1 Fondamenti TLC QUANTIZZAZIONE E TRASMISSIONE DI SEGNALI NUMERICI SEZIONE 7.
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1 Fondamenti TLC
QUANTIZZAZIONEE
TRASMISSIONE DI SEGNALI NUMERICISEZIONE 7
2 Fondamenti TLC
Segnali numericiSi consideri il segnale x(t) campionato a intervalli T.
tT
Segnale originale x(t)
Campioni del segnale x(nT)
Ogni campione del segnale campionato x(nT) e’ un numero reale che puo’ assumere con continuita’ qualsiasi valore compreso tra uno minimo e uno massimo.
Se si vuole rappresentare ogni campione x(nT) in forma numerica (ad es. per memorizzarlo in forma binaria su un PC) e’ necessario approssimare il numero reale con un numero finito K di livelli compresi tra il minimo e il massimo.Questa operazione viene detta QUANTIZZAZIONE.
3 Fondamenti TLC
Schema a blocchi del convertitore A/D
Campionatore Quantizzatore Codificatorex(t) c(n)
fc=1/T
t
K=256=28
….u10 -> 00001010u11 -> 00001011 u12 -> 00001100...
c(n)
nTb
tRb [bit/s]= 1/Tb=fc log2K
Tb=T/log2K
xq(nT)x (nT)
1
0
4 Fondamenti TLC
La quantizzazione
x(nT)
xq(nT)
-V V
Quantizzatorex(nT) xq(nT)Il quantizzatore e’ un dispositivo che trasforma
il campione reale x(nT) nel campione quantizzato con un numero K di livelli xq(nT).
Ad esempio se il minimo e il massimo valore che puo’ assumere il campione x(nT) sono -V e V, la relazione tra il valore continuo x(nT) e quello quantizzato xq(nT), e’ rappresentata
da una scalinata con K livelli.
L’intervallo di quantizzazione e’:
K
V2
5 Fondamenti TLC
L’errore di quantizzazione
Quantizzando si commette un errore tanto piu’ piccolo quanto piu’ elevato e’ il numero K di livelli. L’errore di quantizzazione e’ definito come: nTxnTxnTe q
0 50 100-5
0
5
0 50 100-5
0
5
x(nT) xq(nT)
e(nT)
6 Fondamenti TLC
-V/K V/K
p(e(nT))
e(nT)
K/2V
Caratteristiche dell’ errore di quantizzazione
0
valore medio nullo
densita’ di probabilita’ uniforme p(e)= K/2V
valore qaudratico medio (valore efficace) =V/K 3-1/2
campioni incorrelati (se K sufficientemente grande)
7 Fondamenti TLC
Un’espressione facile da ricordare
Se il numero K di livelli e’ elevato, l’errore di quantizzazione di un campione e’ una
variabile casuale con densita’ di probabilita’ uniforme tra - e +Dunque l’errore di quantizzazione e’ una variabile casuale a valor medio nullo e varianza uguale a:
Se si vogliono utilizzare N cifre binarie per rappresentare i campioni avremo che:
NnTe
V2
222
2
1
312
2
2222
312
12
12 K
V
K
VnTe
Se ora esprimiamo la varianza dell’errore in DECIBEL (dB), otteniamo:
NV
NV
V NnTedBnTe
63
log104log103
log10
2log103
log10log10
2
1010
2
10
210
2
102
102
Con una cifra binaria in piu’, la varianza dell’errore di quantizzazione si riduce di 6dB
Con una cifra binaria in piu’, la varianza dell’errore di quantizzazione si riduce di 6dB
8 Fondamenti TLC
Codifica dei campioni quantizzati
Codifica naturale
v3
v2
v1
111110101100
010
000
011
001
v5
v6
v7
v8
v4
Con N cifre binarie (bit) si ottengono K = 2N livelli di quantizzazione. Ad ogni livello si puo’ dunque associare un codice di N bit .
Ad esempio, se N=3 , otteniamo K = 8 livelli di quantizzazione Vm codificabili in vario modo con 3 bit.
9 Fondamenti TLC
La BIT RATE di un segnale numerico
La cadenza di bit al secondo di un segnale numerico viene chiamata “bit rate”.
Per un segnale tempo continuo x(t) con frequenza massima di 3.6KHz (un segnale telefonico p.e.), il teorema del campionamento ne impone una frequenza di campionamento fc maggiore di 7.2KHz. Utilizziamo quindi fc =8KHz: 8000 campioni al secondo.
