PRIMA ESERCITAZIONE DI

COSTRUZIONI IDRAULICHE

Anno scolastico 2007/2008Corso di laurea in Ingegneria Civile

STUDENTE: Di Lenarda RobertoMATRICOLA: 73324

ESERCITAZIONE n° 1.1

Moto uniforme delle correnti a pelo libero: dimensionamento di un canale in terra di forma trapezia

Si dimensioni un canale di bonifica in terra di forma trapezia per il trasporto di una portata Q, ipotizzando una velocità massima vmax. Si assuma un coefficiente di scabrezza di Strickler pari a Ks e una pendenza delle sponde di 1/m.

Dimensionato il canale, si determini la profondità di moto uniforme corrispondente ad una portata pari a Qa.

RANGE DATI:

Valore min Valore max

Q 2 8 mc/s

vmax 0,4 0,6 m/s

Ks 35 40 m1/3/s

Qa 5 6 mc/s

1/m ½ oppure 2/3

DATI SELEZIONATI:

Valore min

Q 7 mc/s

vmax 0,5 m/s

Ks 35 m1/3/s

Qa 5 mc/s

1/m ½

PRIMA PARTE

Svolgimento della prova:

Innanzitutto andiamo a calcolare l’area minima indispensabile a far scorrere la portata che abbiamo scelto come dato di progetto.

Utilizzando la formula:

attraverso la quale arriviamo a calcolare che l’area minima nel nostro caso sarà quindi:

Andiamo ora a calcolare il tirante y.Nel nostro caso la sezione è trapezoidale e quindi il nostro tirante approssimato sarà:

Per determinare la base minore del trapezio utilizziamola seguente tabella che mette in relazione il tirante calcolato prima e la base minore che ci interessa calcolare:

y [m] 0.5 1 1.5 2 2.5 3

B [m] 1-1.2 1.5-2.5

4-5.5 7-9 11-14

16-22

Dalla quale ricaviamo quindi che B=6.8 m.

Calcoliamo ora il tirante minimo per un canale a sezione trapezoidale di cui abbiamo l’area Amin nota:

Dalla quale ricaviamo il tirante y che quindi diventa:

Avendo ora calcolato sia la base che il tirante possiamo calcolare il perimetro bagnato del trapezio che quindi sarà dato dalla formula:

Ricavato il perimetro bagnato troviamo il raggio idraulico che sarà dato dal rapporto tra l’area minima ed il perimetro bagnato appena calcolato:

Bisogna ora calcolare la pendenza del canale. Per fare questo utilizziamo la formula di Manning che ci permette di calcolare la portata in funzione della pendenza cioè:

dalla quale riusciamo quindi a ricavare la pendenza if avendo già calcolato tutti i termini che compaiono nella formula:Avremo quidi che:

Il canale è quindi dimensionato in quanto sono stati calcolati tutti i dati necessari.

SECONDA PARTE

Partendo dalla formula di Manning e cioè:

sostituendo nella quale le relazioni che legano ogni termine otteniamo:

Andiamo quindi a calcolare la profondità di moto uniforme che ci consente di ottenere una portata pari a Qa.La profondita y di moto uniforme sarà data dalla:

Dalla quale essendo y=f(y) bisogna procedere al calcolo della profondità per via iterativa:

Partendo da y(0)=ymin=1,44m otteniamo:

=1.183 m

=1.205 m

=1.203 m

=1.203 m

Quindi dopo 4 iterazioni abbiamo calcolato la profondità di moto uniforme (uno scarto di 0.001 m) che è pari a 1.203 m per una portata Qa di 5 m3/s.

ESERCITAZIONE n° 1.2

Moto uniforme delle correnti a pelo libero: scala delle portate

Un corso d’acqua presenta, nella sua parte valliva, un tratto con pendenza media del fondo pari a if, e una sezione costante caratterizzata da un alveo di magra e zone golenali (vedi figura sottostante). La pendenza di tutte le sponde è pari a 1/m, mentre il coefficiente di scabrezza di Gauckler-Strickler può essere considerato uniforme su tutta la sezione, con un valore di Ks Si richiede:

1. il calcolo delle portate corrispondenti ad una profondità compresa tra 0 e max(h+h1, h+h2) m, nelle due ipotesi di sezione compatta e sezione suddivisa in sottosezioni;

2. la determinazione della scala di deflusso in entrambi i casi.

