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4+ε formas de entender la probabilidad libre
Octavio Arizmendi
CIMAT
Encuentro Nacional de Jovenes Investigadores en Matematicas,UNAM, 1.12.2015
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Espacios de Probabilidad No-Conmutativos
Definicion
1 Un espacio de probabilidad no-conmutativo es un par(A, φ) donde A es un algebra compleja y φ es un funcionallineal φ : A → C tal que φ(1A) = 1.
2 Una variable aleatoria no-conmutativa (o solo variablealeatoria) es un elemento a ∈ A.
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Espacios de Probabilidad No-Conmutativos
Definicion
1 Un espacio de probabilidad no-conmutativo es un par(A, φ) donde A es un algebra compleja y φ es un funcionallineal φ : A → C tal que φ(1A) = 1.
2 Una variable aleatoria no-conmutativa (o solo variablealeatoria) es un elemento a ∈ A.
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Espacios de Probabilidad No-Conmutativos
Ejemplo
1 Espacio de Probabilidad Clasico.
A1 := X +iY : X ,Y son v . aleatorias con soporte compacto
φ(X + iY ) = E (X ) + iE (Y ), E (X ) es el valor esperado.
2 Matrices.
A2 = Md(C)A : A es una matriz compleja de tamano d×d
φ(A) = tr(A) = 1d Traza(A).
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Espacios de Probabilidad No-Conmutativos
Ejemplo
1 Espacio de Probabilidad Clasico.
A1 := X +iY : X ,Y son v . aleatorias con soporte compacto
φ(X + iY ) = E (X ) + iE (Y ), E (X ) es el valor esperado.
2 Matrices.
A2 = Md(C)A : A es una matriz compleja de tamano d×d
φ(A) = tr(A) = 1d Traza(A).
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Espacios de Probabilidad No-Conmutativos
Ejemplo
(1+2) Matrices Aleatorias.
A3 = A : A es una matriz de d × d con entradas en A1
φd(A) =1
d
d∑i=1
E (aii ), A = (aij)di ,j=1 ∈ Md(A1).
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Espacios de Probabilidad No-Conmutativos
Ejemplo
Sea G un grupo discreto con identidad 1G y sea
CG := ∑g∈G
αgg | αg ∈ C, αg 6= 0 un numero finito de veces
φ(g) = 0 si g 6= 1G y φ(1G ) = 1 y extendemos linealmente.Entonces (CG , φ) es un ∗-espacio de probabilidad.
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Distribuciones
Definicion (Distribucion)
Si existe una medida de probabilidad µ sobre C con soportecompacto tal que∫
C
zkz lµ(dz) = φ(ak(a∗)l), para cadak , l ∈ N,
llamamos a µa := µ la distribucion de a.
Observacion
Si a es autoadjunto entonces µa es una medida con soporte en R.
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Distribuciones
Definicion (Distribucion)
Si existe una medida de probabilidad µ sobre C con soportecompacto tal que∫
C
zkz lµ(dz) = φ(ak(a∗)l), para cadak , l ∈ N,
llamamos a µa := µ la distribucion de a.
Observacion
Si a es autoadjunto entonces µa es una medida con soporte en R.
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Notacion
ϕ(x ; τ) densidad de la distribucion Gaussianϕ(x ; τ)dxmedia 0 y varianza 1 τ > 0
ϕ(x ; τ) = (2πτ)−1/2e−x2/(2τ), x ∈ R. (1)
Zτ es una v. a. con densidad ϕ(x ; τ). (Z = Z1).
w(x) densidad de la distribucion Semicırculo w(x)dx
w(x) =1
2π
√4− x2 |x | < 2.
S es una v. a. con densidad w(x).
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Independencia Clasica
Definicion
Una familia de subalgebras Ai , 1A ∈ Ai , i ∈ I en un espacio deprobabilidad non-conmutativo (A, φ) se dice independiente en elsentido tensorial si conmutan y para todosa1 ∈ Ai(1), ..., an ∈ Ai(n)
φ(a1a2...an) = φ(a1)φ(a2)...φ(an)
siempre que i(j) 6= i(k) para todo j 6= k.
