@056

5. Lineární rovnice s absolutní hodnotou

rovnice

Když se řekne s absolutní hodnotou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou v

absolutní hodnotě.

není (ne)rovnice s absolutní hodnotou

neznámá x není v absolutní hodnotě

je (ne)rovnice s absolutní hodnotou

2x - │-7│ = 0

│2│x - 7 = 0

│2x - 7│ = 0

│2x - │7││ = 0

Připomeňme si, jak je absolutní hodnota definována (varianty – 1. je základní)

0

00

0

||

xx

x

xx

x 0

0||

xx

xxx

0

0||

xx

xxx

Dále si připomeňme vlastnosti absolutní hodnoty, které budeme potřebovat

|x-a| = 0 <=> x = a

|x|2

= |x2| = x

2

|-x| = |x|

|x - a| = |a - x|

|xy|=|x||y|

|x / y| = |x| / |y| y 0

Přepišme si definici absolutní hodnoty s trochu složitějším argumentem

axx

ax

axx

ax 0|| 0

/

/0

/

|| a

abxx

abx

abxx

bax

Všimněte si, že definice absolutní hodnoty se skokem mění v případě, kdy je výraz v

absolutní hodnotě roven nule. Takové body se nazývají body zvratu.

Příklady: na určení bodů zvratu

|x - 3| položíme nule a vypočteme x – 3 = 0 => x = 3 je bod zvratu

|x + 2| bod zvratu x = -2

|x – ½ | bod zvratu x = ½

|2x - 6| bod zvratu x = 3

|4 - x| bod zvratu x = 4

|3 + 2x| bod zvratu x = -3/2

|5x + 2| bod zvratu x = -2/5

|3 – 3x| bod zvratu x = 1

Úmluva: Z technických důvodů budeme často místo zlomku b

a psát jednodušeji a/b.

7

8= 8/7

2

5= -5/2

11

4= 4/11 atp.

pokračování

@056c

zpět

Řešte v R rovnici |x + 1| = 2x

Řešení:

-∞ -1 -1 +∞

x + 1 — +

rozbor -(x + 1) = 2x

–x - 1 = 2x

-1 = 3x

-1/3 = x

1 + x = 2x

1 = x

kandidáti x = -1/3

-1/3 (-∞; -1)

-1/3 není kandidát !!!

x = 1

1 <-1; +∞)

zkouška zkouška je v tomto intervalu

zbytečná; chybí kandidát

L(1) = |1 + 1| = 2

P(1) = 2.1 = 2

odpověď zkouška dokázala, že x = 1 je jediný kořen zadané rovnice,

že množina řešení je jednoprvková S = {1}

Příklad: Řešte v R rovnici │x + 1│ - 2│x - 1│ = x

tradiční školní řešení

tabulková metoda - pokračování

@057a

zpět

Grafické řešení rovnice │x + 1│ - 2│x - 1│ = x spočívá v tom, že provedeme grafické

řešení v jednotlivých intervalech, na které se rozpadla množina reálných čísel zvlášť.

Upravíme si levou stranu a položíme = y, a podobně pravou stranu. Pak vyneseme jednotlivé

přímky (omezeno na intervaly jde už o polopřímky či úsečky) do soustavy souřadnic. Body

zvratu pro přehlednost vyznačíme tečkovanou/čárkovanou rovnoběžkou s osou y. Nakonec

odečteme kořeny jako x-ové souřadnice průsečíků, kde se lomená čára levé strany protíná

s pravou stranou.

-∞ -1 -1 1 1 +∞

x + 1 — + +

x - 1 — — +

přímka,

úsečka

levé

strany

L(x) = y

-(x + 1) + 2(x – 1) = y

x – 3 = y

(x + 1) + 2(x – 1) = y

3x – 1 = y

(x + 1) – 2(x – 1) = y

x + 3 = y

přímka

úsečka

pravé

strany

y = P(x)

y = x y = x y = x

pokračování

@058b

zpět

správně

Řešte v R rovnici 2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x

Řešení:

-∞ -1 -1 1 1 +∞

x + 1 — + +

x – 1 — — +

rozbor -2(x + 1) + 4(x – 1) = x

-2x – 2 + 4x – 4 = x

2x – 6 = x

x = 6

2(x + 1) + 4(x – 1) = x

2x + 2 + 4x – 4 = x

5x = 2

x = 2/5

2(x + 1) – 4(x – 1) = x

2x + 2 – 4x + 4 = x

6 = 3x

2 = x

kandidáti x = 6

6 (-∞; -1)

6 není kandidát !!!

x = 2/5

2/5 <-1; 1)

x = 2

2 <1; +∞)

zkouška L(2/5) = P(2/5) L(2) = P(2)

odpověď řešením rovnice je dvouprvková množina S = {2/5; 2}

rovnice má dva kořeny x1 = 2/5 a x2 = 2

L(2/5) = 2│2/5 + 1│- 4│2/5 - 1│ = 2│7/5│ - 4│-3/5│ = 2(7/5) - 4(3/5) = 14/5 - 12/5 = 2/5

P(2/5) = 2/5

L(2) = 2│2 + 1│ - 4│2 - 1│ = 2│3│ - 4│1│ = 2.3 – 4.1 = 6 - 4 = 2

P(2) = 2

Úkol: Řešte graficky rovnici 2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x

pokračování – výsledek

@060

zpět

Řešte v R rovnici │x│ = 1 + x

Řešení:

-∞ 0 0 +∞

x — +

rozbor -x = 1 + x

-1 = 2x

- 1/2 = x

x = 1 + x

0 = 1

kandidáti x = - 1/2

- 1/2 (-∞; 0)

nepravdivý výrok

Ø

zkouška L(-1/2) =│-1/2│= 1/2

P(-1/2) = 1 - 1/2 = 1/2

L(-1/2) = P(-1/2)

odpověď řešení rovnice S = {-1/2}

rovnice má jediný kořen x = -1/2

Úkol: Řešte v R rovnici │x + 1│ + 3│x - 1│ = 2│x│ + 3 - x

pokračování – výsledek

@062

zpět

správně

Řešte v R nerovnici │x + 2│ < 8

Řešení:

-∞ -2 -2 +∞

x+2 — +

rozbor -x - 2 < 8

-10 < x

x + 2 < 8

x < 6

kandidáti (-∞; -2) (-10; +∞)

(-10; -2)

<-2; +∞) (-∞; 6)

<-2; 6)

zkouška se provede obrácením postupu

odpověď řešení rovnice je sjednocení dílčích intervalů

(-10; -2) <-2; 6) = (-10; 6)

Následující úkol je obtížnější a těžší než jsme dosud uvedli. Přesto jej nejprve řešte sami, než

si projdete moje vzorové řešení.

Úkol: Řešte v R rovnici |3 - |x + 1|| = 2x

návod: začněte odstraňovat absolutní hodnotu zevnitř

pokračovat – výsledek

@056a

zpět

Příklad: Řešte v R rovnici 2|x - 3| = x

Řešení: rozbor

Abychom mohli rovnici vyřešit, musíme nejprve odstranit absolutní hodnotu – ty dvě svislé

čárky změnit na závorky. Víme, že se absolutní hodnota chová v různých částech číselné osy

chová jinak a bod zvratu určuje hranici, kde se to mění. Musíme tedy nejprve určit bod zvratu.

Bodem zvratu x = 3 se nám rozpadá číselná osa na dva intervaly (bod zvratu nevylučujeme,

jen ho přidáme k jednomu z nich, viz 2. variantu definice absolutní hodnoty): (-∞,3), <3,+∞)

tabulková metoda řešení:

Podobně jako jsme to dělali při řešení nerovnic s racionalitou zobrazíme v prvním řádku

tabulky číselnou osu a vyznačíme do ní body zvratu (jednoduchá čára, protože se body zvratu

nevylučují). Do dalšího (dalších) řádku zaznamenáme znaménka, jichž nabývají výrazy

v absolutních hodnotách. Znaménko určíme jednoduše dosazením do výrazu libovolné číslo

ze zpracovávaného intervalu.