Se quantizziamo il segnale con K=256 livelli servono N=8 bit.
Il segnale telefonico numerico avra’, dunque, una bit rate di:
Kbit/sec 6480008 cNf Kbit/sec 6480008 cNf
10 Fondamenti TLC
Applicazione: quantizzazione non uniforme
Segnale Telefonico
v(t)
Microfono
Banda 300-3400 HzFrequenza di campionamento fc=8kHz
Utilizziamo N=8 bit per campione
Bit Rate: 64Kbit/s (8 Kcamp/s.*8 bit/campione)
Nell’ipotesi di segnale con distribuzione d’ampiezza uniforme nell’intervallo [-V,+V], la potenza di segnale e’ P1=V2/3.
Se si utilizza una quantizzazione uniforme (=2V/2N), PQ=2/12, dunque
(P1/ PQ) |dB =SNR|dB =6N=6*8=48 dB
Sufficiente per buona qualità segnale (>30dB).
Fissato il passo di quantizzazione , se la potenza del segnale PS diminuisce di un fattore 100 (Ps=P1-20 [dB]), cosa normalissima,
SNR|dB 28dB < 30dB.
Potenza del segnale fortementedipendente dal parlatore
11 Fondamenti TLC
Quantizzatori non uniformi
v
u
Sono utilizzati quando 1)la statistica del segnale in ingresso non è uniforme per minimizzare l’ errore quadratico medio 2) la sensibilita’ percettiva dipende dall’ ampiezza del segnale
si+1si
ui
12 Fondamenti TLC
Quantizzatore non uniforme: implementazione
N.L. Q. unif.v vc
MM,c
coo v
vm;
v
vv;
)1log(
)m1log(v
0 1
1
=5100200
|m|
ov
vq
vc
vsisi-1
vi
13 Fondamenti TLC
Companding (Compression-Expanding)
-48 -44 -40 -36 -32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 00
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
Ps /P1 [dB]
SNR [dB]
10dB
Senza Companding
Con Companding
14 Fondamenti TLC
Come si trasmette un segnale numerico
Abbiamo visto che un segnale numerico, a valle della codifica, e’ costituito da una sequenza di bit che si presentano con una certa cadenza (la bit rate).
......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..
A questo punto possiamo dimenticare l’origine della sequenza e che i bit vanno letti a gruppi di N, a partire da una certa posizione, per risalire ai campioni del segnale quantizzato xq(nT) .
Si deve trasmettere la sequenza, con la sua cadenza, attraverso un canale di trasmissione (satellite, ponte radio, cavo coassiale, fibra ottica …) che lascia passare solo segnali y(t) che hanno frequenze comprese nella banda B centrata attorno alla frequenza fo. Inoltre dovremo trasmettere dei segnali di sincronismo.
f
BB
fo-fo
Banda del canale
15 Fondamenti TLC
)(ty tgamFiltro PBcanale campionatore tg
ma sm nTga
soglia0;10;1
Trasmissione antipodale in banda base
-A 0 A am
Sistema di trasmissionenon rumoroso
y(t) = -A;+A
x(t)=y(t)+n(t)
n(t) mn=0
n2= kT B
Soglia S 0;1Gen.Segn.
0;1
16 Fondamenti TLC
)(ty tgam
tfo2cos
Filtro PBcanale campionatore tg
ma sm nTga tfo2cos
soglia0;10;1
-A 0 A am
fBB
fo-fo
No : densita’ spettrale
di potenza del rumore
No
BNwEwE nn 022
;0 BNwEwE nn 022
;0
Trasmissione antipodale in banda traslata
17 Fondamenti TLC
Uso delle costellazioni di segnali complessi
Re
Im
A
A3A
3A
Abbiamo visto in precedenza che, utilizzando la modulazione in fase e quadratura, possiamo sovrapporre nella stessa banda di frequenze M segnali che, una volta demodulati e campionati producono M numeri complessi che formano la costellazione. E’ evidente che possiamo associare agli M punti della costellazione una qualsiasi configurazione di N=log2M bit che possono essere trasmessi contemporaneamente sullo stesso canale.
......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..
