2장: 선형계획

간단한 예

해법 - 그래프 해법, 심플렉스 해법

몇가지 기본 유형

불확실성을 위한 최적해 분석

원-쌍대 관계

간단한 예 - 성원대아빠 성원이는 방과후 저녁식사까지 4시간 동안 스타크래프트 게임이나 독서를 할 수 있다. 성원이와 아빠는 다음과 같은 약속을 했다.첫째, 게임 시간은 독서 시간의 두 배를 넘지 않는다. 둘째, 경험으로 볼 때, 독서의 피로는 게임의 4배라고 하자. 게임 한 시간의 피로를 1이라고 할 때, 게임과 독서 피로의 합이 12를 넘지 않게 한다.

성원이가 최대로 할 수 있는 게임의 시간은?

아빠가 바랄 수 있는 최대 독서 시간은?

성원이와 아빠는 독서가 게임보다 두 배로 유익하다고 동의하였다. 이것을 독서 한 시간 효용이 게임 그 것의 두 배라고 해석한다면, 성원이의 최적 시간 분배는?

모형화결정변수: 게임 시간 = x1, 독서 시간 = x2

제약조건: 게임과 독서에 사용할 수 있는 시간은 네시간을 넘지 않는다: x1 + x2 ≤ 4.

나머지 두개의 제약조건

비음조건 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

목적 함수

x1 - 2x2 ≤ 4, x1 + 4x2 ≤ 12.

1) max x1 2) max x2

3) max x1 + 2x2

가능해 집합

한 개의 등호 제약식은 초평면 (hyperplane)

x1 + x2 = 4

독서시간x2

게임시간x1

가능해 집합

한 개의 등호 제약식은 초평면 (hyperplane)

x1 + x2 = 4

한 개의 부등호 제약식은 반공간 (halfspace)

x1 + x2 ≤ 4게임시간

x1

독서시간x2

가능해 집합

x1 +x2 4,x1 �2x2 0,x1 +4x2 12,

x1 � 0, x2 � 0

게임시간x1

독서시간x2

x1 +x2 4,x1 �2x2 0,x1 +4x2 12,

x1 � 0, x2 � 0

가능해 집합

게임시간x1

독서시간x2

x1 +x2 4,x1 �2x2 0,x1 +4x2 12,

x1 � 0, x2 � 0

가능해 집합

게임시간x1

독서시간x2

x1 +x2 4,x1 �2x2 0,x1 +4x2 12,

x1 � 0, x2 � 0

가능해 집합

게임시간x1

독서시간x2

가능해 집합

x1 +x2 4,x1 �2x2 0,x1 +4x2 12,

x1 � 0, x2 � 0

따라서 가능해의 집합은 유한 갯수의 반공간의 교집합이 된다.

이를 다면체(polyhedron) 라고 한다.

게임시간x1

독서시간x2

목적함수 게임시간의 최대화

max x1

최적해 = 최대증가 방향으로 가장 멀리 있는 가능해

독서시간의 최대화

(연습문제)

목적함수 최대증가방향(gradient)

= (8/3, 4/3)=

10

�

게임시간x1

독서시간x2

목적함수 같은 원리를 다음 목적함수에 적용하여 보자.

max x1 + 2x2

목적함수 최대 증가 방향

목적함수값이 같은 점들의 집합, 등고선은 최대증가 방향과 수직을 이루는 직선들이 된다.

최적해는 (4/3, 8/3), 최적목적함수 값은 20/3.

목적함수 그레디언트

=

12

�

=

12

�

독서시간x2

게임시간x1

(4/3, 8/3)

선형계획의 가정비례성(Proportionality): 모형의 모든 항은 1차, 즉 상수와 변수의 곱이다. 해당 비용, 이익, 소요 자원 등은 활동수준에 비례하여 발생한다고 가정. 예를 들어, 독서시간에 비례하여 피로가 발생한다고 가정

가합성(Additivity): 모든 함수는 1차항들의 합이다. 즉, 비용, 이익, 또는 소요 자원의 총량은 각 활동이 독립적으로 발생시킨 것들의 합이라고 가정. 예를 들어, 성원이의 총 피로는 게임과 독서에서 각각 발생한 것의 합이라고 가정.

분할성(Divisibility): 결정변수가 연속적으로 값을 갖는다고 가정한다. 즉, 결정변수 값이 소수이어도 이를 실행할 수 있다는 것을 가정. 예를들어 게임이나 독서시간은 연속적인 값을 가질 수 있으므로 이를 만족.

