课题 9 扭转变形
-
Upload
dustin-wise -
Category
Documents
-
view
55 -
download
0
description
Transcript of 课题 9 扭转变形
课题课题 9 9 扭转变形扭转变形
9.19.1 扭转的概念与外力偶矩的计算扭转的概念与外力偶矩的计算
9.1.19.1.1 扭转的概念扭转的概念
在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于轴线的两力偶作用下,杆件的横截面将绕轴线产生相对转动,这种变形称为扭转变形。
•杆件产生扭转变形的受力特点是:在垂直于杆件轴线的平面内,作用着一对大小相等、转向相反的力偶。
•杆件的变形特点是:各横截面绕轴线发生相对转动。杆件任意两横截面间的相对角位移称为扭转角,简称转角。
•工程上常把以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。
9.1.29.1.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 • 计算公式为:
式中: Me—作用在轴上的外力偶矩,单位为牛 顿·米( N·m); P—轴传递的功率,单位为千瓦( kW); n—轴的转速,单位为转 / 分( r/min )
n
PM e 9549
9.29.2 扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图
9.2.19.2.1 内力内力——扭矩扭矩
CADB
Me1
( a)
qMe2
Me3
Me4
q
r
r
s
s
Me1
( c)
Me2 M
x2
Me1
( b)
Mx1
x
105
5035
Mx(Nm)
( d)
-
9.2.29.2.2 扭矩图扭矩图
【例 9-1】齿轮轴如图所示。已知轴的转速为 n= 300r/min,齿轮 A 输入功率 PA= 50kW,齿轮 B 、 C 输出功率 PB= 30kW, PC= 20kW。不计轴和轴承的摩擦阻力,试作该轴的扭矩图。
+x
636.6
954.9
Mx(Nm)
( d) -
CB A
Me
B
( a)
qMe
AMe
C
q
r
r
Me
B
( c)
Me
A Mx
2
Me
B
( b)
Mx
1
【分析】( 1 )计算作用在齿轮 A 、 B 、 C 上的外力偶矩MeA、 MeB、 MeC
N·m N·m N·m
( 2 )求各段截面上的扭矩(采用截面法) 首先,沿截面 q-q截开,取左侧部分为研究对象,如图( b )
所示,求 BA间截面上的扭矩 Mx1 ΣM1x = 0 , MeB+ Mx1 = 0 Mx1 =- MeB=- 954.9 N·m 其次,沿截面 r-r截开,取左侧部分为研究对象,如图( c )
所示,求 AC间截面上的扭矩 Mx2 ΣM2x = 0 , MeB+ Mx2 - MeA = 0 Mx2 = MeA- MeB= 1591.5- 954.9= 636.6 N·m( 3 )画扭矩图 根据以上计算的结果,按比例画扭矩图,如图( d )所示。
5.1591300
5095499549
n
PM A
eA
9.954300
3095499549
n
PM B
eB
6.636300
2095499549
n
PM C
eC
9.3 9.3 圆轴扭转变形时横截面上的应力圆轴扭转变形时横截面上的应力
9.3.19.3.1 平面假设平面假设
在变形微小的情况下,可以观察到下列现象: 第一,两条纵向线倾斜了相同的角度,原来轴表面上的小方格变成了歪斜的平行四边形;
第二,轴的直径、两圆周线的形状和它们之间的距离均保持不变。
根据观察到的现象,我们推断,圆轴扭转前的各个横截面在扭转后仍为互相平行的平面,只是相对地转过了一个角度。这就是扭转时的平面假设。
Me Me
ф
根据平面假设,可得两点结论:( 1 )由于相邻截面相对地转过了一个角度,即横截面间发生了旋转式的相对错动,出现了剪切变形,故截面上有剪应力存在。又因半径长度不变,剪应力方向必与半径垂直。
( 2 )由于相邻截面的间距不变,所以横截面 上没有正应力。
9.3.29.3.2 横截面上的剪应力横截面上的剪应力
9.3.2.19.3.2.1 横截面上剪应力的分布规横截面上剪应力的分布规律律
Wρ称为抗扭截面系数,其单位为 mm3或 m3。
τ
ρ
τmax
τρρ
τmaxdA
Mx
I
M x
W
M xmax
9.3.2.39.3.2.3 极惯性矩和抗扭截面系数极惯性矩和抗扭截面系数
( 1 )圆形截面
( 2 )圆环形截面
33
2.0162
DD
D
IW
)1(2.0)1(162
4343
D
D
D
IW
【例 9-2】一轴 AB传递的功率 P =7.2kW,转速 n = 360r/min。轴的 AC段为实心圆截面,直径 D = 32mm; CB段为空心圆截面,空心部分的直径 d = 16mm,如图所示。试计算 AC段横截面边缘处的剪应力以及 CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。
