6. probabilidade condicionada

MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOSE NUMÉRICOSE NUMÉRICOS

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

PROBABILIDADE CONDICIONADA

UNIDADE 6UNIDADE 6

ÍNDICEÍNDICE

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

ConceptosConceptos

1. Probabilidade condicionada.2. Sucesos dependentes e

independentes.3. Probabilidade composta.4. Probabilidade total.5. Probabilidade a posteriori. Teorema

de Bayes.


Chámase probabilidade do suceso B condicionada polo suceso A, ao cociente:

Analogamente, a probabilidade condicionada de A respecto de B é:

Das dúas definicións anteriores obtemos as seguintes relacións chamadas principios de probabilidade composta:

( ) ( )( )ApABp

ABp∩=/

( ) ( )( )BpBAp

BAp∩=/

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )BApBpBAp

ABpApBAp

/

/

⋅=∩⋅=∩

1. Probabilidade condicionada.1. Probabilidade condicionada.


Exemplo:Unha comisaría de policía metropolitana está formada por 1200 axentes: 960 homes e 240 mulleres. Ó longo dos dous últimos anos foron ascendidos 324 axentes. Na seguinte táboa amósase o reparto específico dos ascensos para axentes masculinos e femininos:

1200876324Total24020436Mulleres960672288Homes

TotalNon ascendidos

Ascendidos

1. Probabilidade condicionada1. Probabilidade condicionada


a. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, este sexa unha muller e fose ascendida.

b. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, sexa unha muller.

c. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, este fose ascendido sabendo que é unha muller.



a. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, este sexa unha muller e fose ascendida.

Solución: Empregando a regra de Laplace

p(“sexa muller” e “fose ascendido”)=p(“sexa muller” “fose ascendido”)=

• Casos favorables = 36 axentes femininas foron ascendidas

• Casos posibles = 1200 axentes da comisaría

posiblescasos

favorablescasosAp =)(

∩1200

36



b. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, sexa unha muller.

Empregando a regra de Laplace:

p(“ser muller”) =

casos favorables = 240 mulleres axentes na comisaría de policía

casos posibles = 1200 axentes da comisaría de policía

1200

240



c. Calcula a probabilidade de que, escollido un axente da comisaría ó chou, este fose ascendido sabendo que é unha muller.

Neste apartado temos unha información previa sobre o resultado do experimento, sabemos que o axente escollido ó chou foi unha muller. Pídennos, por tanto, a probabilidade de que o axente escollido fose ascendido coa condición de que se trata dunha muller.



c. Empregando de novo a regra de Laplace :

p(“fose ascendido”/”muller”)=casos favorables= 36 axentes femininas foron ascendidascasos posibles= 240 axentes femininas na comisaría

Por outra banda :p(“fose ascendida”/”ser muller”)=

)"("

)"""("

1200240

120036

240

36

mullerserp

mullerserascendidafosep ∩===

240

36



Exemplo2:Vexamos agora un exemplo moi gráfico.

Nota : Esta aplicación gráfica foi obtida do banco de imaxes do ITE.



Exemplo3. Tedes agora un segundo exemplo gráfico:

Nota : Esta aplicación gráfica foi obtida do banco de imaxes do ITE.



Exemplo:A táboa seguinte amosa o número de alumnos dun centro escolar matriculados en cada un dos niveis da ESO.

398 73 97 103 125Rapazas

306 50 92 76 88Rapaces

Total4º ESO3º ESO2º ESO1º ESO



1. Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, este sexa unha rapaza que curse 3º da ESO.

3. Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, sexa unha rapaza.

5. Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, este curse 3º da ESO sabendo que é unha rapaza.



Solución: Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, este sexa unha rapaza que curse 3º da ESO.

Empregando a regra de Laplace

p(“sexa rapaza” e “curse 3º ESO”)=p(“sexa rapaza” “curse 3º ESO”)=

casos favorables = 97 rapazas estudan 3º ESO casos posibles = 306+398=704 alumnos do centro escolar

posiblescasos

favorablescasosAp =)(

704

97∩



b. Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, sexa unha rapaza.

Empregando a regra de Laplace:

p(“ser rapaza”)=

casos favorables = 398 alumnas no centro escolarcasos posibles = 704 alumnos/as no centro escolar

704

398



c. Calcula a probabilidade de que, escollido un escolar do centro ó chou, este curse 3º da ESO sabendo que é unha rapaza.

