TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF filePrinudne harmonijsek oscilacije Rezonantne...

Prinudne harmonijske oscilacijeRezonantne vibracije

TEHNIKA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko ori¢

email: [email protected]

Graevinski fakultetUniverzitet u Beogradu

k. god. 2017/18

S.Br£i¢, S.ori¢ Tehni£ka mehanika 2


Sadrºaj

1 Prinudne harmonijske oscilacije

Prinudne neprigu²ene oscilacije

Prinudne prigu²ene oscilacije

2 Rezonantne vibracije

Rezonantne vibracije bez prigu²enja

Rezonantne vibracije sa prigu²enjem



Prinudne neprigu²ene oscilacijePrinudne prigu²ene oscilacije

Sadrºaj










Prinudne harmonijske oscilacije

Prinudne neprigu²ene harmonijske oscilacije

U slu£aju prinudnih harmonijskih oscilacija spolja²nja sila je

harmonijska funkcija vremena:

F (t) = F0 cos Ωt (1)

gde je F0 konstantna amplituda, a Ω je kruºna frekvencija

vremenske promene optere¢enja

U slu£aju neprigu²enih oscilacija, sila viskoznog prigu²enja se

zanemaruje, pa je dif. jed. kretanja data sa

mx+ kx = F0 cos Ωt (2)






Op²te re²enje jedna£ine (2) je dato kao zbir op²teg re²enja

homogene jedna£ine xh(t) i partikularnog re²enja nehomogene

jedna£ine xp(t):x(t) = xh(t) + xp(t)

Op²ti integral homogene jedna£ine je dat sa:

xh(t) = A1 cosωt+A2 sinωt

gde je ω =√

km kruºna frekvencija slobodnih neprigu²enih

oscilacija






Partikularan integral nehomogene jedna£ine (2) se traºi u

obliku:

xp(t) = C cos Ωt

Unose¢i pretpostavljen partikularni integral u jedn. (2) i uz

oznaku

β =Ω

ω(3)

za odnos kruºne frekvencije optere¢enja Ω i kruºne frekvencije

slobodnih neprigu²enih vibracija ω, dobija se konstanta C u

obliku:

C =F0

k

1

1− β2(4)






Sa ovim, op²ti integral diferencijalne jedna£ine kretanja (2)

postaje:

x(t) = A1 cosωt+A2 sinωt+F0

k

1

1− β2cos Ωt (5)

Integracione konstante A1 i A2 se odreuju iz homogenih

po£etnih uslova t = 0 : x(0) = 0, x(0) = 0.

Dobijaju se vrednosti za konstante

A1 = −F0

k

1

1− β2A2 = 0






Sa ovim je kona£na jedna£ina kretanja data sa:

x(t) = −F0

k

1

1− β2cosωt+

F0

k

1

1− β2cosΩt

x(t) =F0

k

1

1− β2(cos Ωt− cosωt) (6)




Neprigu²ene rezonantne vibracije






Kretanje opisano jedna£inom (6) predstavlja oscilatorno

kretanje sa obvojnicom koja odredjuje oscilatorno promenljivu

amplitudu.

Na slici je period promene amplitude (tj. period obvojnice)

ozna£en sa T1, a period osnovnog oscilatornog kretanja sa T






U re²enju (6) koli£nik F0k predstavlja stati£ki ugib, tj.

pomeranje oscilatora u novo ravnoteºno stanje za slu£aj

stati£kog delovanja sile intenziteta F0

Izraz

D =1

1− β2(7)

moºe da se shvati kao dinami£ki faktor kojim se multiplicira

stati£ko pomeranje




Sadrºaj











Prinudne prigu²ene harmonijske oscilacije

Spolja²nja sila je harmonijska funkcija vremena:

F (t) = F0 cos Ωt

U slu£aju prigu²enih oscilacija, sila viskoznog prigu²enja se

uzima u obzir, pa je dif. jed. kretanja data sa

mx+ cx+ kx = F0 cos Ωt (8)

ili u ekvivalentnom obliku:

x+ 2ζωx+ ω2x =F0

mcos Ωt (9)






Predpostavlja se da je prigu²enje malo, ζ < 1, tako da je op²ti

integral homogene jedna£ine dat sa

xh(t) = e−ζωt(C1 cosωdt+ C2 sinωdt) (10)

gde je ωd = ω√

1− ζ2 kruºna frekvencija slobodnih prigu²enih

vibracija

Partikularan integral nehomogene jedna£ine se predpostavlja u

obliku

xp(t) = A cos Ωt+B sin Ωt (11)






