TRECA OLAVA

TEORIJA SKALARA I VEKTORA KOJI ZAVISE VEKTORSKOO AROUMENTA

Pri proucavanju fizickib pDjava i velicina 8tO dubIje ulazi u su-stinu itj, tim '~ sve vecii veci broj svojstava materije uzimau obzir. Proucavanje neke pojave samo u vremenu ! strhvju prostora, znaci da se tada pretpostavlja da je pojava svuda u prostoru ista, ! Itlkseg ruvj sa manjom vefom aproksimacijom. zt je da se sve desava u prostoru i vremenu i izostavljanje jednog zl1aci uzeti u obzir promjel1e u jlii koje objektivno postoje. Ako unaprijed kvil odredi stepen tacnosti, onda se dode do aproksimativnih rezultdta, ako tst nije velika. ipak ti rezultati mogu slu!iti i u daljoj teoriji i u praksi. tst se ! uzeti u jdiim proucava-njima vrlo velika.

41. - flZICKO POLJB - SKALARNO 1 VEKTORSKO

Ako se k t1jelo zagrijeva, treba dQzti temperaturu u raznim tackama tog tijela, onda se za svaku tacku dobiti izvjesna tempera-tura. Svakoj tacki tog tijela odgovarace neki ] koji odgovara tempe-raturi. Mjeri li se temperatura vazduha u nekom prosturu, takode .se za razne tacke uopste dobiti razni brojevi. Ako treba doznati gl1stinu nekog tijela u raznim njegovim tackama, izmjerice gri vrijed-st odnosa mase tog tijela i doticl1e zapremine oko tacl

139

Postavi li zadatak da se u raznim tackama rijeke izmjeri i dozna brzina cestica vode, onda se ia svaku tacku dobiti jedan vektor, koji odgovara izvjesnom svojstvu kretanja. Trazi Ii se ubrzanje, opet se dobiva vektor. 1 tako dalje. Prostor u kojem je za svaku tacku vezan neki vektor kao pretstava fizicke realnosti naziva se vektorsko polje.

1 uopste, ogranicen i1i gri prostor, u kojemu je pri prouca-vanju neke fizicke pojave za svaku tacku vezan neki skalar vektor naziva se fizicko polje. 1 skalar i vektor uzeti uopste promjenljivi su ..

Prostorno fizicko polje je opsti slucaj. Postoje i fizicka polja u uiem smislu. Tako se mogu proucavati i prikazivati zajednickim relacijama izvje-sne fizicke velicine u raznim tackama neke povrsine. d je fizieko polje povrsinsko. Moie se uzeti mnostvo primjera takvog polja. Uzmimo samo Zemlju i razne fizicke velicine rzim mjestima njene povrsine. Isto 1ako polje moze biti i ravna povrsina.

v Na slican se nacin moze govoriti i /iniji kao fizickom polju. Cesto se proucavaju vrijednosti ek fizicke velicine u zavisnosti od polo-zaja nekoj krivoj iIi pravoj liniji. Naprimjer, odredivanje temperature u rzim tackama kg tankog Stapa i sl. 'Naravno, pritom treba imati u vidu da sve svodi prostornu raspodjelu polja u opstijem smislu, je uzimanje jednog aspekta- djelimicno trtirj~ koje je, pak, za odredene zadatke ssvim dovoljno.

skalarni argument uzimali smo ilustrativno i najrasprostranjepiji argument - vrijeme t. vektorski rgumt uzima vektor poloiaja, odnosno radijus-vektor r.

Kako je polozaj tacke drd vektorom polo.taja r, oQda je ska-larno iIi vektorsko polje tek onda dato kada se zna dtii skalar iIi vektor u funkciji od vektora polozaja pojedinih tacaka.

OznaCimo odgovarajucu skalarnu funkciju vektora polozaja sa ': .

skalar f=f(r), (41,1)

.vektorsku fukiju vektora poloz8ja sa :

vektor v = v (r). (41,2)

Ovdje su oznake f i v uzete uopste, te f moie nazAacavati razne skalarne velicine, v razne veKtorske velicine.

Razumljivo je da te skalarne i vektorske funkcije uopste mogu zavi-siti osim od vektora polozaja r takode i od vrem~na t ( i od dfUgih promjenljivih). Polje f (r) ili v (r), koje se mijenja u toku vremena, te z8visi od vremena t, naziva se staclonano kQnslantno (sta/no) po/je, polje f (r. t) v (r, t) koie se mijenja u toku vrernena, tj. k(i}e zavisi od vrm, naziva nestacionano varijabi/no (prol1ljen/jivo) polje.

Vazno je imati u vidu da su funkcije f (r, t) i v (r, t) jednoznacne, konfinualne i da se mogu diferencirati i vektoru r i skalaru t. 1 polje zavisi i od nekog drugog skalarnog argumenta, pretpostavlja se da se moze takol!le i tom argumentu diferencirati. Ukol1ko postoje otstu-panja od toga., se posmatraju posebno.

i40

Kako se svuda u prostoru desavaju rmj u raznim obIicima kretanja m8terije u jdm istom mjestu istovremeno moze blti vise polja. U jdj tatki atmosfere postoji skalarno polje temperatura, skalarno polje atmosferskog pritiska, zatim vektorsko mgtsk lj Zemlje, vektorsko elektritno polje, vektorsko polje gravitacije, eventualno vektorsko polje brzine vjetra, itd.

PJi proutavanju polja uvida se povezanost prir-ode tako da kada se prouci jd polje, mote se u izvjesnim slucajevima znati kakve se p!omjene clesavati u drugom polju, koje S8 prvim ima prirodnu vezu. Znati, da cel~o proucavati. i vezu medu raznim poljima, samo poje-dino polje zasebno i odvojeno. Funkcija skalarnog polja moze odredivati vektorsko poJje i obrnuto. Nrv, ovdje proucavati samo opste zk, posebni se proucavaju u specija!nim obIastima fizike.

Svojstva tijela koja izazivaju 'jdi fizitka, dosad dobro proucena pulja, razliCita su za razna po!ja, jos uvijek jdistvih jednacina k! etal1 u njima, i dobro obrazlotenih i medusobno rid zanih zajedniCkih karakteristika. svrm Ii se u jsirm smislu gra-vitaciul1o, lktri i gtsk polje, vidimo da , odgovafajuti kvan-tum koji izaziva t8 polja rsktiv s (tijelo), k!ii1l elektriciteta (naelektrisano tijelo) i kolicina eJektriciteta u kretanju.

No, ovdje se pod poljem podrazumijeva i slucaj posmatranja i prika-zivj jedne jedine veJicirle u prostoru i vremenu. Sloboda tretiranja skalarnog i vektorskog polja u ml!tematici je mnogo nego u iizici. su razli~ite i kl1ij i same vrste polja, jer se !I matematici moie J1zvti "poJjem" mnogo toga 8to 11 odgovara rlf fizi:lkom polju, u svakom slucaju ml1ogo koristi u rikzivju i drdivju raznih fizickih ve\iCil1a matematickim metodima.

42. - SKALARNO POLJE

Skalarno polje okarakterisano je skalarnom ftkijm I od vektorskog iigumt r. znaci da Stl dat~ vrijednosti skalara I za sve tacke polja. Vektor r se mo:le prikazati komponenafa, odnosno koordinata odgovarajucim sm usvojenog koordil1atnog sistema. Tako se probJem proucavanja skalarne iunkcije ! () moie prot1cavati i u obIiku ! (, , z),

! =! (), isto tako

! !(,, z).

(42,l)

(42,lb)

Tacke kojima odgovara jedan isti skalar I nalaze se Ilekoj povrsini

! (, , z) = const. (42,2)

Dajuti toj kstti razne vrijednosti doblce se povrsina. Svakoj ta':ki udgovara jedna vrijednost skalarne funkcije, jedna vrijednost konstant~. U jednoj tatki ta funkcija moze imti dvije iIi vise vrijednosti, jer je jednoznacna. Povrsine koje odgovaraju raznim vrijednostima kOllstante l'1~zivaju se svaka zasebno povrsille istog n;voa, nivoske pOllrsine iJi izopDl1r-

r J

141

skaJarnog poJja. Primjena takvog na~ina prikazivanja skalarnog fizickog polja je vrlo ve1ika. Ukoliko vrijednosti konstante uzmu blize jedna drugoj, utoJiko sepolje bolje poznaje, utoJiko je preglednija i jasnija slika polja. Za vrijedl10sti medu nivoskim v~i upotrebIjava se metod interpolacije. Matematicki se moze pretpostaviti da l1ivoske puvr~ine uzimaju beskonacno bIizu jedna drugc i IJa taj se dozt1aju sVOjstv8 doticnog polja.Povrsine i liij ovakvih osobitJa poznate su, i cesto susrecu u velikom brojll pitanja i zadataka fizike i teh-nike, 0 pocinju sa i;o- ekvi- bas zbog lJavedenih osoblna. VUl su sredstvo za brzo i pregJedno rjesavanje prakticnih zadataka graficki. ds za pregledno i spretno uzvj promjena raznill fizickih velicina. .

se od izopovr~ina izolinij8 ucrtavaju sanlO neke i to sa istom razlikom medu uzastopnim vrijednostima skalara, takvom grafiku mogu doznati kako kvalitativne tako i neke kvlJtiVJl osoblne polja koje se prouCava.

U slucaju kada se nivoska povrsina' tr811sformira u 1iniju, ta linija moze po::.matrati kao beskonacno tk povrsina u obIiku cijevi (u nekim slucajevima i kao dri~).

U slucaju da se u polju nalazi izo!ovana tafka, sa kojom obIilnje tacke nemaju bIisku vrijednost skalara 1, takva tack'a moze posmatrati kao sfera sa beskonacno radijusom.

Najtipicniji skalar koji karakterise gravitaciono i elektros1ati~ko polje je potencijaJ. Onda se u tim poljima nivoske povrsine nazivaju ekvipotencijalne. Otuda se i u tre1iranju &kalarnog polja uopste ponekad kaQ skalarna opsta funkcija uzima baS oznaka za potencijal

142

Potrazicemo izraz za gradijent skalarne funkcije f (r) u tacki (sl. 43-1). Uzmimo n,ivosku povrsinu f (r) == kojoj se nafazi tacka ,,'. Odgovarajuci vektor .polozaja u odnosu ki pol (potetak) neka jt:

-4>

r=OA.

Uzil drugu nivosku povrsinu koja od~ovara vrijednosti skalarne funkcije

f(r+&r)=C+~c.

-n

' . ".

51.43-]

Skalarna funkcija od prve do druge navedene nivoske povrsine-promijenila (povecala) %8 ~c. Brzina povecanja te skalarne funkcije pro-mjenljiva je vli, koja zavisi od pravca promjene ~r vektora polo!aja. Ovdje se radi povecanju i promjeni u odnosu vrijeme, nego u odnosu razne pravce od tatke do povrsine kojoj je f = + 4 .

143

Povuce li se iz tacke rml sljedecoj povrsini, probiti ,d.rugu povrsinu u tacki . Onda je

=6. (43,2)

otsjecak normale medu dvjema povrsinama.

Oznacimo 5 ort normale.

Brzina rascenja skalarne funkcije 1 u odnosu pravce iznosice

.~C = 1("'+6.r)-/(r) (43,3) l6.rl l6.rl

ksiml vrijednost toga ()dnosa u slucaju kada je 6. r para lelno sa normalom i kada mu je velicina 6.. Prema tome ocigledno je da ~e gradijent skalara 1 blti definisan izrazom

df G =. -1- . (43,4)

dn

Ovaj izraz mole dati i odmah srd prema samoj definiciji gradijenta, . navedeno jsjj prirodno i smm nazivu dovodi do gradijenta.

Gradijent prika:zati i litiki trazeci njegove komponente u nekom krditm sistemu xyz. U:zmimo pomocni koordinatni sistem ' ' z' sa pocetkom u taci tk da se dvije ose tog sistema ' i ' flalaze u tangencijalnoj ravni nivoske povrsine, tr osa z' da ude duz normale nivoskoj povrsini (sl. 43-1). Onda vektol grad t u tom sistemu ima krdit:

(gra d ')' ,

(grad 1)" == ,

(grad I)z' == dl . dn

l:!: sliki i:zlazi da je 6. l6.r:;; ,

cos (0,1)

gdje je sa t o:znacen vektor smjera istog kao vektora 6.r.

(43,5)

(43,)

Takodje te vaziti i relacija medu odgovarajucim diferencijalima. U:zme li se :zatim pr.oi:zvoljni koordinatni sistem xyz, doblce

dn dn dx == -_.~ = ----

s(,f) (,)' (43,7)

gdje je f ort ose .

144

Ofigledno je da ~e prema tome prira~taj k1r 1 jdiiu duzine (I smjeru 1 blti

~l :: 01 cos (n, 1), 01

:>dflOSnO (43,8) dl dl -- -= - cos (n. t), dl dn

8 \1 smjerovima , i z:

~I = 1 cos (z!. ) "" / cos (n. ). n

/ 01 = (n, )1), (43,9)

~ = / cos(n,z). oz ll

Prema tome dobi,aju i ,elifine (ioteDziteti) komponenata y~ktor8 '" grad! duz koordinatnih 058 listema z u obliku:

r = (grad lt """ (grad !)r' COS (2:', ), = (grad !), = (grad 7' ol (z', ), G 1 = (grad !),:::: (grad nr' COS (2:', z).