선형계획-일반형

가능해 (feasible solution) : 모든 제약조건(제약식+비음조건)을 만족하는 해.

최적해 (optimal solution) : 목적함수 값을 최소(최대)로 만드는 가능해.

min /max c1x1 +c2x2 · · · +cnxn

s.t a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn ,=,� b1,

a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn ,=,� b2,

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.,

am1x1 +am2x2 · · · +amnxn ,=,� bm,

x1 � 0 x2 � 0 · · · xn � 0

표준형 선형계획 문제

x1 + x2 4 () x3 = 4� (x1 + x2), x3 � 0

() x1 + x2 + x3 = 4, x3 � 0.

0 max �z +x1 +2x2 = 0

1 x1 +x2 +x3 = 4,

2 x1 �2x2 +x4 = 0,

3 x1 +4x2 +x5 = 12,

x1, x2, x3, x4, x5 � 0.

= 등호제약식 + 비음 우변상수

표준화 : 부등호 제약식 ⇔ 등호제약식 + 추가 비음변수

모든 일반형은 표준화할 수 있다. 따라서, 일반형과 표준형은 표현만 다른 동등한 문제이다.

표준형과는 달리, 모든 일반형을 정규화할 수 있는 것은 아니다: 정규형⊊일반형. (할수 있는 경우에도 별도의 계산이 필요.)

선형계획 해법인 심플렉스해법은 정규형을 푼다. ( 2단계로 확장하면 표준형도 풀게된다.)

정규형 선형계획문제

0 max �z +x1 +2x2 = 0

1 x1 +x2 +x3 = 4,

2 x1 �2x2 +x4 = 0,

3 x1 +4x2 +x5 = 12,

x1, x2, x3, x4, x5 � 0.

= 표준형 + ‘제약식 갯수 만큼의 기저변수’ + ‘목적함수 기저변수 계수=0’

정규형 선형계획문제(계속)

0 max �z +x1 +2x2 = 0

1 x1 +x2 +x3 = 4,

2 x1 �2x2 +x4 = 0,

3 x1 +4x2 +x5 = 12,

x1, x2, x3, x4, x5 � 0.

쉬운 가능해 존재: 비기저변수=0, 기저변수 =우변. 심플렉스 해법은 이런 ‘기저가능해’만 고려 (왜 그래도 되는지, 물론, 뒤에 논의).

현재 기저가능해를 개선할 수 있는지 판단이 용이 : 비기저변수 목적함수 계수 부호를 본다.

현재 기저가능해 = x = (0, 0, 4, 0, 12). 중요한 것은 현재 비기저 변수 x1과 x2가 모두 0인 가능해는 이 해가 유일하다는 것이다.

: x1와 x2가 0에서 증가할 때 목적함수의 변화율. 따라서, 현재 기저가능해는 개선 가능하다.c̄1 = 1, c̄2 = 2

0 max �z +x1 +2x2 = 0

1 x1 +x2 +x3 = 4,

2 x1 �2x2 +x4 = 0,

3 x1 +4x2 +x5 = 12,

x1, x2, x3, x4, x5 � 0.0 �

이중 x2를 ‘진입변수’로 선택 하자. 가능한 최대 증가 값 ∆ = ?

모든 조건을 만족하는 최대값 ∆ = 3. 이 때, x5의 값이 가장 먼저 0으로 떨어짐.

개선된 가능해 x = (0, 3, 1, 6, 0). 새로운 목적함수 값 z= 6, 목적함수의 개선 양 = . c̄2 ⇥� = 2⇥ 3 = 6

최소비율테스트x3 = 4�� � 0 ) � 4 = 4/1,x4 = 0 + 2� � 0 ) � 1,

x5 = 12� 4� � 0 ) � 3 = 12/4.

정규형 선형계획문제(계속)

정규형 심플렉스 반복단계-1다음 ‘피봇연산’으로 기저변수에 x2가 진입하고 x5가 탈락한 새로운 정규형과 그 기저가능해를 구할 수 있다.

이 기저가능해는 앞의 새로운 해와 일치해야 한다. 새로운 정규형 문제로부터 x1=x5=0인 해는 하나 밖에 없기 때문이다.

또한 피봇연산은 x2를 x1과 x5로 치환하여, 목적함수를 새로운 비기저변수들로만 표현. 이 때 새로운 목적함수 값 z=6을 보여준다.