Unose¢i (11) u jedna£inu (9) i izjedna£uju¢i koecijente uz

sin Ωt i cos Ωt sa leve i desne strane jedna£ine, dobija se:

−AΩ2 +BΩ(2ζω) +Aω2 =F0

m(12)

−BΩ2 −AΩ(2ζω) +Bω2 = 0 (13)

Re²avanjem po nepoznatim konstantama A i B se dobija:

A =F0

k

1− β2

(1− β2)2 + (2ζβ)2(14)

B =F0

k

2ζβ

(1− β2)2 + (2ζβ)2(15)






gde je β = Ωω kao i u slu£aju neprigu²enih vibracija

Prema tome, op²ti integral dif. jed. kretanja (9) je dat u

obliku:

x(t) = e−ζωt(C1 cosωdt+ C2 sinωdt) +

+F0

k

1

(1− β2)2 + (2ζβ)2[(1− β2) cos Ωt+ 2ζβ sin Ωt]

Integracione konstante C1 i C2 se oderuju iz po£etnih uslova

Prvi deo u op²tem integralu, dakle op²ti integral homogene

jedna£ine xh(t), se naziva prolazni odgovor sistema, dok se

drugi deo, partikularan integral xp(t), naziva ustaljeni odgovor






Prolazni odgovor se tako zove zbog toga ²to taj deo sa

vremenom teºi ka nuli

limt→∞

xh(t) = 0

zbog eksponencijalnog £lana sa negativnim argumentom

Zbog toga se prolazni odgovor isklju£uje iz razmatranja

Kao kona£ni odgovor sistema, t.j. kao kona£na jedna£ina

kretanja, usvaja samo partikularan integral:

x(t) =F0

k

1

(1− β2)2 + (2ζβ)2[(1− β2) cos Ωt+ 2ζβ sin Ωt]

(16)






Kao alternativa partikularnom integralu u obliku (11), mogu¢e

je da se partikularan integral traºi u obliku

xp(t) = AF cos (Ωt− ϕ) (17)

gde su AF i ϕ konstante (amplituda i fazni ugao). Unose¢i

(17) u jedna£inu (9) konstante AF i ϕ se dobijaju u obliku:

AF =F0

k[(1− β2)2 + (2ζβ)2]−

12 (18)

ϕ = arc tan (2ζβ

1− β2) (19)






Zna£i, kona£na jedna£ina kretanja za slu£aj prigu²enih

prinudnih harmonijskih vibracija je data u obliku (16) ili (17),

gde su konstante AF i ϕ date sa (18) - (19)

Kao i u slu£aju neprigu²enih vibracija stati£ki ugib (t.j. stati£ki

odgovor sistema) je

xst =F0

k

dok je dinami£ki faktor sada dat sa

D =A

xst=

1

[(1− β2)2 + (2ζβ)2]12

(20)






Vidi se da dinami£ki faktor zavisi od relativnog prigu²enja ζ i

od odnosa β kruºne frekvencije prinudne sile i sopstvene

kruºne frekvencije (neprigu²enih) vibracija:

β =Ω

ω

Na slici je prikazana promena dinami£kog faktora D sa

odnosom β, a u parametarskoj zavisnosti od relativnog

prigu²enja ζ




Dinami£ki faktor kod prinudnih prigu²enihharmonijskih oscilacija



Rezonantne vibracije bez prigu²enjaRezonantne vibracije sa prigu²enjem

Sadrºaj










Rezonantne vibracije


Spolja²nja sila koja deluje na oscilator je harmonijska funkcija

vremena:

F (t) = F0 cos Ωt

Rezonancija je slu£aj kada se poklapaju frekvencija prinudne

sile sa frekvencijom slobodnih neprigu²enih vibracija:

β =Ω

ω= 1

Zna£i, u slu£aju rezonancije je Ω = ω, tako da je dif.

jedna£ina neprigu²enih rezonantnih vibracija data sa

mx+ kx = F0 sinωt, gde je ω =

√k

m(21)






odnosno sa

x+ ω2x =F0

mcosωt (22)

Op²te re²enje jedna£ine (22) je dato kao zbir xh + xp

Op²te re²enje homogene jedna£ine xh dato je sa

xh(t) = A1 cosωt+A2 sinωt

dok se partikularno re²enje xp traºi u obliku:

xp(t) = C1t cosωt+ C2t sinωt (23)






