Slide 1

1. STATIKA FLUIDAMasene sile (sila gravitacije, inerciona sila, centrifugalna sila i dr. ).

Povrinskle sile (sila pritiska, sila trenja i dr.)

Masene i povrinske sileMasene sile su vezane za masu fluida.

Povrinske sile deluju na neku zamiljenu povrinu ili deluju na fluid tangencijalno (smicanje).

Hidrostatiki pritisak deluje u masi fluida ali i na povrine zidova suda.

Hidrostatiki pritisakDefinicija:

p =

(1.1)

(1.2)

Hidrostatiki pritisak deluje u itavoj masi fluida koji miruje, dok sila pritiska deluje uvek normalno (okomito) na neku povrinu i u pravcu unutranjosti mase fluida.

Ako bi sila pritiska delovala pod nekim uglom na fluid, mogla bi se razloiti na: vertikalnu i tangencijalnu komponentu.

Tangencijalna komponenta sile bi izazvala pomeranje elementa fluida a time se naruava ravnotea sistema.

Ojlerove diferencijalne jednaine ravnoteeNa elementarnu zapreminu fluida koji je u ravnotei deluju sile pritiska (u pravcu sve tri koordinatne ose), kao i sila teine ove zapremine fluida (deluje u pravcu supro-tnom od pravca z-ose).

Bilans sila moe se postaviti za svaku osu pojedinano.

Slika 5. Elementarna
zapremina fluida

Bilans sila u pravcu sve tri ose:

Sredjivanjem, uz uslov dm = r dV i dV = dx dy dz i dV = 0 dobija se:

Bilans sila za ukupnu zapreminu

Uzimajui u obzir jednainu (1.6), bilans sila je:

Poto su promene parcijalnih pritisaka u pravcu x-ose i y-ose jednake nuli, parcijalni izvod se moe zameniti totalnim, pa se dobija:

Odgovarajuim transformacijama jedn. (1.9), dobija se sledea jednaina:

Daljim sredjivanjem, nastaje:

Integraljenjem leve i desne strane jednaine (1.11), dobija se:

Za dve take u istoj strujnici fluida vai jednakost:

Jednaina (2.13) naziva se Osnovna jednaina hidrostatike.

Paskalov zakonAko se pritisak u taki (1), dejstvom spoljne sile, povea za diferencijalno malu vrednost Dp1, tada e i pritisak u taki (2) biti povien, to dovodi do promene u osnovnoj jednaini hidrostatike za D p2:

Da bi se odrala jednakost leve i desne strane jednaine (2.14), osnovni uslov je da su prirataji pritiska medjusobno jednaki, tj. da vai izraz:

Iz ove jednaine proizilazi Paskalov zakon, po kome svaka promena pritiska u bilo kojoj taki fluida dovodi do iste takve promene pritiska u drugoj taki fluida, odnosno da se pritisak kroz fluid koji miruje prenosi na sve ostale take fluida bez promene.

Merenje pritiska u nekoj taki fluida koji miruje ilustrovano je na primeru fluida u nekom rezervoaru, slika 6.

Pritisak u taki (A) fluida, uzimajui u obzir osnovnu jednainu hidrostatike, je:

(1.16)

Merenje pritiska tenosti u sudu

gde su: p0 spoljni (atmosferski) pritisak,

r gustina fluida, g ubrzanje

zemljine tee,

z0 z = h - visina nivoa

tenosti iznad take (A).

Proizvod r g h naziva se manometarski pritisak, a odredjuje se pomou piezometarske cevi prikljuene na rezervoar. Kolinik p0 / (r g) = h0 slui za eksperimentalno odredjivanje atmosferskog pritiska (p0).

2. DINAMIKA FLUIDAPogonska sila pri transportu fluida je:

razlika nivoa tenosti,

razlika gustina fluida,

energija uneta u sistem pomou uredjaja za transport fluida.

Strujanje fluida moe biti stacionarno i nestacionarno.