0 max �z +x1 +2x2 = 0, “0” + “3”⇥ (� 12 )

1 x1 +x2 +x3 = 4, “1” + “3”⇥ (� 14 )

2 x1 �2x2 +x4 = 0, “2” + “3”⇥ 12

3 x1 +4x2 +x5 = 12, “3”⇥ 14 .

#0 max �z +

12x1 � 1

2x5 = �6

1

34x1 +x3 � 1

4x5 = 1,

2

32x1 +x4 +

12x5 = 6,

3

14x1 +x2 +

14x5 = 3.

정규형 심플렉스 반복단계-1다음 두 문제는 문제 이다.

0 max �z +x1 +2x2 = 0,

1 x1 +x2 +x3 = 4,

2 x1 �2x2 +x4 = 0,

3 x1 +4x2 +x5 = 12.

m0 max �z +

12x1 � 1

2x5 = �6

1

34x1 +x3 � 1

4x5 = 1,

2

32x1 +x4 +

12x5 = 6,

3

14x1 +x2 +

14x5 = 3.

다음 두 문제는 문제 이다.

행간연산을 적용했기 때문에 해집합이 변하지 않았다.

모든 해가 만족하는 제약식을 사용하여 변수를 치환했기 때문에 두 목적함수는 가능해 집합 위에서는 동일하다.

다만, 다른 기저가능해를 보여 줄 뿐이다. 목적함수가 개선된 ... .

0 max �z +x1 +2x2 = 0,

1 x1 +x2 +x3 = 4,

2 x1 �2x2 +x4 = 0,

3 x1 +4x2 +x5 = 12.

m0 max �z +

12x1 � 1

2x5 = �6

1

34x1 +x3 � 1

4x5 = 1,

2

32x1 +x4 +

12x5 = 6,

3

14x1 +x2 +

14x5 = 3.

꼭같은

정규형 심플렉스 반복단계-1

정규형 심플렉스 반복단계-1

중요한 것은 새로운 정규형에 해 개선 과정을 반복할 수 있다는 것. 비기저 변수 중에 x1의 목적계수 따라서 x1을 진입시키면 개선가능하다.

최소비율은 4/3이고 1행에서 발생하기 때문에 1행 x1계수 3/4을 피봇원소로 피봇연산을 하면 개선된 기저가능해를 얻음 .

0 max �z +x1 +2x2 = 0,

1 x1 +x2 +x3 = 4,

2 x1 �2x2 +x4 = 0,

3 x1 +4x2 +x5 = 12.

m0 max �z +

12x1 � 1

2x5 = �6

1

34x1 +x3 � 1

4x5 = 1,

2

32x1 +x4 +

12x5 = 6,

3

14x1 +x2 +

14x5 = 3.

c̄1 = 12 > 0,

다음 두 문제는 문제 이다.꼭같은

목적함수 20/3인 새로운 기저가능해를 얻음: x=(4/3, 8/3, 0, 4, 0)비기저변수의 계수 모두 ≤ 0, 즉, 현재 해 개선 가능하지 않음. 심플렉스 해법 종료.

max �z +

12x1 � 1

2x5 = �6,

34x1 +x3 � 1

4x5 = 1,

32x1 +x4 +

12x5 = 6,

14x1 +x2 +

14x5 = 3,

#max �z � 2

3x3 � 13x5 = � 20

3 ,

x1 +

43x3 � 1

3x5 =

43 ,

�2x3 +x4 +x5 = 4,

+x2 � 13x3 +

13x5 =

83 ,

정규형 심플렉스 반복단계-2

심플렉스 해법의 타당성

심플렉스 해법이 종료할 때 기저가능해는 왜 최적해가 되는가?

심플렉스 해법이 생성하는 동등한 목적함수들 중에서, 종료할 때의 목적함수를 보자. 앞의 경우, 목적함수 z= 20/3 -(2/3)x3-(1/3)x5는 x3=x5=0일 때, 최대가 된다. 그런 해는 바로 최종 기저가능해가 된다.

이는 또한 정규형 선형계획의 최적해 중에는 반드시 기저가능해가 존재한다는 것을 의미한다.

max �z � 23x3 � 1

3x5 = � 203 ,

x1 +

43x3 � 1

3x5 =

43 ,

�2x3 +x4 +x5 = 4,

+x2 � 13x3 +

13x5 =

83 ,

심플렉스 해법의 기하학적 의미

심플렉스 해법의 기저가능해는 해집합의 꼭지점에 해당 한다.

