1

13.4 Cauchy-Riemann 방정식, 라플라스 방정식

Cauchy-Riemann방정식은 이장에서 가장 중요한 방정식이며 복

소해석의 기둥이 되는 주된 개념들중 하나이다.

복소함수 w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)에서 f 가 정의역 D에서 해석적인

필요충분조건은 u와 v의 1계 편도함수가 D의 모든점에서 Cauchy-

Riemann 방정식을 만족하는 것이다.

xyyx vuvu −== , )1(

여기서yuu

xuu yx ∂

∂=

∂∂

= ,

2

예: 는 모든 z 에 대하여 해석적이다.ixyyxzzf 2)( 222 +−==

그리고 는 식(1)을 만족한다.xyvyxu 2 , 22 =−=

즉 이고 이다.yx vxu == 2 xy vyu −=−= 2

3

※정리1 [ Cauchy-Riemann 방정식 ]

f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 가 한점 z = x + i y 의 어떤 근방에서

정의되고 연속이며 또 z 자체에서 미분 가능하다고 하자.

그러면 그점에서 u 와 v 의 1계 편도함수가 존재하고 Cauchy-

Riemann 방정식 (1)을 만족한다.

따라서 f(z) 가 한 정의역 D 에서 해석적이면, D 의 모든점에서 그

편도한수들이 존재하고 식(1)을 만족한다.

4

(증명) 복소함수 w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) 의 미분 를

정의하면 다음과 같다.

(2)

그런데 이므로

여기서, 는 또는

이라고 나타낼 수 있으므로 이 두 값이 같아야 한다.

zzfzzfzf

z ∆−∆+

=→∆

)()(lim)(0

'

yixz ∆+∆=∆

[ ] [ ]yix

yxivyxuyyxxivyyxxuz ∆+∆

+−∆+∆++∆+∆+=

→∆

),(),(),(),(lim0

0lim→∆z 00

limlim→∆→∆ yx 00

limlim→∆→∆ xy

)(' zf

5

각각에 대하여 생각하면

경로 I은

에 해당한다.

경로 II은

에 해당한다.

00limlim→∆→∆ yx

00limlim→∆→∆ xy

y

x

zz ∆+

z

II

I

그림332 식(2)에서의 경로

6

[ ] [ ]yix

yxivyxuyyxxivyyxxuzfyx ∆+∆

+−∆+∆++∆+∆+=

→∆→∆

) ,() ,() ,() ,(limlim)('00

xyxvyxxui

xyxuyxxu

xx ∆−∆+

+∆

−∆+=

→∆→∆

) ,() ,(lim) ,() ,(lim00

xvi

xu

∂∂

+∂∂

=

경로 II

xz ∆+

z

x

y

7

[ ] [ ]yix

yxivyxuyyxxivyyxxuzfxy ∆+∆

+−∆+∆++∆+∆+=

→∆→∆

) ,() ,() ,() ,(limlim)('00

yiyxvyyxvi

yiyxuyyxu

yy ∆−∆+

+∆

−∆+=

→∆→∆

) ,() ,(lim) ,() ,(lim00

yv

yui

∂∂

+∂∂

−=

경로 IIII zz ∆+

z

x

y

8

경로 I을 통하거나 경로 II를 통하거나 그 극한 값이 같아야지만

0lim→∆z

값이 존재하므로,

f(z)가 미분가능이기 위해서는

yu

xv

yv

xu

∂∂

−=∂∂

∂∂

=∂∂ , 가 성립해야 함.

이것을 Cauchy-Riemann 방정식이라 하며

yxyx uvvu −== , 가 된다.

9

Cauchy-Riemann방정식의 의미

z평면상에서 어떤 경로를 통하더라도 그들의 극한값이 같아야지만

0lim→∆z

값이 존재 즉, 미분가능을 뜻함

x

yxz ∆+

z

10

어떤 영역내의 모든 점에서 정의되고, 그 영역내의 모든 점에서 미

분가능한 함수를 해석적 함수라 함.

2)( zzf = 은 모든 z에서 해석적

xyiyxyixzzf 2)()( 2222 +−=+==Q

= =u v

yxyx uyvvxu −==−== 2 , 2

따라서, f(z)=z는 모든 z에서 정의되고 Cauchy-Riemann 방정식을

만족하므로 해석적 함수라 함.

11

어떤 함수가 해석적이려면 Cauchy-Riemann방정식을 만족해

야 함.

zf 1= 은 z=0에서 정의되지 않으므로 z=0에서 해석적이 아님.

또 정의되지 않은 점이 있으므로 Cauchy-Riemann방정식을 만족

하지 않음.

iyxzzf −==)( 는 모든 z에서 정의되지만 11 −=≠= yx vu 로

Cauchy-Riemann방정식을 모두 z에서 만족하지 않으므로 모든 z에

서는 해석이 아님.

12

은 모든 z에 대해 해석적이다. 따라서 Cauchy-Riemann

방정식이 만족되어야 한다.

