SAYİSAL ARAZİ MODELLERİNDE İKİ İNTERPOLASYÖN

■ YÖNTEMİ İLE DENEMELER

Dr. Atillâ GÜLER

Karadeniz Üniversitesi

•En Küçük Kareler İnterpolasyonu•Multikuadrik İnterpolasyon1. GİRİŞSayısal arazi modelleri 1950'li yılların ortalarından beri çeşitli

alanlarda kullamlagelmektedir. Başlangıçta, o dönemin bilgisayar-larının sınırlı olanakları ile mühendislik projelerinde en ve boykesitlerin, yarma ve dolma bacımlarının hesabı için dar bir uy-gulama alanı bulan SAM (Sayısal Arazi Modelleri), elektronik tek-nolojisinin gelişmesi ile bilgisayar olanaklarının artması, otomatikçizim sistemleri, grafik görüntü ekranları, sayısal çıkış veren veyaotomatik kayıt yapan veri derleme aletlerinin (kartografiksayısallaştırıcı, analitik ve analog değerlendirme aletleri, elektro-nik takeometre, vb.) geliştirilmesi sonucunda gelişmiş ülkelerdekisanayi, mimarlık, inşaat mühendisliği, haritacılık alanlarında yay-gın olarak uygulanmaktadır.

SAM haritacılıkta, eşyükseklik eğrilerinin üretilmesi, genel-leştirilmesi, çevrim dışı (off-line) yapılan ortofoto harita basımı-nın ve sayısal tek resim değerlendirilmesinin güdümü, planlamaamaçlarına yönelik eğim haritalarının yapımı, en ve boy kesitlerinçizgisel gösterimi, hacımlarm belirlenmesi, aksonometrik iz-düşümlerle perspektif görünüşlerin çizimi için etkin ve yararlı bir-araç olarak kullanılmakta ve topoğrafik veri bankalarının omurga-sını oluşturmaktadır.

Sayısal arazi modelleri, bilgisayarlarla yapılacak işlemlereesas olmak üzere, yeryüzeyinin sayısal gösterimi olarak tanımla-

98

nabilir. SAM geniş anlamda, ayrıntıların konum ve arazi yükseklikbilgilerinin her ikisini, dar anlamda ise yalnızca yükseklik bilgile-rini içerir. SAM kavramı, seçilmiş yüzey noktalarının x, y, z koor-dinatları ile birlikte uygun bilgisayar programlarını da kapsar.

SAM işlemleri başlıca dört gruba ayrılabilir :

• Verilerin elde edilmesi,• Interpolasyonlar ve dönüşümler,

•Bilgilerin saklanması,

•Bilgilerin tekrar elde edilmesi.

SAM verileri, yersel ölçmelerle araziden, kartografik sayısal-laştırıcılarla topoğrafik haritalardan, fotogrametik ölçmelerle go-toğraflardan elde edilebilir. SA'M'ın iskeletini oluşturan bu veri-lerin toplanmasına örnekleme (sampling) adı verilir. Her veri kay-nağına özgü çeşitli örnekleme yöntemlerinin belirlediği örneklemedokuları,

•Eşyükseklik eğrilerinin,

•Kesitlerin,

•Gridlerin,

•Morfolojik çizgi ve noktalarınbelirlediği biçimlerdedir. Geleneksel olarak fotogrametride ve to-pografik haritalardaki sayısallaştırmalarda örnekleme dokusu eş-yükseklik eğrileri düzenindedir. Yersel ölçmelerde ise örneklemedokusunu morfolojik çizgiler ve noktalar belirler. Fotogrametride.sözü edilen bu dört dokudan herhangi biri veya bunların bileşimikullanılabilir. SAM'da örnekleme evresi önemli bir evredir. AmacEuygun olmayan bir örneklemenin yaratacağı eksiklikleri hiç birinterpolasyon yöntemi karşılayamaz.

