11. ДРУГИЕ ВИДЫ ПОСТОЯННЫХ РЕНТ

11.1. Ренты пренумерандо

Это ренты с платежами в начале периодов. Схема годовой постоянной ренты пренумерандо показана на рис.11.1.

Рис.11.1. Схема платежей годовой постоянной ренты пренумерандо

На первый член начисляются проценты один раз в году по ставке i в течение срока, равного n лет против n-1 в ренте постнумерандо,на второй − n-1 год против n-2,на третий член n-2 года... и т.д.,на n − й член 1 год.Итак, наращенная сумма потока платежей

т.е. на каждый член ренты проценты начисляются на один период больше, чем у ренты постнумерандо. Это равносильно умножению каждого члена на знаменатель прогрессии, соответствующий каждой из рассмотренных рент с различными схемами выплат и начислений процентов. Тогда получаем следующие формулы для наращенных сумм рент пренумерандо:1. Годовая постоянная рента пренумерандо с начислением процентов один раз

в конце года

(11.2)

(11.1)

113

S=R (1+ i)n+R (1+ i)n−1+. . .. .R (1+ i)=(1+i )⋅S .

S=S (1+ i)=R(1+i)n−1i

(1+i ),

sn , i=sn, i(1+i);

2. Годовая постоянная рента пренумерандо с начислением процентов m раз в году

3. Постоянная p -срочная рента пренумерадо с начислением процентов один раз в конце года

4. Постоянная p -срочная рента пренумерандо с одновременным начислением процентов ( p = m )

(11.5)

(11.4)

(11.3)

114

S=S (1+im

)m=R(1+

im

)mn−1

(1+im

)m−1(1+

im

)m ,

smn ,

im

=snm ,

im

(1+im

)m;

S=S (1+ i)1p =R

p⋅(1+i)n−1

(1+i)1p −1

(1+i )1p ,

sn , i( p)=sn , i

(p )(1+i)1p ;

S=S (1+im

)=R(1+

im

)mn−1

i(1+

im

) ,

smn ,

im

( p=m )=smn,

im

( p=m )(1+im

);

5. Постоянная p -срочная рента пренумерандо с начислением процентов m -раз в году ( p # m )

Для получения формул для современных стоимостей рент пренумерандо воспользуемся формулой взаимосвязи обобщающих параметров потоков платежей (8.3), применяя ее для ренты пренумерандо.

Из (11.7) получим

откуда следует, что для современных стоимостей рент пренумерандо и постнумерандо существует зависимость, аналогичная наращенным суммам рент пренумерандо и постнумерандо.

В связи с этим получаем следующие формулы для современных стоимостей рент пренумерандо:

(11.8)

(11.7)

(11.6)

115

S=S (1+im

)mp =

Rp⋅(1+

im

)mn−1

(1+im

)mp −1

(1+im

)mp ,

smn ,

im

( p) =smn ,

im

(p ) (1+im

)mp .

A= S(1+ i)n

.

A= S(1+ i)n

→ A=S(1+i)(1+i)n

= S(1+i)n

(1+i )=A (1+i) ,

1. Годовая постоянная рента пренумерандо с начислением процентов один раз в конце года

2. Годовая постоянная рента пренумерандо с начислением процентов m раз в году

3. Постоянная p -срочная рента пренумерадо с начислением процентов один раз в конце года

4. Постоянная p -срочная рента пренумерандо с одновременным начислением процентов ( p = m )

(11.12)

(11.11)

(11.10)

(11.9)

116

A=A (1+i) ,an, i=an , i(1+i);

A=A (1+im

)m ,

anm,

im

=anm,

im

(1+im

)m;

A=A (1+i)1p ,

an, i( p )=an ,i

( p )(1+i)1p ;

A=A (1+im

) ,

amn,

im

(m=p)=amn,

im

(m=p)(1+ im

);

5. Постоянная p -срочная рента пренумерандо с начислением процентов m -раз в году ( p # m )

11.2. Ренты с выплатами в середине периодов

Схема годовой постоянной ренты с выплатами в середине периодов показана на рис. 11.2.

Рис.11.2. Схема платежей годовой постоянной ренты с выплатами в середине периодов

На первый член начисляются проценты один раз в году по ставке i в

течение срока, равного n−1

2 лет против n-1 в ренте постнумерандо,

на второй n−1

12 года против n-2, на третий член

n−212 года...и т.д. на

n-й член 12 года.

Итак, наращенная сумма потока платежей

(11.14)

(11.13)

117

A=A (1+im

)mp ,

amn,

im

( p ) =amn,

im

(p ) (1+im

)mp .

S12

=R (1+ i)n−1

2 +R(1+i)n−1

12+. . . R(1+i )

12=(1+i)

12 S .

т.е. на каждый член ренты проценты начисляются на полпериода больше, чем у ренты постнумерандо. Это равносильно умножению каждого члена на знаменатель прогрессии, соответствующий каждой из рассмотренных рент с

различными схемами выплат и начислений процентов в степени 12 .

