CETVRTA GLAVA

TEORJJA VEKTORA U GENERALISANIM KOORDINATNIM SISTEMIMA (KRIVOLINISIOM)

sect 86 OENERALISANI KOORDINATNI 9tSTEMI

LJ ~ 11 паvеJi smo osnovue podatke i karakteristike Descartes-ovog cilindricnog i sfеrпоg kooriiinatnog sistеШ8 Ргеmа 5VOjOj prirodi сiliпshyL1riспi i sfеrпi kоогdiпаtпi sistemi sрэdаju u neku rstu krivoliniskih sistema Lajedno 5а Descartes-ovim sistemom svi se oni mogu паzvаti gепегаliSЙli koordinatni slstemi

VidJeli smo da vektorsko prikazivanje izbjegava kоогdiпаtпе sisteme АН opet koordinatl1i sistemi su пеорhоdпi kod vecine izracunavanja i kvantitativnih prikazivanja гаzпih vrsta Narocito kada se radi о generalishysanim sistеmiша vektori se prikazuju ротоси koordinata medu kоjiша se не istlcu razlike kao u konkretnoj primjeni па odredeni sistem pojeshydiпе vrste

Cesto se оЫСауа da se generalisani sistemi хоуи i krivoJiniski Mi сето izbjegavli taj naziv jer rezultati dobiveni ха generalisani sistem Vl3t~ i ха pravoliniske ра je naziv generalisani орrltIdЭlliji i auekvatniji Naravno treba imati и idll da generalizacija moze i(i i dalje od оуе kojll сета ovdje trеtirзti )1 i паziv generalisani sistem treba ovdje uZeti tom uzem sшislu Nзs prvel1stvello interesuju navedena tri sistema jer se (jlli

паjvisе i upotrebjavaju kako u fizici lako i u tеlшiсi [)О1jlпе gепе- 181isBne izraze uglаvпоm сето j primjenjivati па ta tri kоогdi1Нltl1З sistешз

Poznato je (Ia se za sva tri navedena sistema poluzaj tacke odredujc ротоси 1ri koordinate U Descartes-ovom sistemu е kо(lt1пэtе su lJOmoshygene - sve tri su duzine u ciJindricl10m su kооrdilзtе l1elOmogene dvije duzille i jedan ugao u sfегпоlП takode l1еhошоgеп - jеdJЗ ilLlI1J i dva ugla Роsmаtrапо kvantit~tivno u sva tri sluсзjа se julozaj tackt u prostoru odreduje pomocu tri blmiddotoja Ne treba zaboraviti da ti brcjcvJ pokazuju razJicite velicine koje пе moraju imati istu fizicku dimenziju No kao koordinate 11 generaizaciji mogu se uzeti kao ravnopravne bez ()bzira па пjihоvе dimenzione razlike

ОgrапiС8vаjuсi se па tri koordinate za poloiaj neke tacke ozna~imo ih sa q I q2 qз Та tri broja se nazivaju glneralisane koordinate tacke iIi krivoliriske koorrlillate Kako svakoj tacki odgovara neki radijus-vektor

to je i svaka krivoliniska koordinata funkcija radijl1s-veltora (vektora polozaja)

q (1) = qt (х у z) (8Ьl j

gdje je i~ 1 2 3

Jasno je da i radijus-vektor zavisi od krivolil1iskil Icoordinata je cim oneodreduju polozaj аеке istovremeno оdтефtju i гэ(jjj1s-vеktог е tacke ра эи Descartes-ove kоогdirшtе vеktогз r takode fuпlюе od k rishyvoliniskih koordilata

(862)

Istovremeno se Descart~s-ove koordinate mogu srnatra kao sресijаlап slucaj generaisanih koordinata gd~ эе uzimaju u obzir svojstva ovog sistema

Jednacina qt (r) const pretstavlja familiju povrsina Povrsina iz [е familije koja prolazi kroz роsmаtrаШJ tacku naziva эе koordinatna povrsina Presjek dviju kоогdiпаtпih povrsina naziva se koordinatna linija

Odmah эе vidi da je kod сШпdriспоg sistema ЧI = р q~ ltр q~ - а kod sfегпоg sistema ql =Г q=6 qa=f Takode je lako vidjeti kilk( su kod tih sistema i koordinatne povrsine i linije Iz sl 86-1 se mofe

о

5186-1

zakljuciti da je па РОVГS1Пl q2 qз koordinata ql = const па povrsini qз ql koordinata q2 = сопэ i па povrsini ql ql koordinata qз const Znaci da se dui kоогdiпаtпе linije napr dut ql rnijenja эато ta koordinata Qt dok SI1 ostale dvije koordinate kопstапtпе

Konstruisirno u tatki А tri jedinicna vektora tangenata па koordinatnirn linijama te tacke tako da budu оrijепtisаni и smeru povecanja koordinata Qi

Oznatimo ih sa e j е ез

262

Tako je u u nekoj tacki А

сШпdriспоm koordinatnom sjst~mu orijentacija tih ortovs иао па slici 86-2 gdje je vektor (ort) е1 orijentisan

u smjeru роуеС811]а kооrdiпзtе р vektor (ort) е2 u smjeru pevecanja ugla tp vektor (ort) ез u smjeru

---f--- povecanja koordinate z ОУ ortovi se mogu oznac8vati lt i sa ер I еltр е u odnosu па odgovarajuce koorshydinate

I 1 Na slican nacin su date orimiddot

jentacije ortova е1 е2 е з u nekoj tacki 8fernog koordinatnog sistema (81 86-3) respektivno u smjeru povecanja koordinate г uglз amp i ugla ер

Оу ortovi se mogu oznacamiddot vati i sз е ее elp ~

SI86-2 Та tri orta pretstavljaju роshy

kretan triedar tako da pri prelazu od jedne t8cke па drugu uopste

uzevsl mijenjaju svoj pravac U Descartes-ovom sistemu takvi ortovi St1

j k koji su st81ni za зуе tacke odnosno пе mijenjaju svoj pravac

---у

SI86-3

Ortove е е2 ев uzecemo tako da tim redom middotcine desni sistem Osim toga upotreblj8vacemo 8ато pravoug]e sisteme kod kojih su koor

263

diпаtпе liпijе i kооrdiпаtпе роvrsiпе mеdttsоЬпо поrmаlпе оdпоsпо kod kojih su ortovi medusobno поrmаlпi Na taj па6п gепеrаlisапjе je dопеklе оgrзпi~епо оdrеdепim svojstvima

Роsпiаtrаjmо sada

dinatne linije i doticnog

vezu medu promjenom radijus-vektora dui koorshy

orta Promjel1a radijus-vektora о r middotduz koordishyо ql

natne Iinije finiji ра je

je vektorska veHcina i orijentisana je dul tапgепtе па toj

Oznacimo li duiinu

АПаJоgпо je

odnosno д r

= fi е (i 1 2 3) д q

Nas interesujll koeiicijellti fI Ocevidl1o je

н 2 - дr 2

- д l q

Vеliсiпе Н (Н1 bull Н i Н) nazivajtl se Lame-ol1i koeticijenti

(863)

(864)

Razumije se da su ovi koeiicije1ti vrlo vazni kod krivоiпiskih sistema jer зе роmоси njih odreduju vatiJ3cije fadijus--ektora raznih tacaka ~ije kооrdiпаtе i пНЬоуе veze treba izr асuпзvаti i primjenjiati

Radi izrасuпаvапjз ovih koeficijenata posmatrajmo u tacki А vektor У Razlozimo ga па komponente ро kГlvoliniskim koordinatnim оs_ша

(865)

Ovdje su V 1 O~ i Vj krivolil1iske koordinate vektora У

Uzmimo sada specijalan slucaj umjesto vektora v vektor diferenmiddot ltijal radijus-vektora d r koji ima koordinate ds j bull Tada се ЫН

i1i

дr дr дr dr= -dql + -dq2+ --dqэ

дql д q д qa

дr fr= -dqj

дq (866)

264

Odavde je u vezi sa (863

dsj=Hjuq

------ ------

~- -- - -

t---r-------t------I ufo -

I--~ dz --- ---

[----~--- -shy--г t------

--shy ---51 86-4

(867~

ш kvadrat liniskog eJementa

Н2 2 + з dqз (868)

Dakle

НI = dS Н == d~_ d I d ql q2

LamemiddotovJ koeflcfJentJ u сШпdrl~поm koordfnatnom 51-5temU

U сШпdriспоm sistemu je (sl 86-2 i 86-4)

ds1 =dp ds2 =pd dsз=dz

ql = р q2 ер qa = Z ра je

iIi Н1 == 1 Н2 =Р На = 1

Н= 1 Нср==р Hz = 1 (8610)

Leme-ovl koeflcfjentf 1 sfernom koorshydinatnom sfstemu

I I I I U sfernom sistemu je (sl 86-3 i 86-5)

ds1 =dr dS2middot~rd6 dз==гsiпОdср

ql = Г q2 == О qз = tp

а otuda

Н = 1 Не = г Htp == r sin е (8611)

и Descarles-ovom koordinatnom sisemu naravno je

Н = 1

1 I

1 1 V О SI86-5

IOfEl~

(8612)

Uopste uzevsi zарrеmiпski element se тои posmatrati рriЫizпо kao paraJelepiped sa strаl1зmа ds ра je njegova zарrеmiпа

dV = ds1 ds2 dsз == Н1 Н2 На dql dq2 dqa (8613)

sect 87 - ORADIJENT l GENERALlSANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINA ТНОМ SISTEMU

265

Neka je data 5kalarna funkcija U (qt Q2 Qэ) koja karakterise skalarno polje Neka je vektor О gradijent toga polja u tacki А Treba naci taj vektor u krivoliniskom koordinatnom si5temu Projekcije tog vektora ро pravcima ortova е 1 е2 ез 5и prema definiciji gradijenta ravne parcijalnim izvodima skalarne funkcije U duz pravca koordinatne linije

ра je

Prema (867) je

ои ои dq I grad U 1= -- = д S О q ds

dq 1 _- =- ds Н

(grad U)i = 1 о U Н oq

Zamjenom 5е definitivno doblva

(871)

(872)

1 ои 1 ои ди grad и= - --- е1 + - - е2 + -- ез (873)

Н1 oqt Н2 oq~ Hj дqз

U cilindrituom koordinatnom sistemu je

ди 1 ди ди grad U - ер + - - еР + --- е bull

др р д дz-(874)

и sjeгnom koordinatnom sistemu jc

ди 1 дU 1 ди grad U = _-- ег + - ее + -- --- emiddotJ (875) д r r д G r sin е д qgt

U Descartes-ovom sisemu je Н = 1 ра 5е (873) transformira u (4312)

sect 88 DlVERGENCIJA U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Neka je data ektor5ka funkcija v (Ql q2 Qз) koja karakterise vekshytorsko polje Treba naci divergenciju tog vektora u tacki А Najbolje je poci od definicije i izracunavanja divergencije 5to je izne5eno u sect 56 za divergenciju uopste i za njen izraz u Descartes-ovom sistemu

Analogno postupku prema 51 46-3 uzmimo elementarni paraJeleshypiped (51 88-1) kod kojega je tacka tjeme jednog njegovog triedra Treba naci divv u tacki А Ovdje je AB=dst bull ALJ=ds~lI АЕ=dsз ра je povr5ina ADHE

266

povr~ina ABFF

povrsina АВС[)

5to se Нее suprotnih respektivnih povrsina опе se razlikuju od ovih Ц)оg toga 5to опе odgovaraju koordinatama Ч + dq gdje se indeks

i uzima respektivno samo ха do-

д

G ticnu koordinatu koja se mijenja Н jer su ostate dvije konstantne

I i

L-l---~fF -jc I - о _----

51 88middotmiddotmiddot i

Prema definiciji je

fVdS

div v = lim ~--- ilV~O J~

(881)

Ovdje se podJ V podrazumijeva еlешепtзrпi paralelepiped о koshyjem je rijec Izracunacemo fluhs kroz svih sest strana tog krivoshyliniskog elemel1tarnog рзгаlеlеshypipeda UJаХI1 fluks je 1egativan а izlazni pozitivan Neka je dФ fluks vektora V kroz povrsinu

dS 1 (АОНЕ) Ргета definiciji fluksa je dФl t H~ Нз dQ~ dQJ fIuks kroz suprotnu stral1U UСОР oznacimo 53 dф~ ра се biti

РrоmjеrJЗ funkcije 1) H~ НI je zbog promjene komponente q odnosflO prornjel1e povrsine

ра je ф[ д(V1ННз)] d ~= VIJ~fjа-t---middot-дmiddotq-l---dql dq~dqэmiddot

Prema tome fluks vektora v kroz strane А ОНЕ i BCGF Ыёе

dф dф O(VI ННз) d d d 1+ 2 д qt ч~ qa

ql

Anaiogno se dobiva fluks kroz ostale eetiri strane i to kroz ABFE i DCGH

д (v Нз Н1 ) ---_ - dq dq2 dqз д q

а kroz АВСО EFGH д (tз Н 1) ------- dql dq dqз

дqз

267

Sabiranjein ovih vrijednosti dobiva se izr8z Z8 brojilac u (881) 8 kako dV

je dql dq2 dqa = ---- bite definitivno Н1 Н2 На

divv= 1 [~iH2HiJ) + d(v2 fЗ Нl) + d(vaHJi2)1 (882) Н1 Н2 Нз д Чl d q2 д qз J

Moze se izracunati i divergencija pojedinih ortova triedra kod krishyvoIiniskog koordinatnog sistema Prema (882) izlazi da je

div е = _ _--~-bull Н] Н2 Нз

dj е = -~-- Н1 Н2 Нз

div ез =--_shyН1 ННз

~j~ д Чl

д(Нэ Н1) ----д Ч2

(883)

д(Н1 Н) -_ __

Iz (882) za Н se mogu staviti odgovarajute vrijednosti u raznim sistemima а takode i za Ч analogno postupkuza gradijent ра зе dobishyvaju razni izrazi za divergenciju

и cilindricnom koordinatnom sistemu je

div v = r~JefI~ + д O~ + ~(VI-e2] Р др дltр dz

U poslednjem sabirku тo~e se р iznijeti pred diferenCijalni znak ра je definiti упо

div v = ~ д (pvp) + ovP + V l bull

Р др р дltр dz (884)

и sfernom koordinatnom sistemu je

div v = 1 _ [~(~(2 ~i-l + д (ve r sin О) + д (nP)] г2 sin G d r д е d ltр

u ~ суот ~Ianu тo~e зе sill е iznijeti pred diferencijalni znak а u drugom i tretem г ра se dobiva

divv= ~ d(r2 v) + _1_1 d(ve sinO) + dtmiddotP г2 д r r sin G де r sin е д ltр

(885)