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Teorema de Lımite Central
Theorem (de Moivre 1733)
Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no-conmutativo yseaXn∞n=1 una sucesion de variables aleatorias autoadjuntas i. d.con media 0 y varianza 1, independientes en el sentido tensorial.Entonces
lımN→∞
φ
((X1 + . . .+ XN√
N
)n)=
2k!2kk!
, si n = 2k,
0, si n = 2k + 1
Es decir, tenemos la convergencia
x1 + . . .+ xN√N
→ Z .
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Otras nociones de independencias
Existen otras nociones de independencia en proba noconmutativa?
Que es un nocion de independencia?
Para nosotos una nocion de independencia es una reglauniversal para calcular momentos mixtos (con ciertos quehacen la regla consistente).
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Otras nociones de independencias
Existen otras nociones de independencia en proba noconmutativa?
Que es un nocion de independencia?
Para nosotos una nocion de independencia es una reglauniversal para calcular momentos mixtos (con ciertos quehacen la regla consistente).
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Otras nociones de independencias
Existen otras nociones de independencia en proba noconmutativa?
Que es un nocion de independencia?
Para nosotos una nocion de independencia es una reglauniversal para calcular momentos mixtos (con ciertos quehacen la regla consistente).
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Independencia Libre
Definicion (Independencia Libre)
Una familia de subalgebras Ai , 1A ∈ Ai , i ∈ I en un espacio deprobabilidad non-conmutativo (A, φ) se dice libre si
φ(a1a2...an) = 0
siempre que φ(aj) = 0, aj ∈ Ai(j), y i(1) 6= i(2) 6= ... 6= i(n).
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Independencia Libre
Ejemplo
Sea G un grupo discreto con identidad 1G y sea A = CG .Los siguientes son equivalentes:1) g1 y g2 son libres algebraicamente. (sin relaciones entre ellos).2 ) Las algebras 〈g1〉 y 〈g2〉 son libres (con respecto a φ)
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Teorema de Lımite Central Libre
Teorema (Voiculescu 85)
Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no-conmutativo yseaXn∞n=1 una sucesion de variables aleatorias autoadjuntas i. d.con media 0 y varianza 1, independientes en el sentido libre.Entonces
lımN→∞
φ
((X1 + . . .+ XN√
N
)n)=
1
k+1
(2kk
), si n = 2k,
0, si n = 2k + 1
Es decir, tenemos la convergencia
X1 + . . .+ XN√N
→ S .
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Enfoque de Teora de Operadores
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Sea H un espacion de Hilbert (1) El espacio de Fock sobe se definecomo
F(H) := ⊕∞n=0H⊗n
donde H⊗0 es un espacio de Hilbert de dimension 1 llamada elvector vacıo CΩ .(2) The vector esatdo τH en BF(H) esta dado por
τH :=< T Ω,Ω >, T ∈ BF(H)
see lllama el estado vacıotation state. (3) For cada ε ∈ H eloperador l(ε) en B(F (H)) dado por la formula
l(ε)Ω = ε
l(ε)ε1 ⊗ · · · ⊗ εn = ε⊗ ε1 ⊗ · · · ⊗ εnse llama el operador de ceacion. Su adjunto l∗ se llama el operadorde aniquilacion.
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Espacio de Fock
Sea H un espacio de Hilbert y (B(F(H)), τH) el espacio deprobabilidad no conmutativo. Sea H1, ..,Hk una familia desubespacios de H tales que para i 6= j Hi es ortogonal con Hj . SeaAi la subalgebra de B(F (H)) generada por l(ε)|εinHi . Entonces,las subalgebras A1, ...,Ak son libres en (B(F (H)), τH).
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Enfoque combinatorio
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Cumulantes Libres
Definicion (Speicher)
Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no-conmutativo. Loscumulantes (kπ)π∈NC(n) son, para cada n ∈ N, π ∈ NC (n),funcionales multilineales kn : An → C tales que
φ(a1, ..., an) =∑
π∈NC(n)
kπ[a1, ..., an].
