4 Matemática...Hasta aquí se ha trabajado con números fraccionarios positivos, pero hemos dicho...
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4 Matemática Tercer Ciclo de Educación General Básica para Adultos MODALIDAD SEMIPRESENCIAL
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4
MatemáticaTercer Ciclo de EducaciónGeneral Básica para Adultos
M O D A L I D A D S E M I P R E S E N C I A L
4
Ministerio de Educación de la Nación. Santa Fe 1548. Buenos Aires.Hecho el depósito que marca la ley 11.723. Libro de edición argentina.
ISBN 950-00-0295-7. Primera Edición. Primera Reimpresión.
Ministro de Educación de la Nación
Prof. Dr. Hugo Oscar Juri
Secretario de Educación Básica
Lic. Andrés Delich
Subsecretario de Educación Básica
Lic. Gustavo Iaies
Material elaborado por los Equipos Técnicos del Programa de
Acciones Compensatorias en Educacióndel Ministerio de Educación.
Índice
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operaciones con fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Suma y resta de fracciones con igual denominados . . . .
Suma y resta de fracciones con distinto denominador. . . .
Multiplicación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
División de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potenciación con base fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculos con expresiones decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Radicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cálculo aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometría: Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propiedad de los lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angulos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introducción a la estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Universo o población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variables estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parámetros estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Claves de corrección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
61422262627344043
46
49
55
58
65666870
72758080838893
103
121
5
Introducción
En el Libro anterior se mencionó que los números pueden ser usa-dos para contar o para medir. De acuerdo con cada situación se utili-zan diferentes tipos de números: naturales, enteros o racionales. Us-ted ya ha estudiado el conjunto de los números naturales y el de losenteros y cómo se opera con ellos. En la primera parte de este Libroanalizará las operaciones que se realizan con los números racionales.
En la segunda parte continuará con geometría. Se trabaja sobre eltriángulo y algunas de sus propiedades. En la parte final del Libroencontrará un anexo con el material que utilizará en este tema.
Por último comenzará a estudiar aspectos generales de estadística.Actualmente, los medios de comunicación utilizan esta rama de lamatemática para presentar gran parte de la información que desarro-llan. Aquí se propone el estudio de los conceptos básicos para la lec-tura y comprensión de diversos cuadros y diagramas de uso corriente.
6
Números racionales
Los números racionales pueden escribirse como fracción o en suexpresión decimal. Comenzaremos a trabajar con los números ra-cionales en su expresión fraccionaria.
Observe la pared representada en el dibujo. Las cerámicas utiliza-das para revestirla fueron colocadas prolijamente en filas hasta cier-ta altura. ¿Cuántas filas de cerámica revisten la pared?¿Cuántas cerá-micas hay en cada fila? ¿Cuántas cerámicas hay en total?
Si la tortuga tiene que recorrer desde A hasta B ¿qué parte del ca-mino recorrió la tortuga?
Estas últimas preguntas ¿pueden ser contestadas con un número entero?No, para contestar a estas preguntas es preciso utilizar fracciones;
• Hay 5 cerámicas y por cada fila
• Hay 38 cerámicas y en total • La tortuga recorrió del camino.
121234
Generalizando
Una fracción tiene la forma a
donde a y b son números enteros y b ≠ 0a es el numerador y b el denominador de la fracción
7M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n
5 , 38 y son números racionales expresados con fracciones.
Para escribir una fracción se utilizan dos números enteros, por lotanto, el numerador y el denominador pueden ser números positi-vos, negativos o el cero; la única restricción es que el denominadorno puede ser cero.
12
12
34
34
Revise en el Módulo2, Libro 1 para repa-sar este tema si no lorecuerda.
Numerador
Denominador
ab
Es el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e indica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Es el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e indica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Recuerde que cuando se quiere generalizar, por ejemplo la defini-ción de fracción, debemos reemplazar los números por letras. Deesta manera se indica que no nos referimos a un caso particular;(por ejemplo ) ya que si afirmáramos que la manera de escribirfracciones es estaríamos diciendo que la única forma de escribiruna fracción es con un 3 y con un 4.
Llamaremos “a" y “b" a los números que forman la fracción. De es-te modo referirnos de un modo general, a cualquier número "a" ocualquier número “b".
3434
En la vida cotidiana utilizamos frecuentemente expresiones fracciona-rias. Por ejemplo para indicar los ingredientes de una receta de cocina:
JIngredientesIngredientes
litros de leche
pan de manteca
tazas y de harina
kilogramo de azúcar 14
12
142
2
b
8
También se utilizan fracciones en situaciones como las siguientes:
20100
410Cuatro de los diez autos son blancos; es decir de los autos son
blancos.
Es muy frecuente referir la información en relación con un total de100. Así, por ejemplo, se dice “20 de cada 100 personas de un ba-rrio tienen auto propio". En fracciones esto se expresa como .También suele decirse “el 20 % de...", que es una expresión equiva-lente. En síntesis, cuando se utiliza la expresión "tanto por ciento"-que se representa con el número seguido del símbolo %- significa quela información está referida a una fracción con denominador 100.
Tres de las cuatro personas de la cola son hombres; es decir par-tes de quienes están en la cola son hombres.
34
9
Actividad Nº1 Para representar las siguientes fracciones se han utilizado diferen-tes figuras: barras, círculos, cuadrados, que representan la unidad.
Las partes en que se dividió cada figura indican el denomina-dor (cuartos, medios, tercios, etc.). El numerador está expre-sado en las partes sombreadas.
Complete el numerador, el denominador o ambos y los sombreadoscorrespondientes, para indicar la fracción representada.
Represente en la recta numérica los números que haya obte-nido en la primera columna.
a
b
0 1
10
¿Entre qué números enteros están todas las fracciones de laprimera columna?
En todos estos casos ¿cómo es el numerador con respecto aldenominador?
En la primera columna todos los números son menores que 1.Los de la segunda columna ¿son mayores, menores o iguales a1? ¿Cómo son en estos casos el numerador y el denominador?
Observe las fracciones que quedaron escritas en la tercera co-lumna. ¿Cómo son el numerador y el denominador? ¿Estasfracciones son menores, mayores o iguales a 1?
Antes de continuar consulte las Claves de Corrección.
c
d
e
f
De acuerdo con las respuestas de la Actividad Nº1, las fracciones dela segunda columna son mayores que 1. Esto también lo podemosobservar si representamos dichos números en la recta numérica.
Para representar de manera más sencilla estos números podemospensar a cada uno de ellos como un número entero más una frac-ción de una unidad, tal como en los gráficos anteriores.
Por ejemplo el primero de los números es , que es 1 entero más de la unidad, por lo que en la recta este número está entre 1 y 2.Para ubicarlo con precisión dividimos el segmento que está entre 1y 2 en 8 partes iguales (octavos) y marcamos la tercera de ellas.
118
38
11
Un caso particular de fracciones
Consideremos unidades iguales y que cada una de ellas esté dividi-da en 4 partes iguales, es decir en cuartos. Considere 8 de esas par-tes, es decir . Resulta entonces que se han considerado dos ente-ros para obtener los es decir = 2
Considere otro caso. Cada una de las tres unidades son iguales y es-tán divididas en tercios, en total hay nueve tercios. Entonces: = 3
Si cada unidad, todas iguales entre sí, está dividida en medios, te-ner ocho mitades de enteros iguales equivale a tener 4 enteros. En-tonces = 4.
Como se observa en los ejemplos anteriores, hay fracciones queequivalen a números enteros, o lo que es lo mismo: todo númeroentero puede expresarse como una fracción.
84 8
484
93
82
Actividad Nº2¿Qué relación debe existir entre el numerador y el denomina-dor para que una fracción positiva sea:
• menor que 1• mayor que 1• igual a 1• equivalente a un número entero
( )
12
En la foto hay 2 manzanas enteras más otra media manzana o sea ó 2 5
212
Las fracciones mayores que uno (como ) pueden escribirse tam-bién separando las unidades que contienen:
2 es una expresión mixta.
Es muy común expresar cantidades de esta manera:
“La película duró 2 horas y cuarto" ó “Un kilo y medio de pan”
Hasta aquí se ha trabajado con números fraccionarios positivos, perohemos dicho que el numerador y el denominador son números ente-ros, por lo tanto uno o ambos pueden ser negativos. Recuerde que laúnica restricción es que el denominador no sea cero.
Si el numerador es positivo (+) y el denominador (-) ¿cuál es el sig-no de la fracción? ¿Y si ambos números son negativos? Tenga pre-sente la regla de signos estudiada en el Libro anterior.
Por ejemplo:Si el numerador es 3 y el denominador es -4 deberíamos escribir .
Si el numerador es -2 y el denominador -5 deberíamos escribir .
En lugar de escribir el signo de cada uno de los números que formanla fracción se coloca un signo negativo a la altura de la línea de frac-ción, si es que sólo uno de los dos números es negativo. No se colo-can los signos negativos de cada número si ambos lo son. Es decir:
52
12
3-4
-2-5
12
1( )14
2
54-
13
En lugar de escribir escribimos -
No escribimos sino porque ambos son negativos y al dividir unnegativo por un negativo la fracción resulta positiva.
En la recta numérica, del mismo modo que en los enteros, las frac-ciones negativas se colocan a la izquierda del cero.
Por ejemplo:
3-4
34
34
-2-5
25
34
-2 está entre -2 y -312- está entre 0 y -1
83
72
entre . . . . . . . . y . . . . . . . .
entre . . . . . . . . y . . . . . . . .
25
72
entre . . . . . . . . y . . . . . . . .
entre . . . . . . . . y . . . . . . . . 125
entre . . . . . . . . y . . . . . . . .
entre . . . . . . . . y . . . . . . . .
12- 3
4-2
-4 -3 -2 -1 0
Los números enteros más cercanos a -2 son -2 y -3.
Actividad Nº3Calcule mentalmente cuáles son los enteros más próximosentre los que están las siguientes fracciones.
¿Qué relación debe existir entre el numerador y el denomina-dor de una fracción negativa para que sea:
• menor que -1• mayor que -1• igual a -1• equivalente a un entero negativo
-
a
b
14
Fracciones equivalentes
Piense en algún amigo o familiar que tenga uno o varios sobre-nombres. Usted puede referirse a esa persona de diferentes formas.Lo mismo sucede con los números. Un mismo número puede serexpresado de diferentes maneras, pero siempre es el mismo núme-ro, porque las expresiones son equivalentes.
Actividad Nº4 Todas las tiras dibujadas representan la unidad. Todas ellasson iguales.
Sombree las partes que correspondan para representar lafracción indicada en cada caso.
a
b
c
Compare las partes del entero que sombreó. En cada caso¿cómo son entre sí?
Represente las cuatro fracciones en la recta numérica. Prime-ro trate de deducir qué ocurrirá.
Antes de continuar consulte las Claves de Corrección.
obtenemos que es equivalente a .
15
68
34
Tal como habrá observado en la actividad anterior, es posible escribircon números distintos, fracciones que representan la misma cantidad.
Las fracciones , , , representan el mismo número racio-nal. Tienen diferente escritura, pero representan la misma canti-dad. Es decir son fracciones equivalentes.
En síntesis
34
68
912
1216
34
68
912
1216= = =
34
68=
Las fracciones que corresponden a un mismo punto dela recta numérica son fracciones equivalentes. Estepunto de la recta representa un número racional.
Este número puede expresarse a través de cualquiera delas fracciones equivalentes o en su expresión decimal.
En el ejemplo se presentaron fracciones equivalentes. Pero ¿cuál esel procedimiento para obtener una fracción equivalente a otra?
Ser equivalentes, es decir representar el mismo número, implicaque si se modifica el numerador de una fracción dada (aumentán-dolo o disminuyéndolo) se debe modificar también el denominadorde manera proporcional.
Por ejemplo:Si al numerador y al denominador de la fracción la multiplicamospor 2
34
x2
x2
Se puede escribir:
16
Si se multiplica por 4 tendríamos:
También podríamos haber elegido como factor el número 5,
Podríamos haber elegido 25 como factor:
obtenemos que es equivalente a .1216
34
34
1216=
x4
x4
obtenemos que es equivalente a .1520
34
34
1520=
x5
x5
obtenemos que es equivalente a . Como de-cimal se expresa 0,75. En porcentaje: 75%.
75100
34
34
75100=
x25
x25
El proceso de hallar fracciones equivalentes a una dada, multipli-cando numerador y denominador por un mismo número se llamaamplificación.
Actividad Nº5Escriba las fracciones equivalentes a cada una de las que sepresentan a continuación, respetando el numerador o deno-minador indicado. (Piense por qué número multiplicar o divi-dir alguna de las fracciones para obtener lo que quiere.)
Para cada una de las fracciones usted escribió otras cuatroequivalentes. ¿Son las únicas?
¿Cuántas fracciones equivalentes tiene una fracción dada?
23
412 9 30= = = =
48
280
1 7= = = =
64
12 3 15100= = = =
a
b
c
17
Actividad Nº6Trate de hallar mentalmente 5 fracciones equivalentes paracada una de las que se presentan aquí:
Actividad Nº7Para cada uno de los siguientes pares de fracciones halle otropar de fracciones que sean equivalentes a las dadas, pero quetengan el mismo denominador.
y
y
y
32
13
34
56
85
12
obtenemos que es equivalente a .1218
2436
2436
1218=
:2
:2
a
b
c
23 =
54 =
32 =
510 =
Las fracciones equivalentes no sólo pueden hallarse por amplifica-ción. Cuando el numerador y el denominador pueden dividirse porun mismo número también se obtienen fracciones equivalentes.
En la fracción tanto el 24 como el 36 pueden dividirse por unmismo número, por ejemplo, por 2, entonces:
2436
Veamos más ejemplos de simplificación.
La fracción puede ser simplificada pues el numerador y el deno-minador son divisibles por un mismo número. En este caso por 2 opor 4. Conviene, en estos casos dividir por el mayor de los números.
Actividad Nº9¿Cuántas fracciones equivalentes a pueden obtenerse divi-diendo el numerador y el denominador por un mismo número?
Exprese cómo pueden hallarse fracciones equivalentes poramplificación y por simplificación.
18
Pero el 24 y el 36 también son divisibles, es decir que se pueden di-vidir exactamente, por 3
2436
1220
obtenemos que también es equivalente a .812
2436
2436
812=
: 3
2436=
:
:
2436=
:
:
2436=
:
:
Actividad Nº8Además del 2 y el 3 existen otros tres divisores comunes a 24y 36. Encuéntrelos y obtenga las fracciones equivalentes co-rrespondientes.
a
b
El proceso por el cual hallamos fracciones equivalentes a una da-da, dividiendo el numerador y el denominador por un mismo nú-mero, se llama simplificación.
: 3
19
Si no hubiéramos advertido que el mayor número por el cual eraposible dividir el numerador y el denominador era 4 y hubiésemosdividido por 2, la fracción así obtenida puede volver a dividirsepor 2 obteniendo de igual forma la fracción .
La fracción también admite la posibilidad de ser simplificada pordistintos números. Por 2, por 4 y por 8. Como ya se señaló convie-ne simplificar por el mayor de todos. En este caso por 8:
Igual que en el ejemplo anterior puede no haberse advertido queesta fracción se puede simplificar por 8. Suponga que sólo advier-te que se puede simplificar por 2.
La fracción equivalente obtenida admite la posibilidad de volver aser simplificada, por ejemplo por 4.
Al simplificar por 2 y luego por 4 obtenemos el mismo resultadoque simplificando directamente por 8.
Cuando una fracción puede ser simplificada por diferentes núme-ros, si no lo hacemos por el mayor de ellos, la fracción obtenidaadmite la posibilidad de ser nuevamente simplificada.
Cuando ya no es posible seguir simplificando, la fracción obtenidase la denomina fracción irreducible.
es la fracción equivalente irreducible de
es la fracción equivalente irreducible de
1220
35
3513
1220824
= 12 : 420 : 4
1220 = 3
5= entonces
824
13= 8 : 8
24 : 8824 = 1
3= entonces
824
412= 8 : 2
24 : 2 =
412
13= 4 : 4
12 : 4 =
610
35
824
20
Muchas personas realizan la simplificación tachando el numeradory el denominador de la fracción y escribiendo en su lugar el resul-tado de la división de numerador y denominador por un mismonúmero. Por ejemplo, si tenemos la fracción y no advertimosque puede simplificarse por 20, pero sí por 10 y luego por 2, proce-demos de la siguiente manera:
120100
120 12100 20
12
10
=
120 6100 5=
(dividiendo numeradory denominador por 10)
12 610 5
6
5
= (dividiendo por 2)
entonces
Obtener las fracciones irreducibles es útil para operar con fraccio-nes. Al simplificar se podrán expresar las mismas cantidades dadascon números menores en los numeradores y los denominadores, loque facilitará la resolución de operaciones.
Actividad Nº10Indique si son o no equivalentes los siguientes pares de frac-ciones:
Explique cómo hizo para reconocer cuáles eran equivalentesy cuáles no.
Actividad Nº11Escriba la fracción irreducible equivalente a:
a
b
85
2415y 30
2032y 1
3415y 18
1565y 6
4188y
10075 =
1218 =
3612 =
820 =
12030 =
1525 =
Al iniciar el tema se señaló que una fracción con denominador 100suele expresarse como porcentaje: = 20%.