Stavljajuti Н = 1 relacija (882) prelazi u relaciju (564) odnosno u poznati izr8Z za divergenciju u Descartes-ovom koordinatnom sistemu

268

sect 89 - ROTOR U GENERALlSANOM (KRlVOLINISItOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Opet сето uzeti elementarni paralelepiped koji je уес prikazan па sl 88-1 Prema definiciji je

_ f vmiddotds (rot у)n 11т А S - (891)

А s-o - Vektor v mozemo razloziti u ta~ki А па komponenle ро pravcima ortova pi1 je

v vt е 1 +-z-е+vsез bull

Izra~un8cemo cirkulaciju vektora v ро lюпturi АОНЕА Кrivoliniski inte~ gral duz АD gdje je

dobice se iz izraza (у dS)AD = V Н dq~

Duz НЕ od f ka Е funkcija V 2 Н2 се se izmijeniti jer зе qa mijenja па qa + dqз ра зе dolazi do vrijednosti

(vds)m= [VH2 + ~~~2)dqa]dq2 gdje je znak minus uzet zbog suprotnog smjera

Od Е do А се ЫН ds= -dr= -Наdqаез ра je

(у dS)EA Va На dqз

Od D do Н Ысе analogno rezovanju za НЕ

(у dS)DH VЗ На + ------ dq dq1middot [ д (tз Н) ] д q2

Sabiranjem iznesenih izraza dobiva зе cirkulacija ро konturi А DНЕА

г= JVdS [д (vaHJ _ д (l Н)] dq dQa д q2 д Qз

gdje se zanemaruju beskonafno male velitine viseg reda

Kako je povrsina koju ta kontura ogranitava

dS2 dsз = Н2 Нз dq dqз

а u vezi sa (891) dobiva se projekcija vektora Iot v па pravac ort8 е1l odnosno

(892)

(892)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

to je i svaka krivoliniska koordinata funkcija radijl1s-veltora (vektora polozaja)

q (1) = qt (х у z) (8Ьl j

gdje je i~ 1 2 3

Jasno je da i radijus-vektor zavisi od krivolil1iskil Icoordinata je cim oneodreduju polozaj аеке istovremeno оdтефtju i гэ(jjj1s-vеktог е tacke ра эи Descartes-ove kоогdirшtе vеktогз r takode fuпlюе od k rishyvoliniskih koordilata

(862)

Istovremeno se Descart~s-ove koordinate mogu srnatra kao sресijаlап slucaj generaisanih koordinata gd~ эе uzimaju u obzir svojstva ovog sistema

Jednacina qt (r) const pretstavlja familiju povrsina Povrsina iz [е familije koja prolazi kroz роsmаtrаШJ tacku naziva эе koordinatna povrsina Presjek dviju kоогdiпаtпih povrsina naziva se koordinatna linija

Odmah эе vidi da je kod сШпdriспоg sistema ЧI = р q~ ltр q~ - а kod sfегпоg sistema ql =Г q=6 qa=f Takode je lako vidjeti kilk( su kod tih sistema i koordinatne povrsine i linije Iz sl 86-1 se mofe

о

5186-1

zakljuciti da je па РОVГS1Пl q2 qз koordinata ql = const па povrsini qз ql koordinata q2 = сопэ i па povrsini ql ql koordinata qз const Znaci da se dui kоогdiпаtпе linije napr dut ql rnijenja эато ta koordinata Qt dok SI1 ostale dvije koordinate kопstапtпе

Konstruisirno u tatki А tri jedinicna vektora tangenata па koordinatnirn linijama te tacke tako da budu оrijепtisаni и smeru povecanja koordinata Qi

Oznatimo ih sa e j е ез

262

Tako je u u nekoj tacki А

сШпdriспоm koordinatnom sjst~mu orijentacija tih ortovs иао па slici 86-2 gdje je vektor (ort) е1 orijentisan

u smjeru роуеС811]а kооrdiпзtе р vektor (ort) е2 u smjeru pevecanja ugla tp vektor (ort) ез u smjeru

---f--- povecanja koordinate z ОУ ortovi se mogu oznac8vati lt i sa ер I еltр е u odnosu па odgovarajuce koorshydinate

I 1 Na slican nacin su date orimiddot

jentacije ortova е1 е2 е з u nekoj tacki 8fernog koordinatnog sistema (81 86-3) respektivno u smjeru povecanja koordinate г uglз amp i ugla ер

Оу ortovi se mogu oznacamiddot vati i sз е ее elp ~

SI86-2 Та tri orta pretstavljaju роshy

kretan triedar tako da pri prelazu od jedne t8cke па drugu uopste

uzevsl mijenjaju svoj pravac U Descartes-ovom sistemu takvi ortovi St1

j k koji su st81ni za зуе tacke odnosno пе mijenjaju svoj pravac

---у

SI86-3

Ortove е е2 ев uzecemo tako da tim redom middotcine desni sistem Osim toga upotreblj8vacemo 8ато pravoug]e sisteme kod kojih su koor

263

diпаtпе liпijе i kооrdiпаtпе роvrsiпе mеdttsоЬпо поrmаlпе оdпоsпо kod kojih su ortovi medusobno поrmаlпi Na taj па6п gепеrаlisапjе je dопеklе оgrзпi~епо оdrеdепim svojstvima

Роsпiаtrаjmо sada

dinatne linije i doticnog

vezu medu promjenom radijus-vektora dui koorshy

orta Promjel1a radijus-vektora о r middotduz koordishyо ql

natne Iinije finiji ра je

je vektorska veHcina i orijentisana je dul tапgепtе па toj

Oznacimo li duiinu

АПаJоgпо je

odnosno д r

= fi е (i 1 2 3) д q

Nas interesujll koeiicijellti fI Ocevidl1o je

н 2 - дr 2

- д l q

Vеliсiпе Н (Н1 bull Н i Н) nazivajtl se Lame-ol1i koeticijenti

(863)

(864)

Razumije se da su ovi koeiicije1ti vrlo vazni kod krivоiпiskih sistema jer зе роmоси njih odreduju vatiJ3cije fadijus--ektora raznih tacaka ~ije kооrdiпаtе i пНЬоуе veze treba izr асuпзvаti i primjenjiati

Radi izrасuпаvапjз ovih koeficijenata posmatrajmo u tacki А vektor У Razlozimo ga па komponente ро kГlvoliniskim koordinatnim оs_ша

(865)

Ovdje su V 1 O~ i Vj krivolil1iske koordinate vektora У

Uzmimo sada specijalan slucaj umjesto vektora v vektor diferenmiddot ltijal radijus-vektora d r koji ima koordinate ds j bull Tada се ЫН

i1i

дr дr дr dr= -dql + -dq2+ --dqэ

дql д q д qa

дr fr= -dqj

дq (866)

264

Odavde je u vezi sa (863

dsj=Hjuq

------ ------

~- -- - -

t---r-------t------I ufo -

I--~ dz --- ---

[----~--- -shy--г t------

--shy ---51 86-4

(867~

ш kvadrat liniskog eJementa

Н2 2 + з dqз (868)

Dakle

НI = dS Н == d~_ d I d ql q2

LamemiddotovJ koeflcfJentJ u сШпdrl~поm koordfnatnom 51-5temU

U сШпdriспоm sistemu je (sl 86-2 i 86-4)

ds1 =dp ds2 =pd dsз=dz

ql = р q2 ер qa = Z ра je

iIi Н1 == 1 Н2 =Р На = 1

Н= 1 Нср==р Hz = 1 (8610)

Leme-ovl koeflcfjentf 1 sfernom koorshydinatnom sfstemu

I I I I U sfernom sistemu je (sl 86-3 i 86-5)

ds1 =dr dS2middot~rd6 dз==гsiпОdср

ql = Г q2 == О qз = tp

а otuda

Н = 1 Не = г Htp == r sin е (8611)

и Descarles-ovom koordinatnom sisemu naravno je

Н = 1

1 I

1 1 V О SI86-5

IOfEl~

(8612)

Uopste uzevsi zарrеmiпski element se тои posmatrati рriЫizпо kao paraJelepiped sa strаl1зmа ds ра je njegova zарrеmiпа

dV = ds1 ds2 dsз == Н1 Н2 На dql dq2 dqa (8613)

sect 87 - ORADIJENT l GENERALlSANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINA ТНОМ SISTEMU

265

Neka je data 5kalarna funkcija U (qt Q2 Qэ) koja karakterise skalarno polje Neka je vektor О gradijent toga polja u tacki А Treba naci taj vektor u krivoliniskom koordinatnom si5temu Projekcije tog vektora ро pravcima ortova е 1 е2 ез 5и prema definiciji gradijenta ravne parcijalnim izvodima skalarne funkcije U duz pravca koordinatne linije

ра je

Prema (867) je

ои ои dq I grad U 1= -- = д S О q ds

dq 1 _- =- ds Н

(grad U)i = 1 о U Н oq

Zamjenom 5е definitivno doblva

(871)

(872)

1 ои 1 ои ди grad и= - --- е1 + - - е2 + -- ез (873)

Н1 oqt Н2 oq~ Hj дqз

U cilindrituom koordinatnom sistemu je

ди 1 ди ди grad U - ер + - - еР + --- е bull

др р д дz-(874)

и sjeгnom koordinatnom sistemu jc

ди 1 дU 1 ди grad U = _-- ег + - ее + -- --- emiddotJ (875) д r r д G r sin е д qgt

U Descartes-ovom sisemu je Н = 1 ра 5е (873) transformira u (4312)

sect 88 DlVERGENCIJA U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Neka je data ektor5ka funkcija v (Ql q2 Qз) koja karakterise vekshytorsko polje Treba naci divergenciju tog vektora u tacki А Najbolje je poci od definicije i izracunavanja divergencije 5to je izne5eno u sect 56 za divergenciju uopste i za njen izraz u Descartes-ovom sistemu

Analogno postupku prema 51 46-3 uzmimo elementarni paraJeleshypiped (51 88-1) kod kojega je tacka tjeme jednog njegovog triedra Treba naci divv u tacki А Ovdje je AB=dst bull ALJ=ds~lI АЕ=dsз ра je povr5ina ADHE

266

povr~ina ABFF

povrsina АВС[)

5to se Нее suprotnih respektivnih povrsina опе se razlikuju od ovih Ц)оg toga 5to опе odgovaraju koordinatama Ч + dq gdje se indeks

i uzima respektivno samo ха do-

д

G ticnu koordinatu koja se mijenja Н jer su ostate dvije konstantne

I i

L-l---~fF -jc I - о _----

51 88middotmiddotmiddot i

Prema definiciji je

fVdS

div v = lim ~--- ilV~O J~

(881)

Ovdje se podJ V podrazumijeva еlешепtзrпi paralelepiped о koshyjem je rijec Izracunacemo fluhs kroz svih sest strana tog krivoshyliniskog elemel1tarnog рзгаlеlеshypipeda UJаХI1 fluks je 1egativan а izlazni pozitivan Neka je dФ fluks vektora V kroz povrsinu

dS 1 (АОНЕ) Ргета definiciji fluksa je dФl t H~ Нз dQ~ dQJ fIuks kroz suprotnu stral1U UСОР oznacimo 53 dф~ ра се biti

РrоmjеrJЗ funkcije 1) H~ НI je zbog promjene komponente q odnosflO prornjel1e povrsine

ра je ф[ д(V1ННз)] d ~= VIJ~fjа-t---middot-дmiddotq-l---dql dq~dqэmiddot

Prema tome fluks vektora v kroz strane А ОНЕ i BCGF Ыёе

dф dф O(VI ННз) d d d 1+ 2 д qt ч~ qa

ql

Anaiogno se dobiva fluks kroz ostale eetiri strane i to kroz ABFE i DCGH

д (v Нз Н1 ) ---_ - dq dq2 dqз д q

а kroz АВСО EFGH д (tз Н 1) ------- dql dq dqз

дqз

267

Sabiranjein ovih vrijednosti dobiva se izr8z Z8 brojilac u (881) 8 kako dV

je dql dq2 dqa = ---- bite definitivno Н1 Н2 На

divv= 1 [~iH2HiJ) + d(v2 fЗ Нl) + d(vaHJi2)1 (882) Н1 Н2 Нз д Чl d q2 д qз J

Moze se izracunati i divergencija pojedinih ortova triedra kod krishyvoIiniskog koordinatnog sistema Prema (882) izlazi da je

div е = _ _--~-bull Н] Н2 Нз

dj е = -~-- Н1 Н2 Нз

div ез =--_shyН1 ННз

~j~ д Чl

д(Нэ Н1) ----д Ч2

(883)

д(Н1 Н) -_ __

Iz (882) za Н se mogu staviti odgovarajute vrijednosti u raznim sistemima а takode i za Ч analogno postupkuza gradijent ра зе dobishyvaju razni izrazi za divergenciju

и cilindricnom koordinatnom sistemu je

div v = r~JefI~ + д O~ + ~(VI-e2] Р др дltр dz

U poslednjem sabirku тo~e se р iznijeti pred diferenCijalni znak ра je definiti упо

div v = ~ д (pvp) + ovP + V l bull

Р др р дltр dz (884)

и sfernom koordinatnom sistemu je

div v = 1 _ [~(~(2 ~i-l + д (ve r sin О) + д (nP)] г2 sin G d r д е d ltр

u ~ суот ~Ianu тo~e зе sill е iznijeti pred diferencijalni znak а u drugom i tretem г ра se dobiva

divv= ~ d(r2 v) + _1_1 d(ve sinO) + dtmiddotP г2 д r r sin G де r sin е д ltр

(885)

Stavljajuti Н = 1 relacija (882) prelazi u relaciju (564) odnosno u poznati izr8Z za divergenciju u Descartes-ovom koordinatnom sistemu

268

sect 89 - ROTOR U GENERALlSANOM (KRlVOLINISItOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Opet сето uzeti elementarni paralelepiped koji je уес prikazan па sl 88-1 Prema definiciji je

_ f vmiddotds (rot у)n 11т А S - (891)

А s-o - Vektor v mozemo razloziti u ta~ki А па komponenle ро pravcima ortova pi1 je

v vt е 1 +-z-е+vsез bull

Izra~un8cemo cirkulaciju vektora v ро lюпturi АОНЕА Кrivoliniski inte~ gral duz АD gdje je

dobice se iz izraza (у dS)AD = V Н dq~

Duz НЕ od f ka Е funkcija V 2 Н2 се se izmijeniti jer зе qa mijenja па qa + dqз ра зе dolazi do vrijednosti

