koliko je obrtaja zamajae nacinio za tih 5 min. i ko liko je ugaono ubrzanje?

Rjesenje :

a· I' 'p = - -2

co =~ = 11: . 90 = 311: rad /s 30 30

co = COo + a·

CO = a· t a =J!L t

l!L . t' 'p = _t _ = ~ = 311: . 300 = 45011: rad

2 2 2

Posto jedan obrtaj iznosi 211: radijana , ukupni brej obrtaja je:

'p 450 · 11: . N =~= 211: = 225 obrtaja.

3.3.4 . Zamajae se obrce jednako ubrzano i povecava broj obrtaja od nO = 100 O/min na n = 120 O/min , za vrijeme 1 = 15 S . Izracunati ugaono ubrzanje!

CO = COo + a · t

a = CO - COp t

114.

TCn TCno 30 30 TC

a = 15 - 30 ' 15 (n - no)

314 a =450(120 - 100) = 0,14 rad/s

3.3.5. Kruzno tocilo polaze6i iz stanja mirovanja i obr6u6i se jednako ubrzano ucini za vrijeme t = 10 S bi'oj obrtaja N = 20 obrtaja . Izracunati ugaono i obimno ubrzanje tacke koja se na lazi na odstojanju R '" 1 ,2 m ad ose okretanja . Koliki je put presla tacka za to vrijeme?

Rjesenje:

i'! obrasca:

o:.t' N . 2IT = '(J =: -2-

2IT . N . 2 4 IT . 20 (1. = t' = --:;0'- = 2,51 rad/s' , (ugaono ubrzanje)

a = R . a = 1,2 . 2,51 = 3,02 mIs' , (obimno ubrzanje)

s =~= 3,02·1 00 = 151 m 2 . 2

3.36. Zamajac koji se kretao ugaonom brzinom CDo = 4IT rad/s zaustavi se za vrijeme t = 5 s. Koliko je bilo ugaono usporenje? Koliki je broj obrtaja N ucin io zamajac za to vrijeme?

Rjesenje:

Krajnja ugaona brzina CD ravna je nuli i na osnovu toga je:

CO = COo - a . tk = 0, odakle je

a = COo = 4TC = 0 8TC rad/s' tk 5 '

Ucinjeni broj N obrtaja izracuna6emo pomoc:u srednjeg broja obrtaja n, cija je vrijednost:

n - no + n = -1- n = -1- . 30 ffio = -1- . 30 . 4 IT = 60 0/min s - 2 2 0 2 IT 2 IT

n . t 60· ~ . N - _ S_ - ~= 50brtaJa - 60 - 60

115.

3.3.7. Propeler aviona u momentu zaustavljanja motora ima 1200 °/min . Nakon zaustavljanja propeler je nacinio jos 80 obrtaja i stao. Izracunati vrijeme za koje je propeler nacinio 80 obrtaja, ako je njegovo obrtanje bilo jednako usporeno.

3.3.7. Tacka na krugu precnika d = 80 mm ima ugaono ubrzanje cx= ~ rad/s' Izracunati koliku ce ugaonu i obimnu brzinu imati poslije vremena

t = 8 s, ako je pocetna ugaona brzina COo = O. Koliki ce ukupni broj

N obrtaja uciniti za to vrijeme?

3.3.8. Vratilo pocinje iz stanja mirovanja da se obrce jednako ubrzano i za prvih 5 sekundi napravi 25 obrtaja . Koliko je ugaono ubrzanje i ugaona brzina nakon tih 5 sekundi?

3.3.9. Zamajac je imao na pocetku ugaonu brzinu 4rt: rad/s. Posto je nacinio 20 obrtaja zamajac je zbog trenja u lezajevima stao. Koliko je njegovo ugaono usporenje?

3.3.10. Zamajac za vrijeme t = 4 s smanji obrtaje od no = 160 °/min. na n = 120 °/min . Izracunati velicinu ugaonog usporenja i broj obrtaja N k()je je napravio za to vrijeme.

3.3.1 1. Zamajac precnika d = 600 mm se iz slanja mirovanja pocinje obrtali sa konstantnim ugaonim ubrzanjem a = 2 rad/s'. Koliko je normalno, tangencijalno i lotalno ubrzanje tacke na obodu zamajca poslije I = 10 s od pocetka obrtanja?

Rjesenje:

CO = a . t = 2 . 10 = 20 rad/s

an = 0,3 . 20' = 120 mIs'

at = r . a = 0,3 . 2 = 0,6 mIs'

Prema tome tolalno ubrzanje je:

a =Ya: + at' = Y 120' + 0,6' = 120 mIs'

116.

3.4. 0 sci I a tor n 0 k ret a n j e

3.4.1. Tacka vrsi harmonijsko oseilatorno kretanje ciji je zakon puta dal jednacinom x = 8 . cos (2 I) em. Odred ili ampliludu, frekvenciju i period oscilacija.

Rjesenje:

Ako zadalu jednacinu oseilaeija uporedimo sa jednacinom

x = r cos 2T[ fl, vidjecemo da je amplituda ravna r = 8 em, a da

je kruzna trekveneija 0) = 2 rad/s.

Period oseilaeija je jednak:

2T[ 2T[ T =0):::2 = 3,14 s

Frekvencija oscilacija je:

f - _1 ___ 1 - - 0 31 8 Hz - T -3,14 - ,

3.4.2. Kruzna trekveneija harmonijskih oseilacijaje 0) = 161t rad/s, a ampliluda r = 12 em. Kako glasi zakon pula, kolika je frekvencija i period oseilacija?

Rjesenje:

x = r cos (0) t)

X = 12 . cos (161t I) em

Prema jednacini 0) = 21t t, imamo da je:

0) 161t f = 21t - 21t = 8 Hz

T =_1_=_1_ s f 8

3.4.3. Izracunali kruznu frekveneiju harmonijskih oseilaeija ciji je period

1 T=12,Ss.

3.4.4. Zakon puta harmonijskih oscilaeija tacke je x = 10 . cos (1t . t) em.

Kolika je udaljenost x tacke od cenlra oseilovanja u trenutku t =+ s?

117.

o j

3.5. 5 I 0 zen 0 k ret a n j e

3.5.1. Brod se krec':e brzinom 9 km/h (sl. 130). Kolika je apsolutna brzina covjeka koji se krec':e po palubi brzinom 1 m/s ako se on

krec':e: a) u praveu i smjeru plovidbe; b) u suprotnom smjeru ; e) upravno na pravae plovidbe?

Rjesenje:

sl. 130

1000 Brzina broda je brzina prijenosnog kretanja, tj: Vp = 9 · 3600 = 2,5 m/s

a brzina covjeka po palubi je br.::ina relativnog kretanja, tj. V, = 1 m/s

Apsolutna brzina c':e biti:

a) Va = V, + V p = 1 + 2,5 = 3,5 mIs ,

b) Va = V,+ Vp = -1 + 2,5 = 1,5 mIs,

e) Va =VV: + Vp' =V1 ' + 2,5' = 2,69 m/s.

3.5. 2. Po horizontalnoj podlozi krec':e se klin A (sl. 131 ) nagiba a = 30° brzinom Vp = 2 m/s. Niz klin klizi tijelo B brzinom V, = 1 m/s.

Odrediti apsolutnu brzinu tijela B.

sl. 131

118.