Neste apartado temos unha información previa sobre o resultado do experimento, sabemos que o alumno escollido ó chou foi unha rapaza. Pídennos, por tanto, a probabilidade de que o alumno escollido curse 3º da ESO coa condición de que se trata dunha rapaza.



c. Empregando de novo a regra de Laplace :

p(“cursar 3ºESO”/”ser rapaza”)=

casos favorables= 97 rapazas estudan 3º ESOcasos posibles= 398 rapazas no centro

Por outra banda :p(“cursar 3ºESO”/”ser rapaza”)=

)"("

)"""º3("

70439870497

398

97

rapazaserp

rapazaserESOcursarp ∩===

398

97



2. Sucesos dependentes e independentes.2. Sucesos dependentes e independentes.

Dous sucesos A e B son independentes se

p(B)=p(B/A)

Dous sucesos A e B son dependentes se

p(B)≠p(B/A)


Exemplo 1:Dunha urna que contén 9 bólas vermellas e 5 bólas negras extraemos sucesivamente 2 bólas. Acha a probabilidade de que :– As dúas bólas sexan negras.– As dúas bólas sexan vermellas.– A primeira sexa vermella e a segunda sexa

negra.– Unha sexa vermella e a outra negra.

2. Sucesos dependentes e independentes2. Sucesos dependentes e independentes


9 bólas vermellas5 bólas negras



A probabilidade condicionada aparece en experimentos compostos (varios exp. simples encadeados) onde o resultado dun experimento simple vese afectado polo resultado do experimento simple anterior.

No noso caso trátase dun experimento composto de dous experimentos simples consistentes na extracción dunha bóla.

Sacamos unha bóla da urna e, sen devolvela sacamos unha segunda bóla. O resultado do segundo experimento vese condicionado polo resultado do primeiro experimento, pois a composición da urna xa non é a mesma.



Definamos os sucesos:

N1=“sacar bóla negra na 1ª extracción”V1=“sacar bóla vermella na 1ª extracción”N2=“sacar bóla negra na 2ª extracción”V2=“sacar bóla vermella na 2ª extracción”

E fagamos un diagrama de árbore da situación.



14 bólas

5 negras

9 verm

ellas

V1

N1

13 bólas

4 negras

9 verm

ellas

13 bólas

5 negras

8 verm

ellas

V2

N2

V2

N2

Sucesos dependentes e independentesSucesos dependentes e independentes


14 bólas

5negras

9 vermellas

V1

N1

13bólas

4negras

9vermellas

13bólas

5negras

8vermellas

V2

N2

V2

N2

14 bólas

5negras

9 vermellas

V1

N1

13bólas

4negras

9vermellas

13bólas

5negras

8vermellas

V2

N2

V2

N2

P(V1)=9/14

P(N1)=5/14

P(N2/N1)=4/13

P(V2/N1)=9/13

P(N2/V1)=5/13

P(V2/V1)=8/13



Solución:a. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexannegras.

p(“as dúas bólas sexan negras”)=

p(“sacar bóla negra na 1ª extracción e sacar bóla negra na 2ª extracción”)=

p(N1 N2) = p(N1).p(N2/N1) =13

4

14

5 ⋅∩



b. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan vermellas.

p(“as dúas bólas sexan vermellas”)=

p(“sacar bóla vermella na 1ª extracción e sacar bóla vermella na 2ª extracción”)=

p(V1 V2) = p(V1).p(V2/V1) =13

8

14

9 ⋅∩



c. Acha a probabilidade de que a primeira sexa vermella e a segunda sexa negra.

p(“1ª bóla sexa vermella e a 2ª sexa negra”)=

p(V1 N2) = p(V1).p(N2/V1) =∩

13

5

14

9 ⋅



d. Acha a probabilidade de que unha sexa vermella e a outra negra.

p(“unha bóla sexa vermella e a outra negra”)=P(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra ou 1ª bóla negra e 2ª bóla vermella”)=

p(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra”) + + p(“1ª bóla negra e 2ª bóla vermella”)=

p(V1 N2) + p(N1 V2)=

p(V1).p(N2/V1) + p(N1).p(V2/N1)=

∩ ∩

13

9

14

5

13

5

14

9 ⋅+⋅



Exemplo 2:Tomemos agora a mesma urna con 9 bólas vermellas e 5 bólas negras e saquemos dúas bólas pero con devolución; é dicir, extraemos unha bóla, devolvémola á urna, e extraemos a segunda bóla.

