Prof. Jeânderson de Melo Dantas

jeandersond@yahoo.com.br

Aracaju – Sergipe – Brasil

FÍSICA II

1.1 – Movimento Harmônico Simples

1 – OSCILAÇÕES

É o tipo mais básico de

oscilação.

Supondo uma partícula que se

move repetidamente de um lado

para o outro da origem de um

eixo 𝑥.

Frequência (𝑓) → número de

oscilações completas por

segundo. Unidade de 𝑓 é o hertz

(𝐻𝑧) no SI.

1 𝐻𝑧 = 1 oscilação por segundo

= 1𝑠−1 Uma grandeza relacionada a

frequência é o chamado período

(𝑇) da oscilação dado em segundos (𝑠), que é o tempo necessário para

completar uma oscilação completa (ou um ciclo)

𝑇 =1

𝑓

EXEMPLOS

1.1 – Um transdutor ultrassônico (uma espécie de alto falante), usado

para diagnostico médico, oscila com uma frequência igual a 6,7 𝑀𝐻𝑧. Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular?

Resp. 0,15 × 10−7𝑠 𝑒 4,2 × 107 𝑟𝑎𝑑/𝑠

1.2 – A corda de um piano emite um lá médio vibrando com uma

frequência primária igual a 220 𝐻𝑧. a) Calcule o período e a frequência

angular. b) Calcule a frequência angular de uma soprano emitindo um lá

uma oitava acima, que é igual a duas vezes a frequência da corda do

piano.

Resp. a) 𝑇 = 4,54 × 10−3 𝑠; 𝜔 = 1380 𝑟𝑎𝑑/𝑠 . b)𝑇 = 2,27 × 10−3𝑠; 𝜔 =2760 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de

movimento periódico ou movimento harmônico.

Uma representação gráfica de 𝑥 em função do tempo:

Uma função que representa esse movimento é dado por:

Conhecida como função do deslocamento.

𝑥𝑚 → amplitude do movimento, e depende de como o movimento foi

produzido. O índice 𝑚 indica valor máximo.

A função co-seno tem valor máximo (𝑥𝑚) variando de +1 𝑎 − 1.

𝜔𝑡 + 𝜙 → fase movimento, essa grandeza depende do tempo.

𝜙 → constante de fase (ou ângulo de fase)

O valor de ∅ depende do deslocamento e da velocidade da partícula no

instante 𝑡 = 0. A unidade de 𝜙 no SI é o radiano.

𝜔 → frequência angular do movimento. Sua unidade no SI é o 𝑟𝑎𝑑 𝑠 .

Para interpretar a constante 𝜔, temos que considerar 𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑇). Para simplificar, vamos fazer ∅ = 0, temos:

𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡) = 𝑥𝑚 cos(𝜔 𝑡 + 𝑇 )

Como a função co-seno se repete pela primeira vez quando seu argumento

(a fase) aumenta de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑, temos

𝜔 𝑡 + 𝑇 = 𝜔𝑡 + 2𝜋 ⇒ 𝜔𝑡 + 𝜔𝑇 = 𝜔𝑡 + 2𝜋

𝜔𝑇 = 2𝜋 ⇒ 𝜔 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝑓

Na linha azul temos o

deslocamento quando ∅ = 0.

Na figura (a) temos a curva

vermelha com a amplitude

𝑥𝑚′ maior (os deslocamentos

da curva vermelha paro cima

e para baixo são maiores).

Na figura (b) o período da

curva vermelha é 𝑇′ = 𝑇/2 (a

curva vermelha está

comprimida

horizontalmente). Na figura

(c) O 𝜙 = −𝜋

4𝑟𝑎𝑑 em vez de

zero (o valor negativo de ∅

desloca a curva para a

direita.

EXEMPLOS

1.3 – Qual é a constante de fase do

oscilador harmônico cuja função posição

𝑥(𝑡) aparece na figura ao lado se a função

posição é da forma 𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)? A

escala do eixo vertical é definida por

𝑥𝑠 = 6,0 𝑐𝑚.

