25.Drugi Njutnov zakon Proizvod izmeĎu mase materijalne ...polj.uns.ac.rs/~mehanika/8 kinematika i...

Sile su bukvalno sve sile

25.Drugi Njutnov zakon Proizvod izmeĎu mase materijalne tačke m i vektora

njenog ubrzanja jednak je vektorskoj sumi svih

sila koje dejstvuju na tačku: . iFam

a

iF

Drugi Njutnov zakon je vektorski zakon ali gotovo uvek,

on će biti projektovan na neke meĎusobno upravne

pravce kako bi se izvršila neka izračunavanja. Veoma

često su ti pravci, na koje se projektuje drugi Njutnov

zakon, ose nepokretnog pravouglog Dekartovog

koordinatnog sistema (Sl.1).

Za kružno kretanje, drugi

Njutnov zakon se projektuje na

tangentu i normalu prirodnog

koordinatnog sistema (Sl.2).

koje dejstvuju na materijalnu tačku, bilo da su one aktivne ili reakcije veza. iF

S obzirom da je u Dekartovom koordinatnom sistemu (kod ravanskih problema)

vektor ubrzanja tačke a vektor proizvoljne i-te silejyixa

,jYiXF iii

projekcije drugog Njutnovog zakona na kordinatne ose su: iFam

, iXxm . iYym

Ovakvi izrazi su skalarni (iz razloga što su projekcije vektora na ose skalari) i

veoma često će se vršiti njihovo integraljenje. U takvim slučajevima se projekcije

drugog Njutnovog zakona nazivaju i diferencijalnim jednačinama kretanja. To su

diferencijalne jednačine drugog reda, pošto su drugi izvodi najviši izvodi koji u

njima figurišu.

S obzirom da je kod ravanskih problema u prirodnom koordinatnom sistemu ve-

ktor ubrzanja tačke a vektor proizvoljne i-te sile00 nataa NT

,00 nFtFF iNiTi

projekcije drugog Njutnovog zakona na kordinatne ose su: iFam

, iTT Fam . iNN Fam

Ovde je iz kinematike potrebno znati da se tangencijalno ubrzanje dobija na

osnovu drugog izvoda lučne koordinate s po vremenu, odnosno, prvog izvoda

brzine po vremenu, a normalno ubrzanje , jednako je količniku kvadrata

brzine tačke i poluprečnika kruga, tj:

Ta

Na

.,22

R

s

R

VaVsa NT

TakoĎe je često važno da se zna da je veza izmeĎu

poluprečnika R, ugla u radijanima i dužine kružnog

luka s, nad tim uglom, odreĎena izrazom . Rs

26. Prvi zadatak dinamike tačke. Primer.

U prvom zadatku dinamike tačke poznato je kretanje, sa-

mim tim i ubrzanje (čije se projekcije dobijaju traženjem

izvoda od koordinata) a potrebno je da se odredi sila

(ovde se podrazumeva da samo jedna sila dejstvuje na materijalnu tačku mase

m) koja prouzrokuje zadato kretanje. U takvom slučaju projekcije vektorskog

drugog Njutnovog zakona na kordinatne ose imaju oblik: ,Xxm ,Yym

gde su X i Y projekcije tražene sile koje u potpunosti odreĎuju tu silu.

Primer 4.1 Kretanje materijalne tačke mase m = 1 kg, pod dejstvom sile ,

definisano je jednačinama:

tF

.cos2,sin2 2 tttytttx Odrediti silu ? tF

Prvi izvodi jednačina kretanja (projekcije brzine) su:

.sin2cos2,2cos2 ttttytttx

Prvi izvodi projekcija brzine (projekcije ubrzanja) su:

.cos2sin4,2sin2 ttttyttx

ttttY

ttX

cossin22

,1sin2

Konačno je:

jtYitXtF

.cossin221sin2 jtttit

27. Drugi zadatak dinamike tačke. Integracija diferencijalne jednačine

kretanja i određivanje reakcije veze za vezano kretanje materijalne tačke.

Ovde od sila, koja dejstvuje na tačku pri njenom kretanju. ima i je reacija veza.