Тогда получаем следующие формулы для наращенных сумм современных стоимостей рент с выплатами в середине периодов:

Наращенные суммы и современные стоимости вычисляются по формулам:1. Годовая рента

2.С начислением процентов m-раз в году

3. p-срочная (m=1)

4. p-срочная (m=p)

5. p-срочная (m#p)

(11.19)

(11.18)

(11.17)

(11.16)

(11.15)

118

S12

=S (1+ i)12 , A1

2

=A (1+i )12 ;

S12

=S (1+ im

)m2 , A1

2

=A (1+ im

)m2 ;

S12

=S (1+ i)1

2 p , A12

=A (1+i)1

2 p ;

S1

2

=S (1+ im

)12 , A1

2

=A(1+ im

)12 ;

S12

=S (1+ im

)m

2 p , A12

=A (1+ im

)m2 p .

11.3 Отложенные ренты

Начало платежей у отложенной ренты сдвинуто вперед относительно начального момента времени. Схема платежей отложенной ренты показана на рис. 11.3.

Рис. 11.3. Схема платежей отложенной ренты постнумерандо

Так как проценты начисляются на выплаченные суммы, то сдвиг платежей во времени не влияет на величину наращенной суммы ренты.Однако величина современной стоимости изменится. Из рис. 11.3 видно, что современная стоимость отложенной ренты на момент времени О получится дисконтированием современной стоимости немедленной ренты на момент времени О’, т. е.

где ν= 1

1+i.

Практический пример: деление ренты между двумя участниками.

Годовая рента постнумерандо делится между двумя участниками. Условия деления: каждый получает 50% ее капитализированной стоимости. Общий срок ренты n, член R, ставка i.Определить сроки, в течение которых каждый участник получает выплаты.

Первый участник получает немедленную ренту в течение неизвестного срока n1, современная стоимость которой

(11.20)

119

t A=A⋅ν t ,

A1=Ran1 , i=R1−(1+i)

−n1

i,

а второй отложенную ренту в течение срока n2=n-n1:

Приравняем современные стоимости этих рент

Произведя сокращения,после приведения к общему знаменателю, получим

Прологарифмируем последнее выражение

откуда

Формула (11.26) показывает, что результат зависит только от общего срока ренты и размера процентной ставки. Зная n1, получим n2=n-n1.

11.4. Вечная рента

Вечная рента − это ряд платежей, количество которых не ограничено, т.е. платежи выплачиваются теоретически в течение бесконечного числа лет.

(11.26)

(11.25)

(11.24)

(11.23)

(11.22)

120

A2=t A=Ran, i⋅νn1=R

1−(1+i)−n2

iν

n1 .

R1−(1+i)

−n1

i=R

1−(1+i)−(n−n1 )

i¿ 1

(1+i)n

1.

(1+i)n1 [1−(1+i)

−n1 ]=1−(1+i )−n(1+i)n1 ,

(1+i)n1−1=1−(1+i)−n(1+i )

n1 ,

(1+i)n1 [1+(1+ i)−n ] =2→(1+i)

n1 =21+(1+ i)−n .

n1 ln(1+i)=ln2

1+(1+i)−n,

n1=ln

2

1+(1+i)−n

ln(1+ i).

Практически: срок платежей достаточно большой и конкретно не оговаривается (выплата пенсий).

Из формул для наращенных сумм ясно, что при n→∞ , наращенные

суммы S→∞ .Иначе обстоит вопрос с современными стоимостями. Чтобы получить формулы для современных стоимостей вечных рент, устремим в полученных нами формулах для современных стоимостей n→∞ .Тогда:1. Вечная годовая постоянная рента постнумерандо

2. Вечная годовая постоянная рента постнумерандо с начислением процентов m -раз в году

A∞=lim R1−(1+

im

)−mn

(1+im )

m

−1=

R

(1+im

)m−1.

n→∞

3. p -срочная постоянная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в конце года.

4. p -срочная постоянная рента постнумерандо с одновременным начислением процентов ( m = p ) раз в году.

(11.30)

(11.29)

(11.28)

(11.27)

121

A∞=lim R1−(1+i )−n

i=R

i.

n→∞

A∞=limRp⋅1−(1+i)−n

(1+ i)1p −1

=Rp⋅1

(1+i)1p −1

.

n→∞

A∞=lim R1−(1+

im

)−mn

i=

Ri

.

n→∞

5. Постоянная p -срочная рента постнумерандо с начислением процентов m -раз в году ( p # m )

(11.31)

122

A∞=limRp⋅1−(1+

im

)−mn

(1+ im

)mp −1

=Rp⋅1

(1+im

)mp −1

.

n→∞