1

1

Kinematika materijalne toke

10. dio

2

Podjela mehanike

3

Mehanika krutog tijela

Statika Kinematika Dinamika

4

5

Galilejevi pokusi kuglica na kosini

6

KinematikaKinematika je grana mehanike koja prouava gibanja materijalnih tijela i povezuje poloaje tijela s vremenom, ne analizirajui uzroke zbog kojih ta gibanja nastaju .

Kinematika je geometrija gibanja.Ne uzima u obzir:

- masu tijela m i- silu F koja uzrokuje gibanje.

2

7

Dinamika

Dinamika je grana mehanike koja prouava zakone gibanja materijalnih tijela pod djelovanjem sila.

U dinamici se utvruju uzrone veze izmeu sila i gibanja materijalnih toaka ili tijela.

Uzima u obzir:- masu tijela m i - silu F koja uzrokuje gibanje.

8

Idealizacija realnog vrstog tijela u mehanici

9

Kinematika

Kinematikamaterijalne

toke

Kinematikakrutog tijela

Dinamika

Dinamikamaterijalne

toke

Dinamikakrutog tijela

10

Veliine u mehanici

1. Skalari

2. Vektori

3. Tenzori II. reda

4. Tenzori IV. reda

11

1. Skalari: tenzori nultog reda(30= 1 podatak + mjerna jedinica)

2. Vektori: tenzori prvog reda(31= 3 podatka + mjerna jedinica)

3. Tenzori drugog reda 32= 9 podataka + mjerna jedinica

4. Tenzori etvrtog reda 34= 81 podatak + mjerna jedinica

12

1. Skalari1. duina l (m)2. masa m (kg)3. vrijeme t (s)4. povrina A (m2)5. obujam V (m3)6. gustoa r (kg/m3)7. kut a () (rad)8. temperatura T (C) (K)9. rad A (J = Nm)10. snaga P (W = Nm/s)11. energija E (J= Nm)12. pritisak p (Pa = N/m2)

3

13

2. Vektori

1. radijus vektor (m)

2. vektor pomaka (m)

3. brzina (m/s)

4. ubrzanje (m/s2)

rsva

14

5. koliina gibanja (kgm/s=Ns)

6. sila (N=kgm/s2)

7. statiki moment sile

obzirom na neki pol (Nm)

8. moment koliine gibanja (Nms)

9. impuls sile (Ns)

= vm K

= F rMO

= vmr LO

= tF I

= am F

15

Mehanika

Zadatak mehanike je prouavanje opih zakona mehanikog gibanja.

Mehaniko gibanje je najjednostavniji oblik gibanja materije koje se prikazuje kaopremjetanje materijalnih tijela u prostoru i vremenu.

16

Materijalno tijelo

Pod materijalnim tijelom podrazumijevamo ogranieni prostor ispunjen materijom.

Glavna svojstva materijalnih tijela su: oblik obujam poloaj

i ona ine prostorno stanje tijela.

17

Promjena poloaja tijela je gibanje.Kinematika je grana mehanike koja prouava

gibanja materijalnih tijela i samo povezuje poloaje tijela s vremenom.

Zakon gibanja: s = s(t)s = f (t)

18

Gibanje toke na obodu kotaa vidi: biciklist kao gibanje toke po krunicipromatra sa strane kao gibanje toke po krivulji

cikloidi

4

19

Poloaj toke u bilo kojem trenutku vremena tzadajemo u referentnom koordinatnom sustavu.

Referentni koordinatni sustav je Descartesovortogonalnien ishoditem i trima meusobno okomitim koordinatnim osima Oxyz.

20

Putanja ili trajektorija materijalne toke je neprekinuta crta koju opisuje materijalna toka pri gibanju u odnosu na referentni koordinatni sustav.

21

Treba razlikovati udaljenosti s od prevaljenogputa

Primjer: Poloaj toke u trenutku t2 luk s2= OM2Prevaljeni put u intervalu t2 = luk (OM1+ M1M2)

luk s2 luk (OM1+ M1M2)

22

Osnovne kinematike veliine:

put (m) vrijeme t (s)

Glavne kinematike veliine:

brzina (m/s)

ubrzanje (m/s2)

s

v

a

23

Zakon gibanjaodreuje poloaj toke u odnosu na referentni koordinatni sustav u bilo kojem trenutku vremena.