İnterpolasyondan elde edilen doğruluk kuşkusuz, örneklemenoktalarının yoğunluğuna, dağılım biçimine ve seçilen interpolas-yon yöntemine bağlıdır. SAM'da interpolasyon, gerçekte bir yüzeyyerleştirme sorunudur. Bu sorunun çözümü için temelde üç farklıyaklaşım sözkonusudur :

99

•Tüm araziyi aynı anda kapsayan interpolasyon,•Tüm araziyi parçalara ayırarak, parça parça interpolasyon,

•Nokta nokta interpolasyon.

Bu üç temel yaklaşıma göre literatürde çok çeşitli interpo-lasyon yöntemleri bulunmaktadır.

Hardy tarafından topoğrafik ve düzgün olmayan yüzeylerininterpolasyonu için geliştirilen mültikuadrik interpolasyon 1971yılında yayımlanmıştır. (Hardy, 1971; Hardy, 1972; Hardy, 1974;Hardy, 1977; Wolf, 1981). Durağan rasgele süreçlerin korelasyonkuramına dayanan en küçük kareler interpolasyonunun SAM'dakullanımı Kraus tarafından önerilmiş (Stewardson, Gsell, Kraus1972; Kraus, Mikhail, 1-972; Mikhail, 1976; Leberl, 1973) ve eşyük-seklik eğrileri boyunca örnekleme yapılarak Lauer tarafından araş-tırılmıştır '(Lauer, 1972). Parça parça polinomlarla interpolasyoniçin çeşitli yöntemler bulunmaktadır (Bosman, Eokhart, Kübik,1971; Jancaitis, Junkins, 1973; Leberl, 1973; Sclıut, 1976), Kayanyüzey yönetiminin çeşitli uygulamaları vardır (Koch, 1973; Arthur,1973; Leberl, 1973; Schut, 1976), Sonlu elemanlar (Ebner, 1978;Ebner, 1983) ve Fourier serileri (Davis, 1973) SAM interpolasyon-ları için kullanılan diğer yöntemlerdir. Sayısal arazi modellerineilişkin interpolasyon yöntemlerinin çoğu çeşitli yayınlarda grup-landırılarak gözden geçirilmiştir (Lebeıi, 1973; Schut, 1976; Güler,1978).

Bu yazıda, Karadeniz Üniversitesi Jeodezi ve FotogrametriMühendisliği Bölümünde oluşturulması düşünülen «Arazi Sistemi»konusunda yapılan hazırlık çalışmalarının bir bölümü olan SAMuygulamalarına ilişkin olarak, analog fotogrametrik değerlendir-me aleti ile elde edilen örnekleme verilerine dayanarak en küçükkareler ve mültikuadrik yüzeyler yöntemleriyle yapılan interpolas*-yon denemeleri ve sonuçları sunulacaktır.

tnterpolasyonlar, istatistik analizler ve diğer hesaplamalariçin gerekli bilgisayar programları Fortran IV dilinde yazılmış,işlemler Glasgow Üniversitesi ICL 2976 bilgisayar sisteminde ya-pılmıştır. Çizimler bu sistemin GHOST (Graphical Output System)yordamları kullanılarak CalComp 925/1036 silindir tipi çizicisi ilegerçekleştirilmiştir.

100

2. UYGULANAN İNTERPOLASYONLAR

Çalışmada en küçük kareler ve multikuadrik interpolasyoiıyöntemleri uygulanmıştır. Bu yöntemlere aşağıda kısaca değinilmiştir. , !. i

2.1-,. • EN KÜÇÜK- KARELER İNTERPOLASYONU

SAM'ın en küçük kareler yöntemine göre interpolasyonunda,örnekleme noktalarına göre düşük dereceden bir trend yüzeyi ge-çirildikten sonra kalan Ahi artık yükseldik değerlerinin ergodik,homojen, ve izotrop bir rastgele alan oluşturduğu kabul edilir.Böyle rasgele alanlarda ortalama değer sabit ye otokorelasyonfonksiyonu konum ve doğrultudan bağımsız olup yalnızca noktalararasındaki uzaklığa bağlıdır.