Ad esempio, se usiamo una costellazione QAM con M=16 punti, possiamo trasmettere “simboli” di N=log216=4 bit contemporaneamente sullo stesso canale.ATTENZIONE: il numero M di punti della costellazione non e’ necessariamente legato al numero K di livelli del segnale quantizzato.
Simboli di 4 bit
18 Fondamenti TLC
Schema del sistema di trasmissione
3A
......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..
Simbolo da 4 bit da trasmettere
Ab
Aa
m
m
3
3
Im
A
A
3A
Re
tfo2sin
)(ty
tgbm
tgam
tfo2cos
tfj o22exp
Filtro PB tgjbtga mm canale
campionatore
tg
tg
ma mb
AjAjba mm 33 smsm nTgjbnTga
Ts=NT e’ detto tempo di simbolo
m=116
19 Fondamenti TLC
Cadenza dei simboli (1)
Supponiamo che il segnale g(t) utilizzato nello schema di trasmissione precedente, sia un seno cardinale con ampiezza massima unitaria in t=0 e zeri in t=n Ts. La sua trasformata di Fourier e’ limitata tra le frequenze -1/(2 Ts) e +1/(2 Ts).
1
-TsTs
t -1/2Ts 1/2Ts
Ts
fTrasformata di Fourier
1 - Affinche’ in ricezione, agli istanti di campionamento, non si sommino contributi di simboli successivi, e’ necessario che intercorra un tempo pari a Ts secondi tra un simbolo e l‘altro.
1 - Affinche’ in ricezione, agli istanti di campionamento, non si sommino contributi di simboli successivi, e’ necessario che intercorra un tempo pari a Ts secondi tra un simbolo e l‘altro.
-2Ts -Ts Ts 2Tst
Agli istanti di campionamento t=n Ts e’ presente il contributo di un solo simbolo. In questo caso si dice che l’interferenza intersimbolica e’ nulla.
20 Fondamenti TLC
Cadenza dei simboli (2)
2- Affiche’ il segnale g(t) passi attraverso la banda B del canale e’ necessario che la banda complessiva del seno cardinale 1/Ts sia minore o uguale a B
2- Affiche’ il segnale g(t) passi attraverso la banda B del canale e’ necessario che la banda complessiva del seno cardinale 1/Ts sia minore o uguale a B
Dunque, data la banda B del canale, il piu’ breve tempo di simbolo Ts che si puo’ utilizzare
e’ uguale a 1/B e quindi la cadenza dei simboli Rs e’ uguale alla banda B:
Rs=BLa cadenza dei bit R (bit rate) e’ uguale alla banda B per il numero N di bit per simbolo.
Esempio 1 - Dato un canale trasmissivo con 20MHz di banda e volendo utilizzare una costellazione MSK a M=16 punti, la massima bit rate che possiamo trasmettere e’:
Mbit/sec 8016log1020 26 Mbit/sec 8016log1020 2
6 Esempio 2 - Data una bit rate da trasmettere pari 100Mbit/sec. e volendo utilizzare una costellazione QAM a 64 punti, la minima banda del canale e’:
MHz 6.1664log
10100
2
6
B MHz 6.1664log
10100
2
6
B
R=NRs= NB=Blog2M
R=
21 Fondamenti TLC
Effetto del rumore sommato al segnale ricevuto
Si consideri la trasmissione di simboli da N=log2M bit utilizzando un segnale g(t) scalato con i coefficienti am e bm come descritto nello schema del sistema di trasmissione.
Adottiamo la notazione complessa cm = am +j bm con m=116.
Assumiamo che la trasmissione del segnale g(t) sia disturbata solamente dal rumore bianco w(t) introdotto dal canale, e cioe’ che al ricevitore, a valle della demodulazione complessa, arrivi il segnale:
)()()( twtgctx m )()()( twtgctx m
Il rumore w(t) introdotto dal canale modifica sia la componente in fase che quella in quadratura del segnale desiderato cm g(t) e quindi e’ complesso.
Abbiamo gia’ visto che, campionando il segnale complesso ricevuto si ottengono i punti della costellazione cm in assenza di rumore in quanto si pone g(0)=1.
L’aggiunta del rumore cambia il valore complesso ricevuto cm + w(n Ts) . L’effetto di tale cambiamento e’ uno spostamento nel piano complesso del valore ricevuto rispetto a cm .