Rjesenje:

Va =yV: + Vp' + 2Vr · Vp ' cosU

Va = y l ' + 2' + 2 . 1 . 2 . cos 30

Va = 2,91 m/s

3.5.3. Kran se krece stalnom brzinom Vp = 1 m/s i podize teret vertikalno navise stalnom brzinom Vr = 0,5 m/s (sI.132). Izracunati velicinu brzinu V kretanje tereta i ugao U· koji ona zaklapa sa vertikalom.

:/,'

r--_ _ _ ,.., D

"9----.18 A

sl. 132

Teret vrsi istovremeno dva kretanja sto znaci da ima slozeno kretanje, te je:

Velicinu vektora V mozemo dobiti :

V = AD · U = 2 2 em · 0,5 m/s 1 1 m/s v' 1cm '

Pravac brzine V odreden je uglom U · koji ona zaklapa vertikalom:

tgU' = ~ = _1_ = 2 ; U'= 63°30' Vr 0,5

3.5.4. Camac ima prema vodi brzinu Vr = 3 mIs, upravnu na tok rijeke cija je brzina V p = 1 m/s. Izracunati:

a) velicinu i pravac brzine kretanje camca; b) za koliko ce eamac stici nizvodno ako je

sirina rijeke 120 m; c) Koliki je put apsolutnog kretanja camca pri

prelasku sa jedne obale na drugu?

119.

3,5,5, Koj im praveem treba da plovi camae koji ima brzinu od motora V, = 5 m/s da bi stigao na drugu oba lu upravno na tok rijeke, Sirina rijeke je 150 m, a brzina toka rijeke V p = 1 mIs, Kol ika je apsolutna brzina V camea i koliko mu je vremena potrebno da prede rijeku?

3,5,6, Zee je udaljen od lovea 300 m i bjezi brzinom V1 = 5 m/s putanjom koja je upravana na to rastojanje, Pod koj im uglom treba da puea lovae da bi pogodio zeea ako je brzina zrna V = 500 mIs,

3.6. Trans latorno i rotaeiono kretanje krutog tije la

3,6,1. Stap AB (s l. 133) duzine I = 1 m obrce se oko tacke A ugaonom brzinom 0) = 10 rad/s. Odrediti brzinu kraja B stapa i njegovog sredista C,

B vB

VB = AB . 0) = 1 ' 0) = 1 . 10 = 10 m/s

V = AC . 0) = .1.. . 0)' = 0 5 ' 10 = 5 m/s c 2 '

'C Vc

UJ

sl. 133

3.6.2, Pravougaona ploca ABCD (sl. 134) duzine a = 60 em i sirine b = 40 em obrce se konstantnom ugaonom brzinom 0) = 5 rad/s oko ose koja prolazi kroz tacku A i koja je upravna na ravan ploce, Odrediti brzine tacaka B, C i D ploce.

a

sl. 134

120,

Rjesenje:

Va = b . CO = 0,4 . 5 = 2 m/s

Vc = CO · d = roY a' + b' = 5YO,6' + 0,4' =

Vc = 3,6 m/s

Vo = a . ro = 0,6 . 5 = 3 m/s

3.6.3. Stap AB duzine I = 80 em , privezan je koneima OA i OB jednake duzine b = 1 m obrce se oko ose koja prolazi kroz tacku 0 i koja je okomita na ravan erteza. Odredit i ugaonu brzinu stapa i brzinu njegovog sred ista C, ako je brzina tacke A VA = 20 m/s (s l. 135).

3.6.4.

Odgovor:

Vc = 18,5 tn/s

sl. 135

Stap AB duzine I = 120 em krece se translatorno brzinom Vc = 10 m/s. U jed nom trenutku stap se pocne okretati oko tacke C koja se nalazi na //2 , ugaonom brzinom CO = 8 rad/s. Odrediti brzinu tacke B stapa u momentu kada stap sa prvobitnim polozajem zaklapa ugao a = 30° (sl. 136).

B ---------n 8r-:--..;.., ...... /0( II I

C,of----I

II . A II

A ---_____ -il

121.

sl. 136

Rjesenje :

Za tacku B moiemo napisati :

V=Vc+V,f

v,c - I 8 = Be . CD = "2 . CD = 0,6 . 8 = 4,8 m/s

Brzinu VB moiemo naci prma kosinusnoj teoremi:

V = YV ' + VC , + 2V . V C . cosU e C B C B

VB = Y1O' + 4,8' + 2·10·4,8· cos30o = 14,3 m/s

3.6.5. Kalem poluprecnika R, oko cijeg je srednjeg cilindricnog koaksijalnog dijela , poluprecnika r, obavijen konac, kot rlja se bez kl izanja po horizontalnoj ravni kada se kraj konca B pomjera horizontalnom brzinom Vo (sl. 137). Odrediti brzinu V kojom se pomjera osa kalema l

__ Bo v",

sl. 137 Rjesenje:

Sve tacke konca, od A i B, imaju brzinu Vo, te prema tome i tacka A kalema ima brzinu Va. Kako je tacka P trenutni pol brzine, brzine tacke A bice:

V, = Vo = (R - r)CD,

a odavde dobijamo ugaonu brzinu kalema:

Vo CO =R _ r

Brzinu V ose kalema odredujemo pomocui ugaone brzine CD i rastojanja R tacke 0 do pola P:

V V=R · ro=R·_o­

R - r

122.

3.7. Ravno kretanje. Kretanje stapa u ravni

3.7.1. Krivaja OA, duzine r, klipnog mehanizma obrce se ugaonom

brzinom CDo.' Duzina poluge AB = I. Odrediti brzinu klizaca B i ugaonu brzinu CD •• poluge AB, za polozaje, kojima odge­vara 'p = 0 ° i 'p = 90° (sl. 138).

t A

r -I ~ 16 .. 0_ . _~).~ .~L _ _ ~X r A ...

r r~

sl. 138

Rjesenje:

Brzina tacke A, ciji je intenzitet V. = r COo. , usmjerena je normalno na pravu OA, a brzina tacke B usmjerena je duz prave BO. Ovi i dati podaci su dovoljni za odredivanje svih ki nematick ih karakteristika poluge AB.

Pri uglu 'p = 0° normala Bb na pravac Va i normala OB na pravac V. sijeku se u tacki B. Tacka B je u tom slucaju trenutni pol brzina, a to znaci V. = O.

Za taj polozaj je:

V. r CD •• = AB = - , - . CO CA

Raspored brzina tacaka poluge AB prikazan je na slici. Pri uglu 'p = 90°, brzine V. i VB su .paralelne i normale na .nj ih sijeku se u beskonacnosti. Odavde proiziiazi da sve tacke poluge imaju iste brzine, koje su jednake sa V. i da je CO •• = '0 . . -

3.7.2. Tocak poluprecnika R kotrlja se po pravolinijskoj sini tako da mu je brzina VC centra C konstanta (sl. 139). Odrediti ubrzanje M tacke, koja se nalazi na njegovom obodu.

