13) Sistema de Control Retro Aliment Ado
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1
ANÁLISIS DINÁMICO DEL CONTROL
PID
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Química y Textil
Curso: “Simulación y Control de Procesos”
PI426
Profesor: Ing. Celso Montalvo
CELSO MONTALVO 2
Sistemas de Control Retroalimentado
• Consideremos el control de temperatura en el tanque por
rebose, donde el controlador abre ó cierra la válvula de vapor
en respuesta a los cambios de temperatura de salida.
C
TC M
F = cte
TT
TF = var
TC
V = var
• Balance de Masa:
• Balance de Energía:
• Transformando:
CF
dt
dTMCpCCpTVLFCpT
F
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1
1( ) ( )
1
F
F
F
FC p s L s FC p s M C p s s
MFC p s L s s FC p s
F
Ls s
s FC p
T V T T
T V T
T T V
CELSO MONTALVO 3
Sistemas de Control Retroalimentado
• Esta ecuación es el modelo del Proceso.
• El Diagrama de Bloques de este Sistema es:
C
TC M
F= cte
TT
TF = var
TC
V= var
1( ) ( )
1F
Ls s
s FC pT T V
Gv(s)
Gm(s)
1
1
s
TC(s)
+
+
FCp
LV(s)
TF(s)
+
-TR(s)Gc(s)
Proceso
Sistema de Control
Controlador
ss
KcsGcD
I
11)(
• El Controlador PID tiene la función de tres componentes.
• Una válvula lineal puede tener una función de 1er Orden, ó si el
actuador es rápido la función es simplemente Kv.
1)(
s
KvsGv
v1
)(s
eKmsGm
m
sd
• El Medidor puede tener retraso de 1er orden ó tiempo muerto.
CELSO MONTALVO 4
Sistemas de Control Retroalimentado
• Aplicando la regla de los Lazos de Retroalimentación para
efectos de la Perturbación:
Gv(s)
Gm(s)
1
1
s
TC(s)
+
+
FCp
LV(s)
TF(s)
+
-TR(s)Gc(s)
1( ) ( )
1( )
( ) 11 ( ) ( ) ( )
1
R
LG c s G v s
FCp ss
s LG c s Gv s Gm s
FCp s
T
T
• Para cambios en el Setpoint:
1
( ) 1
( ) 11 ( ) ( ) ( )
1
F
s s
s LG c s G v s G m s
FC p s
T
T
CELSO MONTALVO 5
Sistemas de Control Retroalimentado
• Las respuestas transitorias para perturbaciones de proceso y
para cambios en el setpoint (ambos escalón unitario) son:
1 1 10.6 1 5
( ) 2 0.5 1 4 1
1 1 1 1( )1 0.6 1 5
2 0.5 1 4 1 0.1 1
R
s s s s
s
s s s s
T
T
1
( ) 4 1
1 1 1 1( )1 0.6 1 5
2 0.5 1 4 1 0.1 1
F
s s
s
s s s s
T
T
• Suponiendo:
1
4 1s
TC(s)
+
+
TF(s)
+
-TR(s)
1
0.1 1s
5
0.5 1s
10.6 1
2 s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
CELSO MONTALVO 6
Valor Final del Control PID
• Si un proceso con un Controlador Proporcional se perturba con
un step su respuesta será:
• Si el controlador es PI:
11( )
1 ( ) ( )1
K p
ss
K p sK c G v s K v G m s
s
T11
1 ( ) ( )
1
K p
s
s K c G v s K v K p G m s s
s
1 ( ) ( )
K p
s K c G v s K v K p G m s s 0
1lim ( ) lim
1 ( ) ( ) 1t s
KpT t s
s Kc Gv s Kv Kp Gm s s Kc Kv
11( )
11 1 ( ) ( )
1I
K p
ss
sK pK c G v s K v G m s
s s
T11
1 1 ( ) ( )
1
I I
I
K p
s
s s K c s G v s K v K p G m s s
s s
1 1 ( ) ( )
I
I I
K p s
s s K c s G v s K v K p G m s 0
lim ( ) lim 01 1 ( ) ( )
I
t sI I
Kp sT t s
s s Kc s Gv s Kv Kp Gm s s
CELSO MONTALVO 7
Valor Final del Control PID
• Si el Controlador es PD:
11( )
1 1 ( ) ( )1
D
K p
ss
K p sK c s G v s K v G m s
s
T11
1 1 ( ) ( )
1
D
K p
s
s K c s G v s K v K p G m s s
s
1 1 ( ) ( )D
Kp
s Kc s Gv s Kv Kp Gm s s 0
1lim ( ) lim
11 1 ( ) ( )t sD
KpT t s
Kc Kvs Kc s Gv s Kv Kp Gm s s
• Esa diferencia ó valor finito resultante en los modos de control P
y PD es llamado offset.