2.1. Stacionarno strujanje fluidaA) Maseni protok fluida se ne menja

protokom vremena:

B) Brzina fluida je funkcija koordinata:

C) Promena brzine fluida sa vremenom je jednaka nuli:

2.2. Nestacionarno strujanje
fluidaA) Maseni protok fluida nije konstantan:

B) Brzina fluida je funkcija koordinata i vremena:

C) Promena brzine fluida sa vremenom je razliita od nule:

3. JEDNAINA KONTINUITETA

Razmatra se sluaj strujanja fluida kroz elementarnu zapreminu dV = dx dy dz, pri emu se u pravcu svake ose akumulira odredjena koliina fluida:

dMx =Mx - Mx+dx = Mx - (Mx + ) =

dMy =My - My+dy = My - (My + ) =

dMz =Mz - Mz+dz = Mz - (Mz + ) =

-

(2.7)

Opte poznati izraz za masu fluida koji struji kroz dV jeMx = Gx d t = Vx d = wx dA dt = wx dy dz dtMy = Gy d t = Vy d = wy dA dt = wy dx dz dtMz = Gz d t = Vz d = wz dA dt = wz dx dy dt

(2.8)

Diferenciranjem jednaina (2.7) dobija se:

Ukupna akumulacija mase u zapremini dV

(2.9)

(2.10)

Akumulacija mase u zapremini dV izaziva promenu gustine fluida:

Izjednaavanjem desnih strana jedna-ina (2.10) i (2.11), dobija se:

Sredjivanjem, dobija se

to predstavlja jednainu kontinuiteta za nestacionareno strujanje stiljivog fluida.

(2.11)

(2.12)

(2.13)

Razvijeni oblik ove jednaine je:

Supstancijalni izvod za gustinu je:

Uvrtavanjem u jedn. (2.14) i sredji-vanjem, dobija se:

Specijalni sluajevi jednaine kontinuitetaA) Stacionarno strujanje stiljivog fluida (const.; ):

(2.17)

B) Stacionarno strujanje nestiljivog fluida (=const.; ):

C) Stacionarno strujane nestiljivog fluida u x-pravcu (=const.; ; wy = wz = 0):

D) Stacionarno strujanje stiljivog fluida u x-pravcu ( const.; ; wy = wz = 0):

(2. 20)

E) Maseni protok fluida kroz promenljivu povrinu poprenog preseka (A) za sluaj D):

Gx = 1wx1 A1 = 2 wx2 A2 (2.21)

(2.19)

, wx = const.

, wx = const

OJLEROVE DIFERENCIJALNE JEDNAINE STRUJANJA FLUIDA

(p +

Bilans sila:

x-pravac: (2.22)

y-pravac(2.23)

z-pravac (2.24)

Rezultantna sila u pravcu svake ose je inerciona sila, data izrazom:

Izjednaavanjem desne strane jed. (2.25) sa jednainama (2.22-2.24), dobija se:

Sredjivanjem se dobija:

Prirataj brzine se izraava kao:

Uvodjenjem smena

dobija se:

to predstavlja Ojlerove diferencijalne jednaine stacionarnog strujanja idealnog fluida.

A) Za nestacionarno strujanje idealnog fluida koristi se totalan izvod brzine po vremenu:

Zamenom izraza (2.30) u polazne jednaine dejstva sila na dV, dobija se:

Izrazi u zagradama mogu se pisati u obliku supstancijalnih izvoda brzina:

Ojlerove diferencijalne jednaine nestacionarnog strujanja idealnog fluida su:

BERNULIJEVA JEDNAINA Polazi se od Ojlerovih diferencijalnih jedna-ina za stacionarno strujanje idealnog fluida, uz korekcije:

Sabiranjem levih, odnosno desnih strana jednaine (2.34), dobija se:

Leva strana jed. (2.35) predstavlja totalni diferencijal brzine (dw) pomnoen sa (w), dok je izraz u zagradi desne strane totalni diferencijal pritiska:

Matematiki gledano, vai da je:

Zamenom u jedn. (2.36) i sredjivanjem, dobija se:

ili

odnosno:

Integraljem jedn. (2.40), dobija se:

to predstavlja Bernulijevu jednainu za transport idealnog fluida pri stacionarnim uslovima, gde su:

z - geodetska visina (visina poloaja),

(p/g) - piezometarska visina (visina

statikog pritiska),

(w2/2g) - visina brzine.