Rjesenje:

S obzirom da je brzina VC konstanta, tacka C je trenutni pol ubrzanja. Trenutni pol brzina nalazi se u tacki P, te je:

Vc Vc CD= PC = R

123.

sl. 139

Ka ko je ugaona brzina 0) nepromjenljiva , ugaono ubrzanje je a = 0, pa se dobija :

a tgy = 0)2 = 0 , y = 0° ,

Sto znaci da ubrzanja prolaze kroz pol ubrzanja C bez zaokretanja. Na osnovu prethodnog proizilazi:

a = CM YO)' + a ' = CM . 0)' = vc' M R

3.7.3. Stap AB, duzine I = 1 m, krece se tako da mu se krajevi Ai B pomjeraju

duz upravnih pravaca Ox i Oy. Odrediti koordinate Xp i Yp trenutnog pola ubrzanja u trenutku kada je ugao OAB = 60° (sl. 140).

y

A

Va ~----------------~B--~ '~

sl. 140

124.

3.7.4 . Stap AB, duzine 5 m, oslanja se na ivieu C ispusta i krece se u ravnl erteza tako sto mu donji kraj A klizi po horizontalnoj ravni , brz "'om VA = 4 m/s . Odrediti ugaonu brzinu w i brzinu tacaka B i C stapa, u trenutku kada je ugao 'p = 30°, ako je OC = 2 m (sl. 141), ito:

a) pomocu plana brzina b) pomocu trenutnog pola brzina

A

sl. 141

3.8. M e han i z m i

3.8.1. Koliki je u minutu broj obrtaja vodenog kaisnika pri pr~enosu sa dva kaisnika ako je broj obrtaja vodeceg n, = 120 Imin, a poluprecniei vodeceg i vodenog su R, = 30 em i R, = 50 em? Koliki je prijenosni odnos?

Rjesenje:

. n, R, 50 5 ! =n, = "'R,= 30 =3"

3.8.2. Prenos se vrsi sa dva para kaisnika ciji su poluprecnici R, = 10 em, R2 = 50 em, R3 = 30 em i R. = 40 em. Koliki je prenosni broj? Koliki ce biti broj obrtaja vodeceg aka vadeni ima n. = 180 °/min?

Rjesenje: i = i, . i,

i,= ~' = ~~ = 5 ,

125.

4 20 i=5 · 3=3

Kako je: i =~ , to je broj obrtaja vodeceg kaisnika n,

. 20 a . n, = I · n, = 3 . 180 = 1200 /mln

3.8.3. Izracunati minutni broj obrtaja n, vodenog kaisnika, ako su poluprecniei vodeceg i vodenog kaisnika R, = 30 em i R, = 40 em, a minutni broj obrtaja vodeceg kaisnika n, = 100 a/min . Koliki je prenosni broj?

3.8.4. Pogonski kaisnik ima 200 O/min. Prenosni broj i =~ . Koliki je broj obrtaja vodenog kaisnika? 3

3.8.5. Prenos se vrsi sa tri zupcanika, koji imaju brojeve zuba: Z, = 32, Z, =14 i Z, = 8. Koliki je prenosni odnos? Koliki je broj obrtaja vodeceg zupcanika ako vodeni ima n, = 360 a/min?

Rjesenje:

Za prenosni odnos imamo:

Ovaj odnos mozemo napisati i u obliku :

i=~ n,

pa je broj obrtaja vodeceg zupcanika:

n, = i . n3 = + . 360 = 90 a/min

3.8.6 . Vodeni zupcanik lima 12 a/min , a vodeci IV ima 120 a/min. Koje brojeve zuba treba da imaju zupcaniei ovoga prenosnika pri postojanju posrednog vratila CD (51. 141)?

Rjesenje:

Prenosni odnos ovog prenosa je:

i -~ - 120_ 10 - n, - 12 -

126.

I n, A ~ ~B

C'-' n. ,--, ~D

II m

E'-' n" ,--, ';::::,F

IV

sl. 141

Ovaj odnos jednak je proizvodu prenosnlh odnosa i, ii, gdje je:

. n, Z, 1.,7, =z,

i =~ Z, , n, = Z. , paje:

. i =~= Z,· Z, = 10 ! =! , , n, z, . Z.

Znaei da brojevi zuba moraju zadovoljiti jednaeinu:

Z,· Z, = 10 Z,' Z,

3.8.7. Reduklor brzine, koji sluzi za prenos obrtaja od vratila I na vralilo II, sasloji se od 4 zupeanika, eiji su brojevi zuba Z, = 8, Z, = 40, Z, = 12 i Z, = 60. Odredili prenosni odnos ovog reduklora (sl. 142).

Rjesenje:

. . . z, . Z, 40· 60 1 = I , . I , = Z, . Z, = ~= 25

sl. 142

127.

4.DINAMIKA

4.1. R a d snaga

4.1.1. Cilindricni valjak precnika d = 60 cm dovod i u kretanje covjek koji pritiskuje na rucicu OA, konstantnom silom F = 120N u pravcu AO. Duzina rucice je AO = 1,5 m, a visina tacke A nad horizontalom h = 1,2 m. Odrediti rad koj i se izvrsi kada se valjak prekotrlja za rastojanje s = 5 m (s l. 143).

Rjesenje:

Kako je sila F usmjerena pod nekim uglom 0. na pravac pomjeranja napadne tacke 0 sile, to je rad koji izvrsi ta sila jednak:

A = F . s . coso.

h

/

sl. 143

Sa slike vidimo da je:

sinO.

1 h - yd

AD

1,2 - 0,3 1,5 = 0,6

Prema tome je:

coso. =Y1 - sin'U = Y1 - 0,6' = 0,8

odnosno:

A = 120 . 5 . 0,8 = 480 Nm

4.1.2. Odrediti rad koji treba izvrsiti da bismo teret tezine G = 20 kN podigli na visinu h = 5m pomjerajuci ga po strmoj hrapavoj ravni koja sa horizontalom zaklapa ugao 0. = 300. Koeficijent trenja je J..I. = 0,5 (sl. 144).

128.

51. 144

Rjesenje:

Pri pomjeranju tereta uz ravan vrsi se rad nasuprot jedne komponentne sile teze tereta i rad na savladivanju sile trenja. Duz linije strme ravni djeluju , dakle, dvije sile: G sinai /-lGcosa. Kako su ove sile konstantne, rad je odreden proizvodom iz sile i pomjeranja , tako da je:

A = - G · 5 (sino' + /-lcosa)

gdje je 5 = h/sina. Prema tome je utrosen rad :

I A I = G ha (sino' + /-lcosa) = G . h (1 + ~lctga) sin

Kada se uvrste vrijednosti dobijemo:

A= 18,7·10' Nm

4.1.3 . Da bi se iskoristio rad vodopada postavljena je turbina ciji je koeficijent korisnog djelovanja 11 = 0,8. Omrediti u kilevatima korisnu snagu turbine, aka je protok vodopada u toku svake minute 600 m' vode, koje pada sa visine 6 m.

Rjesenje:

Tezina jednog kubnog metra vode je 10000 N, a tezina vode koja pad a u JednoJ mlnutl Iznosl:

G = 600·10' N

Za jednu minutu izvrsi rad:

A = G . h = 600 . 10' . 6 = 3600 . 10' Nm

129.

Snagu racunamo prema obrascu :

P =!:c... = 3600 · 10' = 60 · 10' Nm = 60 · 10' W= 600 kW t 60 s

Korisnu snagu teu rb ine dobijemo:

P, = 11 . Pu = 0,8 . 600 = 480 kW

4.1.4. Koliki treba da bude precnik klipa jednocilindricne parne masine pri srednjem pritisku pare na klip p = 40 N/cm' , srednjoj brzini klipa V = 2 mIs , korisnoj snazi masine PK = 50 kW i njenim mehanickom

koeficijentu korisnog djelovanja 11 = 0,9?