심플렉스해법의 한 반복단계는 목적함수를 개선 시키는 이웃 꼭지점으로 이동하는 것에 해당한다.

목적함수 최대증가방향

반복단계 2

반복단계 1

독서시간x2

게임시간x1

(4/3, 8/3)

정규형 심플렉스 종료시 발생 경우

유일한 최적해

복수개의 최적해

목적함수 최대증가 방향

정규형 선형계획 문제는 항상 가능해를 가진다.

최적해가 존재

유일한 최적해

복수개의 최적해 종료시 목적계수가 0인 비기저변수가 존재하는 경우

최적해가 존재하지 않음-목적함수를 무한히 증가( 감소) 시킬 수 있는 경우. 최소비율이 ∞인 경우

정규형 심플렉스 흐름도

표준형을 위한 2단계 심플렉스 해법다음 예를 사용하여 표준형을 위한 심플렉스 해법을 논의하자.

정규형이 아니기 때문에 심플렉스를 적용할 수 없음

min z = 2x1 +3x2

sub. to

12x1 +

14x2 4,

x1 +3x2 � 20,

x1 +x2 = 10,

x1 � 0, x2 � 0.

#

min z = 2x1 +3x2

sub. to

12x1 +

14x2 +x3 = 4,

x1 +3x2 �x4 = 20,

x1 +x2 = 10,

x1 � 0, x2 � 0, x3 � 0, x4 � 0.

표준화

표준형을 위한 2단계 심플렉스 해법(계속)

필요한 만큼 변수를 추가 다음과 같은 ‘1단계문제’를 만든다.

원래 문제와는 다른 문제이다. x5와 x6을 ‘인공변수’라고 부른다. 그러나, 정규형 심플렉스를 적용할 수 있다. (아직 완전한 정규형은 아님. 왜인가?)

1단계문제의 최적해 목적함수값이 0, 즉, x5= x6=0이면 나머지 변수 값은 원래문제의 가능해가 된다. 역으로 원래 문제가 가능해를 가지면, 1단계문제 최적 목적함수 값은 0이어야 한다.

즉, 원래 문제 가능해 가짐 ⇔ 1단계문제 최적목적함수 값 = 0.

min w = x5 +x6

sub. to

12x1 +

14x2 +x3 = 4,

x1 +3x2 �x4 +x5 = 20,

x1 +x2 +x6 = 10,

x1 � 0, x2 � 0, x3 � 0, x4 � 0, x5 � 0, x6 � 0.

표준형을 위한 2단계 심플렉스 해법(계속)

1단계문제에 심플렉스해법을 적용해 보자. 이를 위해 먼저 정규형을 완성한다.

x3, x5, x6을 기저변수로 정규형 심플렉스 해법을 적용할 수 있다.

pricing out

min w x5 +x6 = 0

sub. to

12x1 +

14x2 +x3 = 4,

x1 +3x2 �x4 +x5 = 20,

x1 +x2 +x6 = 10,

x1 � 0, x2 � 0, x3 � 0, x4 � 0, x5 � 0, x6 � 0.

#

min �w �2x1 �4x2 +x4 = �30

sub. to

12x1 +

14x2 +x3 = 4,

x1 +3x2 �x4 +x5 = 20,

x1 +x2 +x6 = 10,

x1 � 0, x2 � 0, x3 � 0, x4 � 0, x5 � 0, x6 � 0.

표준형을 위한 2단계 심플렉스 해법(계속)

1단계 심플렉스해법이 최적해와 함께 종료. 그리고 ...?

min �w �2x1 �4x2 +x4 = �30

sub. to

12x1 +

14x2 +x3 = 4,

x1 +3x2 �x4 +x5 = 20,

x1 +x2 +x6 = 10,

#min �w � 2

3x1 � 13x4 +

43x5 = � 10

3sub. to

512x1 +x3 +

112x4 � 1

12x5 =

73 ,

13x1 +x2 � 1

3x4 +

13x5 =

203 ,

23x1 +

13x4 � 1

3x5 +x6 =

103 ,

#min �w +x5 +x6 = 0,

sub. to

14x1 +x3 � 1

4x6 =

32 ,

x1 +x2 +x6 = 10,

2x1 +x4 �x5 +3x6 = 10.