U ovakvom slučaju drugog zadatka dinamike tačke kretanje treba odrediti na

osnovu one projekcije drugog Njutnovog zakona koja predstavlja diferencijalnu

jednačinu kretanja.

U primeru pravolinijskog vezanog

kretanja (Sl.1), gde je osa x usvo-

jena u pravcu kretanja projekcija

drugog Njutnovog zakona na x osu

dala bi diferencijalnu jednačinu kretanja, čijim bi se rešavanjem odredilo

kretanje , dok bi njegova projekcija na y osu dala algebarsku jednačinu iz

koje se može odrediti reakcija veze. Slično tome, u primeru kružnog vezanog

kretanja (Sl.2), projekcija drugog Njutnovog zakona na pravac tangente dao bi

diferencijalnu jednačinu kretanja, čijim bi se rešavanjem odredilo kretanje ,

dok bi njegova projekcija na pravac normale dala algebarsku jednačinu iz koje

se može odrediti reakcija veze.

tx

ts

Primer 4.2 Neka se materijalna tačka mase m kreće u desnu stranu po horizo-

ntalnoj hrapavoj podlozi pod dejstvom horizintalne, desno usmerene, sile ,

intenziteta gde su b i c poznate pozitivne konstante. Koeficijent

dinamičkog trenja klizanja je . Kretanje se, kao na slici 1 (prethodni slajd),

odvija duž x ose. Tačka je započela kretanje iz koordidatnog početka bez

početne brzine Odrediti: reakciju podloge u pravcu normale, diferencijalnu

jednačunu kretanja, zakon brzine i zakon puta .

F

2tctbF

tx

Njegova projekcija na osu y:

tx

Na slici je prikazan sistem sila koji dejstvuje

na materijalnu tačku pri njenom kretanju.

Drugi Njutnov zakon: .TNgmFam

.0 mgTmgNNmg

Njegova projekcija na osu x daje diferencija-

lnu jednačinu kretanja: .2ctbtmgxm

Početni uslovi:

,00 x .00 x

dtctbtmgxdmctbtmgdt

xdm 22

Konstanta , zbog .32

1

32

Ct

ct

btmgxm 01 C .00 x

32

32 t

m

ct

m

btgtx

2

43232

126232C

t

m

ct

m

btgxdt

t

m

ct

m

btgdx

Konstanta , zbog 02 C .00 x .1262

432 t

m

ct

m

btgtx

Primer 4.3 Neka se materijalna tačka mase m kreće po gla-

tkoj cilindričnoj povr-šini poluprečnika R, kao na slici, u

homogenom polju sile Zemljine teže. Tačka je započela kre-

tanje iz najnižeg položaja sa početnom brzinom intenziteta .0V

Uvesti ugaonu koordinatu za koju važi Rs

i na osnovu drugog Njutnovog zakona odrediti:

-diferencijlnu jednačinu kretanja po ,

-zavisnost , a samim tim i

-reakciju veze u funkciji ugla .

.V

Na slici prikazan je sistem sila koji dejstvuje na

materijalnu tačku pri njenom kretanju. Ovde je:

, RsV , RsaT.2

222

RR

R

R

VaN

Drugi Njutnov zakon daje .Ngmam

Njegova projekcija na pravac tangente daje

sledeću diferencijalnu jednačinu kretanja

.sinsin

R

g

dt

dmgmR

Jedan početni uslov, dobijen iz činjenice da je tačka

započela kretanje iz najnižeg položaja, je

.00000 Rs

Drugi početni uslov, dobijen iz činjenice da je tačka započela kretanje početnom

brzinom , je .000 00 RVVRs 0V

Za dobijanje zavisnosti , a zatim i , treba prvo levu stranu diferenci-

jalne jednačine transformisati na oblik

V

,

d

d

dt

d

d

d

dt

d

čime, nakon razdvajanja promenljivih, diferencijalna jednačina postaje

.sin dR

gd Sledi integracija, s obzirom da je za :0

R

V0

R

g

R

VCC

R

g

R

V

CR

g

dR

gd

2

2

0

2

2

0

2

20cos

2

1

cos2

sin

,2

cos2 2

2

02

R

g

R

V

R

g

cos1

22

2

0

R

g

R

V

.cos122

0 gRVRV

Projekcija drugog Njutnovog zakona na pravac normale daje sledeću jednačinu

,cos2 mgNmR

na osnovu koje se dalje dobija reakcija veze N u funkciji ugla

.2cos3

2

0 mgR

mVmgN

Početni uslov dobijen je

iz činjenice da je tačka započela

kretanje početnom brzinom .



kretanje iz koordinatnog početka.