4.1.5. Vodec': i tocak precnika 0,4 m obrc':e se ugaonom brzinom 0) = 15,7 rad/s i predaje snagu P = 11 kW. Odrediti :

1) Obrtni moment, i 2) Intenzitet sile u kilonjutnima.

Rjesenje:

P 11 M=0)=15,7=0,7kNm

Intenzitet sile:

F =~=Q= 3 5 kN r 0,2 '

4.1.6. Kotur A dobija obrtanje od vodec':eg kotura B putem kaisa . Vodec':i dio kaisa zategnutje silom T, = 2000 N, a vodeni silom T, = 1200 N. Precnik kotura Ajednak je 2r = 600 mm. Odrediti u Nm rad koji izvrse date sile za 10 obrtaja kotura A, a takode i snagu koja se prenosi preko kaisa u kW, pri broju obrtaja datog kotura n = 120 a/min (sl. 145).

sl. 145

130.

Rjesenje:

Obrtni moment koji djeluje na kotur A iznosi:

M = T, . r - T, . r = (T, - T,) r = (2000 - 1200) . 0,3 = 240 Nm.

Obrtni ugao kotura je 'p = 211: . 10 = 62,8 rad ijana.

Rad sile koja djeluje na kotur iznosi:

A = M . 'p = 240 . 62,8 = 15070 Nm.

Snaga koja se prenosi:

P = M . n = 240· 120 2.9 kW 9740 9740

4.1.7. Po horizontalnoj pruzi krece se voz tezine 5000 kN . Odrediti snagu koju mora imati lokomotiva, ako se voz krece konstantnom brzinom V = 21 , 6 km/h , a otpor koji se suprostavlja kretanju iznosi 200 N na 10 kN tezine voza.

4.1.8. Odrediti snagu pumpnog postrojenja koje izbacuje 360 m' vode za cas na visinu H = 30 m. Koeficijent korisnog djelovanja postrojenja je 11 = 0,75.

4.1. 9. Za podizanje 5 . 10' m' vode na visinu od 3 m sluzi pumpe sa motorom koji razvija snagu od 2 kW. Koliko vremena treba da radi pumpa da bi pomenutu kolicinu vode izbacila na datu visinu , ako je njen koeficijent korisnog djelovanja 11 = O,8?

4.1.1 0. Vratilo predaje snagu P = 60 kW. Odrediti broj obrtaja vratila , ako je obrtni momenl na islom M = 1800 Nm.

4.2. 1m puis sile i kolicina kretanja

4.2.1 . Tramvajski vagon se krece po horizontal nom i pravolinijskom kolosjeku brzinom V = 36 km/h . Otpor kretanja prolzveden kocenjem iznosi 300 N na 1 kN tezine vagona. Koliko ce se vremena od trenutka pocetka kocenja kretati vagon dok se ne zaustavi?

Rjesenje :

Pocetna brzina kada je pocelo kocenje je:

Vo = 36 km/h = 10 m/s

131. --------------------------------

Otpor izazvan kocenjem, prema uslovima datim u zadatku:

FR = 0,3· G

Na vagon u pravcu kretanja djeluje samo sila kocenja F R sa smjerom suprotnim njegovom kretanju. Ta sila je konstantna, pa imamo:

~ V -~ . Vo = -0,3 · G · t 9 9

Posto je konacna brzina vagona V = 0, imamo:

-~ . V = - 0 3G . t iii' g O' ,.

t =~ = 10 = 3,4 5 0,3 9 0,3 ' 9,81

4.2.2. Tijelo tezine G = 196,2 N krece se pravolinijski po glatkoj horizontalnoj ravn'i brzinom Vo = 0,5 m/s. Odrediti intenzitet i smjer brzine V tijela poslije 3 sekunde od pocetka djelovanja konstantne sile F = 40 N, koja je usmjerena u suprotnu stranu pocetnoj brzini Vo.

4.2.3 . Teretni voz se poceo kretati iz stanja mirovanja i nakon dvije minute dostigao brzinu 57 ,6 km/h. Vucna sila lokomotive iznosi F = 1000 kN , a koeficijent trenja je /-L = 0,2. Odrediti tezinu voza (51. 146).

~vvt 51. 146

Rjesenje:

I=K-K"

Na voz su za vrijeme t = 120 5 djelovale sile F i F J.I = )J. . G, pa je impuls sile:

I = (F - /-LG) . t

132.

Prirastaj kolicine kretanja je:

K - Ko = mV - mVo = m. V

Prema tome imamo da je:

(F - M-G) . t =~ . V ,a odavde je: 9

G _ .,.,--F_·_t .,..:g,,-:-:-1-1 ' g . t + V

1000·120'9,81 = 4680 kN 02·981120+~

" 3,6

4.2.4. Iz topa se ispali granata tezine 160 N. Na izlazi iz cijevi granata ima

brzinu V = 600 m/s . Ako je duzina eijevi I = 1,5 m odredite: a) vrijeme kretanja granate kroz cijev, b) silu pritiska barutnih gasova u cijevi.

4.2.5. Koliki je momenat kolicine kretanja poslije t = 5 5 materijalne tacke, koja se krece po krugu poluprecnika R = 50 em pod djelovanjem tange­neialne sile F = 200 N? Rjesenje :

L = M · t

L = F . R . t = 200 . 0,5 . 5 . 500 Nms

4.2.6. Kolika je tezina G kola koja za vrijeme t = 20 5 dostignu brzinu V = 18 km/h Vucnom silom F = 3000 N, ako je otpor voznje 1-1 = 0,008?

4.2.7. Kugliea tezine G, vezana koneem duzine I za nepokretnu tacku A,

obrce se oko tacke A sa ugaonom brzinom 0). Kada konae naide na

prepreku S, kugliea se pocinje obrtati oko tacke S na odstajanju l/3.

Odrediti novu ugaonu brzinu 0), u zavisnosti od pocetne ugaone brzine (51. 147).

f>. . 51. 147

133.

(Napomena: Poslo su momenli sila koje djeluju na kuglicu u odnosu na osu kroz lacke Ai B okomile na ravan crteza jednake nuli, moment kolicine krelanja se ne mijenja, Ij. LA = Lo).

4.3. Ene r 9 i j a

4.3.1. Odred ili kinelicku energiju lijela koje slobodno pada. lezine G = 50 N. posl ije 4 sekunde od pocelka padanJa.

Rjesenje:

v = g . , Ie je kinelicka enrgija:

Ek = t ~ . V' =t ~ (g . I)' = t 9~~1 (9 ,81 ' 4)' = 3920 Nm

4.3.2. Odredili kinelicku energiju lijela granale. G = 10 N, u Irenulku udara u zemlju pri padanju bez pocelne brzine , sa visine od 2000 m.

Rjesenje:

Odredimo najprije brzinu lijela u Irenulku udara 0 zemlju. Iz zakona slobodnog pada bez pocelne brzine imamo:

V = g . I • 5 =tg · I'

V =~ ,Ieje:

E =..L Q . V' = ..L Q . 2gs = G . 5 = 10 . 2000 = 20000 Nm k 2 9 2 9

4.3.3. Topovsko zrno lezine 240 N izleli iz usIa lopovske cijevi brzinom 500 m/s. Duzina lopovske cijevi iznosi 2 m. Odredili srednju vrijednosl priliska barulnih gasova na zrno.

