1.1 Konštrukcia efektívnej množiny s použitím finančných modelov v MS Excel

V nasledujúcej časti tejto kapitoly si ukážeme ako je možné skonštruovať efektívnu množinu s použitím jednoduchého nástroja „Riešiteľa“ v programe MS Excel. Pre náš príklad budeme uvažovať príklady, u ktorých budeme predpokladať, že:

krátky predaj nie je možný, rovnako tiež neuvažujeme s možnosťou investovania a vypožičania pri bezrizikovej sadzbe – Markowitzov model;

krátky predaj je možný, ale neuvažujeme s možnosťou investovania a vypožičania pri bezrizikovej sadzbe – Blackov model;

krátky predaj je možný, rovnako tiež uvažujeme s možnosťou investovania a vypožičania pri bezrizikovej sadzbe – Tobinov model.

1.1.1 Konštrukcia efektívnej množiny podľa Markowitza A. Zadanie príkladu Manažér akciového portfólia má k dispozícií pre investovanie 3 cenné papiere – kmeňové akcie spoločnosti A1, A2 a A3. Pre daný investičný horizont sú dané priemerné (stredné) výnosnosti 푅 (výnosnosti sú dané v percentách) a kovariančná matica 퐶표푣(푅)

푅 = [1,86 4,98 1,00] ; 퐶표푣(푅) =84,64 −26,44 3,87−26,44 591,95 40,45

3,87 40,45 178,22

Úlohy k riešeniu

Vašou úlohou je zostaviť na základe Markowitzovho modelu osem optimálnych efektívnych portfólií (A až H), ktorých výnosnosti sú v rovnakých (ekvidištančných – rovnomerne rozmiestnených) vzdialenostiach, vrátane charakteristík priemernej výnosnosti a rizika (smerodajnej odchýlky);

Graficky znázornite efektívnu množinu portfólií. B. Matematická formulácia problému Nájdeme hraničné body efektívnej množiny, t.j. také zloženie, pri ktorom bude kombinácia našich troch cenných papierov mať minimálne riziko (teda portfólio A), následne takú kombináciu cenných papierov, pri ktorej bude mať maximálny výnos (portfólio H), a potom bude potrebné ešte nájsť vnútorné body efektívnej množiny (portfólia B až G). Z pohľadu riešenia ide vyriešenie troch úloh: Úloha 1 (zostavenie portfólia A) Účelová funkcia: 휎 → 푚푖푛푖푚푢푚

Obmedzujúce podmienky: 푋 ≥ 0⋀푋 ≤ 1, teda 푋 ∈ ⟨0; 1⟩, pre 푖 =1, 2, 3,⋯ ,푁;

(P1)

∑ 푋 =1; (P2) kde 휎 = 푊 ∙ 퐶표푣(푅) ∙ 푊 . (R1) Účelová funkcia vyjadruje hľadanú minimálnu smerodajnú odchýlku portfólia. Podmienkou (P1) je stanovená podmienka, že váhy cenných papierov môžu nadobúdať len kladné hodnoty (vylúčený predaj nakrátko a bezrizikové investovanie a vypožičanie). Podmienkou (P2) je zasa stanovené, že súčet všetkých relatívnych podielov, teda váh je rovný 1. Z toho vyplýva, že je možné investovať iba toľko prostriedkov, koľko máme k dispozícií. Rovnicou (R1) je formulovaný výpočet smerodajnej odchýlky portfólia. Úloha 2 (zostavenie portfólia H) Účelová funkcia: 푅 → 푚푎푥푖푚푢푚 Obmedzujúce podmienky: 푋 ≥ 0⋀푋 ≤ 1, teda 푋 ∈ ⟨0; 1⟩, pre 푖 =

1, 2, 3,⋯ ,푁; (P1)

∑ 푋 =1; (P2) kde 푅 = ∑ 푋 ∙ 푅 . (R2) V tomto prípade účelová funkcia vyjadruje hodnotu priemernej výnosnosti pri daných obmedzeniach. Podmienky (P1) a (P2) sú zhodné s Úlohou 1. Rovnicou (R2) si stanovíme výpočet strednej hodnoty výnosnosti hľadaného portfólia. Úloha 3 (zostavenie portfólií B až G) Účelová funkcia: 휎 → 푚푖푛푖푚푢푚 Obmedzujúce podmienky: 푋 ≥ 0⋀푋 ≤ 1, teda 푋 ∈ ⟨0; 1⟩, pre 푖 =