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Particiones que no se cruzan
Definicion
1 Una particion de un conjunto finito, totalmente ordenado S esuna descomposicion π = V1, ...,Vr de S en conjuntos novacıos Vi , (1 ≤ i ≤ r), llamados bloques, tales queV1 ∪ V2... ∪ Vr = S y Vi ∩ Vj = ∅. El numero de bloques π dedenota por |π|.
2 Una particion π = V1, ...,Vr se dice que no se cruza si paracada a < b < c < d ∈ S tales que a, c ∈ Vi y b, d ∈ Vj ,entonces Vj = Vi . Denotamos por NC (n) el conjunto de lasparticiones que no se cruzan de [n] := 1, 2, .., n.
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Particiones que no se cruzan
Particion que NO se cruza y particion que se cruza.
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Cumulantes Libres
Definicion (Speicher)
Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no-conmutativo. Loscumulantes (kπ)π∈NC(n) son, para cada n ∈ N, π ∈ NC (n),funcionales multilineales tales que
φ(a1, ..., an) =∑
π∈NC(n)
kπ[a1, ..., an].
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Cumulantes Libres
Si mn = φ(an) y kn = kn(a, ..., a) tenemos
m1 = k1
m2 = k2 + k21
m3 = k3 + 3k2k1 + k31
m4 = k4 + 4k3k1 + 2k22 + 6k2k2
1 + k41
m5 = k5 + 5k4k1 + 5k2k3 + 10k3k21 + 10k2
2k1 + 10k2k3 + k51 .
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Cumulantes Libres
m4 = k4 + 4k3k1 + 2k22 + 6k2k2
1 + k41
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Cumulantes Libres Mixtos
Teorema (Speicher)
Sea (A, φ) un espacio de probabilidad no conmutativo y sean(kn)n∈N sus cumulantes libres. Consideremos una familia desubalgebras (Ai )i∈I de A. Los siguientes son equivalentes
1 (Ai )i∈I son libres.
2 Para cualesquiera elementos aj ∈ Ai(j), (j = 1, ..., n) coni(1), ..., i(n) ∈ I tenemos que
kn(a1, ..., an) = 0
siempre que existen l , k con i(l) 6= i(k).
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Convolucion aditiva libre
Definicion
Sean µ, ν medidas de probabilidad sobre R, y a, b variablesaleatorias libres tales que µa = µ y µb = ν.La convolucion aditiva libre de µ y ν es la distribucion de a + b yse denota por µ ν.
Cumulantes libres:
kn(µ1 µ2) = kn(µ1) + kn(µ2)
kn(a1 + a2 + · · ·+ an) = kn(a1) + · · ·+ kn(an)
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Convolucion multiplicativa libre
Definicion
Sean µ, ν medidas de probabilidad sobre R+, y a, b variablesaleatorias libres tales que µa = µ y µb = ν.La convolucion multiplicativa libre de µ y ν es la distribucion dea1/2ba1/2 y se denota por µ ν.
Observacion
a1/2ba1/2 tiene los mismos momentos que ab, i.e.
φ((a1/2ba1/2)n) = φ((ab)n)
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Convolucion multiplicativa libre
Cumulantes Libres:
kn(µ1 µ2) =∑
π∈NC(n)
kπ(µ1)kK(π)(µ2)
donde K (π) es el complemento de Kreweras.
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Convolucion multiplicativa libre
k1(µ1 µ2) = k1(µ1)k1(µ2)
k2(µ1 µ2) = k2(µ1)k21 (µ2) + k2
1 (µ1)k2(µ2)
k3(µ1 µ2) = k3(µ1)k31 (µ2) + k3(µ1)k3
1 (µ2)
+3k2(µ1)k1(µ1)k2(µ2)k1(µ2)
Problema:
kn(µ1 · · · µk) = kn(a1a2a3 · · · ak) =?