Rjesenje:

E =..L Q . V' - ..L 240 . 500' = 3.000000 Nm k 2 9 - 2 9.81

Poslo je kinelicka energija jednaka ulrosenom radu imamo:

Ek=A=F·s

F = ~k = 3 .00~000 = 1.500000 N = 1500 kN

134.

4.3.4. Tijelo duzine G = 80 N slobodno pad a sa visine h = 80 m. Kolika je njegova kolicina kretanja, impuls isle, kineticka energija i potencijalna energija poslije vremena t = 2 s?

4.3.5. Zrno tezine G = 40 N baceno je vertikalno uvis pocetnom brzinom Vo = 500 m/s . Kolika je njegova kolicina kretanja , kineticka energija i potencijalna energija poslije vremena t = 8 s?

4.3.6. Kolika je kineticka enrgija vagona, tezine G := 110 kN , koji se krece brzinom V = 0,8 km/h?

4.3.7. Lokomotiva tezine G = 1765 kN krece se u trenutku zaustavljanja dovoda pare brzinom Vo = 12 m/s. Odrediti silu otpora ako se lokomotiva zaustavi nakon s = 1880 m.

4.3.8. Sila , pokrecuCi tijelo po horizontalnom putu, izvrsi rad A = 9600 Nm i pri tome uveca njegovu brzinu od Vo = 4 m/s na V = 6 m/s. Odredi tezinu tijela.

4.4. C e n t r i f u 9 a I n a cen t ripetalna sila

4.4.1. Kamen tezine G = 30 N, ucvrscen za konac duzine L = 1 m, opisuje u vertikalnoj ravni kruznu putanju (sl. 148). Odrediti najmanju ugaonu brzinu kamena pri kOjoj ce se konac pre-kin uti. Poznato je da se konac kida pod djelovanjem sile od 90 N.

Rjesenje :

G

sl. 148

Posmatrajmo najnepovoljniji polozaj kamena, tj. najnizi polozaj u krugu. Na koncu djeluje njegova tezina G i centrifugalna sila Fe. Njima se suprostavlja sila zatezanja u koncu S, tj .:

S = G + Fe

135.

Da bi konac pukao, mora biti S = 90 N, pa je centrifugalna sila Fe jednaka:

Fe= S - G = 90 - 30 = 60 N

Posto znamo da je :

Fe= m . [0)2,

0) = ~ Fe = ~ g . Fe = 9,81 ' 60 = 4 44 rad/s m . [ G . I 30 . 1 '

4.4.2. Automobil tezine G = 10000 N krece se brzinom V = 10 m/s po konveksnom kolovozu nekog mosta. Poluprecnik krivine kolovoza na sredini mosta iznosi R = 50 m. Odrediti pritisak N automobila na most u trenutku kada prolazi kroz sredinu mosta (51. 149).

Rjesenje:

v

51. 149

Reakciju mosta N (koja je ujedno i pritisak automobila na most) jednaka je:

N = G - Fe

v' G V' F =m - =-·-e Rg R

10' N = 10000 (1 - 9 81 . 50 ) = 7960 N

4.4.3. Teretu tezine G = 20 N, koji visi na konopu duzine I = 1 m, udarem je saopstena brzina u horizontalnom pravcu Vo = 5 m/s. Odrediti brojnu vrijednost zatezne sile S u kanapu neposredno poslije udara.

136.

4.4.4. Disk tezine G = 200 N obrte se sa n = 300 a/min oko osovine AB

duzine L. Teziste diska nalazi se u tacki C, na rastojanju OC = 2 em. Odrediti dinamicke reakcije u lezistima A i B, ako je AO = OB (sl. 150).

Rjesenje :

AFR-__ 4-~ t----,li1!!!lB

Fe D

sl. 150

Dinamicke reakeije u lezistima A i'B bite izazvane zbog djelovanja eentrifugalne si le Fe, koja se moze izracunati prema:

G · R . 1['. n' Fc= 900 . 9 , pa kada uvrstimo vrijednost,

F = 200 · 0,02 · 3,14' ·300'

c 900 . 9,81 = 400 N

4.4.5. Zamajae tezine 5000 N smjesten je na vratilu sa ekseentritetom e = 5 mm. Odstojanja od lezista su a = 20 em, b = 50 em. Odrediti eentrifugalnu silu zamajea ako je n = 300 a/min . Takode odrediti najvete i najmanje vrijednosti ukupnih reakcija u lezistima (sl. 151).

sl. 151

137.

4.5. 0 a I a m b e r 0 v p r inc i p

4.5.1. Tere! !ezine G = 100 N podize se vertikalno navise ubrzanjem a = 5 m/s2 pomocu konopca prebacenog preko nepomlcnog ko!ura (51. 152). Odredi!i silu u konopcu.

Rjesenje:

51. 152

Na !ere! djeluju sile: !ezina G i reakcija konca S. Ako im jos dodamo inercijalnu silu "Fin koja je pO in!enzi!e!u jednaka m . a, onda mozemo napisati :

iii u skalarnom obliku:

G + Fin - S = 0 , odakle je :

S = G + F in = G + Q. . a = 1 00 + J..QQ... . 5 9 9,81

S = 151 N

Ako bi se !ere! spus!ao sa is!im ubrzanjem, onda bi sila inercije bila usmjerena vertikalno navise.

U tom slucaju bilo bi:

G = S + Fin iii :

S=G_F in=100-~~801'5=49N

Ako bi !ere! mirovao na konopcu onda bi S = G = 100 N.

138.

4.5.2. Tijelo tezine G = 20 N, vezano za konae duzine 1 = 99,6 em, ciji je drugi kraj nepokretan, opisuje krug na horizontalnom stolu cineci 180 c/min. Odrediti silu koja zateze konopae (sl. 153).

sl. 153

Rjesenje:

Na tijelo djeluju sljedece sile: tezina G, otpor podloge N, sila u koneu S,

inereijalna sila r '"' Posto su sile G iN normalne na konae, one nece

utieati na zatezanje konea. Ostaje samo inercijalna sila Fi~ koja ima

pravae konea, a suprotan smjer normalnom ubrzanju 8;,.

F in _ S = 0

Fin =~ (~), = 720 N g · f 30

S = F in = 720 N

4.5.3. Horizon!alna platforma na kojoj lezi tere! G = 100 N, spusta se vertikalno nanize ubrzanjem a = 4 m/s2 . Odrediti pritisak na platformu za vrijeme zajednickog spustanja. (sl. 154)

Fin

G sl. 154

139.

Rjesenje:

Na tijelo djeluje tezina G, reakcija platforme N i inercijalna sila -rn Postavimo jednacinu ravnoteie ovih sila:

G - N - F,n = 0 , a odavde je :

m G a N = G - F = G - -. a = G(1 - -) = 59 2 N

9 g '

4.5.4. Kofa sa vodom, vezana za uie, opisuje krug u vertikalnoj ravni, cineci 30 Dlmin . Kolika treba da je duiina uzeta da se voda ne izlije iz kofe?

4.5.5. Voz tezine G = 3000 kN , prelazeci preko mosta ugiba ga tako da on obrezuje luk poluprecnika R = 2 km. Odrediti pritisak voza na most na njegovoj sredini, ako je brzina voza V = 72 km/h .