Prema relacijama (43,5) i (43,9) dobiva :

== (grad nlt = ~J ,

-= (grad ') == --

- l Oz=(grad/). = -. oz

(43,10)

(43,11)

Dakl" velicine komponenafa vekfora grad / su parcijalni izvodi skalara / kuordinafama vekfora polozaja tacke kojoj se gradijent un.

Komponente u o~igledno dui usvojenog koordinatnog sistema.

Definitivno je vektor

0= grad / = ~/ + f j + ! k . iJ.v z

(43,12)

j izraz za vektor 0:= grad / moie doblti i neposredno iz (43,4) uzimal1jem odgo,arajuteg totalnog diferencijala u obIiku

/ ! ('! "/ == -- dx + -- dy + - dz.

iJz

1 zaista je d/ / dx / dy / dz

=-=- -+- -+-- dn dn dn z dn '

:Sto odmah svodi definitivni izraz (43,12).

Apsulutna vrijednost gradijenta (modul) iznosi

G = I G I = I grad /1 =

d/ dn

145

(43,13)

Lame je ovaj modul nazvao ; dijerencija/ni parametar oil /' Iz dosa--dasnjeg izlaganja vidi da je mo,d~1 gradijenta mjera za gustinu nivo-skih povrsina polja. jcr je obrnuto proporcionalan medusobnom rastojanju ,dviju beskona~no bIiskih nivoskih povrsina'.

Uglovi. gradijenta koord,.inatnim osama dObivaju jz sljedecih ;relacija za odgovarajuce kosinuse:

/

cos (grad /. ) = ---I grad/I

f

cos (grad /. ) = _...:._ Igrad /1

/ i

(gradf, z) = ---Igrad/I

LaKO je dokazati da je gradijent konstante jednak nuli.

(43,14 )

Prema izlo!enim svojstvima gradijenta zaklju~uje se i to dl dok skalar / klrakterise skalarno polje, g!iint tog s,kalara karakterie vek-torsko po/je.

. 4 .. - JZVOD SKALARA U PRAVCU

Neka je dato skalarno polje oka~akteris8no skalarom " koji u ta~ki ima vrijednost /;. (sl. 44-11. definiciji prvog izvo(1a neke velitine 2 je znatj u odnosu koju se nezavisno promjenljivu uzima. Na-primjer kada je knkcija od . onda se prvi izvod definise u odnosu , je

n: . 1.llI.I: "j!ktonkl 1111

, l' 4 = 1 -

.1-+ 4

10

14

Kako se skalar f mijel1ja u svim pravcima, samo u jdI101. to i irnafi beskonacl1o mnogo izvoda, 5to zavisi od izabralJog pravca. Prilikom definisanja gradijenta navedeno je slicno trtirl1j ska-I,Hne flJkcije {.

$1, ,1-1-1

Potraiimo izvod funkcije f u tacki odredenom pravcu 1, koji je ila. slici prikazal1 pomocu vektora 1. UZLim tacku ra5tojanju b.I tako da bude paralelno S8 tim pravcem. Neka u ta~ki skalar {. ima \'rijednost f ' Oznacimo f - f 5 f.

Ol1da ko1icnik !:J.f pretstavljali mjeru za promjenu sklr fUf1k-

cije f putu u datom pravcu.

Saobrazno dfiiiji prvog izvoda grani~na vrijednost

li l1! = fn-f .1/-+!:J.1 .1

(44,1)

pod u:ilovom d;\ bude paralelno drdlm pravcu 1, ziv se izvod skalarne flkij f tacki' 11 datom pravcu 1. se ozna~ava 5 ! . -, ] 01

! = li . l .1

(44,2)

Ovaj izvod se oznacava i 5 df . Medutim oznaka parcijalnog izvoda dl

pokazuje da u toj ta~ki 5katarna fukij f moie imati proizvoljno ml1'ogo izvoda 5vim pravcima.

5 vrsta raz1ikovaJa od izvoda krdil1td postoji t'k i oznaka +- 5 5trjelicom vrhu diferencijalnog Zl1k . ime se jsl' istice da 5 radi izvodu u odredenom pravcu. , kako je taj izvod sklr velicina, JakvJ oznaka orijentacije bllJ neophodna. je samo uzgred kao duhovitu navodimo.

147

dfiiij je l0 bIiska tretiranjem gradijenta, je lako naci, vezu medu izvodom skt funkcije u datom i grdijtm te fukij. Naimt", m 18ij (43,) odmah izlazi da je

iIi

' = ! cos(n, l)=lgradfl'('os'(n, J), (44,3) i>/ i>n

i>f = I grad /1. cns (grad " 1), i>/

(44,4)

to zi: tzrod skalarne funkcij,e .t "datoj fatki . odredeao pral'cu I jBdno,k je te/1ti1i P!Jf~c!te ,grdjj te fnkcjje toj tac!~a (m PfOIJC J.

,Ako ' sa 10 zi ort U prjlvcu 1. ol1.da se relacija (44,4) -m! ntlpisati i u sljedecem obIiku:

i>f =lo .grad f=O.,Jo , (44,5) cl

je drugilll rij~irtl; iZlJodskalarne funkcije f daloj latki datQm provcu jednok sk%rnom proizvodu gradijtnta ( lunkciie loi latki i orla dalom PftJvcu.

' izvod mofe ikzti" i J1itki.lz (44,5) tada izlazi da Je

i>f,= (! '+ ! J+fk) (fcosa.+Jcos~+kcosy), (44,6) l oz

gdje su , ~, uglovi medu m I i kditim osama (koordi-tim ortovima).

Taj skalarni proizvod izsi

f =,! cosa.+ ! cos ~+ i>f . :

( 44,7)

Isti se rezultat dobije i kada se difij fukij f prikaf~ prema ,ztim praviliina" odnoSI1o

f ! dx f dy f d z - = - - + - - + - -' dl d/ d/ :: dl

(44,8)

u vezi S8 prirastajem vektora pulo!aja relacija (44,5) mo!e se tran-sformifati ovako:

df . - =gradfr., dr

(44,9)

gdje je ro jdiili .vektor u pravcu t/r. . relacija se m! isti i 11 Iljedecem obIiku:

d/=grsd/-dr.

OVlj rfzultat 'pokazuje i za op!tu rt18ciju

df=adr

(44,10)

http:J1itki.lzhttp:funkci.je

148

koja prikazuje skalarni proizyod vektor J difrt'l1ij~l d r (d ifrijl vek-"tora polotaja) i nekog drugog vektora . da je taj vektor gradijent te sklr velic{ne, c:iji je difrijl bas taj sklltri proizvod, ds = grad;, ili

d/ = grad / . d r. (44,12)

relacija se ! dobiti i prema sljedecem postupku Neka je vektor polotaja tacke u krditm sistemu; r = i + j + z k. Na istoj nivoskoj povrsini razne tac:ke imace r8z vektore pololaja, jj svuda biti / const. Medutim, kojoj drugoj povrsini skalar / imati drugu vrijednost, kao sto je vd prethodnej slici. Onda je totalni dif~rencijal. skalara /:

d/ = / dx+ / dy+ / dz, :!

to je upravo skalarni proizvod vektora f / + j / + k / = grad / vek- z

tora i dx+ j dy+k dz=dr. se odmah dobije relacija (44,10).

Ralacija (44,5) Z8 izvod skalara u drdrm 1t se prika-zati i geometriski kada z gradijent. Vidi se da je izvod skalara / u pravcu I dat projekcijom gradijenta od / tom pravcu. Opisu kroz

SI.44-2

tacku dvije sferne povrsine precnika I grad / I (1. 44-2) koje u toj tacki do-diruju. rik jedne sfere je I'grad / 1 druge -1 grad /1. Ako jz tacke : zrak u pravcu 1 tako da sjece sferu u tacki , onda biti jednako izvodu skalara / u pravcu 1 ds u pravcu 8.

konstrukcija je oc:igledna zbog toga sto je hipotenuza pravouglog trougla precnik opisanog kruga,

. Ako tacka nalazi gornjoj' sferi, d je izvod pozitivan, ako je drugoj (djj) onda je taj izvod gtiv.

Izvod u S\1km pravcu koji je norma-lan vektoru grad / ocigledno je jednak .

Iz navedenog iztazi da skatar u nekoj tac:ki rastojanju dr od tacke , gdje je vrijdst skalara /0' dobiva relaciJi

/ = /0+ dr (grad/)o, (44,13)

gdje je indeksom nl vrijednost u toj ta~ki.

Kako gradijent ima smjer normala od povrsine ni2eg nivoa ka povr-sinama vieg nivoa, se mora raz1ikovati od izvjesnih gradativnih lic:ina u fizici, koje se karakterisu izrazom pad, mada nekada gradijent smatrao n obrnutom smjeru od djg.

149

Vidjeli smo da je gradijent skalarne velicine zgodl1a mjera za prika-zivanje polja. l zaista, ukoliko je. vrijedriost I grad f I u nekoj tacki , utoliko biti manje rastojanje medu doticnim nivoskim povrlioama, zbog obrnute proporcionalnosti, koja je prikazana jo! u dfiiiji samog gradijenta.

Ortogonalne trajektorije nivoskih povrsina nazivaju se li po/ia. lJ njihovo detaljnije tretiranje ovdje se necemo upqstati.

45. - HAMILTONOV OPERATOR 't' - NABLA

U formuH za gradijellt

! ! ! grad f = j -- + j - + k -. 7

(45,1)

vidi se da se radi diferenciranju velicin~ f odgovarajucim promJen-Ijivim. znaCi da motemo izdvojiti skalar f iza zagrade, dobiti:

( ) grad f= '.- + j +k-. f. . :: (45, '2)

. U zagradi nalazi diferencijalni izraz, cijim dejstvom skalar f dobiva vektor grad f, Tim izrazom je naznacena izvjesna operacija nad funkcijom iza njega, se naziva operator. U ovom sl11caju naznacena operacija je diferenciranje. ovaj operator nije samo naznaka cnog diferenciranja, nego je sastavljel1 iz zbira triju oznaka parcijalnog diferenciranta , , Z, prethodnom mno~enju 5 odgovarajucim koordinatnim ortovima.

Hamilton je ovaj operator' (izraz) oznaio simbolom , koji 5 naziva naa prema asirskom muzickom instrumentu (vrsti harfe) slicnog obIika. Naziva se i: ilt" operator . nije opste usvojeni ziv, P$l ; neki nazivaju i "del- (jednoslo!no), neki opet i "at/edtl obrnuto od dlt, jer je znak iivrnutoveliko &;Tcko slovo delta. Ipak je l1ajraspro-stranjeniji prvi, odnosno drugi naziy.

Dakle, d

v=f +j-+k-. z

(45.3)

Ovako simboliCko pretstavljanje pomotu operatora uzelo je u teoriji vektora veliki mah, to znaci i u savremenoj fizici i matematici, kako zbog svoje elegancije, tako i zbog velike brzine i kratkote izracunavanja i izvodenja raznih retacija i veliCina. Operator je i5todobno dife-rencijalni operator i simbolicki vektor. ima kako svojstva vektorll, tako i diferel1cijalna svojstva. NabIa zahtijeva diferenciranje funkcije koju dejstvuje, otlnosno kj iza njega sljeduje kao sastavni dio jednog flana, kojeg je prvi d~o V. Sa vkvi oznakama mofe se ponoviti svo lto je receno formulama za gradijent. Tak() mote zakljuciti slJedete

. Velicioa komponente vektora vf u pravcu nekog jedinicnog vektora jednaka jn izvodu. od f u tom pravcu.

150

Vektor vl orijenti5an je u smjeru u kojem izvod dl ima mak dl

simalnu vrijf.'dnost.

Vektorsko polje vl normalno je povrAini 1=const. Ovi zakljuCci 5 dokazani i u drugom obliku istaknuti reJacijama

respektivno (44,4), (43,4) i (44,12).

OperatQr ! se izraziti u funkciji koordinata redom ., . umjesto u funkcij[ od . , , z,' to je sa5vim isto. No. zbog simetrifnog .prikazivanja ovaj na~in je vrlo zgodan, naroato kada se prede tiJ prikazivanja vektora i njihovih funkcija. Tako mdfe izrazlti u obliku:

v= ~.,. - '

n=. Xtt (45,4)

gdje se sa ." izra!avaju s'li ortovi odgovarajutim koordinatama, indek-sima 5 oznafavajq pojedini od njlh. Sumiranje 5 vrAi do tri, jer ih je tri broju u slufaju oblfnog pos~atranja 5 trj dimenzije. .

46. - OSNOVNB fORMULB TEORIJE ORADIJBNTA

). - Oradljent konstante. - Vet 5 i pfem. ] definiciji gradi jenta utvrdiJo da je gradijfnt izra!en u funkciji od izvoda skalarne velifine, Ciji gradijent tra!i, je:

gradi;ent konstante jednak null, t je i ranije navedeno.

). - Oradijent zra. - Neka data dva skalara (skalarna potja) 1 i . Treba nati grad (f + ')' definiciji i SDvim ]Jravi1ima dife-renciranja je .

i1i

Simbolifno:

grad(/+g)=' +} + J (/+g) +k () (/+). oyoz

grad (1 + ) = grad 1 + grad '.

V (/ + ') = v / + V "

(46,l)

(40,l)

Oradijent zra sklllara jednak jezblru gradijenata pOjedlnih skalara -sabIraka.

Iz (4,I) se vidi da je do~ia do izra!aja linearnQst operatora, jer valj distributivgj zakon.

Jednafine (46,1) pokazuju da se vektorska polja sabiraju. to je vrlo vafna oso1:1iDa, iako formule izgledaju jednostavne i. skoro rlt%umljive obifaa identitet.