1, 2, 3,⋯ ,푁; (P1)

∑ 푋 =1; (P2) 푅 = generované 푅 (푅 , .); (P3) kde 휎 = 푊 ∙ 퐶표푣(푅) ∙ 푊 ; (R1) kde 푅 = ∑ 푋 ∙ 푅 . (R2) Úloha slúži k nájdeniu efektívneho portfólia pre vopred generovanú hodnotu očakávanej výnosnosti portfólia. Účelová funkcia vyjadruje minimalizáciu rizika (teda smerodajnej odchýlky) efektívneho portfólia. Podmienky (P1) a (P2) sú rovnaké ako v predchádzajúcich úlohách. Podmienkou (P3) je zaistené, že priemerný výnos 푅 bude zodpovedať požadovanej strednej hodnote výnosnosti 푅 , . v ekvidištančnom (rovnomerne rozmiestnenom) bode stanovenom vopred. C. Postup

Najprv pre všetky úlohy a efektívne portfólia (A až H) pripravíme vektor premenných, vypočítame rozptyl hodnôt, smerodajné odchýlky a strené hodnoty výnosnosti.

Následne vypočítame efektívne portfólio s minimálnych rizikom pre portfólio podľa úlohy 1. Optimálne zloženie portfólia nájdeme pomocou Riešiteľa v programe MS Excel ako úlohu nelineárneho programovania.

Obr. Error! No text of specified style in document.-1 Parametre Riešiteľa pre portfólio A

Vypočítame efektívne portfólio s maximálnou priemernou výnosnosťou pre portfólio

H, podľa formulácie úlohy 2. Opätovne použijeme Riešiteľa v programe MS Excel.

Obr. Error! No text of specified style in document.-2 Parametre riešiteľa pre portfólio H

Vypočítame ekvidištančný interval strednej výnosnosti portfólií

풆풌풗풊풅풊š풕풂풏č풏ý풊풏풕풆풓풗풂풍 =푹푷,푩 − 푹푷,푩

푵− ퟏ =푹푷,푩 − 푹푷,푩

ퟖ − ퟏ = 푹푷,푩 − 푹푷,푩

ퟕ

Potom urobíme výpočet vytvorených ekvidištančných bodov 푹푷,풋 pre vnútorne efektívne portfólia B až G.

푹푷,풋 = 푹푷,풋 ퟏ + 풆풌풗풊풅풊š풕풂풏č풏ý풊풏풕풆풓풗풂풍

Zrealizujeme optimalizáciu skladby efektívnych portfólií pomocou Riešiteľa

v programe MS Excel podľa formulácie úlohy 3 pre portfólia B až G (nastavenie riešiteľa pre portfólio B).

Obr. Error! No text of specified style in document.-3 Parametre Riešiteľa pre portfólio B (obdobne je možné nastaviť aj pre C až G)

Vytvoríme graf množiny efektívnych portfólií.

Obr. Error! No text of specified style in document.-4 Zobrazenie zošita MS Excel s výpočtom množiny

efektívnych portfólií A až H

D. Interpretácia Výpočet množiny efektívnych portfólií je vidieť v Obr. Error! No text of specified style in document.-4. Investori s maximálnou averziou k riziku by si vybrali efektívne portfólio A. Naopak investor s menším sklonom k riziku by si vyberal portfólia ležiace bližšie k portfóliu H (jednozložkové portfólio cenného papiera A2). Zadanie príkladu - konštrukcia efektívnej množiny podľa Markowitza Teraz uvažujme naše dvanásťzložkové portfólio, vypočítané v rámci komplexného príkladu, zadaného v prvom týždni semestra. V rámci výpočtu jeho parametrov sme určili priemernú výnosnosť a kovarianciu jednotlivých výnosnosti kmeňových akcií obsiahnutých v portfóliu. Predpokladajme, že bezrizikové investovanie a vypožičanie, resp. predaj nakrátko nie sú možné. Našou úlohou je (rovnako ako sme si to ukázali v riešenom príklade):

zostaviť efektívnu množinu portfólií z dvanástich cenných papierov, a to zloženú z 8 efektívnych (ovládajúcich) portfólií tak, aby ich výnosy boli v rovnakých (rovnomerných) vzdialenostiach;

znázorniť efektívnu množinu graficky.