Range Dati: if = 0.2 ÷ 0.6 % 1/m = 1/2 oppure 2/3 Ks = 35 ÷ 40 m1/3/s b = 10 ÷ 15 m g1,g2 = 20 ÷ 25 m h, h’ = 2 ÷ 3 m h1,h2 = 3÷4m

Dati selezionati: if = 0.4 % 1/m = 1/2 Ks = 37 m1/3/s b = 10 m g1,g2 = 21 m h = 2.7 , h’ = 2.1 m h1 = 3.7 , h2 = 3.1 m

Determinazione della scala delle portate con l’ipotesi di sezione compatta

Il coefficiente di scabrezza di Gauckler-Strickler può essere considerato uniforme su tutta la sezione, con un valore di 40 m1/3/s. Vogliamo calcolare le portate corrispondenti ad un tirante y compreso tra 0 e 6 m ipotizzando la sezione compatta.

Poiché

dove

con A(y) e P(y) calcolati in funzione del tirante y mediante le seguenti espressioni:

0≤y≤2.1A(y) = y (b + my)

A(y=2.1) = 29.82 m²P(y=2.1(inf)) = 19.39 m

2.1≤y≤2.7A(y) = A (y=2.4) + ( y – 2.4 ) [ b1 + m( y - 2.4 )] P(y) = A( y=2.7) = 54.18 m2

P( y=2.7(inf)) = 43.075 m 2.7≤y≤5.8

A(y) = A (y=2.8) + ( y – 2.8 ) [b2 + m( y - 2.8 ) ]

A( y=5.8) = 268.08 m2

P( y=5.8) = 77.938 m

A questo punto è possibile calcolare la portata in funzione del tirante:

ottenendo così la seguente tabella ed i relativi diagrammi:

y A(y) P(y) R(y) v(y) Q y A(y) P(y) R(y) v(y) Q0,100 1,020 10,447 0,098 0,496 0,506 3,100 79,620 65,864 1,209 2,656 211,4320,200 2,080 10,894 0,191 0,776 1,614 3,200 86,080 66,311 1,298 2,785 239,706

0,300 3,180 11,342 0,280 1,002 3,188 3,300 92,580 66,758 1,387 2,910 269,4170,400 4,320 11,789 0,366 1,198 5,177 3,400 99,120 67,205 1,475 3,032 300,5370,500 5,500 12,236 0,449 1,373 7,552 3,500 105,700 67,652 1,562 3,151 333,0430,600 6,720 12,683 0,530 1,532 10,297 3,600 112,320 68,100 1,649 3,267 366,9130,700 7,980 13,130 0,608 1,679 13,398 3,700 118,980 68,547 1,736 3,380 402,1270,800 9,280 13,578 0,683 1,816 16,850 3,800 125,680 68,994 1,822 3,490 438,6660,900 10,620 14,025 0,757 1,944 20,646 3,900 132,420 69,441 1,907 3,599 476,5141,000 12,000 14,472 0,829 2,065 24,784 4,000 139,200 69,889 1,992 3,704 515,6561,100 13,420 14,919 0,900 2,181 29,263 4,100 146,020 70,336 2,076 3,808 556,0771,200 14,880 15,367 0,968 2,290 34,082 4,200 152,880 70,783 2,160 3,910 597,7651,300 16,380 15,814 1,036 2,396 39,240 4,300 159,780 71,230 2,243 4,010 640,7071,400 17,920 16,261 1,102 2,497 44,740 4,400 166,720 71,677 2,326 4,108 684,8941,500 19,500 16,708 1,167 2,594 50,583 4,500 173,700 72,125 2,408 4,204 730,3131,600 21,120 17,155 1,231 2,688 56,770 4,600 180,720 72,572 2,490 4,299 776,9571,700 22,780 17,603 1,294 2,779 63,305 4,700 187,780 73,019 2,572 4,392 824,8151,800 24,480 18,050 1,356 2,867 70,189 4,800 194,880 73,466 2,653 4,484 873,8801,900 26,220 18,497 1,418 2,953 77,426 4,900 202,020 73,913 2,733 4,575 924,1452,000 28,000 18,944 1,478 3,036 85,018 5,000 209,200 74,361 2,813 4,663 975,6012,100 29,820 19,391 1,538 3,118 92,969 5,100 216,420 74,808 2,893 4,751 1028,2432,100 29,820 40,391 0,738 1,912 57,001 5,200 223,680 75,255 2,972 4,838 1082,0642,200 33,780 40,839 0,827 2,062 69,655 5,300 230,980 75,702 3,051 4,923 1137,0592,300 37,780 41,286 0,915 2,206 83,330 5,400 238,320 76,150 3,130 5,007 1193,2212,400 41,820 41,733 1,002 2,343 97,998 5,500 245,700 76,597 3,208 5,090 1250,5472,500 45,900 42,180 1,088 2,476 113,635 5,600 253,120 77,044 3,285 5,172 1309,0312,600 50,020 42,628 1,173 2,603 130,220 5,700 260,580 77,491 3,363 5,252 1368,6702,700 54,180 43,075 1,258 2,727 147,734 5,800 268,080 77,938 3,440 5,332 1429,4582,700 54,180 64,075 0,846 2,093 113,3722,800 60,480 64,522 0,937 2,241 135,5542,900 66,820 64,969 1,028 2,384 159,3203,000 73,200 65,416 1,119 2,522 184,626