5vojltvo gr8dijenta zbira ! proiiriti i gr_dijent proiz-voda kOllstante i skalarne velifine, je

grad (c/) - grad (1 + / + .. .) = grad 1. (46,2)

Ito z08fi da I! multipUkaciona "konstaou iznosi ispred znaka gradijenta.

151

). - Oradijent proizvoJa. Neka su data dva skalara 1 i . ;l naci grad (fg). Prema definiciji je

grad ) j Jf + j (f/.!_l + k (fg) , . .:

i1i grad (fg) 1 grad g.J,. g gr8d 1 ( 46,3)

A11s10gno diferenciranju ( idcntiCno) operaciju opera-tora V nad proizvodom vi tj l1acin 5to V rastaviti formalno 113 sabirkt", koji se odl10se doticne faktore proizvods, koje i dej-stvuje. Tako je u ovom slu~aju

v (=) V'/ +V,. t46,3b) gdje operator v/ dejstvuje {, operator Ve dejstvuje , mo:te se uzeti i obrnuto. Faktor 118 kqji takav operator dejstvuje izlazi pred operator V sa indeksom, kao kstt uz promjenljivu pred diferen ; jalni znak.

Zamjenom se, dakle, doblva

V (/) = (V(+ v,) Ilg} = V/(fg) + VR ) ~ '' I!. + ' {. (46,3) Ista operacija se moie prikazati i taj i da se faktori smatraju

uzastopno kstti i rad se ! lg difijlu pvoizvoda.

Napominjemo da je vdi postupak sa rust~vlj3j}j(:'0I operatora l\bl sablrke uglvm thik olaksita, je vr!o prakticlIa bez obzira ju matematicku opravdanost i svst.

d). - Gradijent slozene lunkcije. - Neka je skl f!lkij 1 fUtlk-cija od jedt10g skl:g polja , 1j. fu!~ij od jedne promjenljive . nati grad 1 (). dcfiniciji je

Simbo!icllo:

grad f ~) =; 1 () +- J '( _ + k H~ , :.

grad -1 () = ~L grad = l' (11) grad . du.

v/(u)= ~I I'(u)v u. dll

(46,4)

(46.4)

Oradijent lunkcije od sl,-alara 11 jednak je proiZl'o:lu iz i,voda te flInk- 10 ska/aru i gradiienla tog skalara .

je 1 fukij od n skalarl1ih polja :!, ... , ol1da je prema slicnom postupku:

grad /(I/ ~, .. I ,.) l l --- grlld l + - grad 112 + ... + 1 ( ~

l + -- grad /J u,

n l 1: --- - grad /.==1 :Jj..

(46,4)

152

Simbolicno: n t

vt= ~ -vu =l u:.

(4,4d)

). - aradi;ent apsolutne vriiednosti vektora polozfJ;fJ (radijus-vektora). - Treba i grad , gdje je r=VX2+y2+ Z2

i1i

Prema definiciji je

grad = f + j + k = ~ f + 1.. j + ~ k , . dz

r grad = -- .

47. - SILlt OBLIK IZVODA SKALARA U DATOM R VCU. OPERATOit V

(46,5)

Primjenjujuti operator V istm relaciju (44,5) u simbolicnom obliku, !to je valno i zbog ceste upotrebe i daljih svojstava izvoda ska-1ara odredenom pravcu.

1. , dakle. ! dt - = - = 10 . grad f = 10 . v '. / d/

(41,1}

Stavi 1i s

dobice relacija dt =dr-vt.

(47,2)

Ovdje s frmli skalarni "prQizvod" dr V i proizvbd 10' v mofe takode smatrati kao operator. kao simboJ, koji oznacava ska]arno diferen-ciranje. mole staviti .. ,

dt = (dr v)f. (47,2)

relacije su samo simlii izraz relacija (44,5), koji je m ! pri izracunavanjima i transformacijama raznih Jormula.

Posmatrajmo sada skalarni .proizvod- vektora dr i simbolickog. vektora V. Taj izraz ima oblik:

dr v=(f dx+Jdy+k dZ)'(f ~ + J ~ +k~)-= dz

=dx- +dy - +dz -.

- dz (47,3)

Dejstvom toga operatora funkciju f doblva se ! ! ! (dr'v)f=dx- +dy- +dz-. ? ~

(47,4).

S druge strane pomnofimo skalarno vektore

dr i dx + j dy + k dz

! il+jf+kf. z

153

Ovi izrazi odmah pokazuju da d i5ti izraz (47,4). Otuda 5 mofe zakljuciti da je

(dr'v)f dr(v/)=drvf. (47,S}

15to to vafi i kada se umjesto vektora dr uzme neki vektor , pt!.je

(,)! a(vf}=avf. (47,6)

Dakle, kada operator V dejstvuje skalar f onda nije vazno gdje zagrada, takav izraz (47,6) sasvim slobodno lz pisati i bez ikakvih zagrada. Doduse, ranije dogovoru treba staviti' tacku medu vektore kao znak za skalarni proizvod.

isto vazi i kada je umjesto neki jedinicni vektor. recimo uopste odnosno

(47,7)

se vidi je ovaj izraz I I puta manji vrijedl10sti izraza (47,6). lako obje strane relacije (47,7) medusobl\O jednake. ipak 5 ta

dva izraza mogu rtCiti prema ranije vdi 5tavovima . sljedeei nacil1. Izraz ( lijevoj strani relacije pretstavlja izvod skalara f u pravc\!> vektora . Medutim izraz v f desnoj stralli preblavlja veliCinu komponente vektora ! u jedinicnog vektora 80. kao slo pokazuje i relacija (47,1) (10 11 ). jet Ilaravno, i5ta knuto i , (tirallju izvoda skalara u odredenom pravcu, ga je vazl10 i ovdje istaci 5 obzirom ovaj , operator, koji ima dosta primjene u fizici i tehnici.

48. - PRIMJERI ORADIJENTA

1. Provodellje. lop/Qle.. - Posmatrajmo jedan 510j 5 p5tance izvjesne debIjine, r~cimo t (51. 48-1). Neka ie 11 temperatura jednom kraju toga sloja, 12 'temperatura drugom kraju. Iz nauke toploti poznato je da toplota .tece" mjesta vise temperature ka mjestima' nite temperature i to tako je smjer njenog .ticanja" bas smjer najbrzeg opadanja tempera-ture. Ako se 5 Q oznaci kolicina toplote koja protece kroz neku povrsinu S supstance za vij t kroz sloj debIjine 1, utvrdi10 ekspe- t1 rimentalno da je ta kolicina toplote proporci-onal08 . toj povrsirii, zatim razlici temperatura i vremenu za koje protice, obrnuto proporci-810 debIjini sloja kroz koji protice, je

Q =:::. S(tt -/2) 1 (48,1) 1 SI. 48-1

154

Ako se .koeficijent proporcionalnosti ozna~i sa /.., ~e

Q = /.. S (t1 - 12) 1_. (48,2) 1

Koeficijent /.. zav!si od prirode supstance, se Q8ziva tericka (toplotllo) provodnost ( provodfjivost) supstallce

Ako se sa q oznati k;;>lifin8 toplote koja protete u jedinici vremena kroz tu povrsil1u, ~e

q = /.. S(t1~2. . . 1

(48,3)

U fizici je praktitno temperaturu pfikazivati ' apsolutnoj sk1i. gdje je apsolutna temperatura =27+I, je

(48.4)

u prethodnim jednafinama treba prema tome razlikovati vrijeme t od temperature oblljeiene istim sJovom. 5tO je bllo privremeno.

Ako radi ')0 tankom sloju debIjine l!.x, onda ~e i razllka temperatura stranama toga sloja mala, je mofemo oznatiti l!.T, te je

(48,5)

Prema prirodi toplote vjdi se da je odredt"n i sjer protican.ja toplote-i to od mjesta \'ise temperature ka mjestima niie fmrtur.

Otuda kolifnik 6. mjera za opadanje temperature u l1ekom pravcu, 6.

j u !)mjeru proticanja toptote.

S druge strane poznato je da je gradijent lJeke skalarne velicine orijentjsan u smjt'ru rastenja I povecavanja) str skalarne \'lii. Onda se zakljutiti da i q gl PIttsl8vljati ,neku vekto.rsku veJitinu, koja je proporcionalna gradijentu temp.eratur.tt'. sa rnum :znakom zbog obrnutih smjerova proticanja topJote i temperaturskog gra-dijenta. I

Prema tome je q= -Sgd = -.Sv. (48,6)

I uop.ste, ako je u nekoj tacki tijl tmrtur (, , ). onda toplota protite u smjeru od te tac!{e u kj temperatura najbrze opada. to je smjer suprotan smjeru jzg rsl1j (visVl1j) ternperature. odl1osno suprotan smjeru gdijt't temperaiurt:>, je

q= -kgrad -kV. ( 48,7)

gdje konstanta k ,z8visi od trijl tijela u kojem se laj pruct's vrsi.

http:temp.eratur.tthttp:protican.ja

155

Ovt!je je rijef lokaJizovanom stacionarnom stanju,' gdje t1zima obzir uspostavlJanja smtr termi~ke ravnote!e, paprema t ni promjena temperature u jednoj ta~ki u toku na.

2. Oradljent Ducarte8-o,,'h koordinata taeke. - na~i vx, VY. Vz.. definiciji je: .

VX = ! u izvod tog skalari . tom : X t

dx vx-f =f.

Ista .tako je dx

Vy=J. vz-k.

Dakle, 8'adijent Descartes-ovih koordinata dinatnom .

(48,8)

jednak je odgovarajucem koor-

3. Oradljent potarnih koordinata ta~ke u n/. - Oznatimo. sa f i " koordinate tatke u eavni. Nevedeni postupak odmah daje

V r.=fo, (48,9)

gdje je f o jdiiti vektor vektora polo!aj8 f. Dalje je

d_cp = & = ..!. dn AIJ40 si &

fOCP

Vep=fGql'- =-, dn

gdje je focp jedinitni vektoi l

156

sljede~i izraz~ 1 grad (In ) = ~. grad .

Kako je dalje = (. ), primijenicemo relaciju (46,4). je

t)u grad u = - v + - v = 1 + j,

2 +l ~2 +2

gdje smo za VX i VJl uzeH rzultt iz primjera 2, koji se i ina~e lako dQbivaju.

Onda je

grad In -2 + 2= 1 -;-__ + j ~_ = 1 - (1 + j ). . 2 + 2, 2 + 2 2 + l

Ovaj se rezultat mole dobiti i prema relaciji gradlnr (v. zadatak . 6 str. 157).

5. I%ra~unati graaijent fqnkcije

u ta~ki (3,5). f(x, )=42

op~toj definiciji je '

vf(x, )= ! vx+ f Vy = ! i + f j,

se neposrednom zamjenom dobiva

grad f (, ) = (8 3 ) 1 + (2 -- 3 ) j. Zamjena = 3 i F 5 daje za ovaj slu~aj

grad f (, ) = 91 + j.

Zadacl

1. - Dokazati. da je grad ( . r) =., gdje je konstantni vektor. 2. - Jzra~unati: ) grad ,10, ) grad ,n, ) graq '/.

Odg.: ) 10,. r; ) n'" -,. r; ) - ~' 2"

. - Izra~unati grad!!.., gdje je n konstanta. f

Odg.: nr - -. ,.

'4. - Izra~una1i grad [( r) ( r) J, gdje su i. konstantni vektori.

Odg.: (axr)xb+(bxr)xa.

5. - lzra~unati grad 10 ( + ). gdje su i koordinate ta~ke.

f + j Odg . --. +

6. - Izratunati grad 10 .

Odg.: -.!... (Vidjeti prethodni primjer 4). l

7. - Dokazati da je

grad[(cxr)II]=2[r (cr)c].

gdje je kstti jedini~ni vektor (ort).

49. - VEKTORSKO POLJE

151

Vektorsko polje je okarakterisaoo nekom vektorskom fuokcijom . ;0 zna~i da je vektor v poznat u svim tatkama polja, odnosno da se mofe izra~unati osnovu izvjesnih podataka.

Poslufimo Ii Descartes-ovim koordinatnim sistemom, polje ~e dato kada se u potpunosti zna .vektor

V = 't/,x f + 't/y j + v% k, kada su date projekcije vektora v kao skalarne funkcije koordinata , , z tacke u kojoj se polje trafi.

~to je z8 skalarno polje funkcija f zavisila od polofaja tatke, odnosno od , , z (tj. od ), tako i za vektorsko polje vektorska funkcija V zavisi od . ,' z (tj. od ).

to~e je V = v ().

Ako ta vektorska funkcija zavisi od vremena, v=v(r,t)

(49.1)

(49,2)

kao ~to i funkc:ija skalarnog polja f m! zavisiti i od polo!aja j od vre- t, tj. "=/(', t).

Ovdje vrijeme igra ulogu parametra. Na sfi~an na~in treti i klr i vektorsko polje u zlvisnosti od vektora pololaja i nekog dragog parametra, je vrijeme parametar koji najteICe dolazi u obzir.

Vektorsko polje pretelno tretira m u funkc:iji od vektora polo-!aja, odnosno od koordinata. uzimajuci u obzir vrijeme.

Hmjesto ovdje usvojene oznake ., za karakteristiku vektorskog polja mole uzeti proizvoJjna oznaka, odnosno proizvoljno slovo kao r. F, , itd.

smo kod gradijenta naiAIi primjer vektorskog polja: v = grad /.