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Convolucion multiplicativa libre
Consideremos la ecuacion
kn(ab) =∑
π∈NC(n)
kπ(a)kK(π)(b)
Observacion fundamental: Si dibujamos a π y a Kr(π) juntas, laparticion π ∪ Kr(π) ∈ NC (2n) es exactamente el complemento deKreweras de un particion con bloques de tamano 2.
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Convolucion multiplicativa libre
Consideremos la ecuacion
kn(ab) =∑
π∈NC(n)
kπ(a)kK(π)(b)
Observacion fundamental: Si dibujamos a π y a Kr(π) juntas, laparticion π ∪ Kr(π) ∈ NC (2n) es exactamente el complemento deKreweras de un particion con bloques de tamano 2.
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Convolucion multiplicativa libre
Consideremos la ecuacion
kn(ab) =∑
π∈NC(n)
kπ(a)kK(π)(b)
Observacion fundamental: Si dibujamos a π y a Kr(π) juntas, laparticion π ∪ Kr(π) ∈ NC (2n) es exactamente el complemento deKreweras de un particion con bloques de tamano 2.
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Convolucion multiplicativa libre
Consideremos la ecuacion
kn(ab) =∑
π∈NC2(2n)
kK(π)(a, b · · · , a, b)
Observacion fundamental: Si dibujamos a π y a Kr(π) juntas, laparticion π ∪ Kr(π) ∈ NC (2n) es exactamente el complemento deKreweras de un particion con bloques de tamano 2.
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Particiones k-divisibles y k-iguales
Definicion
1)Una particion π es k-divisible si el tamano de todos sus bloqueses un multiplo de k.2) Si todos los bloques son de tamano k,decimos que π es k-igual.3)Denotamos a las particiones k-divisibles que no se cruzan de knelementos por NC k(n) y al conjunto de particiones k-iguales queno se cruzan de kn elementos por NCk(n).
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Particiones k-divisibles y k-iguales
Una particion 3-igual y una particion 2-divisible de [12]
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Cumulantes de Productos
Teorema (Vargas-A. (2012))
Sean a1, . . . , ak ∈ (A, φ) variables aleatorias libres. Entonces lomomentos y cumulantes libres de a := a1 . . . ak estan dados por
κn(a) =∑
π∈NCk (n)
κKr(π)(a1, . . . , ak)
φ(an) =∑
π∈NC k (n)
κKr(π)(a1, . . . , ak)
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Particiones k-divisibles y k-iguales
Una particion 3-igual y su complemento de Kreweras dividido mod 3.
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Estimaciones de la norma de productos
Teorema (Kargin (2007, 2008), Vargas-A. (2012))
Sean σ, L > 0 dados. Existen constantes universales C , c > 0 talesque para todo k y cualesquiera µ1, . . . , µk medidad de probabilidadcon soporte sobre [0, L], E (µi ) = 1 y Var(µi ) > σ2, parai = 1, . . . , k, el supremo Lk del soporte de la medidaµ = µ1 · · · µk satisface
ck < Lk < Ck.
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Comportamiento asıntotico
En otras palabras, para variables aleatorias libres Xi tales que||X || < L ,E (Xi ) = 1, y Var(Xi ) > σ2, (no necesariamenteidenticamente distribuidas) tenemos un crecimiento de orden lineal
lım sup n−1||X1 · · · Xn|| < C
ylım ınf n−1||X1 · · · Xn|| > c > 0,
donde, para X ,Y v. aleatorias positivas, escribimosX Y := X 1/2YX 1/2.
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Divisibilidad Infinita
Definicion
Decimos que una medida µ es infinitamente divisible con respectoa si para toda n ∈ N existe µn tal que
µ = µn · · · µn︸ ︷︷ ︸n times
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Divisibilidad Infinita y Cumulantes
Teorema
Sea µun medida de probabildiad en R determinada por momentose − infinitamente divisible. Entonces la sucesion de cumulantescon respecto a es condicionalmente positiva definida.