Dai diagrammi che seguono le tabelle sopra riportate si nota che ci sono delle zone di discontinuità Tale assurdo si elimina suddividendo l’alveo in sottosezioni.

Otteniamo quindi il grafico della portata in funzione del tirante:

Metodo minimi quadrati per il calcolo degli errori nel caso di sezione compatta

Per quanto riguarda la portata questa verrà espressa nella forma da cui passando ai logaritmi da entrambe le parti otteniamo .Per tracciare la curva linearizzatrice ai minimi quadrati è necessario calcolare i coefficienti A e B dell’equazione in modo da poter disegnare la retta su di un grafico logaritmico.Andiamo a calcolare quindi varianza e covarianza per sostituirli in A eB:

covarianza

varianza

si procede quindi con il calcolo di A e B:

A=S x,y/S N,y 2= 2,096

B=X med – (S x,y/S N,y 2 ) Y med = 3,231 da cui σ= 10 3,231 = 25,306

Una volta che abbiamo calcolato A e B possiamo andare a disegnare questa retta sulla scala bilogaritmica delle portate.

Linea Arancio:

Determinazione della scala delle portate con ipotesi di sezione suddivisa in sottosezioni

Allo stesso modo di prima otteniamo le espressioni di area e perimetro bagnato in funzione del tirante:

Alveo Centrale (1) :

0≤y≤2.1A(y) = y (b + my)

A(y=2.1) = 29.6 1m²P(y=2.1) = 19.391m

2.1≤y≤2.7A(y) = A (y=2.1) + ( y – 2.1 ) [b1 + m( y - 2.1 )] P(y) = A( y=2.7) = 41,010 m2

P( y=2.7) = 20,733 m

2.7≤y≤5.8 A(y) = A (y=2.7) + ( y – 2.7 ) [b2 + m( y - 2.7 ) ]

A( y=5,8) = 101,15 m2

P( y=5,8) = 20,733 m

Alveo di Sinistra (3) :

2.1≤y≤5.8A(y) = ( y – 2.1 ) [g1 + m( y – 2.1)/2]

A(y=5,8) = 90,77 m2

P(y =5,8) = 29,273 m

Alveo di Destra (2) :

2.7≤y≤5.8A(y) = ( y – 2.7 ) [g2 + m( y – 2.7)/2]

A(y=5.8) = 74,71 m2

P(y =5.8) = 27,932 m

Vado quindi a ricavare una tabella con i valori relativi alla sezione suddivisa. Questi valori andranno inseriti, come nel caso di sezione compatta, in due grafici. Il primo scala lineare delle portate e il secondo la scala bilogaritmica delle portate.