(vds)m= [VH2 + ~~~2)dqa]dq2 gdje je znak minus uzet zbog suprotnog smjera

Od Е do А се ЫН ds= -dr= -Наdqаез ра je

(у dS)EA Va На dqз

Od D do Н Ысе analogno rezovanju za НЕ

(у dS)DH VЗ На + ------ dq dq1middot [ д (tз Н) ] д q2

Sabiranjem iznesenih izraza dobiva зе cirkulacija ро konturi А DНЕА

г= JVdS [д (vaHJ _ д (l Н)] dq dQa д q2 д Qз

gdje se zanemaruju beskonafno male velitine viseg reda

Kako je povrsina koju ta kontura ogranitava

dS2 dsз = Н2 Нз dq dqз

а u vezi sa (891) dobiva se projekcija vektora Iot v па pravac ort8 е1l odnosno

(892)

(892)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

262

Tako je u u nekoj tacki А

сШпdriспоm koordinatnom sjst~mu orijentacija tih ortovs иао па slici 86-2 gdje je vektor (ort) е1 orijentisan

u smjeru роуеС811]а kооrdiпзtе р vektor (ort) е2 u smjeru pevecanja ugla tp vektor (ort) ез u smjeru

---f--- povecanja koordinate z ОУ ortovi se mogu oznac8vati lt i sa ер I еltр е u odnosu па odgovarajuce koorshydinate

I 1 Na slican nacin su date orimiddot

jentacije ortova е1 е2 е з u nekoj tacki 8fernog koordinatnog sistema (81 86-3) respektivno u smjeru povecanja koordinate г uglз amp i ugla ер

Оу ortovi se mogu oznacamiddot vati i sз е ее elp ~

SI86-2 Та tri orta pretstavljaju роshy

kretan triedar tako da pri prelazu od jedne t8cke па drugu uopste

uzevsl mijenjaju svoj pravac U Descartes-ovom sistemu takvi ortovi St1

j k koji su st81ni za зуе tacke odnosno пе mijenjaju svoj pravac

---у

SI86-3

Ortove е е2 ев uzecemo tako da tim redom middotcine desni sistem Osim toga upotreblj8vacemo 8ато pravoug]e sisteme kod kojih su koor

263

diпаtпе liпijе i kооrdiпаtпе роvrsiпе mеdttsоЬпо поrmаlпе оdпоsпо kod kojih su ortovi medusobno поrmаlпi Na taj па6п gепеrаlisапjе je dопеklе оgrзпi~епо оdrеdепim svojstvima

Роsпiаtrаjmо sada

dinatne linije i doticnog

vezu medu promjenom radijus-vektora dui koorshy

orta Promjel1a radijus-vektora о r middotduz koordishyо ql

natne Iinije finiji ра je

je vektorska veHcina i orijentisana je dul tапgепtе па toj

Oznacimo li duiinu

АПаJоgпо je

odnosno д r

= fi е (i 1 2 3) д q

Nas interesujll koeiicijellti fI Ocevidl1o je

н 2 - дr 2

- д l q

Vеliсiпе Н (Н1 bull Н i Н) nazivajtl se Lame-ol1i koeticijenti

(863)

(864)

Razumije se da su ovi koeiicije1ti vrlo vazni kod krivоiпiskih sistema jer зе роmоси njih odreduju vatiJ3cije fadijus--ektora raznih tacaka ~ije kооrdiпаtе i пНЬоуе veze treba izr асuпзvаti i primjenjiati

Radi izrасuпаvапjз ovih koeficijenata posmatrajmo u tacki А vektor У Razlozimo ga па komponente ро kГlvoliniskim koordinatnim оs_ша

(865)

Ovdje su V 1 O~ i Vj krivolil1iske koordinate vektora У

Uzmimo sada specijalan slucaj umjesto vektora v vektor diferenmiddot ltijal radijus-vektora d r koji ima koordinate ds j bull Tada се ЫН

i1i

дr дr дr dr= -dql + -dq2+ --dqэ

дql д q д qa

дr fr= -dqj

дq (866)

264

Odavde je u vezi sa (863

dsj=Hjuq

------ ------

~- -- - -

t---r-------t------I ufo -

I--~ dz --- ---

[----~--- -shy--г t------

--shy ---51 86-4

(867~

ш kvadrat liniskog eJementa

Н2 2 + з dqз (868)

Dakle

НI = dS Н == d~_ d I d ql q2

LamemiddotovJ koeflcfJentJ u сШпdrl~поm koordfnatnom 51-5temU

U сШпdriспоm sistemu je (sl 86-2 i 86-4)

ds1 =dp ds2 =pd dsз=dz

ql = р q2 ер qa = Z ра je

iIi Н1 == 1 Н2 =Р На = 1

Н= 1 Нср==р Hz = 1 (8610)

Leme-ovl koeflcfjentf 1 sfernom koorshydinatnom sfstemu

I I I I U sfernom sistemu je (sl 86-3 i 86-5)

ds1 =dr dS2middot~rd6 dз==гsiпОdср

ql = Г q2 == О qз = tp

а otuda

Н = 1 Не = г Htp == r sin е (8611)

и Descarles-ovom koordinatnom sisemu naravno je

Н = 1

1 I

1 1 V О SI86-5

IOfEl~

(8612)

Uopste uzevsi zарrеmiпski element se тои posmatrati рriЫizпо kao paraJelepiped sa strаl1зmа ds ра je njegova zарrеmiпа

dV = ds1 ds2 dsз == Н1 Н2 На dql dq2 dqa (8613)

sect 87 - ORADIJENT l GENERALlSANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINA ТНОМ SISTEMU

265

Neka je data 5kalarna funkcija U (qt Q2 Qэ) koja karakterise skalarno polje Neka je vektor О gradijent toga polja u tacki А Treba naci taj vektor u krivoliniskom koordinatnom si5temu Projekcije tog vektora ро pravcima ortova е 1 е2 ез 5и prema definiciji gradijenta ravne parcijalnim izvodima skalarne funkcije U duz pravca koordinatne linije

ра je

Prema (867) je

ои ои dq I grad U 1= -- = д S О q ds

dq 1 _- =- ds Н

(grad U)i = 1 о U Н oq

Zamjenom 5е definitivno doblva

(871)

(872)

1 ои 1 ои ди grad и= - --- е1 + - - е2 + -- ез (873)

Н1 oqt Н2 oq~ Hj дqз

U cilindrituom koordinatnom sistemu je

ди 1 ди ди grad U - ер + - - еР + --- е bull

др р д дz-(874)

и sjeгnom koordinatnom sistemu jc

ди 1 дU 1 ди grad U = _-- ег + - ее + -- --- emiddotJ (875) д r r д G r sin е д qgt

U Descartes-ovom sisemu je Н = 1 ра 5е (873) transformira u (4312)

sect 88 DlVERGENCIJA U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Neka je data ektor5ka funkcija v (Ql q2 Qз) koja karakterise vekshytorsko polje Treba naci divergenciju tog vektora u tacki А Najbolje je poci od definicije i izracunavanja divergencije 5to je izne5eno u sect 56 za divergenciju uopste i za njen izraz u Descartes-ovom sistemu

Analogno postupku prema 51 46-3 uzmimo elementarni paraJeleshypiped (51 88-1) kod kojega je tacka tjeme jednog njegovog triedra Treba naci divv u tacki А Ovdje je AB=dst bull ALJ=ds~lI АЕ=dsз ра je povr5ina ADHE

266

povr~ina ABFF

povrsina АВС[)

5to se Нее suprotnih respektivnih povrsina опе se razlikuju od ovih Ц)оg toga 5to опе odgovaraju koordinatama Ч + dq gdje se indeks

i uzima respektivno samo ха do-

д

G ticnu koordinatu koja se mijenja Н jer su ostate dvije konstantne

I i

L-l---~fF -jc I - о _----

51 88middotmiddotmiddot i

Prema definiciji je

fVdS

div v = lim ~--- ilV~O J~

(881)

Ovdje se podJ V podrazumijeva еlешепtзrпi paralelepiped о koshyjem je rijec Izracunacemo fluhs kroz svih sest strana tog krivoshyliniskog elemel1tarnog рзгаlеlеshypipeda UJаХI1 fluks je 1egativan а izlazni pozitivan Neka je dФ fluks vektora V kroz povrsinu

dS 1 (АОНЕ) Ргета definiciji fluksa je dФl t H~ Нз dQ~ dQJ fIuks kroz suprotnu stral1U UСОР oznacimo 53 dф~ ра се biti

РrоmjеrJЗ funkcije 1) H~ НI je zbog promjene komponente q odnosflO prornjel1e povrsine

ра je ф[ д(V1ННз)] d ~= VIJ~fjа-t---middot-дmiddotq-l---dql dq~dqэmiddot

Prema tome fluks vektora v kroz strane А ОНЕ i BCGF Ыёе

dф dф O(VI ННз) d d d 1+ 2 д qt ч~ qa

ql

Anaiogno se dobiva fluks kroz ostale eetiri strane i to kroz ABFE i DCGH

д (v Нз Н1 ) ---_ - dq dq2 dqз д q

а kroz АВСО EFGH д (tз Н 1) ------- dql dq dqз

дqз

267

Sabiranjein ovih vrijednosti dobiva se izr8z Z8 brojilac u (881) 8 kako dV

je dql dq2 dqa = ---- bite definitivno Н1 Н2 На

divv= 1 [~iH2HiJ) + d(v2 fЗ Нl) + d(vaHJi2)1 (882) Н1 Н2 Нз д Чl d q2 д qз J

Moze se izracunati i divergencija pojedinih ortova triedra kod krishyvoIiniskog koordinatnog sistema Prema (882) izlazi da je

div е = _ _--~-bull Н] Н2 Нз

dj е = -~-- Н1 Н2 Нз

div ез =--_shyН1 ННз

~j~ д Чl

д(Нэ Н1) ----д Ч2

(883)

д(Н1 Н) -_ __

Iz (882) za Н se mogu staviti odgovarajute vrijednosti u raznim sistemima а takode i za Ч analogno postupkuza gradijent ра зе dobishyvaju razni izrazi za divergenciju

и cilindricnom koordinatnom sistemu je

div v = r~JefI~ + д O~ + ~(VI-e2] Р др дltр dz

U poslednjem sabirku тo~e se р iznijeti pred diferenCijalni znak ра je definiti упо

div v = ~ д (pvp) + ovP + V l bull

Р др р дltр dz (884)

и sfernom koordinatnom sistemu je

div v = 1 _ [~(~(2 ~i-l + д (ve r sin О) + д (nP)] г2 sin G d r д е d ltр

u ~ суот ~Ianu тo~e зе sill е iznijeti pred diferencijalni znak а u drugom i tretem г ра se dobiva

divv= ~ d(r2 v) + _1_1 d(ve sinO) + dtmiddotP г2 д r r sin G де r sin е д ltр

(885)

Stavljajuti Н = 1 relacija (882) prelazi u relaciju (564) odnosno u poznati izr8Z za divergenciju u Descartes-ovom koordinatnom sistemu

268

sect 89 - ROTOR U GENERALlSANOM (KRlVOLINISItOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Opet сето uzeti elementarni paralelepiped koji je уес prikazan па sl 88-1 Prema definiciji je

_ f vmiddotds (rot у)n 11т А S - (891)

А s-o - Vektor v mozemo razloziti u ta~ki А па komponenle ро pravcima ortova pi1 je

v vt е 1 +-z-е+vsез bull

Izra~un8cemo cirkulaciju vektora v ро lюпturi АОНЕА Кrivoliniski inte~ gral duz АD gdje je

dobice se iz izraza (у dS)AD = V Н dq~

Duz НЕ od f ka Е funkcija V 2 Н2 се se izmijeniti jer зе qa mijenja па qa + dqз ра зе dolazi do vrijednosti

(vds)m= [VH2 + ~~~2)dqa]dq2 gdje je znak minus uzet zbog suprotnog smjera

Od Е do А се ЫН ds= -dr= -Наdqаез ра je

(у dS)EA Va На dqз

Od D do Н Ысе analogno rezovanju za НЕ

(у dS)DH VЗ На + ------ dq dq1middot [ д (tз Н) ] д q2

Sabiranjem iznesenih izraza dobiva зе cirkulacija ро konturi А DНЕА

г= JVdS [д (vaHJ _ д (l Н)] dq dQa д q2 д Qз

gdje se zanemaruju beskonafno male velitine viseg reda

Kako je povrsina koju ta kontura ogranitava

dS2 dsз = Н2 Нз dq dqз

а u vezi sa (891) dobiva se projekcija vektora Iot v па pravac ort8 е1l odnosno

(892)

(892)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

263

diпаtпе liпijе i kооrdiпаtпе роvrsiпе mеdttsоЬпо поrmаlпе оdпоsпо kod kojih su ortovi medusobno поrmаlпi Na taj па6п gепеrаlisапjе je dопеklе оgrзпi~епо оdrеdепim svojstvima

Роsпiаtrаjmо sada

dinatne linije i doticnog

vezu medu promjenom radijus-vektora dui koorshy

orta Promjel1a radijus-vektora о r middotduz koordishyо ql

natne Iinije finiji ра je

je vektorska veHcina i orijentisana je dul tапgепtе па toj

Oznacimo li duiinu

АПаJоgпо je

odnosno д r

= fi е (i 1 2 3) д q

Nas interesujll koeiicijellti fI Ocevidl1o je

н 2 - дr 2

- д l q

Vеliсiпе Н (Н1 bull Н i Н) nazivajtl se Lame-ol1i koeticijenti

(863)

(864)

Razumije se da su ovi koeiicije1ti vrlo vazni kod krivоiпiskih sistema jer зе роmоси njih odreduju vatiJ3cije fadijus--ektora raznih tacaka ~ije kооrdiпаtе i пНЬоуе veze treba izr асuпзvаti i primjenjiati

Radi izrасuпаvапjз ovih koeficijenata posmatrajmo u tacki А vektor У Razlozimo ga па komponente ро kГlvoliniskim koordinatnim оs_ша

(865)

Ovdje su V 1 O~ i Vj krivolil1iske koordinate vektora У

Uzmimo sada specijalan slucaj umjesto vektora v vektor diferenmiddot ltijal radijus-vektora d r koji ima koordinate ds j bull Tada се ЫН

i1i

дr дr дr dr= -dql + -dq2+ --dqэ

дql д q д qa

дr fr= -dqj

дq (866)