4.5.6. U jamu se spusta korpa dizalice tezine G = 2800 N. Za prvih 10 sekundi korpa se spusti 35 metara . Odrediti silu zatezanja u celicnom uzetu na kome visi korpa.

4.5.7. Kojim ubrzanjem treba povuci navise uze 0 koje je objeseno tijelo da bi sila zatezanja u uietu bila dva puta veca od tezine tijela?

4.6. Di n ami k a r o t ira j u c e 9 t i j e f a

4.6.1. Izracunati moment inercije J tankog homogenog stapa tezine

G = 200 N i duzine I = 6 m (sl. 155) : a) za osu Y ; b) za osu Y,; c) za osu y, ,

Y:d fY .~ I I I I

.I t - t ....

I

sl. 155 Rjesenje:

a) Moment inercije za su y, posto ona prolazi kroz srediste stapa, dat je obrascem:

140.

X .

gdje je M - masa, a I - duzina stapa. Zamjenom dobijamo:

J 1 G I ' 1 200 , N ' y = 129' = 12 9,81 . 6 = 61 ms

b) Primjenom Stajnerove teoreme - da je moment inereije za bilo koju osu jednak momentu inereije za njoj paralelnu osu koja prolazi kroz eentar sistema, uvecan za polozajni moment inereije:

J Y1 = J yc + d ' M

J y1 = J y + (f) ' M ,

J = ~ MI' + ~ MI' = ~ MI' y1 12 4 3

J = ~ Q. /' = 245 Nms' y1 3 9

e) Analogno prethodnom dobijamo:

JY2 = 1i MI' + (-t)'M = :8 MI'

J =.l Q/, = 107 Nms' y2 48 9 .

4.6.2. Odrediti moment inereije homogene tanke kruzne ploce tezine G = 100 N i poluprecnika R = 2 m, i to: a) za osu Z, koja je normalna na plocu i prolazi kroz eentar: b) za osu Z" koja je paralelna sa Z osom, a udaljeni od nje za R/2 .

Odgovor:

a) Jz = 20,4 Nms'

b) JZ1 = 30,6 Nms'

4.6.3. Odrediti moment inercije homogenog yaljka poluprecnika R = 20 em,

duzine I = 60 em, tezine G = 3000 N, za osu Z, koja lezi u izvodnici valjka i osu X, koja prolazi duz precnika osnove.

Odgovor:

JZ1 = 18,35 Nms'

J X1 = 39,8 Nms'

141 .

4.6.4. Odrediti moment inereije koeke, strane a = 30 em i tezine G = 981 N, u odnosu na ose simetrije.

Odgovor:

4.6.5. Odrediti kineticku energiju diska, precnika 0 = 40 em, tezine G = 20 kN , koj i se obrce oko nepomicne ose sa n = 180 a/min.

Rjesenje : Kako disk vrsi same obrtno kretanje, njegova kineticka energija je :

1 J ' 1 1 G (0 ~ (nn)' Ek ="'2 0) =2 2g 2' 30 =7200 Nm

4.6.6. Odrediti kineticku energiju granate 76 - milimetarskog topa u trenutku napustanja eijevi ako je tezina granate G = 65 N, brzina V = 588 m/s i obrce se 180 °/5 . (granatu smatrati homogenim kruznim eilindrom).

Rjesenje:

Kineticka energija granate sastoji se iz kineticke energije translacije

1- ~ V' i kineticke energije rotaeije:

E" =1-J O)'

Pri tome je:

CD = 180· 21t rad/s; J =1- ~ . R' ; R = ~ =0 , ~76 m

Ukupna kineticka energija granate je :

E =-.L Q V'+~ -21 Gg

R'O)' = 1.152000 Nm k 2 9 2

4.6.7. Odrediti kineticku energiju diska poluprecnika 30 em, tezine 100 N, koji se obrce sa 180 a/min oko nepomicne ose, normalne na ravan diska, a na rastojanju e = 15 em od tezista diska.

Odgovor: E, = 122 Nm

142.

4.7. Dinamika oscilatornog kretanja

4.7.1. Tijelo tezine G = 50 N vrsi harmonijske oscilacije po zakonu X = 2 cos (1t . t). Odrediti zakon promjene oscilatorne sile koja izaziva te oscilacije, kao i njenu maksimalnu i minimalnu vrijednost.

Rjesenje:

F=m · ax

F = - m · CO'· X

U nasem slucaju CO = 1t, pa je :

F = - m . 1t' . 2 cos (7tt)

F = - Q. 1t' . 2 cos (7tt) 9

F = -~ . 1t' . 2 cos (7tt) 9,81

F = - 100 cos (7tt) N

Uzeli smo da je 1t' = 9,81

Kako vidimo oscilatorna sila se takode mijenja po zakonu kosinusa, sa

istom ugaonom brzinom CO , ali ima suprotan predznak od elongacije X.

Najvecu i najmanju vrijednost oscilatorne sile naci cemo po:

F max = '! mCO' . R

-+2Q.. ' 2-+100N Fmax - - 9,81 · 1t · --

4.7.2. Koliki je period oscilacija i ugaone frekvencije, ako tijelo tezine G = 20 N vrsi harmonijske oscilacije usljed djelovanja restitucione sile opruge, koja ima krutost C = 5 N/cm?

Odgovor:

T = 0,4 s CO = 17,75 rad/s

143.

TABL ICA XV

NORMALNI FRO FILl - a) Kutno' ,zelj ezo jednakih krakova

1 m' = 101 em' 1 em' = 10-3 m' 1 mJ = 10~ emJ

1 emJ = 10- 6 ml

II Dimenzije --~ 1'---1 - --I ---

5 i: b I' d II I, r L b,b·d II mm mm mm

: ~-Tr' I ;T" 20· 20·" r.,\,1 20 I 4 I 3,5

2,.';·25·3 3 2,.';. 2,.'; . 4 II 52 4 3,5 2S. 25· 5 II ,5 I

I: 3 I 30· 30 · 3 .

::: ::.: .\: :: 46

1! I

35·35·6 k Ii

40· 40· " 40· 40· 5 40· 40· 6

; 40

45· 45· 5 45· 45· 7

50· 50· 5 60· 50· 6 50 · 50 · 7 50· 50· 9

55· 55 · 6 55· 55 · 8 55· 55 ·10

60· 50, 6 60 · 60 · 8 60· 60·10

45

50

55

69

4 5 6

5 7

5 6 7 9

6 8

10

6 8

10

6

7

7

8

h='momenl inerclje ----_. . W;z=momenl oipora

(,;= 1¥ po!l¥T1ier inerc/ie

~-

! I Za os _I

~ .\ h 1-- ~ -:-( ~~~y_J ~ 1 :3- I 1_1

~~-,-~cm=S=' =?=k=~, m Lc~L ~. __ ;:=~_~. ;~=~ °'82 1 0,64 1 0,48 1 0,15 °' 15 1 0,43 1,05 0,82 , 0,51 0,19 0, 19 0,42 2