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Probabilidad Libre y Analisis Armonico
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Convolucion aditiva libre
Sea Gµ : C+ → C− la transformada de Cauchy de µ ∈M:
Gµ(z) =
∫R
µ(dx)
z − x.
Transformada de Cauchy recıproca: Fµ(z) := 1Gµ(z)
Transformada de Voiculescu: φµ (z) = F−1µ (z)− z ,Para µ1 and µ2 dos medidas de probabilidad en R tenemos
φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)
Los cumulantes libre son los coeficientes κn = κn(µ) en laexpansion
φµ(z) =∞∑n=1
κnz1−n.
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Convolucion aditiva libre
Sea Gµ : C+ → C− la transformada de Cauchy de µ ∈M:
Gµ(z) =
∫R
µ(dx)
z − x.
Transformada de Cauchy recıproca: Fµ(z) := 1Gµ(z)
Transformada de Voiculescu: φµ (z) = F−1µ (z)− z ,Para µ1 and µ2 dos medidas de probabilidad en R tenemos
φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)
Los cumulantes libre son los coeficientes κn = κn(µ) en laexpansion
φµ(z) =∞∑n=1
κnz1−n.
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Convolucion aditiva libre
Sea Gµ : C+ → C− la transformada de Cauchy de µ ∈M:
Gµ(z) =
∫R
µ(dx)
z − x.
Transformada de Cauchy recıproca: Fµ(z) := 1Gµ(z)
Transformada de Voiculescu: φµ (z) = F−1µ (z)− z ,
Para µ1 and µ2 dos medidas de probabilidad en R tenemos
φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)
Los cumulantes libre son los coeficientes κn = κn(µ) en laexpansion
φµ(z) =∞∑n=1
κnz1−n.
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Convolucion aditiva libre
Sea Gµ : C+ → C− la transformada de Cauchy de µ ∈M:
Gµ(z) =
∫R
µ(dx)
z − x.
Transformada de Cauchy recıproca: Fµ(z) := 1Gµ(z)
Transformada de Voiculescu: φµ (z) = F−1µ (z)− z ,Para µ1 and µ2 dos medidas de probabilidad en R tenemos
φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)
Los cumulantes libre son los coeficientes κn = κn(µ) en laexpansion
φµ(z) =∞∑n=1
κnz1−n.
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Convolucion aditiva libre
Sea Gµ : C+ → C− la transformada de Cauchy de µ ∈M:
Gµ(z) =
∫R
µ(dx)
z − x.
Transformada de Cauchy recıproca: Fµ(z) := 1Gµ(z)
Transformada de Voiculescu: φµ (z) = F−1µ (z)− z ,Para µ1 and µ2 dos medidas de probabilidad en R tenemos
φµ1µ2(z) = φµ1(z) + φµ2(z)
Los cumulantes libre son los coeficientes κn = κn(µ) en laexpansion
φµ(z) =∞∑n=1
κnz1−n.
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Divisibilidad Infinita
Definicion
Decimos que una medida µ es infinitamente divisible con respectoa si para toda n ∈ N existe µn tal que
µ = µn · · · µn︸ ︷︷ ︸n times
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Bercovici and Voiculescu probaron que la transformada deVoiculuescu tiene la siquiente representacion de Levy-Kintchine
φµ(z) = γ +
∫R
1 + tz
z − tσ(dt), z ∈ C+. (2)
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Definicion
Una medida de probabilidad µ se dice que esta en la clase IU siF−1µ , definida en un dominio Γα,β, tiene una continuacion anal’iticaque es univalente in C+.
La importancia de este lema es la siguiente
Teorema
(AH) Si µ ∈ IU entonces µ est infininitamente divisible en elsentido libre.
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Medidas en ID(∗) ∩ ID() :
1 The Cauchy distribution
c(dx) =1
π(1 + x2)1R(x) dx ,
2 (AHS) The chi-square distribution 1√πx
e−x1[0,∞)(x) dx .