22 Fondamenti TLC
Effetto del rumore sulla costellazione ricevuta
Il rumore w(t) introdotto dal canale ha valor medio nullo e una distribuzione delle ampiezze di tipo gaussiano sia sulla parte reale sia su quella immaginaria. I valori misurati in prove ripetute si distribuiscono circolarmente attorno ai valori nominali cm .
I valori nominali cm della costellazione 16-QAM sono indicati con
23 Fondamenti TLC
-300 -200 -100 0 100 200 300-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Il problema della stima dei punti della costellazione (1)
Per semplicita’ di scrittura nel seguito indicheremo:• il segnale ricevuto agli istanti di campionamento: x(n T)=xn • il rumore introdotto dal canale agli istanti di campionamento: w(n T)=wn
• la forma d’onda reale trasmessa agli istanti di campionamento: g(n T)=gn
nnn wcgx nnn wcgx
Attenzione: utilizziamo un intervallo di campionamento T tale per cui il segnale e’ campionato correttamente ed il rumore e’ incorrelato da campione a campione.
Gli elementi della costellazione cm
vengono indicati genericamente con
c sottintendo il pedice m.
ncgncg
TTs
0cg0cg
1cg1cg1cg 1cg
24 Fondamenti TLC
Il problema della stima dei punti della costellazione (2)
BNwEwE nn 022
;0 BNwEwE nn 022
;0
Il rumore wn introdotto dal canale e’ complesso a valor medio nullo con varianza (reale!) uguale alla densita’ spettrale di potenza No costante dato che’ e’ un processo casuale bianco.
f
BB
fo-fo
No : densita’ spettrale
di potenza del rumore
25 Fondamenti TLC
-300 -200 -100 0 100 200 300-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Il problema della stima dei punti della costellazione (3)
nnn wcgx nnn wcgx
110011
2/
2/
ˆ xdxdxdxdcL
Liii
110011
2/
2/
ˆ xdxdxdxdcL
Liii
La stima lineare di ogni
elemento della costellazione c (e
quindi del simbolo trasmesso) si ottiene combinando L+1 dati ricevuti intorno a x0 , con
coefficienti di ottimizzati per
minimizzare l’errore di stima (quadratico medio). Per ora, si trasmetta un simbolo per volta!
TTs
nxnx
0x0x
1x1x
1x1x
26 Fondamenti TLC
Il problema della stima dei punti della costellazione (4)
cc ˆ cc ˆL’errore di stima degli elementi della costellazione e’:
Per trovare i coefficienti di , minimizziamo il valore quadratico medio di :
2 E minimo 2 E minimo
2/,,2/0
2
22 L...L ii
d
εE
ii
xEd
εεE
2/,,2/0
2
22 L...L ii
d
εE
ii
xEd
εεE
Troviamo L+1 equazioni in L+1 incognite di che, al solito, stabiliscono che l’errore di
stima sia incorrelato con i dati xn .
A meno di un fattore di scala verificheremo che la soluzione e’: ii gd ii gd
2/
2/
xdL
Liii
c con
27 Fondamenti TLC
Il problema della stima dei punti della costellazioneNell’esempio riportato nelle figure precedenti abbiamo:
;4/1 ;2/1 ;4/1 110011 gdgdgd ;4/1 ;2/1 ;4/1 110011 gdgdgd
12120121
5140312
3120111
1100110
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
mmmm xdxdxdc
xdxdxdc
xdxdxdc
xdxdxdc
12120121
5140312
3120111
1100110
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
mmmm xdxdxdc
xdxdxdc
xdxdxdc
xdxdxdcSe ora trasmettiamo piu’ simboli (punti della costellazione) a passo Ts=2T , utilizziamo gli stessi
coefficienti di per combinare linearmente i campioni
del segnale ricevuto xn centrati attorno all’istante di
tempo mTscorrispondente a cm (attenzione m ora e’
l’ indice temporale!!)Si noti che l’operazione che stiamo eseguendo puo’ essere interpretata come una convoluzione tra il segnale ricevuto xn e il filtro con risposta all’impulso hn = d-n seguito da
una selezione dei campioni dell’uscita yn : cm = y2m (nel caso generale in cui il tempo di
simbolo Ts=MT avremmo cm = yMm ).
mmmmm
nnnk
kknnnn
cxdxdxdy
xdxdxddxdxy
ˆ
*
121201212
11011
1
1
mmmmm
nnnk
kknnnn
cxdxdxdy
xdxdxddxdxy
ˆ
*
121201212
11011
1
1
28 Fondamenti TLC
Il filtro adattato
Il filtro con risposta all’impulso hn = d-n che ottimizza la ricezione dei simboli
trasmessi viene detto FILTRO ADATTATO in quanto adattato al segnale
trasmesso gn infatti, a parte un fattore di scala, è hn = g-n .