264

Odavde je u vezi sa (863

dsj=Hjuq

------ ------

~- -- - -

t---r-------t------I ufo -

I--~ dz --- ---

[----~--- -shy--г t------

--shy ---51 86-4

(867~

ш kvadrat liniskog eJementa

Н2 2 + з dqз (868)

Dakle

НI = dS Н == d~_ d I d ql q2

LamemiddotovJ koeflcfJentJ u сШпdrl~поm koordfnatnom 51-5temU

U сШпdriспоm sistemu je (sl 86-2 i 86-4)

ds1 =dp ds2 =pd dsз=dz

ql = р q2 ер qa = Z ра je

iIi Н1 == 1 Н2 =Р На = 1

Н= 1 Нср==р Hz = 1 (8610)

Leme-ovl koeflcfjentf 1 sfernom koorshydinatnom sfstemu

I I I I U sfernom sistemu je (sl 86-3 i 86-5)

ds1 =dr dS2middot~rd6 dз==гsiпОdср

ql = Г q2 == О qз = tp

а otuda

Н = 1 Не = г Htp == r sin е (8611)

и Descarles-ovom koordinatnom sisemu naravno je

Н = 1

1 I

1 1 V О SI86-5

IOfEl~

(8612)

Uopste uzevsi zарrеmiпski element se тои posmatrati рriЫizпо kao paraJelepiped sa strаl1зmа ds ра je njegova zарrеmiпа

dV = ds1 ds2 dsз == Н1 Н2 На dql dq2 dqa (8613)

sect 87 - ORADIJENT l GENERALlSANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINA ТНОМ SISTEMU

265

Neka je data 5kalarna funkcija U (qt Q2 Qэ) koja karakterise skalarno polje Neka je vektor О gradijent toga polja u tacki А Treba naci taj vektor u krivoliniskom koordinatnom si5temu Projekcije tog vektora ро pravcima ortova е 1 е2 ез 5и prema definiciji gradijenta ravne parcijalnim izvodima skalarne funkcije U duz pravca koordinatne linije

ра je

Prema (867) je

ои ои dq I grad U 1= -- = д S О q ds

dq 1 _- =- ds Н

(grad U)i = 1 о U Н oq

Zamjenom 5е definitivno doblva

(871)

(872)

1 ои 1 ои ди grad и= - --- е1 + - - е2 + -- ез (873)

Н1 oqt Н2 oq~ Hj дqз

U cilindrituom koordinatnom sistemu je

ди 1 ди ди grad U - ер + - - еР + --- е bull

др р д дz-(874)

и sjeгnom koordinatnom sistemu jc

ди 1 дU 1 ди grad U = _-- ег + - ее + -- --- emiddotJ (875) д r r д G r sin е д qgt

U Descartes-ovom sisemu je Н = 1 ра 5е (873) transformira u (4312)

sect 88 DlVERGENCIJA U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Neka je data ektor5ka funkcija v (Ql q2 Qз) koja karakterise vekshytorsko polje Treba naci divergenciju tog vektora u tacki А Najbolje je poci od definicije i izracunavanja divergencije 5to je izne5eno u sect 56 za divergenciju uopste i za njen izraz u Descartes-ovom sistemu

Analogno postupku prema 51 46-3 uzmimo elementarni paraJeleshypiped (51 88-1) kod kojega je tacka tjeme jednog njegovog triedra Treba naci divv u tacki А Ovdje je AB=dst bull ALJ=ds~lI АЕ=dsз ра je povr5ina ADHE

266

povr~ina ABFF

povrsina АВС[)

5to se Нее suprotnih respektivnih povrsina опе se razlikuju od ovih Ц)оg toga 5to опе odgovaraju koordinatama Ч + dq gdje se indeks

i uzima respektivno samo ха do-

д

G ticnu koordinatu koja se mijenja Н jer su ostate dvije konstantne

I i

L-l---~fF -jc I - о _----

51 88middotmiddotmiddot i

Prema definiciji je

fVdS

div v = lim ~--- ilV~O J~

(881)

Ovdje se podJ V podrazumijeva еlешепtзrпi paralelepiped о koshyjem je rijec Izracunacemo fluhs kroz svih sest strana tog krivoshyliniskog elemel1tarnog рзгаlеlеshypipeda UJаХI1 fluks je 1egativan а izlazni pozitivan Neka je dФ fluks vektora V kroz povrsinu

dS 1 (АОНЕ) Ргета definiciji fluksa je dФl t H~ Нз dQ~ dQJ fIuks kroz suprotnu stral1U UСОР oznacimo 53 dф~ ра се biti

РrоmjеrJЗ funkcije 1) H~ НI je zbog promjene komponente q odnosflO prornjel1e povrsine

ра je ф[ д(V1ННз)] d ~= VIJ~fjа-t---middot-дmiddotq-l---dql dq~dqэmiddot

Prema tome fluks vektora v kroz strane А ОНЕ i BCGF Ыёе

dф dф O(VI ННз) d d d 1+ 2 д qt ч~ qa

ql

Anaiogno se dobiva fluks kroz ostale eetiri strane i to kroz ABFE i DCGH

д (v Нз Н1 ) ---_ - dq dq2 dqз д q

а kroz АВСО EFGH д (tз Н 1) ------- dql dq dqз

дqз

267

Sabiranjein ovih vrijednosti dobiva se izr8z Z8 brojilac u (881) 8 kako dV

je dql dq2 dqa = ---- bite definitivno Н1 Н2 На

divv= 1 [~iH2HiJ) + d(v2 fЗ Нl) + d(vaHJi2)1 (882) Н1 Н2 Нз д Чl d q2 д qз J

Moze se izracunati i divergencija pojedinih ortova triedra kod krishyvoIiniskog koordinatnog sistema Prema (882) izlazi da je

div е = _ _--~-bull Н] Н2 Нз

dj е = -~-- Н1 Н2 Нз

div ез =--_shyН1 ННз

~j~ д Чl

д(Нэ Н1) ----д Ч2

(883)

д(Н1 Н) -_ __

Iz (882) za Н se mogu staviti odgovarajute vrijednosti u raznim sistemima а takode i za Ч analogno postupkuza gradijent ра зе dobishyvaju razni izrazi za divergenciju

и cilindricnom koordinatnom sistemu je

div v = r~JefI~ + д O~ + ~(VI-e2] Р др дltр dz

U poslednjem sabirku тo~e se р iznijeti pred diferenCijalni znak ра je definiti упо

div v = ~ д (pvp) + ovP + V l bull

Р др р дltр dz (884)

и sfernom koordinatnom sistemu je

div v = 1 _ [~(~(2 ~i-l + д (ve r sin О) + д (nP)] г2 sin G d r д е d ltр

u ~ суот ~Ianu тo~e зе sill е iznijeti pred diferencijalni znak а u drugom i tretem г ра se dobiva

divv= ~ d(r2 v) + _1_1 d(ve sinO) + dtmiddotP г2 д r r sin G де r sin е д ltр

(885)

Stavljajuti Н = 1 relacija (882) prelazi u relaciju (564) odnosno u poznati izr8Z za divergenciju u Descartes-ovom koordinatnom sistemu

268

sect 89 - ROTOR U GENERALlSANOM (KRlVOLINISItOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Opet сето uzeti elementarni paralelepiped koji je уес prikazan па sl 88-1 Prema definiciji je

_ f vmiddotds (rot у)n 11т А S - (891)

А s-o - Vektor v mozemo razloziti u ta~ki А па komponenle ро pravcima ortova pi1 je

v vt е 1 +-z-е+vsез bull

Izra~un8cemo cirkulaciju vektora v ро lюпturi АОНЕА Кrivoliniski inte~ gral duz АD gdje je

dobice se iz izraza (у dS)AD = V Н dq~

Duz НЕ od f ka Е funkcija V 2 Н2 се se izmijeniti jer зе qa mijenja па qa + dqз ра зе dolazi do vrijednosti

(vds)m= [VH2 + ~~~2)dqa]dq2 gdje je znak minus uzet zbog suprotnog smjera

Od Е do А се ЫН ds= -dr= -Наdqаез ра je

(у dS)EA Va На dqз

Od D do Н Ысе analogno rezovanju za НЕ

(у dS)DH VЗ На + ------ dq dq1middot [ д (tз Н) ] д q2

Sabiranjem iznesenih izraza dobiva зе cirkulacija ро konturi А DНЕА

г= JVdS [д (vaHJ _ д (l Н)] dq dQa д q2 д Qз

gdje se zanemaruju beskonafno male velitine viseg reda

Kako je povrsina koju ta kontura ogranitava

dS2 dsз = Н2 Нз dq dqз

а u vezi sa (891) dobiva se projekcija vektora Iot v па pravac ort8 е1l odnosno

(892)

(892)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

264

Odavde je u vezi sa (863

dsj=Hjuq

------ ------

~- -- - -

t---r-------t------I ufo -

I--~ dz --- ---

[----~--- -shy--г t------

--shy ---51 86-4

(867~

ш kvadrat liniskog eJementa

Н2 2 + з dqз (868)

Dakle

НI = dS Н == d~_ d I d ql q2

LamemiddotovJ koeflcfJentJ u сШпdrl~поm koordfnatnom 51-5temU

U сШпdriспоm sistemu je (sl 86-2 i 86-4)

ds1 =dp ds2 =pd dsз=dz

ql = р q2 ер qa = Z ра je

iIi Н1 == 1 Н2 =Р На = 1

Н= 1 Нср==р Hz = 1 (8610)

Leme-ovl koeflcfjentf 1 sfernom koorshydinatnom sfstemu

I I I I U sfernom sistemu je (sl 86-3 i 86-5)

ds1 =dr dS2middot~rd6 dз==гsiпОdср

ql = Г q2 == О qз = tp

а otuda

Н = 1 Не = г Htp == r sin е (8611)

и Descarles-ovom koordinatnom sisemu naravno je

Н = 1

1 I

1 1 V О SI86-5

IOfEl~

(8612)

Uopste uzevsi zарrеmiпski element se тои posmatrati рriЫizпо kao paraJelepiped sa strаl1зmа ds ра je njegova zарrеmiпа

dV = ds1 ds2 dsз == Н1 Н2 На dql dq2 dqa (8613)

sect 87 - ORADIJENT l GENERALlSANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINA ТНОМ SISTEMU

265

Neka je data 5kalarna funkcija U (qt Q2 Qэ) koja karakterise skalarno polje Neka je vektor О gradijent toga polja u tacki А Treba naci taj vektor u krivoliniskom koordinatnom si5temu Projekcije tog vektora ро pravcima ortova е 1 е2 ез 5и prema definiciji gradijenta ravne parcijalnim izvodima skalarne funkcije U duz pravca koordinatne linije

ра je

Prema (867) je

ои ои dq I grad U 1= -- = д S О q ds

dq 1 _- =- ds Н

(grad U)i = 1 о U Н oq

Zamjenom 5е definitivno doblva

(871)

(872)

1 ои 1 ои ди grad и= - --- е1 + - - е2 + -- ез (873)

Н1 oqt Н2 oq~ Hj дqз

U cilindrituom koordinatnom sistemu je

ди 1 ди ди grad U - ер + - - еР + --- е bull

др р д дz-(874)

и sjeгnom koordinatnom sistemu jc

ди 1 дU 1 ди grad U = _-- ег + - ее + -- --- emiddotJ (875) д r r д G r sin е д qgt

U Descartes-ovom sisemu je Н = 1 ра 5е (873) transformira u (4312)

sect 88 DlVERGENCIJA U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Neka je data ektor5ka funkcija v (Ql q2 Qз) koja karakterise vekshytorsko polje Treba naci divergenciju tog vektora u tacki А Najbolje je poci od definicije i izracunavanja divergencije 5to je izne5eno u sect 56 za divergenciju uopste i za njen izraz u Descartes-ovom sistemu

Analogno postupku prema 51 46-3 uzmimo elementarni paraJeleshypiped (51 88-1) kod kojega je tacka tjeme jednog njegovog triedra Treba naci divv u tacki А Ovdje je AB=dst bull ALJ=ds~lI АЕ=dsз ра je povr5ina ADHE

266

povr~ina ABFF

povrsina АВС[)

5to se Нее suprotnih respektivnih povrsina опе se razlikuju od ovih Ц)оg toga 5to опе odgovaraju koordinatama Ч + dq gdje se indeks

i uzima respektivno samo ха do-

д

G ticnu koordinatu koja se mijenja Н jer su ostate dvije konstantne

I i

L-l---~fF -jc I - о _----

51 88middotmiddotmiddot i

Prema definiciji je

fVdS

div v = lim ~--- ilV~O J~

(881)

Ovdje se podJ V podrazumijeva еlешепtзrпi paralelepiped о koshyjem je rijec Izracunacemo fluhs kroz svih sest strana tog krivoshyliniskog elemel1tarnog рзгаlеlеshypipeda UJаХI1 fluks je 1egativan а izlazni pozitivan Neka je dФ fluks vektora V kroz povrsinu

dS 1 (АОНЕ) Ргета definiciji fluksa je dФl t H~ Нз dQ~ dQJ fIuks kroz suprotnu stral1U UСОР oznacimo 53 dф~ ра се biti

РrоmjеrJЗ funkcije 1) H~ НI je zbog promjene komponente q odnosflO prornjel1e povrsine

ра je ф[ д(V1ННз)] d ~= VIJ~fjа-t---middot-дmiddotq-l---dql dq~dqэmiddot

Prema tome fluks vektora v kroz strane А ОНЕ i BCGF Ыёе

dф dф O(VI ННз) d d d 1+ 2 д qt ч~ qa

ql

Anaiogno se dobiva fluks kroz ostale eetiri strane i to kroz ABFE i DCGH

д (v Нз Н1 ) ---_ - dq dq2 dqз д q

а kroz АВСО EFGH д (tз Н 1) ------- dql dq dqз

дqз

267

Sabiranjein ovih vrijednosti dobiva se izr8z Z8 brojilac u (881) 8 kako dV

je dql dq2 dqa = ---- bite definitivno Н1 Н2 На

divv= 1 [~iH2HiJ) + d(v2 fЗ Нl) + d(vaHJi2)1 (882) Н1 Н2 Нз д Чl d q2 д qз J

Moze se izracunati i divergencija pojedinih ortova triedra kod krishyvoIiniskog koordinatnog sistema Prema (882) izlazi da je

div е = _ _--~-bull Н] Н2 Нз

dj е = -~-- Н1 Н2 Нз

div ез =--_shyН1 ННз

~j~ д Чl

д(Нэ Н1) ----д Ч2

(883)

д(Н1 Н) -_ __

Iz (882) za Н se mogu staviti odgovarajute vrijednosti u raznim sistemima а takode i za Ч analogno postupkuza gradijent ра зе dobishyvaju razni izrazi za divergenciju