CELSO MONTALVO 8
CONTROL PID
• Respuesta del proceso al control PID.
CELSO MONTALVO 9
CONTROL PID
• Respuesta a perturbaciones comunes:
CELSO MONTALVO 10
Análisis Dinámico del Control PID
• Analicemos la acción del control PID en nuestro modelo del
Tanque de Calentamiento con rebose.
• Esta ecuación es el modelo del Proceso. 1( ) ( ) ( )
1F
Ls s s
s FC pT T V
C
TC M
F = 100 kg/min
TT
TF0 = 40 ºC
TC
V = var0 20
m in
kg
0 200º C
0 32000ctas
/ m inkg
m A
+
TR
F(s)
mK
1
1P
s)
11( s
sKc
D
I
VK
T(s)V(s)+
+
-
L
FCpctas º C
ctas º C
º C
º C
• Si la válvula y el medidor tuvieran respuestas rápidas:
20 0 / m in0.000625
32000 0
3200 0 550 m in160 º
200 0 º 100 1
1 m in 20; 0.4; 0.1
L
P I D
kgK v
cts
ctas LK m K C
C FC p kg
M K c
F
CELSO MONTALVO 11
Análisis Dinámico del Control PID
• Conforme se reduce la constante de tiempo de la válvula y del
medidor, el efecto perturbador sobre el proceso es cada vez
menor y por tanto puede despreciarse cuando son menores a las
décima parte de la constante de tiempo principal
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
v=0.5; m=0.2
v=0.2; m=0.1
v=0.1; m=0.05
v=0.05; m=0.025
CELSO MONTALVO 12
Análisis Dinámico del Control PID
•Asumiendo valores: v=0.2min; m=0.1min; Kc=20; I=0.4
min; D=0.1 min, ejecutamos en Matlab para una
perturbación en TF(s) tipo escalón:
CELSO MONTALVO 13
Análisis Dinámico del Control PID
0 1 2 3 4 5 6 70
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Tiempo (min)
Tem
pera
tura
, ºC
Respuesta del Control P ante una pertubación unitaria
Kc=10
Kc=20
Kc=40
Offset
CELSO MONTALVO 14
Análisis Dinámico del Control PID
• En un control real existe un límite físico al valor de Kc:
La válvula no puede abrir más de 100% ni cerrar menos
de 0%. Si el Kc excede de cierto valor máximo, apenas
hay una perturbación la válvula va al 100% ó al 0% y el
control es inadecuado. Esto se llama “saturación” del
controlador.
• Igualmente, si la integral del error se acumula por
mucho tiempo, aún cuando la variable controlada
regrese a su valor deseado, el control aún estará
abriendo ó cerrando la válvula generando inestabilidad.
CELSO MONTALVO 15
Análisis Dinámico del Control PID
• Para un control PI con Kc=20 y valores de I diferentes:
CELSO MONTALVO 16
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Análisis Dinámico del Control PID
Tiempo (min)
Tem
pera
tura
, ºC
Respuesta del Control PI ante una pertubación unitaria
I=0.4 min
I=0.8min
I=1 min
CELSO MONTALVO 17
Análisis Dinámico del Control PID
• Para un control PID con Kc=20, I = 0.4 min y valores de
D diferentes:
CELSO MONTALVO 18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Análisis Dinámico del Control PID
Tiempo (min)
Tem
pera
tura
, ºC
Respuesta del Control PID ante una pertubación unitaria
D=0 min
D=0.05min
D=0.1 min
CELSO MONTALVO 19
Acción Directa vs Acción Inversa
• Un sistema de control donde el sentido de la acción
correctora es contraria al sentido del cambio en la
variable controlada se dice que es de “Acción Inversa”.