158

Vektorske Hn'je. Za poznavanje vektorskog polja vafno je znati takve krive 1iriije, koje u svakoj ta~ki imaju pravac vektora polja. " linije se nazivaju linije po/ja i1i vektorske linije. Pod pravcem krive linl.it"

podrazumi)eva se pravac_ ,tal1gent~ ... v

L'

-r

SI.49-1

s te linije u posmatral1oj tft~ki. Znaci da je vektor polja tangencijalan vektorskoj liniji u posmatranoj ta~ki. Na sl. 49-1 je LL' vektorska Iinij:! vektorskog polja. Neka se Iuk s te I nije mjeri od tl!~ke : U ta~ki D vektor v je orijentisan du! tangente vektorskoj liniji.

Izvescemo diferencijalnu jed-nacinu vektorskih .

Neka je r radijus-vektor neke tacke ;! vektorskoj liniji. Ta~ka ima koordinate , z. Ort tan-gente te linije doti~noj tacki je dr -+ -+ - = 1'. Ort 't' i vektor v su 'koli-ds

nerni; je njihov vektorski proi%vod rv . odnosno

i1i

dt - =, ds

(49,3)

dr =.

je u vektorsko.m obIiku diferencijalna jednacina vektorskih 1inija.

. difereocijalna Jedna~ina mo!e izraziti I~ki. Poznato je da projekcije dvaju paraleJnih vektora medusobno proporciona~ne, je

dx dy dz -:(/",=-:(/,= -:2.1",. ds ds ds

odnosno dx : dy : dz = ('" : (/, : f: lt

iIi dx dy d:. J- = - =-. (49.5)

Relacija (49.5) pretstavlja sistem c,d dvije diferencijalne jedna~ine. koje treba integrirati da se naile vektorske linije. Kada se te dvije jcdoatine rijee' doblte se dvijt; proizvoljne konsuote. Odavde dobivamo sa.mo ". vektora. d. doblje njegova velitina pribjegav8 , obitno, grafitkim me.odima. Vektorsko polje je mogutno posmat"ti kao ska-l polje okarakterisao sk.J.rtm uz konstruisanje nivoskih vrii. ,,= conat. Velifina vektor. mofe pretitaviti i brojtm linija. -No k.ko svau tatka ! uzeti kao polazn,a za konstrukciju vektorske JiniJt>. jasno je da se mofe pretpostaviti beskonatno mnogo _vektorskifl Jinija. ! azeti da je poJje u cjeJini ispanjeno tim linijam pretpo- je neko vrijeme domlnira1a u fizici i to tako da su izvjesni fizi-hri te j ..... trali d. 1)OStoje u stv.rnosti. da IU to linije

http:posmatr.ti

159

koje SII 51ll0 m sreqstvo. Materija je rasporEdena drukcije, taku 8 su ili tJ8l1icisti. U fizici je u5vojeno da uzima kOn8can ] tii, IilliJa u l

160

Ovaj integral se o~e I1isti f u drugom obliku. Iz 51ike 5 vidi da je ds=dr, je

f vds = / vdr.

Liniski integrtll vel.tora lotl'orenoj krivoj !iniji (konturi) naziva , cirku/ocija veklora duz le konture i I1Ihm se obllje~ava 58 (gama):

= f vds,

gdje oznacava konturu dui koje uzima integral.

(50,3)

Ako vektor pretstavJja neku silu, kriva pretstavlja trajektoriju tacke, onda je liriiski integral takvog vektora dui te trajektorije rad sile putu koji Ilapadlla tacka prde, odnosno

= IF.dr= /F'dr . (50,4) !)

Prema izlozenom, Iiniski integral uopte zavisi od krajnjih tacaka, du kojima liniji uzima, zavisi i od pufa; od oblika linije medu dvjema tackama. znaci da Iiniski integral zavisi i od izbora pocetne i zavrne tacke puta kojem uzima. je jasno i prema cinjenici da vektor v uop~te ima raz1icite vrijednosti u raznim tackama polja, svaka promjena puta medu i zn8ci i rju vkt v, odnosno promjenu njegovih komponel1ata, ukoliko se radi njegovom razlaganju, to znaci i promjenu 'liniskog integrala.

Uskoro Cf'mo u sljedecem paragrafu pokazati i izuzetak od loga. vidimo sada ~to biti ako uzme suprotan smjer integriranja.

Lako je, uvidjeti da St u tom slucaju izmijeni znak elemenata li 81' vektor Vi ostaje sa rijim znakom, je

J vdr

J vds = f vds =

J vds,

(50,5)

pri integriranju u suprotnom 5mjeru du! iste linije' i medu istim kraj njim tackama mijenja znak liniskog integrala, njegova velicina ostaje rmijj.

Ako je neka tacka liniji kojoj se integriranje vr~i, onda je

J v . ds = J v ds + J v ds, (50,6) 8 8

Postoje vektorska p01ja, koja cine izuzetak od ovih pravi11, to '.iznijeti u sljedecem paragrafu.

161

Izra~unavanje 1inlsltog integrala. - Liniski illtegral izracul1ava u Descartes-ovim koordinatama taj nacin, sto doticni vektofs. pret-stave pomocu koordinata, je

f . d r = f (fJx ,-+ 'Vy j + 'Vz k) (dx1 + dy' j + dz k) = A.IJ -

= .r ('l.'x dx + 'liy dy + fJ, dz). (50,7) _

m" tome. izracunavanje integrala I . dr svodi izracut1svanje' krivoliniskog integra]a skalarnih velicina, sto je poznato iz integralnog u. Vrlo cesto st>, radi lakeg izrq';"

162

Uzme Ii se umjesto vektora v potencijalni vektor , dobiva se

J d r = J grad . d r

I vpdr.

(51,3)

Medutim vzj formuli (44,12) vidi gra!l]i izraz l)as totalni diferencijal, je

se da je ovdje podinte-

, I . d r = 1 vtp dr = J d'p (51,4)

Zl1i da kril'O/illiski integra/ potcncija/nug vektora z'isi od plIta iIi obIika krive medu kjjim ta{:kama, ili, liniski integral vektora grad dui koje krive liij, !.oja spaja dvije laCke, jednak je razlici vrijednosli !unkcije U u lim taCkama.

(50.3) dh se zakljucuje da je cirkulacija potencijalnog "ektaro duz Ztv krive liij jelJnaka 1ln:

Vazi i obrnuta teorema:

f Odr"",O.

(51,5)

ako je liiski itg/ kg vektora duz kakve zatvorene krive linije jednak nllli, O/Ula N taj ~'ektor gradijen/ nekog skalara.

Napominjemo da je us!ov za (51,4) i (51,5) jednozl18cnost funk( i,e

Uzmemo Ii iz fizike takav primjer da umjesto vektora 6 bude sila , doblvaju se sJjedece relacije:

putu od 1 d.o 2:

por zatvorenoj konturi

2

JF.dr=A:!- 1 , 1

f F dr=O.

(51,4)

(51,5)

iIi: u potencija/no po/ju rad sila ' polja /ll medu dvjema proizvoljni tackaa uopsfe Il zavisi' od (}blika puta, . samo od polozaja tih tacaka. Rad sile potencijalnog polja zaflloreno putu jednak je nu/i. Takva sila se. n_ziva konze,vati~'na sila. Prema (m, konzervativna si1a je gradijel1t neke funkcije.

Navedena cinjenica takode mole posluziti kao polazna tacka za dt fi njcij~ potencijalnog polja i potencijalnog vektora.

Kako je u potencijalnom polju uopste v = grad '. vidi se da se vektor v' poklapati sa normalama nivoskoj povrsini, se moze zaklju- sljedece:

u potenc/jalno poljll vektorske linije su m/ nivoskim povrsi-/(1,/':; !unkcije I.

163

Primjeri l' _. Jzratun.ti Jiniski integral vektor.a - - od tatke vektorom l-'

taja 1'1 do tatke 5. vektorom polo!aja 1'2'

Prem. definiciji je

Onda je

l' -dr. "

1 1 -.--,

Doblveni rezultat pokazuje da ovaj itgrl zavisi Qd oblika puta medu tim krjjim tatkama. Prema izlim -to zti da je dati vektor

gradijent kg skalara. Rezultat pokazuje da taj skalar mora blti ba~ ~. r

zaista je

~- ::: .!.. (- ~) =.!.. !!... (1..) = grad . !!... (1..) = grad (1..) = v (1..). ' 2 dr dr

2. lzratunati 1iniski integral vektora jatine gravitacionog polja. .

Ako se sa oznati vektor jatine gravitacionog polja tijela mase ,

. 0= --y-ro = -- 1',

2 kao t je vd I.f 6.

Onda je (r 8'

1= f -y!!!..r.dr,

(rA )

gdje je rA vektor polo!aj8 tatke rB v.ektor polo!aja tatke .

Prem. prethodnom primjeru odmah se dobiva

1= f grad (~)'dr=y (1.. - 1..) ... .

= _ :r == razlika potencijala utim tatkama. .

Iz opte fizike je poznato da je skalarna velitina pofencija/ gra-

vitacionog poJja tijela mase rastojanju , gdje je grviti konstanta.

http:Jzratun.ti

l4

Ovaj primjer pokazuje da je i gravitaciono polje takode potencijalno 1-'ulje.

Dakle, jacina gravitacionog polja je

=: grad ('(m) = grad q>,

~uje je q> oznacen potencijal gravitacionog polja.

:i. uti liniski integral vektora jatine el.ektrostabl.kog polja lLllitdu t.dr. DoiJivena je razlika potencija\a po\ja 58 obrnutim znakom.

10 znaci da je i elektrostaticko polje jos jedan primjer potenci}a11l0g polja. Ako 1\ i za to polje oznaci potencijal

52. - VI!ZA MEDU POTENCIJALNOO YEKTORA

Dato je vektorsko polje okarakterisano vektorom . Treba nl\Ci analiticki izraz uslova da to polje ima potencijal. Prema definiciji je

G = d'fj + d

l

vektora i uopste tr.tr1 izvodi, dos]o do komplikovanih velicina i funkcija. Dok kod akaJara doslo do vektora, fd yektora dosJo dotenzora. va1i Z8 izvod uopste . ovdje interesuje samo izvod vektora cdret1enom pravcu, koji takode spada u te komplikovanije velicine.

Neka je dat vektor koji karakte1ise vektorsko polje. naci izvod tog vektora u pravcu 1 u nekoj tacki . Iz tacke povuce.ort 10 paralelan 5 1. Na ot5tojanju 6.1 u tom pravcu uzme 5 tacka . Vrijedno5ti vektora u tim tackama 5 re5pektivno: \rA) i (rB).

Onda je ~~ = m (r8) - (r ) ' A!~'O /

(53.1)

Radiju5.vektori 5U funkcije od koordin8ta , , z, je S" osnovu dife renciranja 5J01enih funkcija

/

dx dy" dz --+ -+--. ' d/ / z d/

No kako je dx = cos , dy cos~, dz = cos , gdje su , fJ. uglovi izmedu / dl dl

vektora 1 i krdi8tih osa,

= cos + cos ~ + cosy.

/ az (53,2)

Ovi pl:trcij81ni izvodi vektor2 opet su vektori. koje oznaciti 8 Y~, . . su vktri-kmt. skaJari-krdit. Tako relacija postaje

dY - = cosa;+y,. 13 + 5 = / '. d/

gdje s difrirj uzima jednom iIi drugom zkm.

Kako je cos = 10 1,

c:os ~ = 10' j.

cos = 10' k,

dobic(' se za izvod vektofa u drdqm pravcu sljedeCi izraz

)

(53.3)

(53,3)

lzraz u zagradi ima obIik kao sto je obIik gradijenta skalara, se ovdje dobllo nesto kao "gradijent vektora" kd se i oznacava 8 taj 118i, jvis kao VV. Otuda se odmah zakljucuje da je izvod vektofa u datom pravcu vliCi koja je kmlikvij od vektora.

167

Ovdje ~ detaljnije ulaziti u analizu prirode te veliCine, ali vidimo da 1 radi simbolickom mnotenjut koje nije obuhv8ceno obicnim proizvodima vektora. Zadrtatemo s simbolicokm prikazivanju toga izvoda. U tu svrhu izvrsimo sJjedetu transformaciju:

(~!) = ~\" =(lcosa+jcoSt1+kcosy) (i~ +j~ +k~) . d/ 1 _z Prema navedenim oznakama mote za izvod vektora u datom

pravcu definitivno pisati:

= (1 v) ' 1 , (53,4)

, izvod vektorske funkcije v u datQj tacki vektorskog po/ja u datom pravcu 1 jednak je simbolickom proizvodu tog vektora v ; diferencijalnog operatora 10' V.

Prema tome operator 10' v prikazuje izvod u datom pravcu paralelnom ortom 10' bilo da dejstvuje skalarnu iIi vektorsku funkciju, bez obzira sto postoji znatna razlika medu tim izvodima.

Sada relaciju (53,4) uopstiti taj natin, 5to umjesto jedinicnog vektora 10 uzeti koji vektor u i anaJizirati izraz (u vj . Odmah se vidi da je ova rij slozenija i da najlakse vlj sim-bo1iCkim metodom. Tako skalarni p'roizvod vektora u i simboJickog vektora V mote napisati

U'V=Ux +- + --.

:: (53,5)

Konvencionalno usvojimo da vektor v mote pripisivati 5 desne strane, 1>3 ~eo dobiti vr10 vatnu relaciju

iJv iJv dv (u 'V)v - + +uz-' (53,6)

z

Ako je 10 oct vektora u,

(u'V)v=(1ouv)v=u(lo 'V)v;:::;u +cost1 + , ( v v V) ,

i definitivno v

(u'V)v=u . /

(53,7)

Dakle, izraz (u v) v jednak je izvodu vektora v pravcu vektora u pomnozenom velicinom veklora u iz zagrade.