En la vida cotidiana utilizamos muchas veces equivalencias entrefracciones y porcentajes. Observe algunos ejemplos.
Si se considera , por amplificación puede obtenerse multipli-cando numerador y denominador por 25.
También es frecuente utilizar expresiones decimales que equivalena fracciones irreducibles.
Por ejemplo:
Compré metro de tela equivale a compré 0,5 m de tela.
Poner kg de harina equivale a poner 0,75 kg de harina.
21
a
b
c
20100
25100
14
12
34
14
Actividad Nº12Escriba tres fracciones irreducibles que tengan:
Numerador 5
Denominador 3
Numerador 1
= que es lo mismo que escribir 25%. Por ello “lacuarta parte equivales a 25%.
que es lo mismo que escribir 50%. Así “la mitad”es el 50%.
25100
12 = 50
100
que es lo mismo que escribir 10%. La “décimaparte” es el 10%.
110= 10
100
22
Actividad Nº13Calcule mentalmente a qué porcentajes equivalen las siguien-tes fracciones (recuerde que debe encontrar fracciones equi-valentes con denominador 100).
34 =
15 =
910 =
Comparación de fracciones
12
En las situaciones anteriores se puede observar que para compararfracciones es necesario referirse al mismo entero.
Al comparar dos números fraccionarios no siempre resulta sencillodecir cuál de ellos es mayor. Trabajaremos en las próximas activi-dades sobre distintas situaciones posibles:
23
• una de las fracciones es negativa y la otra positiva;• ambas son positivas y tienen igual denominador;• ambas son positivas y tienen numeradores iguales;• ambas son positivas y tienen distintos numeradores y denominadores;• ambas son negativas.
Actividad Nº14Una de ellas es negativa y la otra positiva.
Por ejemplo
Si se compara un número positivo y un número negativo,¿cuál estará siempre más a la izquierda? ¿por qué?
Si un número es negativo y el otro positivo ¿cuál es el me-nor? ¿por qué?
Actividad Nº15Ambas son positivas y tienen igual denominador.
Por ejemplo
Marque ambos números en la recta.
Complete con <, > o =
Exprese cómo reconocer cuál es la menor de las fracciones posi-tivas si éstas tienen igual denominador. Justifique la respuesta.
a
b
a
b
c
- 65 y 1
3
512 y 3
12
312
. . . . . . . 512
24
Actividad Nº16Ambas fracciones son positivas y tienen distinto denominadorpero los numeradores son iguales.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Represente las fracciones en la recta numérica o en gráficos(cómo le resulte más fácil) para determinar en cada uno de losejemplos cuál es la fracción menor.
¿Cuál es la fracción menor si las dos son positivas y tienenigual numerador? ¿por qué?
Actividad Nº17Ambas fracciones son positivas y tiene distintos denominado-res y numeradores.
Para analizar este caso comparemos dos pares.
Marque en la recta ambos pares de fracciones.
Complete con <, > o =
Para determinar el menor ¿es suficiente comparar los numerado-res o los denominadores como en los casos anteriores? ¿Por qué?
¿Se pueden obtener fracciones equivalentes a las dadas peroque tengan ambas el mismo denominador?
¿Cuál es el menor denominador común que pueden tener lasfracciones ?
Escriba las fracciones equivalentes a las dadas, con igualdenominador y exprese cuál de ellas es mayor.
a
b
23 y 2
5
25 con 3
412 con 3
10
25 y 3
4
34 y 3
2
a
b
c
d
e
f
25
. . . . . . . 34
12
. . . . . . . 310
Actividad Nº19En una balanza de platillos hay: en uno de los platos de kilo-gramo y en el otro de kilogramos. ¿Cuál de los dos platillospesa más?
Una tuerca mide de pulgadas otra de pulgada. ¿Cuál esmás grande?
En los siguientes pares de fracciones coloque <; = ó > segúncorresponda.
25
34
24
b
c
a
b
c
a
12 con 3
10g
h
Realice el proceso análogo para comparar
Exprese cómo reconocer la mayor de las fracciones si tienendistintos numerador y denominador y son positivas.
Actividad Nº18Ambas fracciones son negativas.
Establezca cuál es la mayor. Fundamente su respuesta.
Repase el tema Compara-ción de números negativosque ya estudió en el Libro 3.
- y -
23
24- y -
23
35- y -
74
32
34
58
53
. . . . . . . 43
310
. . . . . . . 415
49
. . . . . . . 25
610
. . . . . . . 915
72
. . . . . . . 216
188
. . . . . . . 94
14
. . . . . . . 52-
83
. . . . . . . 114-- -
58
26
Operaciones con fracciones
Hemos dicho que al comparar fracciones es preciso analizar si serefieren al mismo entero. A modo de ejemplo, no es lo mismo lamitad de la población de la provincia de La Rioja que la de la pro-vincia de Buenos Aires. Del mismo modo habrá que considerar quepara operar con fracciones éstas deben estar referidas al mismo en-tero, pues no se puede operar si se refieren a diferentes enteros.
Suma y resta de fracciones con igual denominador
La barra de chocolate de la figura está dividida en 8 partes deaproximadamente el mismo tamaño. Si primero se come 2 partes,es decir, aproximadamente del chocolate y más tarde se comeotras tres, es decir aproximadamente de la barra. ¿Qué parte deltotal se comió?
28
38
58
38
58=2
8 +
Si primero comió 2 y luego 3 porciones, en total comió 5 porcio-nes; o lo que es lo mismo .
+ = . . . . . . .
27
Actividad Nº20¿Por qué en la suma anterior se mantiene el denominador 8?
Escriba un enunciado sobre cómo se suman y restan fraccio-nes de igual denominador.
Para sumar o restar fracciones de igual denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Realice las siguientes operaciones.
a
b
c
15
25+ = . . . . . . . 11
373+ = . . . . . . .2
313- = . . . . . . .7
12312
Suma y resta de fracciones con distinto denominador
Ya se analizó cómo se suman o restan fracciones con igual deno-minador. Este procedimiento ¿se puede aplicar para la suma o res-ta de fracciones con diferente denominador?
Analice el siguiente ejemplo:Compré kg de pan y luego kg más. ¿Cuánto compré en total?Es evidente que compré kg. Fácilmente se puede considerar queel kg de la primera compra equivale a . Como ahora se tiene unafracción con igual denominador que la segunda ( ) se pueden su-mar sin dificultad.
Para analizar en general la suma de fracciones de distinto denomi-nador, realice la siguiente actividad.
12
143
412
24 1
4
Usted ya ha resuelto sumas de fracciones con igual denominador.Realizar la actividad anterior le permitió comprobar que es posiblereemplazar cada fracción por otra equivalente y hallar la suma uti-lizando las equivalentes que tengan entre sí igual denominador.
Analice la siguiente suma: +
Para las fracciones y es posible hallar infinitas fracciones quetengan denominadores comunes, pero es conveniente utilizar elmenor de ellos, pues es más sencillo operar con números menores.
28
Actividad Nº21Se quiere sumar + + . Para ello:
Halle series de fracciones equivalentes a las dadas. Como sonirreducibles en todos los casos deberá obtenerlas por amplifi-cación. A modo de ejemplo está resuelta la primera serie.
= = = = = = = =
= = = = = = = =
= = = = = = = =
Cada una de las fracciones dadas ¿cuántas equivalentes tie-ne? Recuerde que usted sólo halló algunas.
Compare las fracciones equivalentes a ; ; y . ¿Es posibleexpresar cada una de las fracciones dadas en otras tres frac-ciones que tengan entre sí el mismo denominador?
Si se continúa colocando fracciones equivalentes ¿se halla-rían más fracciones equivalentes a las dadas con igual deno-minador (denominador común)?
¿Cuántas fracciones equivalentes a ; y tienen denomi-nador común?
¿Cuál es el resultado de + + ?
a
b
c
d
e
f
23
23
23
23
14
56
23
14
34
16
34
16
56
14
56
46
69
812
1015
1218
1421
1624
1827
1456
14
56
29
= = = = = =
En este caso el menor denominador común es 12.
Si se convierten ambas fracciones en equivalentes de denominador12 se obtiene que:
= = y = =
Entonces sumar + es equivalente a sumar + y por tener igualdenominador se procede sumando los numeradores.
+ = + =
Por lo tanto + =
Considere ahora la suma + .
Se ahorra tiempo si en lugar de escribir todas las fracciones equi-valentes se trata de hallar directamente el menor denominador co-mún en todas las fracciones equivalentes.
Si en las fracciones y los denominadores son 3 y 4. Los númerosque se obtienen de multiplicar a cada uno de ellos por 2, 3, 4... etc, serán:3 – 6 – 9 – 12 – 15 – 18 ... para 34 - 8 – 12 – 16 ... para 4
A estos números se los llama múltiplos de 3 (0, 3, 6, 9, 12... ) ymúltiplos de 4 (0, 4, 8, 12, 16...)
El menor múltiplo común de los números 3 y 4 es, como se puedeobservar en las series, el 12.
Preguntarse por el menor de los múltiplos comunes es preguntarsecuál es el menor de los números que puede dividirse por 3 y por 4obteniendo como resto 0. La respuesta es el menor denominadorcomún de las fracciones dadas.
Hallado el 12 como el menor denominador común, pueden buscar-se las fracciones equivalentes.
A hay que expresarlo con denominador 12, es decir hay que pre-guntarse ¿por qué número multiplico a 3 (denominador) para lle-
34
34
34
16
34
16
912
212
912
212
1112
34
23
16
23
23
34
34
1112
16
212
912
3 . 34 . 3
1 . 26 . 2
68
16
212
318
424
1216
912
Actividad Nº22Considere estas tres fracciones: + -
¿Cuál es el denominador común para los denominadores 3, 10y 6? Piense en el menor de todos los posibles denominadorescomunes.
Complete sobre la línea de puntos las conversiones a las frac-ciones equivalentes:
= = = = = =
Reemplace cada fracción por la equivalente que halló y resuelva:
+ - = + - =
Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se suman o restan los numeradores + = .
Para sumar o restar fracciones de distinto denominador,se reemplazan las fracciones dadas por fracciones equivalentesque tengan denominador común, y luego se suman o restan.
30
gar a 12? La respuesta es 4. Por este mismo número hay que multipli-car a 2 (numerador) si se quiere obtener una fracción equivalente.
Del mismo modo se procede con el fracción . Como 3 es el núme-ro por el que hay que multiplicar a 4 para obtener 12 se tiene:
Así + = + = = 1
23 12= 2
38
128=
34
23
23
56
910
34
812
912
1712
52
a
b
c
34
23
ab
cb
a+cb
56
910
3 . 3 .
910
9.10 .
56
5 .6 .
En síntesis:
;
34 12=
x 3
34
9129=
x 3
;
x 4
x 4
31
a /b c
Uso de la calculadora para operar con fracciones
Las calculadoras científicas, en su gran mayoría, tienen unatecla que permite introducir fracciones y operar con ellas.
Generalmente la tecla tiene el símbolo que con las letras a, by c dispuestas en esa posición representan una expresiónfraccionaria mixta, "a" representa la parte entera y b/c la par-te fraccionaria.
Su uso es muy variado, depende de la marca y el modelo de lacalculadora, pero no es difícil de utilizar. Consulte con su do-cente sobre el uso de su calculadora.
Un modelo muy difundido se usa del siguiente modo:
Suponga que quiere sumar + -
Para introducir la primera fracción aprieta 3, luego la teclay a continuación el 5, aparecerá en el visor:
Aprieta la tecla “+"Introduce la segunda fracción de igual modo que la primera.
Aprieta “–" en el visor aparecerá
Introduce la tercera fracción
Y por último aprieta “=" y el resultado es
Ésta es la forma en que la calculadora indica el número mix-to 1 .
Como verá, se muestran tres posiciones separadas por /. En elprimer lugar a la izquierda aparece el entero; en el segundolugar el numerador y en el tercero el denominador.
Entero/ numerador/ denominador/
35
710
112
a /b c
3 5
1 3 10
1 13 60
1360
Suma de fracciones y enteros
Suponga que necesita sumar + 2 (una fracción y un entero).
Todo número entero puede expresarse como una fracción, 2 = = = = = . . .
De todas las fracciones equivalentes a 2, conviene utilizar la quetiene denominador 4 (ya que queremos sumar 2 con ), o sea , lue-go sumar + 2 = + =
También puede realizar este cálculo mentalmente, 2 + , pensando,por ejemplo, cuántos cuartos son equivalentes a 2. La respuesta es8 más 1, total .
32
InvSi a usted le interesa obtener el resultado escrito como frac-ción y no como número mixto tiene que apretar la secuenciade teclas y aparecerá en el visor
Es decir que el resultado de + - es
Esta es la forma más común de operar con las calculadorascientíficas, pero no la única. Si la suya tiene otra forma deoperar con las fracciones consulte con el docente, quien loayudará a utilizar correctamente la calculadora.
Inv a /bc
73 60
35
14
14
14
841
414
84
94
94
21
42
63
84
710
112
7360
33
Actividad Nº23Resuelva mentalmente los cálculos que figuran a continua-ción. En primer lugar, estime el resultado, diciendo más que ...o algo menos que... Luego resuélvalos por escrito y finalmen-te verifique con la calculadora.
a
b
c
d
e
f
34
13
12
14
1 + =
2 - =
+ =
14
12 - =
18
34 - =
14
14 + -1 =
a
b
c
d
e
f
112
512
1112
56
53
15
715
310
- + =
- =
+ - =
112
142 - + =
56
13
159 - - =
724
34 + 1 - =
Actividad Nº24Haga las siguientes sumas y restas. Exprese el resultado comofracción irreducible. Verifique con la calculadora.
34
Multiplicación de fracciones
Para analizar la multiplicación entre fracciones es necesario consi-derar el significado de la multiplicación entre fracciones.
Multiplicación de una fracción por un entero
1. El esmalte sintético viene en latas de litro; si compra 3 latas de ¿cuánta pintura compró?
3 latas de litro cada una + + = 3 x
2. ¿Cuántos litros de vino hay sobre la mesa si se han colocado 4botellas de litros cada una?
4 botellas de litros cada una + + + = 4 x
14
14
14
34
34
34
14
14
14
14
34
34
34
34
Cuando utilizamos la expresión “de” lo que se quiere hallar es el producto.
Si tenemos tres latas de litro cada una, juntas equivalen a litros
+ + = 3x =
Compramos l de pintura.
14
14
14
14
14
34
34
34
De igual modo se debe proceder si lo que se busca es una fracciónde un entero:
“La cuarta parte de un grupo de 8 amigos son solteros, ¿cuán-tos solteros hay en el grupo?"
La cuarta parte de 8 . 8 = = 2
“Cinco octavos de los cuarenta días de vacaciones fueron solea-dos, ¿cuántos días de sol hubo en estas vacaciones?"
Cinco octavos de 40 . 40 = = 25
“Las tres quintas partes de un poste de doce metros están pintadasde azul, ¿cuántos metros del poste están pintados de azul?"
Tres quintos de 12 . 12 =
35
Para multiplicar una fracción por un número entero,se debe multiplicar el numerador por el entero.
Cada botella contiene litros de vino cada una, dos botellas equi-valen a 1 litros, las cuatro hacen un total de 3 litros.
+ + + = 4 x = = 3
Hay 3 litros de vino.
34
12
14
84
35
365
58
2008
34
34
34
34
124
34
36
Para facilitar las cuentas se puede simplificar antes de operar y asítrabajar con números menores. Por ejemplo:
aquí no se puede simplificar
Como se puede observar es posible simplificar un numerador conel denominador de otra fracción, pero esta simplificación sólo pue-de hacerse en la multiplicación.
Multiplicación de dos fracciones
La mitad ( ) de una lata de pintura se secó. De la mitad que que-dó se usaron las partes para pintar el portón. ¿Cuánta pintura,del total de la lata, se usó para pintar el portón. ( de )
Para saber la cantidad de pintura que se usó en el portón es nece-sario calcular de , es decir .
Para hallar la respuesta nos ayudaremos con los siguientes gráficos:
34
1 . 31= = 34 . 1
412
1 . 12= =. 2
11
1 2
35 =. 12
12
34
12
34
12
34
12
34
El rectángulo es la la-ta, la dividimos por lamitad
Ahora dividimos acada mitad en 4 (pa-ra obtener “cuartos”de esa mitad.
De la mitad sombrea-da tomamos 3 de las 4partes de 3
412
12
12
34
de
Actividad Nº25Un campo está sembrado en sus partes, en de esos tie-nen sembrado trigo. ¿Qué fracción del campo está sembradacon trigo?
Recuerde que del campo se encuentran sembrados y de es-ta porción del campo la mitad está sembrada con trigo.
Queremos saber, del total del campo, qué fracción es la quecorresponde al trigo.
Para resolver el problema siga los pasos siguientes:
El rectángulo representa el campo. Horizontalmente divídaloen quintos.
Sombree cuatro quintos ( ).
Trace, verticalmente, una línea para dividir a cada quinto porla mitad.
Remarque una de las mitades que sombreó.
El campo quedó “cuadriculado". Cada cuadro ¿qué fraccióndel campo es?