Acha a probabilidade de que :– As dúas bólas sexan negras.– As dúas bólas sexan vermellas.– A primeira sexa vermella e a segunda sexa negra.– Unha sexa vermella e a outra negra.



Temos agora un experimento composto de dous experimentos simples consistentes na extracción dunha bóla da urna dada, igual que no caso anterior.

Pero a situación é ben distinta, os resultados do segundo experimento non se ven afectados polos resultados do primeiro experimento pois a composición da urna non sofre variación algunha.



Igual que fixemos no exemplo 1, definamos os sucesos:

N1=“sacar bóla negra na 1ª extracción”V1=“sacar bóla vermella na 1ª extracción”N2=“sacar bóla negra na 2ª extracción”V2=“sacar bóla vermella na 2ª extracción”

E fagamos un diagrama de árbore da situación.



14 bólas

5negras

9 vermellas

V1

N1

14bólas

5negras

9vermellas

14bólas

5negras

9vermellas

V2

N2

V2

N2

14 bólas

5negras

9 vermellas

V1

N1

14bólas

5negras

9vermellas

14bólas

5negras

9vermellas

V2

N2

V2

N2

P(N1)=5/14

P(V1)=9/14

P(N2/N1)=p(N2)=5/14

P(V2/N1)=P(V2)=9/14

P(N2/V1)=P(N2)=5/14

P(V2/V1)=P(V2)=9/14



Solución:a. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexannegras.

p(“as dúas bólas sexan negras”)=

p(“sacar bóla negra na 1ª extracción e sacar bóla negra na 2ª extracción”)=

p(N1 N2) = p(N1).p(N2/N1) = p(N1).p(N2) =

∩14

5

14

5 ⋅

2.Sucesos dependentes e independentes2.Sucesos dependentes e independentes


b. Acha a probabilidade de que as dúas bólas sexan vermellas.

p(“as dúas bólas sexan vermellas”)=

p(“sacar bóla vermella na 1ª extracción e sacar bóla vermella na 2ª extracción”)=

p(V1 V2) = p(V1).p(V2/V1) = p(V1).p(V2) =

∩14

9

14

9 ⋅



c. Acha a probabilidade de que a primeira sexa vermella e a segunda sexa negra.

p(“1ª bóla sexa vermella e a 2ª sexa negra”)=

p(V1 N2) = p(V1).p(N2/V1) = p(V1).p(N2) =

∩14

5

14

9 ⋅



d. Acha a probabilidade de que unha sexa vermella e a outra negra.p(“unha bóla sexa vermella e a outra negra”)=

P(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra ou 1ª bóla negra e 2ª bóla vermella”)=

p(“1ª bóla vermella e 2ª bóla negra”) + p(“1ª bóla negra e 2ª bóla vermella”)=

p(V1 N2) + p(N1 V2)=p(V1).p(N2/V1) + p(N1).p(V2/N1)=

p(V1).p(N2)+ p(N1).p(V2)=

∩ ∩

14

9

14

5

14

5

14

9 ⋅+⋅



No primeiro exemplo, “extracción de dúas bólas sen devolución dunha urna”, as probabilidades dos sucesos correspondentes á segunda parte do experimento (N2,V2) vense afectadas polo resultado da primeira parte do experimento. De feito que:

p(N2)≠p(N2/N1)≠p(N2/V1)p(V2)≠p(V2/N1)≠p(V2/V1)

Os sucesos N2 e N1, N2 e V1 , V2 e N1, V2 e V1 son o que se chama sucesos dependentes.



No segundo exemplo, “extracción de dúas bólas con devolución dunha urna”, as probabilidades dos sucesos correspondentes á segunda parte do experimento (N2,V2) non se ven afectadas polo resultado da primeira parte do experimento. De feito:

p(N2)=p(N2/N1)=p(N2/V1)p(V2)=p(V2/N1)=p(V2/V1)

Os sucesos N2 e N1, N2 e V1 , V2 e N1, V2 e V1 son o que se chama sucesos independentes.