1.1.2 Riešený príklad - Rozšírenie efektívnej množiny podľa Markowitza o techniku krátkeho predaja (Blackov model)

Predaj nakrátko alebo krátky predaje predstavuje opak držby dlhej pozície. Podstatou tejto obchodnej techniky je aktuálna realizácia predaja cenného papiera spojená s neskoršou kúpou daného cenného papiera (s cieľom draho predať a neskôr lacno nakúpiť). Je logické, že táto technika by nebola možná bez možnosti zapožičania akcií od ich aktuálnych držiteľov. V prípade predaja musí preto investor, ktorý ho realizuje, zabezpečiť všetky peňažné toky tomu, kto mu na určitú dobu tento cenný papier požičal (napr. ak bola realizovaná výplata dividend, musí mu poskytnúť peňažné plnenie vo výške výplaty dividend). Rovnako mu musí po uplynutí dohodnutej doby vrátiť zapožičané akcie, a tiež mu poskytnúť odplatu za takto realizované zapožičanie. Z nášho pohľadu však táto technika, ak ju teda budeme zvažovať zmení tvar efektívnej množiny portfólií zadefinovanej Markowitzom. Pokračujme v našom riešenom príklade a ukážme si akú zmenu v tvare efektívnej množiny to bude znamenať. A. Zadanie príkladu Ako sme si uviedli, manažér akciového portfólia má k dispozícií pre investovanie 3 cenné papiere – kmeňové akcie spoločnosti A1, A2 a A3. Pre daný investičný horizont sú dané

priemerné (stredné) výnosnosti 푅 (výnosnosti sú dané v percentách) a kovariančná matica 퐶표푣(푅)

푅 = [1,86 4,98 1,00] ; 퐶표푣(푅) =84,64 −26,44 3,87−26,44 591,95 40,45

3,87 40,45 178,22

Uvažujeme teraz s možnosťou požičať si niektorú z uvedených kmeňových akcie, predať ju a investovať sumu z takto realizovaného predaja do výhodnejšej investície. Uvažujme na tým, že v prípade jednotlivých emisií kmeňových akcií je možné vstúpiť do krátkej pozície maximálne do výšky 100% vlastných prostriedkov u každej z uvažovaných troch cenných papierov. Úlohy k riešeniu pritom ostane rovnaká, zmenia sa len obmedzujúce podmienky pre tvorbu efektívnej množiny, teda

Vašou úlohou je zostaviť na základe Markowitzovho modelu osem optimálnych efektívnych portfólií (A až H), ktorých výnosnosti sú v rovnakých (ekvidištančných – rovnomerne rozmiestnených) vzdialenostiach, vrátane charakteristík priemernej výnosnosti a rizika (smerodajnej odchýlky);

Graficky znázornite upravenú efektívnu množinu portfólií. B. Matematická formulácia problému Nájdeme hraničné body efektívnej množiny, t.j. také zloženie, pri ktorom bude kombinácia našich troch cenných papierov mať minimálne riziko (teda portfólio A), následne takú kombináciu cenných papierov, pri ktorej bude mať maximálny výnos (portfólio H), a potom bude potrebné ešte nájsť vnútorné body efektívnej množiny (portfólia B až G). Z pohľadu riešenia ide vyriešenie troch úloh: Úloha 1 (zostavenie portfólia A) Účelová funkcia: 휎 → 푚푖푛푖푚푢푚 Obmedzujúce podmienky: 푋 ≥ −1, teda 푋 ∈ ⟨−1;∞⟩, pre 푖 = 1, 2, 3,⋯ ,푁; (P1) ∑ 푋 =1; (P2) kde 휎 = 푊 ∙ 퐶표푣(푅) ∙ 푊 . (R1) Účelová funkcia vyjadruje hľadanú minimálnu smerodajnú odchýlku portfólia. Podmienkou (P1) je stanovená podmienka, že váhy cenných papierov môžu nadobúdať aj záporné hodnoty (je uvažovaný krátky predaj, bezrizikové investovanie a vypožičanie však neuvažujeme). Podmienkou (P2) je zasa stanovené, že súčet všetkých relatívnych podielov, teda váh je rovný 1 (ako vidíme, táto podmienka ostáva zachovaná). Z toho vyplýva, že je možné investovať viac prostriedkov, ako máme k dispozícií. Rovnicou (R1) je formulovaný výpočet smerodajnej odchýlky portfólia.