-∞ sem patří např. 0 3 3 sem patří např. 5 +∞

x - 3 0 – 3 = -3 < 0

znaménko bude —

5 – 3 = 2 > 0

znaménko bude +

Do dalšího řádku tabulky nyní přepíšeme zadanou rovnici s odstraněnou absolutní hodnotou

(pozor na znaménka!) a v každé části provedeme rozbor rovnice až po získání kandidátů

řešení.

-∞ 3 3 +∞

x - 3 — +

rozbor -2(x – 3) = x

-2x + 6 = x

6 = 3x

2 = x

2(x – 3) = x

2x – 6 = x

x = 6

kandidáti x = 2

prověříme přípustnost podle

2 (-∞;3)

x = 6

6 <3;+∞)

zkouška zkouška se zásadně dělá do původní

rovnice

L(2) = 2|2 - 3| = 2|-1|=2.1=2

P(2) = 2

L(6) = 2|6 - 3| = 2|3|=2.3=6

P(6) = 6

odpověď zkouška dokázala, že x1 = 2 a x2 = 6 jsou kořeny zadané rovnice,

že množina řešení je dvouprvková S = {2; 6}

Úkol: Řešte v R rovnici |1 - 2x| = 5

výsledek

@056d

zpět

Řešte v R rovnici │x + 1│ - 2│x - 1│ = x

Řešení: Tradiční způsob vedení řešení v bodech uvádím jen jako ukázku pro ty, kteří si

potřebují připomenout, co se kdysi učili.

Body jsou vytvářeny kombinacemi kladných a záporných podmínek jednotlivých výrazů

v absolutních hodnotách, tak, aby se rovnice dala zapsat bez značek ||.

I. podmínka x + 1 0 a zároveň x – 1 0 dohromady x 1

za této podmínky se odstraní značky absolutní hodnoty beze změny znaménka

│x + 1│ = x + 1 a │x - 1│ = x - 1

rovnice se upraví na tvar x+1 - 2(x-1) = x

-x + 3 = x

3 = 2x

x = 3/2 vyhovuje podmínce x 1

L(3/2) =│3/2 + 1│- 2│3/2 - 1│ = │5/2│ - 2│1/2│= 5/2 - 2(1/2) = 5/2 - 1 = 3/2

P(3/2) = 3/2 zkouška vyšla

II. podmínka x + 1 0 a zároveň x – 1 < 0 dohromady -1 x < 1

x -1 x < 1

za této podmínky se odstraní značky absolutní hodnoty takto

│x + 1│ = x + 1 a │x - 1│ = -(x – 1)

rovnice se upraví na tvar x+1 - 2(-x+1) = x

3x - 1 = x

2x = 1

x = 1/2 vyhovuje podmínce -1 x < 1

L(1/2) =│1/2 + 1│ - 2│1/2 - 1│ = │3/2│ - 2│-1/2│ = 3/2 - 2(1/2) = 3/2 - 1 = 1/2

P(1/2) = 1/2 zkouška vyšla

III. podmínka x + 1 < 0 a zároveň x – 1 0 podmínky si odporují, není kde řešit

x < -1 x 1

IV. podmínka x + 1 < 0 a zároveň x – 1 < 0 dohromady x < -1

za této podmínky se odstraní značky absolutní hodnoty beze změny znaménka

│x + 1│ = -(x + 1) a │x - 1│ = -(x – 1)

rovnice se upraví na tvar -x-1 - 2(-x+1) = x

x - 3 = x

-3 = 0

Dostali jsme nepravdivý výrok, proto z této části nedostáváme žádné řešení.

Zkouška dokázala, že zadaná rovnice má dva kořeny: x=1/2 a x=3/2

zpět

@058

zpět

Úkol: Řešte v R rovnici 2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x

Rovnice má

dva kořeny

jeden kořen

tři kořeny

@058c

zpět

Řešte graficky rovnici 2│x + 1│ - 4│x - 1│ = x

Řešení:

-∞ -1 -1 1 1 +∞

x + 1 — + +

x - 1 — — +

přímka,

úsečka

levé

strany

L(x) = y

-2(x + 1) + 4(x – 1) = y

2x – 6 = y

2(x + 1) + 4(x – 1) = y

6x – 2 = y

2(x + 1) – 4(x – 1) = y

-2x + 6 = y

přímka

úsečka

pravé

strany

y = P(x)

y = x y = x y = x

pokračování

@061

zpět

Řešte v R rovnici │x + 1│ + 3│x - 1│ = 2│x│ + 3 - x

Řešení:

-∞ -1 -1 0 0

1

1 +∞

x — — + +

x + 1 — + + +

x - 1 — — — +

rozbor -x-1-3x+3=-2x+3-x

-4x + 2 = -3x + 3

-1 = x

x+1-3x+3=-2x+3-x

-2x + 4 = -3x + 3

x = -1

x+1-3x+3=2x+3-x

-2x + 4 = x + 3

1 = 3x

1/3 = x

x+1+3x-3=2x+3-x

4x – 2 = x + 3

3x = 5

x = 5/3

kandi-

dáti

x = -1

-1 (-∞; -1)

Ø

x = -1

-1 <-1; 0)

x = 1/3

1/3 <0; 1)

x = 5/3

5/3 <1; +∞)

zkouš-

ka

L = P L = P L = P

odpo-

věď

řešením rovnice je tříprvková množina S = {-1; 1/3; 5/3}

rovnice má tři různé kořeny x1 = -1 , x2 = 1/3 , x3 = 5/3

L(-1) = │-1 + 1│ + 3│-1 - 1│ = │0│ + 3│-2│ = 3.2 = 6

P(-1) = 2│-1│ + 3 - (-1) = 2│1│ + 4 = 6

L(1/3) = │1/3+1│ + 3│1/3-1│ = 4/3 + 3│-2/3│ = 10/3

P(1/3) = 2│1/3│ + 3 - (1/3) = 2/3 + 8/3 = 10/3

L(5/3) = │5/3+1│ + 3│5/3-1│ = 8/3 + 3│2/3│ = 14/3

P(5/3) = 2│5/3│ + 3 - (5/3) = 10/3 + 4/3 = 14/3

Úkol: Úkol: Řešte v R nerovnici │x + 2│ < 8

Řešením je interval

(-10; 2>

(-10; 6)

(-2; 6)

zpět

@056b

zpět

Řešte v R rovnici |1 - 2x| = 5

Řešení:

-∞ 1/2 1/2 +∞

1 – 2x + —

rozbor 1 - 2x = 5

–4 = 2x

-2 = x

-(1 - 2x) = 5

-1 + 2x = 5

2x = 6

x = 3

kandidáti x = -2

-2 (-∞; 1/2)

x = 3

3 <1/2; +∞)

zkouška zkouška se zásadně dělá do původní

rovnice

L(-2) = |1 – 2(-2)| = |1 + 4|=5

P(-2) = 5

L(3) = |1 – 2.3| = |-5|=5

P(3) = 5

odpověď zkouška dokázala, že x1 = -2 a x2 = 3 jsou kořeny zadané rovnice,

že množina řešení je dvouprvková S = {-2; 3}

Úkol: Řešte v R rovnici |x + 1| = 2x

pokračování - výsledek

@057

zpět

Řešte v R rovnici │x + 1│ - 2│x - 1│ = x

Řešení: Určíme body zvratu a načrtneme si tabulku. Body zvratu jsou dva x = -1 a x = 1 a tak

bude číselná osa rozdělena na tři intervaly.

-∞ -1 -1 1 1 +∞

x + 1 — + +

x - 1 — — +

rozbor -(x + 1) + 2(x – 1) = x

-x – 1 + 2x – 2 = x

x – 3 = x

-3 = 0

(x + 1) + 2(x – 1) = x

x + 1 + 2x – 2 = x

2x = 1

x = 1/2

(x + 1) – 2(x – 1) = x

x + 1 –2x + 2 = x

3 = 2x

3/2 = x

kandidáti Ø

x = 1/2

1/2 <-1; 1)

x = 3/2

3/2 <1; +∞)

zkouška L(1/2) = P(1/2) L(3/2) = P(3/2)

odpověď řešením rovnice je dvouprvková množina S = {1/2; 3/2}

rovnice má dva kořeny x1 = 1/2 x2 = 3/2

Zkouška se většinou z prostorových důvodů do políčka v tabulce nevejde a tak ji propočítáme

pod tabulkou.