2

2

2,5

2,5

3,5

3,5

4

4

1,12 0,88 0,60 0,39 0,28 0.59 l,4S 1, 14 0,64 0,48 0,35 O,SB

1,42 1,85 2,26

1,74 2,27 2,78

2,67 3,87

3,08 3,79 4,48

4,30 5,86

4,80 5,69 6,56 8,24

6,3'1 8,23

10,1

6,91 9,03

11,1

1,12 I,4S 1,77

1,36 1,78 2,18

2,10 3,04

2,42 2,97 3,52

3,38 4,60

3,77 4,47 5,15 6,47

4,95 6,46 7,90

5,42 7,09 8,69

0,73 0,79 0,76 1,01 0,80 1,18

0,84 1,41 0,89 1,81 0,92 2,16

'1,00 2,96 ~,08 4,14

1,12 4,48

1'16

15'43 1,20 6,33

1,28 7,83 1,36 10,4

1,40 11,0 1,45 12,8 1,49 14,6 1,56' 17,9

1,S6 17,3 1,64 22,1 1,72 26,3

1,69 22,8 1,77 29,1 1,85 34,9

0,45 0,58 0,69

0,65 0,86 0,04

1,18 1,71

1,56 1,91 2,'26

2,43 3,31

3,05 3,61 4,15 5,20

4,40 5,72 6,97

5,29 6,88 8,41

0,75 0,74 0,72 i 0,90 ' 0,89 l 0,88

1,05 i 1,04 I 1,21 ! 1,20 I 1,19 I 1,35 : 1,33 .

I,SI 1,50 1,46 1,47

1,66 1,64 1,62

1,82 1,80 1,78

144.

'; Dimenzijc z. os I- ;i I ~

,1----------- - ~:i ;~ ' 1£1 --= -,I x = Y ,- y

I b d r, ~ S 'g, ~ ;g ;~ I . W. I i.

L b ·b ·d Ii mm mm em' kp/m em em' ctn' i

I i I !

~ : i~: 1 i -~I'!I':T~i T-9-r:-1=:~~0.:,..",1-~:-iD1:-~0=~ ='==!~!:~i+' =1=~;=~4=8 F=~=:~=~ 70 · 70· 7 7 I' 9,40 7'3~ ' ~,97 42,4 8,43 2,12 70· 70· 9 70 9 1 9 4,5 : 11,9 9,34

1

2,05 52,6 10,6 2,10 70 · 70· 11 'I 11 I i 14,3 11,2 2,13 61,8 12,7 2,08

;~: ~~ : ~ I 75 ~! 10 I 5 I' :~:1 ~:b~1 ~:~ ;~:~ 1~:g7 ~:~ 75 - 15 · 10 10 14,1 11,1 2,21 71,4 13,5 2,25 75 · 75· 12 12 .16,7 1 13,1 2,29 82,4 15,8 2,22

80· SO · 8 8 12,3 9,66 2,26 72,3 12,6 2,42 80 · 80· 10 80 10 0 5 15, 1 11,9 2,34 87,5 15,5 2,41 80· 80· 12 12 I f )7,9 14,1 2,41 102 18,2 2,39 80 · 80 · 14 , 14 I' 20,6 16, 1 2,4S 115 20,8 2,36

90 · 90 · 9 II 9 15,5 12,2 2,54 116 18,0 2,74

;~ : ~g: g ~! 90 I :j 11 5,5 ' ~~:~ :;:i' ~:~~ m '~~:~ ~:~~ ' 90 · 90 - 16 I[ 16 I' 26,4 20,7 2,SI 186 · 30,1 2,66

100 · 100· 10 I 10 19,2 15,1 2,S2 177 24,7 3,04 100 · 100· 12 12 I 22,7 17,8 2,90 207 29,2 3,02 100. 100 - 14 I 100 14 I 12 6 26.2 20,6 2,98 235 33,S 3,00 100 · 100 · 20 20 I 36,2 28,4 3,20· 311 45,8 2,93

110 · 110- 10 : 10 i /.1,2 110· 110· 12 110 J2 f 12 6 25,1 110· 110· 14 14 i 29,0

gg: g~: g !. 120 g II ~~:; 120. 120- 15 15 13 6,5 33,9 120 · 120· 20 20 44,2

130· 130- 12 12 30,0 130· 130- 14 130 14 14 7 34,7 130 · 130· 16 ! 16 39,3

140 · 140- 13 ' 13 ! 35,0 140- 140· 15 140 15 15 7,5 40,0 140 · 140· · 11 17 45,0

150· ISO· 14 150 - 150- 16 150 · 150- 18

ISO - 160 - 15 160 · 160 - 17 160 · 160 - 19

180· 180 - 16 180 · 180· 18 180 · 180 - 20

200 · 200 · 16 200 - 200- 18 200 · 200· 20

150

!1 160

I 180

200

14

16 / 16 I S

15 17 17 19

16 IS I's 20

16 18 I S 20

8

S,5

9

9

145_

40,3 45,7 51,0

46,1 51,8 57,5

55,4 61,9 68,4

61,8 69,1 76,4

15,6 3,07 239 19,7 3,15 280 22,8 3,21 319

19,9 3,36 341 23,3 3,44 394 26,6 3,51 446 34,7 3,70 562

23,6 3,64 472 27,6 3,72 540 30,9 3,80 605

27,5 3,92 · 638 31,4 4,00. 723 35,3 4,OS 805

31,6 35,9 40,1

36,2 40,7 45,1

43,5 48,6 53,7

48,5 54,3 59,9

4,21 845 4,29 949 4,36 1050

4,49 1100 4,57 1230 4,65 1350

5,02 1680 5,10 1870 5,18 2040

5,52 2340 5,60 2600 ~,68 2850

30,1 3,36 35,7 3,34 41,0 3,32

39,5 . 3,36 46,0 3,64 52,5 3,63 67,7 3,57

50,4 3,97 58,2 3,94 65,8 3,92

63,3 4,27 72,3 4,25 81,2 4,23

78,2 4,58 88,7 4,56

99,31 4,54 95,6 4,88

108 4,86 118 4,84

130 5,51 145 5,49 160 5,47

162 6,15 181 6,13 199 6,11

,

NORMALNt ! PROFILI

1 m' = lOS em' 1 em' =~ 10-0 m' 1 m ' = 10~em' 1 em' = 10-6 m'

'- Dj;"e~zij; ..

y

I 1 ~.>I al

" - ~ ! > [

Co ~ , " i' s ~

o 1 " I b ; d l I ' r nunr , 1 S

I I mm ,:~:J, ~.;:"II ,

~T'" , 8 :i 80 42 ,' },91: 5,9 3,9 2,3 7,

10 'I 100 50 4,5 6,8 4,5 2,7 10, 12 i 120 58 1 5,11 7,7 5,1 3,1 14, 14 :1 140 , 66 / 5,7 ! 8,6 5,7 3,4 18, 16 !I 160 I 74 I 6,3 i 9,51 6,3 3,8 22, 18 ~ 180 i 82 i 6,9 i 10,4 6,9 4,1 27, 20 ~ 200 : 90 1 7,5 1 11,3

1

7,5 ' 4,5 33,

22 'I; 220 1 98 ! 8,1 12,2 8,1 4,91

39, 24 1 240 , 106 : 8,7 13,1

1

' 8,7 5,2 46,

26 1 228600 1 111193 : 9.4 14,1 /),4 5,6 53, 28 I 10,1 15,2 i 10,1 6,1 61, 30 J 300 I 125 10,8 162 10,8 ' 6,5 69,

~ , ! 32 ! 320 'I' 131 ll,5 17,3 1 JI,5 34 ; 340 137 12,2 18,3 i 12,2 36 . 360 I 143 1 13,0 19,5 1 13,0 38 I 380 I 149 '

113,7 20,S 1 13,7

40 400 1 155 , 14,4 21,6 14,4

42' /. 425 1 163 ! 15,3 45 I 450 1 170 • 16,2

471/147511781' 17,1 50 . 500 1185 18,0 55 550 200 119,0 60 600 215 21,6

23,0 24,3 25,6 27,0 30,0 32,4

15, 3 16,2 17,1 18,0 19,0 21,6

6,9 77, 7,3 86, 7,8 97, 8,2 107 8,6 118

9,2 132 9,7 147

10,3 163 10,8 180 11,9 213 13,0 254

58 6 2 3 8 9 5

6 1 ' 4 1 1

8 8 1

.. ~ f-.o

I kP~m 5,95 8,32

11,2 . 14,4 17,9 21,9 26,3

31,1 36,2 41,9 48,0 54,2

61,1 68,1 76,2 84,0 92,6

104 115 128 141 167 199

146.