Primer 4.4 Neka se materijalna tačka mase m

kreće niz glatku strmu ravan nagibnog ugla

pod dejstvom sile Zemljine teže. Tačka je

započela kretanje iz koordidatnog početka sa

početnom brzinom intenziteta . Odrediti:

zakon brzine , zakon puta i zavisnost

brzine od puta .

0V

tx tx xx

Drugi Njutnov zakon za kretanje materijalne tačke:

.Ngmam

Njegova projekcija na osu y, s obzirom

da nema ubrzanja u pravcu ose y, daje

.coscos0 mgNNmg

Njegova projekcija na osu x daje sledeću

diferencijalnu jednačinu kretanja

sinmgxm .sin gdt

xd

00 x

0V

00 Vx

jer je za

Prva i druga integracija diferencijalne jednačine kretanja, s obzirom na početne

uslove, daće zakon brzine i zakon puta : tx tx

1sinsinsin Ctgxdtgxddtgxd

Konstanta , zbog 01 VC 00 Vx

20

2

002

sinsinsin CtVt

gxdtVtgdxdtVtgdx

Konstanta , zbog 02 C 00x tVt

gtx 0

2

2sin

0sin Vtgtx

Zavisnost brzine od puta može biti dobijena na dva načina. xx

Jedan je eliminacija vremena t iz

dobijenih zakona i . tx tx

Prema drugom, treba prvo levu stranu dife-

rencijalne jednačine transformisati na oblik

0sin Vtgtx

sin0

g

Vxt

sinsin2

sin 00

2

0

g

VxV

g

Vxgx

,sin2

2

0

2

g

Vxx

xgVx sin2

2

0

xdx

xd

dt

dx

dx

xd

dt

xd

dxgxdx sin

Cxgx

dxgxdx sin2

sin2

22

0VC 0Vx 0x

xxV

xgx

2

sin2

2

0

2

jer je za0Vx 0x

Cxgx

dxgxdx sin2

sin2

gde je poznata konstanta.

Primer 4.5 Neka se materijalna tačka mase m kreće uz

hrapavu strmu ravan nagibnog ugla .Tačka je započela

kretanje iz koordidatnog početka sa poče-

tnom brzinom intenziteta . Koeficijent

dinamičkog trenja klizanja je . Odrediti:

zakon brzine , zakon puta , zavi-

snost brzine od puta i zaustavni put .

0V

tx tx

xx ZS

Drugi Njutnov zakon za kretanje materijalne tačke:

Njegova projekcija na osu y, s obzirom

da nema ubrzanja u pravcu ose y, daje

coscos0 mgNNmg

Njegova projekcija na osu x daje sledeću

diferencijalnu jednačinu kretanja

.TNgmam

.cos mgNT

cossin mgmgxm ,Bdt

xd

cossingB



kretanje početnom brzinom .



kretanje iz koordinatnog početka.

00 x

0V

00 Vx

Prva i druga integracija diferencijalne jednačine kretanja, s obzirom na početne

uslove, daće zakon brzine i zakon puta : tx tx

1CBtxdtBxdBdtxd

Konstanta , zbog 01 VC 00 Vx 0VBttx

oVtgtx cossin

20

2

002

CtVt

BxdtVBtdxdtVBtdx

Konstanta , zbog 02 C 00x tVt

Btx 0

2

2

Zavisnost brzine od puta odredimo na način što ćemo prvo levu stranu

diferencijalne jednačine transformisati, pa razdvojiti promenljive

i nakon toga integraljenjem dobiti rešenje:

xdx

xd

dt

dx

dx

xd

dt

xd

CBxx

dxBxdx 2

2

jer je za22

0VC 0Vx 0xjer je za0Vx 0x

22

2

0

2 VBx

x.2

2

0 BxVx

xx

,Bdxxdx

Zaustavni put jednak je x koordinati kada je brzina jednaka nuli. Pošto jex

,22

0

22

2

0

22

0

2 VSB

VBx

xz

zaustavni put će biti

.cossin22

2

0

2

0

g

V

B

VSz

28. Drugi zadatak dinamike tačke. Integracija diferencijalnih

jednačina kretanja za slobodno kretanje materijalne tačke.

U ovakvom slučaju drugog zadatka dinamike tačke, sile koje dejstvuju na

tačku su poznate a kretanje se odreĎuje na osnovu projekcija drugog

Njutnovog zakona. Obe njegove projekcije (i na x, i na y, osu) su

diferencijalne jednačine kretanja. Da bi se dobile jednačine kretanja, svaka od

diferencijalnih jednačina kretanja se po dva puta integrali, a četiri integracione

konstante se odreĎuju iz početnih uslova. Početni uslovi se tiču početnog

položaja i početne brzine, tj. sledećih veličina: .0,0,0,0 yxyx

Primer 4.6 Neka na materijalnu tačku mase m = 2 kg, koja se kreće u

vertikalnoj ravni homogenog polja sile Zemljine teže, osim sile težine ,

dejstvuje i zadata sila .sin212 jtittF

gm

Tačka je započela kretanje iz tačke sa početnom brzinom 2,1A .130 jiV

Odrediti projekcije brzine u funkciji

vremena i , kao i jednačine

kretanja i ?

tx ty tx ty

Početni uslovi:

2,1A ,10 x .20 y

jiV

130 ,30 x .10 y

Drugi Njutnov zakon:

Fgmam

jtitjgjyix

sin21222

Projekcije drugog Njutnovog zakona i integracije:

tx 6 tdt

xd6

1

2366 Ctxtdtxdtdtxd

Konstanta , zbog 31 C 30 x 33 2 ttx

2

322 33333 Cttxdttdxdttdx

Konstanta , zbog 12 C 10 x 133 tttx

Projekcija na x osu:

Materijalna tačka mase m započela je

kretanje iz koordinatnog početka sa

početnom brzinom čiji intenzitet iznosi

a čiji vektor sa horozontalnom x

osom gradi ugao . Tačka se kreće u

vertikalnoj ravni homogenog polja sile

Zemljine teže a sila otpora vazduha se

zanemaruje. Odrediti: projekcije brzine u

funkciji vremena i , jednačine

kretanja i , domet L i maksima-

lnu visinu H koju tačka dostiže?

Konstanta , zbog

Projekcija na y osu:

tgy sin tgdt

ydsin

dttgyddttgyd sinsin

.cos 3Ctgty 03 C 10 y .cos tgty

4

2

sin2

coscos Ctt

gydttgtdydttgtdy

Konstanta , zbog 24 C 20 y .2sin2

2

tt

gty

29. Kosi hitac u bezvazdušnom prostoru.

0V

0V

tx ty tx ty

Početni uslovi: ,00 x

zbog početnog položaja ,00 y

,cos0 0 Vx

.sin0 0 Vyzbog početne

brzine

Jedina sila koja dejstvuje na materija-

lnu tačku pri njenom kretanju je .gm

Projekcije drugog Njutnovog

zakona i integracije:


gy gdt

yd

1Cgtydtgydgdtyd

Konstanta , zbog sin01 VC sin0 0Vy sin0Vgtty

20

2

00 sin2

sinsin CtVt

gydtVgtdydtVgtdy

Konstanta , zbog 02 C 00y tVt

gty sin2

0

2


mgym

3000 Cxdt

xdxxm

Konstanta , zbog cos0 0Vx cos03 VC cos0Vx

gmam

Drugi Njutnov Zakon

cos0Vdt

dx4000 coscoscos CtVxdtVdxdtVdx

Konstanta , zbog 04 C 00x tVtx cos0

Određivanje dometa L:

Kada se hitac završi

CC tVtxL cos0

Ctt

Trenutak vremena odreĎuje se

iz uslova da je . Na osnovu

ovog uslova i

dobija se sledeća nepotpuna kvadra

tVgtty sin2 0

2

0Cty

Ct

CC tV

tg sin

20 0

2

C

C tVt

g sin2

0 0 g

VtC

sin2 0

2sinsin2

cos

2

000

g

V

g

VVL

tna jednačina po :Ct

Određivanje maksimalne visine H:

BB

B tVt

gtyH sin2

0

2

Zbog 0Bty sin0 0VgtB g

Vt B

sin0

Konačno jeg

VH

2

sin22

0

Primer 4.10 Materijalna tačka mase m započela je kretanje iz tačke O sa poče-

tnom brzinom čiji intenzitet iznosi a čiji vektor sa horozontalnom x osom gradi ugao (Sl.1). Tačka se kreće

u vertikalnoj ravni homogenog polja sile

Zemljine teže a sila otpora vazduha se

zanemaruje. Za zadat koordinatni sistem

odrediti: projekcije brzine u funkciji

vremena i , jednačine kretanja

i i domet L? Konstantne veličine: m,

h, , g i smatrati poznatim.

0V 0V

tx ty tx ty

0V

Jedina sila koja dejstvuje na materijalnu

tačku pri njenom kretanju je (Sl.2).

tVt

gty sin2

0

2

gm


zbog početnog položaja ,00 y

,cos0 0 Vx

.sin0 0 Vyzbog početne

brzine



gy gdt

yd

1Cgtydtgydgdtyd

Konstanta , zbog sin01 VC sin0 0Vy sin0Vgtty

20

2

00 sin2

sinsin CtVt

gydtVgtdydtVgtdy

Konstanta , zbog 02 C 00y

mgym


gmam

Projekcija na x osu:3000 Cx

dt

xdxxm

Konstanta , zbog cos0 0Vx cos03 VC cos0Vx

cos0Vdt

dx4000 coscoscos CtVxdtVdxdtVdx

Konstanta , zbog 04 C 00x tVtx cos0


Kada se hitac završi CC tVtxL cos0 Ctt

Trenutak vremena odreĎuje se iz uslova da je . Na osnovu ovog

uslova i dobija se sledeća kvadratna jednačina po : tVgtty sin2 0

2Ct

Ct hty C

0sin2

0

2

htVt

g CC

g

ghVVtC

2sinsin 22

00

g

VghVVL

sin2sincos 0

22

00


Primer 4.11 Materijalna tačka mase m započela je kretanje iz tačke O sa poče-

tnom brzinom čiji intenzitet iznosi a čiji je vektor horozontalan (Sl.1).Ovakav hitac nosi naziv „horizontalni

hitac“. Tačka se kreće u vertikalnoj ravni

homogenog polja sile Zemljine teže a

sila otpora vazduha se zanemaruje. Za

zadat koordinatni sistem odrediti: proje-

kcije brzine u funkciji vremena i

jednačine kretanja i i domet L?

Konstantne veličine: m, h, , g i

smatrati poznatim.

0V 0V

tx ,ty tx ty

0V

Jedina sila koja dejstvuje na materijalnu tačku pri njenom kretanju je (Sl.2). gm


zbog početnog položaja ,0 hy

,0 0Vx

.00 yzbog početne

brzine

Drugi Njutnov zakon: gmam


gy gdt

yd

1Cgtydtgydgdtyd

Konstanta , zbog 01 C 00y gtty

mgym

dtgtdy

2

2

2C

tgydttgdy

Konstanta , zbog hC 2 hy 0

.2

2

ht

gty


3000 Cxdt

xdxxm

Konstanta , zbog 00 Vx 03 VC 0Vx 0V

dt

dx

4000 CtVxdtVdxdtVdx Konstanta , zbog 04 C 00x tVtx 0


Kada se hitac završi Ctt

Trenutak vremena odreĎuje se iz uslova da je :Ct 0Cty

CC tVtxL 0

02

2

ht

gty CC

g

htC

2.

