11. Előadás
description
Transcript of 11. Előadás
![Page 1: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/1.jpg)
11. ElőadásTérbeli infinitezimális izometriák
![Page 2: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/2.jpg)
Térbeli Killing mezők
Korábban láttuk, hogy egy térbeli infinitezimális izometria Killing mezeje X(x)=Mx+b alakú, ahol
=-M.
Speciális koordináta rendszerben ha M a nulla mátrix akkor egy inifinitezimális eltolás X;különben
X(x)=x+
1. ha v=0, akkor egy z-tengely körüli -szögsebességű infinitezimális forgatás,
2. ha v nem 0, akkor még z-tengely körüli infinitezimális csavarmozgás adódik.
![Page 3: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/3.jpg)
Az 1. esetben az infinitezimális forgatás tengelyét momentán tengelynek mondjuk.
Egy általános koordináta rendszerbenM=
esetén Mx= (-c,b,-a)×(x,y,z). Ha ω:=√(a²+b²+c²) és m=, és így ‖m‖=1, akkor Mx=ωm×x. Ekkor X(x)=Mx+b Killing-mező esetén:• ha b=0, akkor az origón átmenő m irányvektorú egyenes
lesz a momentán tengely;• ha b nem 0, akkor b=+ felbontásban =0, akkor az ponton
átmenő m irányú egyenes lesz a tengely;• ha nem 0, akkor nincs momentán tengely.
![Page 4: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/4.jpg)
Térbeli folytonos mozgásoknál
Sík Tér
momentán centrum momentán tengely
álló\mozgó pólusgörbe álló\mozgó pólusfelület
Definíció Egy felületet vonalfelületnek nevezünk, ha r(u,v)=j(u)+vδ(u) alakban paraméterezhető, ahol j, δ vektor értékű függvények és ‖δ‖=1.
Definíció Legyen r(u,v) és (u,v) két vonalfelület fenti alakú paraméterezése. Ekkor azt mondjuk, hogy (u,v) legördül az r(u,v) felületen, ha létezik egy olyan , u-tól függő folytonos izometria, melyre v ((u,v)) egyenese megegyezik a v ↦ ↦r(u,v) egyenessel és az () (()) felület érinti az r felületet ezen ↦egyenes mentén. Továbbá a t r(u(t),v(t)) és t (u(t),v(t))) ↦ ↦görbék azonos hosszúak tetszőleges (u(t),v(t)) görbére.
![Page 5: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/5.jpg)
Ha a ¹, ² folytonos izometriák a Σ₀ rögzített koordináta rendszert a ¹, ² koordináta rendszerekbe viszi és (t) jelöli a -hez tartozó Killing-mezőt, akkor:
Állítás Ha a ¹ mint álló koordináta rendszerben leírjuk ² mozgásának t időpillanatban vett momentán tengelyét, az az X₂(t)-X₁(t) vektormező momentán tengelye lesz.
![Page 6: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/6.jpg)
Robot geometriaA robotkarok típusok:
Merev szegmensek (vagy link, a kar merev része) Csukló (hajlítható összekötő rész) A robot keze (robot keze lehet szerszám, fogókar...)
Nyílt láncú robotkar egy olyan robot, melynek az alaptestéhez kapcsolódik egy csukló 0. csukó, majd egy szegmens 1. szegmens majd 1. csukló, 2. szegmens, 2. csukló ... n. csukló, ami a robot keze.
A csuklók lehetnek forgók vagy eltoló csukló (prismative), teleszkópikus csukló .
A robot munkatere azok a térbeli / síkbeli pontok, ahova eljuttatható a robot keze.
![Page 7: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/7.jpg)
Az elemi csuklók állapota 1 paraméterrel leírható: a szegmensek szögével, csavarodási szöggel, hosszal
Az RRR jelölés azt jelenti, hogy három forgatható csuklója van egy nyílt láncú robot karnak. Az RPP típusban forgó-teleszkópikus-teleszkópikus csuklók vannak egymás után stb.