• En el esquema mostrado, para reponer el nivel, si el
nivel disminuye, la válvula de control debe abrir. Si el
nivel aumenta, la válvula debe cerrar. La acción es
inversa. Notar el Diagrama de Bloques y el Error.
h A
W
hCvQ
F
W(s)
1
K p
s
+
-Hs(s)G v
G m
H(s)G c +
+
F(s)
( ) ( )set
Error s sH H
021
( ) ( ) ( )1
hs s s
s C vH F W
CELSO MONTALVO 20
Acción Directa vs Acción Inversa
• Ejemplo de Acción Inversa: F0 = W0 = 0.05m3/min, h0 = 0.5
m, A = 0.2 m2, Cv = 0.1414, Kv = (0.4 – 0)m5/2/min/(100 –
0)%, Km = 1, Kc = (100 – 0)%/(2 – 0)m, Kp = 10 m2/min.
Nivel
Comandoh A
W
hCvQ
F
CELSO MONTALVO 21
Acción Directa vs Acción Inversa
• En el nuevo esquema, para reponer el nivel, si el nivel
disminuye, la válvula de control debe cerrar. Si el nivel
aumenta, la válvula debe abrir. El sentido de la acción
correctora es el mismo que el sentido del cambio en la
variable controlada. Se dice que es de “Acción Directa”.
• Notar el cambio en el Diagrama de Bloques (signos) y en
la definición del Error. Idem en la FT del proceso.
( ) ( )set
Error s sH H
Q(s)
1
K p
s
-
+Hs(s) 0h
G m
H(s)G c
-
+
F(s)
G vCv(s)
0
0
0
21( ) ( ) ( )
1
hs s h s
s C vH F C v
h AhCvQ
F
CELSO MONTALVO 22
Acción Directa vs Acción Inversa
• Ejemplo de Acción Directa: F0 = 0.1m3/min, h0 = 0.5 m, A =
0.2 m2, Cv = 0.1414, Kv = (0.4 – 0)m5/2/min/(100 – 0)%, Km =
1 m/m, Kc = (100 – 0)%/(2 – 0)m, Kp = 7.071 m2/min.
Nivel
Comando
h AhCvQ
F
CELSO MONTALVO 23
Acción Directa vs Acción Inversa
• Notar la Acción del Comando ante los cambios de Nivel.
Nivel
Comando
h AhCvQ
F
Nivel
Comando
h A
W
hCvQ
F
CELSO MONTALVO 24
Modelos de Control PID
• La función P(s) = Kc(1 + 1/ Is + Ds) es llamada “ideal”
ó ISA porque ningún controlador real puede generar
exactamente una derivada instantánea del error. La
demora dinámica en el cálculo (un t debido al cálculo
numérico discreto) lleva a otros modelos del
controlador PID “real”:
1( ) 1
1
1( )
1
1( ) ( ) ( )
1
D
I D
I D
I D
I D
I D
sc s K c P ID real paralelo
s s
s sc s K c P ID real en serie
s s
s ss K c s s P ID real con derivada en la s alida
s s
G
G
P E Y
25
¡FIN!
Ing. CELSO MONTALVO HURTADO
CELSO MONTALVO 26
Criterios para la Optimización de Lazos
de Control PID
• Desarrollar lo siguiente:
− Asentamiento de ¼.
− Menor integral del valor absoluto del error (Smith-Corripio,
Steph).
− Sus variantes: error al cuadrado, ITAE, IAE, ISAE, etc.
− Overshoot máximo equivalente a un % del step ó pertubación.
− Tiempo máximo para reducir el error debajo de un % del
step/perturb.
− Mínimo número de reversals de válvula (Expertune).
− Robustez.
− Margen de Ganancia/de Fase.
− ¿Otros?Ej, si no es oscilatorio, ¿cuál se usa?