¿Cuántos cuadros son los que corresponden a de ?
Antes de continuar verifique con la clave de corrección.
37
Como la pregunta que queremos contestar es qué parte de la lata seusó para pintar el portón, debemos observar la parte de la lata quequedó sombreada. Vemos que de es , o lo que es lo mismo 3
4
12
12
45
45
45
12
38
34
12
38x =
a
b
c
d
e
f
de del campo 12
45.
45
45
12
45
38
En el gráfico vemos que
Si simplificamos el resultado dividiendo numerador y denomi-nador por 2 se obtiene
En este caso se podría simplificar antes de hacer la cuenta:
Recuerde que puede hacerlo porque es una multiplicación.
12
45
410
410
25
x =
45
12
25=.
2
1
45
12
25= =.
2
1
1 . 42 . 5
25=
2
1
o
Actividad Nº26Explique cómo se obtienen el numerador y el denominadoren una multiplicación de fracciones.
Generalice, en forma simbólica, la definición de multiplica-ción de fracciones.
Actividad Nº27 La sociedad de fomento del barrio tiene 420 miembros. Las dosterceras partes de ellos son hombres ¿cuántos hombres hay?
Halle el producto de , con el resultado de: 2 – . Escriba elcálculo combinado que expresen estas operaciones.
de los litros del combustible de una moto es aceite. ¿Quéfracción del total de la mezcla es aceite?
Las partes de los 180 encuestados respondieron sí ¿Cuán-tos contestaron afirmativamente?
La tercera parte de los televidentes comenzaron a ver un partidode fútbol, pero sólo las partes de ellos lo terminaron de ver.¿Qué fracción del total de televidentes vio el final del partido?
85
34
34
12
150
a
b
a
b
c
d
e
39
a
b
c
d
a
Actividad Nº28Resuelva mentalmente los siguientes problemas. Luego verifi-que sus respuestas haciendo las cuentas. Puede hacerlo concalculadora.
Un cajón de gaseosas tiene 12 botellas; si se consumen trescuartas partes ¿cuántas botellas se tomaron?
Calcule el 50 % de $ 380.
Aproximadamente (10 %) de la población argentina está enedad escolar. Suponiendo la población en 36.000.000 ¿cuán-tos argentinos deberían ir a la escuela?
Las partes de los profesionales de un equipo de fútbol tienenmás de 21 años. Si en el equipo hay 20 profesionales ¿cuántosson los mayores de edad?
Actividad Nº29Obtenga el producto de las siguientes multiplicaciones. No ol-vide simplificar el resultado cuando sea posible.
110
34
25
154. =
25
52. =
34
43. =
37
73. =
78
43. =
152
45
13. . = 20
394
15. . =
158 . . =
38
163- . =12
5152. =
78
43- . (- )=
512
45
43. . =
a)
c)
d)
b)
e)
g)
h)
f)
i)
k)
l)
j)
25
130
40
b
c
d
e
¿Cómo son entre sí las fracciones que multiplicó en los tresúltimos casos? (ejercicios j, k, l)
Las fracciones que tienen estas características se llaman frac-ciones inversas multiplicativas.
Exprese la condición que debe cumplir una fracción para quesea la inversa de otra.
Halle la fracción inversa de cada una de las siguientes
Observe los resultados de las tres últimas multiplicaciones.¿Siempre que se multipliquen fracciones inversas se podránsimplificar? ¿Cuál será siempre el resultado?
Recuerde que cuando un número es negativo, si es el primeroque aparece en un cálculo, no es necesario encerrarlo entreparéntesis. Pero cuando aparece en medio de una cuenta debecolocarse el paréntesis para no confundir su signo negativocon la operación de restar.
34
12
78
4
División de fracciones
Con un kilo y medio (1 = ) de galletitas ¿cuántos paquetitos de se pueden llenar?
121
4
14
32
14
14
14
14
14
14
41
Con un 1 kg podemos llenar 4 paquetes y con el medio restanteotros 2, en total 6.
Repartir 1 kilo y ( kilo) en paquetes de es equivalente a dividiren grupos de kilo.
Por el análisis anterior vemos que : = 6 y también que . 4 esigual a 6.
Tenemos entonces que
(Observe que 4 es el inverso de .)
Analice estos ejemplos:
Con una damajuana de 4 litros (4 = ) podemos llenar 9 bo-tellas de litro, entonces : =9. También es el mismo resulta-do que x 2.
Tenemos entonces que
(Observe que 2 es el inverso de .)
Uno de los tamaños en que se vende café es de kilogramo; si di-vidimos 2 kg en paquetes de ¿cuántos paquetes obtenemos?
Por cada kg se obtienen 8 paquetes con 2 kg obtenemos 16 paquetes,entonces 2 : = 16 que también es el mismo resultado de 2 . 8.
O sea que
(Observe que es el inverso de 8.)
Observando los tres últimos ejemplos verá que la división entre dosfracciones da el mismo resultado que multiplicar la primera frac-ción por la inversa de la segunda. Aunque no lo justifiquemos éstees el procedimiento para dividir fracciones.
12
14
12
12
92
12
929
2
12
321
4
32
14
14
12
18
32
32
14: = 6
92
12
92: = x 2
18 = 2 x 82 :
18
18
18
: =13
- : = - x 4= -
42
Ejemplos:
Al multiplicar fracciones negativas y positivas recuerde la regla delos signos estudiada en el Libro 3.
Por ejemplo:x (- )= - que simplificada es -
También se podría haber simplificado
si simplificamos obtenemos
si se hubiera simplificado antes
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción pon la inversa de la segunda fracción. Simbólicamente : = . = .a
bcd
ab
dc
a . d b . c
35
23
35
32
910: = . =
65
215
65
152: = . = 9
74
74
12
78: 2 = . =
23
34
12. (- )= -
23
34
612
12
0
0
11
21
3
1
35
14
35
125
- : (- ) = - x (- ) =13
29
13
92
96
- . (- ) = 13
92
32
43
32
Actividad Nº30 Resuelva y exprese el resultado como fracción irreducible
a)
: =815
45b)
: =125
45c)
: =25
15d)
- : =125
45e)
- : (- ) =25
15f)
: =2115
75g)
- : 8 =25g)
( )3=
43
Potenciación con base fraccionaria
En el Libro anterior se trabajó con potenciaciones cuyas bases erannúmeros enteros.
Para hallar la potencia de un número se multiplica el número que estáen la base por sí mismo, tantas veces como lo indique el exponente.
Por ejemplo 43 = 4 . 4 . 4 (4 elevado a la tercera, o al cubo, es igual a 4 . 4 . 4)
Si la base en lugar de ser entera es una fracción, el concepto de po-tenciación no varía:
Como multiplicar fracciones es multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí, tenemos que:
y como 3.3.3= 33 y 4.4.4= 43 resulta que:
En síntesis:
Cuando una fracción está elevada a una cierta potencia el resulta-do se halla elevando numerador y denominador a dicha potencia.
En el ejemplo anterior quedó indicada esta cuenta, como 33=27 y 43= 64,por lo tanto; la respuesta es:
Con un razonamiento semejante comprobaríamos que:
Otro ejemplo:
( )3= 3
434
34
34
( )3=3
43 . 3 . 34 . 4 . 4
34
34
34
( )3= = =3
433
433 . 3 . 34 . 4 . 4
34
34
34
( )3= =3
42764
33
43
( )2= =2
5425
22
52
( )4= =1
2116
14
24
34
33
43
. .
. . =
. .
b
c
44
a
El paso intermedio no es necesario escribirlo. Por ejemplo:
Para hallar el resultado mentalmente elevamos el dos al cuadrado,que es 4 y el 3 al cuadrado que es 9. Por eso la respuesta es
En todos los ejemplos las bases eran positivas. Veamos qué ocurresi la base es negativa.
( )2= 2
349
(- )3= 1
2
(- )4= 1
2
49
Actividad Nº31
Relea (si lo necesita) el libro anterior ¿Qué signo tiene la po-tencia cuando la base es negativa? ¿De qué depende el signodel resultado?
Al igual que en las potencias de base entera, si la base es negativa(-) el signo del resultado podrá ser positivo o negativo.
Será positivo (+) si el exponente es par y será negativo (-) si es impar.
Por ejemplo:
resultado positivo por ser el exponente par (4);
la potencia resulta negativa por ser el exponente impar (3).
(- )4= 3
28116
(- )3= - 3
2278
( )2=2
5
Actividad Nº32Resuelva :
a)
( )4=1
3b)
( )3
=23c)
(- )4=1
2d)
( )3
=45e)
( )4 =3
2h)(- )3=3
4f)
(- )5=1
2g)
Resuelva:
34
89
M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n
f
e
d
c - . (- ) + (- )2= 2
5310
35
32
b
Actividad Nº33Encuentre el o los números faltantes en las siguientes igualdades:
e
d
c
b
a
a
( )3=3
827
( ). . .
=35
925
( ). . .
=103 9
( )3=364
( )2=100
49
Cuando el exponente es 2 decimos, “.... al cuadrado"; cuando es 3se lee “... al cubo".
En cálculos de potencia-ción elevar al cuadrado yal cubo es lo más común,por lo que es convenienteque recuerde los cuadra-dos y los cubos de los pri-meros números. Revea laActividad Nº 36 del Libro 3en la que se calcularon es-tas potencias.
Actividad Nº34Resuelva las siguientes operaciones combinadas. Recuerde que pa-ra empezar hay que separar en términos. Tiene un caso resuelto.
: + ( )2= 3
458
32
- : = 53
203
(2 - ) : + ( )3= 3
458
12
( - ) : = 23
89
53
203
- .(- ) + (1- )2+ =9
1035
32
78
g (- ) : + ( + )2=3
452
910
14
32
h (- )3: + : - . =2
329
23
89
1513
263
i (2+ - )3+ (- )
2=2
316
53
74
. - ( )2+ (1 - )
3=1
452
32
32 - + (- )
3=5
894
12 - - = -5
894
18
148
� � �
simplificando el resultado –
.
.
Un número racional admite escrituras distintas; no significa quesean números distintos.1 = 1,5 porque =
= 0,75 porque es equivalente a
0,5 =
Habitualmente con los números decimales se realizan operacionesde suma, resta, multiplicación y división. Para recordar estas ope-raciones analice las situaciones siguientes.
Para festejar el cumpleaños de su hijo, María compra: 7 docenas desandwiches a $ 3,50 la docena; 12 gaseosas a $ 1,80 cada una; unatorta a $ 10,50 (cuesta $ 8,40 el kg.). Además contrató una anima-dora por 1,5 horas (una hora y media) a $ 12,50 la hora.
¿Cuánto gastó? Si pagó con $ 100, ¿cuánto le sobró?
46
12
12
12
510
34
34
75100
Cálculos con expresiones decimales
Los números racionales pueden expresarse en forma de fraccióno en su expresión decimal. El uso de una u otra depende de la si-tuación a la que se esté haciendo referencia.
Actividad Nº35¿Qué tipo de expresión utilizaría en cada una de las siguien-tes situaciones?
el peso del pan
el saldo de una cuenta bancaria
la duración de un partido de fútbol
el importe de una factura de luz
FracciónSituación Decimal
Puede consultar el Libro 1,Módulo Nº1 dónde se de-sarrolla este tema con ma-yor detenimiento.
47
Calcule:
SandwichesGastó $ 24,5 3,5
24,5x 7
Total
Sandwiches $ 24,50
Gaseosas $ 21,60
Animadora $ 18,75
Torta $ 10,50
$ 75,35
GaseosasGastó $ 21,6 1,8
36
21,618
x 12
AnimadoraGastó $ 18,75 12,5
62512518,75
x 1,5
Si pagó con $ 100 le quedan 100
24,6575,35-
105 84210
42000
1,25Si queremos averiguar cuánto pesaba la torta, tenemos que dividir10,5 con 8,4 (lo que pagó y lo que cuesta cada kilo). Esta divisiónda el mismo resultado que 105 : 84
La torta pesaba 1,25 kg.
Con los números decimales, los cálculos a mano se hacenmucho más lentos, es conveniente emplear una calculadora(no necesariamente científica) para ganar tiempo.
Cuando la utilizamos puede suceder que nos equivoquemos yapretemos una tecla en lugar de otra; el resultado será enton-ces diferente al que deberíamos haber obtenido. Si usamos lacalculadora de manera "mecánica" posiblemente no descu-bramos nuestro error.
La mejor forma de utilizarla es anticipándose al resultado,pensar aproximadamente cuál debe ser el resultado. Porejemplo:0,986 x 12,35;
48
esta cuenta seguro que da algo menos que 13. ¿Se dio cuentapor qué? Observe los números que queremos multiplicar.
El número 0,986 es muy cercano a 1 si pensamos en un 1 lacuenta a realizar es 1 x 12,35 que es 12,35; pero como el nú-mero es aun menor que 1 el resultado será menor que 12,35.Por lo tanto, si en el visor aparece un número mayor que 13seguro que se equivocó.
En el ejemplo anterior podemos anticipar que la respuesta es-tará por debajo de 13, pero es obvio que será mayor que 10.
Si el resultado que obtenemos es 11 (que es incorrecto), posi-blemente no nos demos cuenta que cometimos un error, peroen general cuando usamos mal una calculadora los erroresson muy evidentes.
Aunque no siempre es fácil anticiparse con mucha precisión aun resultado, inténtelo. Si usted se acostumbra, notará quecada vez lo hace más rápido y mejor. Es un ejercicio que nosayuda a cometer menos errores y vale tanto para cuando usa-mos una calculadora como para cuando hacemos las cuentasa mano.
Actividad Nº36Piense en la respuesta aproximada de los siguientes cálculos yluego resuélvalos con una calculadora. Compruebe en cada casocuán cerca estuvo del resultado correcto. Recuerde que en lugarde la coma, que no existe en las calculadoras, debe usar el punto.
23,5 x 10,02 =
4,36 : 2 =
3,45 + 0,638 + 0,12 =
2,1 x 4,024 =
262,56 : 1,98 =
a
b
c
d
e
49
Radicación
Si un número elevado al cuadrado da 9 ¿cuál es ese número?
x2= 9
Si 8 es el cubo de un cierto número x ¿de qué número se trata?
Simbólicamente x3= 8
Para resolver ambos problemas usted tuvo que pensar en un cálculoopuesto a la potenciación, ya que lo que tiene como dato es el resul-tado de una potenciación y lo que se busca es el número que hace debase en ese cálculo. A esta operación se la denomina radicación.
En el primer caso x2=9
Se busca la “raíz cuadrada de 9", es decir, qué número o númerosmultiplicado por sí mismo (o elevado al cuadrado) da por resultado 9.
En este caso hay dos resultados posibles:3
2= 9
(-3)2
= 9
En el segundo caso x3= 8
Se trata de hallar “la raíz cúbica de 8" porque se busca conocer quenúmero o números multiplicado por sí mismo 3 53veces da por resultado 8.
En este caso 23=8 tiene una única solución ya que (-2)
3= -8
• Problema 1En la caja de embalaje de cerámicas para piso se informa que estasson cuadradas y tienen una superficie de 900 cm
2cada una. ¿Cuál
es el ancho de cada cerámica?
• Problema 2Se construye un tanque de agua con forma cúbica (igual largo, ancho yalto) de un volumen de 8 m
3¿Cuáles son las dimensiones del tanque?
50
• Analicemos el primer problemaLa cerámica es cuadrada, sus lados son iguales. Necesitamos cono-cer la medida de uno cualquiera de ellos.
Llamando L a la medida de uno de los lados, recordemos que paracalcular la superficie del cuadrado se multiplica lado por lado. Laoperación a realizar es L X L o lo que es igual L2 porque los ladosson iguales. Sabemos, además, que esta cuenta es igual a 900 cm2.Luego, podemos escribir la siguiente ecuación:
L2 = 900
Recuerde, tal como se vio en funciones, en el Libro 3, que cuando no conocemos el valor
de algo que puede tomar diferentes valores (variable) la reemplazamos por una letra.
Cuando tenemos una variable formando parte de la igualdad, a dicha expresión la lla-
mammos ecuación, y la variable se llama incógnita. Resolver la ecuación significa hallar
el o los valores que puede tener la variable para que se cumpla la igualdad.
Nos preguntamos entonces: ¿cuál es el número positivo, que eleva-do al cuadrado da por resultado 900?
La respuesta es: 30 pues 302 = 900
Observamos que en la ecuación L2 = 900 conocemos el valor de lapotencia: 900 y su exponente 2, pero no conocemos la base: L dedicha potencia.
A la base L la definimos como la “raíz cuadrada de 900" y la indicamos:
L= 2 900 pues L2 = 900
En nuestro ejemplo: 30= 2 900 pues 302 = 900
Hablamos de número positi-vo pues la medida de la cerá-mica no puede ser negativa.
51
• Analice el segundo problema
Como el tanque es un cubo las dimensiones largo, ancho y alto soniguales. Por lo tanto todas las aristas también lo son. LlamaremosA al valor de esta arista.
Si la fórmula para calcular el volumen V del tanque, al igual quepara cualquier prisma recto es largo por ancho por altura se puedeescribir:
V = A x A x A o V = A3
Sabemos que el volumen del tanque es de 8 m3 , luego: 8 = A3
En esta ecuación debemos buscar el número A que elevado al cubodé como resultado 8.