Zakon gibanja jednoznano odreuje samo poloaj toke na putanji ali ne i preeni put.

Poznavajui zakon gibanja tijela odreujemo kinematike veliine koje definiraju gibanje a to su:- brzina i- ubrzanje .

v

a

)t(fs = )t(ss =

24

Prema obliku putanje - trajektorijerazlikujemo slijedea gibanja:

prostorno i ravninsko gibanje krivocrtno i pravocrtno gibanje toke

kruno gibanje - putanja toke je krunicapovratno - oscilatorno gibanje kada se

toka gibajui se po istoj putanji vraa u svoj prvobitni poloaj.

5

25

Kinematikamaterijalne

toke

Krivocrtnogibanje

a) Krunogibanje

b) Pravocrtno gibanje

c) Oscilatornogibanje

26

Prostorno gibanje

27

Ravninsko gibanje

28

Gibanje po krunici

29

Gibanje po pravcu

30

Oscilatorno gibanje

6

31

Kinematikakrutog tijela

1. Translacija 2. Rotacija

Krivocrtna Pravocrtna

32

Krivocrtna translacija Pravocrtna translacija

2. Rotacija

33

Kinematika materijalne toke

a) Zadavanje krivocrtnog gibanjab) Brzina v i ubrzanje ac) Vrste krivocrtnih gibanja

34

Osnovne kinematike veliine:

put (m) vrijeme t (s)

Glavne kinematike veliine:

brzina (m/s)

ubrzanje (m/s2)

s

v

a

35

Krivocrtno gibanje materijalne toke

Poloaj materijalne toke u svakomtrenutku vremena moemo definirati naslijedee naine: 1. Vektorski nain definiranja gibanja

2. Prirodni nain definiranja gibanja

)t(rr

=

)t(ss

=

36

1. Vektorski nain definiranja gibanja

Pri gibanju toke M mijenja se vektor poloaja po pravcu i intenzitetu.

r

Zakon krivocrtnoggibanja vektorskom obliku: )t(rr

=

7

37

2. Prirodni koordinatni sustav

Ortogonalni sustav s pravolinijskim osima koji se od Oxyzortogonalnog sustava razlikuje samo svojom pominou.

Zakon krivocrtnog gibanja:

)t(ss

=

38

Koordinatni sustav je vezan uz materijalnu toku M koja se giba po putanji trajektoriji s.

2. Prirodni koordinatni sustav

Primjena prirodnog koordinatnog sustavamogua je samo ako je poznata putanja:

)t(ss

=

39

1. Vektorski nain definiranja gibanja

Gibanje zadajemo vektorom poloaja radijusvektora u jednom od koordinatnih sustava:

Descartesovom, cilindrinom (polarnom) ili sfernom.

)t(rr

=

40

1a. Descartesov koordinatni sustav

)t(zz)t(yy)t(xx

===

Zakon krivocrtnog gibanja:

(Parametarske jednadbe)

++=

++=

=

k)t(zj)t(yi)t(xr

k)t(rj)t(ri)t(rr

)t(rr

zyx

41

)t(zz )t(yy )t(xx :prostoru u gibanje Za

===

)t(yy )t(xx :avninir u gibanje Za

==

)t(xx :ravcup op gibanje Za =

42

1.b. Cilindrini (polarni) koordinatni sustav

Poloaj toke u odnosu na referentni koordinatni sustav Oxyz definiran je dvjema duinama i zte jednim kutom koji se mijenjaju tijekom vremena

Zakon krivocrtnog gibanja:

)t( zz)t( )t(

===

8

43 44

Za gibanja u ravnini koordinata z = z(t) = 0 pa se vektori i r podudaraju.

)t( )t( rr

==

1.b. Polarni koordinatni sustav

45

1.b. Kruno gibanje u ravnini Oxy najei oblik krivocrtnog gibanja

Zakon krunog gibanja:

)t(.konstr

==

46

1c. Sferni koordinatni sustav

Poloaj toke u sfernomodreen je jednom duinom r i dvama kutovima i koji se mijenjaju tijekom vremena.

