10. predavanje, tokovi

TKT - radni materijal Predavanje 10

1

Sadržaj SADRŽAJ ..................................................................................................................................................... 1 10 MREŽE SISTEMA POSLUŽIVANJA.................................................................................................. 2

10.1 UVOD.................................................................................................................................................. 2 10.2 PARAMETRI PERFORMANSI ................................................................................................................. 4

10.2.1 Marginalne vjerovatnosti )(kiπ .............................................................................................. 4 10.2.2 Opterećenje ρ............................................................................................................................. 5 10.2.4 Srednja propusnost λ ................................................................................................................. 6 10.2.5 Srednji broj jedinica iK ............................................................................................................ 6

10.3 MREŽE REPOVA SA PRODUKTNOM FORMOM ....................................................................................... 6 10.3.4 Jackson-ove mreže ..................................................................................................................... 7 10.3.5 Gordon-Newellove mreže........................................................................................................... 9


2

10 Mreže sistema posluživanja

10.1 Uvod Ranije smo se upoznali sa sistemima posluživanjima koji funkcionišu samostalno, pri čemu smo modelirali ulaz u takav sistem te intenzitet posluživanja svakog od poslužitelja u sistemu. Obzirom se bavimo telekomunikacionim mrežama, zanima nas kako takvi sistemi posluživanja funkcionišu kada su spojeni u neku mrežnu topologiju. Za analizu struktura (mreža) koje se sastoje od velikog broja sistema posluživanja, koristiti ćemo modele mreža redova čekanja. U mreži redova čekanja postoje bar dva sistema posluživanja koji su međusobno povezani. Jedinice koje se poslužuju u sistemu u općem slučaju mogu se rutirati od bilo kojeg čvora ka bilo kojem čvoru mreže. Mreža redova čekanja se naziva otvorenom kada jedinice (korisnici) mogu da izvana uđu u mrežu i također, da napuste mrežu. U otvorenoj mreži, jedinice mogu da uđu u mrežu na bilo kojem čvoru mreže, te da istu napuste na bilo kojem čvoru. Mreža redova čekanja naziva se zatvorenom ako jedinice ne mogu niti da uđu niti da izađu iz mreže. Broj jedinica u mreži u ovom posljednjem slučaju je konstantan. Mreža kod koje nova jedinica ulazi u sistem u istom trenutku kada ga jedna jedinica napusti također se može smatrati zatvorenom mrežom.

Slika 1 : Otvorena mreža Na slici 1 prikazana je računarska konfiguracija predstavljena kao otvorena mreža repova. Primjer zatvorene mreže repova prikazan je na slici 2:


3

Slika 2: Model centralnog servera

Intenzitet dolazaka λi za čvor i = 1,2...,N otvorene mreže određuje se sabiranjem intenziteta dolazaka izvana i intenziteta dolazaka iz svih čvorova mreže. Treba primijetiti da u stacionarnom stanju intenzitet dolazaka koji izvire iz jednog čvora jednak intenzitetu koji uvire u čvor, a srednji intenzitet čvora i može se izraziti kao:

NipN

jjijii ,...,1,

10 =+= ∑

=

λλλ (1)

gdje je i0λ - intenzitet dolazaka izvana na i-ti čvor mreže, jip - vjerovatnost rutiranja jedinice od čvora j ka čvoru i. Za zatvorenu mrežu repova, gornji izraz se reducira na:

NipN

jjiji ,...,1,

1== ∑

=

λλ (2)

obzirom da nema ulaza u mrežu izvana. Još jedan bitan parametar je srednji broj posjeta (odnos posjeta) (ei) jedinica i-tom čvoru:

Nie ii ,...,1, ==

λλ

(3)

gdje je λ srednja propusnost mreže (srednji intenzitet ulazaka u otvorenu mrežu):

∑=

=N

ii

10λλ


4

Srednji broj posjeta može se odrediti direktno iz vjerovatnosti rutiranja na sljedeći način: Za otvorene mreže, stavimo li ii p00 ⋅= λλ , dobijamo:

NipepeN

jjijii ,...,1,

10 =+= ∑

=

(4)

za zatvorenu mrežu:

NipeeN

jjiji ,...,1,

1== ∑

=

(5)

Postavimo li svih N jednačina za odnose posjeta u zatvorenim mrežama, možemo zaključiti da postoji samo (N-1) nezavisna jednačina odnosa posjeta u zatvorenim mrežama (dobijamo homogeni sistem od N jednačina sa N nepoznatih), te obično pretpostavljamo e1=1.

