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Prof. Armando Albertazzi

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22ProbabilidadeProbabilidade

EMC 5223Estatística e Metrologia para Engenharia

Prof. Armando Albertazzi G. Jr.

Estatística e Metrologia para EngenhariaEstatística e Metrologia para Engenharia

Tópicos

§ Experimento, espaço amostral e evento§ Diagrama de Venn§ Contagem: permutações e combinações§ Probabilidade: conceito, axiomas e teoremas

elementares§ Regras de adição§ Probabilidade condicional§ Regra da multiplicação§ Independência§ Teorema de Bayes


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Experimento

2120 N2190 N2040 N2020 N

Repetições do mesmo experimento em condições idênticas.

Resultados variam de forma aleatória.

amostras


Espaço Amostral

§ Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento

§ Exemplos:□ {a, e, i, o, u}□ {2000 N ≤ X ≤ 2200 N}

§ Pode ser finito ou infinito§ Pode ser contínuo ou discreto (finito ou infinito

contável)§ É denotado por S


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Evento

§ Subconjunto do espaço amostral□ exemplos em relação ao espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5}

C = { 2, 3 } D = { 1, 2, 4 } E= { 1, 5 }

§ união: C È D = { 1, 2, 3, 4}§ interseção: C Ç D = { 2 }§ complemento: D’ = { 3, 5 }§ C e E são eventos mutuamente excludentes: C Ç E = Æ


Diagramas de Venn

A

S

A

A

S

A’

A B

S

A B

A Ç B

S

A B

S

(A È B)’ = A’ Ç B’

A B

A È B

S

A B

A È B

S


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Contagem

§ Qual número de combinações de um algarismo, uma letra do nosso alfabeto e uma letra grega (nesta ordem) dos conjuntos:

1

2

3

A

B

a

b

n1 = 3 n2 = 2 n3 = 2

N = 3 * 2 * 2 = 12

• Teorema: Se os conjuntos A1, A2, ..., Ak contém respectivamente n1, n2, ..., nk elementos, logo há n1*n2* ... *nk maneiras de escolher um elemento de A1, depois outro de A2, ..., e finalmente um elemento de Ak.

1Aa1Ab1Ba1Bb

...


Permutações

§ Exemplo: número de possíveis permutações do sorteio dos ganhadores dos 3 primeiros prêmios de uma rifa onde concorreram 6 pessoas:

n1 = 6 n2 = 5 n3 = 4 n = 6*5*4 = 120


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Permutações

§ Em geral se “r” objetos são selecionados de um conjunto de “n” objetos distintos, cada combinação ou ordem destes objetos é denominada de permutação. O número de permutações é calculado por:

§ No caso particular em que “n” = “r”

)!(!

)!()!)(1)...(2)(1(

)1)...(2)(1(

rnn

P

rnrnrnnnn

P

rnnnnP

rn

rn

rn

-=

--+---

=

+---=

!nPnn =


Combinações

§ Número de maneiras diferentes em que “r” elementos podem ser selecionados de um conjunto de “n” elementos sem levar em conta a ordem

§ Exemplo: número de diferentes vitaminas de frutas que podem ser feitas combinado duas frutas de um conjunto de 8 diferentes variedades:

)!(!!rnr

nr

nCrn -

=÷÷ø

öççè

æ=

28256

!6.2!6.7.8

)!28(!2!8

2

8===

-=÷÷

ø

öççè

æ


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Probabilidade

§ Conceito clássico:□ “Se existem “n” possibilidades com as mesmas chances das

quais uma deve ocorrer e “f” destas são classificadas como favoráveis (ou sucesso), então a probabilidade de sucesso é dada por f/n”

§ Exemplo: A probabilidade de obter um número par ao se jogar um dado honesto:□ Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}□ Eventos favoráveis: {2, 4, 6}□ Probabilidade = f/n = 3/6 = 0,5 = 50%

n = 6

f = 3


Probabilidade

§ Interpretação baseada na freqüência□ “A probabilidade de um evento ocorrer é a

proporção de vezes que este evento ocorreria em uma grande quantidade de experimentos repetidos”


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Algumas definições ligadas à probabilidade

§ Um espaço amostral é discreto se consistir em um conjunto finito ou infinito contável de resultados.

§ Quando um espaço amostral consistir de “n” resultados possíveis que sejam igaulmenteprováveis, a probabilidade de cada resultado é 1/n.