표준형을 위한 2단계 심플렉스 해법(계속)

최적해와 함께 2단계 해법의 모든 단계가 종료된다.

pricing out

‘2단계 문제’min �z +2x1 +3x2 = 0,

sub. to

14x1 +x3 =

32 ,

x1 +x2 = 10,

2x1 +x4 = 10,

#min �z �x1 = �30,

sub. to

14x1 +x3 =

32 ,

x1 +x2 = 10,

+2x1 +x4 = 10,

#min �z +

12x4 = �25,

sub. to +x3 � 18x4 =

14 ,

+x2 � 12x4 = 5,

+x1 +

12x4 = 5.

가능해를 가짐

최적해가 존재

유일한 최적해

복수개의 최적해

목적함수를 무한히 증가 ( 감소) 시킬 수 있는 경우.

가능해를 가지지 않음

2단계 심플렉스 종료시 발생 경우

x1

x2

유일한 최적해

복수개의 최적해

x1

x2

목적함수 최대증가 방향

x1

x2

33

최적생산량 결정문제예 : 홍씨 아저씨는 인테리어 장식용으로, 전통 디자인을 해석하여 만든 뒤주, 겹창을 소량으로 제조, 판매하는 공방을 운영하고 있다. 제품들은 소나무, 유리, 뽕나무를 사용하여 만들어지는데, 단위 당 판매 가격과 원료의 사용량은 다음과 같다.

홍씨농방 제품은 수요가 많아 전량 판매된다고 한다. 두 제품의 최적생산량은 어떻게 되는가?

뒤주 겹창 가용량

소나무

유리

뽕나무

1 0 4

0 1 6

3 2 18

가격(10만) 3 5 -

모형화

결정변수 : 홍씨 아저씨는 뒤주와 겹창을 얼마나 생산할지 결정해야 한다. 뒤주의 생산량 = x1, 겹창의 생산량 = x2.

목적함수 : 제품 판매 이익을 최대화하고자 한다. 제품은 만드는대로 판매할 수 있기 때문에 목적함수는 max 3x1 + 5x2이다.

제약조건 : 제품을 생산하는데 투입되는 원료의 가용량. 예를 들어, 뒤주 하나를 생산하기 위해 뽕나무 3단위, 겹창 하나를 생산하기 위해서 2단위가 필요하다. 하지만 뽕나무의 가용량은 18이므로, 3x1 + 2x2 ≤ 18.

최적생산량 결정문제

복수기간문제옛날 옛적 홍가 성을 가진 한 농부가 새해 정월에 벼 네 가마니를 갖고 있다. 매년 새 경작을 시작하기 전에 농부는 그 해 팔거나 심을 벼의 양을 결정한다. 다섯 가마의 벼를 심으면 한 가마의 벼를 더 거둘 수 있다.

홍씨는 밀려드는 안남국의 값 싼 수입 쌀 때문에 벼농사를 앞으로 3년만 짓고 이익이 더 큰 과수 농사로 바꾸려고 한다. 올해를 포함하여 앞으로 4년 동안 연초 벼 한 말의 가격은 현재가로 11냥, 12냥, 12냥, 7냥이다. 앞으로 3년간 최적 생산계획을 수립하라.

모형화

결정변수 : 매년 초 가용한 벼 중에서 심을 양과 팔 양을 결정한다. i년 초 팔 벼의 양 xi, 심을 양 yi.

목적함수 : 벼를 팔아서 얻는 이득의 최대화이다.

max 11x1 + 12x2 + 12x3 + 7x4 x

제약조건

전해 심은 벼가 다음 해 초 가용한 벼의 양을 결정한다. 즉, 1.2yi-1 = xi + yi

처음 갖고 있는 벼의 양은 네가마이다.x1+x2 = 4.

복수기간문제

배합문제안성가스(주)는 인도네시아와 이란에서 천연가스를 수입, 고급, 보통, 두 가지의 가스를 배합, 판매한다. 천연가스의 화력과 유황 함유량은 산지에 따라 차이가 있다. 그리고 보통 그리고 고급 가스가 요구하는 화력의 최소값과 유황의 최대값을 만족해야 한다.

뒤주 가용량

화력 /kg

유황 /kg

96 100

0.08 0.07

비용(만/kg) 2.5 3

보통 고급

화력 /kg

유황 /kg

97이상 100이상

0.085이하 0.075이하

비용(만/kg) 3 3.5

모형화

결정변수 : 각 원산지 가스를 보통, 고급 가스에 얼만큼 배합할지 결정한다.