La respuesta es: 2 pues 23 = 8. Definimos a 2 como la “raíz cúbica de 8"
Simbólicamente: 2 = 3 8 pues 23 = 8
Podemos obtener el ancho del tanque así: A = 3 8 pues A3 = 8
Finalmente, la respuesta a nuestro problema es que el tanque mide2 m x 2 m x 2 m.
Volviendo a pensar en los ejemplos dados y en la notación que uti-lizamos podemos definir esta nueva operación:
3 8 se lee raíz tercera de ocho o raíz cúbica de ocho y loque buscamos como respuesta es un número que cumpla con la con-dición de que si lo elevamos al cubo la respuesta es 8. Ese número,en este caso es 2, ya que 23= 8.
3 8 = 2
Si en lugar de referirnos a un ejemplo generalizamos la situación,es decir, cambiamos los números por letras que representan a cual-quier número, tendríamos lo siguiente:
��
3 -8���
3 125=5 pues 53 = 125
El índice de una raíz debe ser un número natural mayor o igual a dos (n ≥ 2). Cuando es
2 no es necesario escribirlo (esta es una decisión convencional). Por ejemplo 9 = 2 9 en
ambos casos se lee “raíz cuadrada de 9”
52
n a se lee raíz enésima de un número a. Lo que se busca es un nú-mero b que al elevarlo a la potencia n, permita obtener el número a.
En símbolos:
Por ejemplo
3 27 = 3 pues 33 = 27
5 -32 = -2 pues (-2)5 = -32
Algunas aclaraciones más:
na = b
na = b si bn = a
índice
radicando
raíz
signo radical
����
Actividad Nº37 Halle las raíces y justifique la respuesta como en el primerode los casos.
a
b
5 1c
���3d
����
278
Tanto en los ejemplos como en la Actividad Nº 37 todas los índicesfueron números impares. Podemos sintetizar esta situación de lasiguiente manera:
¿Que ocurre si el índice es par? Veamos algunos ejemplos:
25 = para hallar la raíz cuadrada de 25 debemos pensar quénúmero elevado al cuadrado da 25.5 es solución a este problema ya que 52 = 25
Pero también lo es el número -5, pues (-5)2 = (- 5) x (- 5) = 25
En estos casos, cuando un número admite dos raíces, la única dife-rencia que hay entre ambas soluciones es el signo, por eso lo pode-mos indicar de esta manera:
25 = �5.
Si la raíz es parte de un cálculo combinado sólo consideramos lasolución positiva.
¿Y si el radicando es negativo? Por ejemplo -9.
Ahora lo que buscamos es un número cuyo cuadrado es - 9. Y porlo visto en el Libro 3 ningún número racional elevado a un expo-nente par, da un número negativo.
Si n es impar, es positiva, si a es positivoy es negativa si a es negativo
53
¿Los resultados anteriores son únicos? ¿Por qué?
¿Qué signo tienen los resultados obtenidos? ¿de qué depende?
n a��
e ����
���5
-f
g
h
132
3 0,008 =
���
���
���
Usted posiblemente pensóen -3, y esto no es correcto.Ya que (-3) x (-3)=9 y no -9
54
En resumen:
Si n es par y a positiva n a = ±b tiene dos soluciones;una positiva y otra negativa pues (-b)
n= a y (+b)
n= a.
Si n es par y a negativo, no existe n a.��
��
Actividad Nº38Halle las siguientes raíces. No olvide indicar la doble solucióny aquellas que no tienen raíz.
���36 =
��4 =
���4 16 =
��6 1 =
���-4 =
�����3 1000 =
����0,09 =
�� =94
���3 -1 =
��4 81 =
���5
- =132
�� =254
���4
=1681
Actividad Nº39¿Cuáles son los números enteros que tienen raíz cuadrada en-tera entre 10 y 50?
Escriba todos los números enteros entre -30 y 10 que tenganraíz cúbica entera.
¿Cuáles son los números fraccionarios menores que 5 cuyodenominador sea 4, que tienen raíz cuadrada exacta?
a
b
c
55
Cálculo aproximado
Si usted va a cenar con dos amigos, gastan $20, y deciden pagaren partes iguales ¿cuánto deberá pagar cada uno?
Al dividir 20 por 3, el resultado no da un número entero.
Tampoco es posible obtener resto cero, aun si continuamos hallandomás decimales en el cociente. De todos modos para la situación queestamos planteando, es suficiente con calcular hasta los centavos.
Al hacer cálculos con números racionales en su expresión decimal,puede ocurrir que el resultado o los números que debemos utilizartengan muchas cifras decimales. En algunos caso hay números ra-cionales, como , que tiene infinitas cifras decimales.
En general no es necesario utilizar demasiadas cifras decimales, essuficiente con utilizar las primeras. Con cuántas cifras es necesa-rio trabajar es algo que se decide en función de la precisión que serequiera o el sentido del resultado. En la situación de dividir los $ 20del gasto de la cena en 3, carece de sentido hallar decimales del or-den de los milésimos o más, pues sólo se manejan centavos.
Al decidir tomar sólo algunas cifras del número decimal lo que es-tamos haciendo es un cálculo aproximado.
Decimos que es aproximado ya que si el número fuese 2,2325791 ynosotros tomamos 2,23 desechando el resto de las cifras decimales,el resultado será muy cercano al que obtendríamos usando el nú-mero completo, pero no es igual.
Por ejemplo:
1,0934518 . 25,325819 = 27,692562Pero si en su lugar multiplicamos:1,09 . 25,32 obtenemos 27,5989Que no es lo mismo, pero es muy aproximado.
20 320
206,66
23
56
Esto no sólo ocurre con los números racionales. Existen otros queno lo son (no se pueden expresar como la razón entre dos enteros),como es el caso del número π, que se trabajó en el Módulo 5 y seutiliza para resolver situaciones tales como la longitud de un cir-cunferencia. Todos estos números tienen infinitas cifras decimales.El número π no es 3,1; tampoco es 3,14; ni 3,14159; ni es igual a3,141592653589793238462643; pero cualquiera de estas expresio-nes decimales es el valor aproximado de π.
Si queremos multiplicar 2.π de acuerdo a la precisión que necesi-temos, reemplazaremos π por cualquiera de los valores aproxima-dos. En el caso del número π el decimal 3,14 es uno de los reem-plazos aproximados posibles.
Usualmente hay dos maneras de aproximar un número:
Truncamiento: se suprimen las cifras decimales a partir de deter-minado lugar, por ejemplo �= 3,1415.
Redondeo: Si queremos trabajar con 4 cifras decimales (diez milé-simos), el valor de la cuarta cifra dependerá de la quinta. Si la quintacifra es menor que 5 truncamos el número en la cuarta. Si la quintacifra es mayor o igual a 5 aumentamos una unidad a la cuarta.
Por ejemplo: en el número �, como la quinta cifra es 9, el redondeoes �= 3,1416.
Otros ejemplos con 3 cifras decimales (milésimos)
8 = 2,8284271247461.......... Por truncamiento 8 = 2,828 y por redondeo también (la cuarta cifra es un 4).
= 0,2626262626....... Por truncamiento = 0,262 y por re-dondeo =0,263 (la cuarta cifra es un 6).
�� ��
2699
269926
99
f 4,375 + 23, 318 =
e
d ���3. 24 =
c
b
57
a
a
b
c
Actividad Nº40Usando la calculadora realice las siguientes cuentas y luegoescriba el valor aproximado truncado y redondeado con 2 ci-fras decimales (centésimos).
���11 =
���6 =
���3 2 =
38 : 110 =
Lo común es que tengamos que realizar cálculos con números de-cimales que podemos redondear en su segunda (centésimos) o ter-cer cifra (milésimos); pero no siempre es así.
Actividad Nº41Una pared de 14,36 metros de largo, debe ser dividida en tres par-tes iguales para armar tres habitaciones. Calcule la medida de cadauna de esas partes (por redondeo), tenga en cuenta que la mayorprecisión que podemos tomar está en el orden de los milímetros.
Cinco amigos comparten un departamento; este mes los gastospor servicios son de $ 162,42. Si dividen los gastos en partesiguales ¿cuánto debe pagar cada uno? (resuélvalo por trunca-miento en los centavos).
Un rectángulo tiene 2,15 cm de base y 6,32 cm de altura. Cal-cule el área del rectángulo con una precisión del orden de loscentésimos de cm por redondeo. Recuerde que el área se cal-cula multiplicando la base por la altura.
Si la medida de un objeto muy pequeño es 0,000000000023 mm,no podremos redondear ni en la segunda, ni en la tercer, ni en lacuarta. En estos casos se trabaja con notación científica.
58
Notación científica
La circunferencia aproximada de la órbita de la Tierra es de938.900.000 km.
La masa de los océanos es de 1.350.000.000.000.000.000 toneladas.
La estrella más cercana a la tierra (fuera del sol) está aproximada-mente a 9.600.000.000.000 km.
Lea en el Libro 2, MóduloNº5, en el apartado Poten-ciación, cómo se escribencantidades como suma depotencia de 10.
Actividad Nº42Halle las siguientes potencias.
102 = 107 =
103 = 108 =
104 = 109 =
105 = 1010=
106 =
Analice el resultado de las potencias anteriores. Compare la can-tidad de ceros del resultado con el exponente de esa potencia de10. ¿Qué conclusión puede obtener? Justifique su respuesta.
a
b
59
c
d
e
¿Cuántos ceros tiene el resultado de cada una de las siguien-tes operaciones? ¿Por qué?
2,4 . 104 =
5,13 . 102 =
3,8 . 105 =
0,3 . 103 =
Realice las siguientes operaciones y analice los resultados.¿Qué conclusión obtiene?
3,4 . 10 =3,48 . 100 =3,485 . 1000=
¿Por qué número debe multiplicar a los siguientes para obte-ner como resultado el menor entero?
3,5 . = 35
2,84 . = 284
0,375 . = 375
Cuando los números tienen muchas cifras perdemos la noción dela verdadera magnitud que representan. Por ello, es convenienteutilizar lo que se denomina notación científica, los ejemplos ante-riores se pueden escribir así:
La circunferencia aproximada de la órbita de la Tierra es de9,39 x 108 km.
La masa de los océanos es de 1,35 x 1018 toneladas.
La estrella más cercana está aproximadamente a 9,6 x 1012 km.
Observe los números dados y su notación científica y trate de en-contrar la justificación de esta escritura.
938.900.000 km = 9,39 x 108 km.1.350.000.000.000.000.000 toneladas = 1,35 x 1018 toneladas.9.600.000.000.000 km = 9,6 x 1012 km.
60
Recuerde que las potencias de 10, es decir 10 elevada a un ciertonúmero entero y positivo, son equivalentes a 10, 100, 1.000,10.000... la cantidad de ceros coincide con el exponente:
101= 10 102 = 100 103 = 1.000
Multiplicar 9,6 x 1012 significa multiplicar 9,6 por la unidad segui-da de 12 ceros. Si a 9,6 lo multiplicamos por 10 se obtiene 96, pe-ro aun falta multiplicarlo 11 veces más por 10, por lo tanto el re-sultado será 9.600.000.000.000
Hay números cuyo valor absoluto está muy cerca del 0. Por ejemplo:
Las bacterias miden entre 0,000001 y 0,00001 m.
Los virus más pequeños son icosaédricos (polígonos de 20 lados) quemiden de 0,000000018 a 0,000000020 m de ancho. Los de mayortamaño no suelen medir más de 0,000001m.
Cuando se quiere expresar en notación científica números peque-ños menores que 1 que tienen una gran cantidad de cifras se utili-zan las potencias de 10 con exponente negativo.
¿Qué significa que un número esté elevado a un exponente negativo?
Por ejemplo, 3-2 = ?
Al trabajar el tema división de fracciones se explicó a qué se llama in-verso multiplicativo de una fracción. Por ejemplo, el inverso multipli-cativo de 3 es ; el de es . Relea ese apartado antes de continuar.
Cuando un número está elevado a un exponente negativo se hallala potencia indicada (en positivo) del inverso multiplicativo de labase. En el ejemplo dado:
Si se trata de números enteros en la base (2-5; 10-4) es equivalente a:
13
52
13
19
25
3-2 = ( )2 =
12
1322-5 = ( )5 =
10-4 = ( )4 =110
110000
61
0,3 . 10-4 =
3,2 . 10-2 =
3,4 . 10-4 =
6,84 . 10-2 =
Actividad Nº43Halle las siguientes potencias.a
b
c
d
=1102
=1103
=1104
=1109
Halle
10 -3 =10 -5 =10 -4 =10 -2 =
Compare en los ejercicios a y b la cantidad de cifras decima-les de los resultados con los respectivos valores absolutos delos exponentes. ¿Qué conclusión puede extraer? ¿Por qué?
Resuelva las siguientes operaciones.
¿Cuál es la primera cifra decimal significativa (distinta de 0)en cada resultado. ¿Por qué? Compare el lugar después de lacoma (o el punto) que ocupa esa cifra con el exponente. Jus-tifique su respuesta.
Considere nuevamente el tamaño de los virus y las bacterias. Ennotación científica se expresan:
• las bacterias miden aproximadamente entre 1x 10-6 y 1x 10-5
• los virus más pequeños miden de 1,8 x 10-8 a 2 x 10-8.
4,5 x 1013 = 45.000.000.000.000 (si n = 13)
3,23 x 10-7 = 0,000000323 (si n = -7)
62
Otra vez, intente encontrar la justificación a este tipo de escritura,observando el número dado y su notación científica. Observe queen todos los casos hay sólo una cifra entera.
0,000001 = 1x 10-6 m0,00001 m = 1x 10-5 m0,000000018 = 1,8 x 10-8 m0,000000020 m = 2 x 10-8 m
Resumiendo:
Todo número r puede escribirse, si es conveniente, en la forma r=a x 10n dondea es un número entre 1 y 10 y n es un entero
a
a
n
n
Actividad Nº44Escribir en notación científica los siguientes números:
El diámetro de la tierra es de: 12.700 km
El diámetro de un determinado tipo de virus es de 0,00000063 m.
La galaxia de Andrómeda se encuentra a aproximadamente2.000.000 años luz.
Un átomo de oxígeno pesa 0,0000000000000000000000266gramos.
Galaxia de Andrómeda.
a
b
c
d
63
a
b
c
d
Actividad Nº45Escriba el número con todas sus cifras.
Algunos protozoos miden 2 x 10 -7 milímetros
Plutón se encuentra a 5,9 x 109 km del sol
El tamaño medio de una ameba es de 2,5 x 10 -2 milímetros.
Para unir la tierra con la luna habría que colocar 5,43 x 104
montañas como el Aconcagua una encima de la otra.
Actividad Nº46Ordene de menor a mayor los siguientes números.
3,7 x 10-5 2,6 x 103 3,5 x 10-4 1,2 x 102
5 x 10-4 1,25 x 108 1,25 x 109
Uso de la calculadora
Actualmente existe una gran variedad de calculadoras cientí-ficas que en todos los casos permiten operar con números ensu notación científica o dan el resultado de ciertos cálculos eneste tipo de escritura.
Si queremos hacer 4.000.000 X 500.000, este cálculo da2.000.000.000.000. Como tiene 13 cifras no entra en el visorde una calculadora corriente.
En las más antiguas calculadoras aparece la leyenda de error;en las actuales en cambio el resultado figura utilizando nota-ción científica.
64
Si posee una calculadora realice la operación. Según el modeloy la marca habrá obtenido alguno de los siguientes resultados:
Lo mismo ocurre con números muy pequeños. Realice con la cal-culadora 0,000048 : 500. Obtendrá alguno de estos resultados:
Muchas máquinas tienen una tecla cuya función “Exp" per-mite introducir y operar con números en notación científica.
Para utilizar esta función se siguen los siguientes pasos:
Si queremos sumar 3,2 x 108 + 5 x 107
1. Se escribe 3,2 y se oprime la tecla y en el visor apa-rece 3,200.
2. Se teclea el exponente, en este caso 8 y aparece 3,208.3. Se oprime la tecla de suma y se introduce el segundo núme-
ro de igual modo.4. Al apretar el igual aparecerá la leyenda 3,708.
Si tiene dificultades con el uso de la calculadora, consulte conel docente. Tenga en cuenta que el modelo de su calculadorapuede tener diferencias con lo mencionado más arriba.
Exp
2 . 12 2 12 2 . 1012
9.6. -08 9.6 - 08 9.6. 10 -08
Exp
65M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n
Triángulos
En las últimas páginas encontrará varillas de papel de diferentestamaños; recorte las que miden 20 cm y las que miden 10 cm.
Arme con esas varillas cuadriláteros como los de las figuras de laderecha.
Todas las figuras que usted armó son cuadriláteros cuyos lados mi-den 10, 20, 10 y 20 cm cada uno.
Todos los cuadriláteros que usted armó tienen las mismas medidasen sus lados pero ¿son iguales?
Un objeto, por ejemplo un cuadro, puede estar representado con elprimero de ellos (el rectángulo). Si se presiona en uno de los vérti-ces, el marco se moverá deformándose hasta quedar como algunode los otros dos cuadriláteros. Es decir, los cuadriláteros puedendeformarse y adoptar diferentes formas manteniendo las mismasmedidas en sus lados.