Kvadrat apsolutne vrijednosti ovog izraza moze se dobiti iz formule (53,2). Odmab izlazi da je to homogena kvadratna funkcija od devel projekcija, i1i

- = cos2 a -- + cos2 fJ -- + cos2 y - +2cosacoc;~ . + ()2 ()2 ()2 ()2 ! iJz

+ 2 cos ~ -. - + 2cosycosa.-. . dz z

(53,8)

168

Projekcija \'eli~jne iZ\fJj moie se itraziti k8() linearna funkcija njenih pr.ojekcija tri ut\'r\18 . Detaljno prou-cavanje 5ustil1e prirode veJicine spada u teorijl1 tz.

l.ako je dokazati i , relacije lJ iz\'od u datom pravcu:

3" av (lI+) + .

al' ! !

I () I

,

J / !

v "~ l

dv ~" {tIv)~~t ' rV" '.

' ! /'

3! ('>()= u

/

" "- >: l '

(53,9}

(53,10)

(53,11 }

(53,12)

w " v ... (uvw) = (u)( v) .+(v w) + (w ") , (53,]3) ! l' l !

1 ovaj izvod vektora se mogao ozna~avati kao i onaj 5kalara +-0

58 --, l

Sada slicno rostupku u 47 ud izvod vek10ra v u datom pravcu paralelnom 53 oltom 10 58 istim izrazom 1IZ premjesteni znak za sk~larno ml1ozenje. Naime, uporedicemo izraze:

(1(\ \7)' v.

sto smo dokazali, prvi od ovih izraza pret5tavlja taj izvod vektora v u datom pravcu 10'

ikziV

169

t.1r.vv (id+jd+kdZ).(i V :/-jV +kO V) =

d d V d -- + - + . }'

(53,18)

Dobiveni izraz nije nista drugo nego d , je

drvv " (53,19)

vrl0 vaina formul~ 5 ce5tim primjenama, to je analogno 5 (47,2).

Takode je (drv)v=dr(vv) drvv,

sto je analogno 5 (47,5).

Ove formule se mogu dobiti i (53,7).

(53,20)

Od,avde se mogu dobiti i relacije 5 odgovarajucim ortom , odno-5 10 analogno relacijama (47,7), 5tO je prikazano prema drugim formulama ovog paragrafa. Uvijek treba imati u vidu da p05toji' raz1ika medu tim izvodima, iako su relacije lg.

Napomenimo da 5 je izvod skalara u datom pravcu doveo do racije v!. izvod vektora u datom pravcu do operacije

VV, (53,21)

pri cemutreba upamtiti da izmedu Hami1tonovog operatora V vektora m ikkvg -zk mij.

zk v vektora igra ikkvu ulogu, te treba pomisliti dajaj ve!

170

Prema 44 je df ! ! - = - +vgrad {=- +vvf. dt at at

(54,1)

Totalni izvod df naziva se takode i supstancija/ni individua/ni izvod funk-dt

cije f t, jer se lokalna i konvektivna promjena izratavaju posebnim sabircima: Parcijalni izvod vremenu f naziva se jos lokalni izvod f t.

t . Analogno se doblva i izvod vektorske funkcije. Neka je u (, , z, t)

ta slotena vek~o~ka funkcija, gdje su , , z funkcije od t.

Jasno je da je

du u u dx u dy au dz au ( ) = + + - - + - = - + vv u, dt t ,I! dt az dt t

(54,2)

gdje je v odgovarajuca brzina.

Clanovi v (v n i (. v) u nazivaju se konvektivni clanovi, jer prika-zuju kretanje koje je vezano sa prenos.enjem - konvekcijom djelica kOl1tinuuma koji se proucava.

Lokalna promjena f kod stacioniranih strujanja jednaka je nuH, at konvektivna promjena postoji i kod stacioniranih strujanja.

55. - FLUKS VEKTORA

Neka vektor v karakteri5e neko vektorsko polje. ] vektor mote pretstavljati razna kretanja materije, napr. brzinu kretanja tecnosti, jacinu polja, uglavnom kretanje nekog fluida, koji se smatra kao kontinuum, 5to je grubo s obzirom mikroskopsko pretstavljanje. Ovdje se pod fluidom podrazumijevlI tecnost fiktivna tecnost kao uopstavanje raznih obJika kretanja materije proucavanih makroskopski, gdje se uzima u obzir diskretna struktura. Za razne zadatJre ovaj metod zadovoljava, obzira apstrahovanje mnogih osobina materije.

Uop5te uzevsi vektor v je promjenljiv - u raznim tackama ima razliciti pravac i vrijednost. Specijalan slucaj proticanja fluida, koji se lako , kada je vektor v konstantan, odnosno kada vektorsko polje homogeno.

Treba doznati koliko fluida u jedinici vremena protece kroz datu povrsinu. slucaj varijabllnosti vektora v u prostoru proucava se m specijalI10g slucaja tako 5to m eJementarni dio povrsine kroz koju tecnost protice, se zbog vrlo malih dimzij te elementarne povrsine moze uzeti da tako maloj povr5ini vektor v kstt, jer se pretpostavlja da je vektor kontinualna funkcija. Neka je takva lmt povrsina d S;;;: n dS, gdje je n ZVl1 normala. se radi lakseg

171

ratunanja pretpostavJja da je elementarna povrsilla ili paraleiogram iIi krug. Naravno zbog beskonacno malih dimenzija uzecemo da je ta elementarna povr5ina (sl. 55-1). Jasno je da _ u jedinici proteci kolicina tecnosti jednaka za-premini paralelepipe-da (odnosno cilindra) cija je baza dS, ivica v. Oznacimo Ii tu koliCinu S8 d, d ==hdS =

= vdS cosa (55,1) Kako se i baza moze pretstaviti vektorom normalnim samoj bazi, 8 u smjeru pozi- normale, doblva se d=vdS =

- . d8, (55,2) jer je (55,1)' skalarni proizvod vektora brzi- i vektora orijenti sane povrsine kroz

. koju tetnost (f1uid) protite.

s

SI. 55-1 .

Odmah se vidi da je d skalarna veliCina i da pretstavlja protok tecnosti (f1uida) kroz beskonacno malu povr5inu (kroz e]ement povrsine).

Naravno, neposredna aproksimacija, koju smo li uzimanjem dife-rencijala povr8ine, moze se zamijeniti uzimanjem difirencije i trazenjem granitne vrijednosti doticnih izraza u 5to se. ovdje upu8tati.

VeliCina d naziva se elementarni fluks vektora , fluks vektora v kroz element povrsine d 8. Moze se nazvati i diferencijal fluksa vektora kroz povr8inu.

Onda je fluks vektora v kroz cjelokupnu posmatranu. povrsinu S ocevidno skalarna veJitina , koja se doblva integriranjem izraza (55,2). Treba imati u vidu kakav je to integral, naime da se doblva kao granicna

n . vrijednost Ii ~ ;.!!. 81' kada dakle i l!. Sj -- . Dakle, ukupan fluks

n ... 00 ;=1 vektora v kroz povr8inu 8 je

= f vd8. (55,3) sj

je povrsinski integral, koji integral podintegr8Jne funkcije, cjelokupnoj povrsini S.

se,kao 8to je poznato, svodi dvostruki koja se nalazi uz dS. Integral se

Iz (55,38) izlazi

= JJ vndS s

f f [vx cos (~, ) + vy cos (, ),+ v. cos (, z] dS. s

(55,3)

172

U izvodenjima i formulama upotrebljavacemo i za povrsinski illtegral samo jedan integralni znak kao u (45,31:1), prosto zbog prakticnosti u pisanju, jer dS j5i pokazuje da se ima posla 5 povrsinom.

FI,uk5 vektora 5 naziva i r t i n j r .! k ve k t r 8 . Jako se svi ovi nazivi odno5e protic811je fluida, vektor o~e prikazivati i fizicku veliCinu gdje nikakvog proticanja Itroz koju povrsinu. ' u nekim obIastima, narocito u nauci krtju t5ti, pret~tavlja proti;:-anje, je otuda i takva definicija fizi~ki potekla.

ftuks vektora kroz zatvorenu povrlinu. - Alco je povrsina zatvo-, tj. ako obuhvata drdu zapreminu, onda konvencionalllo usvojiti da spoljasnja normala bude zv, f1uk5 vektora v iznutra lj kroz zatvorenu povrsinu S vm 5

= v . d S = . n dS. (55,4) s s

Kako zatvorena povrsina obuhvata izvjesriu zrmiu, il1trst je P9smatrati kakav mofe fluk5 kroz tu povrsinu, jer je vektor v uopste uzevsi vrijI, - razlicit u rzim taekama. Neka je ta zatvo-rena povrsina S (51. 55-2), vektor v neka bude vektor brzine. U taeki

dS L

51,55-2

lmt dS, te vrsi ugao medu vektorom v i pozitivnom normalom' je {, je onda fluks negativan: zn8ci da u p05matranoj tacki, d5 u smtrm dijelu povrsine, gdje vektor zahvata tup ugao 5 pozitivnom normalom povrsini, tecnost u zapreminu, koju obuhvata p05matrana ztvr povrsina, tj: fluk5 vektora je od izvana unutra. tacki nekog elementa dS" g medu vektorom v i pozitiv- normalom je ostar, je fluk5 pozitivan. znaci da kroz 05tr tacku, odnosno eJement povrsine, tst istice iz ogranicene zapre,-mine. U tackarna povrsine, gdje vektor v tangira doticnu povrsinu, ugao

medu tirn vektororn i normalorn je .!: , je fluks toga vektora jednak 2

nuH. Kroz takve tatke tecnosti utite, jstice.

173

tome fiuks v:ktora moze imati sve vrijedfJosti, ds moze manji od nule, jlik veci od nule. Kada je = to znaci da u posanatranu gr!1iu zapreanil1u tacno lik tsfi, koliko i istice. je > , onda iz gi zapremine vi5e tsti istice, Eig 5to tJ nju slj , to znaCi da se u toj zrmii nalaze 'iz~'ori tecnosti. 8 je k < , d u tu. zmiu vise tsti uHce slj, nego sto istice 1 zapremine napolje, to znaci d u to; zapre-mini lz ponori tecl10sti ( "gtivi izvori ").

Dakle, illfgl =-- f . d S pretsfavlja mjeru izdasnosti izvora koji se s

nalaze u zapremilli ogranicenoj zafvorenom povr'!;inom S.

je u slucaju kada je v vektor brzine kretanja ts. Ali i uopste dti~i itgl pretstavJja mjeru izdssti izvora zltpremine, hvatene ztvrm povrsinom, d osnovu toga integr81a moze doznati priroda lj. u toj zrmii.

Ranije, smo vidjeli da je "broj vektorskih Iiij ri\Jl vektoru polja. fluks ! blti i mjera "broj8 vektorskih linija, koje "nastaju" iJi .oestaju" u toj zapremioi. tacke gdje vektorske Iinije "izviru" nazivaju se izvori, tacke u kojima linije "poniru" naz~vaju se ponori. Uzmimo primjer iz elektriciteta. ; crtanju vektorskih linija Z3 elektrostaticko polje usvojeno je da se linije orijentisu od zitiviti' lektrisanja (koIiCine elektriciteta) ka negativnim. Pozitivna lktrisj (opteretenjaJ, odakle Jiij pocinju, mogu se-smatrati kao "izvori", nega- kao "poIJori" ( "negativni izvori").

Fluks konstantnog vektora kroz zatvorenu povrlinu

Neka je vektor konstantaofl. Fluks toga vektora kroz zatvorenu povr~inu

= f cdS. s

stt se moze izijti pred itgrli znak, je

cfdS=O, s

jer je integral vektora zatvorene povr5ine jednak .

(55,5)

Drugim rijecima: {/uks konstantnog vektora kr02 zatvorenu pO{lrsinu jednak je .

Fluks vektora polozaja (radijus-vektora) kroz zatvorenu povrli:n.u. Ako je vektorsko polje okarakterisano umjesto vektorom v radijus-

vektorom r, onda se doblva

= f rdS.

174

Bez obzira gdje se nalazi poeetak od kojeg se ra~unaju razni radijus-vektori, uvijek se iz tog po~etka kao tje-mena mogu konstruisati piramide konusi eleme!ltarnih baza dS, je skalarni proizvod r dS jednak tro-strukoj zapremini te elementarne piramide ili kupe, odnosno

r dS == 3dV. (55,6) tome je

=3 , (55,7)

ili, f/uks vekfora p%iaja kroz zafvorenu povrsinu jednak je trosfrukoj zapre-mini kojl.i. ta ptJvrsirra obuhvafa. Ocevidno je da se radijus-vektor odnosi tacke te povrsine.

56. - DIVERGENCIJA

u preth()dl1om paragrafu smo vidjeli da fluks vektora kroz zatvo-renu povrsinu prikazuje polje u cjelokupnoj zapremini, obubvacenoj do-ticl10m "povrsinom. FJuks sluii kvantitativna mjera polja u cjelokup-noj doticnoj zapremil1i. Medutim, da se polje bolje upoznalo potrebno je naci mjeru za kvantitativne karakteristike polja samo u cje-lokupnoj zapremini, nego u pojedirrim fackama vektorskog polja. Ovdje se podrazumijeva tacka u fizik1 smislu, jer odrazava fizicku realnost bez velikog apstrahovanja (dio neke tecnosti, kolicil1e toplote, kolicine elektriciteta itd.), nisu potrebne ekskluzivisticke apstrakci je, se i Il tacke u fizickom pogledu primjenjuju matemati~ke operacije anaJogno pri-mjenama matemati~ke tacke. Do:< je apstraktna tacka u matt'matickom smislu bez dimenz!ja, tacka u fizickom smislu ima dimel1zije, iako ponekad vrlo male, relativno cak i beskonacl1o male.