)t( )t(

)t( rr

==

=

Zakon krivocrtnog gibanja:

47

2. Prirodni koordinatni sustav

Zakon krivocrtnog gibanja:

)t(ss

=

48

Prirodni koordinatni sustava tvore: tangenta t,glavna normala n i binormala b

(desni koordinatni sustav).

9

49

Iz osnovnih kinematskih veliina:

puta s (m) odnosno [kut (rad)] vremena t (s)

moemo odrediti glavne karakteristike gibanja: brzinu v (m/s) [kutna brzina (1/s)] ubrzanje a (m/s2) [kutno ubrzanje (1/s2)]

50

Brzina v i ubrzanje toke a

Odreivanje brzine gibanja toke u krivocrtnomgibanju ovisi o nainu na koji je zadano gibanje

1. vektorski u:a) Descartesovom koordinatnom sustavub) Polarnom koordinatnom sustavu

2. u prirodnom koordinatnom sustavu

51

dt

drv

dtdr

v yyx

x ==

+= j)t(ri)t(rr yx

Komponente brzine:

2y

2x vvv +=

Intenzitet brzine:

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

2y

2x aaa +=

2y

2y

y

2x

2x

x

dt

rd

dt

dva

dtrd

dtdv

a

==

==

1. Vektorski nain:

52

dtdy

v dtdx

v yx ==

+= j)t(yi)t(xr

Komponente brzine:

2y

2x vvv +=

Intenzitet brzine:

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

2y

2x aaa +=

2

2x

xdt

xddt

dva ==

2

2y

ydt

yddt

dva ==

1.a Descartesov koordinatni sustav

53

1.b. Cilindrini koordinatni sustavPolarni koordinatni sustav (z=0)

)t(

.konstr

==

Kruno gibanje:

Kutna brzina:

Kutno ubrzanje:

54

Obodna brzina:

= rv

===

==

2

2

dtd

dtd

dtd

10

55

.konstr

)t(

==

2n

t

aa

tg==

Komponente ubrzanja:

Intenzitet ubrzanja:

422n

2t raaa +=+=

( )

22

n

t

rr

va

rdtrd

dtdv

a

==

===

= rv

Vektor ubrzanja a ima dvije komponente:

tangencijalnu at i normalnu an. 56

Kruno gibanje

Razlikujemo sluajeve: >0 d = .dt >0 ubrzano

gibanje =konst. jednoliko ubrzano

11

61

2. Prirodni koordinatni sustav s = s (t)

2

2

dtsd

dtdv

va :Ubrzanje

dtds

sv :Brzina

===

==

Vektor brzine v poklapa se sa smjerom tangente t.

Pozitivan je smjer osi glavne normale n onaj koji gleda prema sreditu zakrivljenosti.

62

Gibanje toke po krunici polumjera R

63

( ) ( ) ( )

+=

+++

++=

+++++=

0rtur

k5j4itk6j3i2r

k5t6j4t3i1t2r

Trajektorija je pravac

Primjer 1. Vektorsko nain zadavanjakrivocrtnog gibanja:

++= k)t(rj)t(ri)t(rr zyx

64

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0a 0a 0a 0a

m/s 7632vvv vk6j3i2v

dtdv

a dt

dva

dtdv

a dtdr

v dt

drv

dtdr

v

5t6r ;4t3r ;1t2rk5t6j4t3i1t2r

zyx

2222z

2y

2x

zz

yy

xx

zz

yy

xx

zyx

====

=++=++=++=

======

+=+=+=+++++=

Jednoliko gibanje po pravcu

65

Primjer 2. Descartesov koordinatni sustav

( ) 4

2x

y

8y24-y2 x xu4-yy t iz

tparametra aeliminacij :iju trajektorza- (4;6) C 2(s) t

(2;5) B (s) 1 t 4ty (0;4)A 0 t t2x

+=

===

=

=+===

apravc dio je jatrajektori

B

66

0a ;0a ;0dt

dva :Ubrzanje

m/s 24,2512v

1dtdy

v

2dtdx

v:Brzina

4ty

t2x

yx

x

22

y

x

====

==+=

==

==

+==

Jednoliko pravocrtno gibanje

12

67

tsin5dt

sddtdv

a

tcos5dtds

v

2

2===

==

050-50a = - 5 sin t (m/s2)

