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2. 직선의 방정식 111
2 직선의 방정식 수학+미술
‘최소주의(미니멀리즘)’는 단순함, 간결함, 반복, 등을 통하여 절제된 형
태의 본질을 추구하는 예술ㆍ문화적인 흐름을 말한다. 르윗(LeWitt, Sol,
1928∼2007)은 형태의 반복과 배치를 수학적으로 계산하여 최소주의의 개
념을 정립해 나간 예술가로서 주로 직선을 이용한 벽화를 그렸다. 그는 평
행한 직선과 수직인 직선을 반복적으로 그려 그림을 입체적으로 묘사하였
다. [참고 자료: 스티븐 파딩, “501 위대한 화가”]
“두 직선의 평행 조건과 수직 조건은 각각 무엇일까?”
준|비|학|습 1 다음 직선의 기울기와 절편, 절편을 각각 구하시오.
(1) (2)
2 다음과 같은 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하시오.(1) 기울기가 이고 점 을 지나는 직선
(2) 두 점 , 를 지나는 직선
112 Ⅲ. 도형의 방정식
01 직선의 방정식⦁직선의 방정식을 구할 수 있다.
한 점과 기울기를 알 때, 직선의 방정식은 어떻게 구할까?
개 념 열 기 오른쪽 그림은 어떤 학생이 거울을 보는 모습을 좌표평면
위에 나타낸 것이다. 이 학생이 거울의 아래 끝 A를 내려
다보았더니 자신의 발끝 B가 보였다고 한다.
∠ABO , BO 일 때, 직선 AB의 기울기와 절
편을 구하여라. (단, O는 원점)
위의 개념 열기에서 직선 AB의 기울기가 이고 점 A 을 지나므
로 그 방정식은 이다.
이와 같이 중학교에서는 직선의 기울기와 직선이 지나는 한 점의 좌표를 알 때,
그 직선을 그래프로 하는 일차함수의 식을 구하였다.
이제 일반적으로 좌표평면 위의 한 점 A 을 지나고 기울기가 인 직선
의 방정식을 구해 보자.
직선 의 방정식을
⋯⋯ ①
이라고 하면 이 직선은 점A 을 지나므로
즉, 이다.
이것을 ①에 대입하여 정리하면
이다.
특히 오른쪽 그림과 같이 점 A 을 지나고 축에
평행한 직선의 기울기는 이므로 이 직선 의 방정식은
×
즉, 이다.
2. 직선의 방정식 113
이상을 정리하면 다음과 같다.
한 점과 기울기를 알 때, 직선의 방정식
점 A 을 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은
(1) 점 을 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은
, 즉
(2) 점 를 지나고 기울기가 인 직선의 방정식은
문제 01 다음 직선의 방정식을 구하시오.
(1) 점 을 지나고 기울기가 인 직선
(2) 점 를 지나고 기울기가 인 직선
두 점을 지나는 직선의 방정식은 어떻게 구할까?
좌표평면 위의 서로 다른 두 점 A , B 를 지나는 직선 의 방정
식을 구해 보자.
≠일 때, 직선 의 기울기는
이고
점 A 을 지나므로 직선 의 방정식은
이다.
일 때, 직선 은 축에 평행하고
점 A 을 지나므로 직선 의 방정식은
이다.
(직선의 기울기)
의 값의 증가량의 값의 증가량
114 Ⅲ. 도형의 방정식
이상을 정리하면 다음과 같다.
두 점을 지나는 직선의 방정식
두 점 A , B 를 지나는 직선의 방정식은
① ≠일 때,
② 일 때,
(1) 두 점 , 을 지나는 직선의 방정식은
, 즉
(2) 두 점 , 을 지나는 직선의 방정식은
문제 02 다음 두 점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
(1) (2)
문제 03 절편이 이고 절편이 인 직선의 방정식은
임을 설명하시
오. (단, ≠ ≠ )
문제 04 일정한 압력에서 온도가 C일 때 부피가 L이
고, 온도가 C일 때 부피가 L인 어떤 기체가
있다. 이 기체의 온도가 C일 때 부피를 L라
하고, 와 사이의 관계를 그래프로 나타내면 오
른쪽 그림과 같다.
(1) 두 점 A , B 을 지나는 직선의
방정식을 구하시오.
(2) 온도가 C일 때, 이 기체의 부피를 구하시오.