y A1 P1 R1 v1 Q1 A2 P2 R2 v2 Q2 A3 P3 R3 v3 Q3 Qtot

0,100 1,210 10,447 0,116 0,556 0,673 0,673

0,200 2,440 10,894 0,224 0,863 2,106 2,106

0,300 3,690 11,342 0,325 1,107 4,085 4,085

0,400 4,960 11,789 0,421 1,314 6,517 6,517

0,500 6,250 12,236 0,511 1,495 9,346 9,346

0,600 7,560 12,683 0,596 1,657 12,530 12,530

0,700 8,890 13,130 0,677 1,804 16,040 16,040

0,800 10,240 13,578 0,754 1,939 19,854 19,854

0,900 11,610 14,025 0,828 2,063 23,953 23,953

1,000 13,000 14,472 0,898 2,179 28,321 28,321

1,100 14,410 14,919 0,966 2,287 32,949 32,949

1,200 15,840 15,367 1,031 2,388 37,824 37,824

1,300 17,290 15,814 1,093 2,484 42,940 42,940

1,400 18,760 16,261 1,154 2,574 48,290 48,290

1,500 20,250 16,708 1,212 2,660 53,867 53,867

1,600 21,760 17,155 1,268 2,742 59,666 59,666

1,700 23,290 17,603 1,323 2,820 65,684 65,684

1,800 24,840 18,050 1,376 2,895 71,918 71,918

1,900 26,410 18,497 1,428 2,967 78,363 78,363

2,000 28,000 18,944 1,478 3,036 85,018 85,018

2,100 29,610 19,391 1,527 3,103 91,880 91,880

2,100 29,610 19,391 1,527 3,103 91,880 0,000 21,000 0,000 0,000 0,000 91,880

2,200 31,460 19,615 1,604 3,206 100,872 2,110 21,224 0,099 0,502 1,060 101,931

2,300 33,330 19,839 1,680 3,307 110,225 4,240 21,447 0,198 0,794 3,367 113,593

2,400 35,220 20,062 1,756 3,405 119,939 6,390 21,671 0,295 1,037 6,624 126,563

2,500 37,130 20,286 1,830 3,501 130,010 8,560 21,894 0,391 1,251 10,710 140,720

2,600 39,060 20,510 1,904 3,595 140,437 10,750 22,118 0,486 1,447 15,551 155,988

2,700 41,010 20,733 1,978 3,687 151,218 12,960 22,342 0,580 1,628 21,094 172,313

2,700 41,010 20,733 1,978 3,687 151,218 12,960 22,342 0,580 1,628 21,094 0,000 21,000 0,000 0,000 0,000 172,313

2,800 42,950 20,733 2,072 3,803 163,328 15,170 22,565 0,672 1,796 27,243 2,110 21,224 0,099 0,502 1,060 191,630

2,900 44,890 20,733 2,165 3,916 175,808 17,400 22,789 0,764 1,955 34,015 4,240 21,447 0,198 0,794 3,367 213,189

3,000 46,830 20,733 2,259 4,028 188,652 19,650 23,012 0,854 2,106 41,387 6,390 21,671 0,295 1,037 6,624 236,663

3,100 48,770 20,733 2,352 4,139 201,857 21,920 23,236 0,943 2,251 49,339 8,560 21,894 0,391 1,251 10,710 261,906

3,200 50,710 20,733 2,446 4,248 215,416 24,210 23,460 1,032 2,390 57,855 10,750 22,118 0,486 1,447 15,551 288,822

3,300 52,650 20,733 2,539 4,356 229,326 26,520 23,683 1,120 2,523 66,921 12,960 22,342 0,580 1,628 21,094 317,340

3,400 54,590 20,733 2,633 4,462 243,581 28,850 23,907 1,207 2,652 76,523 15,190 22,565 0,673 1,797 27,302 347,407

3,500 56,530 20,733 2,727 4,567 258,179 31,200 24,130 1,293 2,777 86,652 17,440 22,789 0,765 1,958 34,145 378,976

3,600 58,470 20,733 2,820 4,671 273,114 33,570 24,354 1,378 2,898 97,298 19,710 23,012 0,856 2,110 41,598 412,009

3,700 60,410 20,733 2,914 4,774 288,383 35,960 24,578 1,463 3,016 108,452 22,000 23,236 0,947 2,256 49,640 446,475