3 (AH) The positive Boolean stable law with stability indexα ∈ (0, 12 ]
dbαdx
=1π sin(απ)xα−1
x2α + 2cos(απ)xα + 1, x > 0
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Measures which are in ID(∗) ∩ ID() :
1 (HB) For 0 < t ≤ 12 , the symmetric Meixner distributions
ρt(dx) :=4t
2πΓ(2t)|Γ(t + ix)|2 dx , x ∈ R
2 (HB) The logistic distribution
µ2(dx) =π
2 cosh2(πx)dx , x ∈ R.
3 (H) For p > 3/2, the gamma distribution γp4 (H) The Student distribution tn, n=1,2,3...
5 (AHS,H) For n = 1, 2, 3, · · · , the F -distribution with density
f (x) :=1
B(1/2, n/2)
1
(nx)1/2
(1 +
x
n
)−(1+n)/2, x > 0.
Una pregunta aun abierta es dar una caracterizacion general de lainterseccion entre medidas infinitamente divisibles cl’asicas y libres.
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Teorema
(A. Hasebe) Sea Bα,ρ una variable aleatoria que sigue una leyestable bα,ρ, y sea X cualquier variable alaeatoria positivaindependiente de Bα,ρ. Si α ∈ (0, 1/2] o si α ≤ 2/3, ρ = 1/2,entoncas la variable aleatoria XBα,ρ pertenece a las clases id() yid(∗).
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Probabilidad Libre y Matrices Aleatorias
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Independencia Asintotica Libre
Ejemplo (Voiculescu 1991)
Matrices Aleatorias.
1 Sean Ad y Bd matrices deterministicas y Ud un Haar Unitario.Entonces Ad y UdBdU∗d son asıntoticamente libres.
2 Sean G1 y G2 matrices hermitianas con entradasGaussianas.Entonces G1 y G2 son asintoticamente libres.
Recordatorio: Por un Haar Unitario nos referimos a escoger con lamedida de Haar un elemento en el grupo compacto
Ud = Ud : Ud unitario
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Independencia Asintotica Libre
Ejemplo (Voiculescu 1991)
Matrices Aleatorias.
1 Sean Ad y Bd matrices deterministicas y Ud un Haar Unitario.Entonces Ad y UdBdU∗d son asıntoticamente libres.
2 Sean G1 y G2 matrices hermitianas con entradasGaussianas.Entonces G1 y G2 son asintoticamente libres.
Recordatorio: Por un Haar Unitario nos referimos a escoger con lamedida de Haar un elemento en el grupo compacto
Ud = Ud : Ud unitario
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Free Multiplication 1
W 21 W 2
2
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Free Multiplication2
W1W 22
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Free Multiplication 3
(W 21 − I )W 2
2
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Free Commutator
W1W2 −W2W1
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Free Addition of Bernoullis
UB1U∗ + B2
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Free Multiplication 4
(UB1U∗ + B2)W 2
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Free Projection
(UB1U∗ + B2)P
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Matrices con Bloques Modificados (con C. Vargas y I.Nechita
Sea W una matriz dn × dn autoadjunta
y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjuntaConsideramos la matrix
W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).
Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).W Wishart y ϕ ”planar”W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).
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Matrices con Bloques Modificados (con C. Vargas y I.Nechita
Sea W una matriz dn × dn autoadjunta y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjunta
Consideramos la matrix
W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).
Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).W Wishart y ϕ ”planar”W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).
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Matrices con Bloques Modificados (con C. Vargas y I.Nechita
Sea W una matriz dn × dn autoadjunta y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjuntaConsideramos la matrix
W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).
Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).W Wishart y ϕ ”planar”W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).
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Matrices con Bloques Modificados (con C. Vargas y I.Nechita
Sea W una matriz dn × dn autoadjunta y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjuntaConsideramos la matrix
W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).
Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.
W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).W Wishart y ϕ ”planar”W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).
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Matrices con Bloques Modificados (con C. Vargas y I.Nechita
Sea W una matriz dn × dn autoadjunta y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjuntaConsideramos la matrix
W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).
Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).
W Wishart y ϕ ”planar”W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).