Resp. ≈ 1,91 𝑟𝑎𝑑

1.4 – Uma partícula em oscilação harmônica simples de período 𝑇

está em −𝑥𝑚 no instante 𝑡 = 0. A partícula está em −𝑥𝑚, +𝑥𝑚, em 0,

entre −𝑥𝑚 e 0 ou entre 0 e +𝑥𝑚 no instante (a) 𝑡 = 2,00𝑇 , (b)

𝑡 = 3,50 𝑇 e (c) 𝑡 = 5,25 𝑇 ?

A velocidade do MHS

𝑣 𝑡 =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡=𝑑 𝑥𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑑𝑡

𝑣 𝑡 = −𝜔𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙

Que é a função horária da

velocidade, onde ω𝑥𝑚 é a amplitude

da velocidade.

A aceleração do MHS

𝑎 𝑡 =𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡=𝑑 −𝜔𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑑𝑡

𝑎 𝑡 = −𝜔2𝑥𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙

Que é a função horária da

aceleração, onde 𝜔2𝑥𝑚 é a amplitude

da aceleração.

1.5 – Um objeto que executa um MHS leva 0,25 𝑠 para se deslocar de

um ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A

distância entre estes pontos é de 36 𝑐𝑚 . Calcule o período, a

frequência e a amplitude do movimento.

Resp. 0,50 𝑠; 2,0 𝐻𝑧; 18 𝑐𝑚.

EXEMPLOS

1.6 – Qual é a constante de fase do

oscilador harmônico cuja função

velocidade 𝑣(𝑡) aparece na figura ao lado

se a função posição 𝑥(𝑡) é da forma

𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) ? A escala do eixo

vertical é definida por 𝑣𝑠 = 4,0 𝑐𝑚/𝑠.

1.2 – A Lei do Movimento Harmônico Simples

O movimento harmônico simples é o movimento executado por uma

partícula sujeita a uma força proporcional ao deslocamento da partícula e

de sinal oposto.

Aprendemos que:

𝑎 = −𝜔2𝑥

Pela 2ª lei de Newton

𝐹 = 𝑚. 𝑎

Temos

𝐹 = 𝑚 −𝜔2𝑥 = − 𝑚𝜔2 𝑥

Figura ao lado – Oscilador

harmônico simples. Não há

atrito com a superfície. O

bloco se move em MHS

quando é puxado ou

empurrado a partir da

posição 𝑥 = 0 e depois

liberada.

A partir da lei de Hooke:

𝐹 = −𝑘. 𝑥

Onde

𝑘 = 𝑚𝜔2

A frequência angular

𝜔 =𝑘

𝑚

Como

𝜔 =2𝜋

𝑇

Temos

𝑇 = 2𝜋𝑚

𝑘

EXEMPLOS

1.7 – Um bloco de 200 𝑔 conectado a uma mola leve, para a qual a

constante de força é 5,00 𝑁/𝑚, é livre para oscilar em uma superfície

horizontal, sem atrito. O bloco é deslocado 5,00 𝑐𝑚 do equilíbrio e

liberado do repouso. (a) Encontre o período de seu movimento. (b)

Determine a velocidade máxima do bloco. (c) Qual é a aceleração

máxima do bloco? (d) Expresse posição, velocidade e aceleração como

funções de tempo em unidade do Sistema Internacional (SI).

1.8 – Um bloco cuja massa 𝑚 é 680 𝑔 está preso a uma mola cuja

constante elástica é 65 𝑁/𝑚. O bloco é puxado sobre uma superfície

sem atrito a uma distância 𝑥 = 11 𝑐𝑚 a partir da posição de equilíbrio em

𝑥 = 0 e liberado a partir do repouso no instante 𝑡 = 0. (a) Quais são a

frequência angular, a frequência e o período do movimento resultante?

(b) Qual é a amplitude das oscilações? (c) Qual é a velocidade máxima

𝑣𝑚 do bloco e onde se encontra o bloco quando tem essa velocidade?

(d) Qual é o módulo 𝑎𝑚 da aceleração máxima do bloco? (e) Qual é a

constante de fase 𝜙 do movimento? (f) Qual é a função deslocamento

𝑥(𝑡) do sistema bloco-mola?