2. 직선의 방정식 115
일차방정식 이 나타내는 도형은 무엇일까?
직선의 방정식 , , 은 각각
, ,
과 같이 나타낼 수 있다.
이와 같이 직선의 방정식은 모두 에 대한 일차방정식
의 꼴로 나타낼 수 있다.
거꾸로 일차방정식 ≠ 또는 ≠ 은
≠ , ≠ 일 때,
≠ , 일 때,
, ≠ 일 때,
문제 05 다음 중 직선을 나타내는 방정식을 모두 고르시오.
(1) (2) (3) (4)
정보 처리 | 추론
수학 역량 기르기 오른쪽 그림은 의 값이 일 때,
방정식
⋯⋯ ①
이 나타내는 직선을 공학적 도구를 이용하
여 그린 것이다.
1 이 직선들은 모두 한 점 A를 지남을 알
수 있다. 공학적 도구를 이용하여 점 A
의 좌표를 확인해 보자.
2 임의의 실수 에 대하여 방정식 ①은 두 직선 ,
의 교점을 지나는 직선의 방정식이 됨을 설명해 보자.
공학적 도구를 이용할 때는
공학적 도구를 이
용하여 수학적 개념
과 원리를 이해할 수
있도록 한다.
116 Ⅲ. 도형의 방정식
02 두 직선의 평행과 수직 ⦁두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이해한다.
두 직선의 평행 조건은 무엇일까?
개 념 열 기
무타포는 조정의 한 종
류로 타수(방향을 결정
하는 사람) 없이 명이
한 팀이 되어 m를
가는 경기이다.
무타포 경기에서는 같은 쪽에 있는 노 개를 서
로 평행하도록 젓는 것이 힘을 전달하는 데 유리
하다고 한다. 오른쪽 그림은 무타포의 한 장면을
좌표평면 위에 나타낸 것이다.
(단, 노는 직선으로 생각한다.)
1 노 ①과 노 ②의 기울기를 구하시오.
2 노 ①과 노 ②는 서로 평행한지 말하시오.
좌표평면 위의 두 직선이 서로 평행할 조건을 알아보자.
두 직선
, ′ ′′이 서로 평행하면 두 직선의 기울기는 같고 절편은
다르므로
′ , ≠′이다.
거꾸로 ′이고 ≠′이면 두 직선 과 ′은 서로 평행하다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
두 직선의 평행 조건
두 직선 , ′ ′′에 대하여
과 ′이 서로 평행하면 ′ , ≠′이다.
거꾸로 ′ , ≠′이면 과 ′은 서로 평행하다.
| 참고 | ′ , ′이면 두 직선은 일치한다.
철길에서 두 직선의
평행을 생각할 수 있
다.
두 직선이 평행
2. 직선의 방정식 117
(1) 두 직선 , 는 기울기가 으로 같고 절편이 다르므로 서로 평행하다.
(2) 두 직선 , 은 서로 (평행하다, 평행하지 않다).
문제 01 다음 중 서로 평행한 직선끼리 선으로 연결하시오.
① • • ㉠
②
• • ㉡
③ • • ㉢
예제
1점 을 지나고 직선 에 평행한 직선의 방정식을 구
하시오.
직선의 방정식 을 변형하면
이므로 직선의 기울
기는 이다.
따라서 구하는 직선은 기울기가 이고 점 을 지나므로 이 직선
의 방정식은 , 즉
문제 02 점 를 지나고 다음 직선에 평행한 직선의 방정식을 구하시오.
(1) (2)
문제 해결 | 의사소통
수학 역량 기르기 두 직선 , ′ ′ ′ ′ 이 평행하기 위한 조건
을 구하려고 한다. (단, ≠ , ′′≠)
1 다음 두 학생의 설명이 옳은지를 말하고, 그 이유를 설명해 보자.
′ ′ ′이면두 직선 ′은 서로 평행해
두 직선 ′이 서로 평행하면 ′ ′ ′이야.
2 두 직선 , ′이 서로 평행하기 위한 조건을 구해 보자.
문제를 해결할 때는
문제의 조건과 정
보를 파악하고 풀이
계획을 세운다.
118 Ⅲ. 도형의 방정식
두 직선의 수직 조건은 무엇일까?