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Matrices con Bloques Modificados (con C. Vargas y I.Nechita
Sea W una matriz dn × dn autoadjunta y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjuntaConsideramos la matrix
W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).
Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).W Wishart y ϕ ”planar”
W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).
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Matrices con Bloques Modificados (con C. Vargas y I.Nechita
Sea W una matriz dn × dn autoadjunta y ϕ :Mn(C)→Mn(C)una transformacion lineal autoadjuntaConsideramos la matrix
W ϕ := (idd ⊗ ϕ)(W ).
Quermos entender la distribucion espectal de W ϕ.W Wishart y ϕ(A) = At (Aubrun 2012).W Wishart y ϕ ”planar”W ϕ → Poisson compuesta libre (Banica,Nechita 2012).
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Probabilidad Libre Valuada en Operadores
Definicion
An espacio de probabilidad no-conmutativo valuado enoperadores es una terna (M,E,B), donde M es un algebra,
B ⊆M es una subalgebra con la unidad de M, y E : M→ B esuna esperanza condicional.
1 E(bab′) = bE(a)b′
2 E(b) = b
3 E es completamente positivo.
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Probabilidad Libre Valuada en Operadores
Definicion
An espacio de probabilidad no-conmutativo valuado enoperadores es una terna (M,E,B), donde M es un algebra,B ⊆M es una subalgebra con la unidad de M, y E : M→ B esuna esperanza condicional.
1 E(bab′) = bE(a)b′
2 E(b) = b
3 E es completamente positivo.
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Probabilidad Libre Valuada en Operadores
Definicion
An espacio de probabilidad no-conmutativo valuado enoperadores es una terna (M,E,B), donde M es un algebra,B ⊆M es una subalgebra con la unidad de M, y E : M→ B esuna esperanza condicional.
1 E(bab′) = bE(a)b′
2 E(b) = b
3 E es completamente positivo.
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Ejemplos
Si (A, τ) es un espacio de probabilidad no-conmutativo (escalar),podemos considerar (M,E,B) , donde M = M2(C)⊗A
,B = M2(C) y
E :M → M2(C)(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)
)
o la matrices diagonales B = D2(C)
E :M → D2(C)(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) 0
0 τ(a4)
)
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Ejemplos
Si (A, τ) es un espacio de probabilidad no-conmutativo (escalar),podemos considerar (M,E,B) , donde M = M2(C)⊗A,B = M2(C) y
E :M → M2(C)
(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)
)
o la matrices diagonales B = D2(C)
E :M → D2(C)(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) 0
0 τ(a4)
)
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Ejemplos
Si (A, τ) es un espacio de probabilidad no-conmutativo (escalar),podemos considerar (M,E,B) , donde M = M2(C)⊗A,B = M2(C) y
E :M → M2(C)(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)
)
o la matrices diagonales B = D2(C)
E :M → D2(C)(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) 0
0 τ(a4)
)
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Ejemplos
Si (A, τ) es un espacio de probabilidad no-conmutativo (escalar),podemos considerar (M,E,B) , donde M = M2(C)⊗A,B = M2(C) y
E :M → M2(C)(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)
)
o la matrices diagonales B = D2(C)
E :M → D2(C)
(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) 0
0 τ(a4)
)
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Ejemplos
Si (A, τ) es un espacio de probabilidad no-conmutativo (escalar),podemos considerar (M,E,B) , donde M = M2(C)⊗A,B = M2(C) y
E :M → M2(C)(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) τ(a2)τ(a3) τ(a4)
)
o la matrices diagonales B = D2(C)
E :M → D2(C)(a1 a2a3 a4
)7→
(τ(a1) 0
0 τ(a4)
)
Octavio Arizmendi 4+ε formas de entender la probabilidad libre
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Transformada de Cauchy valuada en operadores
En el caso de de distribuciones valuadas en operatores latranformada de Cauchy-Stieltjes esta dada de la siguiente forma:
Para un xx fijo x ∈M, definimos Gx(b) = E[(b − x)−1
]para
todo b ∈ B de tal forma que b − x sea invertible en M.