Úloha 2 (zostavenie portfólia H) Účelová funkcia: 푅 → 푚푎푥푖푚푢푚 Obmedzujúce podmienky: 푋 ≥ −1, teda 푋 ∈ ⟨−1;∞⟩, pre 푖 = 1, 2, 3,⋯ ,푁; (P1) ∑ 푋 =1; (P2) kde 푅 = ∑ 푋 ∙ 푅 . (R2) V tomto prípade účelová funkcia vyjadruje hodnotu priemernej výnosnosti pri daných obmedzeniach. Podmienky (P1) a (P2) sú zhodné s Úlohou 1. Rovnicou (R2) si stanovíme výpočet strednej hodnoty výnosnosti hľadaného portfólia. Úloha 3 (zostavenie portfólií B až G) Účelová funkcia: 휎 → 푚푖푛푖푚푢푚 Obmedzujúce podmienky: 푋 ≥ −1, teda 푋 ∈ ⟨−1;∞⟩, pre 푖 = 1, 2, 3,⋯ ,푁; (P1) ∑ 푋 =1; (P2) 푅 = generované 푅 (푅 , .); (P3) kde 휎 = 푊 ∙ 퐶표푣(푅) ∙ 푊 ; (R1) kde 푅 = ∑ 푋 ∙ 푅 . (R2) Úloha slúži k nájdeniu efektívneho portfólia pre vopred generovanú hodnotu očakávanej výnosnosti portfólia. Účelová funkcia vyjadruje minimalizáciu rizika (teda smerodajnej odchýlky) efektívneho portfólia. Podmienky (P1) a (P2) sú rovnaké ako v predchádzajúcich úlohách. Podmienkou (P3) je zaistené, že priemerný výnos 푅 bude zodpovedať požadovanej strednej hodnote výnosnosti 푅 , . v ekvidištančnom (rovnomerne rozmiestnenom) bode stanovenom vopred. C. Postup (postup je obdobný ako pri tvorbe Markowitzovej množiny efektívnych portfólií, napriek tomu si ho však uveďme)

Najprv pre všetky úlohy a efektívne portfólia (A až H) pripravíme vektor premenných, vypočítame rozptyl hodnôt, smerodajné odchýlky a strené hodnoty výnosnosti.

Následne vypočítame efektívne portfólio s minimálnych rizikom pre portfólio podľa úlohy 1. Optimálne zloženie portfólia nájdeme pomocou Riešiteľa v programe MS Excel ako úlohu nelineárneho programovania.

Obr. Error! No text of specified style in document.-5 Parametre Riešiteľa pre portfólio A

Vypočítame efektívne portfólio s maximálnou priemernou výnosnosťou pre portfólio H, podľa formulácie úlohy 2. Opätovne použijeme Riešiteľa v programe MS Excel.

Obr. Error! No text of specified style in document.-6 Parametre riešiteľa pre portfólio H

Vypočítame ekvidištančný interval strednej výnosnosti portfólií

풆풌풗풊풅풊š풕풂풏č풏ý풊풏풕풆풓풗풂풍 =푹푷,푩 − 푹푷,푩

푵− ퟏ =푹푷,푩 − 푹푷,푩

ퟖ − ퟏ = 푹푷,푩 − 푹푷,푩

ퟕ

Potom urobíme výpočet vytvorených ekvidištančných bodov 푹푷,풋 pre vnútorne efektívne portfólia B až G.

푹푷,풋 = 푹푷,풋 ퟏ + 풆풌풗풊풅풊š풕풂풏č풏ý풊풏풕풆풓풗풂풍

Zrealizujeme optimalizáciu skladby efektívnych portfólií pomocou Riešiteľa v programe MS Excel podľa formulácie úlohy 3 pre portfólia B až G (nastavenie riešiteľa pre portfólio B).

Obr. Error! No text of specified style in document.-7 Parametre Riešiteľa pre portfólio B (obdobne je možné nastaviť aj pre C až G)

Vytvoríme upravený graf množiny efektívnych portfólií.