에 대하여 u=x, v=-y를 얻는다.

이때 uy=-vy=0이므로 두번째 Cauchy-Riemann 방정식이 만족되지만,

ux=1≠vy=-1이므로 첫번째식은 만족되지 않는다. 따라서 는

해석적이 아니다.(13.3절 예제 4)

2)( zzf =

iyxzzf −==)(

zzf =)(

예제1. Cauchy-Riemann방정식

13

※ 정리 2. [Cauchy-Riemann 방정식]

두 실변수 x, y의 함수이며 연속인 두 실수값 함수 u(x, y), v(x, y)

가 어떤 정의역 D에서 Cauchy-Riemann방정식을 만족하는 연속인

1계 도함수를 가지면, 그 복소 함수는 f(z)=u(x, y)+iv(x, y) D에서

해석적이다.

예제 2. Cauchy- Riemann 방정식

)3(3)()( 32233 yyxixyxiyxzf −+−=+==ω

를 대입하면iyxz +=

이 해석적인가? (해석적 = 미분가능을 의미한다)3)( zzf ==ω

14

Cauchy-Riemann 방정식이 모든 z에 대해서 만족한다.

f(z)=z3은 정리2에 의해 모든 z에 대해 해석적이다.

극형식 z=r(cosθ+ isinθ)를 사용하고, f(z)=u(r, θ)+iv(r, θ) 로 놓으면

Cauchy-Riemann방정식은 다음과 같다.

θθ ur

vvr

u rr1 , 1 )7( −==

xyuy 6−= xyvx 6=

23 3xyxu −= 323 yyxv −=이고 이며 그 편도함수는 아래와 같다.

, 33 22 yxux −=22 33 yxvy −=

15

편미분 방정식

둘 또는 그 이상의 독립변수를 갖는 다변수 함수의 편미분을 포함하는 방정을

편미분 방정식(Partial differential Equation)이라고 한다.

윗 식은 에 관한 편미분을 포함하므로 편미분 방정식이라고 한다.

적분하게 되면

0=∂∂xu

(1)

x

0=∂∂

xu ( ) ( )yfyxu =, (2)

를 포함하지 않으므로 독립변수 의

입장에서는 상수이다.

x x

보조자료- 라플라스 방정식. 조화함수

16

함수를 적분상수 처럼 취급할 수 있는점이 편미분 방정식의 성질이다.

상미분 방정식의 적분

( ) 0=∂∂ x

xu ( ) 상수=xu (3)

과 구별된다.

2

22

,,xuu

xyuu

xuu xxxyx ∂

∂=

∂∂∂

=∂∂

= (4)

대표적인 편미분 방정식

00

2

2

222

2

2

=∇

=∆

∇=∂∂

∆=∂∂

ρ

u

uCtu

utu

(열전도 방정식)

(파동 방정식)

(Laplace 방정식)

(Poisson 방정식)

17

해석함수와 라플라스 방정식

• 조화 함수의 성질

라플라스 방정식

2 22

2 2 0x yφ φφ ∂ ∂

∇ = + =∂ ∂

(1)

일반해는 독립변수 의 결합으로의 형태로 나타난다.

,x y( )x iyφ φ= +

→해석함수의 실수부와 허수부로 나타난다.

<예제1> 해석함수 의 실수부와 허수부는모두 라플라스 방정식을 만족하는 조화함수임을 보여라.

( ) ( ) ( ), ,f z u x y iv x y= +

18

가 해석함수이면 와 는Cauchy-Riemann방정식을 만족한다.

( )f z u iv= + ( ),u x y ( ),v x y

2

2

u v vx x x y x y

u v vy y y x y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(2)

(3)

가 성립하고 , 위의 두 식을 더하면2 2

2 0y u v vux x y y x y y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ = + = − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠(4)

마찬가지로 허수부 에 대해서도 같은 방법을 적용하여( ),v x y2

2 2

0

v vvx x y y

u u u ux y y x x y y x

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= − + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(5)

19

즉, 을 만족한다.2 20, 0u v∇ = ∇ =

따라서 해석함수의 실수부 및 허수부 를 공액복소수(Conjugate harmonic function)이라고 한다.

,u v

<예제2> 는 라플라스 방정식 을 만족하는조화함수이다. 이 함수의 공액 조화함수 를 구하고

를 써라.

( ),u x y xy= 2 0u∇ =( ),v x y

( )f z u iv= +

(해)Cauchy-Riemann 조건에서

를 얻는다.

( ) ( ), , +v u v ux y y xy xy x x x y y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = = = − = − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

20

, v vy xy x∂ ∂

= = −∂ ∂

(1)

를 각각 풀어

( ) ( )2 21 1, 2 2

v y f x v x g y= + = − +

최소 공배수를 구하는 것과 같이 항을 택하면

( )2 212

v y x c= − +

가 구해진다.(단 는 상수), 따라서 해석함수는

( ) ( )2 2

2

12

1 2

f z u iv xy i y x ic

iz ic

= + = + − +

= − +

(2)

c

21

그림 305에서 경로 를 선택하자.