и cilindricnom koordinatnom sistemu je

div v = r~JefI~ + д O~ + ~(VI-e2] Р др дltр dz

U poslednjem sabirku тo~e se р iznijeti pred diferenCijalni znak ра je definiti упо

div v = ~ д (pvp) + ovP + V l bull

Р др р дltр dz (884)

и sfernom koordinatnom sistemu je

div v = 1 _ [~(~(2 ~i-l + д (ve r sin О) + д (nP)] г2 sin G d r д е d ltр

u ~ суот ~Ianu тo~e зе sill е iznijeti pred diferencijalni znak а u drugom i tretem г ра se dobiva

divv= ~ d(r2 v) + _1_1 d(ve sinO) + dtmiddotP г2 д r r sin G де r sin е д ltр

(885)

Stavljajuti Н = 1 relacija (882) prelazi u relaciju (564) odnosno u poznati izr8Z za divergenciju u Descartes-ovom koordinatnom sistemu

268

sect 89 - ROTOR U GENERALlSANOM (KRlVOLINISItOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Opet сето uzeti elementarni paralelepiped koji je уес prikazan па sl 88-1 Prema definiciji je

_ f vmiddotds (rot у)n 11т А S - (891)

А s-o - Vektor v mozemo razloziti u ta~ki А па komponenle ро pravcima ortova pi1 je

v vt е 1 +-z-е+vsез bull

Izra~un8cemo cirkulaciju vektora v ро lюпturi АОНЕА Кrivoliniski inte~ gral duz АD gdje je

dobice se iz izraza (у dS)AD = V Н dq~

Duz НЕ od f ka Е funkcija V 2 Н2 се se izmijeniti jer зе qa mijenja па qa + dqз ра зе dolazi do vrijednosti

(vds)m= [VH2 + ~~~2)dqa]dq2 gdje je znak minus uzet zbog suprotnog smjera

Od Е do А се ЫН ds= -dr= -Наdqаез ра je

(у dS)EA Va На dqз

Od D do Н Ысе analogno rezovanju za НЕ

(у dS)DH VЗ На + ------ dq dq1middot [ д (tз Н) ] д q2

Sabiranjem iznesenih izraza dobiva зе cirkulacija ро konturi А DНЕА

г= JVdS [д (vaHJ _ д (l Н)] dq dQa д q2 д Qз

gdje se zanemaruju beskonafno male velitine viseg reda

Kako je povrsina koju ta kontura ogranitava

dS2 dsз = Н2 Нз dq dqз

а u vezi sa (891) dobiva se projekcija vektora Iot v па pravac ort8 е1l odnosno

(892)

(892)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

sect 87 - ORADIJENT l GENERALlSANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINA ТНОМ SISTEMU

265

Neka je data 5kalarna funkcija U (qt Q2 Qэ) koja karakterise skalarno polje Neka je vektor О gradijent toga polja u tacki А Treba naci taj vektor u krivoliniskom koordinatnom si5temu Projekcije tog vektora ро pravcima ortova е 1 е2 ез 5и prema definiciji gradijenta ravne parcijalnim izvodima skalarne funkcije U duz pravca koordinatne linije

ра je

Prema (867) je

ои ои dq I grad U 1= -- = д S О q ds

dq 1 _- =- ds Н

(grad U)i = 1 о U Н oq

Zamjenom 5е definitivno doblva

(871)

(872)

1 ои 1 ои ди grad и= - --- е1 + - - е2 + -- ез (873)

Н1 oqt Н2 oq~ Hj дqз

U cilindrituom koordinatnom sistemu je

ди 1 ди ди grad U - ер + - - еР + --- е bull

др р д дz-(874)

и sjeгnom koordinatnom sistemu jc

ди 1 дU 1 ди grad U = _-- ег + - ее + -- --- emiddotJ (875) д r r д G r sin е д qgt

U Descartes-ovom sisemu je Н = 1 ра 5е (873) transformira u (4312)

sect 88 DlVERGENCIJA U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Neka je data ektor5ka funkcija v (Ql q2 Qз) koja karakterise vekshytorsko polje Treba naci divergenciju tog vektora u tacki А Najbolje je poci od definicije i izracunavanja divergencije 5to je izne5eno u sect 56 za divergenciju uopste i za njen izraz u Descartes-ovom sistemu

Analogno postupku prema 51 46-3 uzmimo elementarni paraJeleshypiped (51 88-1) kod kojega je tacka tjeme jednog njegovog triedra Treba naci divv u tacki А Ovdje je AB=dst bull ALJ=ds~lI АЕ=dsз ра je povr5ina ADHE

266

povr~ina ABFF

povrsina АВС[)

5to se Нее suprotnih respektivnih povrsina опе se razlikuju od ovih Ц)оg toga 5to опе odgovaraju koordinatama Ч + dq gdje se indeks

i uzima respektivno samo ха do-

д

G ticnu koordinatu koja se mijenja Н jer su ostate dvije konstantne

I i

L-l---~fF -jc I - о _----

51 88middotmiddotmiddot i

Prema definiciji je

fVdS

div v = lim ~--- ilV~O J~

(881)

Ovdje se podJ V podrazumijeva еlешепtзrпi paralelepiped о koshyjem je rijec Izracunacemo fluhs kroz svih sest strana tog krivoshyliniskog elemel1tarnog рзгаlеlеshypipeda UJаХI1 fluks je 1egativan а izlazni pozitivan Neka je dФ fluks vektora V kroz povrsinu

dS 1 (АОНЕ) Ргета definiciji fluksa je dФl t H~ Нз dQ~ dQJ fIuks kroz suprotnu stral1U UСОР oznacimo 53 dф~ ра се biti

РrоmjеrJЗ funkcije 1) H~ НI je zbog promjene komponente q odnosflO prornjel1e povrsine

ра je ф[ д(V1ННз)] d ~= VIJ~fjа-t---middot-дmiddotq-l---dql dq~dqэmiddot

Prema tome fluks vektora v kroz strane А ОНЕ i BCGF Ыёе

dф dф O(VI ННз) d d d 1+ 2 д qt ч~ qa

ql

Anaiogno se dobiva fluks kroz ostale eetiri strane i to kroz ABFE i DCGH

д (v Нз Н1 ) ---_ - dq dq2 dqз д q

а kroz АВСО EFGH д (tз Н 1) ------- dql dq dqз

дqз

267

Sabiranjein ovih vrijednosti dobiva se izr8z Z8 brojilac u (881) 8 kako dV

je dql dq2 dqa = ---- bite definitivno Н1 Н2 На

divv= 1 [~iH2HiJ) + d(v2 fЗ Нl) + d(vaHJi2)1 (882) Н1 Н2 Нз д Чl d q2 д qз J

Moze se izracunati i divergencija pojedinih ortova triedra kod krishyvoIiniskog koordinatnog sistema Prema (882) izlazi da je

div е = _ _--~-bull Н] Н2 Нз

dj е = -~-- Н1 Н2 Нз

div ез =--_shyН1 ННз

~j~ д Чl

д(Нэ Н1) ----д Ч2

(883)

д(Н1 Н) -_ __

Iz (882) za Н se mogu staviti odgovarajute vrijednosti u raznim sistemima а takode i za Ч analogno postupkuza gradijent ра зе dobishyvaju razni izrazi za divergenciju

и cilindricnom koordinatnom sistemu je

div v = r~JefI~ + д O~ + ~(VI-e2] Р др дltр dz

U poslednjem sabirku тo~e se р iznijeti pred diferenCijalni znak ра je definiti упо

div v = ~ д (pvp) + ovP + V l bull

Р др р дltр dz (884)

и sfernom koordinatnom sistemu je

div v = 1 _ [~(~(2 ~i-l + д (ve r sin О) + д (nP)] г2 sin G d r д е d ltр

u ~ суот ~Ianu тo~e зе sill е iznijeti pred diferencijalni znak а u drugom i tretem г ра se dobiva

divv= ~ d(r2 v) + _1_1 d(ve sinO) + dtmiddotP г2 д r r sin G де r sin е д ltр

(885)

Stavljajuti Н = 1 relacija (882) prelazi u relaciju (564) odnosno u poznati izr8Z za divergenciju u Descartes-ovom koordinatnom sistemu

268

sect 89 - ROTOR U GENERALlSANOM (KRlVOLINISItOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Opet сето uzeti elementarni paralelepiped koji je уес prikazan па sl 88-1 Prema definiciji je

_ f vmiddotds (rot у)n 11т А S - (891)

А s-o - Vektor v mozemo razloziti u ta~ki А па komponenle ро pravcima ortova pi1 je

v vt е 1 +-z-е+vsез bull

Izra~un8cemo cirkulaciju vektora v ро lюпturi АОНЕА Кrivoliniski inte~ gral duz АD gdje je

dobice se iz izraza (у dS)AD = V Н dq~

Duz НЕ od f ka Е funkcija V 2 Н2 се se izmijeniti jer зе qa mijenja па qa + dqз ра зе dolazi do vrijednosti

(vds)m= [VH2 + ~~~2)dqa]dq2 gdje je znak minus uzet zbog suprotnog smjera

Od Е do А се ЫН ds= -dr= -Наdqаез ра je

(у dS)EA Va На dqз

Od D do Н Ысе analogno rezovanju za НЕ

(у dS)DH VЗ На + ------ dq dq1middot [ д (tз Н) ] д q2

Sabiranjem iznesenih izraza dobiva зе cirkulacija ро konturi А DНЕА

г= JVdS [д (vaHJ _ д (l Н)] dq dQa д q2 д Qз

gdje se zanemaruju beskonafno male velitine viseg reda

Kako je povrsina koju ta kontura ogranitava

dS2 dsз = Н2 Нз dq dqз

а u vezi sa (891) dobiva se projekcija vektora Iot v па pravac ort8 е1l odnosno

(892)

(892)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

266

povr~ina ABFF

povrsina АВС[)

5to se Нее suprotnih respektivnih povrsina опе se razlikuju od ovih Ц)оg toga 5to опе odgovaraju koordinatama Ч + dq gdje se indeks

i uzima respektivno samo ха do-

д

G ticnu koordinatu koja se mijenja Н jer su ostate dvije konstantne

I i

L-l---~fF -jc I - о _----

51 88middotmiddotmiddot i

Prema definiciji je

fVdS

div v = lim ~--- ilV~O J~

(881)

Ovdje se podJ V podrazumijeva еlешепtзrпi paralelepiped о koshyjem je rijec Izracunacemo fluhs kroz svih sest strana tog krivoshyliniskog elemel1tarnog рзгаlеlеshypipeda UJаХI1 fluks je 1egativan а izlazni pozitivan Neka je dФ fluks vektora V kroz povrsinu

dS 1 (АОНЕ) Ргета definiciji fluksa je dФl t H~ Нз dQ~ dQJ fIuks kroz suprotnu stral1U UСОР oznacimo 53 dф~ ра се biti

РrоmjеrJЗ funkcije 1) H~ НI je zbog promjene komponente q odnosflO prornjel1e povrsine

ра je ф[ д(V1ННз)] d ~= VIJ~fjа-t---middot-дmiddotq-l---dql dq~dqэmiddot

Prema tome fluks vektora v kroz strane А ОНЕ i BCGF Ыёе

dф dф O(VI ННз) d d d 1+ 2 д qt ч~ qa

ql

Anaiogno se dobiva fluks kroz ostale eetiri strane i to kroz ABFE i DCGH

д (v Нз Н1 ) ---_ - dq dq2 dqз д q

а kroz АВСО EFGH д (tз Н 1) ------- dql dq dqз

дqз

267

Sabiranjein ovih vrijednosti dobiva se izr8z Z8 brojilac u (881) 8 kako dV

je dql dq2 dqa = ---- bite definitivno Н1 Н2 На

divv= 1 [~iH2HiJ) + d(v2 fЗ Нl) + d(vaHJi2)1 (882) Н1 Н2 Нз д Чl d q2 д qз J

Moze se izracunati i divergencija pojedinih ortova triedra kod krishyvoIiniskog koordinatnog sistema Prema (882) izlazi da je

div е = _ _--~-bull Н] Н2 Нз

dj е = -~-- Н1 Н2 Нз

div ез =--_shyН1 ННз

~j~ д Чl

д(Нэ Н1) ----д Ч2

(883)

д(Н1 Н) -_ __

Iz (882) za Н se mogu staviti odgovarajute vrijednosti u raznim sistemima а takode i za Ч analogno postupkuza gradijent ра зе dobishyvaju razni izrazi za divergenciju

и cilindricnom koordinatnom sistemu je

div v = r~JefI~ + д O~ + ~(VI-e2] Р др дltр dz

U poslednjem sabirku тo~e se р iznijeti pred diferenCijalni znak ра je definiti упо

div v = ~ д (pvp) + ovP + V l bull

Р др р дltр dz (884)

и sfernom koordinatnom sistemu je

div v = 1 _ [~(~(2 ~i-l + д (ve r sin О) + д (nP)] г2 sin G d r д е d ltр

u ~ суот ~Ianu тo~e зе sill е iznijeti pred diferencijalni znak а u drugom i tretem г ра se dobiva

divv= ~ d(r2 v) + _1_1 d(ve sinO) + dtmiddotP г2 д r r sin G де r sin е д ltр

(885)

Stavljajuti Н = 1 relacija (882) prelazi u relaciju (564) odnosno u poznati izr8Z za divergenciju u Descartes-ovom koordinatnom sistemu

268

sect 89 - ROTOR U GENERALlSANOM (KRlVOLINISItOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Opet сето uzeti elementarni paralelepiped koji je уес prikazan па sl 88-1 Prema definiciji je

_ f vmiddotds (rot у)n 11т А S - (891)

А s-o - Vektor v mozemo razloziti u ta~ki А па komponenle ро pravcima ortova pi1 je

v vt е 1 +-z-е+vsез bull

Izra~un8cemo cirkulaciju vektora v ро lюпturi АОНЕА Кrivoliniski inte~ gral duz АD gdje je

dobice se iz izraza (у dS)AD = V Н dq~

Duz НЕ od f ka Е funkcija V 2 Н2 се se izmijeniti jer зе qa mijenja па qa + dqз ра зе dolazi do vrijednosti