개 념 열 기 오른쪽 그림은 두 삼각자를 좌표평면 위에 놓은 것이
다. 다음을 구하시오. (단, O는 원점) 1 두 직선 OB AB의 기울기의 곱
2 두 직선 OD CD의 기울기의 곱
좌표평면 위의 두 직선이 서로 수직일 조건을 알아보자.
두 직선
, ′ ′′이 서로 수직일 조건은 원점을 지나고 두 직선 과 ′에 각각 평행한 두 직선
와 ′가 서로 수직일 조건과 같다.오른쪽 그림과 같이 직선 과 두 직선
, ′의 교점을 각각 P Q라고 하면
P , Q ′이다.두 직선 와 ′가 서로 수직이면삼각형 POQ는 직각삼각형이므로
OPOQ
PQ
이다.
이때 OP , OQ
′ , PQ
′이므로 ′ ′
이고, 이 식을 정리하면 ′ 이다.따라서 두 직선 과 ′이 서로 수직이면 ′ 이다.거꾸로 ′ 이면 두 직선 과 ′은 서로 수직이다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
두 직선의 수직 조건
두 직선 , ′ ′′에 대하여
과 ′이 서로 수직이면 ′ 이다.
거꾸로 ′ 이면 과 ′은 서로 수직이다.
2. 직선의 방정식 119
(1) 두 직선 , 는 두 기울기의 곱이 이므로 서로 수직이다.
(2) 두 직선
,
은 서로 (수직이다, 수직이 아니다).
문제 03 다음 중 서로 수직인 직선끼리 선으로 연결하시오.
① • • ㉠
②
• • ㉡
③ • • ㉢
예제
2점 를 지나고 직선 에 수직인 직선의 방정식을 구하
시오.
직선의 방정식 을 변형하면
이므로 직선의 기
울기는
이다.
구하는 직선의 기울기를 이라고 하면
× ,
따라서 구하는 직선은 기울기가 이고, 점 를 지나므로 이 직선
의 방정식은
, 즉
문제 04 점 을 지나고 다음 직선에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
(1) (2)
문제 05 두 직선 , ′ ′ ′ ′ 이 서로 수직일 조건은
′ ′ 임을 설명하시오. (단, ≠ , ′′≠)
120 Ⅲ. 도형의 방정식
03 점과 직선 사이의 거리 ⦁점과 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.
점과 직선 사이의 거리는 어떻게 구할까?
개 념 열 기 오른쪽 그림에서 발자국은 건호가 구름판을 밟
고 제자리멀리뛰기를 하여 생긴 것이다. 건호
의 기록이 m일 때, m는 어떻게 측정한 거
리인지 그림 위에 나타내시오.
좌표평면 위의 점 P 과 점 P를 지나지 않는 직선
(≠ 또는 ≠ ) 사이의 거리를 구해 보자.
≠ ≠ 일 때
오른쪽 그림과 같이 점 P에서 직선 에 내린 수선
의 발 H의 좌표를 라고 하면 직선 PH와
직선 의 기울기는 각각
,
이고, 두 직
선이 서로 수직이므로
×
이다.
이 식을 변형하면
이고, 이것을 ≠ 로 놓으면
, ⋯⋯ ①
이므로 PH는 다음과 같다.
PH
⋯⋯ ②
2. 직선의 방정식 121
한편 점 H 는 직선 위의 점이므로
⋯⋯ ③
이다.
이때 ①에서 , 를 ③에 대입하면 다음과 같다.
⋯⋯ ④
④를 ②에 대입하면PH는 다음과 같다.
PH
⋯⋯ ⑤
≠ , 일 때(직선이 축과 평행한 경우)
직선 의 방정식은
이므로
PH
이고, 이것은 ⑤에 을 대입한 것과 같다.
, ≠ 일 때(직선이 축과 평행한 경우)
와 같은 방법으로 PH는 ⑤에 을 대입한 것과 같음을 알 수 있다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
점과 직선 사이의 거리
점 P 과 점 P를 지나지 않는 직선 ≠ 또는
≠ ) 사이의 거리는
특히 원점 O와 직선 사이의 거리는 다음과 같다.
점 과 직선 사이의 거리 는
× ×
122 Ⅲ. 도형의 방정식
문제 01 다음 점과 직선 사이의 거리를 구하시오.
(1) 점 와 직선
(2) 원점과 직선
문제 02 평행한 두 직선 와 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리를
이용하여 구하는 방법을 설명하시오.
