Modulazioni numeriche - Maria-Gabriella Di...

Modulazioni numeriche

Luca De Nardis

02 Dicembre 2020

Luca De Nardis Modulazioni numeriche 02 Dicembre 2020 1 / 15

Segnali numerici in banda traslata

Nelle lezioni passate abbiamo visto che è possibile trasmettere dei segnalinumerici in banda traslata in due passi:

1 Generare un segnale numerico multilivello in banda base m(t)

2 Utilizzare m(t) come segnale modulante in un modulatore analogicodi ampiezza o di angolo

Un approccio più generale consiste nel generare un segnale che costituiràl’inviluppo complesso del segnale modulato (BLD-PS):

s(t) = sf (t) + isq(t) (1)

L’inviluppo complesso definirà una traiettoria nel piano complesso, in cuisono definiti i simboli.Questa idea è alla base delle modulazioni numeriche in banda traslata.

I vari schemi di modulazione numerica differiranno nel modo in cui ècostruito l’inviluppo complesso s(t)


Significato dell’inviluppo complessoPoiché l’inviluppo complesso è generato da simboli con periodo TL, ciinteresserà imporne il valore solo in t = kTL, k ∈ (−∞,+∞).s(t) sarà quindi libero di variare sul piano complesso assumendo qualunquevalore negli altri istanti!

-2 -1

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2


Costellazione di una modulazione numericaL’insieme degli L punti sul piano complesso che s(t) assume in kTL èdetto costellazione della modulazione numerica.Questi punti corrispondono agli L simboli associati alle 2N sequenze di bit,con N = log2(L)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

8-PSK

-1 -0.3333 0.3333 1

-1

-0.3333

0.3333

1

16-QAM


Analogia con il caso multilivelloL’inviluppo complesso generato da simboli con periodo TL è l’estensione alcaso 2D (piano complesso) del segnale generato da un modulatoremultilivello (solo reale)

0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

Time (s)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

s(t

)


Modulazioni a due livelli - BPSKLa Binary Phase Shift Keying (BPSK) è l’equivalente in banda traslatadella modulazione antipodale con L = 2 in banda base.L’inviluppo complesso negli istanti significativi è:

s(kTL) ≡ s(kTb) =

{A se bk = 1

−A se bk = 0(2)

Si ha PS = A2 e quindi la potenza del segnale modulato corrispondente è

PS =A2

2 .In generale, s(t) assumerà valori sull’asse reale. Ad es., per A = 1 V :

-2 -1


Modulazioni a due livelli - OOKLa On Off Keying (OOK) è l’equivalente in banda traslata dellamodulazione OOK in banda base.L’inviluppo complesso negli istanti significativi è:

s(kTL) ≡ s(kTb) =

{A se bk = 1

0 se bk = 0(3)

Si ha PS =A2

2 e quindi la potenza del segnale modulato corrispondente è

PS =A2

4 .

-2 -1


Quadrature Amplitude ModulationLa Quadrature Amplitude Modulation (QAM) è l’estensione di unamultilivello al piano complesso.La costellazione è una griglia regolare di lato LT =

√L. Es: L = 16

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5


Quadrature Amplitude Modulation

Lo schema di trasmissione è il seguente:

La frequenza di simbolo su ciascun ramo è fL =fb

log2(L)

La banda di ciascuna componente analogica è quindiB = fb2log2(L)(1 + γ)

NB

Il segnale su ciascun ramo opera su un alfabeto di LT =√L simboli


Phase Shift Keying

Nella Phase Shift Keying (PSK) gli L simboli sono determinati da L valoridi fase dati da:

ϕl = (2l + 1)π

L, l = [0, 1, · · · , L− 1] (4)

I valori negli istanti significativi dell’inviluppo complesso sono quindi:

s (kTL) = A cos (ϕk) + iA sin (ϕk) , (5)

dove ϕk è uno degli L valori indicati in precedenza.

Negli istanti differenti da quelli significativi s (kTL) potrà assumere unqualunque valore sul cerchio di raggio A.

Il modo in cui s (kTL) varierà dipenderà da come viene costruito ilsegnale (con l’unico vincolo di passare in uno dei punti indicati negliistanti significativi).


Phase Shift KeyingNel caso A = 1, L = 8 si ha ad esempio:

-1

-0.5

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1


Valutazione di prestazioni - BPSK e OOK

Per le modulazioni a due livelli le prestazioni sono quelle già viste nel casodi banda base, e vale la relazione:

Pe =1

2erfc(y) (6)

dove però la relazione tra y e i parametri del segnale dipende dallamodulazione:

BPSK

y2 =SNRrif

2=

1

2

WdrkTsB

(7)

OOK

y2 =SNRrif

4=

1

2

Wdr/2

kTsB(8)


Valutazione di prestazioni - QAMSi osservi che:

Ogni ramo è associato a un segnale di banda B = fL2 (1 + γ), ma

generato a partire da LT =√L simboli;

Ogni ramo del ricevitore utilizza metà della potenza ricevuta Wdr .

Di conseguenza per il singolo ramo si ha:

Pe,r ≈1

2erfc(y) (9)

con

y2 =3

2

Wdr/2

kTsB(L2T − 1

) = 34

WdrkTsB (L− 1)

=3

4

SNRrif(L− 1)

(10)

La probabilità di ricevere correttamente un simbolo è:

Pc = 1− Pe = (1− Pe,r ) (1− Pe,r ) = 1− 2Pe,r + P2e,r ≈ 1− 2Pe,r , (11)

e quindi:Pe = 2Pe,r . (12)


Valutazione di prestazioni - PSKPer la PSK si ha ancora:

Pe ≈ erfc(y), (13)ma si dimostra che si ha in questo caso (per L e SNRrif elevati)

y2 =1

2SNRrif sin

2(πL

)(14)

5 10 15 20 25 30 35 40

SNRrif

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Pe

L=2

L=4

L=8

L=16

L=32


Valutazione di prestazioni - Confronto

5 10 15 20 25 30 35 40

SNRrif

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Pe

ML, L=2

ML, L=4

ML, L=8

ML, L=16

ML, L=32

BPSK

4-PSK

8-PSK

16-PSK

32-PSK

4-QAM

16-QAM


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