ave

xe

dt

dc

dt

d

dt

dc

dt

d

dt

du

dt

du

cvd

dua

0

0

22 /1

1mikä on nelikiihtyvyyden

fysikaalinen merkitys?

0)/)(1(/)(1

12/32222 ctv

dt

d

ctvdt

d

dt

d

vv

hetkellisessä lepokoordinaatistossa, jossa v = 0 ja = 1

hetkellisessä lepokoordinaatistossa ),0( aa Newtonin laki voimassa

erityisessä kappaleen

mukana liikkuvassa

koordinaatistossa

(yleisesti ei inertiaalikoordinaatisto)1

SUPPEAN SUHTEELLISUUSTEORIAN DYNAMIIKKA

Elektrodynamiikka säilyy samana siirtyessä inertiaalikoordinaatistosta toiseen

vaaditaan, että kaikki fysiikan lait pysyvät muuttumattomina siirryttäessä

inertiaalikoordinaatistosta toiseen

Fysiikan lait eivät riipu koordinaatistosta = lait ovat kovariantteja

Mitä Newtonille pitäisi tehdä?

dt

dm

paF

pitää yleistää – mutta miten?

kolmivektorikoordinaatistosta riippuva kelloaika

nelivektori koordinaatistosta riippumaton

itseisaika

kolmivektori nelivektori

2

umpd

dpamF 00 ;

nelikiihtyvyys nelinopeusnelivoima

neli-impulssi

vaihdettaessa inertiaalikoordinaatistosta K toiseen K’:

))(('

))(('

0´1́1́

1́0´0´

FFvF

FFvF lain muoto pysyy samana sillä nelivektorit muuntuvat

nelivektoreiksi; numerot tosin muuttuvat. Mutta on

olemassa myös invariantteja: nelivektorin pituus

FFFF ´´ ''

Newtonin lain yleistys

Minkowskin avaruuteen

v1

K K’

v(t)v’(t)

amF 0

'' 0amF

m0 = kappaleen massa mitattuna

sen leposysteemissä, ”lepomassa”

3

Newtonin lain yleistyksen seuraus:2

0cmEuamuistetaan, että nelikiihtyvyys on kohtisuorassa nelinopeutta vasten:

tällöin 00 uamuF

Fe

vppe

00

000

)()(

))((])([)(

cmdt

vdv

vmcmvdt

dv

d

dpFtoisaalta

Fvve22

0

2

0 )()(

)())()(( vcmdt

vdvvcvFuF

0

2 )(; mvmcdt

dmFv

”liikemassa” 4

lasketaan kuinka paljon kappale tekee työtä siirtyessään pisteesta x1 pisteeseen x2

x1 , t1

x2 , t2

v(t)

infinitesimaalinen matka

työ tehdään liikkeen suunnassa

olevaa voimaa vastaan: tehty työ =

dtdl v

dtfdlf v

f

f

summataan kaikki tehty työ: Edtdtfdlf

t

t

t

t

x

x

2

1

2

1

2

1

vFvtyö ilmenee kappaleen

energian muutoksena

vakiocvmvakiomcEctmtmdtcdt

dmE

t

t

2

0

22

12

2 )()]()([2

1

lepokoordinaatistossa

= 0

2

0cmE 5

ffF

neli-impulssi

)(, 0000 Newtonmc

E

c

Ecmp pvpppepe

neli-impulssi on nelivektori sen neliö on invariantti:

22

0

2

2

2

cmc

Epp p

42

0

222 cmcE p dispersiorelaatio

Kappaleilla on 1) lepoenergiaa, verrannollinen lepomassaan, ja 2) liike-energiaa

liike-energia:2

0

2

0

22

0 )1( cmcmmccmET

”Liikemassa” on hyödytön ja sekoittava, historiallista perua oleva nimitys

ei käytetä (massa ei muutu, kineettinen energia riippuu koordinaatistosta) 6

kun v << c

4

42

021

2

02

2

212

022

...11/1

1

c

vOvm

cmc

vcm

cvT pienillä nopeuksilla saadaan

siis Newton

kappaleen nopeus on nytc

v

cm

vcm

E

c2

0

0p

käytetään jatkossa notaatiota

(ja yritetään olla sekoittamatta kolmi-impulssin itseisarvoa ja neli-impulssia)

pp

Aikoinaan suuren hämmästyksen aihe: arkioloissa lepoenergia >> liike-energia

esim.22168

0 /skgm109m/s103 kg,1 lepoEcm

vastaa epärelativistista kineettistä energiaa kun M-massainen kappale liikkuu esim.