예제
1직선 에 평행하고 원점에서 거리가 인 직선의 방정식
을 구하시오.
직선 의 기울기가
이므로 이 직선에 평행한 직선의 방
정식은
, 즉 ≠
이고, 원점에서 이 직선까지 거리가 이므로
,
즉, ±
따라서 구하는 직선의 방정식은
또는
또는
문제 03 직선 에 수직이고, 점 에서 거리가 인 직선의 방정
식을 구하시오.
창의ㆍ융합
수학 역량 기르기 오른쪽 그림과 같이 세 점 O , A ,
B 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB가
있다. 삼각형 OAB의 넓이 를 구하는 방법을
가지 이상 말해 보자.
창의적 활동을 할 때는
다양한 해결 방법
을 찾는다.
2. 직선의 방정식 123
Ⅲ-2. 직선의 방정식
정답과 해설 ▶ 290쪽
개념 정리 O, X 문제
• 직선의 방정식
① 점 을 지나고 기울기가 인 직선: ② 서로 다른 두 점 , 를 지나는 직선:
• 두 직선의 평행과 수직
① 두 직선의 평행 조건 ② 두 직선의 수직 조건
• 점과 직선 사이의 거리
점 P 과 점 P를 지나지 않는 직선 ≠ 또는
≠) 사이의 거리는
다음 문장이 참이면 ○표, 거짓이면
×표를 하시오.
1 일차방정식 ≠ 또는 ≠)이 나타내는 도형은 직선이다.
2 기울기가 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만난다.
3 두 직선 은 서로 수직이다.
4 점 와 축 사이의 거리는 이다.
1 다음 직선의 방정식을 구하시오.
(1) 점 를 지나고 기울기가 인
직선
(2) 두 점 , 을 지나는 직
선
(3) 점 을 지나고 축에 평행한 직
선
3 다음 직선과 수직이고 점 을 지나
는 직선의 방정식을 구하시오.
(1)
(2)
2 다음 직선과 평행하고 점 을 지나
는 직선의 방정식을 구하시오.
(1)
(2)
4 점 과 직선 사이의
거리를 구하시오.
124 Ⅲ. 도형의 방정식
9 직선 에 평행하고, 점
에서 거리가 인 직선의 방정
식을 구하시오.5 두 점 , 를 지나는 직선이
점 을 지날 때, 상수 의 값을 모
두 구하시오.
6 세 점 A , B , C 에 대
하여 점 A와 선분 BC의 중점을 지나는
직선의 방정식이 일 때,
상수 의 값을 구하시오.
10 두 직선 , 이
이루는 각을 이등분하는 직선 중에서 기
울기가 양수인 직선의 방정식을 구하시
오.
7 두 점 , 를 지나는 직선이
직선 과 수직일 때, 상수 의
값을 구하시오. 11 다음 그림과 같이 좌표평면 위에 마름모
ABCD와 점 P 가 있다. 점 P에서
마름모 위의 한 점까지 거리의 최솟값과
최댓값을 구하시오.
8 평행한 두 직선 ,
사이의 거리가 일 때, 상수 의 값을
모두 구하시오.
2. 직선의 방정식 125
문제
해결
활동 목표 직선의 방정식을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 점 A부터 점 Y까지 점
개가 있다. 다음을 해결해 보자.
1 점 개 중에서 다음에 해당하는 점의 좌표를 각각 구해 보자.
① 직선 이 축과 만나는 점
② 점 을 지나고 기울기가
인 직선이 지나는 점
③ 두 직선 가 만나는 점
④ 두 점 을 지나는 직선이 지나는 점
⑤ 직선 이 실수 의 값에 관계없이 항상 지나는 점
⑥ 점 을 지나고 직선 과 평행한 직선이 직선 과
만나는 점
⑦ 직선 와 거리가 가장 가까운 점
⑧ 직선 에 수직이고 원점에서 거리가 인 직선의 방정식을
라고 할 때, 를 좌표, 를 좌표로 하는 점
2 1의 각 좌표에 해당하는 점을 순서대로 적어 영어 단어를 만들어 보자.
문제 만들기
3 영어 단어가 ‘HEART’가 되도록 문제를 만들어 보자.
자기 평가직선의 방정식의 개념, 성질을 이용하여 과제를 해결하였는가?문제를 적절히 만들었는가? 과제 해결 방법을 점검하는 과정이 있었는가?