(vds)m= [VH2 + ~~~2)dqa]dq2 gdje je znak minus uzet zbog suprotnog smjera

Od Е do А се ЫН ds= -dr= -Наdqаез ра je

(у dS)EA Va На dqз

Od D do Н Ысе analogno rezovanju za НЕ

(у dS)DH VЗ На + ------ dq dq1middot [ д (tз Н) ] д q2

Sabiranjem iznesenih izraza dobiva зе cirkulacija ро konturi А DНЕА

г= JVdS [д (vaHJ _ д (l Н)] dq dQa д q2 д Qз

gdje se zanemaruju beskonafno male velitine viseg reda

Kako je povrsina koju ta kontura ogranitava

dS2 dsз = Н2 Нз dq dqз

а u vezi sa (891) dobiva se projekcija vektora Iot v па pravac ort8 е1l odnosno

(892)

(892)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

267

Sabiranjein ovih vrijednosti dobiva se izr8z Z8 brojilac u (881) 8 kako dV

je dql dq2 dqa = ---- bite definitivno Н1 Н2 На

divv= 1 [~iH2HiJ) + d(v2 fЗ Нl) + d(vaHJi2)1 (882) Н1 Н2 Нз д Чl d q2 д qз J

Moze se izracunati i divergencija pojedinih ortova triedra kod krishyvoIiniskog koordinatnog sistema Prema (882) izlazi da je

div е = _ _--~-bull Н] Н2 Нз

dj е = -~-- Н1 Н2 Нз

div ез =--_shyН1 ННз

~j~ д Чl

д(Нэ Н1) ----д Ч2

(883)

д(Н1 Н) -_ __

Iz (882) za Н se mogu staviti odgovarajute vrijednosti u raznim sistemima а takode i za Ч analogno postupkuza gradijent ра зе dobishyvaju razni izrazi za divergenciju

и cilindricnom koordinatnom sistemu je

div v = r~JefI~ + д O~ + ~(VI-e2] Р др дltр dz

U poslednjem sabirku тo~e se р iznijeti pred diferenCijalni znak ра je definiti упо

div v = ~ д (pvp) + ovP + V l bull

Р др р дltр dz (884)

и sfernom koordinatnom sistemu je

div v = 1 _ [~(~(2 ~i-l + д (ve r sin О) + д (nP)] г2 sin G d r д е d ltр

u ~ суот ~Ianu тo~e зе sill е iznijeti pred diferencijalni znak а u drugom i tretem г ра se dobiva

divv= ~ d(r2 v) + _1_1 d(ve sinO) + dtmiddotP г2 д r r sin G де r sin е д ltр

(885)

Stavljajuti Н = 1 relacija (882) prelazi u relaciju (564) odnosno u poznati izr8Z za divergenciju u Descartes-ovom koordinatnom sistemu

268

sect 89 - ROTOR U GENERALlSANOM (KRlVOLINISItOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Opet сето uzeti elementarni paralelepiped koji je уес prikazan па sl 88-1 Prema definiciji je

_ f vmiddotds (rot у)n 11т А S - (891)

А s-o - Vektor v mozemo razloziti u ta~ki А па komponenle ро pravcima ortova pi1 je

v vt е 1 +-z-е+vsез bull

Izra~un8cemo cirkulaciju vektora v ро lюпturi АОНЕА Кrivoliniski inte~ gral duz АD gdje je

dobice se iz izraza (у dS)AD = V Н dq~

Duz НЕ od f ka Е funkcija V 2 Н2 се se izmijeniti jer зе qa mijenja па qa + dqз ра зе dolazi do vrijednosti

(vds)m= [VH2 + ~~~2)dqa]dq2 gdje je znak minus uzet zbog suprotnog smjera

Od Е do А се ЫН ds= -dr= -Наdqаез ра je

(у dS)EA Va На dqз

Od D do Н Ысе analogno rezovanju za НЕ

(у dS)DH VЗ На + ------ dq dq1middot [ д (tз Н) ] д q2

Sabiranjem iznesenih izraza dobiva зе cirkulacija ро konturi А DНЕА

г= JVdS [д (vaHJ _ д (l Н)] dq dQa д q2 д Qз

gdje se zanemaruju beskonafno male velitine viseg reda

Kako je povrsina koju ta kontura ogranitava

dS2 dsз = Н2 Нз dq dqз

а u vezi sa (891) dobiva se projekcija vektora Iot v па pravac ort8 е1l odnosno

(892)

(892)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

268

sect 89 - ROTOR U GENERALlSANOM (KRlVOLINISItOM) KOORDINATNOM SISTEMU

Opet сето uzeti elementarni paralelepiped koji je уес prikazan па sl 88-1 Prema definiciji je

_ f vmiddotds (rot у)n 11т А S - (891)

А s-o - Vektor v mozemo razloziti u ta~ki А па komponenle ро pravcima ortova pi1 je

v vt е 1 +-z-е+vsез bull

Izra~un8cemo cirkulaciju vektora v ро lюпturi АОНЕА Кrivoliniski inte~ gral duz АD gdje je

dobice se iz izraza (у dS)AD = V Н dq~

Duz НЕ od f ka Е funkcija V 2 Н2 се se izmijeniti jer зе qa mijenja па qa + dqз ра зе dolazi do vrijednosti

(vds)m= [VH2 + ~~~2)dqa]dq2 gdje je znak minus uzet zbog suprotnog smjera

Od Е do А се ЫН ds= -dr= -Наdqаез ра je

(у dS)EA Va На dqз

Od D do Н Ысе analogno rezovanju za НЕ

(у dS)DH VЗ На + ------ dq dq1middot [ д (tз Н) ] д q2

Sabiranjem iznesenih izraza dobiva зе cirkulacija ро konturi А DНЕА

г= JVdS [д (vaHJ _ д (l Н)] dq dQa д q2 д Qз

gdje se zanemaruju beskonafno male velitine viseg reda

Kako je povrsina koju ta kontura ogranitava

dS2 dsз = Н2 Нз dq dqз

а u vezi sa (891) dobiva se projekcija vektora Iot v па pravac ort8 е1l odnosno

(892)

(892)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

269

Moie зе izraCUtHti i rotor pojedinih ortova triedra Stavi Ii зе V 81 doblte зе

г01 е dl l 1 дli1 - е -- --- -- ез =

Hs 1 д qз - H~ Н) д q2

_1 (grad Н1 Х e1)

If

1 (grгd 11 х е)

I~ --(893)

u сШпdгiспоm koordinatnom sistemu je

_ 1 д д VqJ l(гоtV)зI== ---- -~

р д ~ дz

д lp д V r I (rotv)tp I = ~ - ---- dz др

(894)

I (rotv)ll= ~ ~(рщ) _ - дvр bull р др р дер

u sternom koordinatnom sistemu je

1 rI (vrp sin е) д I rot v) I = r s~amp --д-е-- - r sinamp д ер

I(rotv)e I == _~ - д Vr _ 1 д(ГVqgtL (895) г SIП е д ер г д r

I (rot v)qgt I = ~ ~~~eJ ~ д г дг г де

sect 00 - LAPLACE-OV OPERATOR 1 U OENERALISANOM (KRIVOLINISKOM) KOORDJNATNOM SISTEМU

Ргеmа definiciji je

12 U = 6 U == div grad и (901)

Prema (873) i (882) dobiva зе

Ы) = 1 t~_(H2 Нз д И) + д (На Н ~ И) + Н1 Н~НЗ д ql Н1 д ql д q2 Н2 д q~

+ -~ (J_ Н2 ~~)J (902) д qз Нэ о q

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

270

U ciindricnom koordinatnom s stemu je

fznesu 1i зе navedene promjenljive pred diferencijaJni znak koji зе П8 rjih пе odnosi dobice se

U sfernom koordinatnom sistemu je

6и == [ ~- (Г2 sin О ~ и) + д (sin О дU) + ~ (_1 д и)] г2 sip О д r д r де д о д sin О д

Poslije operacija anatognih гапijiш Ысе definitivno

6и т JE_ (Г2 д и) + __ ~~_ д (sin О д И) + 1 д2 и (904) 2 д r д r г~ эiJ1 О дО д О r 2 sin2 6 д Чl2

sect 91 - IZVODI ORTOVA U KRlVOLINISKOM KOORDINATNOM SlSTEMU

Va7no je znati jzvode ortova е1 bull е е ро doticnim koordinatama za razlikt ud raznih drugih izvoda Sva je teskoca u tome sto ortovi u krishyvоliпiskоm koordinatnom sistemu iJ raznim tackama imaju razne pravce

Zadatak je da se nadu izvodi

д е д е2 д ез - --о

д q] д q2 д qa

Lako je vidjeti da dvjema tackama А (q] Ч2 qз) Ч~ +- dq2 qз + dqз) respektivno odgovaraju jedinicni vektori

Posmatra Ji se ort е11 onda уаи relacija

де де де (9 1) d е ] = - dqj + - dq2 + -- dqз ~ 1 д qj д q2 д qз

Uzimajuёi u obzir relaciju (537) za izvod vektora u odredellOm pravcu rnoze se па pisati

д е] е _

1 дs (912

gdje je ovdje umjesto 1 uCpste za krivoliniske koordinate usvojellO S

Vektor е je оrijеtJtisш duz ttl1gente па koordinatnoj liJ1iji q]

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

271

Prem8 (867) doblva se

(91З~

PrimjenjujuCi (669) Ысе

i1i (е уо) е = rot е х е1 bull 9 4)

Zamjenom iz (893) doblva se

( ) ( 1 д Н

е 1 bull v е1 = -- -- е2 На Н1 д qз

1 дН1 = - ----еа На Н дqltJ

Onda je u vezi sa (912) definitivni izraz Z8 trateni izvod

~el = _ 1 д Н1 е2 _1 д Н1 е (915) д ql Н2 д q2 На д qs

Osfsli izvodi д е2 i д еа lako se doblvaju cikli~nom permutacijom indeksa д q2 д qa

Sada сето naci izvode

Koristeci se sect 66 poslije duti11 izrа~uпаvапjа koja ovdje песета izпоsiti dObiV8 se

(916)

ра je

(917)

де 1 ев дНа - --- = ---д9а Н1 дql

( 918)

Ostale izvode ovoJe necemo navoditi jer ае lIIogu d6biti analogno iznesenom

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

272

sect 92 PRIMJENA NA DIFERENCIJALNU OEOMRTRIJ~j

Ako se l1а nekoj krivuj povrsil1i uzme neka tacka Л иjеп polozaj ll10le ЫН odredeo ротоси dvije krivoliniske koordinate q i q~ Onda ~e i radijus-vektor odnosno i Descartes-ove koordinate te tacke biti funkmiddot cj ja koordinata ql i q

Jednacina te povrsine Ысе

х x(qll qJ) у у (qJ qJ z==z(qlgtЧ)

Odredicemo liniski element povrsine odnosno e]emel1t luka

Ovdje сето па povrsini posmatrati uopste kosougli sistem tj ql q2 nisu ortogonalne

Prema ranijem izlaganju je u prvoj aproksimaciji

ds2 (dг)=I--iqJ-I-~--dq2 дг дГ)2

д ql д q~ (921)

К k dr Н d t t t d t) k d t а о Je - = i е g Je Je е ог angen е о Ilne оог ша пе dql

linije Ысе

(922)

ОЫспо se primjenjuju sjedece oznake za koeficijente

2 дг dr 2 H1=E ---- =F Н2= О д q д Ч

(923)

ра зе u obliku (924)

doЫva formula za liniski element povrsine Ро ovoj formuli se mofe izshyracunati diferencijal luka та koje krive u nekoj datoj tacki А Оуа formula se naziva prva fundamentalna forma Takode se naziva i kvadratna diferen-

cijalna forma ili k~adratna fandamentalna forma povrsine

Koeficijenti imaju sljedece vrijednosti

dr дг Е= --shy

д ql д ql

(925)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

273

l~ko j~ vidjeti da su koeficijenti Е i О uvijek pozitivni пасаупо pod etpostavk( da su linije Чl i q realne Koeficijent F mole ЬШ i pozi-

ti ап i ~egativan iIi pak jednak поН U slutaju F = О Ысе д r bull ~~ = iJ Чl iJ qz

= о t оуа dva vektora su medusobno ПО-11зlоз ра se linije ч i ч sijeku pod pravim uglom Ako je taj uslov iSJJL1njen па Citavoj povrsini onda koordinatne linije Ч1 i Ч2 obrazuju ortogooalni krivoliniski sistem па povrsini

U diferencijalno~ geometriii uzimaju se kao kооrdiпзtе Чl i q2obltno i oznake и i о (а prva fundamentalna forrna (924) mо2е imati i sljede~i obIik u funkciji od и i v

ds=E(u v)du2 +2P(u v)dudiJ+O(u v)dv2bull (926)

Koeficijenti Е f i а mogu se prikazati opstim izrazom gv Slfobrazno tome 1D0gu se i koordinate qt Odl10S11O и i v prikazati u opstem obIika kao Хр i х Onda fundamentalna kvadratna forma doblva obIik

(927)

gdje зо sa Ч odnosno sa х oznatene generalisane koordinate U оуот izlaganju оуа relacija vali ха povrsinu MedutiID опа se u fizici тое uopstiti пе samo ха prost()( nego i za prostornomiddotvremenski kопtiпuum

Ovdje su velicine g1V fU1kcije od чl i Ч2 Za ovaj stucaj povrsine indeksi р i v se uzimaju redom 1 i 2 ра je tih veHcina 4

Odmah se vidi da je

Tako je E=gll F g12 = grl G=gsl

Sada сето izracushyпаti e[ement povrsit1e dS Izdijеliщо krivu povrsinu koordinatnim liпijаmа Ч1 = const i Ч2 = COt1st па krivo1iniske Cetvorougltgt

Као sto se vidi iz 51 92-1 роvrsiпski eleshyment АВСО gdje tjemeshyпа imaju koordill8te А (9 bullbull Ч2) В (qt q2+ dq) С (Ч1 + dq1 Ча + dq) D(q2+dqp Q2)

mole se aproksimativshyпо zamijeniti paralelogra-тот Ще 5О strane vek SI 92-1 tori r lJ1 dq] i rq dQ du tапgепаtа па Iinjj( Ч i Ч U ta~ki А (qt Ч2)

(928)

(929)

D М 1D9vlt iektorska aaalzamp 18

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

274

Povr~ina tog paraJeJograma je

dS I (1qt х 1q) I dql dq2 = q Tqbull sin а dql dQ2

gdje je а ugao medu tim vektorima odnosno medu koordinatnim lil1ijma ql i q2 U datoj tacki А Da Ы se izracunala povrsina treba nsCi ugэо (1

Iz (925) je

ра je

cosa

sina=

F

УЕltЗ

ЕСГ-Р

Zamjenom se definitivno dobiva

dS= -УЕО F2 dql dq2

(92lO)

(9211)

(9212)