즉 먼저 으로 한 다음 이 되게 한다.

가 0이 된 후에 가 된다.

가 존재하므로 우변에서 두 실함수의 극한이 존재한다.

I

0→∆y 0→∆x

y∆ xz ∆→∆

)(zf ′

0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) lim limx x

u x x y u x y v x x y v x yf zx x

i∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ −′ = +∆ ∆

22

정의에 의해 그들은 에 관한 와 의 편도함수이다.

그러므로 의 편도함수 는

x u v

)(zf ′)(zf

xvi

xuivuzf xx ∂

∂+

∂∂

=+=′ )( (4)

23

그림 305에서 경로 를 선택하자.

즉 먼저 으로 한 다음 이 되게 한다.

그러면 가 0이 된 후에 가 된다.

II0→∆y0→∆x

x∆ yiz ∆→∆

0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) lim lim∆y ∆y

u x y y u x y v x y y v x yf z ii y i y→ →

+ ∆ − + ∆ −′ = +∆ ∆

식 (3)으로부터

를 얻는다.

24

가 존재하므로 우변의 극한이 존재하고 에 관한 와 의 편도함수가

된다.

)(zf ′ y u v

yv

yuviuzf yy ∂

∂+

∂∂

−=+−=′ )( (5)

따라서 도함수 의 존재는 식(4)와 식(5)의 4개의 편도함수가 존재함

을 의미한다.

)(zf ′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= i

i1

25

라플라스 방정식. 조화함수

※ 정리3 [라플라스 방정식]

만일 f(z)=u(x, y)+iv(x, y) 가 정의역 D에서 해석적이면 u와 v는 D내에

서 각각 라플라스 방정식

0 )8( 2 =+=∇ yyxx uuu

(∇2은 nabla제곱이라고 한다.) 그리고

0 )9( 2 =+=∇ yyxx vvv

을 만족하며 D내에서 연속적인 2계 편도함수를 갖는다.

26

<증 명> ux=vy를 x에 관해 미분하고, uy=-vx를 y에 관해 미분하면 아래

의 (10)식을 얻는다.

xyyyyxxx vuvu −== , )10(

해석함수의 도함수는 해석적이다. 이것은 u와 v가 모든 시스템에서

연속인 편도함수를 갖는다는 것을 의미한다.

특히, 혼합 2계도함수는 서로 같다(즉 vyx=vxy ). 식(10)의 두 식을 더

하면 식(8)을 얻는다. 마찬가지로 식(9)는 ux=vy를 y에 관해서 미분한

것에서 uy=-vx 를 x에 관해서 미분한 것을 빼고 uyx=uxy 를 이용하면 얻

을 수 있다.

27

연속(continuous)인 2계 편도함수를 갖는 라플라스 방정식의 해를

조화함수라고도 한다.

→ 이러한 이론을 포텐셜 이론(potential theory)이라고 한다.

→ 해석함수의 실부와 허부는 조화함수이다

두 조화함수 u및 v가 한 정의력 D에서 Cauchy-Riemann방정식을 만

족하면 그들은 D에서 어떤 해석함수 f의 실부 및 허부가 된다. 이

때 v를 D에서 u의 공액조화함수 (Conjugate harmonic function) 이라

고 한다.

28

예제4. Cauchy-Riemann 방정식에 의한 공액조화 함수 찾기

u=x2-y2-y 가 전체 복소 평면에서 조화함수임을 증명하고 u의 공액

조화 함수 v를 구하라.

(풀이) 직접 계산에 의해 ∇2 u =0이고 ux=2x, uy=-2y-1이다. 따라서

u의 공액조화함수 v는vy=ux=2x, vx=-uy=2y+1

을 만족해야한다.

첫번째 식을 y에 관하여 적분한 다음, 그 결과를 x에 관하여 미분

하면d2 ( ) =2dxhv xy h x v yx

= + ⇒ +적분⇒미분

를 얻는다.

29

두번째 식과 비교하면, 이므로 h(x)=x+c가 된다.

따라서 v=2xy+x+c (c는 임의의 실상수)는 주어진 u의 가장 일반적

인 공액조화함수이다. 상응하는 해석함수는

f(z)=u+iv=x2-y2-y+i(2xy+x+c)=z2+iz+ic

예제4는 주어진 조화함수의 공액은 임의로 더해지는 실수인 상수

를 무시하면 유일하게 결정된다.

1dd

=xh

30

u=상수인 곡선들을 등위선(equipotential lines) 또는 u의 등고선

(Level curve)이라고 한다.

이 두 곡선모임은 서로 직교망(Orthogonal net)을 형성한다.

직교란 수직을 의미한다.

이들은 곡선모임(family of curves)을 형성하는데, v도 마찬가지다