Bernulijeva jedn. za dva preseka cevovoda kroz koji se transportuje idealni fluid:

Bernulijeva jedn. za dva preseka cevovoda kroz koji se transportuje realni fluid:

gde su: H energija uneta u sistem pomou

uredjaja za transpot fluida;

f12 gubici energije izmedju dva preseka.

Strujna cev fluida (strujno vlakno)

Instrumenti za merenje visine gubitaka energije u cevnom vodu

Kod piezometarske cevi visina fluida se rauna iz bilansa pritisaka:

Kod merenja visine brzine kombinuju se piezometarska cev i Pito-ova cev:

Poto je iz jedn. (2.45) se dobija

visina brzine:

P = pa + h r g ili h = (p pa) /r g (2.44)

Navie-toksove jednaine strujanja realnog fluidaPri strujanju realnih fluida, za razliku od idealnih, dolazi do unutranjeg trenja (sila smicanja, viskozne sile)-kinetika energija fluida se tako pretvara u toplotnu energiju i nepovratno gubi.

Kod strujanja realnih fluida javljaju se i elastine sile (sabijanje i rastezanje), to nije sluaj kod idealnih fluida.

Ilustracija za dejstvo sile smicanja

Bilans sile smicanja u pravcu x-ose, na rastojanju dz je sledei:

S druge strane, napon smicanja je:

Diferenciranje izraza (2.47) daje:

Brzina strujanja fluida wx menja se i u pravcu ostalih koordinata, to daje izraz:

Izraz u zagradi za wx krae se zapisuje preko Laplasovog operatora

ili za sve brzine:

Vraanjem na jedan od oblika Ojlerovih DJSF (jedn.2.26), dobija se:

A) Stacionarno strujanje nestiljivog realnog fluida

B) Nestacionarno strujanje nestiljivog realnog fluida

U skracenom zapisu:

C) Stacionarno strujanje stiljivog realnog fluida

3. Granini sloj

Pri strujanju realnog fluida preko nepokretne povrine javlja se koenje susednih slojeva usled prisustva vis-koznih sila.

ws brzina fluida u masi fluida,

w1, w2, w3 - brzine fluida u takama y1, y2, y3,

I poetna ivica nepokretne povrine,

II povrina koja razdvaja hidraulini granini sloj od

sloja na koji povrina nema uticaj.

Profil brzina je dat na prethodnoj slici.

Struktura graninog sloja

Laminarna oblast - do take x1,

Turbulentna oblast - nakon take x1,

Debljina laminarnog podsloja naglo opada nakon take x1,

Prelazna oblast nastaje iznad laminarnog podloja, a zatim turbulentno strujanje.

Rejnoldsov broj definie reim strujanja fluida:

w - brzina strujanja fluida,

l - rastojanje od ivice ploe (l Re=3105 odgovara turbulentnom sloju),

, - dinamika viskoznost i gustina fluida.

Strujanje fluida preko nepokretne vertikalne ploe

Strujanje fluida kroz cev nepravilnog oblika

Proticanje fluida u cevima

Rejnoldsov ogled

Raspodela brzina po preseku voda

Ekvivalentni prenik cevovodaJednakost izmedju sile pritiska i sile smicanja u cevovodu:

Za cevovod krunog poprenog preseka vai:

Reavanjem po preniku dobija se:

Zamenom se dobija konaan izraz za ekvivalentni prenik cevovoda:

Hidraulini radijus je sada:

S ivi presek u cevovodu,

O okvaeni obim cevovoda.