![Page 8: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/8.jpg)
Egy RRR típusú robotkar
![Page 9: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/9.jpg)
Direkt kinematikai probléma: Ismerjük az elöbbi paramétereit a csuklóknak (elfordulási szög eltolási hossz), adjuk meg, hogy hol van a robot keze!
Inverz kinematikai probléma: Tudjuk hol a kar végpozíciója mik a csukló paraméterek, melyekre a kar „úgy és oda” mozog ahova akarjuk
Sebesség kinematika: Kontrolálni szeretnénk a mozgás közben a csukló sebességét
Útkeresési probléma: vannak akadályok, amiket ki kell kerülni mozgás közben a robotkar minden részének
…
![Page 10: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/10.jpg)
Denavit-Hartenbherg konvencióOlyan koordinátarendszereket keresünk, melyek kielégítik a kövezkező feltételeket:
Minden linkhez mereven hozzá rögzítünk egy Descartes féle koordináta rendszert (azaz ebben a koordináta rendszerben ennek a linknek a pontjai végig fixen maradnak a robot kar mozgása
közben). Az i-edik link koordináta rendszere (, ).
A -tengely egybeesik az i-edik csukló "hatástengelyével„
Az -tengely merőlegesen metszi a -tengelyt (és természetesen a -
tengelyt is, hiszen (, ) ortonormált).
![Page 11: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/11.jpg)
Állítás: Mindig lehetséges a DH-konvenció szerint megválasztani a koordináta rendszereket.
![Page 12: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/12.jpg)
Állítás: Az i és i+1 koordináta rendszerek közötti áttérést 4 adat írja le () ezek közül:• nem változik a robotkar mozgásánál;• ha az i. csukló forgató, akkor nem változik;• ha az i. csukló eltoló, akkor az eltolás mértékét adja meg ;• az konstans, mivel ez csak az i. link geometriájától függ;• A a forgó ízületek változója.
Azaz minden ízületnél a 4 változó közül 3 konstans és vagy változhat csak attól függően, hogy forgó vagy csúszó ízületről van-e szó.
![Page 13: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/13.jpg)
Nézzük meg hogyan adható meg az egyik koordinátarendszerbeli pont a másikban. Használjuk a 4-dimeziós homogén koordinátáit a pontoknak. Ekkor egy 4×4-es mátrixal megadhatóak a lineáris
transzformációk. Vegyünk az i+1. koordináta rendszerben egy () koordinátájú pontot. Ekkor ennek a homogén koordináta felel
meg. Írjuk fel ennek homogén koordinátáit az (, ) koordinátarendszerben.Ennek a mátrixa:
![Page 14: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/14.jpg)
Az (, ) és az (, ) koordináta rendszerek közötti áttérés mátrixa pedig:
Azaz az (, ) és az (, ) koordináta rendszerek közötti áttérés mátrixa:
![Page 15: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/15.jpg)
Ezt a mátrixot jelölje amit () alakban is jelölhetünk, hiszen ezektől a mennyiségektől függ.
![Page 16: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/16.jpg)
Összefoglalva a két koordináta rendszer közötti áttérés:
Mivel a robot kezének koordinátája az () koordináta rendszerben konstans lesz végig, ha ezek () akkor a direkt feladat megoldása:
![Page 17: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/17.jpg)
Két dimenziós RR robatkar
Egy egyszerű példán nézzük meg a direkt és inverz kinematikai problémát:
![Page 18: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/18.jpg)
Ha az előző 3-dimenziós leírást használjuk, akkor a z-tengely a síkra merőleges lez, így a z-tengelyek csavarodási szöge 0, ami a 4x4-es mátrix 3. sorát és oszlopát kinullázza (a 3. koordináta végig 0 erre is gondolhatunk). Vagy 2-dimenzóban az előző módszer alapján az áttérési mátrixokra a következő adódik:
![Page 19: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/19.jpg)
Ekkor a kéz koordinátái:
Ez a direkt feladat megoldása. Az inverzhez tekintsük a következő ábrát:
![Page 20: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/20.jpg)
Ha egy konkrét robotkarunk van és egy-egy adott ponthoz véges sok olyan paraméter sorozat van, melyekre a robotkar keze a megfelelő pozícióban van, akkor kiszámolható az inverz függvény „elemien”.