3.Probabilidade composta ou de integración de 3.Probabilidade composta ou de integración de sucesos.sucesos.

Sucesos independentes.Se A e B son independentes, entón p(B)=p(B/A),por tanto p(A B)=p(A).p(B/A)convértese en p(A B)=p(A).p(B)

Sucesos dependentes.Se A e B son dependentes, entón p(A B)=p(A).p(B/A) Se A, B e C son dependentes, entón p(A B C)=p[(A B) C]==p (A B). p(C/A B)=p(A).p(B/A).p(C/A B)

∩∩

∩

∩∩

∩∩ ∩∩∩


4. Probabilidade total4. Probabilidade total

Sexan n-sucesos A1,A2,….,An incompatibles dous a dous, e tales que A1UA2U…UAn=E é dicir, un sistema completo de sucesos, tal que a probabilidade de cada un deles é distinta de cero.Sexa B un suceso calquera para o que se coñecen as probabilidades de B condicionadas a cada un dos sucesos Ai i=1,…,n (p(B/Ai)).Entón a probabilidade do suceso B vén dada pola seguinte expresión:

∑=

⋅=

=⋅++⋅+⋅=n

iii

nn

ABpAp

ABpApABpApABpApBp

1

2211

)/()(

)/()(...)/()()/()()(


Exemplo:Os alumnos de secundaria dun instituto están repartidos da seguinte maneira: 40% en primeiro, 25% en segundo, 15% en terceiro e o resto en cuarto. A porcentaxe de aprobados de cada un está no 30% en 1º, o 40% en 2º, 60% en 3º e 70% en 4º . Elixido ó chou un alumno de secundaria deste centro, pídese:– A probabilidade de que aprobara.

4. Probabilidade Total4. Probabilidade Total


Para o experimento aleatorio “elixir un alumno de secundaria do centro ó chou” os sucesos :

A1=“cursar 1º ESO” p(A1)=40/100A2=“cursar 2º ESO” p(A2)=25/100A3=“cursar 3º ESO” p(A3)=15/100A4=“cursar 4º ESO” p(A4)=20/100

Son incompatibles dous a dous pois un alumno de secundaria non pode cursar dous niveis simultaneamente. Ademais A1UA2UA3UA4=E pois a unión dos catro sucesos abarca todos os alumnos de secundaria do centro.Forman, polo tanto, un sistema completo de sucesos.



Por outra banda temos o sucesoB=“o alumno aproba o curso “

E coñecemos as probabilidades condicionadas: p(“o alumno aproba o curso”/”cursa 1ºESO”)=p(B/A1)=30/100 p(“o alumno aproba o curso”/”cursa 2ºESO”)=p(B/A2)=40/100 p(“o alumno aproba o curso”/”cursa 3ºESO”)=p(B/A3)=60/100 p(“o alumno aproba o curso”/”cursa 4ºESO”)=p(B/A4)=70/100



De acordo co Teorema da Probabilidade Total:

p(B)=p(A1).p(B/A1)+p(A2).p(B/A2)+p(A3).p(B/A3)+p(A4).p(B/A4)

20

9

10000

4500

10000

1400

10000

900

10000

1000

10000

1200100

70

100

20

100

60

100

15

100

40

100

25

100

30

100

40)(

==+++=

=⋅+⋅+⋅+⋅=Bp



Pero, vexamos agora de onde sae dito resultado.

Fagamos un diagrama de árbore onde vexamos reflectida toda a situación:



Exp. Aleat.:

”elixir un alumno

de Secundaria

ó chou”

A4 =

“cursar 4ºESO”

P(A4 )=20/100

A3 =

“cursar 3ºESO”

P(A3 )=15/100

A2 =

“cursar 2ºESO”

P(A2 )=25/100

A1 =

“cursar 1ºESO”

P(A1 )=40/100

Non B=

“ non aprobar”P(N

o B/A1 )=

70/100

B=“aprobar”

P(B/A1 )=30/100

Non B=


o B/A2 )=

60/100

B=“aprobar”

P(B/A2 )=40/100

Non B=


o B/A3 )=

40/100

B=“aprobar”

P(B/A3 )=60/100

Non B=


o B/A4 )=

30/100

B=“aprobar”

P(B/A4 )=70/100




Exp. Aleat.:”elexir un alumno

de Secundaria

ó chou”