Resp. a) ≈ 9,8 𝑟𝑎𝑑/𝑠; ≈ 1,6 𝐻𝑧; 0,64 𝑠. b) 11 𝑐𝑚. c) 1,1 𝑚/𝑠. d) 11 𝑚/𝑠2. e) 0 𝑟𝑎𝑑. f) 0,11 cos(9,8𝑡).

1.3 – A Energia do MHS

A energia de um oscilador é transformada repetidamente de energia

cinética em energia potencial e vice-versa, enquanto a soma das duas

(𝐸𝑚 → energia mecânica) permanece constante.

A energia potencial 𝑈(𝑡)

𝐹 = −𝑑𝑈

𝑑𝑥⇒ −𝑘𝑥 = −

𝑑𝑈

𝑑𝑥⇒𝑑𝑈

𝑑𝑥= 𝑘𝑥

𝑑𝑈 = 𝑘𝑥𝑑𝑥

Escolhendo o zera da energia potencial na origem e integrando, temos

𝑑𝑈 = 𝑘 𝑥𝑑𝑥𝑥

0

𝑈

0

𝑈 =1

2𝑘𝑥2

Como 𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

𝑈 𝑡 =1

2𝑘𝑥𝑚2 𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜙

A energia cinética 𝐾, depende da velocidade

𝐾 =1

2𝑚𝑣2

Como

𝑣 = −𝑥𝑚𝜔 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)

Então

𝐾 =1

2𝑚𝑥𝑚

2 𝜔2𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜙 =1

2𝑚𝜔2𝑥𝑚

2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔𝑡 + 𝜙)

Sabemos que

𝜔2 =𝑘

𝑚→ 𝑘 = 𝑚𝜔2

Então

𝐾 =1

2𝑘𝑥𝑚2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔𝑡 + 𝜙)

A energia mecânica

𝐸 = 𝐾 + 𝑈

Então

𝐸 =1

2𝑘𝑥𝑚2 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜙 +

1

2𝑘𝑥𝑚2 𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜙

𝐸 =1

2𝑘𝑥𝑚2 𝑠𝑖𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝑐𝑜𝑠2 𝜔𝑡 + 𝜙

1

Então

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 =1

2𝑘𝑥𝑚2

EXEMPLOS

1.9 – Suponha que o bloco possui uma massa 𝑚 = 2,72 × 105𝑘𝑔 e foi

projetado para oscilar em uma frequência 𝑓 = 10,0 𝐻𝑧 e com amplitude

𝑥𝑚 = 20,0 𝑐𝑚. (a) Qual é a energia total 𝐸 do sistema bloco-mola? (b)

Qual é a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de equilíbrio?

Resp. (a) ≈ 2,1 × 107 𝐽 (b) 12,6 𝑚/𝑠

1.10 – Um carrinho de 0,500 𝑘𝑔 conectado a uma mola leve com

constante de força 20,0 𝑁/𝑚 oscila em um trilho de ar horizontal, sem

atrito. (a) Calcule a velocidade máxima do carrinho se a amplitude do

movimento é de 3,00 𝑐𝑚. (b) Qual é a velocidade do carrinho quando a

posição é 2,00 𝑐𝑚? (c) Compute as energias cinéticas e potenciais do

sistema quando a posição do carrinho é 2,00 𝑐𝑚.

Resp. (a) 0,190 𝑚/𝑠. (b) ±0,141 𝑚/𝑠. (c) 𝐾 = 5 × 10−3𝐽; 𝑈 = 4 × 10−3 𝐽

1.4 – Pêndulos

Nesta classe de osciladores harmônicos simples (OHS) a força de retorno

está associada à gravitação, e não às propriedades elásticas de um fio ou

de uma mola.

Considere um pêndulo simples, composto por uma partícula de massa 𝑚

(chamada de peso do pêndulo), suspensa por uma das extremidades de

um fio inextensível de massa desprezível e comprimento 𝐿 , cuja

extremidade está fixa.

O peso está livre para oscilar para a

esquerda e para a direita de uma reta

vertical que passa pelo ponto fixo do fio.

As forças que agem sobre o peso são a

tração exercida pelo fio (𝑇 ) e a força

gravitacional 𝐹𝑔.