Ha (x,y) a kéz koordinátája a 0. koordináta rendszerben, akkor a
Pithagorasz tételből és a cosinus tételből az és az x tengely szöge és az szög :
Innen cosinus tételből:
![Page 21: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/21.jpg)
Direkt és inverz sebességkinematikai probléma
Legyenek adottak a () paraméterek a t időpillanatban és a deriváltjaik (). A direkt sebességkinematika feladata, hogy megmondja milyen sebesség vektorral mozdul el a robotkar. A kar mozgását:
Amit deriválva kapjuk a következő egyenletet:
![Page 22: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/22.jpg)
Másként felírva arra is gondohatunk, ha a mátrixokat összeszorozzuk, hogy a 4n változótól függő módon felírva:
Amit deriválva pl. az első sorban:
Ezek a föggvények az mátrixokból számíthatóak ki. Így a 4n változótól függő 3x4n-es Jacobi Mátrix J (előző ismert függvényekből áll) és a 4n db ismert paraméter változás adja a sebesség vektort. Ez a direkt feladat megoldása.
![Page 23: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/23.jpg)
Az inverz sebességkinematikai feladat a következő. Ismert a kéz helyzete és adott sebességgel szeretnénk a kezet mozgatni. Milyen sebességgel változtassuk a D-H paramétereket?
Ehhez az előző egyenlet bal oldalát adjuk meg és a J Jacobi mátrix is ismert lesz a 4n dimenzós jobb oldali oszlop vektort keressük.
Egyrészt egy korábbi állítás miatt tudjuk, hogy nem minden paraméter fog változni, azaz a 4n ismeretlenből 3n biztosan 0 lesz. Tudjuk, hogy ekkor a Gauss elimináció akkor ad megoldást, ha a nem nulla ismeretlenekhez tartozó oszlopvektorok által kifeszített térben van a sebesség vektor. Hogy kezelni tudjuk azokat a helyzeteket, ahol nem megoldható a feladat bevezetjük a következő definíciót:
Definíció Szinguláris konfigurációnak olyan konfigurációt nevezünk, ahonnan a robotkar keze nem mozgatható el akármilyen sebességvektorral.
![Page 24: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/24.jpg)
A szinguláris pozíciók megtalálása nem lineáris algebrai feladat. Azért izgalmasak a szinguláris pozíciók, mert, ha ismerjük ezeket és adott a kéz helyzete és egy másik célpozíció (azaz egy inverz kinematikai feladatot akarunk megoldani), akkor keresünk egy olyan γ(t) görbét, melyen a kéz fog haladni úgy, hogy elkerüli a szinguláris pozíciókat (vagy azokon alkalmas irányban halad keresztül). Ekkor az előbbi egyenlet bal oldala ismert lesz, jobb oldalának pedig kezdeti értéke lesz ismert. Azaz egy differenciál egyenletet kapunk, melyet numerikus módszerekkel megpróbálhatunk megoldani (sikekrül is ).
![Page 25: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/25.jpg)
Szinguláris pozíció a 2-dimenziós RR robotkarra
Korábban leírtuk a kar mozgását a következő módon:
Amiből azt kapjuk a Jacobi mátrixra, hogy:
![Page 26: 11. Előadás](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022051418/56815774550346895dc511e1/html5/thumbnails/26.jpg)
Ez akkor nem megoldható ebben az esetben, ha a Jacobi mátrix determinánsa 0, azaz a két oszlop vektora összefüggő, azaz ebben az esetben, ha párhuzamosak:
Ami akkor teljesül, ha:
Azaz szinguláris egy pozíció, ha:
Geometriailag akkor, ha teljesen ki van nyújtva, vagy vissza van hajlítva az 1. indexű csukló.