¿Pasará lo mismo con los triángulos?
Arme con una de las varillas de 10 cm, otra de 20 cm y una de 15cm, un triángulo como el de la figura.
Para poder armar un triángulo con lados de una medida previa-mente establecida, como en este caso 20, 15 y 10 cm, el proceso esel siguiente:
1. Tome uno de los lados, por ejemplo el de 20 cm.
2. Tome ahora el de 10 cm y apóyelo en uno de los extremos de la varilla. Si mantiene unidos esos dos extremos, podrá moverel otro libremente describiendo un arco como el de la figura.
3. La tercera varilla (la de 15 cm), apoyada en el otro extremo, tam-bién podrá moverla libremente. Pero hay un único punto en el quelos dos extremos restantes coincidirán.
66
Moviendo las varillas tal como hizo con los cuadriláteros, trate dearmar otro triángulo que también tenga 20, 15 y 10 cm de lado.
Como habrá podido observar, el triángulo que se puede armar conesas medidas es único. No es posible “deformarlo" como en el casode los cuadriláteros.
Es por esta razón que los triángulos se utilizan en aquellas cons-trucciones donde las fuerzas y presiones a las que están sometidaspodrían modificar su forma y romperse o derrumbarse.
En edificios en los que la estructura no es visible igual están presen-tes los triángulos; en el interior de columnas y vigas los hierros estándispuestos de tal manera que forman triángulos entrelazados entre sí.
Propiedad de los lados
¿Es posible construir un triángulo que tenga tres segmentos cua-lesquiera por lados? Por ejemplo, con una varilla de 20 cm, una de10 y la otra de 8 cm.
Intente armar el triángulo con las varillas de estas medidas. Reciéndespués continúe leyendo.
¿Pudo hacerlo?
El gráfico muestra lo que posiblemente realizó usted con las varillas.
El lado a (20 cm) ¿cómo es con respecto a la suma de los lados b (8cm) y c (10 cm)?
Si coloca las varillas de 10 cm y 8 cm sobre la de 20 cm notará quefaltan 2 cm para que puedan tocarse los extremos, por ello no pu-do armar el triángulo.
Un triángulo queda determinado por sus tres lados.
67
Actividad Nº47¿Puede ser uno de los lados mayor que la suma de los otros dos?
¿Cómo tiene que ser cualquiera de los lados con respecto a la di-ferencia de los otros dos? (Si uno es de 20 cm y el otro de 8 cm,la diferencia es 12 cm.)
De acuerdo con sus respuestas a las preguntas a y b, escriba en unpárrafo cómo debe ser la relación entre los lados de un triángulo.
a
b
c
Al armar el triángulo usted habrá comprobado que los lados nopueden tener cualquier medida. Pero no necesariamente los ladostienen que tener medidas diferentes entre sí. Dos o los tres ladospueden medir lo mismo.
Según tengan o no lados iguales, se obtendrán los siguientes triángulos:
Aclaración
Si usted consulta diferentes textos donde se analiza la clasificación de los triángulos con
respecto a los lados, es posible que encuentre en muchos de ellos que sólo hay dos clases:
los isósceles y los escalenos. Estos autores consideran a los equiláteros como un caso
especial de los isósceles, donde el tercer lado es igual.
Equi látero a=b=c
Isósce lesa=b
Esca leno a=b=c
68
Ángulos interiores
Del mismo modo que podemos clasificar a los triángulos según lamedida de sus lados, podemos hacerlo según sus ángulos interiores.
AcutánguloLos tres ángulos agudos
RectánguloUn ángulo recto
ObtusánguloUn ángulo obtuso
Además de las varillas, en las últimas hojas se han incluido variostriángulos designados con un número para identificarlos. Recórtelos.
Actividad Nº48Indique qué tipo de triángulo es cada uno de ellos, tanto porla medida de los lados como por sus ángulos.
Triángulo 1, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triángulo 2, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triángulo 3, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triángulo 4, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triángulo 5, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triángulo 6, es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
a
b
c
d
Actividad Nº49Para sumar los tres ángulos interiores de cada triángulo, re-corte los 6 triángulos.
Recorte en cada triángulo sus ángulos interiores, como lomuestra el esquema.
Luego ubique los ángulos uno a continuación del otro. Debehacer coincidir vértice con vértice y al lado de un ángulo conel lado del otro.
¿Cuánto mide la suma (a + b + c) de los tres ángulos interio-res de cualquiera de los triángulos?
De acuerdo con su respuesta a la pregunta c, escriba en un pá-rrafo la propiedad de los ángulos interiores de todo triángulo.
Esta propiedad de los ángulos interiores es muy utilizada en diferen-tes situaciones en las que intervienen triángulos. Si dos de los ángu-los son conocidos, el tercero puede calcularse con esta propiedad.
Antes de continuar consulte las Claves.
Actividad Nº50Calcule el ángulo interior restante.
A=39º, B=93º
A=123º, C=17º
B=45º 30', C=67º 20'
B=33º, C=43º 23'
C=A=56º 30'
B=C y A=80º
ABC rectángulo en C y 50º
A=B=C
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
70
El segmento BP tiene por extremos los puntos B, que es un vérticedel triángulo, y el punto P, llamado “pie de altura" sobre el lado ACo su prolongación. Como en el siguiente triángulo.
Del mismo modo que determinamos la altura con respecto al ladoAC, se puede determinar con los otros dos lados.
Alturaes el segmento perpendicular a un lado
que tiene un extremo en el vértice opuesto y el otro en el lado o su prolongación.
Además de los lados y los ángulos, usted recordará que existenotros elementos en un triángulo que utilizamos, por ejemplo enfórmulas que nos permiten hallar la superficie (Módulo 5) o parahallar puntos de importancia de los triángulos. Por ejemplo:
Alturas
¿Cómo se determinan las alturas de un triángulo?
En cada uno de estos triángulos el segmento BP es la Altura co-rrespondiente al lado AC.
71
Actividad Nº51Determine la altura correspondiente al lado MN en cada trián-gulo. Para construir el segmento perpendicular cuyo extremo esel vértice utilice una escuadra como se muestra en la imagen.
Al resolver la actividad habrá observado que la altura con respec-to a uno cualquiera de los lados de un triángulo puede ser un seg-mento interior, exterior o coincidir con uno de los lados.
Actividad Nº52Determine las tres alturas del siguiente triángulo.
72
Introducción a la estadística
A través de los distintos medios de comunicación, los diarios, laradio, la televisión, el cine y las revistas es frecuente escuchar oleer frases como las siguientes:
1. ”Nueve de cada diez personas leen el diario..."
2. ”Se probó una vacuna que resultó efectiva en el 98 % de los casos."
3. "El 55 % de los votantes se inclina por..."
Actividad Nº53Exprese la primera frase como porcentaje.
¿Qué significan en el lenguaje cotidiano los porcentajes seña-lados en la segunda y en la tercera frase?
a
b
También habrá escuchado o leído expresiones como éstas:
1. “De acuerdo con las estadísticas..."
2. “Me baso en las estadísticas que publicó el diario..."
3. “Las estadísticas prueban que..."
4. “Estadísticamente esta vacuna es confiable en un 98%."
5. “Es cuestión de consultar las estadísticas."
6. “Según las estadísticas hoy ha sido el día más caluroso del año..."
Actividad Nº54En todas las expresiones anteriores aparece la palabra esta-dística. Explique con sus palabras qué significa.
73
a
b
c
Estas informaciones que se refieren al porcentaje o cantidad de ve-ces que sucede un hecho o situación se denominan estadísticas. Sedan a conocer, en general, como datos numéricos cuidadosamenteobtenidos. Es habitual que los datos se ordenen y se presenten enforma de cuadros, de gráficos, diagramas, etc.
La estadística es el conjunto de definiciones, reglas, leyes, métodosy cálculos que se utilizan para:
• recopilar (obtener la información necesaria para el estudio quese quiera realizar);
• clasificar (organizar la información);
• analizar (con el objeto de extraer alguna conclusión que sea vá-lida luego de haber obtenido los datos y decidir la forma másadecuada de presentación);
• presentar (en orden, con claridad y por medio de cuadros, grá-ficos la información que se recopiló);
• inferir (interpretar los datos estadísticos y sacar conclusionesque permitan prever o predecir la marcha futura del fenómenoque se está estudiando a través de los datos disponibles).
Actividad Nº55Busque en un periódico de su localidad tres artículos que in-cluyan gráficos estadísticos.
¿Por qué los reconoce como gráficos estadísticos?
¿Qué información se puede obtener a partir de ellos?
¿Cuál es la fuente de la información?
La estadística se ocupa del estudio de comportamientos generales noindividuales. Por ejemplo:
“Estadísticamente, esta vacuna es confiable en el 98% de los casos"
Nada se puede afirmar sobre el efecto que tuvo en una persona o uncaso en particular sino sobre un conjunto.
74
Precisamente, la información general sobre un conjunto de casosque se puede obtener mediante procedimientos estadísticos es loque motiva la gran aplicación que hacen las empresas para la co-mercialización de sus productos; los políticos sobre la intencióndel voto de los ciudadanos; los científicos para los resultados de unmedicamento o de una vacuna; los astrónomos sobre alguna con-clusión, luego de miles y miles de observaciones del cielo, acercade un nuevo tipo de estrella; los sociólogos cuando estudian algúncomportamiento de una sociedad en particular; etc.
Aun de forma muy sencilla, es común que se recolecte información yse la procese para tomar decisiones. Por ejemplo: el vendedor de calza-do necesita conocer cuál es el número de zapatos de más venta paradecidir qué cantidad de zapatos por número debe tener en stock. Es de-cir, sobre la base de la información de que dispone (cantidad de paresde zapatos por número que vende) puede decidir una compra futura.
Con información mucho más precisa en su obtención y organiza-ción los meteorólogos pueden pronosticar el tiempo, los biólogosel comportamiento de los peces, las autoridades educativas dóndeconstruir una nueva escuela.
l sol ya se escondió. La gente sale de trabajar o
vuelve a su casa, mientras los negocios empiezan a ba-
jar las persianas con la recaudación del día en la caja.
En esas horas entre las 19 y las 22, se comete la mayor
cantidad de delitos en la provincia de Buenos Aires. Y
más aun si se trata del anochecer del martes, según
estadísticas difundidas ayer por el Ministerio de Justi-
cia y Seguridad bonaerense.
El estudio oficial se hizo durante junio. En ese mes, los
bonaerenses denunciaron 25.790 delitos de todo tipo.
De ellos, el 21,45 % ocurrió entre las 19 y las 22. La si-
guiente franja horaria en el ranking es la que va desde
las 10 a las 13, cuando se produjeron 3.900 delitos (el
15% del total).De acuerdo con la estadística, el martes es el día que
más delitos ocurren. El promedio diario es de 850 de-
nuncias, mientras que el de los martes es de 980, un
15% más. En el otro extremo se ubican los domingos,
cuando los hechos denunciados bajan un 50%.
"Las estadísticas sirven para no operar a ciegas. Con
estos números diseñamos distintas estrategias para
atacar mejor el delito. Concentramos más cantidad de
recursos en determinados horarios y lugares. Así la po-
licía puede actuar con mayor eficacia", explicó a Clarín
el subsecretario de Seguridad de la provincia.
Por ahora en el Ministerio todavía no determinaron
por qué hay más delitos los martes. El subsecretario
arriesgó: "Ese día la mayoría de los negocios reciben
las provisiones de mercadería después de todo el fin
de semana. Entonces hay más proveedores que lle-
van dinero en la calle y mayor movimiento de gente
que va a los bancos":
La mayor cantidad de delitos
se comete los martes
E
S O C I E DA DClarín - 29 de Julio de 1999
Estadísticas en la provincia de Buenos Aires
Según cifras correspondientes a junio del Ministerio de Justicia y Seguridad bonaerense
75
Actividad Nº56Busque en diarios o revistas dos artículos que presenten infor-mación estadística que puedan servir para tomar alguna deci-sión sobre el tema del que tratan. Fundamente su respuesta.
Universo o población
Como ya se ha señalado, la estadística brinda información gene-ral sobre un conjunto de casos. A todo conjunto que sea objeto deobservación con fines estadísticos se lo llama universo o población.Los elementos del universo o población se denominan individuos.
Ejemplos:
1. Todas las personas que están en condiciones de votar, es decirlos ciudadanos, constituyen la población de votantes.
2. Todos los alumnos entre 6 y 14 años que asisten a la escuela,forman una población.
3. Todos los peones de campo constituyen la población que tra-baja en el campo.
4. Todos los peces de una laguna constituyen la población deesa laguna.
5. Todos los autos que ingresaron a reparación son la poblaciónque considera el dueño del taller para llevar una estadística.
Los individuos del mismo universo o población pueden ser perso-nas, animales, objetos, votos, cantidades de lluvia caída, nevadas,granizo, sequías, crecimiento de ríos, etc.
Los censos, por ejemplo, son operativos que se realizan para obte-ner datos sobre la totalidad de los elementos que componen ununiverso de estudio. En la Argentina existe un organismo público,el Instituto Nacional de Estadística y Censos (INDEC) encargado de
76
orientar y ejercer la dirección de todas las estadísticas oficiales queser realizan en el territorio. También coordina el SistemaEstadístico Nacional, integrado por los servicios estadísticos de losorganismos nacionales, provinciales y municipales.
El INDEC es el organismo encargado del censo nacional de pobla-ción, que se realiza para obtener información sobra las principalescaracterísticas de las personas, las viviendas, etc. del país. La infor-mación que se obtiene es muy importante porque permite estimar lasnecesidades presentes y futuras de la población y diseñar diferentesprogramas sociales para atenderlas: alfabetización; urbanización;empleo, etc. Conocer la cantidad de población en cada una de las ju-risdicciones del país es indispensable para establecer, entre otrascuestiones, la cantidad de diputados que cada una enviará al Congre-so y los representantes a nivel provincial y municipal. La informacióntambién resulta útil en ámbitos privados. Por ejemplo, las empresaspueden estimar la demanda de bienes y servicios de acuerdo con laconcentración de la población; decidir dónde instalar una fábrica enfunción de la disponibilidad de la mano de obra, etc.
Las recomendaciones internacionales sugieren que el censo depoblación se realice cada diez años, procurando que coincida con losaños terminados en cero. Esto facilita las comparaciones entre dife-rentes países ya que los censos se hacen en todos ellos. En el si-guientes cuadro se pueden observar algunas de esas comparaciones.
País
Canadá
Japón
España
Argentina
Brasil
Paraguay
Uruguay
Superficie(mil/km2)
9.976
372
504
2.766
8.511
406
176
Población estimada(millones) 1998
Población urbana(%) 1995
30.2
125.9
39.8
36.1
165.2
5.2
3.2
Esperanza de vidaal nacer (años) 1995
Líneas de teléfonoc/1000 personas - 1995
79.1
79.9
77.7
72.6
66.6
69.1
72.7
Tasa de alfabetizaciónadultos (%) 1995
99
99
97.1
96.2
83.3
92.1
97.3
590
487
385
160
75
31
196
77
78
76
88
78
53
90
Datos de Censos comparativos entre países
77
Actividad Nº57Otra de las actividades que realiza el INDEC es el Censo Na-cional Agropecuario.
¿Qué elementos compondrán el universo o población de estecenso?
¿Para qué cree usted que puede servir la información que seobtiene mediante este censo?
a
b
Trabajar con todos los elementos de un universo, como en el casode los censos, es un proceso muy costoso tanto en recursos econó-micos como en humanos. Lea el siguiente artículo para conocercómo se está organizando en el país el censo del año 2000.
fines de octubre del 2000, unas 600.000 personas
recorrerán todos los rincones del país en busca de los
37 millones de argentinos que, según estimaciones ofi-
ciales, habitan el territorio. En el menor tiempo posible
plantearán más de 100 preguntas en cada hogar que
quedarán reflejadas en cerca de 150 millones de hojas.
Con estos datos, el Instituto Nacional de Estadísticas y
Censo (INDEC) elaborará el Censo Nacional de Pobla-
ción, Hogares y Viviendas del 2000 que costará 55
millones de pesos.
Los censistas -en su mayoría maestros que serán ca-
pacitados previamente- subirán cerros inhóspitos, re-
correran en total casi cuatro millones de kilómetros
cuadrados hasta llegar a los poblados perdidos y toca-
rán las puertas en medio de barrios residenciales o de
villas de emergencia.
Ese día, aún sin fecha establecida, casi no habrá acti-
vidad en el país para que la mayor parte de la gente
pueda permanecer en el hogar.
Una de las cuestiones más novedosas que incluye el
futuro censo es la búsqueda de acuerdos entre los paí-
ses del Mercosur, además de Chile y Bolivia. Las auto-
ridades regionales intentan homologar los términos y
las variables estadísticas para poder comparar la in-
formación sobre la misma base.