29 Fondamenti TLC
-100 -50 0 50 100-0.5
0
0.5
1
1.5
1x1x
0x0x
100 , iixE 100 , iixE
Esempio per L+1=2
Stimiamo l’elemento della
costellazione c0 combinando
linearmente i dati ricevuti x0 e x1.
00 cc
11000ˆ xdxdc
0
0
1002111
201110001
1012000
200110000
xxEdxEdgcExxdxdcExE
xxEdxEdgcExxdxdcExE
0
0
1002111
201110001
1012000
200110000
xxEdxEdgcExxdxdcExE
xxEdxEdgcExxdxdcExE
0000 wgcx
1101 wgcx
30 Fondamenti TLC
Esempio per L+1=2
0000 wgcx 1101 wgcx
0
0
1002111
201110001
1012000
200110000
xxEdxEdgcExxdxdcExE
xxEdxEdgcExxdxdcExE
0
0
1002111
201110001
1012000
200110000
xxEdxEdgcExxdxdcExE
xxEdxEdgcExxdxdcExE
10
201010
20
100101001020
11000010
ggcEwwggcE
wwwgcwgcggcE
wgcwgcExxE
2
121
20
2110
21
20
20
20
2000
20
wEgcEwgcExE
wEgcEwgcExE
0
0
10200
21
21
2011
20
10201
20
20
2000
20
ggcEdwEgcEdgcE
ggcEdwEgcEdgcE
0
0
10200
21
21
2011
20
10201
20
20
2000
20
ggcEdwEgcEdgcE
ggcEdwEgcEdgcE
31 Fondamenti TLC
Esempio per L+1=2
0
0
102
022
12
112
102
122
02
002
ggdgdg
ggdgdg
SNSS
SNSS
0
0
102
022
12
112
102
122
02
002
ggdgdg
ggdgdg
SNSS
SNSS
0
0
1002
22111
1012
22000
ggdgdg
ggdgdg
S
N
S
N
0
0
1002
22111
1012
22000
ggdgdg
ggdgdg
S
N
S
N
0
0
10200
21
21
2011
20
10201
20
20
2000
20
ggcEdwEgcEdgcE
ggcEdwEgcEdgcE
0
0
10200
21
21
2011
20
10201
20
20
2000
20
ggcEdwEgcEdgcE
ggcEdwEgcEdgcE
11
212
220
00
1
kgd
ggk
kgd
S
N
11
212
220
00
1
kgd
ggk
kgd
S
N
32 Fondamenti TLC
Il filtro adattato
2/
2/
2/
2/
22/
2/
2/
2/
ˆL
Liii
L
Lii
L
Liiii
L
Liii wgkgckwcgkgxdc
2/
2/
2/
2/
22/
2/
2/
2/
ˆL
Liii
L
Lii
L
Liiii
L
Liii wgkgckwcgkgxdc
cg
wgcc L
Lii
L
Liii
2/
2/
2
2/
2/ˆ
cg
wgcc L
Lii
L
Liii
2/
2/
2
2/
2/ˆ
Riscalando (cioè normalizzando al valore di c) il risultato in modo che, in assenza di rumore, si ritrovi il valore trasmesso c, otteniamo:
La somma deve essere fatta su tutti i campioni del segnale trasmesso, per massimizzare l’efficienza. Si commette errore se il termine di rumore rende il valore complesso stimato piu’ prossimo ad un punto della costellazione diverso da quello trasmesso. La probabilita’ di questo evento dipende dal valore quadratico medio di .