Aralarındaki uzaklık d + A d olan Pİ ve Pj noktaları için ko-varyans, bütün olasılı Ahi Ahj çarpım çiftlerinin ortalamasıdır.Böylece uzaklığın fonksiyonu olarak kovaryans değeri,

w(d) --—— z **!*** " (i)

olup, bu değer,

î = i I A h l ■ . (2)■■ n i-ı

varyansı ile normalize edilerek,

C(d) = --^^d— (3)

otokorelasyon değeri elde edilebilir.

Otokorelasyon fonksiyonunun kuramsal olarak bilinmediğidurumlarda, seçilen bir fonksiyonun katsayıları, (3) eşitliği ileuzaklığa bağlı olarak elde edilen otokorelasyon değerleri yardımıile en küçük kareler yöntemine göre belirlenerek, otokorelasyonfonksiyonu amprik bir biçimde bulunabilir.

.101

■104

105

3. UYGULAMA ARAZÎSİ VE VERİLERİN ELDE EDİLMESİ• Bu çalışma SAM'a konu olan arazi Küçük Menderes bölgesin-

de olup, denizden ortalama yüksekliği 200 m'dir. Arazinin ortala-ma eğimi 0.14, en yüksek eğimi 0.38, en düşük eğimi 0.01 dir. Eğim-lerin dağılımı (Şekil: 1) de görülmektedir. Arazinin perspektif görü-nüşü (Şekil : 2) dedir.

Örnekleme, Zaiss 15/23 kamera ile çeliken 1/16000 ölçekli re-sim çifti ile Zeiss Planimat D2 stereodeğerlendirme aletinde oluş-turulan 1/6500 model ölçeğinde 1100 mx 1100 m'lik bir alanda ya-pılmıştır. Stereodeğerlendirme aletinin elektronik sayısal bileşen-leri olmadığından, ölçüler aletin x, y, h çark göstergelerinden oku-narak elle kayıt edilmiştir. Bu zorunluktan dolayı örnekleme, to-poğrafik yüzeyi olabildiğince az sayıda nokta ile oluşturmak amacıile arazinin karakteristik yerlerinde 281 noktanın x, y, h değerleriölçülerek yapılmıştır. Bu durumda, örneklemedeki ortalama enyakın komşu nokta uzaklığı 70 m olmaktadır. 281_ örneklemenoktasına dayanarak 960 mx960 m'lik bir alanı kapsayan 49x49noktalı bir kare grid ağında yapılacak interpolasyonların doğruluğu-nu belirlemek için yapılacak karşılaştırmada kullanılmak üzere bukare grid ağı noktalarının yükseklikleri de Zeiss Planimat Dİ'dekistereo modelde .ölçülmüştür.

(Şekil : 3) de test bölgesinin Zeiss Planimat D2 aletinde analogolarak çizilen eşyükseklik eğrileri ve örnekleme noktalarının da-ğılımı, (Şekil: 4) de kesişme noktalarında interpolasyonların yapıl-dığı grid ağı görülmektedir.

4. İNTERPOLASYONLARIN UYGULANMASI VEDOĞRULUKLARININ İRDELENMESİ

4.1. EN KÜÇÜK KARELER İNTERPOLASYONU En

küçük kareler interpolasyonunda trend yüzeyi için

106

biçiminde, m derecesi 1 ve 2 olan polinomlar kullanılmış ve trenddenarda kalan

&h± * h± - t(yj L ,x ı)

artık yükseklik değerleri arasındaki korelasyon,

d2

> — ^ -(29)C(d) - o k k»O,4.5

Gauss fonksiyonu ile hesaplanmıştır.d uzunlukları, 960 m x 960 m'lik alanda oluşturulan kare grid ağınınbirim kare uzunluğu olan 20 m değeri ile normlandırılmıştır. 281örnekleme noktasından yararlanarak 49 x 49 = 2401 grid köşenoktası birinci ve ikinci derece polinomlara göre elde edilen trendve (29) Gauss fonksiyonunda k = 3, 4, 5 değerleri kullanılarak in-terpole edilmiştir. 2401 noktanın bu değişik interpolasyonlar so-nucu elde edilen h/ yükseklikleri, stereodeğerlendirme aletinde Öl-çülen hi yükseklikleri ile,

Vi = h:[ - hi i- 1 , 2 , . . . , 2401(30)

biçiminde karşılaştırılarak V farklarına ilişkin 6 küme elde edil-miştir. Değişik biçimdeki en küçük kareler interpolasyonları için vfarklarının dağılımları (Şekil: 5a-5f) de görülmektedir.