Éste es el noveno censo que se llevará adelante en el
país. El primero se hizo en 1869, cuando la Argentina
tenía 1,8 millones de habitantes. A 131 años de esa fe-
cha, la población se habrá multiplicado más de 20 veces
hasta llegar a los 37 millones de hoy, según el INDEC.
el Censo del 2000?¿Cómo será
A
Clarín - 5 de Agosto de 1999
S O C I E DA D
Ama l i a E i z ayaga
*En el año 2000 no se realizó el Censo Nacional de Población, Hogares y Vi-viendas. Su ejecución está prevista para el año 2001.
*
78
Como habrá notado luego de leer la última parte del artículo, tra-bajar con todo el universo cuando éste está compuesto de muchosindividuos, no siempre es factible. El proceso es muy complicado ycostoso. Otras veces, no resulta necesario analizar el total de la pobla-ción o la información que se busca no requiere ser tan precisa y pue-de ser estimada con un cierto margen de error. En esos casos no setrabaja con el total de individuos o elementos sino con una muestra.
Por ejemplo, habrá escuchado muchas veces que, al finalizar unaelección para presidente, gobernador o diputados, los medios co-mienzan a dar información sobre los resultados antes de que se ha-yan contado todos los votos. Esta información la obtienen median-te lo que se denomina " a boca de urna" y consiste en preguntarlea la gente, después de que lo hicieron, por quién votó. Esta pre-gunta no es posible hacérsela a todos los que votaron sino que seelige a algunas personas o muestra del total de votantes.
¿Cómo se elige la muestra o los elementos de una prueba?
La teoría dice que una muestra, para ser representativa y confia-ble, debe ser aleatoria. Se debe elegir al azar. La elección de los in-dividuos no debe seguir ninguna norma prefijada. Cuanto másaleatoria sea, mejor y más confiable será la conclusión que podráextenderse a toda la población. Para elegir al azar los individuosque se considerarán en la muestra primero es necesario caracteri-zar el universo de población que se quiere estudiar y establecer lacantidad de individuos que se incluirán en cada caso.
Por ejemplo, una fábrica quiere conocer la aceptación que tendrá unnuevo modelo de auto que están por sacar al mercado. Primero ca-racteriza el universo: segmento de la población que puede llegar acomprarlo por su poder adquisitivo; se analiza cuántos son hombresy cuántas mujeres; se consideran diferentes tramos de edad a partirde los 21 años. Sobre la base de estos datos se determina a cuántaspersonas que reúnan determinados requisitos se entrevistarán y seelige al interior de cada caso los individuos al azar. Con estos resulta-dos la empresa automotriz direccionalizará su campaña publicitaria.
La selección representativa y confiable de la muestra es una activi-dad que requiere de conocimientos específicos para asegurar que
79
los datos que se obtienen pueden aplicarse al total de la población.Esta tarea la realizan profesionales especializados no sólo en esta-dística, sino especialmente en muestras. En general se los llamamuestristas y en todos los casos indican el grado de confiabilidaddel resultado obtenido, explicitando el porcentaje de error posible.Es habitual que esta información se presente en una "ficha técnica"que acompaña los resultados de la indagación realizada, donde sedescriben sintéticamente las características de la muestra, los mé-todos utilizados, el error posible, etc.
A modo de ejemplo incluimos una ficha que formaba parte de unartículo del diario Clarín sobre los resultados electorales de 1995.
F I C H A T É C N I C A
• Empresa ejecutora: CEOP (Centro de Estudios de Opinión Pública)
• Tipo de estudio: encuesta en boca de comicio.
• Tipo de preguntas: cerradas, alternativas fijas y abiertas.
• Alcance de la muestra: nivel nacional.
• Tamaño de la muestra: submuestra especial en boca de comicio sobre un total
de 2.650 casos con un error de + / - 1,94% (confiabilidad del 95.5%).
• Fecha de realización: trabajo de campo: 14 de mayo de 1995.
• Procesamiento y análisis:15 al 19 de mayo de 1995.
Actividad Nº58Indique cuáles de las dos muestras siguientes considera ustedque son representativas del conjunto total observado (pobla-ción), en este caso del total de alumnos de una escuela.
1. De la población de alumnos de la EGB a la cual va mi hijo seeligió un grupo de 10 alumnos de los quintos años.
2. En la misma escuela, una maestra propuso poner todos los nombres de los chicos en una urna y luego sacar 10 al azar, como en los sorteos de los concursos.
Busque en diarios y revistas algún relevamiento estadísticoque esté acompañado de su ficha técnica. ¿Qué informaciónproporciona?
a
b
80
Instrumentos
La recolección de datos para producir información estadística selleva a cabo utilizando diferentes métodos y utilizando diversosinstrumentos. En los censos de población se utilizan planillas cen-sales; para conocer la intención de voto se utilizan encuestas; pararegistrar las ausencias de los alumnos, registros especiales, etc.
Cuando se recoge información el instrumento que se emplee esfundamental. Su correcta elaboración permite que sea utilizado pordistintas personas sin que haya lugar a diferentes interpretaciones.También permite registrar información en el lugar adecuado y deforma tal que sea fácilmente procesable. Esto es muy importantecuando se recogen datos sobre muchos casos y en su relevamientointervienen muchas personas.
Al diseñar el instrumento también se debe considerar la forma enque la información será procesada. Cuando los casos son muchos,en general se realiza con el auxilio de computadoras, por lo que eldiseñador del instrumento debe considerar la manera en que el in-greso de los datos sea más rápido y al menor costo.
Variables estadísticas
Los diarios publican a menudo estadísticas acerca de determinadascaracterísticas de una población. Por ejemplo: el censo nacionaltiene en cuenta la edad de los individuos, las condiciones de la vi-vienda; existen datos sobre el salario según la profesión; la canti-dad de ganado de una determinada provincia; el porcentaje de in-tención de voto a un determinado candidato ante una futura elec-ción; etc.
La edad, el salario, la cantidad de ganado, tomarán diferentes va-lores para cada uno de los individuos de la muestra. Por eso se lla-man variables. En estadística interesa saber cuántas veces se repi-ten los diferentes valores: de las edades, de los salarios, del gana-do, etc. Existen variables cualitativas y variables cuantitativas.
81
Las variables cualitativas son las que no toman valores numéri-cos. Por ejemplo: la variable carrera que va a estudiar toma los“valores": matemática, física, química, música, plástica, educaciónfísica, historia, geografía, biología, literatura, etc. En estos casosestadísticamente se “cuenta" cuántas veces se repite cada uno delos posibles valores de la variable cualitativa.
Todas las características comunes de los individuos de una pobla-ción estudiada en las que se toman valores numéricos (valores queresultan de contar o medir) se denominan variables cuantitativas.Por ejemplo: la cantidad de hijos, cantidad de votos, etc.
Existen dos clases de variables cuantitativas:
• las que se asocian al conteo que se llaman variables discretas (só-lo pueden tomar algunos valores enteros).
• las que se asocian al proceso de medición que se llaman variablescontinuas (pueden tomar todos los valores de un intervalo racional).
Ejemplos de variables discretas:
1. Cantidad de varones que concurren a los distintos años en la EGB.
2. Número de veces que salió el 5 cuando tiramos un dado 100 veces.
3. Cantidad de partículas que emite una sustancia radiactiva en 10 minutos.
Ejemplos de variables continuas:
1. Duración real de los partidos de fútbol.
2. Altura promedio de los alumnos de un determinado ciclo de EGB.
3. Consumo de electricidad de 10 fábricas durante un mes en la pro-vincia de Córdoba.
82
Actividad Nº59Indique si las siguientes variables son continuas o discretas
Cantidad de veces que salió cara luego de revolear la moneda10 veces.
Temperatura promedio, en un día de verano elegido al azar,en la ciudad de Ushuaia.
Número de bolillas blancas que se pueden extraer de un bolille-ro que contiene 3 rojas y 5 blancas cuando se extraen 4 bolillas.
Número de hijos de una familia.
Valor de las monedas que circulan en la Argentina.
La edad de las personas.
Actividad Nº60Si le informan que se está analizando al conjunto de estu-diantes que estudian EGB a distancia, ¿cuál será el universo opoblación?
Seleccione cuatro variables que puedan analizarse sobre esta po-blación. Considere que por lo menos una de ellas sea cualitativa.
Elabore una encuesta para recoger la información.
Haga una tabla para volcar la información obtenida.
a
b
c
d
e
f
a
b
c
d
83
a
b
c
d
Frecuencias
En estadística se cuenta la cantidad de veces que se repite un he-cho. Por ejemplo, ¿cuántos niños en el país tienen 8 años? Esta“cantidad de veces" se llama frecuencia.
Analice el siguiente ejemplo:En la tabla se presentan las calificaciones de alumnos que han ren-dido examen. En este caso la variable es la nota. La primera co-lumna contiene las notas ordenadas en forma creciente; la segun-da, el número de alumnos que obtuvo cada calificación.
12345678910
notas cantidad de alumnos
2434763524
Actividad Nº61¿Cuántos alumnos fueron examinados en total?
¿Cuántos alumnos obtuvieron 9 o 10?
¿Cuántos fueron aplazados? (Cuatro se considera aprobado).
¿Cuál fue la nota que obtuvo la mayor cantidad de alumnos?
Los números presentados en la segunda columna se llaman fre-cuencias absolutas.
Si observa la tabla verá que para el caso de la nota 8 la frecuenciaabsoluta (cantidad de alumnos que obtuvo esa nota) es 5.
84
Actividad Nº62¿Cuál es la frecuencia absoluta para la nota 10?
¿Cuál es la frecuencia absoluta de los aplazados?
¿Cuál es la mayor frecuencia absoluta?
a
b
c
La mayor frecuencia absoluta significa que ese valor es el que tie-ne la mayor cantidad de casos sobre el total de la población. En elejemplo corresponde a la nota 5 que fue la que sacaron 7 alumnossobre el total de los que rindieron examen. Al número que le corres-ponde la mayor frecuencia se lo denomina moda o valor modal.
¿Cómo se puede presentar una colección de datos para que resulte cómodo su análisis?
Una vez establecida la población y las variables estadísticas que sedesean estudiar, se hacen las observaciones o indagaciones corres-pondientes utilizando el instrumento que se haya seleccionado. Los resultados así obtenidos se consignan en cuadros.
Por ejemplo:Suponga que se quiere conocer la edad de los alumnos de un grupode Educación General Básica a distancia. Se obtienen las siguientesedades de 20 alumnos ordenados alfabéticamente por apellido:
20 35 23 23 4818 37 24 25 4345 31 18 19 2140 29 21 43 24
Así presentados, estos datos aportan poca información a quien hade analizar este cuadro.
Si los ordenamos de menor a mayor, se obtiene:
18; 18; 19; 20; 21; 32; 23; 23; 24; 24; 25; 29; 31; 35; 37; 40; 43;43; 45; 48
85
18 - 2021 - 3031 - 4041 - 50
51 y más
edad frecuencia absoluta
48440
Total
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-59
60 y más
edad
25.987.518
3.350.673
2.842.009
2.454.123
2.304.242
2.214.181
2.119.168
1.963.648
1.690.055
2.851.271
4.198.148
población total de
10 años y más
Aun así resulta difícil de analizar. Es conveniente en este caso agru-par los valores. Cada uno de estos grupo se denominan intervalos yse utilizan para presentar los valores mediante una tabla abreviada.
Los intervalos presentan siempre un valor inferior (el menor de losdos números escritos) y otro superior (el mayor de los números es-critos). Estos valores se eligen dependiendo del análisis que sequiera hacer de los datos.
Analice el siguiente ejemplo. En este caso se consideran datos delCenso Nacional de Población y Vivienda de 1991, con datos sumi-nistrados por el INDEC sobre población que nunca asistió a la es-cuela o que no completó el nivel primario.
analfabetos(nunca asistieron a la escuela)
Condición de alfabetismo
nivel primario incompleto
Fuente: Elaboración realizada por Plan Social Educativo - Proyecto de Educación Básica para Adultos en base a datos del Censo Nacional de Población y Vivienda 1991. INDEC.
Población de 10 años y más por condición de alfabetismo según edad - Total país
955.990
60.507
44.080
45.674
52.210
61.481
71.338
79.489
75.295
142.993
322.923
frecuenciasabsolutas
3.7
1.8
1.5
1.9
2.3
2.8
3.4
4.0
4.4
5.0
7.7
%
4.223.731
81.920
197.824
201.403
234.727
273.405
318.837
357.275
364.964
747.329
1.446.011
frecuenciasabsolutas
16.2
2.4
7.0
8.2
10.2
12.3
15.0
18.2
21.5
26.2
34.4
%
86
Como usted puede observar se consideran las frecuencias absolutaspero también a qué porcentaje del total de la población de esa fran-ja de edad corresponden las cifras. Si se dice solamente que 60.507personas de 10 a 14 años nunca fueron a la escuela no se puede di-mensionar la magnitud del problema. Importa considerar el total dela población es de ese tramo de edad. De los 3.350.673 personas deesa edad 60.507 nunca asistieron a la escuela.
Hallar la relación de esta frecuencia absoluta con respecto al totales hallar el cociente entre estos números:
Por redondeo se considera 0,018 que es la frecuencia relativa, queexpresa la relación de casos que cumplen con una determinadacondición en relación con el total de casos. Tal como aparece en elcuadro la frecuencia relativa se expresa generalmente en porcentaje.
3.350.673 personas 100%60.507 personas 100 . 60.507
3.350.673
El porcentaje corresponde a la frecuencia relativa multiplicada por 100.
Analice este otro ejemploSe recogen los datos de la altura de los alumnos de un curso de 8ºaño de la EGB y se obtienen los siguientes:
1,60m 1,58m 1,63m 1,65m 1,70m1,55m 1,63m 1,71m 1,71m 1,63m1,75m 1,63m 1,80m 1,59m 1,78m1,78m 1,68m 1,69m 1,64m 1,65m
Organizados en intervalos queda la siguiente tabla:
60.5073.350.673
= 0,0180581
1,50m.....1,60m1,60m.....1,70m1,70m.....1,80m1,80m.....1,90m
estatura en m (se excluye el extremosuperior del intervalo)
87
1,50m.....1,60m
1,60m.....1,70m
1,70m.....1,80m
1,80m.....1,90m
Totales
estatura en m (se excluye el extremo superior del intervalo)
cantidad de alumnos(frecuencia absoluta) (frecuencia relativa)
Actividad Nº63Complete las frecuencias absolutas y las relativas en la se-gunda y tercera columna.
a
b
c
Actividad Nº64Teniendo en cuenta la tabla de población que en 1991 no ha-bía completado la escolaridad primaria responda:
¿En qué intervalo de edad es mayor la frecuencia?
¿Qué porcentaje de personas entre los 35 y 39 años no com-pletó la primaria, haya asistido o no?
¿Qué porcentaje de personas entre 25 y 29 años completó laprimaria?
88
Diagramas
Además de tablas, frecuentemente la información se presentautilizando diagramas o gráficos que permiten visualizar de manerarápida y sencilla los resultados obtenidos. Si revisa un periódico ob-servará que existen muchas maneras de representar la información.
Aquí le proponemos trabajar con algunas de ellos.
Actividad Nº65Analice el siguiente gráfico que se denomina pictograma.
a
b
c
d
Clarín 10/8/99.¿Qué instrumento se habrá utilizado para recoger la información?
¿Cuál es el universo de la muestra?
¿Qué zona es la que más gusta?
¿De dónde obtuvo el diario la información para elaborar elpictograma?
Fuente: Gobierno de la Ciudad
89
a
b
c
Anuario Clarín 98/99
Actividad Nº66En el siguiente mapa estadístico se indica la cantidad de ga-nado existente en la Argentina en el año 1997.
¿Cuál es el total de cabezas de ganado?
¿Qué porcentaje sobre el total le corresponde a cada tipo deganado?
Mencione a las tres provincias que cuentan con mayor canti-dad de cabezas de ganado.
a
b
c
d
e
90
Actividad Nº67Observe el siguiente gráfico de líneas.
¿Qué variable estadística se indica en el eje de abscisas?
¿Qué se marcó en el eje de ordenadas?
Piense por qué en el gráfico se comienza a ordenar la infor-mación por el año 1916.
¿En qué año fue mayor el porcentaje de gente que votó?
¿De dónde se obtuvo la información para elaborar el gráfico?
91
a
b
Actividad Nº68Analice el siguiente gráfico de barras.
Establezca el porcentaje entre la cantidad de proyectos de leypresentados y la cantidad de leyes sancionadas en cada unode los años del período 1983-1997.
¿En qué año fue mayor la relación entre proyectos presenta-dos y leyes sancionadas?
Clarín Anuario 98/99Fuente : Cámara de Diputadosde la Nación. Dirección de in-formación parlamentaria.
LAS LEYES Desde el 10 de diciembre de 1983 hasta 1987*
Proyectos de ley presentados Leyes sancionadas1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
469
2134128
1801138
1527187
99153
1375114
1241109
1559132
1543168
1511120
1580120
1482139
1553177
1917
1917142
170
2
92
Actividad Nº69Se realizó una encuesta entre 208 jóvenes de 15 a 24 años re-sidentes en la Capital Federal y el Gran Buenos Aires. Los re-sultados se presentan en el siguiente diagrama circular .