Unose¢i pretpostavljen partikularan integral u (22) i

izjedna£avauju¢i £lanove uz sinωt i cosωt na desnoj i levoj

strani, dobijaju se koecijenti C1 i C2

C1 = 0, C2 =F0

2mω

Sa ovim je partikularan integral dat sa

xp(t) = − F0

2mωt sinωt






Op²ti integral nehomogene dif. jedna£ine (22) jednak je zbiru

xh(t) i xp(t):

x(t) = A1 cosωt+A2 sinωt+F0

2mωt sinωt (24)

Integracione konstante A1 i A2 se odreuju iz po£etnih uslova






Kod prinudnih harmonijskih vibracija uop²te, a posebno u

slu£aju rezonancije, po£etni uslovi nisu od posebnog zna£aja,

tako da se posmatraju homogeni po£etni uslovi:

t = 0 : x(0) = x0 = 0, x(0) = v0 = 0

Uno²enjem op²teg re²enja (24) u homogene po£etne uslove

dobijaju se integracione konstante:

A1 = 0, A2 = 0






Time se dobija kona£na jedna£ina kretanja u slu£aju

neprigu²enih rezonantnih vibracija u obliku

x(t) =F0

2mωt sinωt (25)

ili u obliku

x(t) =F0

2kωt sinωt (26)

Amplitude oscilovanja se veoma brzo pove¢avaju, pri £emu je

limt→∞

x(t) =∞




Sadrºaj












Diferencijalna jedna£ina prinudnih prigu²enih vibracija je data

sa

x+ 2ζωx+ ω2x =F0

mcosωt (27)

Odgovaraju¢e op²te re²enje je:

x(t) = e−ζωt(C1 cosωdt+ C2 sinωdt) +

+F0

k

1

(1− β2)2 + (2ζβ)2·[

(1− β2) cos Ωt+ 2ζβ sin Ωt]

(28)






U slu£aju rezonancije je Ω = ω, odnosno β = Ωω = 1.

Op²te re²enje za prigu²ene rezonantne vibracije xR(t) moºe da

se odredi i iz re²enja (28) odreivanjem grani£ne vrednosti

xR(t) = limβ→1,Ω→ω

x(t) (29)

Grani£na vrednost se dobija u obliku

xR(t) = e−ζωt(C1 cosωdt+ C2 sinωdt) +F0

k

1

2ζsinωt (30)






Za homogene po£etne uslove x0 = v0 = 0 se dobijaju

integracione konstante C1 i C2 u obliku

C1 = 0 (31)

C2 = −F0

k

1

2ζ

ω

ωd= −F0

k

1

2ζ√

1− ζ2(32)

tako da je rezonantni odgovor u slu£aju prigu²enih vibracija i

homogenih po£etnih uslova dat sa

xR(t) =F0

k

1

2ζ[sinωt− e−ζωt 1√

1− ζ2sinωdt] (33)






U ve¢ini slu£ajeva je prigu²enje malo, tako da je ζ 1 .

Zbog toga je prihvatljivo kona£no re²enje koje je dato sa:

xR(t) =F0

k

1

2ζ(1− e−ζωt) sinωt (34)

U re²enje (34) je takoe uneto da je ωd ≈ ω zbog malog

prigu²enja i relacije ωd = ω√

1− ζ2




Prigu²ene rezonantne vibracije






Iz re²enja (34) se vidi da je

limt→∞

xR(t) =F0

k

1

2ζ(35)

Pri tome je, kao ²to je re£eno, F0k stati£ki ugib, xst, dok je

D =1

2ζ(36)

dinami£ki faktor pri rezonanciji






Na primer, za relativno prigu²enje od ζ = 1% se dobija

limt→∞

xR(t) = xst ·1

2× 0.01= 50 · xst

dok je, za relativno prigu²enje od ζ = 0.5%, ²to je realna

vrednost za, npr. £eli£ne konstrukcije sa zavarenim vezama, pa

je

limt→∞

xR(t) = xst ·1

2× 0.005= 200 · xst






Konstrukcije se prora£unavaju, a zatim i dimenzioni²u,

usvajaju¢i pretpostavke o linearnosti (materijalnoj i

geometrijskoj)

Uslovi ravnoteºe se postavljaju na nedeformisanoj konguraciji

nosa£a, pa se, sa tako odreenim silama u preseku, posle

odreuje nastala deformacija usled optere¢enja

Konstrukcije ne mogu da "preºive" ugibe od 50÷ 100 · xstRezonantna stanja ne smeju da se dozvole


TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF filePrinudne harmonijsek oscilacije Rezonantne...

Documents

Transcript of TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF filePrinudne harmonijsek oscilacije Rezonantne...