Kümelere uygulanan çarpıklık, ekses ve uyum testlerinde \farklarının hiç bir durumda normal dağılımında olmadığı anlaşılmıştır, v farklarının ortalama değerlerinin —0.18 m ilâ —0.32 marasında değiştiği gözlenmiş (Çizelge : 1), bu değerlerin sıfırdanfarklı olduğu t testlerinden anlaşılmıştır. Böylece interpole edilenyüzeylerin ölçülen yüzeyden 0.18 ilâ 0.32 m arasında daha alçakolduğu sonucuna varılmıştır. :

107

înterpole edilen bir noktanın standart sapması + 1.67 m ilâT 2.06'm arasındadır (Çizelge :1). Yapılan bartlett testlerinden bustandart sapmaların homojen olmadıkları, dolayısıyle en küçükkareler interpolasyonımun çeşitli biçimleri için elde edilen v küme-lerinin farklı ana kümelere ait olduğu anlaşılmıştır. Bu durumdaen küçük kareler interpolasyonunun farklı uygulanış biçimlerinineşdeğerli olmadığı söylenebilir. En küçük kareler interpolasyonun-da en duyarlı sonuç, trend yüzeyinin ikinci derece bir polinom vekorelasyon fonksiyonu olarak kullanılan Gauss fonksiyonundakik'nm 3 olması durumunda s-=T" 1.67 m olarak elde edilmiştir.■ Her bir v farkları kümesi 6 arazi eğimi grubunda sınıflandırıl-

mış ve her grubun arazi eğimi ortalaması ile v farklarının standartsapmaları hesaplanmıştır, v kümelerindeki, grupların standart sap-maları ile arazi eğimi ortalamaları arasındaki f korelasyon katsayı-larının 0.67 ilâ 0.97 arasında değiştiği gözlenmiş (Çizelge :1) ve ya-pılan t testlerinden bu korelasyon katsayılarının a = 0.19 yanılmapayı ile anlamlı oldukları anlaşılmıştır Her bir v fankları kümesininstandart sapmaları ile arazi eğimi arasındaki bu ilişkiyi gösterebil-mek için,

s = (a + b tane) mbiçiminde doğrusal bir model kullanılarak a ve b katsayıları en kü-.çük kareler yöntemine göre hesaplanmıştır (Çizelge : 1).

En küçük kareler interpolasyonunun değişik durumları içinelde edilen eşyükseklîk eğrileri (Şekil : 6a-6f) de görülmektedir.

108

Çizelge : 1 EKK interpolasyonlan için istatistikler

4.2 MULTİKUADRÎK İNTERPOLASYON

Multikuadrik interpolasyon, (27) eşitliğinde kullanılacak q kat-sayılarının (26) eşitliğinden tüm yüzey için aynı anda hesaplan-masını gerektirir. Bu durumda, A matrisinin boyutları 281x281olacağından, bellek sınırlaması ve diğer hesaplama güçlükleri nede-niyle, bölge 240 mx240 m'lik 4x4 = 16 alt bölgeye ayrılarak mul-tikuadrik interpolasyon gerçekleştirilmiştir. Her bir alt bölgedeinterpolasyonda kullanılan örnekleme noktalan, komşu alt bölge-lere 100'er metre bindirme yapacak biçimde seçilmiş, böylelikle birölçüde alt bölgelerin sınırları boyunca oluşabilecek uyumsuzluk-lardan kaçınılmaya çalışılmıştır.

