课题：不等式的应用

课题：不等式的应用

[ 教学目的 ] ：通过实际应用的例题，培养

学生阅读和理解题意的能力，培养分析能力和实际问题归结为数学模型的能力。

[ 重点难点 ] ：如何把实际问题归结为数学模型。

[ 教具媒体 ] ：多媒体， TI 机器，实物投影仪。

1. 某商场三年内承包的总营业额为 91 万元，第一年的营业额为 25 万元，那么在后两年内营业额的年平均增长率是多少时才能超额完成承包计划？

第一年第二年第三年

25 25 （ 1+x ） 25 （ 1+x ） 2

解：设在后两年内营业额的年平均增长率是 x , 由题意知 25+25 （ 1+x)+25 （ 1+x ） 2>91 ，

解不等式得 : x1>0.2, x2<-3.2 （舍去）答：后两年内营业额的年平均增长率大于 20% 时才能超额完成承包计划。

X>0

2.用 12米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，要使场地的面积最大，问矩形的边长应是多少？

12-2xx

分析 : 设宽为 x 米，长为 12-2x米，则面积 s=(12-2x)x. 现要求 s 的最大值。

由一元二次函数图象知 s 的最

大值即图象顶点坐标的纵坐

标。此时宽值即为横坐标。

即可求出

由顶点坐标公式

,4

4,

2a

bx

:2

a

bacy

由基本不等式：2

2,,

baabRba

求 s 的最大值。把一元二次方程配方求 s

的最大值。

宽

解：设矩形的宽为 x米 ,则长为（ 12-2x）米。

由题意知 x>0,12-2x>0. 即 0<x<6.

18

2

2122

2

1)212(2

2

1)212(

2

xx

xxxxs面积

当且仅当 2x=12-2x 时，即 x=3 时等号成立。

此时 12-2x=6

答：当矩形场地长为 6 米，宽为 3 米时，场地面积最

大。


x2

12 x

由基本不等式：2

2,,

baabRba

求 s 的最大值。

由一元二次函数图象知 s 的最

大值即图象顶点坐标的纵坐

标。此时宽值即为横坐标。

即可求出

由顶点坐标公式

,4

4,

2a

bx

:2

a

bacy

米。米，则宽为设长为2

x-12x

,2

12 xxs

面积求 s 的最大值

把一元二次方程配方求 s

的最大值。

长

米米，则宽为设矩形长为解2

x-12: x

由一元二次函数图象知 s 的最大值即图象

顶点坐标的纵坐标 .

18

2

1-4

6-

4

4 22

a

bac

1862

1

2

12 2

xxx

xs

.

6

2

12

6

2x

时等号成立

当且仅当

a

b

答：当矩形场地长为 6 米，宽为 3 米时，场地面积最大。


33

612

2

12

x此时

xxx

xs 62

1

2

12 2

面积

由题意知 x>0,

12. x 0 , 02

x- 12 即


xy

解：设矩形场地长为 x米，宽为 y 米，由题设x+2y=12,x>0,y>0 由基本不等式 ,

分析 : 设矩形长为 x 米，宽为 y米，则面积 s=xy 要求 xy 的最大值。因为由已知 x+2y=12 是一个

定值，且 x,y 为正数，根据基本不等式知

当且仅当 x=2y 时等号成立，从而可得 xy 的最大值。

2

22yx

x2y

18

36

xy

2

22yx

x2y

当且仅当 x=2y 时等号成立 ,即当 x=6,y=3 时， xy=18.

答：当矩形场地长为 6 米，宽为 3 米时，场地面积最大。

4. 已知汽车从刹车到停车所滑行的距离 s （ m ）与时速 v （ km/h）的平方和汽车的总质量 a（ t）的乘积成正比例，设某辆卡车不装货物以时速 50km 行驶时，从刹车到停车滑行了 20 米，如果这辆车装载着与车身相等质量的货物行驶，并与前面的车辆距离为 15m ，为了保证前面车辆紧急停车时不与前面车辆撞车，最大限制时速是多少？（答案保留到整数）（假定卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁 1s）

S= kv2a

解：设最大限制时速是 xkm/h,由题意知 s=kv2a,

13600

10001

xs

22

250

202 xs

250

20ka 15

50

2021

3600

1000 22

xx

则

答：最大限制时速是 23km/h。

x

23.14x51.40

取解得

23

15m

S1=xt S2=kx2(2a)

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