Potraiimo koJika je izdasnost poljau nekoj tacki. Lako je uvidjtt.i da se trazel1a izdasnost doblva kada se fluks vektora doticnog polja (0-dijeli zapreminom i nade granicna vrijednost toga kolicnika kada zapremilla postaje skIl(~ mala. Neka je V zapremina koju obuhvata povrina S. Onda je srednja izdasnost polja u toj tacki

fV'dS s

v (56,1)

Ako se povrsina smanjuje tako V -+ , onda (56,1) uopste imati neku granicnu vrijednost. granicna vrijednost naziva se divergencija po/ja i1i divergencija vekfora v. Dakle,

. . f vdS . f vdS dlV v == 11 V == 11 V (56,2)

. -+ -+

Divergencija polja prefsfavlja izdasnosl izvora u beskonacno ma!oj zapremini, kQja okruiava jednu facku (izdasnost izvora polja u tacki). JIi, divergencija vektora u datoj tacki je granicna vrijednost, kojoj te!i ko1icnik iz fJuksa vektora kroz proizvoljnu zatvorenu povrsinu i zapreminekoju t8 povrsina obuhvata kada t8 zapremina tezi i obuhvata doticnu ta~ku. Dakle, divergencija je gusfina fluksa.

175

lz relacije (56,2) se vidi da su i brojilac i imenilac skalarne velicine, je divergencija veklora skalarna veliCina. znaci da je vektorsko polJe preko divergencije (izdasnosti izvora) povezano sa skalarnim poljem.

Divergencija je definisana bez ikakvog koordinatnog sistm, to znaci da divergencija zavisi koordina/flOg sislema. Divergencija je ivij/ po/ja. Divergencija pretstavlja sliku fizicke realnosti, koordi-oafl1i sistem kao sredstvo pri proucavanju moze nju uticati, jer je vczarJa sa doticAim poljem, bez obzira da li mi primijeniti koordinatni sistem. Divergencija je prema defiraiciji jcdnaka gustini .teCnosti" izvora.

Lako je uvidjeti da je divergencija konstantnog vektora jednaka nu/i.

Maxwel1 je divergenciju 5 negativnim znakom ziv konvergenri/a veklora, iz razloga 5to nije upotrebIjavao pravilo mnoienja koordina111ih ortova i i = + 1, nego pravilo iz 1akozvane teorije kvaterniona i i 1.

Ana1iti~ki izraz divergencije

z t U tki polja koja

5 intere5uje uzmemo pocetak pravouglog ko-ordinatnog 5istema. struisimo eJementarni ralelepipect 5 ivicama dui osa i sa jdii tje- dz u krditm poc~tku (51. 56-1). Du-iina ivica tog paralelepi-peda su, dakle, , , dz. lzru fluks kroz

... k

i

V.,. I I ... /

v + ~v!! dx

r/ dy ------- ,/ J ,/

svih se5t strana tog ralelepipeda. Ulazni fluks

_...,_=-------..JG..- .~. -_. __ I dx

je negativan, iz!azni SI.56-1 zitiv.

OznaCimo Ii sa dl fluks kroz stru dz, koja se nalazi u ravni YOz,

dl = Vx dydz.

Fluks je ulazni, je zbog toga uzet sa negativnim znakom.

Fluks kroz stranu paralelnu prvoj, otstojanju , oznacimo S8 d:!,

d~= + (v ... +e) dz.

Uopste uzevsi velicina se moie zanemariti, jer je to prirastaj koni-

ponente vx duzini . Prifastaj jedinici duiitle je Vx , 3 je pri-

rastaj duzini : v.

= .

176

Zamjcnem se dobiva , v '. + (}' + : dx )dYdZ.

Isti se izraz moie dobiti i razvijanjem funkcije (V,JA+dX u Taylor-ov red uzevsi ~ao prva dva

117

se vdl siO\boli mogu smatrati kao vlitll< kml1t. Prema "tome je

div v = (~i + j + ~ k). (", i + vy j + ": k), oz

ili divv=Vv. (57,)

[) je vrlo vat~a relacija koja pokazuje da Je. di1lergencija veklora v jednaka skalarno "proizvodu" operalorn ; vektora . Elegancija navedene natacije je oCigledna, prakticnost ce'se uvidjeti u dsljoj primjeni.

58. - OSNOVNE PORMULE TEORIJE DlVERGENCIJE

). - Divergencija zbir8. - Neka sU data dva vektora u i . Treba l1ati dtv ( + ). Prema definiciji i osnovnim praviJima v'ektorske algebre i difri.j je

div ( + ) = + ) I~ + 1 ( + v) 1,. + I ( + ) I z OZ

Projekcije geometriskog zbira vektora sabiraju se algebarski, je

!(u+v)lx=ux+v" itd.

nisu vektori. nego koordinate-skalari.

Zamjenom se dobiva

div ( + vl = iJ +

, .., 11, +-+-+-+ ,

.? z.

div (u+v)=div u+div .

Divergencija zblra jednaka je zblru divergenclja pojedinih sabiraka.

(58,18)

Ista formul. se mofa izvesti i osnovu prve definicije divergencije.

, (u+v).dS

1ma div ( + ) = _8 -----. V-i> V

Jntegral sadrti skalarni proizvod ( + ). d S = d S + . d S, je

, (u+v).dS =' , udS+ f vdS, s 8 S

Cime je formula izveden .

Simli: v(u+v)=v u+v ',

gdje je v linearni operator.

D. . lya.ovl~: Vektonb ...

(58,I)

12

178

). - DJvergencJja profzvoda skalara I vektora. Neka je dat skalar i vektor . Treba izrafunati div ( ). Prema definiciji u anali-tifkom obliku je

d. () o(Uv.) (Uvy ' (Uv,)

' v = + + = OZ

( VX vy Vz ) ( U \ U ) = + + z + V.x + vy + Vz Z i definitivno

Simboblno div ( ) = U div v + . grad .

v(v}= vv+vv.

(58,2)

(58,2}

Ovdje dolazi do izrafaja diferencijalno svojstvo operatora . redom dejstvuje jedan. drugi faktor kao kod diferencijaljenja, pak zamjenom (46,36) pri femu dejstvuje faktor oznafen idkm.

). - Dlvergenclja prolzvoda vektora I slolene skalarne funkclje-

Neka je data skalarna funkcija 1 () i vektor v Treba naci div [f() vJ.

Prema definiciji i dobivenim formulama je

div [1 () ] =1 () div + v .gradl ().

U vezi (46,4) dobiva se

d i v {I ( ) v 1 = 1 () di v v + V " IJ () grad . Simbolifki :

' [f{) ] = f () v +!'u ()'v .

d). - Dlvergenclja vektora pololaja (radljus-vektora)

Prema definiciji je

. z dlV r= - + - + - ::: 3.

z

Dl,ergencija vektora p%iaja r ista je svi taCkaa i jednaka 3.

(58,3)

(58,3)

(58,4)

Ovaj zaklju~ak se mofe dobiti i iz relacije (55,7), gdje se izra~uI fluks radiju~.vektora kroz zatvorenu povr~inu, jer je divergencija gustina fluksa.

Nije vafno da Ii radjius-vektor polazi od koordinatnog potetka iIi , jer divergencija zavisi od koordinatnog sistema.

Napominjemo da je lako uvidjeti velitinu divergencije vektora r8~Unatu samo u ravni, odnosno vektora u koordinatnoj ravni. Kako onda vekt~r ,ima svega dvije komponente, divergencija jed-naka 2.

179

). - Divergencija vektorskog proizvoda dvaju vektora

Neka su dati vek'tori u i v. Treba izra~!Jnati div (" v). Prema defi-niciji i vektorskoj algebri ie

d' ( ) ol(uxv)lx ol(uxv)l y dl(uxv)lt l u V == + +. ,

dz

gdje se diferenciraju kourdinate ktora komponente.

Kako je l(uxv)lx=uyvz-tfzvy.l(uxv)l y uzvx Ux V.,

I (" V)4t=Ux vy - v .. , poslije diferenciranja se dobiva

i1i

d ' ( ) ( UZ ) ( uz) IVU V = VJl - - - + vy - - - + dz dz

+ Vz(~:' _ ~~x) x(~:l _. ~;)_ _ u ( Vx

) dz vJl ) _ U ( Vy _ vx),

div (" v) v [( . _ ") i + ( _ UZ)j + ( _ ) k]. _ dz dz ()

u[('dVZ _ dJ'Y)i+(OV JC ~.~!.)j+(OVY._ dVS)kJ. (58,5) dz dZ

U uglastim zagradama smo dobili vektore, koji se odnose vektore u i v, ka-:J ~to se vektor (52,4) odnosi vektor . Kasnije cemo taka .. vektor detaljnije prou~avati, i sli~na izvodenja blti brta i preglei:l-nija. Za sada cemo odlotiti i simboblki 6 izvdj formule (58,6) zbog novih operacija, koje cemo kasnije izlotiti.

r I m j r~i i z d i

1. - Izr~uti divergenciju ja~ine elektrostati~kog polja 'prouzroko-vanog tatkastom kli~im elektriciteta.

) Vektorsko rjeSavanje.

zt je da je jatina polja

E=k!Lr,

gdje je q data kliti elektriciteta, r vektor polo!aja neke ta~ke polja, koji se rafuna od toga tiiela do ta~ke, k 1ktri~ kstt sredine,

koja pri usvejanju eleJrtrostltifkog listttna uzlm& konventionalno kao jedinica za vakuum. (58,2) je

diVE=diV(k !L r ) =k!Ldivr+kqr.grad-.!.. = ' ' ,8

= kq +kqr. - 1 f=O. ,. 5

) Anolificko rjesavollje.

Uzmimo ~oordinatni sistem tako da se naelektrisano tijelo (koli~ina elektriciteta, tovar, ~ar!a, opterecenje) .lzi u koordinatnom pofetl{u. Koordinate tacke u kojoj divergencija tra!i oznacimo uop~te , , z. Onda su vebline komponenata (koordinate) vektora :

z . = kq ,

'

ra$tojanje posmatrane taflJ;e od kolicine elektricit&ta (intenzitet vektora polo!aja):

Dalje je

= kq -" ( I '

~ ') = kq (J __ 3 ~2) . ;}

Analogno se dobiva

=kq(-.!.._i~). . =kq (!._ Z2 ). ~ ~ dz ~ ~

tome je div =0.

Do. rezultat va!i za sve tafke, osim l tafku kojoj se nllazi koli~ina elektriciteta q, jer tada -+ , vektor smisla za tu tacku'l'

Ako p08toji vi~e tafkastih naeJektrisanja, onda se osnovu pravila divergenciji zblra takode dobiva:

n n div E-div (1 +Es+ . +) =div ~ / = 'L divE, =0.

1=1 ;=1

Razumije se da dobiveni rezultat va!i za sve tacke prostora, osim Zl tlcke u kojima nalaze kolitine elektriciteta q.

2. - Izracunati obIik si1a u funkciji radijus-vektor. f. pod 1I.1oID d. njihova divergencija bude jednaka .

Uopste uzevi' relacija sill - fu.nkciji od radijus-vekt.ra l1Ioie n.pi-sati u oblikiJ'

F =

181

5"8 je div F = 3 () + " (),

8 je ' () 3 --::: --, ()

d,,{r) . 3dr -- = - -,10,,(/)= -310r+loa, ., (r)

odavde

(r) == " gdje je konstanta.

Tako je trateoi oblik takvih

F = -r. '

Ovaj obIik je pozoat kako iz oaukl elektri

182

~. - TEOREMA OAUSSA I OSTROORADSKOG

Oosadasnje izlaganje divergenciji vekt rs\og' polja, odnosno vek tora, ima r8Zne primjene. jedna od najvatnijih primjena, donekle i samo prikazivanje divergenciie, nalazi se u ; teoremi, koja je bltno pronadena u lkm obIiku. Kolika je prednost vektorskog racuna pred 1itiki vidi se pored osblog i u izvodenju i obIiku vrlo vi teoreme. Pronas\i su je Gauss i Ostrogradski zvis jedan drugog. Neki autori je nazivaju samo .Gausso(rom imenu, 5to je pogre5no. Orugi, pak, autori - mahom francuski - naziv{ljti je teorema Ostrograd. skog, 5to je takode pogre5no.

teoreme moie se povrsinski integral tl1sfmiti u zapreminski i obrnuto.

Ova teorema je jedan nacin 1fec skoro izvedena km izlaganja definicije i daJje teorije divergencije.

Oato je vektorsko polje, koje je okarakterisano vektorom . izracunati izlazni fluks toga vektora kroz proizvoljnu zatvorenu povr5inu S, koja obuhvata zapreminu , definiciji f1uksa { nije nista drugo nego l jedeti rsinski illtegral

J . d S = J . n dS, (59,1&) s s

pri cemu intfg~iranje treba vs toj povrsini S. Ako se ; izla-tenju supstance kroz. povr5inu S iz z&premine , onda je taj fluks kvan tittiv& mjer& Z8 kolicinu { supst&nce koja kroz tu povrsinu istece u jedini,i . S druge strane definicija divergencije pokazuje da

'div v == v v prikazuje velicinu brzine kojom supstanca izlazi iz te zapremine ( ratunato i svedeno jedinicu).