3,800 62,350 20,733 3,007 4,875 303,983 38,370 24,801 1,547 3,130 120,107 24,310 23,460 1,036 2,396 58,254 482,344

3,900 64,290 20,733 3,101 4,976 319,910 40,800 25,025 1,630 3,242 132,256 26,640 23,683 1,125 2,531 67,426 519,592

4,000 66,230 20,733 3,194 5,076 336,160 43,250 25,249 1,713 3,350 144,894 28,990 23,907 1,213 2,661 77,143 558,198

4,100 68,170 20,733 3,288 5,174 352,731 45,720 25,472 1,795 3,456 158,015 31,360 24,130 1,300 2,787 87,394 598,140

4,200 70,110 20,733 3,382 5,272 369,620 48,210 25,696 1,876 3,560 171,614 33,750 24,354 1,386 2,909 98,169 639,403

4,300 72,050 20,733 3,475 5,369 386,823 50,720 25,919 1,957 3,661 185,687 36,160 24,578 1,471 3,027 109,459 681,968

4,400 73,990 20,733 3,569 5,465 404,337 53,250 26,143 2,037 3,760 200,229 38,590 24,801 1,556 3,142 121,257 725,823

4,500 75,930 20,733 3,662 5,560 422,160 55,800 26,367 2,116 3,857 215,238 41,040 25,025 1,640 3,254 133,556 770,954

4,600 77,870 20,733 3,756 5,654 440,290 58,370 26,590 2,195 3,953 230,710 43,510 25,249 1,723 3,364 146,349 817,349

4,700 79,810 20,733 3,849 5,748 458,723 60,960 26,814 2,273 4,046 246,643 46,000 25,472 1,806 3,470 159,631 864,997

4,800 81,750 20,733 3,943 5,840 477,458 63,570 27,037 2,351 4,138 263,032 48,510 25,696 1,888 3,574 173,398 913,887

4,900 83,690 20,733 4,037 5,932 496,491 66,200 27,261 2,428 4,228 279,877 51,040 25,919 1,969 3,676 187,643 964,011

5,000 85,630 20,733 4,130 6,024 515,820 68,850 27,485 2,505 4,316 297,175 53,590 26,143 2,050 3,776 202,365 1015,360

5,100 87,570 20,733 4,224 6,114 535,444 71,520 27,708 2,581 4,403 314,924 56,160 26,367 2,130 3,874 217,558 1067,925

5,200 89,510 20,733 4,317 6,204 555,360 74,210 27,932 2,657 4,489 333,122 58,750 26,590 2,209 3,970 233,219 1121,701

5,300 91,450 20,733 4,411 6,294 575,565 76,920 28,155 2,732 4,573 351,768 61,360 26,814 2,288 4,064 249,346 1176,679

5,400 93,390 20,733 4,504 6,382 596,059 79,650 28,379 2,807 4,656 370,860 63,990 27,037 2,367 4,156 265,935 1232,854

5,500 95,330 20,733 4,598 6,471 616,838 82,400 28,603 2,881 4,738 390,397 66,640 27,261 2,445 4,246 282,984 1290,219

5,600 97,270 20,733 4,692 6,558 637,901 85,170 28,826 2,955 4,818 410,378 69,310 27,485 2,522 4,335 300,491 1348,771

5,700 99,210 20,733 4,785 6,645 659,246 87,960 29,050 3,028 4,898 430,802 72,000 27,708 2,599 4,423 318,454 1408,503

5,800 101,150 20,733 4,879 6,731 680,871 90,770 29,273 3,101 4,976 451,668 74,710 27,932 2,675 4,509 336,871 1469,411

Si nota che considerando la sezione composta nel grafico non compaiono più quelle discontinuità che c’erano nel caso di sezione compatta

Calcolo degli errori nel caso di sezione composta

Andiamo anche in questo caso a calcolare gli errori e a trovare la retta come nel caso di sezione compatta. Si utilizzano le stesse formule del caso precedente.

Andiamo a calcolare quindi varianza e covarianza per sostituirli in A eB:

covarianza

varianza

si procede quindi con il calcolo di A e B:

A=S x,y/S N,y 2= 2,028137

B=X med – (S x,y/S N,y 2 ) Y med = 3,419983 da cui:

σ= 10 3,419983 = 30,56891