목적함수 : ‘가스 판매 수입 - 수입비용’의 최대화 max 3(x11+x21)+3.5(x12+x22) - 2.5(x11+x12) - 3(x21+x22)

인도네시아를 i=1, 이란을 i=2, 보통 가스를 j=1 , 고급을 j=2 라 할 때, 제품 i에 배합하는 천연가스 i 의 양을 xij로 표현할 수 있다.

배합문제

인니

이란

보통

고급

x11

x12

x21

x22

제약조건 : 판매하는 가스가 만족해야할 품질 조건.

예를 들어, 보통 가스는 화력이 97이상이어야 하므로, (96x11 + 100 x21)/(x11 + x21)≥ 97

선형화를 위해 분모를 양변에 곱하면 다음 식을 얻는다 : 96x11 + 100 x21 ≥ 97(x11 + x21) 또는 x11 - 3 x21 ≥ 0.

배합문제

불확실성을 위한 최적해 분석

문제 데이터들이 변화할 때, 최적해가 어떻게 변하는지 분석.

목적함수 계수 변화와 최적해 분석 ✔

우변상수 변화 변화와 최적해 분석 ✔

새로운 활동, 예를 들어 신상품 도입 여부 ✔

기타 다양한 분석이 가능

홍씨공방 문제에서 뒤주 가격이 △만큼 커질 때 최적해를 분석하자

-3 ≤ ∆ ≤ 4.5이면 현재 최적해는 유지 되며 목적함수 값은 36+2∆

이 범위를 넘어가는 경우 최적해와 목적함수 값은?

뒤주 겹창 가용량소나무유리뽕나무

1 0 4

0 1 6

3 2 18

가격(10만) 3+∆ 5 -

목적함수 계수 분석

현재 최적해8

2 6

x2

x1

∆ = -3

∆ = 0

∆ = 4.5

동일한 분석을 심플렉스 타블로에서 해보자. 문제의 최적 타블로는 다음과 같다 (비음조건 생략) :

위 최적타블로를 만든 행간연산을 계수가 c1 = 3+∆일 때 그대로 적용하면 다음과 같은 선형계획을 얻는다. 왜 그런가?

max �z +�x1 �3x4 �x5 = �36,

sub. to x3 +

23x4 � 1

3x5 = 2,

x2 +x4 = 6,

x1 � 23x4 +

13x5 = 2,

목적함수 계수 분석 (계속)

max �z +�x1 �3x4 �x5 = �36,

sub. to x3 +

23x4 � 1

3x5 = 2,

x2 +x4 = 6,

x1 � 23x4 +

13x5 = 2,

목적함수 계수 분석 (계속)x1의 목적함수 계수를 소거하면 현재해의 정규형을 얻는다 :

비기저 목적계수가 모두 ≤0, -3+(2/3)∆≤0, -1-(1/3)∆ ≤0, 즉, -3 ≤ ∆ ≤ 4.5 일 때 최적해가 유지된다. 그래프 분석결과와 동일.

max �z +�x1 �3x4 �x5 = �36,

sub. to x3 +

23x4 � 1

3x5 = 2,

x2 +x4 = 6,

x1 � 23x4 +

13x5 = 2,

max �z +(�3 +

23�)x4 +(�1� 1

3�)x5 = (�36� 2�),

sub. to x3 +

23x4 � 1

3x5 = 2,

x2 +x4 = 6,

x1 � 23x4 +

13x5 = 2,

# pricing out

우변상수 변화 분석뽕나무 가용량이 ∆만큼 증가 할 때 최적해를 분석하자.

그래프에서 -6 ≤ ∆ ≤ 6이면 최적해를 결정하는 제약식이 변하지 않는다. 따라서 최적해는 x1 = 2+ (1/3)∆, x2 = 6, 그 목적함수 값은36+∆가 된다.

뒤주 겹창 가용량

소나무

유리

뽕나무

1 0 4

0 1 6

3 2 18+∆

가격(10만) 3 5 -

최적해8

2 6

x2

x1

∆= 6∆ = 0

∆=-6

따라서 뽕나무 증가에 따른 수익의 변화율은 1. 이를 뽕나무의 잠재가치 (shadow price) 라 한다.

농이 타산이 맞으려면 판매가격이 최소 얼마가 되어야 하나?

우변상수 변화 분석같은 방식을 유리와 소나무에 각각 적용할 수 있다.

-3 ≤ ∆유리 ≤ 3의 범위에서 유리의 잠재가치는 3. —1 ≤ ∆소나무 ≤ ∞일 때 소나무의 잠재가치는 0 (소나무는 현재 남는다.)