L(1/2) =│1/2 + 1│ - 2│1/2 - 1│ = │3/2│ - 2│-1/2│ = 3/2 - 2(1/2) = 3/2 - 1 = 1/2

P(1/2) = 1/2

L(3/2) =│3/2 + 1│- 2│3/2 - 1│ = │5/2│ - 2│1/2│= 5/2 - 2(1/2) = 5/2 - 1 = 3/2

P(3/2) = 3/2

pokračování

@058a

Bohužel.

znovu prostudujte

@059

zpět

nerovnice

Nerovnice se řeší stejně. Jen si musíme dát pozor při úpravách na změnu znaménka a počítat

s tím, že většinou půjde o nekonečně mnoho řešení.

Příklad: Řešte v R nerovnici 2│x + 1│ ≤ 2 + │x - 1│

Řešení:

-∞ -1 -1 1 1 +∞

x + 1 — + +

x – 1 — — +

rozbor -2(x + 1) ≤ 2 - (x – 1)

-2x – 2 ≤ 3 – x

– 5 ≤ x

2(x + 1) ≤ 2 - (x – 1)

2x + 2 ≤ 3 - x

3x ≤ -1

x ≤ -1/3

2(x + 1) ≤ 2 + (x – 1)

2x + 2 ≤ 1 + x

x ≤ -1

kandidáti (-∞; -1) <-5; +∞)

<-5; -1)

<-1; 1) (-∞; -1/3>

<-1; -1/3>

<1; +∞) (-∞, -1/3>

Ø

zkouška zkouška se musí udělat obráceným postupem

odpověď kořeny nerovnice jsou všechny reálná čísla z intervalu S = <-5; 1/3>

Celkový výsledek je sjednocením dílčích výsledků

<-5; 1/3> = <-5; -1) <-1; 1/3> Ø

Řešení grafické se provede ve třech krocích:

Nejprve se graficky vyřeší rovnice, kterou dostaneme z nerovnice záměnnou relačního

znaménka za rovnost

2│x + 1│ = 2 + │x - 1│

Pak v grafu vyznačíme x-ové souřadnice průsečíků levé a pravé strany prázdným nebo plným

kroužkem podle toho, jaké je v nerovnici relační znaménko: pro a půjde o plný kroužek,

pro < a > půjde o prázdný kroužek.

Nakonec vyznačíme interval na ose x, kdy je graf levé strany nad či pod grafem pravé strany

podle zadané nerovnice.

Úkol: Řešte v R rovnici │x│ = 1 + x

pokračování - výsledek

@061a

Bohužel. Zkontrolujte si pečlivě svůj postup.

zpět

@062a

zpět

Řešte v R rovnici |3 - |x + 1|| = 2x

Řešení:

Nejprve si rozložíme číselnou osu podle bodu zvratu nejvnitřnější absolutní hodnoty

-∞ -1 -1 +∞

x + 1 — +

|3 + (x + 1)| = 2x

|x + 4| = 2x

|3 – (x + 1)| = 2x

|2 - x| = 2x

Tím jsme dostali dvě rovnice s absolutní hodnotou, kde řešení není na celém R, ale jen na

dílčím intervalu. Další postup je již standardní.

-∞ -1 -1 +∞

|x + 4| = 2x |2 – x| = 2x

-∞ -4 -4 -1 -1 2 2 +∞

x+4 — + 2 - x + —

rozbor -(x + 4) = 2x

-x – 4 = 2x

-4 = 3x

-4/3 = x

x + 4 = 2x

4 = x

rozbor 2 – x = 2x

2 = 3x

2/3 = x

- (2 – x) = 2x

-2 + x = 2x

-2 = x

kandidáti x = -4/3

-4/3 (-∞; -4)

Ø

x = 4

4 <-4; -1)

Ø

kandidáti x = 2/3

2/3 <-1; 2)

x = -2

-2 <2; +∞)

Ø

zkouška není co zkouška viz níže není co

Zkouška musí být provedena do zadané rovnice !!!

L(2/3) = |3 - |2/3 + 1|| = |3 – 5/3| = |4/3| = 4/3

P(2/3) = 2.(2/3) = 4/3

KONEC LEKCE