33 Fondamenti TLC
Il filtro adattato
02/
2/
2
2/
2/
L
Lii
L
Liii
g
wEgE
02/
2/
2
2/
2/
L
Lii
L
Liii
g
wEgE
g
L
Lii
L
Lii
N
L
Lii
L
LiiN
L
Lii
L
Liii
E
N
gT
N
gg
g
g
wgE
E 02/
2/
2
02/
2/
2
2
22/
2/
2
2/
2/
22
22/
2/
2
22/
2/2
g
L
Lii
L
Lii
N
L
Lii
L
LiiN
L
Lii
L
Liii
E
N
gT
N
gg
g
g
wgE
E 02/
2/
2
02/
2/
2
2
22/
2/
2
2/
2/
22
22/
2/
2
22/
2/2
Si noti che ha valor medio nullo. Infatti:
Il valore quadratico medio di dipende dal rapporto tra la densita’ spettrale di potenza del rumore No all’ingresso del ricevitore e l’energia Eg del segnale ricevuto e filtrato in modo ottimale (filtro adattato).
Nel calcolo si pone la banda del canale uguale a 1/T e il numero di campioni L sufficientemente elevato da ricoprire l’intera forma d’onda ricevuta g(t).
34 Fondamenti TLC
Il rapporto segnale-rumore che si ottiene con un filtro adattato dipende solamente dal rapporto tra l’energia del segnale Eg e la densita’ spettrale di potenza N0 del rumore all’ingresso del filtro (dimensionalmente un’ energia).
Per valutare l’efficacia con cui un filtro adattato combatte l’effetto del rumore additivo introdotto dal canale, tutte le forme d’onda g(t) che hanno la stessa energia sono equivalenti, indipendentemente dalla loro forma (ad es. seno cardinale, rettangolo, triangolo …).
Il rapporto Eg/ N0 e’ adimensionale ([J ]=[W]/[Hz]).
Per trasmissioni binarie, Eg= Eb (energia spesa per la trasmissione di un bit).
Il filtro adattato (conclusioni)
35 Fondamenti TLC
-50 -25 0 25 50-2-1012
-50 -25 0 25 50-202
-50 -25 0 25 50-2-1012
Il filtro adattato (un esempio)
Due segnali c1 g(t)
e c2 g(t) senza
rumore.
Gli stessi segnali c1 g(t) e c2 g(t)
con l’aggiunta del rumore. I valori all’istante di lettura t=0 sono quasi uguali.
L’effetto del filtro adattato. I valori all’istante di lettura t=0 sono ritornati ben distinti.
36 Fondamenti TLC
Il filtro adattato (lo stesso esempio visto sulla costellazione)
Due segnali c1 g(t)
e c2 g(t) senza
rumore.
Gli stessi segnali c1 g(t) e c2 g(t)
con l’aggiunta del rumore. I valori all’istante di lettura t=0 sono quasi uguali.
L’effetto del filtro adattato. I valori all’istante di lettura t=0 sono ritornati ben distinti.
Re
Im
Re
Im
Re
Im
37 Fondamenti TLC
II nAy
QQ nBy
(yI+jyQ )(A+jB)
nI
nQ
dmin
Re
Im
Prestazioni delle costellazioni QAM
gE
NE 02
gE
NE 02
e’ il rumore complesso normalizzato dall’energia Eg della forma d’onda g(t). Dunque, a parita’ di rumore, piu’ l’energia di g(t) e’ piccola piu’ e’ grande in modulo.