§ Para um espaço amostral discreto, a probabilidade de um evento E, denotada por P(E), é igual a soma das probabilidades dos resultados de E.


Axiomas da probabilidade

§ Dado um espaço amostral finito S e seja A um evento de S

§ ax 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1

§ ax 2: P(S) = 1

§ ax 3: Se A e B são eventos mutuamente excludentes de S, então:

A Ç B = ÆP(A È B) = P(A) + P(B) A

B

S


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Teoremas Elementares

§ Se A é um evento de S, então:P(A’) = 1 - P(A)

§ Uma coleção de eventos A1, A2, ..., An é denominada mutuamente excludente se para todos os pares:

Ai Ç Aj = Æ

§ Se A1, A2, ..., An são eventos mutuamente excludentes do espaço amostral S, então

P(A1 È A2 È ... È An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)

A1

A4

A2 A3

A5

S


Regras de Adição

§ Para dois eventos:P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)

§ Para três eventos:P(A È B È C) = P(A) + P(B) + P(C) –– P(A Ç B) – P(A Ç C) – P(B Ç C) ++ P(A Ç B Ç C)

A B

S

A B

S

C


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Soma de dois dados

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

123456

36 possibilidades


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

123456

P(A=6 ou A=7) = P(A=6 È A=7) = P(A=6) + P(A=7) = 5/36 + 6/36 = 11/36

P(6≤A≤8) = P(A=6)+ P(A=7) + P(A=8) = 5/36 + 6/36 + 5/36 = 16/36

P(A=6) = 5/36

P(A≠6) = 1 – P(A=6) = 1 - 5/36 = 31/36

36 possibilidades


10


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

123456 36 possibilidades

P(A=par ou A≥10) = P(A=par È A≥10) = P(A=par) + P(A≥10) – P(A=par Ç A≥10)

P(A=par) = P(A=2)+ P(A=4) + P(A=6) + P(A=8)+ P(A=10) + P(A=12)= 18/36

P(A≥10) = P(A=10)+ P(A=11) + P(A=12) = 6/36

P(A=par Ç A≥10) = P(A=10)+ P(A=12) = 4/36

P(A=par ou A≥10) = 18/36 + 6/36 – 4/36 = 20/36


Probabilidade Simples

§ Exemplo:□ Um dado de seis faces é lançado ao acaso. Qual a

probabilidade de obter 4?

□ P = 1/6


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Probabilidade Condicional

§ Há casos onde a probabilidade deve ser reavaliada a medida que informações adicionais se tornam disponíveis.

§ Exemplo:□ Um dado de seis faces foi lançado ao acaso. □ Sabe-se que um número par foi obtido.

□ Qual a probabilidade que seja 4?□ P = 1/3


S

Probabilidade Condicional

§ Dois eventos:□ A = lançar um dado e obter um número par = {2, 4, 6}□ B = obter o número 4 = {4}

§ Escreve-se:□ P(B | A) = probabilidade de B dado A

§ Calcula-se:□ P(B | A) = P(A Ç B) / P(A)

§ No exemplo:□ P(B | A) = (1/6) / (3/6) = 1/3

A B


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Regra da Multiplicação

§ Considere as equações da probabilidade condicional:□ P(B | A) = P(A Ç B) / P(A)□ P(A | B) = P(A Ç B) / P(B)

§ Que podem ser reescritas como:P(A Ç B) = P(A | B) . P(B) = P(B | A) . P(A)§ Que é a regra da multiplicação


Regra da Multiplicação

§ Verificando: considere os dois eventos:□ A = lançar um dado e obter um número par

A = {2, 4, 6}□ B = obter o número 4

B = {4}

§ AplicandoP(A Ç B) = P(A | B) . P(B) = P(B | A) . P(A)P(A Ç B) = 1/1 . 1/6 = 1/3 . 1/2 = 1/6


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Independência

§ Dois eventos são independentes se o resultado de um deles não afeta a probabilidade do outro ocorrer.

§ Se A e B são dois eventos independentes, estão:P(A | B) = P(A)P(B | A) = P(B)P(A Ç B) = P(A) . P(B)


Teorema de Bayes

§ A regra da multiplicaçãoP(A Ç B) = P(A | B) . P(B) = P(B | A) . P(A)

§ Pode ser reescrita como:P(A | B) = P(B | A) . P(A) / P(B)

§ Que é o teorema de Bayes

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