Trend yüzeyi olarak birinci ve ikinci derece polinomlar kul-lanılmıştır. Her iki durumda interpole edilen noktalarda interpo-lasyon sonucu elde edilen yüksekliklerle, stereo değerlendirme ale-tinde ölçülen yükseklik değerleri (30) şitliğindeki gibi karşılaştırıl-mıştır. Her iki durum için v farklarının dağılımı (Şekil: 7a-7b) degörülmektedir.

Bu v farkları kümelerinde uygulanan çarpıklık, ekses ve x2

uyum testlerinden bu kümelerin normal dağılımda olmadığı anla-şılmıştır v farklarının ortalama değerleri —0.26 m ile —0.23 m dir(Çizelge :2). Bu değerlerin, yapılan t testleriyle sıfırdan farklı ol-dukları, yani interpole edilen yüzeylerin öçülen yüzeyden 0.23 mve 0.26 m daha alçak oldukları sonucuna varılmıştır.

İnterpole edilen bir noktanın standart sapması her iki durum-da da T 1.41 m'dir. Her bir v farkları kümesi 6 arazi eğimi grubun-da sınıflandırılmış ve her grubun arazi eğimi ortalaması ile v fark-larının standart sapmaları hesaplanmıştır, v kümelerindeki grup-

Çizelge : 2 Multikuadrik interpolasyon için istatistikler

109

larm standart sapmaları ile arazi eğimi ortalamaları arasındaki rkorelasyon katsayıları 0.75 ve 0.72 hesaplanmıştır (Çizelge : 2). Ya-pılan t testlerinden, bu korelasyon katsayılarının o = 0.10 yanılmapayı ile anlamlı oldukları anlaşılmıştır. Bu ilişkiyi matematikselolarak gösterebilmek için (31) biçiminde doğrusal bir model kulla-nılarak a ve b katsayıları en küçük kareler yöntemine göre hesap-lanmıştır (Çizelge : 2).

Yapılan t testlerinden, her iki interpolasyon durumunda v or-talama değerlerinin, (31) eşitliğindeki a ve b katsayılarının eşdeğerkabul edilebileceği anlaşılmıştır, s standart sapmaları da her ikidurumda eşit çıktığından, birinci ve ikinci derece polinomlarla el-de edilen trendlerle yapılan multikuadrik interpolasyonlar arasındabir fark olmadığı sonucuna varılmıştır.

(Birinci ve ikinci derece polinomlarla elde edilen trendlerleyapılan multikuadrik interpolasyonlarm eşyükseklik eğrileri şekil8a-8b'de görülmektedir.

5. SONUÇ

Bu çalışma 1100 mx 1100 m'lik bir alanda 281 örnekleme nok-tası ile 960 mx960 m'lik kare grid ağının köşe noktalarında yapı-lan en küçük kareler ve mulitkuadrik interpolasyonlar ile sınırlıdır.Bu kapsamda en iyi sonuç ~ 1.41 m standart sapma ile multiku-adrik interpolasyondan alınmıştır. Multikuadrik interpolasyondabirinci ve ikinci derece trend yüzeyi kullanılması, interpolasyonsonuçlarını hemen hemen hiç etkilememektedir.

Bu bakımdan multikuadrik interpolasyon için trend yüzeyiolarak birinci derece bir polinom kullanılması yeterli görülmek-tedir. Multikuadrik interpolasyonda trend yüzeyi olarak birinci de-rece bir polinom kullanılması durumunda bir grid ağının köşenoktalarının ölçülen yükseklikleri ile interpole edilen yükseklikleriarasında farkların standart sapmasının arazi eğimi ile ilişkisinin,

s = T (0.92 + 3.54 tana) molduğu görülmüştür. Ayrıca interpole edilen yüzey ölçülen yüzey-den 0.26 m daha alçaktır.

En küçük kareler interpolasyonunda en iyi sonuç "+" 1.67 mstandart sapma ile trend yüzeyi olarak ikinci derece bir polinom

110

kullanılması ve (4) Gauss korelasyon fonksiyonundaki tk sabitinin3 olması durumunda elde edilmiştir. Standart sapma ile arazi eği-mi arasındaki ilişki,

s = T (0.91 + 5.26 tane) ,molarak bulunmuştur. Bu interpolasyonda da interpole edilen yüze-yin ölçülen yüzeyden 0.20 m daha alçak olduğu gözlenmiştir.