A4=“cursar 4ºESO”

P(A4)=20/100


P(A3)=15/100


P(A2)=25/100


P(A1)=40/100 Non B=“ non aprobar”P(No B/A1)=

70/100

B=“aprobar”

P(B/A1)=30/100

Non B=“ non aprobar”P(No B/A2)=

60/100

B=“aprobar”

P(B/A2)=40/100


40/100

B=“aprobar”

P(B/A3)=60/100


30/100

B=“aprobar”

P(B/A4)=70/100


de Secundaria

ó chou”


P(A4)=20/100


P(A3)=15/100


P(A2)=25/100



70/100

B=“aprobar”

P(B/A1)=30/100


60/100

B=“aprobar”

P(B/A2)=40/100


40/100

B=“aprobar”

P(B/A3)=60/100


30/100

B=“aprobar”

P(B/A4)=70/100


Se non coñecésemos o Teorema da Probabilidade Total e á vista deste diagrama, poderiamos razoar do seguinte xeito: p(B)=p(“o alumno aproba”)=

=p(“cursa 1º e aproba” ou “cursa 2º e aproba” ou “cursa 3º e aproba”ou “cursa 4º e aproba”)=

=p((A1 B)U(A2 B)U(A3 B)U(A4 B))=

como son sucesos incompatibles

∩ ∩ ∩∩



=p(A1 B)+p(A2 B)+p(A3 B)+p(A4 B)=

fíxate que estes sucesos corresponden ás ramas do diagrama de árbore que rematan no suceso B, e polo principio da probabilidade composta:

=p(A1).p(B/A1)+p(A2).p(B/A2)+p(A3).p(B/A3)+ +p(A4).p(B/A4)

Observa que acabamos de chegar á fórmula do Teorema da Probabilidade Total.

∩ ∩∩ ∩



5. Probabilidade a posteriori.Teorema de Bayes.5. Probabilidade a posteriori.Teorema de Bayes.

Sexan n-sucesos A1,A2,….,An incompatibles dous a dous, e tales que A1UA2U…UAn=E é dicir, un sistema completo de sucesos, tal que a probabilidade de cada un deles é distinta de cero.Sexa B un suceso calquera para o que se coñecen as probabilidades de B condicionadas a cada un dos sucesos Ai i=1,…,n (p(B/Ai)).Cúmprese :

i=1,2,…,n

( ) ( ) ( )( ) ( )∑

=

⋅

⋅= n

iii

iii

ABpAp

ABpApBAp

1

/

//


Nota: O Teorema de Bayes esixe as mesmas condicións ca o Teorema da Probabilidade Total. Cando se cumpre un tamén se cumpre o outro.

Exemplo:No exercicio anterior, pídennos agora:

Sabendo que aprobou, cal é a probabilidade de que curse 4º da ESO.

Lembremos a situación, mediante o diagrama de árbore:



5. Teorema de Bayes.5. Teorema de Bayes.


de Secundaria

ó chou”


P(A4)=20/100


P(A3)=15/100


P(A2)=25/100



70/100

B=“aprobar”

P(B/A1)=30/100


60/100

B=“aprobar”

P(B/A2)=40/100


40/100

B=“aprobar”

P(B/A3)=60/100


30/100

B=“aprobar”

P(B/A4)=70/100


de Secundaria

ó chou”


P(A4)=20/100


P(A3)=15/100


P(A2)=25/100



70/100

B=“aprobar”

P(B/A1)=30/100


60/100

B=“aprobar”

P(B/A2)=40/100


40/100

B=“aprobar”

P(B/A3)=60/100


30/100

B=“aprobar”

P(B/A4)=70/100


Pídennos:p(“curse 4ºESO”/” aproba o curso”) =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

45

14

4500

1400

100004500

100001400

10070

10020

10060

10015

10040

10025

10030

10040

10070

10020

////

/

44332211

44

===⋅+⋅+⋅+⋅

⋅=

=⋅+⋅+⋅+⋅

⋅=ABpApABpApABpApABpAp

ABpAp


( ) ( )( ) =∩==Bp

BApBAp 4

4 /pola definición de probabilidade condicionada

Polo principio de probabilidade composta e T. da probabilidade total

observa que obtivemos a

fórmula de Bayes

6. probabilidade condicionada

Education

Transcript of 6. probabilidade condicionada