La probabilita’ di commettere un’errore di decisione sul valore trasmesso coincide con la probabilita’ che un qualsiasi valore della costellazione si sposti, a causa di al di fuori del quadrato di lato dmin (almeno per i punti interni della costellazione), centrato sul valore corretto. Dunque tale probabilita’ dipende sia dalla deviazione standard di sia dalla distanza minima tra i punti della costellazione dmin
cg
wgcc L
Lii
L
Liii
2/
2/
2
2/
2/ˆ
38 Fondamenti TLC
La probabilita’ di errore di simbolo P(es)
0
2minmin
24
24
N
EdQdQeP g
sdmin
Re
Im
dmin
Re
Im
Simbolo sbagliato
Simbolo giusto
Supponendo che parte reale e immaginaria di abbiano densita’ di probabilita’ gaussiane indipendenti, la probabilita’ che esca dal quadratino giallo (cioe’ la probabilita’ di sbagliare simbolo) e’ data da:
dove la funzione Q e’ stata definita in precedenza
a
)(af X
22
606.0
xx x
B
mX
C=B
X
QB
X
QB
PUNTI INTERNI DELLA COSTELAZIONE M-QAMPUNTI INTERNI DELLA COSTELAZIONE M-QAM
39 Fondamenti TLC
La probabilita’ di errore di simbolo P(es)
0
2minmin
22
22
N
EdQdQeP g
s
dmin/2
Re
Im
dmin
La probabilita’ che esca dalla zona gialla (cioe’ la probabilita’ di sbagliare un simbolo sullo spigolo) e’ data da:
PUNTI DI SPIGOLO DELLA COSTELLAZIONE M-QAMPUNTI DI SPIGOLO DELLA COSTELLAZIONE M-QAM
0
2minmin
23
23
N
EdQdQeP g
s
La probabilita’ che esca dalla zona gialla (cioe’ la probabilita’ di sbagliare un simbolo sul bordo) e’ data da:
PUNTI DI BORDO DELLA COSTELLAZIONE M-QAMPUNTI DI BORDO DELLA COSTELLAZIONE M-QAM
Re
Im
40 Fondamenti TLC
Energia di simbolo ed energia di bit
L’energia associata ad ogni simbolo Es e’ data dall’energia Eg della forma d’onda g(t) , moltiplicata per il quadrato del modulo del punto della costellazione:
(C1= A+jA)
dmin
(C3= -A-jA) (C4= A-jA)
(C2= -A+jA)
dmin
gms EcE2
Ad sempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia associata ad ogni simbolo vale:
gs Ed
E2
2min
Se il simbolo e’ formato da N bit, si puo’ dire che l’energia Eb associata al singolo bit e’ uguale a quella di simbolo Es divisa per N.
Re
Im
MNEN
d
N
EE g
sb 2
2min log
2
Ad sempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia associata ad ogni simbolo vale:
42
2min
gs
b EdE
E
41 Fondamenti TLC
Probabilita’ di errore nel caso 4-QAM
(A+jA)
dmin
(-A-jA) (A-jA)
(-A+jA)
dmin
Nel caso della costellazione 4-QAM La probabilita’ di errore di simbolo assume la semplice espressione:
000
2min 2
222
2N
EQ
N
EQ
N
EdQeP bsg
s
Si noti che se si sbaglia un simbolo con uno vicino si commette errore su uno solo dei 2 bit che compongono il simbolo: la probabilita’ di errore del bit e’ la meta’ di quella del simbolo.
00
2
N
EQ
N
EQeP bs
b
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1410
-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
Eb/N0 [dB]
Si ricorda l’ equivalenza:Es/ N0= PsTs/N0= Ps/N0B=Ps/n
2
in quanto con il filtro adattato B=1/Ts e N0B=n
2
42 Fondamenti TLC
II sistemi di trasmissione numerici presentano diverse caratteristiche per quanto riguarda l’utilizzazione della banda di canale B e la potenza di trasmissione richiesta.
Si consideri una sorgente binaria con una cadenza di R [bit/s] e alla sua trasmissione su un canale di banda B.
Definiamo come parametro di efficienza nell’utilizzazione della banda il rapporto R/B [bit/s/Hz] detto efficienza di canale.
Confronto tra costellazioni
Abbiamo visto in precedenza che:1- per trasmettere un segnale g(t) del tipo seno cardinale senza interferenza intersimbolica a passo di lettura T, e’ necessario che la banda B del segnale (e dunque quella del canale) sia almeno pari a 1/T. 2 -La cadenza di bit al secondo R e’ uguale a 1/T 3 - Con una costellazione a M punti possiamo trasmettere contemporaneamente N=log2M bit.
Dunque, l’ efficienza al massimo è: MNBR
2log MNBR
2log
43 Fondamenti TLC
Confronto tra costellazioni M-QAM e M-PSK
8
M-PSK
M-QAM
4
16
64
16 32
0 10 20 300
2
4
6
8
Lim
ite d
i Sha
nnon
R/B
(dB) 0N
Eb
510beP
Si vedra’ piu’ avanti che i valori riportati su questo grafico sono decisamente peggiori di quelli ottenibili in pratica utilizzando sistemi piu’ complessi per codificare i segnali da trasmettere. In pratica si vedra’ che nei moderni sistemi di trasmissione numerica le prestazioni si avvicinano molto al limite di Shannon.
Per un dato valore di probabilita’ di errore di bit, e’ interessante riportare su un grafico, l’efficienza di canale R/B ottenibile per diversi tipi di costellazione e il valore di Eb/No che consente di ottenere la probabilita’ di errore fissata.