20

g

hVL

Pozabavimo se prvo osnovnim pojmo-

vima linearne opruge, koja je veoma

čest element mehaničkih oscilatornih

sistema. Na slici 1 je prkazana opruga

u nedeformisanom stanju. Njenu duži-

nu u nedeformisanom stanju ćemo

nazivati i prirodnom dužinom opruge i

označavaćemo je sa Na slici 2

prkazana je opruga u deformisanom

stanju. Njenu dužinu u deformisanom

stanju ćemo označavati sa

31. Slobodne harmonijske

oscilacije. Osnovni pojmovi.

.0l

.1l

Razlika ovih dužina je izduženje opruge , koje je proporcionalno sa

intenzitetom sile u opruzi :01 lll

cF

.lcFc Koeficijent proporcionalnosti c u ovoj jednakosti je krutost opruge.

Da je opruga sabijena, sila u opruzi bi bila proporcinalna skraćenju a

smer sile u opruzi bio bi suprotan (Sl. 3). Zapravo, smer sile u opruzi je

uvek takav da teži da rastereti oprugu, zbog toga je sila u opruzi restituciona.

10 lll

cF

Veličina nosi naziv „kružna frekvencija

slobodnih oscilacija“.

tornih sistema (ovde je to x) biraju se

tako da im je u ravnotežnom položaju

vrednost jednaka nuli. U proizvoljnom

položaju (Sl.2) izduženje opruge

jednako je x koordinati pa jedi-na sila

koja u pravcu kretanja dejstvuje na

teret mase m je restituciona sila u

opruzi intenziteta

Najprostiji mehanički oscilator čini linearna opruga krutosti s i teret mase m, koji

vrši slobodne neprigušene oscilacije oko ravnotežnog položaja, prikazanog na

slici 4.18-1. Oscilacije su neprigušene jer nema nikakvog trenja koje se suprotsta-

vlja kretanju tereta (nema niti suvog Kulonovog trenja niti viskoznog trenja, kod

kojeg sila otpora zavisi od brzine). Koordinate koje odreĎuju položaj kod oscila-

.xcFc

Projekcija na osu x, drugog Njutnovog zakona daje

sledeću diferencijalnu jednačinu kretanja

,cFNgmam

cxxm ,02 xxm

c

Dobijena diferencijalna jednačina je „diferencijalna jednačina harmonijskog

oscilatora“ i ona je specijalni slučaj homogene linearne diferencijalne jednačine

drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Oblik opšteg rešenja diferencijalne jednačine je ,02 xx

,sincos 21 tCtCtx

gde su i integracione konstante koje se ovde odreĎuju iz početnih uslova.2C1C

Proučimo slučaj kada su početni uslovi najopštiji, gde postoji i početna brzina

i početna nenulta vrednost x koordinate koja iznosi B. Dakle, početni uslovi su:0V

,0 Bx .0 0Vx

Prvi izvod opšteg rešenja odnosno brzina , u skladu

sa opštim rešenjem, je

,sincos 21 tCtCtx x

.cossin 21 tCtCtx

Bx 0 0sin0cos 21 CCB BC 1

00 Vx 0cos0sin 210 CCV

0

2

VC

tV

tBtx

sincos 0 ,sin tAtxili

gde je A-amplituda oscilovanja a -

početna faza. Amplitudu oscilovanja i

početnu fazu odreĎuju formule

,

2

02

VBA .arctan

0V

B

U najvažnije karakteristike harmonijskog kretanja spadaju: amplituda oscilovanja

A (koja predstavlja maksimalni otklon od ravnotežnog položaja), kružna

frekvencija slobodnih oscilacija (koja predstavlja broj oscilacija u 2 sekundi)

i period oscilovanja T (koji predstavlja vreme za koje se izvrši jedna oscilacija).

Period oscilovanja odreĎuje formula

.2

T

m

c

c

mT 2 -period oscilovanja harmonijskog oscilatora

(kao, na primer, na slici). Zapravo,

dolazi do prigušenja oscilacija.

tx

U realnim sistemima nema, kao u idealnim, kretanja bez otpora. Zbog prisustva

sila trenja rešenje ima takav oblik da se tokom vremena amplituda smanjuje

30. Matematičko klatno.

Matematičko klatno čini materijalna

tačka mase koja osciluje u verikalnoj

ravni homogenog polja sile Zemljine

teže, krećući se po kružnoj putanji

(Sl.1).