Görüldüğü gibi bu çalışmada yöntemlerin belirlenen doğru-lukları tek bir örnekleme sıklığına göredir. Örnekleme noktalarınınsıklığının artması durumunda interpolasyon yöntemlerinin doğru-luğunun artacağı kuşkusuzdur. İleride yapılacak daha kapsamlıçalışmalarda arazi tipi, örnekleme biçimi ve örnekleme noktaları-nın sıklığı, interpolasyon yöntemleri, doğruluk, interpolasyon za-manı arasındaki ilişkiler aranmalı ve SAM için optimum çözümlerbelirlenmelidir.

K a y n a k ç aArthur, D. W. G., «Interpolation of a Function of Many Variables, II»,

Photogrammetric Engineering and Remoto Sensing, No. 3.Bosman, ER., D. Eckhart, K. Bubik, 1971, «Delft-A Programme System for

Surfaces Approximatipn», Data Processing Departmant, Rikswa-terstat, The Hague, The Netherlands.

Davis, J. C. 1973, «Staüstics and Data Analysis in Geology>, John Wileyand Sons, Inc., Newyork.

Ebner, H., P. Reiss, 1978, «Height Interpolation by the Method of FiniteElements», Proceedings of Digital Terrain Models Symyosium, St.Lous, May 9-11, American Society of Photogrammetry.

Ebner, H. 1983, «Berücksichtigung der lokalen Gelandeform bei der Hö-heninterpolation mit Finiten Elementen», Bildmessung und Luft-bildwesen, Heft 1.

Güler, A., 1978, «Sayısal Arazi Modellerinde İnterpolasyon Yöntemleri».Harita Dergisi, Sayı 85.

Hardy, R., 1971, «Multiquadric Equations of Topography and other Irre-gular Surfaces», Journal of Geophysical Research, No. 8.

Hardy, R., «Geodetic Applications of Multiquadric Analysis», AllgemeineVermessungs-Nachricten, Heft 10.

Hardy, R. 1974, «Research Results in the Application of MultiquadricEquations to Surveying and Mapping Problems», Presented paperfor XIV th Congress International Federation of Surveyors (FIG),Washington, September 7-16.

111

Hardy, R., 1977, «Least Squares Prediction»,Photogrammetric Engineeringand Remote Sensing, No. 4.

Jancaitis, J.R., J. R. Junkins, 1973, «Modelling Irregular Surfaces», Pho-togrammetric Engineering and Remote Sensing, No. 4.

Kocri, K.R., 1973, «Digitales Gelândemodell und Automatische Höhenlini-enzeichnung», Zeitschrift für Vermessungswesen, Heft 8.

Kraus, K., E. M. Mikhail, 1972, «Linear Least Squares Interpolation», Pho-togrammetric Engineering and Remote Sensing, No. 10.

Lauer, S., 1972, «Anwendung der skalaren Prâdiktion auf das Problem desdigitalen Gelândemodells», Nachrichten aus dem Karten undVermessungswesen, Reihe I, Heft 51.

Leberle, F. 1973 «Interpolation İn Square Grid», The ITC Journal, No. 5.Leberle, F., 1974, «Experiences with Photogrammetric Interpolation Prob-

lems», Presented paper for XIV th Congress of International Fede-ration of Surveyors (FIG), Washington, September 7-16.

Mikhail E.M., 1976, «Observations and Least Squares», IEP-Dun-Donneley■ Newyork.

Schut, F. H., 1976 «Review of Interpolation Methods for Digital TerrainModels», The Canadian Surveyor, No. 5.

Stewardson, P.B., K. Kraus, D.C. Gsell, 1972, «DACS-Digital AutomaticContouring System», Peresented paper for Commision IV, XIICongress of the ISP.

Wolf, H., 1981, «Multiquarische Methode' und Kollokation», AllgemeineVermessungs-Nachricten, Heft 3.

J12

115

-116

117

118