nopeudella 20 m/s:

kg105.4

m/s)20(

14

2

212

21

M

EMMvE lepokin

!!! 7

8

sakset ja valoa nopeammin, osa II

kahden atomin välinen etäisyys

n. 1 Å, sidosenergia Es riippuu materiaalista

verrataan etäisydellä r+dr olevia atomeja,

missä dr ~1 Å

kun T(r+dr)-T(r) > Es, sakset rikkoutuvat

kineettinen energia riippuu etäisyydestä

käsiosasta

SUMMA SUMMARUM

Newton

0

2

02

,m

pEm vp

42

0

222

00 , cmcpcmEm vp

Einstein

ppe ,00c

Ecmp

neli-impulssi

2

0cmE ei tarkoita sitä, että massa jotenkin

sisältää energiaa. Massa ja energia ovat samaa

fysikaalista ainesta

22

0

2 cmp

9

SÄHKÖMAGNEETTINEN SÄTEILY

• valo liikkuu valon nopeudella

• kvanttimekaniikka: valo on ”hiukkanen”, fotoni

formaalisti fotonille

pcEvc

Ep

cmEm

c2

2

00 ,vp

00 0

42

0

2

2

2

mcmc

Ep fotonin lepomassa on nolla

kokeet: m0 < 2 10-16 eV/c2

Fotonin kaikki energia on kineettistä energiaa: impulssi 0

kvanttifysiikka h

c

h

c

EphE

Planckin vakioaallonpituus

frekvenssi

tämä pätee yleisesti kaikille

massattomille hiukkasille

10

Newton: impulssi säilyy (=jatkavuus)

Einstein: neli-impulssi säilyy

kaikissa hiukkasreaktioissa

energia säilyy: alkutilan energia = lopputilan energia

3-impulssi säilyy:

lopputilak

k

alkutilak

k pp

lopputilak

k

alkutilak

k pp

esimerkki: hiukkanen hajoaa kahdeksi hiukkaseksi: AB+C

neli-impulssit pA, pB, pC jne

20

eeW

CBA

CBA

CBA

EEE

ppp

ppp

kinemaattisia ehtoja reaktioille

huom! on invarianttiBA pp

alkeishiukkasista

kts. Particle Data Group

http://pdg.lbl.gov/

neli-impulsseilla

laskeskelu on

kätevämpää

11

A, mA ,pA

C, mC ,pC

B, mB ,pB

pA = pB +pC

222222 2)( cmppppppp ACBCBCBA

LABORATORIOKOORDINAATISTO hajoava hitu levossa

CC

C

BB

B

AA

c

Ep

c

Ep

cmp

p

p

,

,

)0,(

ppppp CBCB 0

LAB

-p p

cos LAB=1

1

2

2222222

222222

cos

2

cos22

)()(

,

LABCBCB

CBCBAA

CCBB

CBCB

CB

c

EEcmmppcmp

cmpcmp

c

EEpp

LABCB

pp

pp

pp

12

4222

224222 )(2)(

cmpE

cpEEcmmm

ki

CBCBA

esim. EEEmmm CBCB

cmmp

cmmcp

cmcpcpEEcmm

A

A

CBA

22

21

42222

422222422

4

)4(4

24)(2)2(

mmA 2 massaton hiukkanen (p 0) ei voi hajota

kahdeksi massattomaksi hiukkaseksi

13

- protonin massa on 1.00728 u = 938.27203 MeV/c2

- neutronin massa on 1.00866 u = 939.56536 MeV/c2

- helium-ytimen massa on 4.00151 u = 3727.36966 MeV/c2

kun Auringon ytimessä kaksi protonia ja kaksi neutronia yhdistyy heliumiksi,

Jos sekä neutronit että protonit ovat (osapuilleen) levossa, päättelemme että

Hennpp ppppp 2121

Henp mmm 22

MUTTA:

2/MeV3051.2822 cmmm Henp

jokaista reaktiota kohden ”syntyy energiaa” eli hiukkasia, jotka

takaavat neli-impulssin säilymisen; tällöin tyypillisesti He-ydin

ei synny lepoon

tteetreaktiotuok

kHennpp pppppp 2121

fotonit,

neutriinot, …

14

ESIMERKKI KAHDEN HIUKKASEN ELASTISESTA SIRONNASTA

Comptonin sironta e- e-

k k’

p p’

e- e-

)cos1('cm

h

e

havainto:

elektronin Compton-aallonpituus

15

Arthur Compton : Nobel Prize in Physics 1927

Arthur Compton was born in Wooster, Ohio, on September 10th, 1892. In 1913, he graduated with Bachelor of Science from

Wooster College. He spent three years in postgraduate study at Princeton University, receiving his M.A. degree in 1914 and

his Ph.D. in 1916. After spending a year as a physics instructor at the University of Minnesota, he took a position as a

research engineer with the Westinghouse Lamp Company in Pittsburgh. In 1919 he moved to work at University of

Cambridge as a National Research Council Fellow.