10.2 Parametri performansi Pri analizi mreže redova čekanja, nas prvenstveno zanima analitički metod za određivanje stacionarnih vjerovatnosti:

( )Nkk ,,1 Lπ za sva mogućih stanja u mreži, gdje ki, i=1,2,...N označava broj jedinica na i-tom čvoru mreže, te za zatvorenu mrežu vrijedi:

KkN

ii =∑

=1

gdje je K konstantan broj jedinica u zatvorenoj mreži. Sada ćemo definisati najvažnije veličine kojima određujemo mreže repova:

10.2.1 Marginalne vjerovatnosti )(kiπ Za zatvorenu mrežu repova, marginalne vjerovatnosti )(kiπ da će i-ti čvor sadržavati tačno ki=k jedinica su:


5

( )∑∑

=

==

N

jKjk

Ni kkk

1

1 ,,)( Lππ (16)

Dakle, )(kiπ je suma vjerovatnosti svih mogućih stanja (k1, ....kN) Kki ≤≤0 koje

zadovoljavaju uslov KkN

jj∑

=

=1

uz fiksan broj jedinica jednak k na i-tom čvoru. Uslov

normalizacije je da suma vjerovatnosti svih mogućih stanja ( )Nkkk ,,, 21 L koji

zadovoljavaju uslov KkN

jj∑

=

=1

sa Kki ≤≤0 mora biti jednak 1, tj:

( ) 1,,

1

1 =

∑∑=

=N

jKjk

Nkk Lπ (17)

Analogno, za otvorene mreže imamo:

( )∑=

=kik

Ni kkk ,,)( 1 Lππ

sa uslovom normalizacije

( ) 1,,1 =∑ Nkk Lπ

Marginalne vjerovatnosti koristimo za određivanje ostalih mjera performansi za otvorene i zatvorene mreže. Za zatvorenu mrežu moramo imati u vidu da je Kkki >∀= 0)(π .

10.2.2 Opterećenje ρ Opterećenje ρi jednog servera dato je sa:

( )∑∞

=

=1k

ii kπρ (18)

gdje je ρi vjerovatnoća da je i-ti čvor zauzet, tj:

)0(1 ii πρ −= (19)


6

10.2.4 Srednja propusnost λ Srednja propusnost λ otvorene mreže definiše se kao intenzitet kojim jedinice napuštaju mrežu. U stacionarnom stanju, ovaj intenzitet dolazaka jednak je intenzitetu kojim jedinice ulaze u mrežu:

∑=

=N

ii

10λλ (24)

Srednja propusnost zatvorene mreže definiše se sa:

i

i

eλ

λ = (25)

10.2.5 Srednji broj jedinica iK Srednji broj jedinica na i-tom čvoru dat je sa:

( )∑∞

=

⋅=1k

ii kkK π (26)

Iz Littleovog teorema slijedi:

iii TK ⋅= λ (27) gdje je iT srednje vrijeme čekanja za čvor i.

10.3 Mreže repova sa produktnom formom Kao što znamo odranije, sistem jednačina kojim se određuje vektor stacionarnih vjerovatnosti [ ]L

r ,, 10 πππ = kontinualnog Markovljevog lanca dat je sa:

0rr

=Qπ Mrežu redova čekanja možemo pokušati riješiti postavljanjem gornje jednačine za svaki


7

čvor ili kreirajući dijagram stanja za cijelu mrežu, te rješavanjem putem jednacina globalne ravnoteže. U praksi je rješavanje ovim putem nepraktično, jer broj jednačina raste veoma brzo sa brojem čvorova, pa za velike mreže moramo tražiti druga rješenja. Ukoliko svi čvorovi u mreži ispunjavaju određene uslove po pitanju raspodjele međudolaznih vremena, vremena posluživanja i discipline reda, moguce je izvesti jednačine lokalne ravnoteže za opis sistema, tako da se do rješenja dolazi na dosta brži nacin. Mreže repova koje imaju rješenje putem jednačina lokalne ravnoteže nazivaju se mreže sa produktnom formom. Rješenje za vjerovatnosti stacionarnog stanja ovakvih mreža sastoji se od multiplikativnih faktora, od kojih se svaki odnosi na jedan pojedinačan čvor. Nemaju sve mreže repova rješenje koje se može naći jednačinama lokalne ravnoteže. O uslovima za korištenje jednačina lokalne ravnoteže smo govorili ranije (procesi rađanja i umiranja). Ukoliko se procesi na svakom pojedinačnom čvoru mreže repova mogu rješavati preko lokalne ravnoteže, tada vrijede dvije značajne implikacije:

1. Cijela mreža također ima svojstvo lokalne ranoteže. 2. Postoji rješenje sa produktnom formom za mrežu dato sa:

( ) ( ) ( )[ ]NN SSG

SSS πππ LL ⋅= 1211,,, (47)

Dakle, izraz za vjerovatnost stanja cijele mreže je dat kroz proizvod marginalnih vjerovatnosti stanja svakog pojedinačnog čvora. Konstanta normalizacije G uvedena je da bi se zadovoljio uslov da je suma vjerovatnosti preko svih stanja jednaka jedinici.

Jednačina 47 nam govori da se u mreži koja ima osobinu lokalne ravnoteže čvorovi ponašaju kao usamljeni redovi čekanja, odnosno, da čvorove ovakve mreže možemo posmatrati kao da su izolovani od ostatka mreže. Može se pokazati da osobina lokalne ravnoteže vrijedi za sljedeće tipove sistema čekanja:

1. M/M/m-FCFS. Intenziteti posluživanja za različite klase jedinica moraju biti jednaki. Primjer ovakvog tipa mreže su I/O uređaji na računaru ili diskovi.