𝐹𝑔 pode ser decomposta numa

componente radial 𝐹𝑔 cos 𝜃 e uma

tangencial −𝐹𝑔 sin 𝜃.

Sendo:

𝐹𝑇 = 𝑚. 𝑎𝑇 ; 𝑎𝑇 =𝑑𝑣

𝑑𝑡; 𝑣 = 𝑅𝜔 𝑒 𝑅 = 𝐿

Temos:

𝑎𝑇 = 𝐿𝑑𝜔

𝑑𝑡 𝑒 𝜔 =

𝑑𝜃

𝑑𝑡⇒ 𝑎𝑇 = 𝐿

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

Então:

−𝑚 𝑔 sin 𝜃 = 𝑚𝐿𝑑2𝜃

𝑑𝑡2⇒𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+𝑔

𝐿sin 𝜃 = 0

Sendo que 𝜃 é pequeno, ou seja, pequenas amplitudes: sin 𝜃 ≈ 𝜃

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+𝑔

𝐿𝜃 = 0 (𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙)

𝜃 = 𝜃0 cos(𝜔𝑡 + ∅)

Fazendo:

𝜔2 =𝑔

𝐿⇒ 𝑇 =

2𝜋

𝜔⇒ 𝑇 = 2𝜋

𝐿

𝑔

EXEMPLOS

1.11 – Calcule a frequência e o período de um pêndulo simples de

1000 𝑚 de comprimento em um local onde 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠2. Resp. 2,007 𝑠; 0,4983 𝐻𝑧.

1.12 – Suponha que um pêndulo simples é formado por um pequeno

peso de 60,0 𝑔 pendurado na extremidade de uma corda de massa

desprezível. Se o ângulo 𝜃 entre a corda e a vertical é dado por

𝜃 = 0,0800 𝑟𝑎𝑑 cos 4,43 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑡 + 𝜙

Quais são (a) o comprimento da corda e (b) a energia cinética máxima

do peso?

Resp. (a) 𝐿 = 0,499 𝑚 (b) 9,40 × 10−4 𝐽

1.5 – Pêndulo Físico

Qualquer corpo rígido que pode oscilar livremente em torno de um eixo

horizontal, sob a ação da gravidade constitui um pêndulo físico.

O pêndulo físico está deslocado de um ângulo 𝜃 em relação à posição de

equilíbrio. A força gravitacional está aplicada ao centro de massa C, a uma

distância ℎ do ponto fixo 0.

Tomando o braço da alavanca.

Sendo 𝐼 o momento de inércia do corpo,

e a aceleração angular

𝑎 =𝑑2𝜃

𝑑𝑡2

𝐼𝑎 = 𝜏 ⇒ 𝐼𝑑2𝜃

𝑑𝑡2= −𝑚𝑔ℎ sin 𝜃

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2+𝑚𝑔ℎ

𝐼𝜃 = 0 ⇒ 𝜔 =

𝑚𝑔ℎ

𝐼

𝜔 =2𝜋

𝑇⇒ 𝑇 = 2𝜋

𝐼

𝑚𝑔ℎ

EXEMPLOS

1.13 – Na figura ao lado uma régua de um

metro oscila em torno de um ponto fixo em uma

das extremidades, a uma distância ℎ do centro

de massa da régua. Qual é o período de

oscilação 𝑇?

Resp. 1,64 𝑠

1.14 – Uma barra uniforme de massa 𝑀 e

comprimento 𝐿 é centrada em uma

extremidade e oscila em um plano vertical

(figura ao lado). Encontre o período da

oscilação se a amplitude do movimento é

pequena.

Resp.

𝑇 = 2𝜋2𝐿

3𝑔

1.6 – MHS Amortecido

Quando o movimento de um oscilador é reduzido por uma força externa,

dizemos que o oscilador e seu movimento são amortecidos.

Um pêndulo embaixo d´água ou oscilando no ar.

Um exemplo idealizado de um oscilador

amortecido é mostrado na figura ao

lado, no qual um bloco de massa 𝑚

oscila verticalmente preso a uma mola

de constante elástica 𝑘 . Supondo a

barra e a palheta com massas

desprezíveis. Quando a palheta se

move para cima e para baixo o líquido

exerce uma força de arrasto sobre todo

o sistema. A energia mecânica diminui,

porém a térmica aumenta (líquida e da

palheta).