50-505v = 5 cos t (m/s)

0-5050s = 5 sin t (m)

23/2/20t (s)

Brzina:

Ubrzanje:

Primjer 3: Prirodni koordinatni sustav

s = 5 . sin t - oscilatorno (harmonijsko) gibanje

68

s = 5 . sin t

v = 5 . cos t

a = - 5 . sin t

69

Ravninsko krivocrtno gibanje materijalne toke

Prema promjeni brzine razlikujemo slijedeagibanja:

JednolikoPromjenljivo

v

70

Brzina toke Jednoliko gibanje:

Toka se giba jednoliko ako u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje jednake putove (ubrzanje a=0)Brzina gibanja je:

Promjenljivo (nejednoliko) gibanje: Toka u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje razliite putove (a = 0; ubrzanje a>0 ili usporenje: a

13

73

Srednja vrijednost ubrzanja:

Trenutno ubrzanje:

=

2sr s

m

t v

a

==

2tsr

t s

m

t v

limalima00

=

2sr s

m

t v

a

74

Rastavljanje ubrzanja na prirodne komponente:

2n

2t aaa +=

n

t

aa

tg =

aaa nt

+=

75

Tangencijalna komponenta at : podudara se s pravcem brzine tangenta na putanju karakterizira promjenu intenziteta vektora brzine moe biti u istom ili suprotnom smjeru od brzine

Normalna komponenta an: okomita je na pravac brzine v odnosno at odreuje promjenu smjera vektora brzine usmjerena prema centru zakrivljenosti

a na

taa

76

Tangencijalna komponenta:

Normalna komponenta:

rv

an2

=

dtdv

t v

lima0t

t ==

77

A. Sluajevi krivocrtnih gibanja:

1. at >0 at=konst. jednoliko ubrzano gibanje(dv = at.dt >0)

2. at

14

79

1. Jednoliko ubrzano krivocrtno gibanje

.konsta 0a tt =>

tavv

tvv

tv

a

t0

0t

+=

==

2t00

t000

00sr00

ta21

tvss

t2

tavvst

2vv

stvssss

++=

+++=++=+=+=

tvs

vv

sr

0

=>

80

2. Jednoliko usporeno krivocrtno gibanje

.konsta 0a tt =0)

2. a

16

91

2. Jednoliko usporeno pravocrtno gibanje

tavv t0 =

2t00 ta2

1tvss +=

.konsta 0aa tt = 02. Jednoliko usporeno pravocrtno gibanje a > 03. Jednoliko pravocrtno gibanje a = 0

Dijagrami:a tv ts t

95

Dijagrami:

( )0202

200

0

ssa2vv

ta21

tvss

tavv

+=

++=

+=

tavv t0 +=

1. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje a > 0

96

Primjer: Galilejeva kosina

2ta21

s

tav

=

=

16:9:4:14:3:2:1s:s:s:s 22224321 ==

17

97

Primjer: Slobodni pad

2tg21

s

tgv

=

=

98

Slobodni pad

sg2v gv

g21

s

gv

t tgv

22

=

=

==

99

2. Jednoliko usporenopravocrtno gibanje

( )0202

200

0

ssa2vv

ta21

tvss

tavv

=

+=

=

a < 0

100

Vertikalni hitac:

gv2

t2T

vrha)do (samo leta Trajanje

Hg2v g2

vH

hica Visina

tg21

tvs

t gvvg a

0

20

20

20

0

==

=

=

=

==Usporeno pravocrtno gibanje:

101

gv2

t2T

leta trajanjeUkupno

g2

vH

gv

g21

gv

vH

:hica Visina

tg21

tvs

gv

t

tgv0t gvv

0

20

200

0

20

0

00

==

=

=

=

=

==

102

Dijagrami:

3. Jednoliko pravocrtno gibanje a = 0

tvss.konstv

0a

00 +===

18

103

Formalna analogija pravocrtnog i krunog gibanja

Jednoliko gibanje: = 0

Jednoliko gibanje:a = 0

Jednoliko promjenjivo gibanje

kutno ubrzanjeubrzanje

kutna brzinabrzina

kut rotacijesput

Krivocrtno gibanjePravocrtno gibanje

dtds

v =

dtdv

aa t ==

200

0

ta21

tvss

tavvkonst. a

+=

==

200

0

t21

t

t

konst.