2. M/G/1. Procesor računara se često modelira ovim sistemom 3. M/G/∞. Ovim tipom modeliramo mreže za prenos podataka.

10.3.4 Jackson-ove mreže Veliki napredak u proučavanju mreža sistema posluživanja napravio je Jackson 60-ih godina prošlog vijeka. On je proučavao otvorene mreže redova čekanja i došao do rezultata sa produktnom formom. Za Jacksonove mreže pretpostavit ćemo sljedeće:


8

• Postoji samo jedna klasa prometa (jedinica) u mreži, • Srednji broj jedinica u mreži je neograničen, • Svaki od N čvorova u mreži može (ne obavezno) primati Poissonove dolaske

izvana. Jedinica može (ne obavezno) napustiti mrežu na bilo kojem čvoru. • Sva vremena posluživanja su eksponencijalo raspodijeljena. • Disciplina posluživanja na svim čvorovima je FCFS. • i-ti čvor sastoji se od 1≥im identičnih poslužitelja sa intenzitetima posluživanja

Nii ,...,1, =μ . Jacksonov teorem: Ako u otvorenoj mreži vrijedi svojstvo ( iii m⋅< μλ ) za sve čvorove i=1,2,...,N, (intenzitete dolazaka možemo odrediti pomoću (1)), tada se stacionarne vjerovatnosti stanja u mreži mogu izraziti kao proizvod stacionarnih vjerovatnosti pojedinačnih čvorova:

( ) ( ) ( )NNN kkkk πππ LL ⋅= 111 ,, (50) Čvorove mreže možemo posmarati kao nezavisne M/M/m sisteme sa intenzitetima dolazaka iλ i intenzitetima posluživanja iμ . Jacksonov teorem znači da marginalne vjerovatnosti )( ii kπ možemo odrediti korištenjem rezultata za M/M/m sistem (ili, ukoliko je poslužitelj samo jedan, korištenjem rješenja za M/M/1 sistem). Algoritam zasnovan na Jacksonovom teoremu za računanje stacionarnih vjerovatnosti može se opisati u tri koraka:

Korak 1: Za sve čvorove otvorene mreže i=1,2,...,N izračunamo dolazne intenzitete λi rješavanjem jednačina (1)

Korak 2: Svaki čvor i posmatramo kao M/M/m sistem. Izračunamo vjerovatnosti stanja i ostale parametre performansi korištenjem formula za M/M/m sistem.

Korak 3: Uz pomoć jednačina (50) izračunamo stacionarne vjerovatnosti cijele mreže.

Primijetimo da kod Jacksonovih mreža sa Poissonovim ulaznim prometom ne moramo imati Poissonov dolazni promet na samim čvorovima unutar mreže, ali se čvorovi i dalje ponašaju kao M/M/m sistemi. U ovome leži velika važnost Jacksonovog teorema za proučavanje mreža repova.


9

10.3.5 Gordon-Newellove mreže Gordon i Newell su posmatrali zatvorenu mrežu redova čekanja, za koju su napravili iste pretpostavke kao i u slučaju otvorenih mreža, osim što u ovom slučaju ni jedna jedinica ne ulazi niti napušta sistem ( 000 == ii λλ ). Ovaj uslov znači da je broj jedinica u sistemu K konstantan:

∑=

=N

iikK

1

Broj mogućih stanja u ovakvoj mreži je konačan i opisuje na koliko se načina može rasporediti K jedinica na N čvorova. Ovaj broj je dat binomnim koeficijentom:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+1

1N

KN

Gordon-Newellov teorem kaže da je vjerovatnost svakog stacionarnog stanja mreže data u sljedećoj produktnoj formi:

∏=

=N

iiiN kF

kGkk

11 )(

)(1),,( Lπ (59)

ovdje je G(K) konstanta normalizacije, i nalazimo je iz uslova da je suma svih vjerovatnosti stanja mreže jednaka 1:

( ) ( )∑ ∏∑

=

==

=N

iKik

N

iii kFKG

1

1

(60)

Funkcije )( ii kF odgovaraju vjerovatnostima stanja )( ki kπ i-tog čvora i za čvorove sa jednim poslužiteljem ( 1=im ) date su sa:

( )ik

i

iii

ekF ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

μ (61)

gdje odnose posjeta ei računamo korištenjem (5). Gordon Newellov metod za određivanje vjerovatnosti stanja može se sumirati u sljedeća četiri koraka:


10

Korak 1: Odredimo odnose posjeta ei za sve čvorove i=1,2,...,N zatvorene

mreže korištenjem (5) Korak 2: Za sve i=1,2...,N, odredimo funkcije )( ii kF korištenjem izraza (61) Korak 3: Odredimo konstantu normalizacije G(k) korištenjem (60) Korak 4: Odredimo vjerovatnosti stanja mreže korištenjem (59). Iz

marginalnih vjerovatnosti, koje možemo odrediti iz vjerovatnosti stanja pomoću (16), mogu se odrediti svi ostali parametri performansi.

10. predavanje, tokovi

Documents

Transcript of 10. predavanje, tokovi