홍씨는 세 원료를 1, 2, 2 단위 사용하는 신제품 농을 생각하고 있다.

뒤주 겹창 가용량

소나무

유리

뽕나무

1 0 4

0 1 6+∆유리

3 2 18

가격(10만) 3 5 -

최적해8

2 6

x2

x1

∆= 3

∆ = 0

∆=-3

쌍대성

모든 선형모형은 그와 짝이 되는 ‘쌍대 문제 (dual problem)’를 갖는다. 이때, 원래 선형계획문제는 원문제 (primal problem) 라고 한다.

이 두 문제를 원-쌍대 쌍이라고 부른다.

참고 - 쌍대란 상대적인 개념이다. 즉, 쌍대문제의 쌍대문제는 원문제가 된다.

홍씨공방 문제의 최적목적함수의 상한을 구하는 방법을 생각하자. max 3x1 + 5x2

sub. to x1 ≤ 4 x2 ≤ 6

3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 ≥0 x2 ≥0

목적함수와, 각 제약식에 가중치 0, 3/2, 그리고 2를 곱해 더한 것을 비교하면 3x1 + 5x2 ≤ (1×0 + 0×3/2 + 3×2)x1 + (0×0 + 1×3/2 + 2×2)x2 ≤ 4×0 + 6×3/2 + 18×2 = 45.

따라서 목적함수의 최대 값은 45를 넘지 않는다. (아주 좋은 상한은 아니다.) 같은 방식으로 더 좋은 상한을 구할 수 없을까?

원-쌍대 관계의 의미 : 상하한 관점

원-쌍대 관계의 의미 : 상하한 관점 (계속)

제약식에 가중치를 곱하여, 최적 목적함수 값에 가장 가까운 상한을 구하는 문제를 생각해보자.결정변수 : 각 제약식의 가중치. y1, y2, y3 라고 하자.

제약조건

부등호를 유지하기 위해서는 모두 비음, 즉 y ≥ 0이어야 한다.

각 변수의 계수가, 목적함수보다 제약식 가중합이 더 커야 한다. x1 ⟷

3 ≤ 1y1 + 0y2 + 3y3, x2 ⟷ 5 ≤ 0y1 + 1y2 + 2y3.

목적함수 : 가장 작은 상한 min 4y1 + 6y2 + 18y3

역시 최적화 문제가 된다!

원-쌍대 관계의 의미 : 상하한 관점 (계속)

선형계획 문제가 된다.

min 4y1 + 6y2 + 18y3

sub. to 1y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3,

0y1 + 1y2 + 2y3 ≥ 5,

y1 ≥0 y2 ≥0 y3 ≥ 0

이를 쌍대문제라고 하며, 정의에 따라 그 목적함수 값은 원문제 보다 항상 크거나 같음을 알 수 있다.

유사하게, 원문제가 최소화 문제일 때는 쌍대 문제는 최대화 문제가 되며 그 목적함수 값은 항상 원문제보다 작거나 같게 된다.

위의 성질을 ‘약쌍대 정리’라고 부른다.

원-쌍대 관계의 일반적 정의-참고

일반적인 원-쌍대문제는 다음과 같은 규칙으로 정의한다. 단, 각 규칙은 독립적으로 양 방향으로 적용한다.

제약식 하나 ⟷ 변수 하나최소화 ⟷ 최대화목적 계수 ⟷ 우변 상수최소화 문제의 ≤ 제약식 ⟷ 대응변수 ≤ 0

최소화 문제의 = 제약식 ⟷ 대응변수 부호제약 없음최소화 문제의 ≥ 제약식 ⟷ 대응변수 ≥ 0

최대화 문제의 ≤ 제약식 ⟷ 대응변수 ≥ 0

최대화 문제의 = 제약식 ⟷ 대응변수 부호제약 없음

최대화 문제의 ≥ 제약식 ⟷ 대응변수 ≤ 0

원-쌍대 관계의 일반적 정의-참고

예 : 규칙을 적용하면 상한문제와 꼭 같은 원쌍대쌍을 얻는다.