Jz оуе relacij~ se vidi da se moze izra~unati та koji dio povrsine kada se samo znaju koeficijenti Е F а liniskog elementa povrsine

Ротоси notacija gpv doblvene reJacije za ugao i povr~inu imaju sljedeci oblik

со а = --=~= (9210)

bull -УС11 C22-~2 Slna= bull (9211)

Св С22

(9212)

Odavde se moze izra~unati уеliбпа povrsine па krivoj povrsini u obliku

(9213)

Prva kvаdrаtпа fundamentalna forma povrsine koja prikazuje ds2

odnosno d12 pozitivna je za sve vrijednosti dq1J dq2 odnosno du dv osim Z8 dqt = dq2 = О

Zbog toga je i пjепа odgovarajuca diskriminanta takode pozitivna iIi

ЕО-РgtО а isto tako

(9214)

(9214)

Ako se difereficijaJ Juka ds izrасuпаvа duz Jinije qj Ъice dq о ра relacija za fundamentalnu kvadratnu formu doblva oblik

odnosno (9215)

(9215)

te je

iIi

Jasno je cdHJe (ja je Е роzШvпо

ЕgtО

ds= УЕ dqt

ds = gH dq

275

(9216)

(9216)

Na sican пасiп 5е izra~unava i diferencijal1uka duzlinije Q2 Onda je

0gt0 ра je

li ds= V Odq2 (9217)

(9217)

Nаротiпjешо da je оуа fundamentalna forma kvadrafna l odnosu па diferencljae kOOldinata

Pri izrасuпаVЗl1jLt рсуе fundamentalne forme uzeli 5то 5аmо prve clanove za ds2 pri сешu je u okolini tacke А kriva povrsectina zamijenjena tangencijall10m 1J0vrSinош Kako ds pretstavlja luk izmedu dvije tacke па Ье5kопа~по malom ra5tojanju moze se pretp05taviti kao da je i ta tacka В uzeia на tаl1gепсijЗlJоj favni Ocigledno je prema 51 92-1 rastojanje АВ vеliсiпа prornjene vektora polozaja

A8=I~rlmiddot

Vektor polozaja zavisi od krivolini5kih koordinata ql i q2 odnosno od и i 11 а оуе koordinate 5U funkcije od luka i Taj luk s uzet je kao pararnetar VеliCфа ~ r moze 5е fazviti u TaylofoV red u obliku

1 lr=rls+-r(~s)2+ (9218) 2

Ovi izvodi se uzimaju u tacki А i П8С8УПО ро p8rametru S

clan Pri izvodet1jq prve fuпdатепtаlпе forme ogranicili smo se па prvi ovog reda tj па dr iJi па izraz (921)

Ako se пхmе bolja арrоk5imзсijа odmah se uocava da зе tз tacka 8 пе шilаzi u tangencijaln(j ravni k1ЮZ А 11ego je od nje udaljena ха izvjesno rastojanje Oznacimo 110rshymalno rastojanje tacke 8 od tangencijatne ravni u А 58 h (з1 92-2) Sa с oznafimo podnotje normale iz 8 spu~tene па tu tangencijalnu ravan

5192-2

276

Sada сето prici izracunavanju toga rastojanja h

ОzпаCiшо 5а n ort normale па povr8ini u tacki А Navedena IJrijen tacija neka bude роzШvпа 8to je stvar dogovora Onda je h pozitivno ako je па istoj strani od tangencijalne ravni kao i taj pozitivni 5mjer n а пеgаtivпо ako je па 5uрrоtпоj strani

Опdа je prema sl 92-2 --+ --+ --+ --+

Ar=AB =AC~CB=AC+hn

Zamjena u (9218) daje

--+ 1 AC+hn= rДs + - 1(lt1s)2+ bullbullbull

2

- Pomno~imo ovu jednacinu 5kаlаrпо ortom n Kako je АС 1- n а isto

tako r 1- n to се prvi clan па Iijevoj 5trапi i prvi сlап па dеsпоj 5trani роsЩе mno~enja ЫН jednaki пuli ра 5е doblva (n n = 1)

1 h = 2 rmiddotn(lt1s)2+ (9219)

Оуа] izraz pokazuje da je rаstоjlпjе h Ье5kопаспо mala ve1icina drugog reda Оgrапiсiсето se па оуа] паvеdепi Сlап Ovdje je glavno da 5е izrасuпа d rugi izvod r

K8ko je

Ысе дll r 2 д2 r д r д2 r r = --2 ql + ql q + ---- ql + qi ql +

oql oq13q2 (j~ql OqOql

(j2 r 2 д r + --3 q2+ - q2

оqз oq (9220)

V kt or or I t l к k е orl - 1 -- 118 aze 5е u angenclJa по] ravnl а о 5U prema д q1 д q2

tome- поrmаlпi па ortu n to se 5kalarnim тпоtепjеm 5а n dobiva

bull 02 rз 02 r д2 r 2 rmiddotn == -ПЧl+ 2 nql q2 + ---middotnqa

iJq~ д q1 iJ q oq~ (9221)

DоЫli 5то opet jednu kvadratnu formu Zamjena u (9219) 11 uzimiddot manjem u obzir da je q1 ds = dql q2 ds dq2 dobije 5е

1 (02 r а д2 r с2 r 2) h = - -2 n dql + 2 n dq1 dq2 + -3 n dq2 bull

2 oq Oql0Q2 Oq2 (9222)

Uvodenjem oznaka д2

-2 bull 0== L (ql q2) dql

д2

O=M(ql q2) д ql д q2 д2

~amiddoto=N(ql q2) dqa

doblfe зе za to rastojanje ovakav izraz

Izraz u zagradi

1 а 2 h = 2 (L dq +2М dql dq2+ N dqa)

1 h = - (L dul +2M du dv+N dv2)

2

L dq~+2M dqt dq2+N dq~

naziva зе druga kvadratna fUndaтeпtalna огта па povrsectni

277

(9223)

(9224)

(9224)

(9225)

Prema tome druga fundamentalna kvadratna forma па povr~ini jed naka je dvostrukom normalnom rastojanju tacke В (koja je beskonafho blizu ta~ki А) od tangencijalne ravni u tatki А

1 оуа je forma kvadratna u odnosu па diferencijale kооrdiпаtа Sada femo роtrаШ vezu medu proizvodom d r d о i drugom fundamentalnom kvadra1nom formom

Pofi femo od USlOV8 normalnosti vektora о i vektora д i д r д~ д~

Qnda je д д

0- =0 0- =0 д ql д q2

(9226)

Diferencirajmo оуе middotjedna~jne 1gt0 qt

дп д д2 - +0-2 =0

д qt д qt dqa

до д д2 --+0 =0 д ql д q д q2 д ql

(9221а)

д О bull д r + о д2 r о д q2 d ql д ql д q2

до д д2 -middot-+Пmiddot--~ dq dq) dq~

(9227Ь)

278

ра temo uporedenjem за (9223) dob~ti

дп tJr -middot-=-L dqs dql

дп tJr --middot-=-М д ql д qe

дп tJr __ о = -N tJq д q

Uzimajuti s druge strane

middottJr tJr dr= -dql + -dq

д ql д q

dn дп dn-dql+-middot dq

д ql tJq

i medu8obno mnoteti doblfe se

tJr дп J tJr дп drmiddot ап = --dУI + --dqedql +

д ql д ql д q2 д ql

tJr дп iJr дп 2 + -middot-dql dqa+-middot- dq2

д ql д qa д qg д qa

Kori~tenjem (9228) dolaz зе do relacije

Ldq~+2 М dql dqs+N dtfa= -dr middotdn

(9228)

(9229

Dakle druga fundamentalna kvadratna forma па povr~ini jednaka je negativnoj vrijednosti skalarnog proizvoda vektora diferencijala radijusshyvektora i vektora diferencijala orta normale u posmatranoj ta~ki

Uzimanjem kpordinata и i оуа relacija ima оЫт

L аu2 + 2 М du аО + N dv = - d r d п (9229)

Interesantno je navesti da se doЫva jo~ jedna kvadratna forma kao izraz ха kvadr8t ugla medu tangencijalnim ravnima u ta~kama А i 8 koje З па beskonacno malom medusobnom rastojanju

Nacrtajmo te tangencijalne ravni (sl 92-3) Те dvije rivni zahvataju neki ugao koji temo oznaciti sa J а Onda je to i Ug80 medu normalom u tacki А i normalorn u tatki В Iz s1ike 92-4 se odmah vidi da je

I J n I = I n I J -р

Kako je n ort blte I n 1= 1 ра je

I Jпl=J-р ш

J-р=IJпlmiddot (9230)

276

Sada сето prici izracunavanju toga rastojanja h

ОzпаCiшо 5а n ort normale па povr8ini u tacki А Navedena IJrijen tacija neka bude роzШvпа 8to je stvar dogovora Onda je h pozitivno ako je па istoj strani od tangencijalne ravni kao i taj pozitivni 5mjer n а пеgаtivпо ako je па 5uрrоtпоj strani

Опdа je prema sl 92-2 --+ --+ --+ --+

Ar=AB =AC~CB=AC+hn

Zamjena u (9218) daje

--+ 1 AC+hn= rДs + - 1(lt1s)2+ bullbullbull

2

- Pomno~imo ovu jednacinu 5kаlаrпо ortom n Kako je АС 1- n а isto

tako r 1- n to се prvi clan па Iijevoj 5trапi i prvi сlап па dеsпоj 5trani роsЩе mno~enja ЫН jednaki пuli ра 5е doblva (n n = 1)

1 h = 2 rmiddotn(lt1s)2+ (9219)

Оуа] izraz pokazuje da je rаstоjlпjе h Ье5kопаспо mala ve1icina drugog reda Оgrапiсiсето se па оуа] паvеdепi Сlап Ovdje je glavno da 5е izrасuпа d rugi izvod r

K8ko je

Ысе дll r 2 д2 r д r д2 r r = --2 ql + ql q + ---- ql + qi ql +

oql oq13q2 (j~ql OqOql

(j2 r 2 д r + --3 q2+ - q2

оqз oq (9220)

V kt or or I t l к k е orl - 1 -- 118 aze 5е u angenclJa по] ravnl а о 5U prema д q1 д q2

tome- поrmаlпi па ortu n to se 5kalarnim тпоtепjеm 5а n dobiva

bull 02 rз 02 r д2 r 2 rmiddotn == -ПЧl+ 2 nql q2 + ---middotnqa

iJq~ д q1 iJ q oq~ (9221)

DоЫli 5то opet jednu kvadratnu formu Zamjena u (9219) 11 uzimiddot manjem u obzir da je q1 ds = dql q2 ds dq2 dobije 5е

1 (02 r а д2 r с2 r 2) h = - -2 n dql + 2 n dq1 dq2 + -3 n dq2 bull

2 oq Oql0Q2 Oq2 (9222)

Uvodenjem oznaka д2

-2 bull 0== L (ql q2) dql

д2

O=M(ql q2) д ql д q2 д2

~amiddoto=N(ql q2) dqa

doblfe зе za to rastojanje ovakav izraz

Izraz u zagradi

1 а 2 h = 2 (L dq +2М dql dq2+ N dqa)

1 h = - (L dul +2M du dv+N dv2)

2

L dq~+2M dqt dq2+N dq~

naziva зе druga kvadratna fUndaтeпtalna огта па povrsectni

277

(9223)

(9224)

(9224)

(9225)

Prema tome druga fundamentalna kvadratna forma па povr~ini jed naka je dvostrukom normalnom rastojanju tacke В (koja je beskonafho blizu ta~ki А) od tangencijalne ravni u tatki А

1 оуа je forma kvadratna u odnosu па diferencijale kооrdiпаtа Sada femo роtrаШ vezu medu proizvodom d r d о i drugom fundamentalnom kvadra1nom formom

Pofi femo od USlOV8 normalnosti vektora о i vektora д i д r д~ д~

Qnda je д д

0- =0 0- =0 д ql д q2

(9226)

Diferencirajmo оуе middotjedna~jne 1gt0 qt

дп д д2 - +0-2 =0

д qt д qt dqa

до д д2 --+0 =0 д ql д q д q2 д ql

(9221а)

д О bull д r + о д2 r о д q2 d ql д ql д q2

до д д2 -middot-+Пmiddot--~ dq dq) dq~

(9227Ь)

278

ра temo uporedenjem за (9223) dob~ti

дп tJr -middot-=-L dqs dql

дп tJr --middot-=-М д ql д qe

дп tJr __ о = -N tJq д q

Uzimajuti s druge strane

middottJr tJr dr= -dql + -dq

д ql д q

dn дп dn-dql+-middot dq

д ql tJq

i medu8obno mnoteti doblfe se

tJr дп J tJr дп drmiddot ап = --dУI + --dqedql +

д ql д ql д q2 д ql

tJr дп iJr дп 2 + -middot-dql dqa+-middot- dq2

д ql д qa д qg д qa

Kori~tenjem (9228) dolaz зе do relacije

Ldq~+2 М dql dqs+N dtfa= -dr middotdn

(9228)

(9229

Dakle druga fundamentalna kvadratna forma па povr~ini jednaka je negativnoj vrijednosti skalarnog proizvoda vektora diferencijala radijusshyvektora i vektora diferencijala orta normale u posmatranoj ta~ki

Uzimanjem kpordinata и i оуа relacija ima оЫт

L аu2 + 2 М du аО + N dv = - d r d п (9229)

Interesantno je navesti da se doЫva jo~ jedna kvadratna forma kao izraz ха kvadr8t ugla medu tangencijalnim ravnima u ta~kama А i 8 koje З па beskonacno malom medusobnom rastojanju

Nacrtajmo te tangencijalne ravni (sl 92-3) Те dvije rivni zahvataju neki ugao koji temo oznaciti sa J а Onda je to i Ug80 medu normalom u tacki А i normalorn u tatki В Iz s1ike 92-4 se odmah vidi da je

I J n I = I n I J -р

Kako je n ort blte I n 1= 1 ра je

I Jпl=J-р ш

J-р=IJпlmiddot (9230)

Uvodenjem oznaka д2

-2 bull 0== L (ql q2) dql

д2

O=M(ql q2) д ql д q2 д2

~amiddoto=N(ql q2) dqa

doblfe зе za to rastojanje ovakav izraz

Izraz u zagradi

1 а 2 h = 2 (L dq +2М dql dq2+ N dqa)

1 h = - (L dul +2M du dv+N dv2)

2

L dq~+2M dqt dq2+N dq~

naziva зе druga kvadratna fUndaтeпtalna огта па povrsectni

277

(9223)

(9224)

(9224)

(9225)