Del total de jóvenes encuestados cuántos piensan que la so-ciedad argentina es:• poco democrática:• muy democrática:• nada democrática:
Actividad Nº70Se ha realizado una encuesta entre adolescentes preguntándolescuántos hermanos tienen. Los resultados fueron los siguientes:
3,5,4,4,4 4,2,2,2,2, 4,2,2,7,5, 3,4,3,3,4, 3,2,4,5,4,5,2,1,3,3, 4,5,2,6,3, 3,3,2,4,4, 3,6,4,2,5, 4,4,5,3,4.
93
a
b
c
d
e
f
g
h
Ordene los datos en un cuadro indicando la frecuencia abso-luta y la relativa.
Determine los porcentajes en cada caso.
¿Cuál es la variable estadística considerada y qué valores toma?
¿Qué clase de variable es?
¿Cuántos alumnos fueron encuestados?
¿Cuántos alumnos tienen más de 4 hermanos?
¿Cuántos alumnos tienen entre 2 y 3 hermanos incluidos am-bos extremos?
Represente la información en un diagrama de barras.
Parámetros estadísticos
Los parámetros estadísticos son números que se emplean paraorganizar y presentar la información contenida en un conjunto dedatos. Su finalidad es representar a esos datos en forma breve ysimple y de modo tal que se pueda apreciar, aproximadamente, deun solo golpe de vista la característica que identifica a los restan-tes elementos del conjunto estudiado. Si bien se pierde mucha in-formación con esta síntesis, se gana en simplicidad, en eficacia yen operatividad. Estudiaremos los dos parámetros más usados enestadística: promedio o media aritmética y desvío estándar.
94
Actividad Nº71Mi hijo ha traído el boletín con las siguientes calificaciones:
Matemática 6
Lengua 9
Educación Física 10
Música 4
Ciencias Naturales 8
Ciencias Sociales 5
Mi hijo me dice que sacó un promedio de 7 puntos. ¿Signifi-ca que se eximió en todas las materias? (la eximición es con7 puntos).
¿Qué significa promedio 7?
a
b
I. Promedio o media aritmética
Hemos oído muchas veces esta palabra. Pero, ¿cuál es su significado?¿cómo se determina un promedio?
Analice las siguientes situaciones:Los jugadores del equipo Mburucuyá tienen las siguientes tallas(en cm):
207; 206; 203; 204; 202; 193; 196;
199; 183; 184; 187; 189; 189; 188.
Para determinar la estatura promedio:
1.Efectuamos la suma de todos los valores:
207+ 206+ 203+ 204+ 202+ 193 +196+ 199+ 183+ 184+ 187+189+ 189+ 188= 2730
En el Módulo 2, Libro 1 en-contrará mayor informa-ción sobre cómo se obtieneel promedio. Recupere esainformación para seguirtrabajando el tema.
95
a
b
2.Dividimos esta suma por el número total de jugadores:
2730 : 14 = 195 cm
Este valor es el promedio de las tallas de los jugadores.
Actividad Nº72Las tallas de los jugadores de un equipo de otra localidad ve-cina a la anterior, llamado Atlético Junior, son las siguientes:
180; 210; 205; 208; 204; 209; 185; 188; 186; 200; 195; 192; 193; 194; 194; 199; 198; 199; 190
Determine la estatura promedio de los jugadores de AtléticoJunior.
Compare la estatura promedio del equipo Mburucuyá con lasde este equipo. ¿Qué puede decir luego de compararlos?
Para generalizar se representa a la variable con una letra,en este caso x y al número de casos que se consideran se
lo llamará n.
Se llama media aritmética o promedio de n números al cociente entre la suma de los números dados
y la cantidad n de ellos. Se lo simboliza así x
En algunas ocasiones, cuando la cantidad de datos es grande y al-gunos valores se repiten, es posible hallar el promedio con los da-tos agrupados en intervalos. Observe el procedimiento con los da-tos sobre la talla de los alumnos de la actividad Nº 63.
-
96
Si los ordenamos de menor a mayor, se obtiene:
1,55m; 1,58m; 1,59m; 1,60m; 1,63m; 1,63m; 1,63m; 1,64m; 1,65m; 1,65m;
1,68m; 1,69m; 1,70m; 1,71m; 1,71m; 1,75m; 1,75m; 1,78m; 1,78m; 1,80m.
El promedio para este caso se puede determinar de dos maneras:
La primera ya la conoce (suma todos los valores y al resultado lodivide por el total de observaciones o determinaciones)
1,55 + 1,58 + 1,59 + 1,60 + 1,63 + 1,63 + 1,63 + 1,64 + 1,65 + 1,65+ 1,68 + 1,69 + 1,70 + 1,71+ 1,71 + 1,75 + 1,75 + 1,78 + 1,78 +1,80 = 33,5033,50 m : 20Promedio = 1,675 m
La segunda permite abreviar un poco los cálculos utilizando la tabla.
1.Se busca el promedio entre los extremos de cada uno de los in-tervalos:(1,50 + 1,60) : 2 = 1,55(1,60 + 1,70) : 2 = 1,65(1,70 + 1,80) : 2 = 1,75(1,80 + 1,90) : 2 = 1,85
2.Se multiplica cada uno de estos promedios parciales por la res-pectiva frecuencia absoluta; se efectúa la suma y al resultado se lodivide por el número de datos (en este caso, 20)
(1,55 . 3 + 1,65 . 9 + 1,75 . 7 + 1,85 . 1 ) : 20 = 33,60 : 20 = 1,68
1,50m.....1,60m
1,60m.....1,70m
1,70m.....1,80m
1,80m.....1,90m
Totales
3
9
7
1
20
estatura en m (se excluye el extremo superior del intervalo)
cantidad de alumnos(frecuencia absoluta)
97
El promedio no coincide con el anterior. Ello se debe que no hemostrabajado con las mediciones exactas obtenidas con cada uno delos alumnos.
No obstante, la aproximación será tanto mejor cuantos más datoshaya agrupados. Por eso, aunque se conozcan los valores de la va-riable, si el número de observaciones es muy grande, resulta con-veniente hacer los cálculos a partir de la tabla de datos agrupados.
Actividad Nº73En una clase de matemática se pidió a los alumnos que esti-maran “a ojo" la longitud de la mesa que utiliza el profesor.Las respuestas fueron (en cm):
200; 205; 195; 180; 190; 203; 205; 200; 197; 199;205; 200; 210; 193; 187; 200; 175; 215; 225; 200;185; 177; 193; 195; 198; 205; 190; 192; 200; 200;200; 175; 215; 224; 200; 199; 197; 200; 205; 203.
Organice los datos según una tabla de frecuencias absolutasusando los intervalos siguientes:175 - 185185 - 195195 - 205205 - 215215 - 225
Recuerde que el extremo inferior pertenece al intervalo mien-tras que el extremo superior pertenece al intervalo siguiente.
Haga un diagrama.
Determine el promedio de la longitud estimada de la mesa.
a
b
c
98
Actividad Nº74Se ha lanzado un dado 120 veces y se han recogido los resul-tados obtenidos en la siguiente tabla:
Haga el gráfico correspondiente.
Determine el promedio de los valores hallados.
Determine la frecuencia relativa y su respectivo porcentaje.
¿Cómo se distribuyen los valores?
a
b
c
d
Valor obtenido
Frecuencia absoluta
1
18
2
22
3
19
4
18
5
23
6
20
II. Desvío estándar
Actividad Nº75Los integrantes de dos equipos de una localidad han sumadoa lo largo del año los siguientes puntajes (ya ordenados enforma creciente):
Equipo Mburucuyá:183; 184; 187; 188; 189; 189; 193; 196; 199; 202; 203;204; 206; 207.
Equipo Atlético Junior:186; 186; 190; 191; 192; 193; 195; 196; 197; 198; 200; 201;202; 203;
99
a
b
c
d
Determine el promedio de los puntajes de cada equipo.
Haga el diagrama de barras tomando intervalos de cinco encinco, comenzando desde 180 y terminando en 210.
¿Cómo han resultado los dos promedios?
¿Cómo son los gráficos que ha obtenido?
Como usted pudo apreciar al resolver la actividad, los promedioson iguales pero las distribuciones de los valores en cada gráfico esbastante diferente. Por lo tanto el promedio es insuficiente paraanalizar una serie de muestras porque nada dice si los valores soncercanos al promedio.
Los puntajes de los integrantes del equipo Mburucuyá son menosparejos que los del equipo Atlético Junior ya que en el primer equi-po hay puntajes más extremos.
Se necesita, además del promedio (o media), otro parámetro quemida cómo están dispersos los datos con relación a ese promedio.
Ese parámetro se denomina desviación estándar. Se lo abrevia así:
El desvío estándar permite estimar la variación (o dispersión), esdecir, en qué medida los datos se diseminan o reparten alrededordel valor medio. Es sumamente útil en estadística ya que indica, sisu valor es pequeño, que los datos obtenidos están muy cercanos alpromedio. Esto significa que la población estudiada no presentauna gran dispersión.
La utilización del desvío estándar es muy común cuando se haceun estudio estadístico acerca de un suceso social, biológico, mate-mático, físico, etc.
Las estaturas correspondientes a tres equipos de fútbol A, B y C sedistribuyen según las gráficas y con los parámetros que se dan acontinuación.
o
A B CX 175 175 175—
100
¿Cómo calcular el desvío estándar?
Con la calculadora:Si dispone de una calculadora científica deberá apretar una tecla ouna secuencia de textos para que en la pantalla aparezca "SD".
Después de esta operación ingrese los datos que tenga y cada vez queaparezca uno de ellos en la pantalla, deberá apretar la tecla "M+".
Una vez finalizada la entrada de todos los datos, proceda de estamanera:1. Para conocer el promedio, apriete la tecla que tiene X 2. Para conocer el desvío estándar, apriete la tecla que tiene n
De todas formas es aconsejable consultar el manual de uso de la cal-culadora ya que la forma de trabajar con ellas varía según las marcas.
En síntesis, respecto del significado de la desviación estándar, sepuede afirmar que cuanto mayor es la desviación estándar, másdispersos están los datos respecto del promedio o media aritmética.
SD
M+
o
o n
Observe que los tres equipos tienen igual me-dio o promedio de estatura, pero en el equipoB los valores son más extremos que en losotros dos, la dispersión es alta.En el equipo C la mayoría de los jugadores tie-nen tallas cercanas al promedio, la dispersiónes baja.
Equipo A Equipo B
Equipo C
101
Actividad Nº76Los siguientes gráficos se publicaron en el diario Clarín el30/11/97. Analice la información y responda las preguntas.
a
b
c
¿Cuál es el porcentaje de crecimiento de infectados con HIVen el mundo entre los años 96 y 97?
¿Cuántos pacientes pediátricos nuevos hay en el año 1997?
¿Qué porcentaje de personas hay en el mundo con HIV cuyainfección tiene origen desconocido?
102
Actividad Nº77Analice la información que brindan los siguientes gráficos yluego responda las preguntas.
Analice los porcentajes de desempleo en enero de 1993 deAlemania Sector Occidental e Italia ¿cuál tiene mayor índice?.
¿Cuántos desocupados había en Gran Bretaña en febrero de1993 en una comunidad de 50.000 personas en edad activa?(Se supone constante el porcentaje en todo el territorio).
Explique por qué se hace la aclaración entre paréntesis en lapregunta anterior.
a
b
c
Material de distribución gratuita
a
103
b
c
Claves de Corrección
Actividad Nº1
Los números están entre 0 y 1.
El numerador es menor que el denominador
En la segunda columna todos los números fraccionarios son
mayores que 1 y el numerador es mayor que el denominador.
En la tercer columna el numerador y el denominador son iguales, las
fracciones son equivalentes a 1.
de
f
0 1
14
710
58
23
• •••
104
Actividad Nº2
Una fracción es menor que 1 si el numerador es menor que el de-
nominador. Es mayor que 1 si el numerador es mayor que el deno-
minador.
Será igual a 1, si numerador y denominador son iguales y a cualquier
otro número entero si el numerador es múltiplo del denominador.
Actividad Nº3
b
a
c
54-8
3
72
entre 2 y 3
entre 3 y 4
25
72
entre 0 y 1
entre -4 y -3 125
entre -2 y -1
entre 2 y 3-
Actividad Nº4
Son iguales.
La representación, en todos los casos es el mismo punto.
34
68
912
1216
105
a
b
c
Actividad Nº5
23
46
812
69
2030= = = =
48
24
40 80
12
714= = = =
64
128
32
1510
150100= = = =
No son las únicas.
Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes.
Actividad Nº6
La respuesta a esta actividad es muy variada, ya que las fracciones
equivalentes son infinitas.
Actividad Nº7
Esta otra actividad, también admite infinitas respuestas. Las siguien-
tes son algunas posibles.
y
y
y
Actividad Nº8
96
26
912
1012
1610
510
a
b
c
2436
69=
:4
:4
2436
46=
:6
:6
2436
23=
:12
:12
106
Actividad Nº9
Pueden obtenerse 5.
Para obtener una fracción equivalente por amplificación, se debe
multiplicar el numerador y el denominador, por un mismo número.
Y para obtenerlas por simplificación, se divide numerador y denomi-
nador por un mismo número.
Actividad Nº10
Si Si No Si No
a
a
b
b
85
2415y 30
2032y 1
3415y 18
1565y 6
4188y
Actividad Nº11
10075 =
1218 =
3612
43
23
3=
820 =
12030 =
1525
25
4
35=
Consulte con el docente sus respuestas. Aquí le damos sólo algunas
posibles respuestas:
= ó = se dividió numerador y denominador por 3
= se simplificó por 10 numerador y denominador
No son equivalentes porque no se puede obtener la primera ( )
simplificando la Segunda ( )
= se simplifica por 6 numerador y denominador ó =
Para obtener 18 al 6 hay que multiplicarlo por 3; pero, entonces la
2da fracción debería tener 9 de denominador, como tiene 8 no son
equivalentes.
8 x 35 x 3
2415
3020
32
134
151815
1815
65
6.35.3
2415
85•
•
•
•
•
107
a
b
a
c
b
a
b
c
52
Actividad Nº12
; 53 ; 5
4 ; 56 ; 5
7 ; ...
13 ; 2
3 ; 43 ; 5
3 ; 73 ; ...
12 ; 1
3 ; 14 ; 1
5 ; 16 ; ...
Actividad Nº13
34 =
15 =
910 =
75100 = 75%
20100 = 20%
90100 = 90%
Actividad Nº14El negativo, por que es menor.
El negativo. Todos los números negativos son menores que cual-
quier positivo.
Actividad Nº15
Marque ambos números en la recta.
Cuando dos fracciones tienen igual denominador, la menor es la que
tiene el menor numerador.
312 < 5
12
No
Sí
20
También en este caso el denominador común puede ser 20.
Para reconocer cuál es mayor, reemplazamos ambas fracciones porequivalentes, pero que tengan el mismo denominador. Luego lascomparamos a través de sus numeradores.
b
c
de
f
g
h
108
Actividad Nº17
a 12
310
25
34
25
12
25
820
< 34
12 > 3
10
= 1020
1020
310 = 6
20620y ;
Actividad Nº1834
24
b
c
a - < -
23
24- < -
23
35- < -
a
b
Actividad Nº16
Depende del gráfico.
Es menor la que tiene mayor denominador.
=
34
1520=
820
1520<
<
109
b
c
a
b
a
b
cd
e
f
c
a
Actividad Nº19
de kilogramo pesan más que de kilogramo porque:
de pulgadas es más grande que de pulgadas porque:
74
74
32
32
64
64
34
58
Actividad Nº20Porque sumamos porciones del mismo entero, y en este caso estaba
dividido en 8 porciones iguales.
Para sumar o restar fracciones de igual denominador sólo debemos
sumar o restar (según corresponda) los numeradores; el denominador
del resultado es el mismo que el de las fracciones dadas.
53 > 4
3310 > 4
15
49
> 25
610 < 9
15
72 =
= >y
68
34
68
58= >y
216
188 = 9
4
14 > 5
2-
83 < 11
4-- -
+ =15
35
25+ = 11
3183
73+ =2
313
13- =7
121012
312
Actividad Nº21= = = = = = = =
= = = = = = = =
Infinitas.
Si.
Si, se podrían hallar diferentes grupos de fracciones equivalentes a
las dadas.
Infinitas.
porque
28
312
416
520
624
728
832
936
1012
1518
2024
2112
23
14
2530
3036
3542
4048
4554
1456
+ 56+ 8
12312+ 10
12+= 2112=
110
Actividad Nº22
30.
= = = = = =
+ - = + - =
a
b
c
23
2030
2.10 3.10
910
2730
9.310.3
56
2530
5.56.5
23
56
910
2030
2730
2530
2230
Actividad Nº23a
b
c
d
e
f
34
74
53
34
14
58
24
13
12
14
1 + =
2 - =
+ =
14
12 - =
18
34 - =
14
14 + -1= -
Actividad Nº24a
b
c
d
e
f
112
512
1112
1512
54
56
12
130
134
918
3524
56
53
15
715
310
- + = =
- =
+ - =
112
142 - + = -
56
13
159 - - = =
724
34 + 1 - =
23ó 1+
12= -
Actividad Nº27
Actividad Nº26
En una multiplicación de fracciones el numerador del producto se
obtiene multiplicando los numeradores de las fracciones, y el deno-
minador, multiplicando los denominadores de las fracciones dadas.