.0sin l

g

Za tačku je vezano uže dužine l koje vrši

obrtanje oko horizontalne ose koja prola-

zi kroz tačku O. Pošto je u ravnotežnom

položaju uže vertikalno, koordinata ko-

ja definiše položaj meri se od vertikale.

S obzirom da je lučna koordinata nad

uglom jednaka , izraz za tange-

ncijalno ubrzanje postaje

Diferencijalna jednačina kretanja (projekcija na tangentu):

ls


. lsaT

uFgmam

uFgmam

sinmgmaT singl

Ako su u pitanju male oscilacije klatna, to jest, ako su maksimalne vrednosti

koordinate male, sinus ugla može sa dovoljno velikom tačnošću da se

aproksimira sa samim uglom (podrazumeva se, u radijanima). Dakle .sin

,02 l

g

-diferencijalna jednačina malih linearnih

oscilacija matematičkog klatna

6

sin3

,032

0 ,0l

g ,

6l

gZa

6sin

3

dobijena diferencijalna jednačina je nelinearna.

32. Prinudne oscilacije.

Rezonancija.Ako na teret mase m mehaničkog

oscilatora sa slike 1 dejstvuje i

prinudna sila , dobija se

prinudni mehanički oscilator. tF

Neka je sila takva

da je ili je itXtF

tFtX sin0

prosto-periodičnog tipa a i su konstante, gde nosi naziv

„kružna frekvencija prinudne sile“

tFtX cos0, što je veoma čest slučaj ju praksi. Takva sila je

0F

Projekcija Drugog Njutnovog zakona (Sl.2) na osu x

daje sledeću diferencijalnu jednačinu kretanja zadatog prinudnog oscilatora

tFFNgmam c

tFcxxm sin0 ,sin2 thxx ,mc .0 mFh

Veličina je, kao što je već rečeno, kružna frekvencija slobodnih oscilacija,

dok je h novouvedena konstanta. Dobijena diferencijalna jednačina je „difere-

ncijalna jednačina prinudnog oscilatora“ i spada u nehomogene, linearne, dife-

rencijalne jednačine drugog reda, sa konstantnim koeficijentima. Član te jedna-

čine naziva se nehomogenim, i on tu jednačinu čini nehomogenom.th sin

Nalaženje partikularnog rešenja , ima i iskustvenog u sebi, naime, od se

očekuje samo to da svojim oblikom zadovolji nehomogenu linearnu diferenci-

jalnu jednačinu, što bi u ovom slučaju značilo zadovoljenje jednačine:

Homogeno rešenje nehomogene difrencijalne jednačine ima

oblik i predstavlja rešenje odgovarajuće homogene

jednačine Integracione konstante i , koje figurišu u homo-

genom rešenju, odreĎuju se iz početnih uslova, ali tek nakon formiranja opšteg

rešenja diferencijalne jednačine. Odgovarajuća homogena diferencijalna jedna-

čina, nekoj nehomogenoj, dobija se zamenjivanjem nehomogenog člana nulom.

Poznato je da oblik opšteg rešenja nehomogene, linearne, diferencijalne jednačine