1>;!24umm 1>~260mm

b :0.41>, fOmm b=Q31>.J5mm

d'Q03h-tfjmm d=Q0361>

r=d r,...O,6d

.-_._------_._--, .-. .. ... - ---.-ZA OS . .. _------ --_ .. _-- . --------

x -x _____ J~_, ___ - - ... - _ . . --- -----

I. W. i . I. w. i . em' em' e", I em' em' em

- - .. -- -- ."=

I 77,8 19,5 3,20 . 6,29 1 3,00 0,91

171 34,2 4,01 12,2 4,88 1,07

328 54,7 4,81 21,5 7,41 1,23 '

573 81,9 5,61 35,2 10,7 1,40

935 117 6,401 54,7 14,8, 1,55

1450 161 7,20 81,3 19,8 1,71

2140 214 8,00\

ll7 26,0 1,87

3060 278 8,80 162 33,1 2,02 4250 354 9,59 221 41,7 2,20 5740 442 10,4 288 51,0 2,32 7590 542 11,1 364 61,,2 2,45 9800 653 11,9 451 72,2 2,56

12510 782 12,7 555 84,7 2,67 15700 923 . 13,5

I 674 98,4 2,80

19610 1090 14;2 818 114 2,90 '24010 1260 15,0 975 131 . 3,02 29210 1460 15,7 1160 149 3,13

36970 1740 16,7 1440 1176 3,30 45850 2040 17,7 1730 203 3,43 56480 2380 18,6 2090 235 3,60 68140 2150 19,6 2480 268 3,12 99180 3610 21,6 3490 349 4,02

139000 4630 23,4 4670 434 4,30

1 m· = 108 em' 1 em4 = 10- 1 m4

1 m l ~= 106 em3

1 em3 = 10-<1 m3

·:ORMAl.:,r C PROFILI

'II Za [J do ukl/lXivo [.30

b=Q2511-25mm

r =1

,-" -- ', ---' ._--- -_.-.--_.. . , ._- -. ---.. -- -1 I! D lmcnzij c !

1 ~ !i I I I ,-! ;~t ~--====----=-~-~~ ~;-- ----- . ~I

~:~'~~:-j~; :~ I oJ .S

g :1 I ~ ~

~J~_~ :.I_~m ! :: I ~~ ~, >N

~ G

kp/m

" I I I 3 Ii 30 I -33 , 5 I

7 7\ 3,5 5,44 6,21

4,27 1,31 6,39 14,1 26,4

4,261-';,08 \ 5,331 2,68 1 0,99

4 ' 40 3S 5 !

!~ ;,5 1 7 , 7 3,5 7 ! 7 3,5

4,87 1,33 5,59 1,37 7,09 1,42 8,64 1,45

7,05 1,50 6,68 · 3,081

1,04

5 i' 50 61/,i! 65

8 ill 80 10 1 100

l~ 12 ;, 120

14 I' 140 16 ~ 160

I 18 !I 180 ! 20 :1 200 I 1 22 .; 220 t 24240

26 ji 260 28 !i 280 30 ;i 300

I: 32 !i 320

35 I: 350 38 p8 l

I 7,5 i 7,51 4

7,12 9,03

11,0 \3,5

57,5 106 206

10,6 1,92 9,12 3,75

1

1, 13 17,7 2,52 14,1 5,07 1,25 26,5 3,10 19,4 6,36

11,331 45 6

50 6 8 I 8 4 8,51 8,51 4,5 10,6 1,55 41,2 .3,91 29,3 8,49 1,41

55 60 65 70 75

80

7 7 10 10 5 20,4 16,0 1,75 605

9 I 9 \1 4,5 1 17,0 13,4 1,60 364

7,5 1O,5 j 10.5\ 5,5 24,0 18,8 1,84 925 8 11 , 11 5,5 28,0 22,0 1,92 13 50 8,5 11,5: 11,5

1

6 32,2 25,3 2,01 1910

9

60,7 86,4

116 150 191

4,62 43,2 5,45 62,7 6,21 85,3 6,95 114 7,70 148

12,5; 12,5: 6,5 37,4 29,4 2,14 2690 245 8,48 197

85 1 9,5 13 ~ 13 6,5 42,3 33,2 2,23 3600 300 9,22 248 90 10 14 . 14 7 48,3 37,9 2,36 4820 371 9,99 317 95 10 15 , 15 7,5 53,3 41.8 2,53 6280 448 10,9 399

11,1 1,59 14,8 1,75 18,3 1.89

22,4 1 2,02 27 .0 12,14

I I

33,6 , 2,30. 39,1:5 12,42 47,7 i 2.56 57,2 2,74 i 67,8 2,90 100 1 10 16 t. 16 8 58,8 46,2 2,70 8030 5-35 ,11,7 495

100 114 17,5! 17,5 8,75 75,8 59,5 2,60 10870 679 112,1 597 80,6 ~,8' 100 14 16 : 16 1 8 77,3 60,6 2,40 12840 . 734 ,12,9 570 75,0 I' 2,72 102 13,34 16 : 16 111,2 79,7 62,6 2,35

1

15730 826 114,1 613 178,t1 2,78 110 14 1 18: 18 19 91,5 71,8 2,65 20350 1020 14,9 846 102 '3,04

---'-~--'-- -'-----'---"----'-----.-----.--- .--.-:.--~--'----~-..!-.----' 40 ~ 400

~

147.

Literatura:

1. N. Pesto, M. Kremo: Tehnicka mehanika, IP "SVJETLOST", Sarajevo, 1975.

2. A. Rustenpasic: Tehnicka mehanika, "SVJETLOST", Sarajevo, 1981 .

3. V. Mitrovic : Mehanika, kinematika i dinamika, Zavod za izdavanje udzbenika, Beograd, 1964.

4. V. Mitrovic: Repetitorij mehanike, Zavod za izdavanje udzbenika, Sarajevo, 1966.

5. V. Mitrovic: Mehanika - statika , Zavod za udzbenike i nastavna sredstva Srbije, Beograd, 1959.

6. J. Maksimovic: Statika, Zavod za izdavanje udzbenika, Sarajevo, 1969.

7. V. Mitrovic: Mehanika - otpornost materijala , Zavod za izdavanje udzbenika Srbije, Beograd, 1964.

8. V. Kruz: Nauka 0 cvrstoci, skolska knjiga, Zagreb, 1966.

/ I'

/

/ /

/

.. /l.

/

L~ _ --­~-