Dizemos que:

𝐹𝑎 = −𝑏𝑣

𝐹𝑎 → força de amortecimento

𝑏 → constante de amortecimento

𝑣 → velocidade da palheta e do bloco

A força exercida pela mola sobre o bloco é

𝐹𝑚 = −𝑘𝑥

Supondo que a força gravitacional é desprezível em comparação com 𝐹𝑚 e

𝐹𝑎. Podemos escrever a segunda lei de Newton como:

−𝑏𝑣 − 𝑘𝑥 = 𝑚𝑎

Como

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 𝑒 𝑎 =

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

Temos

−𝑏𝑑𝑥

𝑑𝑡− 𝑘𝑥 = 𝑚

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2⇒ 𝑚

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 𝑘𝑥 = 0

Ou seja, a solução é

𝑥 𝑡 = 𝑥𝑚𝑒−𝑏𝑡

2𝑚 cos 𝜔′𝑡 + 𝜙

Em que 𝑥𝑚 é a amplitude e 𝜔′ é a frequência angular dos osciladores

amortecidos.

𝜔′ =𝑘

𝑚−𝑏2

4𝑚2

Se 𝑏 = 0 (sem amortecimento)

𝜔′ =𝑘

𝑚= 𝜔

Assim

𝑥 𝑡 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)

Se a constante de amortecimento é pequena, mas diferente de zero

𝑏 ≪ 𝑘𝑚 ⇒ 𝜔′ ≈ 𝜔

Para a função do

deslocamento, 𝑥(𝑡) , a

amplitude é dada por

𝑥𝑚𝑒−𝑏𝑡

2𝑚

A energia então não é

constante; oscilador sem

amortecimento

𝐸 =1

2𝑘𝑥𝑚2 ⇒ 𝐸 𝑡 =

1

2𝑘𝑥𝑚2 𝑒

−𝑏𝑡𝑚

A energia mecânica diminui exponencialmente com o tempo.

EXEMPLOS

1.15 – Na figura abaixo, o bloco possui uma massa de 1,50 𝑘𝑔 e a

constante elástica é 8,00 𝑁/𝑚. A força de amortecimento é dado por

– 𝑏(𝑑𝑥/𝑑𝑡), onde 𝑏 = 230 𝑔/𝑠. o bloco é puxado 12,0 𝑐𝑚 para baixo e

liberado. Calcule o tempo necessário para que a amplitude das

oscilações resultantes diminua um terço do valor inicial. Quantas

oscilações o bloco realiza nesse intervalo de tempo?

(Resp. 14,3 𝑠; 5,27)

1.7 – Oscilações Forçadas

Vimos que o oscilador amortecido diminui com o tempo, como resultado de

uma força resistiva.

Para compensar essa diminuição se aplica uma força externa periódica.

Para um oscilador forçado

𝐹 𝑡 = 𝐹0 sin𝜔′𝑡

𝐹0 → constante

𝜔′ → frequência angular da força externa

Pela 2ª lei de Newton (𝐹 = 𝑚𝑎)

𝐹0 sin𝜔′𝑡 − 𝑏

𝑑𝑥

𝑑𝑡− 𝑘𝑥 = 𝑚

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

A solução

𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔′𝑡 + 𝜙)

Onde

𝑥𝑚 =

𝐹0𝑚

𝜔′2 − 𝜔2 2 +𝑏𝜔𝑚

212

Quando a frequência 𝜔′ da força

externa é igual à natural 𝜔 do

oscilador, ocorre ressonância.

A amplitude aumenta com menor

amortecimento (𝑏 → 0) e a curva de

ressonância fica mais larga

conforme o amortecimento aumenta.

Ressonância é a tendência e um

sistema a oscilar em máxima

amplitude em certas frequências ou

comprimento de ondas, conhecido

como 'frequências ressonantes'.

Nessas frequências, até mesmo

forças periódicas pequenas podem

produzir vibrações de grande

amplitude, pois o sistema armazena

energia vibracional.