Prem& tome je cje/ckupna izdasnosf izvorazaprem.ine , koja je ogra nitena povr5inom.S upravo

J div vdV. (59.1b) Kod fluksa se integriranje 5; povrsini, & ovdje kod divergencije

zapreminj~ je uzet jd umjesto dva, odnosno tri integralna znaka, zbog kratkote.

m samim definicijarna i fiztckoj prirodi veliCina koje ti integrali prikazuju t:t izdo5nost zapremine V blti jednaka izlaznom fluksu kroz cjelokupnu povrinu S.

Izjednacavanjem dvaju izraza tratena {:

J . dS = J div v dV. (59,2) je matematicki izra:& teoreme Gaussa i .:gdskg, koja

moze formulisati ovako: povrsinski infegra/ vektora v uzet zatvor,enoj povrsini S jednak je

'zapreminskom integralu toga vektora v zapremini ,v obuhvacenoj povrsinom S.

183

Sljedujuci bldrodinami~koj o~iglednosti, analogno i za kompliko-vanija kretanja materije ( nikak'o shvatiti da se mehanicko kretanje .. prosiruje" "primjenjuje" komplikovanija kretanja u takvom slu~aju'). koblilla "tecnosti" koja istece iz zapremine V biti jednaka kolicini "tect]Qsti" koja prode kroz povrsinu S, teorema Oaussa i Ostrogradskog takode glasi: fluks vektora v kroz zatvorenu povrsinu S jednak je izdasnosl/ zapremine , obuhvacene 10 povrsinom.

Prva formulacija ima istoriski prioritet, se drugoj formula-ciji vidi prirodnost zakljucka do kojeg se ovom formulom dolazi tako,

184

gdje su 1 i 2 apscise ta~ak8 1 i A1P U kojima ' 1 : koja je paraleln. osi . prodire kroz povriinu Sj dvostruki itgl/s uzima () projfkclji 3' konlure ravni yOz.

Integriranjem dobiva se '%1

--- dx = (2 ,, z)-P(x1 ,y, z), f dP zamjenom

.

ffdYdZI-~;d= ff P(x2 ,y,z)dydZ ffp(XJ,y,Z)dYdZ. r ~ r

Dalje izr8~unavanje moze se v povrsini S'. Medutim, ! interesuje integriranje povrsini S = S1 + S2' Kako je S' takode i -jtkcija povrsine S2 ravni ;:, doblva sef f P(x2 ,y,Z)flydz= f f Pdydz.

S' 5, 18to tako umjtsto itgl povrsini S' funkciju (! ,y,z) moie 5 uzetl itgl viii S1. 5 unutrasnje strene prema zapremini V. N88 interesuje integral to} vsii, ali sa sljs'1je strane, 8 taj in-t~gral je jednak drugom 5ablrku go;nje relacije 5 m znakom.

m tome je

f f f ::- dx dy dz = f f dy dz + f f dy dz = f f dz. (59,38) V ~ ~ s

Ako su date jos dvije funkcije Q (, , z) R (. . z). lg se dobiva:

f J f~; dxdydz = f f Qdxdz, (59,3) v s

f f f~: dxdydz = f f Rdxdy. (59,3) v s

Sablranjem dobiv8

f f f(~: + ~; + ~~)dXdYdZ = f f (Pdydz+ Qdzdx +Rdxdy), (59,4) v s

je tr8~en. transformacija zapreminskog u povrins.ki ~gral Z8 rizvlj funkcije , Q, R od , , z. Jtgl 51! uzima udsu spoljasnju normalu (pozitivan smjer).

Al

185

strana izdaSnost dti zapremine ispunjene "t110SU . Stavi Ii se P=VY,l Q=Vy, R=v l dobiva se

f f f(~~ + ~ + DoV;)dXdYdZ= f f (v)(Jydz+vydzdx+vzdxdy). (59,) v s

je teorema Gaussa-Ostrogradskog u 81llitikm obIiku, koja je idtin.a vektorskim oblikom (59,2).

Nju pretstavljaju i sve relacije (59,3) i (59,4) za odgovarajuce funk-cije od ; , z.

Prema ovoj teoremi moie izvesti i relacija za transformaciju povrsinskog illtegrala skalarne funkcije u zapreminski integral njenog gradijenta.

Uzmimo skalarnu funkciju f = f (, , -"). Prema (59,3) odmah se moze primijeniti nju navedel1a teorema u obliku

s v

gdje je dSx projekcija vektora d S osi.

Na jsti i vaze i formule:

f {dSy= f :: dV, s v

f fdS., s

f f dV. oz v

(59,6)

(59,1)

(59,8)

Pomnoiimo jednacine respektivno 1, j i k i saerimo, dobiti

f f(ldS+JdS + kdSz)= f(i!1I+ ! J+ Ofk)dV. (59,9) . OZ s v

iIi definitivno

f f d S = J grad f d . (,lO) s v

1 je jedan od oblika teoreme Gaussa-Ostrogradskog, koji glasi: povrsinski infegra/ skalarne funkcije j,dntJk je zapremilskom integra/u njenog grodijenta.

Ovdje su odgovarajuci povrsinski i zapreminski integrali uzeti sa oznakama, iako je u formulama jedan integrJni znak, sto zi da treba imati u vidu da se tu radi dvostrukimy odnosno trostrukim inte-gralima.

Navedeni poslednji obIici tak()dje stQ primjenjuju, rit u bldrodinamici, gdje pored osta1ih skaJarnu funkciju pretstavlja pritisak.

186

80. - OAUSSOVA TEOREA U ELEKTROSTA lC'

Primjena teoreme Gaussa-Ostrogradskog iz opsteg matematieko-fiziekog obIika pojedine obIasti fizike vrlo je raznovrsna. AIi specijalno primjena elektrostatieko polje toliko je ~ da trm doblva oblik, koji se razlikuje od opsteg i ima zaseban naziv. Taj obiik zavisi i od usvojenog sistema jedini

187

Mnofenjem (60,4) sa doblje i ovaj obIik te vafne relacije

f D d5 f D ndS==q, (60,5) gdje je D == elektrj~ni pomjeraj.

je ~ Oauss-ova teorema eleklrostatici, izraiena rije-cima glasi:

elektrostatickom polju fluks vektora jatine e/ektricnog po/ja kroz zatvorenu povrsinu jednoJ

188

sferna povrsina nal8zi posm&tranoj zatvorenoj povrAini. Ofigledno je da je izdasnost zapremine medo povrsinom $ i 5fernom vri $1 jednak8 li, prema 59 ta izdasnost je

f divEdV= f dS+ f .dS1 =0. Sve' normale te Z8 premine orijentisane 5 napolje, tj. fluk. kroz obje

povrsine je izl8zni { orijentacija u lopti $1 suprotna je od pozitivne orijentacije povrsine S, d negativQa je u odnolu sfr povr-sinu, 8 je ,

f . d S == - f . d S1 = f :~ dS1 = 4 1t kq. sto je i trebaJo dokazati.

Ako naelektrisanje q nalazi iZV8n povrsine S, onda Jt", narltvno, fluks vektora kroz { povrsinu jednak nnli. uostalom mofe dobitf iz Gaussove teoreme, stavljajuci z& takav slucaj q = .

Akp se u elektrostatickom pa\ju na1&zi vise kolicina lktriitt l' Q2' Qa,, ", i ako ih povrsina S sve obuhv&t8, onda je

n = 1 + + . . . + " = ~ " ;-= I

8 kako je

= .( dS= l +2+ .. +,,=4~ q , J /-1

(,7)

S

{ je (60,3) u opstem obIiko za n koliCina elektriciteta.

Napominjemo da je ovdje primjen& iznesena kao produfen,e prethodnog izl8Jlsnja pored 05talog i zbog tog& sto 5 dvi/e formule morajo razlikov8ti medu 50 kao opAte od posebl1og. koje je izvrdt."no, ima 5vOj 5pecijalan obIik. nazivi 5 skoro idehticni.

5U izr&'%i za divergenciju jednog od potencijalnih polja. ; 5 11'0gu ; ovako. Oznacimo 58 gU5tinu kvtu kojim karakte-rie tijel0 koje izaziva po1je (recimo, kolicinu elektriciteta); i1i koji karak terise sredinupolje. Onda zapremina dV sadr~i kolicinu dV. poka-

zuje da se u slucaju kolitine elektriciteta 58 f dV f prikazati ko1itina elektriciteta koju obuhvata zapremina , odnosno povriin8 S. Zamjenom U (60,7) imacemo

f . d S = f dlv dV = 4 r. k .r dV, (60.8) s v

'dvd div = 4 1( k . (60,9)

u .lektrostati~kom sistfmu je k = J, je div =4.

U praktitnom sistemu Je k = _1_, je takode % vakuum 4,

divE= !L. 20

189

(60,10)

(60,11 )

je. poznati oblik tzv. Poisson-ove jednacine, koja pokazuje vezu :medu ja~inom elektritnog polja i gustinom koli~ine' elektriciteta (gustinom n.elektrisanja). Kasnije ~eo jedna~ihu transformirati tako da pretstavlja vezu medu elektri~nim potencijalom i gUltinom lktrisj (gu8tinom koli~ine elektriciteta).

Uoptenje t iCi dalje, za divergenciju potencijalnog polja vati jedn.fina

div v = const . , (60,12) gdje je gustina sredine, ds gustina nekog kvantuma kojim karakterise polje sredina.

Uobi~ajeno je da se . relacija pise u obliku

div =4 'lCp. (60,.13)

OVCl jedna~ina Ima veliki zna~aj za ' potencijalna polja, tj. u raznim oblastima fizike I tehnike fluida ili blsti gdje se kretanja tretiraju na~in sli~an analogan tretiranju kretanja fluida. .

81. - SVOJSTVA SOLENOIDNOO VEKTORA 1 POLJA

Sada motemo poO~B teoreme Gal1ssaOstrogradskog poblite pro-utiti solenoidno polje, odnosno solenoidni vektor, tj. vektor kojega je dlvergencija jednakanuli. lzra~l1najmo fluks solenoidnog vek.tora. Uzmimo jednu vektorsku cijev (tubu) u polju (sl.61-1). Presjecimo je dva

SI.61-1

~90

mjesta. Oznacimo presjeke SJJ S1 i S2' S. S/1 Zllim . povr5inu medu tim presjecima. Onda je zatvorena povr5ina doticnog dijeJa tube:

S= S1 + S2+ Sb'

Oznacim!) Ii sa V zaprem.inu 8 tom povrsinom, doblva se prema formuJi Gaussa-Ostrogradskog

J v d S + J v . d S + J v . d S:::: J div v d V. S\ 2 "

N.o, prema definiciji solenoidnog vektora je div v = , je

J v . d S + f v . d S + J v . d S :::: . (61,1) SI 1 S"

Skalarni proizvodi pod integralnim znaciqla jednaki su slutim \1ri-jednostima vektora v i d S pomnozenim kosinusom ugla du vektorom i norma10m povrsini. Odmah se vidi da Z:l l1 povrsinu tube tj

ugao i~nosi ..!:. je doticni proizvod jednak nuli, dlS fluks solenoid-2

Ilog vektota kroz bocnu povrsinu tube jednak je li. Za presjeke S1 i S'J 110rma1e imaju suprotne smjerove: kod prvog su orijentisane prema unu-tra5njosti zapremine, kod drugog obrnuto, je

\. \ I / I J v d S = J v . d S. \ \ I I I I S2 (6 1,2)

"';--- ..... --......

( .. ') ' ...... _---/

\ I I I " , I I

" I I I I I I I I I I I I I I

I I I I I I I , , I I I I \

I I I \ \

"",..--- ....... , / \

{ J ... I ' ................ _/

I I \ \ .,.,1 I I \ "

51. tl-2

Doblli smo izraz koji prikazuje svojstvo solenoidnog vektora, 5to se moze kzti rijeCima: {luks solenoidnog veklora isti je kroz sve presjeke vektorske 'u.

Prema ranijem izla-ganju moze se zakljuciti da je u svim presjecima vektorske tube broj vek-torskih linija konstantan tj. iz vektorske tube izlazi isti "broj vektorskih lini-ja. koji u nju ulazi.

Dakle, solenoidnom pOlju vekton,ke linije mogu imati ; pofetnu ; krajnju tacku, nego mogu ici iIi m beskonafnosti, ili zatvorene (sl. 61-2).

Uzmimo zatim neku konturu (sl. 61-3). Neka dvijepovrsine S1 i S2 imaju tu konturu zajednicku. Povrsine se medusobno mogu konti-nuall1nm deformacijom prevesti jd U drugu. Potrafimo fluks slidg

191

vektora kroz te vr~i pod uslovom da se posHje defOrmacije rml tim vrimklju. Prem. toti Gaussa-Ostrogradskog doblva

f div vdV= f 'lJndS f fJ"dS=O, V SI S

gdje zk drugog sabirka uzima prema tome da Ii su ml tim povr~il1ama preml.\ uhvj zrmii obje slji~j, iIi jedna slj~j, druga uutr~j. ZN da je fluks slidg vektora isti kroz obje povrsine pri nazna~enim us10vima, ili drugim rijm: {luks solenoidnog vektora kroz koju povrl;nu S, koja $ oslanja datu konturu , zavisJ 8 od konture . Zo\';s; od oblika povrsine.