max 3x1 + 5x2

sub. to x1 ≤ 4 ⟷ y1

x2 ≤ 6 ⟷ y2

3x1 + 2x2 ≤ 18 ⟷ y3

x1 ≥0 x2 ≥0

min 4y1 + 6y2 + 18y3

sub. to 1y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3 ⟷ x1

0y1 + 1y2 + 2y3 ≥ 5 ⟷ x2

y1 ≥0 y2 ≥0 y3 ≥ 0

원-쌍대 관계 : 경제적 관점

또 다른 관점을 통해 원-쌍대 관계를 유도하여 보자. 홍씨공방 문제는 세 가지 원료를 사용하여, 수익을 최대화하도록 두 가지 제품을 생산하는 홍씨 아저씨의 문제였다.

max 3x1 + 5x2

sub. to x1 ≤ 4 소나무 x2 ≤ 6 유리

3x1 + 2x2 ≤ 18 뽕나무 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

원-쌍대 관계 : 경제적 관점 (계속)

홍씨 아저씨의 원료를 모두 구입하려는 김씨를 생각해보자.

결정변수 : 원료 단위 당 지불 가격. y1, y2, 그리고 y3 .

목적함수 : 김씨는 원료를 가장 저렴하게 구입하고자 할 것이다 :

min 4y1, + 6y2, + 18y3

김씨가 제시하는 가격 만족해야 하는 조건은 무엇일까?

가격은 모두 음수가 아니라고 가정한다.

직관적으로는 당연하지만, 엄밀히 말하면 김씨 아저씨의 ‘없는 것을 파는’ 공매도를 배제하여, 일방적 차익거래를 배제하는 것과 같다. 즉, 양쪽의 협상력이 같다고 가정하는 것이다.

또한 어떤 조건이 필요할까. 김씨는 홍씨의 관점에서 생각한다.

지불하는 가격이 홍씨가 생산을 통해 얻을 수 있는 수입을 보장하지 않으면, 거래는 성사되지 않을 것이다.

예를 들어, 홍씨는 소나무 한 단위와 뽕나무 세 단위가 있으면 3(십만원)의 수입을 얻을 수 있다. 따라서, 같은 양의 원료를 팔 때, 수입이 이 보다 작아서는 안될 것이다 : y1+3y3 ≥ 3. 유사하게 y2+2y3 ≥ 5.

더 직접적인 조건은 어떨까? 홍씨 아저씨가 받는 전체 금액은, 원래 수입 보다 같거나 커야한다 : 4y1+6y2+18y3 ≥36. 이 점에 대해서는 바로 뒤에 논의하자.

원-쌍대 관계 : 경제적 관점 (계속)

원-쌍대 관계 : 경제적 관점 (계속)

정리하면 김씨의 문제는 다음과 같다.

min 4y1 + 6y2 + 18y3 sub. to 1y1 + 0y2 + 3y3 ≥ 3,

0y1 + 1y2 + 2y3 ≥ 5,

y1 ≥0 y2 ≥0 y3 ≥ 0

이는 앞의 쌍대문제와 동일하다. 따라서 약쌍대 정리에 의하여 홍씨 수입 36은 보장 받는다!

최적해를 구하면 y1=0, y2=3, y3 =1, 그 목적함수 값은 36이다. 김씨는 정확히, 홍씨가 원료를 가지고 얻는 최대 수익만큼 지불하게 된다. (No free lunch. No arbitrage.)

원-쌍대 관계 : 경제적 관점 (계속)

교섭력이 동일한 양쪽이 최선을 다해 흥정을 하면 목적함수 값은 같다. 김씨는, 홍씨가 생산에 투입하여 얻는 최대 수익과 같은 금액을 원료에 지불하게 된다. 이를 강쌍대정리라고 한다.

이 때, 뽕나무 한단위의 가격은 1이 된다. 이는 홍씨에게 뽕나무가 가진 잠재가격과 같음을 알 수 있다.

참고 - 연구해 볼 문제 : 비음 조건이 없으면, 김씨는 제약식을 만족하며 무한히 수익을 올릴 수 있음을 보이라.

이번에는 김씨의 모형에 먼저 경제적 의미를 주고 그 쌍대문제를 이에 맞게 해석해 보라. (힌트 : ‘다이어트 문제.’)

원-쌍대 정리

약쌍대 정리 - 원쌍대-쌍에서 최소화 문제의 목적함수 값은 최대화 문제 보다 항상 크거나 같다.

강쌍대 정리 - 두 문제 중 하나가 최적해를 가지면, 다른 문제도 그러하며 그 목적함수 값은 같다.

강쌍대 정리는 제로섬 게임의 최대 최소정리와 동치이다. 당시 게임 이론 연구의 시조, 폰노이먼이 댄직에게 전해준다.