Obr. Error! No text of specified style in document.-8 Zobrazenie zošita MS Excel s výpočtom množiny

efektívnych portfólií A až H

D. Interpretácia Charakter efektívnej množiny portfólií sa zmenil, ako je to vidieť v Obr. Error! No text of specified style in document.-8. Efektívna množina predtým končila v bode A2, teda v pri

maximálnej výnosností kmeňovej akcie A2. Investor je takouto operáciou schopný dosahovať vyššie výnosnosti, ale zároveň aj pri vyššej miere rizika. Napriek zmene v efektívnej množine však naďalej platí, že investori s maximálnou averziou k riziku by si vybrali efektívne portfólio A. Naopak investor s menším sklonom k riziku by si vyberal portfólia ležiace bližšie k portfóliu H (teda násobky investície A2, teda dlhej pozície v tejto kmeňovej akcií, s násobkami podielov v krátkej pozícií u A1 a A2). Zadanie príkladu - konštrukcia Markowitzovej efektívnej množiny portfólií rozšírenej o krátky predaj Úlohu riešenú na našom dvanásťzložkovom portfóliu rozšírte o možnosť krátkeho predaja. Našou úlohou je (rovnako ako sme si to ukázali v riešenom príklade):

zostaviť efektívnu množinu portfólií z dvanástich cenných papierov, a to zloženú z 8 efektívnych (ovládajúcich) portfólií tak, aby ich výnosy boli v rovnakých (rovnomerných) vzdialenostiach, ak uvažujeme možnosť krátkeho predaja;

znázornite upravenú efektívnu množinu graficky.

1.1.3 Konštrukcia efektívnej množiny podľa Tobinovho modelu A. Zadanie príkladu Finančný manažér podielového fondu uvažuje nad možnosťou investície do nasledujúcich rizikových aktív – kmeňové akcie A1, A2 a A3 a do bezrizikového aktíva F. U rizikových aktív nie je prípustný krátky predaj, teda vypožičanie. Do bezrizikového aktíva môžeme neobmedzene investovať, rovnako ako si pri jeho sadzbe požičať neobmedzené množstvo finančných prostriedkov, a to pri výške bezrizikovej sadzby. Táto sadzba je v našom prípade rovnaká pre investovanie aj vypožičanie, a činí 0,72%. Úlohy, ktoré budeme riešiť v rámci Tobinovho modelu sú nasledujúce:

zostaviť optimálne zloženie trhového portfólia s očakávaným výnosom a rizikom (meraným smerodajnou odchýlkou výnosnosti);

určiť optimálne zloženie desiatich efektívnych portfólií, vrátane očakávaného výnosu a rizika v ekvidištančných bodoch, ak riziko portfólia s maximálnym rizikom (smerodajnou odchýlkou) je stanovené ako dvojnásobok rizika trhového portfólia;

overiť, či efektívna množina skonštruovaná podľa predchádzajúceho bodu je totožná s efektívnou množinou podľa priamej formulácie modelu CML (priamky kapitálového trhu). Efektívnu množinu znázornite graficky a porovnajte ju graficky k priebehu efektívnej množiny zadefinovanej podľa Markowitza.

B. Matematická formulácia

Trhové portfólio M je zostavené výhradne zo všetkých rizikových aktív, ktoré sú na trhu. Ide o maximalizáciu sklonu priamky trhu cenných papierov, teda CML, ktorá tvorí nadmernú výnosnosť trhového portfólia (teda zníženú o bezrizikovú sadzbu), predelenú o smerodajnú odchýlku trhového portfólia. Z pohľadu riešenia ide vyriešenie dvojice úloh: Úloha 1 (zostavenie portfólia M, teda trhového portfólia) Účelová funkcia: 퐸(푅 ) − 푅

휎 → 푚푎푥푖푚푢푚

Obmedzujúce podmienky: 푋 + ∑ 푋 = 1; (P1) 푋 ≥ 0, pre 푘 = 1, 2, 3,⋯ ,푁; (P2) 푋 = 0; (P3) kde 퐸(푅 ) = ∑ 푋 ∙ 퐸(푅 ); (R1) 푉푎푟(푅 ) = ∑ ∑ 푋 ∙ 휎 ∙ 푋 = 푋⃑ ∙ 퐶표푣(푅) ∙

푋⃑ ;

(R2)