At Princeton, Compton developed the theory that the intensity of X-ray reflections from crystals can be used as a means of

studying the arrangement of electrons and atoms within the crystals, and in 1918 he started a study of X-ray scattering. This

led to his discovery, in 1922, of the increase of wavelength of X-rays due to scattering of the incident radiation by free

electrons. This implies that the scattered quanta (free electrons) have less energy than the quanta of the original beam. This

effect, known as the Compton effect, clearly illustrates the particle concept of electromagnetic radiation. This work was

supported C. T. R. Wilson’s research in his cloud chamber, in which he showed the presence of the tracks of the recoil

electrons. Compton was awarded the Nobel Prize in Physics 1927, "for his discovery of the effect named after him".

In addition, Compton discovered (with C. F. Hagenow) the phenomenon of total reflection of X-rays and their complete

polarization, which led to a more accurate determination of the number of electrons in an atom. He was also the first (with R.

L. Doan) to obtain X-ray spectra from ruled gratings, which offers a direct method of measuring the wavelength of X-rays.

In 1916, he married Betty Charity McCloskey. They had two sons, Arthur and J.J. In 1920, he was appointed as the Head of

the Department of Physics at Washington University, St. Louis. In 1923 he moved to the University of Chicago as Professor

of Physics. Until his retirement in 1961 he was Distinguished Service Professor of Natural Philosophy at Washington

University.

Compton's favourite hobbies were tennis, astronomy, photography and music. He died on March 15th, 1962, in Berkeley,

California.

© University

from http://www-outreach.phy.cam.ac.uk/resources/nobel/compton.php

16

selitetään havainto kinematiikalla:

),(),(

)0,(

kkk kk

cmp e

laboratoriossa

22

22

2

0

2

0

222

'22)cos1('2

'22'2')'('22

cm

cmcmcm

pkpkkkpkkpkkp

e

eee

cme

kkkk

kcEfotonille

0)1

'

1()cos1(

'

10)'()cos1('

kkcm

kkkkcmkk

e

e

QM:h

c

hk

)cos1(1

'

1

cm

h

e

17

Monimutkaisemmat reaktiot monimutkaisempia kineettisiä ehtoja

esimerkki: protoni-protonitörmäyksissä tuotetaan mm. pioneja

p

LAB

BpBpBpB

BpB

BpB

BA

mEcmmEcmc

E

cmc

Ecm

c

Epp

222

,,)(

22222

2

2

2

p

pp

0pppp

A B 1 2 3

laboratoriossa A on levossa:

törmäävien protonien CM-koordinaatistossa

22222222

2

2

3212

2

3212

321

44)2(1

)(1

0,)(

cmcmmcmcmcmc

EEEcc

EEEppp

ppp

CMCMCM

GeV2.12

2

)()(

22

2

2

321

2

cm

mmmE

ppppp

p

p

LAB

B

BA

reaktion ei-triviaali kynnysenergia18

SUPPEA SUHTEELLISUUSTEORIA SUMMA SUMMARUM

• c = vakio Lorentz-muunnokset

• tarkastelee vakionopeudella toistensa suhteen liikkuvia inertiaalikoordinaatistoja

• kausaliteetti c korkein signaalinopeus

• aikaintervallit ja välimatkat riippuvat liiketilasta aikadilataatio, pituuden

Lorentz-kontraktio

• pituuden mittaus: päät mitattava samanaikaisesti

• avaruusaika (x0,x) epäeuklidinen

''22

0 xxxxx x on invarianttinelivektorin pituus

19

22

2

/1/1

)/('

)('

cv

cvxtt

vtxx

• vaaditaan, että fysiikan lait ovat samanmuotoiset (kovariantit) kaikissa

inertiaalikoordinaatistoissa Newtonin lakien yleistys

umpd

dpamF 00 ;

vp

p

0

,

m

c

Ep säilyy reaktioissa

2

2

2p

c

Eppp invariantti

2

0cmE

20

• inertiaalikoordinaatistot: v = vakio

• Minkowskin avaruus

• lait Lorentz-kovarianttejasuppea suhteellisuusteoria

• koordinaatistoitten välinen suhteellinen nopeus v vakio

kiihtyvyyksi ä voimia (esim. gravitaatio)

• avaruus???

• lait ???

yleinen suhteellisuusteoria

yleistys

21