predstavlja zbir homogenog i partikularnog rešenja:hx px .ph xxx

thxx sin2

tCtCxh sincos 21

.02 hh xx 2C1C

pxpx

.sin2 thxx pp

Iz iskustva se zna da, ako je leva strana jednačine oblika , a desna je

prosto periodičnog tipa, oblika (ili ), partikularno rešenje

treba tražiti u obliku nehomogenog člana, dakle Prvi i drugi izvod

pp xx 2

th sin th cos

.sin tAxp

od ovog partikularnog rešenja su ,cos tAxp .sin2 tAxp

Uvrštavanjem umesto i umesto u

pa skraćivanjem člana dobija se da konstantu A, u partikularnom rešenju,

odreĎuje izraz

tA sin px tA sin2px thxx pp sin2

tsin

.22 hA

Konačno, opšte rešenje nehomogene diferencijalne jednačine

s obzirom na , i ima oblikph xxx tCtCxh sincos 21 tAxp sin

,sin2 thxx

,sinsincos 21 tAtCtCx

gde bi se, tek sada, integracione konstante i mogle odreĎivati iz početnih

uslova, koji govore o tome koliko je i . MeĎutim, prva dva člana u

dobijenom opštem rešenju, tiču se slobodnih oscilacija, koje su, u realnim

sistemima uvek prigušene (slično kao na slici) pa bi došlo do njihovog

iščezavanja. Praktično, one oscilacije koje ostaju u sistemu tiču se samo

partikularnog rešenja i posledica su postojanja prinudne sile. Zbog toga se

partikularno rešenje naziva prinudnim oscilacijama a veoma

važna konstanta A u njemu, određena izrazom , amplitudom

prinudnih oscilacija.

1C2C

0x 0x

tAxp sin 22 hA

U oscilatornim sistemima prinudnu

silu najčešće

prouzrokuje rotacija neuravnotežene itFtF

sin0

mase, tako da se ugaona brzina rotacionog elemenata menja (na primer, nakon

startovanja mašine, ona se povećava, dok se nakon isključivanja, smanjuje), a

samim tim se menja i kružna frekvencija prinudne sile .

U literaturi se češće umesto gore prikaza-

nog dijagrama prikazuje dijagram sa

apsolutnom vrednošću amplitude

(donja slika).

Iz tih razloga, veoma je važno dijagramski

predstaviti zavisnost izmeĎu amplitude

prinudnih oscilacija A i kružne frekvencije

prinudne sile koja je analitički

predstavljena formulom .22 hA

Sa slike se vidi da funkcija ima

vertikalnu asimptotu za .

A

Na tom mestu imamo rezonanciju, i teorijski se amplitude prinudnih oscilacija

povećavaju do beskonačnosti. Pošto je rezonancija veoma štetna pojava u

tehnici cilj je da u radnom režimu kružna frekvencija prinudne sile bude

dovoljno veća od kružne frekvencije slobodnih oscilacija pošto bi amplituda A

imala poželjno malu vrednost.

A

A

rezonantnu oblast, gde zbog povećanja amplitude A, može doći do havarije.

Za blisko vrednosti imamo štetnu

Naime, detaljnim rešavanjem diferencijalne jednačine , za

samu rezonanciju (gde je ), amplituda prinudnih oscilacija imala bi zavi-

snost od vremena, oblika kao što je prikazano na donjoj slici, što znači da se

amplituda linearno povećava sa vremenom i za kratko vreme prolaska kroz

rezonantnu oblast njeno povećanje ne može biti veliko.

Oblast, u kojoj je dovoljno veće od a

amplituda A ima poželjno malu vrednost, je

oblast vibroizolacije, koja je pogodna za

radni režim mašine. MeĎutim, iako je radni

režim u oblasti vibroizolacije, pri poveća-

vanju vrednosti od nule do ustaljene

vrednosti, a takoĎe pri njenom smanjivanju, prolazi se kroz rezonantnu oblast,

i važno bi bilo da taj prolazak traje što kraće.

thxx sin2

Detaljnim rešavanjem diferenci-

jalne jednačine ,

za slučaj kada su i bliske (to

jest, kada se razlikuju za malu

vrednost), amplituda prinudnih

oscilacija imala bi zavisnost od vremena oblika kao što je prikazano na slici,

što znači da se amplituda naizmenično povećava i smanjuje sa vremenom po

sinusnom zakonu. Ova pojava se u tehnici naziva podrhtavanjem.

thxx sin2

25.Drugi Njutnov zakon Proizvod izmeĎu mase materijalne ...polj.uns.ac.rs/~mehanika/8 kinematika i...

Documents

Transcript of 25.Drugi Njutnov zakon Proizvod izmeĎu mase materijalne ...polj.uns.ac.rs/~mehanika/8 kinematika i...