휎 = 휎(푅 ) = 푉푎푟(푅 ). (R3) Symbolom 푋 je označený podiel rizikového aktíva, 푋 je potom podiel bezrizikového aktíva; symbolmi 푋 a 푋 sú označované ako rizikové, tak i bezrizikové aktíva. Vektor 푋⃑ a kovariančná matica 퐶표푣(푅) obsahujú všetky aktíva (vrátane bezrizikového) a ich vzájomné vzťahy. Účelová funkcia vyjadruje maximalizáciu sklonu priamky trhu cenných papierov CML (teda efektívnej množiny podľa Tobina). Podmienka (P1) predstavuje štruktúru investovania a prípustnú množinu investičných variantov. Podmienka (P2) zabezpečuje, že je možné iba investovať (teda nie vypožičať si). Podmienka (P3) stanovuje obmedzenie, že do portfólia nie je možné zaradiť bezrizikové aktívum. Rovnice (R1), (R2) a (R3) slúžia k výpočtu parametrov portfólií. Nájdenie efektívnych portfólií pre danú smerodajnú odchýlku pozostáva v maximalizácií strednej hodnoty výnosnosti portfólia pre stanovenú úroveň smerodajnej odchýlky (rizika). Pritom je možné investovať do rizikových aktív v ľubovoľnom pomere a neobmedzene investovať alebo predávať nakrátko bezrizikové aktívum. Úloha 2 (zostavenie portfólií A až H) Účelová funkcia: 퐸(푅 ) → 푚푎푥푖푚푢푚 Obmedzujúce podmienky: 푋 + ∑ 푋 = 1; (P1) 푋 ≥ 0, pre 푘 = 1, 2, 3,⋯ ,푁; (P2) 휎 = 휎 é (P3) −∞ ≤ 푋 ≤ +∞; (P4) kde 퐸(푅 ) = ∑ 푋 ∙ 퐸(푅 ); (R1) 푉푎푟(푅 ) = ∑ ∑ 푋 ∙ 휎 ∙ 푋 = 푋⃑ ∙ 퐶표푣(푅) ∙

푋⃑ ;

(R2)

휎 = 휎(푅 ) = 푉푎푟(푅 ). (R3)

C. Postup Riešenie uvedených úloh prebieha v týchto fázach:

nájdenie trhového portfólia podľa úlohy 1 za pomoci „Riešiteľa“ programu MS Excel; Vypočítame rozptyl podľa rovnice (R2), a to s použitím funkcie = 푴푴푼푳푻(푴푴푼푳푻 푻푹푨푵푺푷푶푺푬 푿⃑ ; 푪풐풗(푹) ; 푿⃑);

Portfólio F, teda jednozložkové portfólio len s bezrizikovým cenným papierom nepočítame, pretože jeho skladba ako aj výnos a riziko je známy;

Vypočítame ekvidištančný interval, a to tak, že zadáme , že 훔퐦퐚퐱 = ퟐ ∙ 훔퐌, teda

풆풌풗풊풅풊š풕풂풏č풏ý풊풏풕풆풓풗풂풍 =흈풎풂풙 − ퟎ푵 − ퟏ

Potom urobíme výpočet generovaných smerodajných odchýlok v ekvidištančných bodoch:

흈푷,풋 = 흈푷,풋 ퟏ + 풆풌풗풊풅풊š풕풂풏č풏ý풊풏풕풆풓풗풂풍

Vypočítame zloženie a parametre efektívnych portfólií A až H podľa formulácie úlohy 2. Postupujeme od optimalizácie skladby portfólia A až H.

Vypočítame efektívnu množinu CML priamo pomocou vzťahu

퐄(퐑퐏) = 푹퐅 +퐄(퐑퐌) −퐑퐅

훔퐌∙ 훔퐏

Efektívnu množinu portfólií zobrazíme graficky.

D. Riešenie a interpretácia Rizikovo averzný investori by si za daných podmienok vybrali efektívne portfólio F, investori so vyšším sklonom k riziku zase portfólio H, u ktorého je podiel bezrizikového aktíva F záporný, t.j. rovný mínus jedna. To znamená, že si vypožičiame pri bezrizikovej sadzbe rovnaké množstvo peňažných prostriedkov, ktoré sme pôvodne mali k dispozícii.

Obr. Error! No text of specified style in document.-9 Efektívna množina portfólií pri bezrizikovom investovaní a vypožičaní (Tobinov model)

Podľa riešenia v Obr. Error! No text of specified style in document.-9 je vidieť, že obe prístupy, t.j. na bázy optimalizácie, ako aj aplikácia priameho výpočtu podľa modelu CML vedú k rovnakým výsledkom, teda k identickému zloženiu portfólia a parametrov očakávanej výnosnosti a smerodajnej odchýlky.