En forma simbólica:
111
a
b
a
a
b
c
d
e
b
c
d
e
f
Actividad Nº25
El rectángulo representa el campo. Horizontalmente
divídalo en quintos.
Sombree cuatro quintos ( )
Trace, verticalmente, una línea para dividir a cada quinto
por la mitad.
Remarque una de las mitades que sombreó.
El campo quedó "cuadriculado". Cada cuadro es
La de es
45
12
45
410
110
ab
cd
a.cb.d
. =
23 420=280.
85
12(2- )= . = = =.
150
3200
34 =.
13
14
34 =.
34 180=135 Contestaron afirmativamente 135 personas.
Sólo la cuarta parte de los televidentes terminaron
de ver el partido.
La operación “de” entre fracciones significa multiplicación, por ello:
Hay 280 hombres.(
85
32
2410
125
8.35.2
112
Actividad Nº28
9 botellas porque de 12 es . 12 = 9
$ 190.
3.600.000 argentinos podrían ir a la escuela.
15 jugadores.
Actividad Nº29
a
bc
d
a
bc
d
e
25
154. =
25
52. =
34
43. =
37
73. =
78
43. =
152
45
13. . = 20
394
15. . =
158 . . =
38
163- . =12
5152. =
78
18
116
43- . (- )=
512
45
43. . =
a)
c)
d)
b)
e)
g)
h)
f)
i)
k)
l)
j)
25
130
32
76
4949
140
76
2 3
-2
1
1
118
Inversas.
Tienen cambiado de orden el numerador y el denominador.
Si, el resultado será 1
Actividad Nº30
34
43
12
14
23
120
3 -3
2 2
2 78
87
4 14
: =13
43a)
: =815
45b)
: =125
45c)
: =25
15d)
- : =125
45e)
- : (- ) =25
15f)
: = 12115
75g)
- : 8 =-25h)
Actividad Nº31
b
a (- )3= - 1
2
(- )4= 1
2
34
34
53
113
425
181
116
132
8116
2764
827
64125
Actividad Nº32
( )2=2
5a)
( )4=1
3b)
( )3
=23c)
(- )4=1
2d)
( )3 =4
5e)
( )4 =3
2h)(- )3= -3
4f)
(- )5= -1
2g)
Actividad Nº33
e
d
c
b
a ( )3=2
3827
( )2=3
5925
( )2=10
3100 9
( )3=4
36427
( )2=10
710049
f
e
d
c - (- ) + (- )2=-2
5310
35
32
b
a : + ( )2= 3
458
32 + =6
594
6920
- =23
14
18
512
+ =350
790
94
169100
333200
393160
12712
132572
. - : = 34
89
203
(2 - ): + ( )3= 2 +3
458
12
( - ) : = 23
89
53
203
- (- ) + (1- )2+ =9
1035
32
78
g (- ) : + ( + )2=3
452
910
14
32
h (- )3: + : - . = -2
329
23
89
1513
263
i (2+ - )3+ (- )
2=2
316
53
Actividad Nº34
.
.
.
114
Actividad Nº35
el peso del pan
el saldo de una cuenta bancaria
la duración de un partido de fútbol
el importe de una factura de luz
FracciónSituación Decimal
X
X
X
X
Actividad Nº3623,5 x 10,02 = 235,47
4,36 : 2 = 2,18
3,45 + 0,638 + 0,12 = 4,208
2,1 x 4,024 = 8,4504
262,56 : 1,98 = 132,60606
Actividad Nº37
a
b
c
d
e
��
3 -8=-2��� pues (-2)3 = -8
3 125=5 pues 53 = 125a
b
5 1=1 pues 15 = 1
= pues ( )3=
= - pues (- )5=-
c
���3d
����
278
e ������
����5
-f
g
h
132
3 0,008 = 0,2 pues 0,23 = 0,008
32
32
278
12
12
132
Si, son los únicos números que elevados a la potencia
correspondiente en cada caso dan por resultado el radicando.
El mismo que el radicando, depende de este.
c
ba
Actividad Nº39
16, 25, 36 y 49
- 27, - 8, -1, 0, 1 y 8
Actividad Nº40
115
a
b
c
32
23
164
52
12
Actividad Nº38
���36 =±6
��4 =±2
���4 16 =±2
��6 1 =±2
���-4 =no tiene solución
�����3 1000 =10
����0,09=0,3
��
���
���
=±94
���3 -1 =-1
���4 81 =3
���5
- =-132
=±254
4=±16
81
, 94
, 44
14y
f 4,375 + 23, 318 =27,693 truncado 27,69 y redondeado 27,69
e
d ���3. 24 =3. 4,89897948... = 14,696938456.... truncado 14,69 y
redondeado 14,70
c
b
a ���11 =3,316624..... truncado 3,31 y redondeo 3,32
���6 =2,4494897... truncado 2,44 y redondeo 2,45
���3 2 =0,259921...... truncado 0,25 y redondeado 0,26
38 : 110=0,34545445...... truncado 0,34 y redondeo 0,35
Actividad Nº414,787 metros
$ 32,48
13,59 cm2
a
116
a
a
b
c
d
e
Actividad Nº42
Actividad Nº43
102 = 100103 = 1.000104 = 10.000105 = 100.000106 = 1.000.000
107 = 10.000.000108 = 100.000.000109 = 1.000.000.0001010 = 10.000.000.000
0,3 . 10-4 = 0,3 x 0,0001 = 0,000033,2 . 10-2 = 3,2 x 0,01 = 0,0323,4 . 104 = 3,4 x 0,0001 = 0,000346,84 . 10-2 = 6,84 x 0,01 = 0,06843.3, 3 y 6.
Hay tantos ceros como indica el exponente.
Hay tantos ceros como indica el exponente.
b
c
d
1100
11.000
11.000
1100.000
110.000
11.000.000
( )3=1
10
( )5=1
10
110.000( )
4=1
10
1100( )
2=1
10
2,4 . 104 = 2,4 x 10.000 = 24.0005,13 . 102 = 5,13 x 100 = 5133,8 . 105 = 380.0000.3 . 103 = 300
3,4 . 10 = 343,48 . 100 = 3483,485 . 1.000 = 3.485
3,5 . 102,84 . 1000,375 . 1.000
117
Actividad Nº4412700 km = 1,27 X (10)4 km0,00000063 m = 6,3 X (10)-7 m2.000.000 km = 2 X (10)6 años luz0,0000000000000000000000266 gramos = 2,66 X (10)-23 g
Actividad Nº45
2 X (10)-7 milímetros = 0,0000002 mm5,9 X (10)9 km = 5.900.000.000 km2,5 X (10)-2 milímetros = 0,025 mm5,43 X (10)4 = 54.300
Actividad Nº46
3,7 x 10-5
3,5 x 10-4
5 x 10-4
1,2 x 102
2,6 x 103
1,25 x 108
1,25 x 109
Actividad Nº47
No
Mayor.
Uno cualquiera de los lados de un triángulo debe ser mayor que la
diferencia y menor que la suma de los otros dos.
a
b
cd
a
b
c
a
b
c
d
118
Actividad Nº48
Triángulo 1, es equilátero y acutángulo
Triángulo 2, es escaleno y rectángulo
Triángulo 3, es escaleno y rectángulo
Triángulo 4, es isósceles y rectángulo
Triángulo 5, es escaleno y obtusángulo
Triángulo 6, es isósceles y obtusángulo
Actividad Nº49Una vez realizados los pasos a) y b) comprobará que suman 180º
"La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180º"
Actividad Nº50C=48º
B=40º
A=67º 10’
A=103º 37’
B=67º
B=C=50º
B=40º
A=B=C=60º
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
^ ^
^ ^ ^
^ ^
^ ^ ^ ^
Actividad Nº51
Actividad Nº52
Actividad Nº53
Nueve da cada diez es lo mismo que 90 de cada 100, por lo tanto es
el 90%.
Al hablar de porcentajes, cuando la intención no es hacer cálculos,
lo que es frecuente hacer es estimar lo que significa ese porcentaje.
En este caso el 98% significa que es casi el total de efectividad (100 %),
un nivel altísimo.
55 %, más de la mitad de los votantes.
Actividad Nº54
La idea que en general está asociada a la palabra estadística, es muy
cercana al concepto matemático. Si usted duda de su respuesta
consúltela con su docente.
Actividad Nº55
Se reconocen como gráficos estadísticos porque representan la
cantidad de veces o la proporción respecto del total de la población
considerada de diferentes valores.
a
b
c
119M i n i s t e r i o d e C u l t u r a y E d u c a c i ó n d e l a N a c i ó n
120
a
b
a
b
a
b
c
e
f
Actividad Nº56
Comente la respuesta con su docente.
Actividad Nº57
En el Censo Nacional Agopecuario que realiza el INDEC se releva
información sobre todas las explotaciones agropecuarias del país.
Incluye el número de productores por actividad; tamaño de las
explotaciones; maquinaria agrícola; instalaciones; riego; mano de
obra; inversiones y el uso de la tierra.
La actividad agropecuaria es muy importante para el país. Con los
datos del censo es posible, entre otras cosas, realizar diagnósticos
sobre la producción, diseñar estrategias para mejorar el
funcionamiento del sector, orientar las inversiones futuras.
Actividad Nº58
El 2º, ya que se elige a diez alumnos por azar del total del alumnado
de la escuela y no a 10 de 5º grado en particular. En el desarrollo de
este tema se hizo referencia a la importancia de que la muestra sea
tomada al azar.
Consulte su respuesta con su docente.
Actividad Nº59Discreta, se trata de contar. El número que podemos registrar es un
número natural.
Continua, porque es una medida. El número que podemos utilizar es
un número racional, además de entero puede ser un valor
intermedio.
Discreta.
Discreta.
Discreta.
121
Continua. Normalmente expresamos la edad sólo en años, pero la
edad exacta de una persona es una medida que puede tomar
cualquier valor mayor que cero y menor que... quien sabe.
Actividad Nº60
La población está formada por todos los alumnos de EGB a
distancia.
Si tiene dudas con las respuestas que dio consulte con su
docente. Algunos ejemplos posibles son: edad, estado civil, lugar de
residencia, cantidad de hijos, cantidad de años que hace que
completó la primaria, si tiene empleo fijo, etc.
Actividad Nº61
El total es de 40 alumnos.
6 alumnos sacaron 9 o 10.
Resultaron aplazados 9 alumnos (2 sacaron 1, 4 alumnos sacaron 2
y 3 sacaron 3 puntos).
La calificación 5 es la más frecuente (se repite 7 veces).
Actividad Nº62
La frecuencia absoluta de 10, es 4.
La de los aplazos es 2, 4 y 3, para las calificaciones 1, 2 y 3
respectivamente, o sea 9 en total.
La mayor frecuencia absoluta es 7.
a
b, c y d
a
bc
a
b
c
d
g
122
Actividad Nº63
Actividad Nº64
La frecuencia es mayor en el intervalo 60 y más años.
Es de 18,4 %, porque 3,4 % no asistió nunca a la escuela y el 15 %
asistió pero no completó el nivel .
Completó la primaria el 87,5 %, al total de la población de esa edad
(100 %) se le resta el 2,3 % que corresponde a los que nunca
asistieron y el 10,2 % de los que no la terminaron.
Actividad Nº65Encuesta.
Extranjeros que vistan Buenos Aires.
Recoleta.
Gobierno de la ciudad.
Actividad Nº66El total es de 66.684.700 cabezas de ganado.
Vacuno: 75,06% Ovino: 19,79% Caprino: 5,14%.
3 provincias: Buenos Aires, Córdoba y Santa Fe.
1,50m.....1,60m
1,60m.....1,70m
1,70m.....1,80m
1,80m.....1,90m
Totales
3
10
6
1
20
0,15
0,5
0,3
0,05
1
estatura en m (se excluye el extremo superior del intervalo)
cantidad de alumnos(frecuencia absoluta) (frecuencia relativa)
a
b
c
a
b
c
ab
c
d
Actividad Nº67
En el eje de las abscisas se indican los años.
En el eje de las ordenadas se indica porcentaje de votantes sobre
total de empadronados.
Porque en 1916 se sancionó la Ley Saenz Peña que estableció el voto
obligatorio, universal y secreto.
El porcentaje fue mayor en el año 1958 (90.9 %).
Del Centro de Estudios Unión para la Nueva Mayoría.
Actividad Nº68
El porcentaje de Leyes sancionadas en relación con los proyectos
presentados es de 8,37%
En el año 1986.
Actividad Nº69
Poco democrática : aproximadamente 98.
Muy democrática : aproximadamente 15.
Nada democrática : aproximadamente 19.
Actividad Nº70a y b En la tabla además de la frecuencia absoluta y la relativa
hemos agregado una columna más con el porcentaje de cada uno
de los valores. Recuerde que el porcentaje se obtiene multiplicando
por 100 la frecuencia relativa.
ab
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
6
7
Totales
2
11
13
15
7
1
1
50
0,04
0,22
0,26
0,3
0,14
0,02
0,02
1
4%
22%
26%
30%
14%
2%
2%
100%
cantidad dehermanos
Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje
a
b
a
b
c
h
de
f
g
La variable estadística es "El número de hermanos". Los valores, en
este caso, van del 1 al 7.
La variable es cuantitativa discreta ( toma valores sueltos).
Fueron encuestados 50 alumnos.
Hay 9 alumnos que tienen más de 4 hermanos (7 tienen 5
hermanos, 1 tiene 6 y 1 tiene 7).
Que tienen entre 2 y 3 hermanos hay 24 alumnos (11 tiene 2 y 13
tienen 3 hermanos)
Actividad Nº71No, pues para que el promedio sea 7 o todas las calificaciones son 7
(que no es este caso), o algunas por encima y otras por debajo de 7
(algunas eximidas y otras no).
Significa que las materias tienen una calificación "alrededor" de 7,
algunas más otras menos (como educación física y música); pero
entre ellas se "compensan", lo que una tiene por encima del
promedio, la otra lo tiene por debajo de ese valor.
Actividad Nº72
180 + 210 + 205 + 208 + 204 + 209 + 185 + 188 + 186 + 200 + 195
+ 192 + +193 + 194 + 194 + 199 + 198 + 199 + 190 = 3729. Como
son 19 , dividimos esta suma por 19 y obtenemos que el producto es
de 196,26 cm
Los promedios son muy similares, Atlético Junior tiene un promedio
levemente superior.
161412108642
0 1 2 3 4 5 6 7
frec
uenc
ia
cantidad de hermanos
124P l a n S o c i a l E d u c a t i v o
125
Actividad Nº73
175-185
185-195
195-205
205-215
215-225
Totales
4
7
19
6
4
40
Longitud Frecuencia absolutaa
b
c
a
b
La media si la tomamos de los datos no agrupados, que es la exacta,
es de 198,4 cm. Si usted la calcula a través de la tabla, va a obtener
un promedio algo distinto 199,5 cm. Esto es por el error que se
comete al generalizar los datos que pertenecen al mismo intervalo.
Actividad Nº74
El promedio de los valores hallados es 20 . Porque la suma de todas
las frecuencias absolutas es 120 y la cantidad de valores posibles son
6, o sea que habrá que dividir 120 entre 6 (120 : 6).
161820
1412108642
0 175,185 185,195 195,205 205,215 215,225
frec
uenc
ia
estaturas
20
25
15
10
5
0 1 2 3 4 5 6
frec
uenc
ia
Valor obtenido
126
c
d
a
c
b
d
Las seis caras salieron un número similar de veces, a pesar de no ser
muchas las veces que se arrojo el dado.
1
2
3
4
5
6
18
22
19
18
23
20
0,15
0,183
0,158
0,15
0,192
0,167
15%
18,3%
15,8%
15%
19,2%
16,7%
Valor obtenido Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje
Actividad Nº75
Promedio del equipo Mbrucuyá:
183 + 184 + 187 +188 +189 +189 + 193 + 196 +199 + 202 +203
+204 + 206 +207 = 2730. Como son 14 los puntajes, el promedio es
2730 : 14 = 195.
Promedio del equipo Atlético Junior:
186 + 186 + 190 +191 +192 +193 + 195 + 196 +197 + 198 +200
+201 + 202 +203 = 2730. Como también son 14 los puntajes, el
promedio es 2730 : 14 = 195
Los promedios son iguales.
Distintos, Atlético Junior tiene menos columnas pero más parejas,
los valores del equipo de Mbrucuyá están más dispersos, es decir
están más alejados del promedio.
4
5
3
2
1
0 180,185 185,190 190,195 195,200 200,205 205,215
Equipo MbrucuyáAtlético Junior
127
Actividad Nº7624,33%.
61.
266.800 personas.
Actividad Nº77
Italia con 9,48% tiene mayor índice que Alemania (sector occiden-
tal) que tiene 8,3%. Los gráficos inducen a error porque las escalas
en el eje de ordenadas son diferentes.
5.250 personas.
Si no se condsiderara constante no se podría calcular los desocupa-
dos porque no habría proprocionalidad.
abc
a
bc
128
129
Anexo
131
132
133
134
4Matemática
Ter
cer
Cic
lo d
e E
du
caci
ón
Gen
eral
Bás
ica
par
a A
du
lto
s
MO
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