A BC
Me
Me
d D
【分析】( 1 )计算扭矩 N·m( 2 )计算极惯性矩 AC段: mm4 CB段: mm4( 3 )计算剪应力 AC段横截面边缘处的剪应力 : MPa CB段横截面外边缘处的剪应力 :
MPa CB段横截面内边缘处的剪应力 :
MPa
98.190360
2.795499549
n
PMM xe
52.10289132
3214.3
32
44
1
D
I
2.96460)1632(32
14.3)(
324444
2 dDI
7.292
32
52.102891
1098.190
2
3
11 D
I
M x
7.312
32
2.96460
1098.190
2
3
22
D
I
M x
外
84.152
16
2.96460
1098.190
2
3
22 d
I
M x
内
9.4 9.4 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形
式中 : Mx——横截面上的扭矩; ——两横截面间的距离; G——轴材料的切变模量; Iρ——横截面对圆心的极惯性矩。
GI
lMdx
GI
M xl
x 0
l
圆轴单位长度上的扭转角称为单位扭转角,用 θ表示,即
上式中,单位扭转角 θ的单位是弧度 / 米( rad/m),工程上常用的单位是度 / 米( º/m ),即
GI
M
lx
180
GI
M x
【例 9-3】在【例 9-2】中,若轴 AC段的长度是 2m,并已知 G = 80GPa。试求截面 A 相对于截面 C 的扭转角。
【分析】
rad
23
33
1064.452.1028911080
1021098.190
GI
lM x
9.59.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算
9.5.19.5.1 强度计算强度计算
此式称为圆轴扭转时的强度条件。
][max
W
M x
9.5.29.5.2 刚度计算刚度计算
][180
GI
M x
【例 9-4】在【例 9-3】中,已知轴的许用剪应力 = 40MPa,许用扭转角 =0.5 º/m,材料的切变模量 G =8×104MPa。试设计轴的直径。
][ ][
【分析】( 1 )最大扭矩 由【例 1】可知, |Mxmax|= 954.9N•m( 2 )按强度条件设计轴的直径 由 得 :
mm( 3 )按刚度条件设计轴的直径 由 得 : mm
要使轴同时满足强度条件和刚度条件,取轴的直径D≥51.14mm= 52mm。
][2.0 3max
max
D
M
W
M xx
24.49402.0
109.954
][2.03
3
3 max
xMD
][180
1.0
1804
max
DG
M
GI
M xx
14.51105.014.31081.0
109.954180
][1.0
1804
34
3
4 max
G
MD x
【例 9-5】一空心传动轴的外直径 D =90mm,壁厚 t = 2.5mm,轴的许用剪应力 = 60MPa,许用扭转角 = 1º/m,材料的切变模量 G = 8×104MPa。若传递的最大力偶矩 Memax= 170N•m,试校核空心轴的强度及刚度。若将空心轴变成实心轴,试按强度设计轴的直径,并比较两者的材料消耗。
][][
【分析】( 1 )校核强度 轴各截面上的扭矩 Mx= Memax= 170N•m
Mpa
因 ,所以该轴能满足强度要求。
( 2 )校核刚度
º/mm=0.901º/m
因 ,所以该轴能满足刚度要求。( 3 )若改为实心轴,按强度条件设计轴的直径 mm
944.090
5.22902
D
tD
D
d
6.56)944.01(902.0
101700
)1(2.0 43
3
43max
D
M
W
M xx
][606.56max
)1(1.0
18018044
DG
M
GI
M xx
3444
3
10901.014.3)944.01(901.0108
101700180
][1901.0
52602.0
101700
][2.03
3
3
xMD实
( 4 )比较材料消耗 空心轴和实心轴在相同条件下的材料消耗比就是截面面积之比,即
该比值说明,空心轴的材料消耗仅为实心轴的 32.4%,可节约材料三分之二,所以空心轴是比较经济的。在工程实际中,用钢管代替实心轴,不仅节约材料,还可减轻构件的重量。
324.052
)5.2290(902
22
2
22
实实
空
D
dD
A
A
9.5.39.5.3 提高圆轴扭转强度和刚度的措施提高圆轴扭转强度和刚度的措施
要提高圆轴扭转时的强度和刚度,应从以下几个方面进行考虑:
( 1 )合理布置主动轮与从动轮的位置 ( 2 )提高轴的转速 ( 3 )合理选择截面形状 ( 4 )合理选择材料