Prema tome druga fundamentalna kvadratna forma па povr~ini jed naka je dvostrukom normalnom rastojanju tacke В (koja je beskonafho blizu ta~ki А) od tangencijalne ravni u tatki А

1 оуа je forma kvadratna u odnosu па diferencijale kооrdiпаtа Sada femo роtrаШ vezu medu proizvodom d r d о i drugom fundamentalnom kvadra1nom formom

Pofi femo od USlOV8 normalnosti vektora о i vektora д i д r д~ д~

Qnda je д д

0- =0 0- =0 д ql д q2

(9226)

Diferencirajmo оуе middotjedna~jne 1gt0 qt

дп д д2 - +0-2 =0

д qt д qt dqa

до д д2 --+0 =0 д ql д q д q2 д ql

(9221а)

д О bull д r + о д2 r о д q2 d ql д ql д q2

до д д2 -middot-+Пmiddot--~ dq dq) dq~

(9227Ь)

278

ра temo uporedenjem за (9223) dob~ti

дп tJr -middot-=-L dqs dql

дп tJr --middot-=-М д ql д qe

дп tJr __ о = -N tJq д q

Uzimajuti s druge strane

middottJr tJr dr= -dql + -dq

д ql д q

dn дп dn-dql+-middot dq

д ql tJq

i medu8obno mnoteti doblfe se

tJr дп J tJr дп drmiddot ап = --dУI + --dqedql +

д ql д ql д q2 д ql

tJr дп iJr дп 2 + -middot-dql dqa+-middot- dq2

д ql д qa д qg д qa

Kori~tenjem (9228) dolaz зе do relacije

Ldq~+2 М dql dqs+N dtfa= -dr middotdn

(9228)

(9229

Dakle druga fundamentalna kvadratna forma па povr~ini jednaka je negativnoj vrijednosti skalarnog proizvoda vektora diferencijala radijusshyvektora i vektora diferencijala orta normale u posmatranoj ta~ki

Uzimanjem kpordinata и i оуа relacija ima оЫт

L аu2 + 2 М du аО + N dv = - d r d п (9229)

Interesantno je navesti da se doЫva jo~ jedna kvadratna forma kao izraz ха kvadr8t ugla medu tangencijalnim ravnima u ta~kama А i 8 koje З па beskonacno malom medusobnom rastojanju

Nacrtajmo te tangencijalne ravni (sl 92-3) Те dvije rivni zahvataju neki ugao koji temo oznaciti sa J а Onda je to i Ug80 medu normalom u tacki А i normalorn u tatki В Iz s1ike 92-4 se odmah vidi da je

I J n I = I n I J -р

Kako je n ort blte I n 1= 1 ра je

I Jпl=J-р ш

J-р=IJпlmiddot (9230)

278

ра temo uporedenjem за (9223) dob~ti

дп tJr -middot-=-L dqs dql

дп tJr --middot-=-М д ql д qe

дп tJr __ о = -N tJq д q

Uzimajuti s druge strane

middottJr tJr dr= -dql + -dq

д ql д q

dn дп dn-dql+-middot dq

д ql tJq

i medu8obno mnoteti doblfe se

tJr дп J tJr дп drmiddot ап = --dУI + --dqedql +

д ql д ql д q2 д ql

tJr дп iJr дп 2 + -middot-dql dqa+-middot- dq2

д ql д qa д qg д qa

Kori~tenjem (9228) dolaz зе do relacije

Ldq~+2 М dql dqs+N dtfa= -dr middotdn

(9228)

(9229

Dakle druga fundamentalna kvadratna forma па povr~ini jednaka je negativnoj vrijednosti skalarnog proizvoda vektora diferencijala radijusshyvektora i vektora diferencijala orta normale u posmatranoj ta~ki

Uzimanjem kpordinata и i оуа relacija ima оЫт

L аu2 + 2 М du аО + N dv = - d r d п (9229)

Interesantno je navesti da se doЫva jo~ jedna kvadratna forma kao izraz ха kvadr8t ugla medu tangencijalnim ravnima u ta~kama А i 8 koje З па beskonacno malom medusobnom rastojanju

Nacrtajmo te tangencijalne ravni (sl 92-3) Те dvije rivni zahvataju neki ugao koji temo oznaciti sa J а Onda je to i Ug80 medu normalom u tacki А i normalorn u tatki В Iz s1ike 92-4 se odmah vidi da je

I J n I = I n I J -р

Kako je n ort blte I n 1= 1 ра je

I Jпl=J-р ш

J-р=IJпlmiddot (9230)

Odavde je

ш dqgt Idnl

d (dn)2

5192-3

279

(9231)

Рсета tome za nalatenje kvadrata ugla medu tim tangencijalnim Savnima treba naci kvadrat vektora d п

Kako je

Ысе

(dn)2 = (дп)а dq~ + 2 дп bull дп dql dq2 + (_~_I)a dq~ д ql д ql д q2 д q1

Као i kod рсуе kvadratne forme uvedimo analogne oznake

ili

( =e(qll Ч2) дп дп -д- д-- = f(qll q2) (9232) Ч q

(- =g(qll q) I дП)2

д Ч2

Onda se doblva d 2 = е dq~ + 2 f dql dq~ + g dq~

dqgt2=edu2 +2fdudv+gdv2 Uп)2

(9231)

n

(9233)

(9233)

Ovaj izraz se naziva treea fundamenfalna kvadratna forma па porsini Реета tome imaju зе sljedete vrijednosti

280

prva fundamentalna kvadratna lorma

ds2 = (d r)2

druga fundamentalna kvadratna forma

h drmiddotdn

treca fundamentalna kvadratna forma

Prva prefsfaVja kvadrat diferencijola vekfora pZojo treca kvadrat dierencijaa orta погmое а druga proizVQd tih diferencijaa (sa obrnutim znokom)

Napominjemo da je orijentacija norma18 prema tangencijalnim Tavnima i pov~sinama biJa Usvojena proizvoljno sto пе mijenja sustinu ovih rezulshylata i relacija

Zadaci

1 Dokazati da je u generalisanim (krivoliniskim) kооrdiпаtamа rotor vektora v dat determinantom

~ -~ -~ Н2 Нз На Н1 Н1 Н2

rotv= д д д

д ql Oq2 дqз

I Vt Н2 V 2 НЗ Va

gdje зп indeksima 1 2 3 oznacene tri koordinate odgovarajucih velicina

2 Jivesti redom (s8mo5talno) formule za

grad и div F rot F i V2 U

U сШпdгiспоm koordinatnom sistemu 58 kоогdiпаtаmа qI Z

Odg ди е д U ди

grad U = V U е1 + J - + еа bull дг г д~ Oz

[У (874)

dmiddot F F 1 д ( Р) 1 д Р д F а у = v = - г 1 + - --- + --

r дг г д ~ Oz [У (884)

rotF=vxF=e1(~ jFз ~f~_) + г дер Oz

+ е2 (дР1 _ _ дFз ) + ез (дt2 _ 1 дР1 ) Oz дг дг г Dql

[У (894) J

281

[У (903)]

gdje su iпdеk5i 1 2 3 uzeti redom u оdпоsu па (u izvodenjima je bilo р) ер i z

з Izvesti (sаmоstаlпо) formule za iste izraze u sfеrпоm koordinatnom sistemu 5а kооrdiпаtаmа ср

Odg

ди е2 ди е ди gradU=vU =el -- + - -- + -~- --

д д е siп в д ер [у (875)]

div F == v F = 1 д (2 Р) + _1_ ~ (Р siп 6) + 1 д Рamp д IO 8 д в SIП 6 д ер [у (885)]

rot F == v х Р = ~ [~(Fз siп 8) _ д Р2 ] + SIO е де bull д ер

+e2[_~_ дР -~(pamp)]+e(~(P2)- дР1 ] у(895) SIO 6 д ер д д д е

v2U ==bU== - - 2-- + - SI08-- + -- 1 д( ди) 1 д( ди) 1 д2 и 2 д д 2 siп 8 д 8 д 6 1 siп2f~ д ер2

gdje su indeksi 1 2 3 uzeti redom u odnosu па в i [v (904)]

4 Dati зu izrazi

L = ih (z ~ - у ~) ду дz

LY=ih(X ~ z~) дz дх

Lz==ih У -Х- ( д д) дж ду

gdje je i = =1 а h kопstапta Dokazati da u sfernom koordinatnom sistemu ti izrazi dobivaju oblike

L = -lh (sin д + cot 6 соз ер ~) bull де дер

L y == - ih (С08 ер ~ - cot 6 siп ep~) д 6 дер

L= ih д bull дер

280

prva fundamentalna kvadratna lorma

ds2 = (d r)2

druga fundamentalna kvadratna forma

h drmiddotdn

treca fundamentalna kvadratna forma

Prva prefsfaVja kvadrat diferencijola vekfora pZojo treca kvadrat dierencijaa orta погmое а druga proizVQd tih diferencijaa (sa obrnutim znokom)

Napominjemo da je orijentacija norma18 prema tangencijalnim Tavnima i pov~sinama biJa Usvojena proizvoljno sto пе mijenja sustinu ovih rezulshylata i relacija

Zadaci

1 Dokazati da je u generalisanim (krivoliniskim) kооrdiпаtamа rotor vektora v dat determinantom

~ -~ -~ Н2 Нз На Н1 Н1 Н2

rotv= д д д

д ql Oq2 дqз

I Vt Н2 V 2 НЗ Va

gdje зп indeksima 1 2 3 oznacene tri koordinate odgovarajucih velicina

2 Jivesti redom (s8mo5talno) formule za

grad и div F rot F i V2 U

U сШпdгiспоm koordinatnom sistemu 58 kоогdiпаtаmа qI Z

Odg ди е д U ди

grad U = V U е1 + J - + еа bull дг г д~ Oz

[У (874)

dmiddot F F 1 д ( Р) 1 д Р д F а у = v = - г 1 + - --- + --

r дг г д ~ Oz [У (884)

rotF=vxF=e1(~ jFз ~f~_) + г дер Oz

+ е2 (дР1 _ _ дFз ) + ез (дt2 _ 1 дР1 ) Oz дг дг г Dql

[У (894) J

281

[У (903)]

gdje su iпdеk5i 1 2 3 uzeti redom u оdпоsu па (u izvodenjima je bilo р) ер i z

з Izvesti (sаmоstаlпо) formule za iste izraze u sfеrпоm koordinatnom sistemu 5а kооrdiпаtаmа ср

Odg

ди е2 ди е ди gradU=vU =el -- + - -- + -~- --

д д е siп в д ер [у (875)]

div F == v F = 1 д (2 Р) + _1_ ~ (Р siп 6) + 1 д Рamp д IO 8 д в SIП 6 д ер [у (885)]

rot F == v х Р = ~ [~(Fз siп 8) _ д Р2 ] + SIO е де bull д ер

+e2[_~_ дР -~(pamp)]+e(~(P2)- дР1 ] у(895) SIO 6 д ер д д д е

v2U ==bU== - - 2-- + - SI08-- + -- 1 д( ди) 1 д( ди) 1 д2 и 2 д д 2 siп 8 д 8 д 6 1 siп2f~ д ер2

gdje su indeksi 1 2 3 uzeti redom u odnosu па в i [v (904)]

4 Dati зu izrazi

L = ih (z ~ - у ~) ду дz

LY=ih(X ~ z~) дz дх

Lz==ih У -Х- ( д д) дж ду

gdje je i = =1 а h kопstапta Dokazati da u sfernom koordinatnom sistemu ti izrazi dobivaju oblike

L = -lh (sin д + cot 6 соз ер ~) bull де дер

L y == - ih (С08 ер ~ - cot 6 siп ep~) д 6 дер

L= ih д bull дер

281

[У (903)]

gdje su iпdеk5i 1 2 3 uzeti redom u оdпоsu па (u izvodenjima je bilo р) ер i z

з Izvesti (sаmоstаlпо) formule za iste izraze u sfеrпоm koordinatnom sistemu 5а kооrdiпаtаmа ср

Odg

ди е2 ди е ди gradU=vU =el -- + - -- + -~- --

д д е siп в д ер [у (875)]

div F == v F = 1 д (2 Р) + _1_ ~ (Р siп 6) + 1 д Рamp д IO 8 д в SIП 6 д ер [у (885)]

rot F == v х Р = ~ [~(Fз siп 8) _ д Р2 ] + SIO е де bull д ер

+e2[_~_ дР -~(pamp)]+e(~(P2)- дР1 ] у(895) SIO 6 д ер д д д е

v2U ==bU== - - 2-- + - SI08-- + -- 1 д( ди) 1 д( ди) 1 д2 и 2 д д 2 siп 8 д 8 д 6 1 siп2f~ д ер2

gdje su indeksi 1 2 3 uzeti redom u odnosu па в i [v (904)]

4 Dati зu izrazi

L = ih (z ~ - у ~) ду дz

LY=ih(X ~ z~) дz дх

Lz==ih У -Х- ( д д) дж ду

gdje je i = =1 а h kопstапta Dokazati da u sfernom koordinatnom sistemu ti izrazi dobivaju oblike

L = -lh (sin д + cot 6 соз ер ~) bull де дер

L y == - ih (С08 ер ~ - cot 6 siп ep~) д 6 дер

L= ih д bull дер

282

5 Prema rezuJtatu prethodnog zadatka dokazati da je

gdje je v qgt = _1_ д (sin е _~_) + 1 д2

sin О д 6 д 6 sin26 д ер2

6 U jednacini

А2 1t + 2 (Е + ~) 1t = о 1а~tаvШ рrошjепljivu г od 6 i middot19 zamjenom 1t = R (г) У (6 ер)

Uputstvo Lapasov operator rzr8ziti u sfernim koordinatama

Odg r2 [-ltР R 2 dR ( А)] --+---+2E+-R R dr2 г dr г

- -- 5111 6 --- + -- 1 [1 д ( д У) 1 д2 У] у sin 6 д 6 д е sin2 6 д 192

7 Dokazati u krivoliniskim koordinatama da je div rot v =0

8 Takoderazviti i izraz div grad и

9 Izracunati V2 г4 bull Izvesti opstu formulul

Odg 20г2bull

10 Dokazati da jacina elektrostatifkog polja u lopti radijusa а u nekoj 1acki па otstojanju г od centra iznosi

4 Е = - пр r

middot3

gdje je р gustina rаvncчгjСiiIО rasporedenog elektriciteta

Uputstvo Poci od Poisson-ove jednacine Аи -411Р gdje Аи treha izгаzШ u sfernim koordinatama и пе zavisi od е i р Definitivno staviti Е= -grad U