Si tambien tenemos una estructura escalar (M,E,B), tal queτ E = τ , entonces
τ((z1B − x)−1) = τ(E((z1B − x)−1))
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Transformada de Cauchy valuada en operadores
En el caso de de distribuciones valuadas en operatores latranformada de Cauchy-Stieltjes esta dada de la siguiente forma:
Para un xx fijo x ∈M, definimos Gx(b) = E[(b − x)−1
]para
todo b ∈ B de tal forma que b − x sea invertible en M.Si tambien tenemos una estructura escalar (M,E,B), tal queτ E = τ , entonces
τ((z1B − x)−1) = τ(E((z1B − x)−1))
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La ventaja del ultimo enfoque es que el problema se reduce acalcular las Transformadas de Cauchy valuadas en (Mm(C): Gf ∗f yGw .
Gf ∗f is facil :
Gf ∗f (b) = E((f ∗f − b)−1) = trn ⊗ idm((f ∗f − In ⊗ b)−1)
En muchos casos w tiene una formula algebraica , y podemoscalcular su tranformada de Cauchy esencialmente de la mismaforma que la transformada de Cauchy escalar de w
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La ventaja del ultimo enfoque es que el problema se reduce acalcular las Transformadas de Cauchy valuadas en (Mm(C): Gf ∗f yGw .Gf ∗f is facil :
Gf ∗f (b) = E((f ∗f − b)−1) = trn ⊗ idm((f ∗f − In ⊗ b)−1)
En muchos casos w tiene una formula algebraica , y podemoscalcular su tranformada de Cauchy esencialmente de la mismaforma que la transformada de Cauchy escalar de w
Octavio Arizmendi 4+ε formas de entender la probabilidad libre
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La ventaja del ultimo enfoque es que el problema se reduce acalcular las Transformadas de Cauchy valuadas en (Mm(C): Gf ∗f yGw .Gf ∗f is facil :
Gf ∗f (b) = E((f ∗f − b)−1) = trn ⊗ idm((f ∗f − In ⊗ b)−1)
En muchos casos w tiene una formula algebraica , y podemoscalcular su tranformada de Cauchy esencialmente de la mismaforma que la transformada de Cauchy escalar de w
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La ventaja del ultimo enfoque es que el problema se reduce acalcular las Transformadas de Cauchy valuadas en (Mm(C): Gf ∗f yGw .Gf ∗f is facil :
Gf ∗f (b) = E((f ∗f − b)−1) = trn ⊗ idm((f ∗f − In ⊗ b)−1)
En muchos casos w tiene una formula algebraica , y podemoscalcular su tranformada de Cauchy esencialmente de la mismaforma que la transformada de Cauchy escalar de w
Octavio Arizmendi 4+ε formas de entender la probabilidad libre
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Figura: Block-modified Wigner matrix
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Figura: Block-modified Wishart matrix
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Figura: Block-modification of a rotated arcsine matrix
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ε de Graficas.
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ε de Graficas.
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Teorema
Sea G = (V ,E , e) una grafica localmente finita y sea k ∈ N. ParaN ≥ 1 y k ≥ 1 y sea G [∗N,k] la grafica k-distantedeG ∗N = G ∗ · · · ∗ G (N-potencia del producto libre de gr) y A[∗N,k]
su matriz de adyacencia. Denotando por σ el numero de vecinos dee en la grafica G . Entonces la distribucion con respecto al estadovacıo de (Nσ)−k/2A[∗N,k] converge cuando N →∞ a ladistribucion de
Pk(s), (3)
donde Pk(s) es el Chebychev polynomial de grado k y s es unavariable aleatoria con distribuci’on semicircular
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Figura: Graph of A2 split in two partsA2 = A(2)d + dI
Octavio Arizmendi 4+ε formas de entender la probabilidad libre
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Gracias
Octavio Arizmendi 4+ε formas de entender la probabilidad libre
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Octavio Arizmendi 4+ε formas de entender la probabilidad libre
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Octavio Arizmendi 4+ε formas de entender la probabilidad libre
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