+=

==

dtd=

dtd=

tvss

.konstv

0 +==

t.konst

0 +==

104

Primjer: Jedan ovjek s vrha zgrade visine 12 m pusti bez poetne brzine loptu A. U isto vrijeme drugi ovjek s visine od 1,5 m od podnoja zgrade baci uvis loptu B. Ako pretpostavimo da su se lopte mimoile na visini od 6 m, odredite brzinu kojom je lopta B baena uvis.

105

? v

m ,0 6 s m 5,1s :B Lopta

m 6,0 s 0v 0s :A Lopta

B

0

00

=

==

===

s 106,122,18,962

t t8,921

00 6,0

tg21

tvss

gibanje ubrzano jednoliko- )s( pad slobodan

m 6,0 s 0v 0s :A Lopta

2

200

00

===++=

++=

+

===

106

m/s 9,49v

106,1

106,19,44,5 v

106,18,921

106,1v1,5 6,0

tg21

tvss

)s( gibanje usporeno ednolikoj

m ,0 6 s m 5,1s :B Lopta

B

2

B

2B

200

0

=

+=

+=

+=

+

==

107

C. Oscilatorno gibanje materijalne toke

108

Oscilatorno gibanje je najrasprostranjenije gibanje u prirodi.

To je gibanje materijalne toke koje se u odreenom vremenskom intervalu ponavlja(potpuno u svim pojedinostima).

Najvanije i najjednostavnije je harmonijsko oscilatorno titranje.

Kulisni mehanizam je primjer harmonijskog gibanja.

19

109

Poluga OA vezana je zaosovinu u toci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom .

Toka B mehanizmakulise kree se gore -izmeu toaka D-O-C

110

2

cosrx

OBx

=

=

+= tZa = konst. prijeeni kut je:

poetni kut

111

=

= sinr 2

cosrx+= t

Zakon harmonijskog gibanja:

r amplituda poetna faza

( )+= t sinrx

112

= 2T

= 2TZa jedan okret kut 2 vrijedi relacija:

Period oscilacija:

Broj oscilacija u sekundi ==2T

1f

113

Brzina v i ubrzanje a

= xa

( )+= t sinrx( ) +==

t cosrxv

= xv

( )+==

t sinrxa 2114

( ) += t sinrx

( ) +==

t cosrxv

20

115

t sin = rxBez poetne faze0 0t0 ==

==

=

2 2

T

1

116

Brzina v t cos ==

rxvv (m)

117

t sin = rxt cos ==

rxv

118

119

==

=

2 2

T

1

s = 5.sin tPrimjer 1:

120

tsin5dt

sddtdv

a

tcos5dtds

v

tsin5s

2

2===

==

=

050-50a = - 5 . sin t (m/s2)

50-505v = 5 . cos t (m/s)

0-5050s = 5 . sin t (m)

23/2/20t (s)

21

121 122

Primjer 2:

(s) 42

T (1/s) 2

)m( 2r

(m) t2

sin2x

====

=

123

t2

sin2

xa

t2

cosxv t2

sin2x

2 ==

==

=

02/20-2/20a (m/s2)

0-0v (m/s)

0-2020x (m)

43210t (s)

124

125

Primjer 3:

)(m/s 6

tsin3xva

)(m/s 6

tcos13xv

22

T 1 3r

)(m 6

tsin3x

2

+===

+==

====

+=

126

2/33

- 3/2030-3-3/2a (m/s2)30-30v (m/s)10-10cos(t+/6)

3/20-3033/2x (m)1/20-1011/2sin(t+/6)

13/612/69/66/63/6/6t+/612/611/68/65/62/60t (s)

2/33

2/32/3

+=

+=

+=6

tsin3a 6

tcos3v 6

tsin3x

Dijagrami: s - t, v - t i a - t domaa zadaa