U vezi sa im ~to je izlo-f liniskom itgrlU i jdz~sti, teorema vati za takve vr~i koje se u sole-idm polju mogu pretvoriti u tatku izlazeci iz uhv Z8-rmi. Napr. u takva 'Podru~ja spada ~i ktri~ih lopti (~uplje lopte) itd.

SI.61-3

vr~i oblika torU5&, -

62. - PRIMJENA II'EOREME OAUSSA-OSTROORADSKOO flZIKU KOHTINUUMA

Nave~cemo dva primjera primjene vafl1e teoreme I1 idrdiil.

1. - Jednafina ktiultt za fdealnu tefnost

Pod idlm te~t1o~cu podrazumijev& se takva tetnost u koje je unutr&~nje trenje tako malo da se mote zanemariti. Ako se kroz neku. tatku u takvoj tetnosti uzme vri u makojem pravcu, d sU tagijl kmt uvijek jednake u, jer m uutr~j'g trj. zna6 da je u odredenoj ta~ki. pritisak jdk bez obzir.a kako se vr~i kroz tu tatku postavila rijtisl. Dakle. u idlj ttsti u dr~j tatki pritisak je isti (kstt) i uvijek rm&1 povr~ipi. bez obzira ju orijentaciju u prostoru. Pritisak kajem ~inskom elementu, ra~unat jdiicu vr~i uzima du! rml, btz obzirafla razna tumatenja te velitine, koja se smatra sk1rm. uzima samo u stanju mivl1j. nego i kretanja. je skalarna velitin8~ joj se zna kuda dejstvuje.

Gustinu tsti ztvm , koje je uopAte promjenljivo u funkciji od pritiska. Tetnost kod koje je = st aziV8 se nutiiljil1a 1ft iksiil ttst.

192

Naravno ovdje se uzima u obzir samo makroskopska strana, tj. pret-postavlja se da tetnost kontinuaJno ir.punjava cjelokupan prostor gdje se Jzi. zna6 da je elementarna, besk8natnu" mala zapremina, u fizitkom smislu zaista vrlo mala u odnosu zapreminu tijela, je velika u odnosu . intermolekularni prostor. Tako, kad se govori estici te~nosti. podrazumijeva se samo jedan molekul. nego mnogo molekula u jednoj maloj zapremini, koja se u hidrodinamict smatra ka:o .ta~ka". !; takode i za l1eidealne te~nosti.

Posmatrajmo neku zapreminu V ispunjenu tt!~no!ieu. Kako se t~st krece i izvire"vremenom se mijenjati i gustina te~nosti. Koli~ina te~nosti

(odnosno masa) u toj zapremini je f dV. Ako je v brzina kretanja te~nosti. onda kroz element d S povr!iioe S, koja obuhvata tu zapreminu, proti~e u jedinici koli~ina te~nosti . d . Cjelokupl14 5 te~nosti koja

iste~e iz zapremfoe V kroz povr!iinu S je J . dS. s druge straoe, s

izdsst zri V (promjena mase) u jedinici je .! J dV. Za t

toliko se smanji koli~ina te~nosti, se t] izraz . uzeti sa "egativl1im zkm.

Onda je

f pv.dS = - :, J pdV. (62,1) Izvrsimo transformaciju prvog integrala teoremi Gaussa-Ostrograd. skog je

ili

f pvdS= J div(pv)d~', f div(pv)dV = - :, f pdV, J(~: +diVPV)dV=O.

jedna~ina va~i z. koju zapreminu, se doblva

+div =. t

(62,2)

(62,3)

je jednatlna kontinuifeta. Vektor v naziva se gustina protoka te~nosti. Orijentisan je u pravcu "retanja te~nostj, njegova veli~ina jednaka je koli~ini tetnosti koja u jedinici vr protece kroz jedinicu povr!iine, koja je rml. vektoru rzi kretanja tnosti. jedna-tina !; z. podrutje bez izvora.

Jednacina kontinuiteta o~e se trsfrirti pomo{:u veze medu. tottlnim i parcijalnim izvodom~ odnosno primjenom supstancijalne mjene ( 54).

ili

Jedna~tfla (62,3) Jtloff! natJfsaft

Peeme (54,1) je

~E +pdi"v+y.gradp=O. t

dp d' -- -t- lV'V:: dt

divv = d1np dt

(62.4)

relacija prikazuje divergencijtt brzine pomofu supstancijalnog izvoda funkcije gutt, to zna~j da pokazuje prilikom kretanja odrtenje djelica (radi se _ makroskopskom posmatranju).

za nestisljive teenosti jedna~ina koutinuiteta se s.vodi jednafinu divv=O.

Jednafina kontinuiteta za idealnu tsf ! d i uzimanjem u obzir veze izmedu izdd~nosti zapremine i promjene zapremine u vrm (zapreminske .. rzi 8 ).

Ako neka vrlo mala zapremina oznafi 5 . d fe njena izda~nost prema dfiiiji divrgij iznositi

divv8V,

gdj.e je v rl te tfosti.

Ov vU da bude jednaka rmji tZllrmi u . d

u, tj. - (3 V), odoosno dt

~ (8 ) = div v 8 . (62,) d.t

reladja ima dosta rktifih primjena, od kojih femo jednu 1:1al ovdje prikazati. U tra!enju jdfi kretanja tefno5ti ( gasa, d5 f1uida) pofi femo od zk kJasicne fizike odrtanju mase, keji glasi:

d . dt (dm) =0. (62,6)

Kako je masa proizvod zapremihe i gustlne, tJ. dm .. pdV, 8 jedna-tina dobIva oblik

d ; ~(dV)=. (62,7)

dt Diferenciranje 'daje

dp -dV + p-(dV)=. dt dt

13

194

i/i

Zmjm odgovarajutim zgdim izrazom (62,) doblce se

dp dV+pdivvdV=O. dt

dp +-pdivv "

d/ (62,8)

Ovdje re ~P supstancijalni izvod, se time odmah dolazi do for-dt

mule (62,4). m 54 odavde izlazi:

~v.grd+divv=. t

(62,9)

sldj dva clana pretstavljaju div ( ), se i ovako odmah doblva jednacina kOlltint1iteta (62,3). Formula (62,9) je taKode jedan od obIika te ya~l1e jednacine. samo za tecnosti, nego i za druge fluide, cak i za elektricitet, kada se posmatra analogan ili sli i.

2. - Eu~er-ova jednafina za kretanje tefnostJ

retanje djelica tsti prikazuje se ztm Newtonovom jd. im mlik:

~(my) = , dt

(~2,10)

gdje je v kolicina kretan ja tcg djelica, F rezultanta sjla koje njega dejstvuju. sila je zblr sila \;; dejstvuju izutr i spolja taj djelic. je uglvm zblr sila teze j'ljsjg pritiska. Ako se sa } zi sila te2e koja UeJ::.tvuJe , jedir.icu mase, onda . masu dV dejstvo- . sila , dV, gdje je gustina te tecnosti, dV element zapremine. Uku takva sila cijelu kolicinu tecnosti zrmi V iZDosi

f f 1 Pdl'. v

Ako je S povrsina kQja obuhvata tu izvjesnu kolicinu tecnosti zapre-mine V, onda sila pritiska iznositi

.f dS, s

gdje' je si pritisak. Suprotan zDak sile je oigledan zbog prirode pritiska i kretanja.

d je r7t1lt;t svih sila

f f F \ dV - f dS, (62,11) v s

jednaCina kretanja (61.10) doblva oik

d (11/ ) f f Jt \ pdV _. pdS. (62,12) v s

i ,

je

Koli~ina kretanja iznosi

m= f pvdV. v

; f pvdV= f f 1 pdV - f pdS. v v s

195

(62,14)

Poslednji ~Ian s moze transformirati u zapreminski integral prema (59,3), odnosno (59,10), i1i

f dS f grad pdV. (62,15) s v

Kako su pos1ije toga svi integrali istoj zapremini, relacija (62,14) neposredno dajp

dv -- = f 1 - grad .

dt (62,16)

Ovo je jedan od obIika Eu/e-ove jednacine za kretanje te~nosti. U njoj fe gustina, odnosno masa jedinice zapremine te~nosti, f 1 sila koja tu supstancu dejstvuje u jedinici zapremine, odgovarajuci speci fi~ni pritisak.

Ovo je jedfla~ina kretanja te~nosti jedinice z"r-i.

Dijeljenjem gustinom Eu/e-ova jednacina doblva oblik:

dv 1 =Fj,- -gradp,

,

odnosno dv 1 -- =ft - -vp dl

. Prema (54,~) o~e se zamijeniti

dv dt = / + ( . v) ,

Eule-ova jednacina doblva i ovakav oblik;

1 - + (v'V)v=f1 -- -Vp. t

Ako je f 1 sila te~e jedinicu mase,

f, =g,

(62,1.!a.)

(62,17b)

(62,18)

(62,19)

ul-vQ jednacina o~ slu~aju kretanja pod uticajem te~e doblva jos ovakav oblik:

dv 1 dt =1-- ', (62,20)

196

i li 1 -Vp

(62,21 )

Euler-ova jednaCina zajedno 5 jednaCil1omkontinuiteta jednacine hidrodinamike i ug!vm su do\'uljne opisivanje kretanja idealne tecnosti kada zti pocetni i krajnji uslovi.

Euler-ovoj jednacini u vektorskom obIiku odgovaraju tri jednacine u skalarnom obIiku.

Ako se , , : velicine komponenata FIJ sa 'Vx, 'Vy, v. veJicine komponenata brzine, Euler-ove jednacine glasiti:

1., v Vx zx J '' F -= + Vx'- + 1-' -- + "', = _ .. , ! ! z

.dvy'" ~y Vy t' =' 1

(62,'22) + 'l..' -"1- " - + t' t z

, dt d z

dvz vz ' v, v, ' 1 - + 1-'- + Vy-~- + v.- =f 2 ! dt z z

63. - ROTOR

Vidjeli da divergencija od vektorskog polja dovodi do ska]af-nog po]ja. Sada temo. viqjeti kako druga takode vazna diferencijalna racija od jednog vektorskog polja dovodi do drugog vektorskog polja. Pojam i neka svojstva liniskog integrala izlozeni su ranijle, ih detalj-nije trea iznositi.

Data je zatvorena kriva linija s. Uzmimo neku proizvuljnu povrsinu S tako da kriva s bude kontura te puvrsine. Uzmimo liniski integral

f ds dui zatvorene krive s. Podijelimo ga povrsinom koju linija ouhvata se doblti

f Y-ds S

OznaCimo li n pozitivnu normalu povrsine, onda kao granicnu yrijednost izraza (63,1), kada povrsina S postaje beskonacno mala, dobiti norma]nu komponentu nekog vektora R:

.' fY'dS . fY'dS I Rn 1= ]1 --~ = ]II -'--'--. (63,2)

S-+O S ~s ... o &S

Tako gefinisani vektor R naziva / vek/ora , . rot . Cita se rotor . Postoji i zVl1j: curl (kl).

197

Sada dokazati da je tako definisana vliCi/ zaista vel,tor. Zbog toga uzeti kao liiju, kojoj se integral uzima, ele-mentarnog trougla (51. 63--1), koji pretstavlja 5tcanu tetraedra uletog u uglu triedra. Na takve Jm-tarne trouglove moiemo razdi- t z jl posmatranu povrsinu. Tako . povrsine st tog lrn-tarnog ttd (/5"" dSy , dS.o , (1S. Ose , , ;:; su ielne !-18 s vtl 11ij usvjg kdil1tl1g 5istm. Tada je

dSx dS cos , dSy (63,3)

dS cos . dSa dS ,

gdje , 13, uglovi ml koordinatnim . Napisi- 1irliskt:: integraJe oko dSx , dSy, O~-~o8I;;:-~-----'--' - -----dSz u zvm smjerl1. Onda se duz svih ivica koordi-tim obiCi dvaput u

SI.63-1

suprotnom smjeru, s potiru tako da astane samo k~nturi Itipotel1uze \'Si. Sabiranjem se dobiva .

Iiniski integrai

Zamjeoom sJjeduje

ili

0-

R" dS = (Rx cas : + Ry ~ + H~ ) dS.

R,,=Rx cos l-Rsf3+R .. s . (63,4)

dz

. __ .----_. __ .~

51.63-2

Relacija (63,4) tstvlj skalar-ni pcoizvod ! normale n i ~el{tora R, cije kuordinate "" Ry , Rl Tako je doka-zano da je R zaista vektor

Odavde je

rot v Rx i + Ry j R! k. (63,5)

definiciji rotor8 (63,2) vidi se da rotor zavisi koordinafnog sistea. Rotor je ivijf po/ja.

Analiticki izraz rotota Uzmimo u ravni ! elemen-

larnu povrsinu dSx dy dz.

198

k!'lti te elementarne povr~ine uzmimo integral f V$ ds. Za put treba kno podintegralni izraz uzeti '01 dy. Dut komponenta vektora nije 'Oz . nego je pretrpjela rmji!u. Na jedinici dutine '' se

mijeni za ~'O, ; duiini dy promjena '0% dy. , tome uzdut ~y

doblcemo

(11% + dl18 dY)\iZ.

.

Dalje se doblva dut sljedeci izraz

(V1 + ~~ dZ)dY, gdje se uzima znak minus' zbog suprntne orijentacije od smjera ra~cenja . doblce se - '08 dz.

Sabiranjem svih tih izr8z8 dobi,a se liniski integral dut :

! (dVI d'lJY ) ('8 ') J v d s = - Z dy dz = - z dSx OABC(dy dz)

(63,6)

An8)ogno izlazi