1 Amphithéâtre 2 La croissance endogène Etienne LEHMANN Professeurs des Universités CREST –...

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Amphithéâtre 2

La croissance endogène

Etienne LEHMANNProfesseurs des Universités

CREST – Laboratoire de Macroéconomie

[email protected]

http://www.crest.fr/pageperso/lehmann/lehmann.htm

mailto:[email protected]

http://www.crest.fr/pageperso/lehmann/lehmann.htm

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Dans les modèles de la première séance, le taux de croissance est à long terme exogène et donc inexpliqué.

L’intensité capitalistique kt = Kt / (AtLt) converge vers une valeur stationnaire (endogène)

Une fois cette convergence, Y/L et K/L croissent au même taux que A

L’accumulation du capital par des agents décentralisés est efficace (l’intervention de l’Etat n’est pas souhaitable)

Ici, expliquer la croissance de A

1. Modèle AK (taux d’épargne exogène)

2. Romer (1986) – Lucas (accumulation endogène - externalités)

3. R&D et progrès technique (concurrence imparfaite - …).

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Le modèle AKLe modèle AK

Pourquoi la croissance n’est-elle pas auto-entretenue dans le modèle de Solow (1956)?

Taux d’épargne s exogène

Pour simplifier A et L sont constants et normalisés à 1 (aussi K=k)

tt

tt

t

t

t

t

ttttt

KFs

K

LAFs

K

Ys

K

K

KALKFsKYsK

111 ,,

,

C’est parce que la productivité apparente du capital Y/K décroît en K qu’il n’y a pas de croissance auto-entretenue

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KFs

K

Ys

K

K

t

t 11,

K

dlogK/dt

Fonction de production AK : Y= A K

Fonction de production néo-classique

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Il y a croissance auto-entretenue dès qu’il y a des rendements constants par rapport aux facteurs accumulables

Harrod (1939) et Domar (1946) considèrent une fonction de production à facteurs non substituables Y = min [a K, b L]

En régime de chômage, Y=a K et c’est le stock de capital qui contraint la production => régime AK de croissance auto-entretenue (trop faible pour maintenir le plein emploi)

C’est le contraire en régime de plein-emploi Y=b L. C’est la croissance démographique qui tire le tout (sous-utilisation du capital)

La croissance est instable à moins de conditions très particulières sur les paramètres.

Le modèle de Harrod-Domar supposent l’absence de substitution entre les deux facteurs de production (peu plausible)

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Arrow (1962) et Romer (1986) font l’hypothèse d’apprentissage sur le tas (learning by doing) : le progrès technique A augmente avec l’expérience, avec la production.

i.e. Å fonction linéaire de Y

Externalité : les agents optimisent en prenant A comme donné

Cas particulier K=A

LFsK

K

Y

Y

LFsKKLAKFsKYsK

t

t

t

t

tttttt

,

,,

1

1

Le taux de croissance de l’économie augmente avec s, mais aussi avec L.

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Croissance et capital humainCroissance et capital humain

Lucas (1988) considère qu’une fraction sA du PIB est consacrée à accroître A

sAY représente les dépenses en éducation, mais au delà, en recherche, en infrastructures publiques (Barro 1990), …

sA endogène chez Lucas, exogène pour l’instant avec L=1 et xt = Kt/At

tAtAtt

t

t

t

t

t

AtAttAttAtAtAt

ttttttt

xxFsx

FsA

A

K

K

x

x

xFsAAAKFsAYsA

xFsKKAKFsKYsK

11

1

1

11

,,

,,

,,

8


AtAt

t

tt

t xFsA

Aet

xFs

K

K

1

11 ,,

x= K/ATaux de croissance de K

Taux de croissance de A

Hausse de s, baisse de

Hausse de sA, baisse de

x=K/A croissant x=K/A décroissant

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xt = Kt/At converge vers sa valeur d’état stationnaire

A long terme, croissance auto-entretenue (rendements constants en A et K)

Le taux de croissance de long terme augmente avec s

Le taux de croissance de long terme augmente avec sA

Le taux de croissance de long terme diminue avec

Le taux de croissance de long terme diminue avec A

…Mais s et sA sont ici exogènes (contrairement à Lucas 1988)

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Rappel : utilisation du contrôle optimalRappel : utilisation du contrôle optimal

On souhaite résoudre le programme suivant :

fixé 0:et 0

0

xx

ttxtugtxsous

dtttxtufT

txu

,,:

,,max.,.

Où u : [0,T] n (variables de contrôle continues)

x : [0,T] p (variables d’état dérivables)

f : n× p × [0,T] (continûment différentiable)

g : n× p × [0,T] p (continûment différentiable)

x0 p est une donnée du problème

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On définit l’Hamiltonien H où q : [0,T] p (variables de co-état)

txugqtxuftqxuH

RTRRRH ppn

,,,,,,,

,:

0

Conditions nécessaires : A la solution du problème (u*,x*) on associe les p variables de co-état q* telles que :

ttxtugtxt

xTq

x

ttqtxtuHtqt

ttqtxuHutut

,,

)

,,,)

,,,:

***

**

****

***

,4)

alité) transversde s(Conditionx00 3

, 2

en maximise réel le , 1)

0

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Intuition: Soit V(t,x) la valeur maximale de l’objectif du même problème, sauf que la date initiale est t (et de non 0) et que la valeur initiale est donnée par x (et non par x0)

V(.,.) vérifie l’équation de Bellman

dttxugxdttVdttxufxtVdttxu

,,,,,max,,

Condition d’enveloppe :

p

j i

jij

jii

dttxux

gdxxdtt

x

Vdttxu

x

fxt

x

V

1

1 ,,,,,,

13


i

j

n

j i

j

ii

j

n

j i

j

i

ii

x

ttqtxtuH

tqttxtux

gttxtu

x

ftq

dttqttxtux

gttxtu

x

f

dt

dttqtq

,,,

,,,,

,,,,

***

******

*******

1

1

p

j i

jij

jii

dttxux

gdxxdtt

x

Vdttxu

x

fxt

x

V

1

1 ,,,,,,

On pose alors q*(t) = V/xi (x *(t),t) i,e , le long de la trajectoire optimale.

On a d’une part q*(T)=0 (condition de transversalité)

Et d’autre part :

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cstttqtxuH

dtttxugtxtx

V

dttxtt

VtxtVdtttxuf

dtttxugtxdttVdtttxuf

,,,

,,,

,,,,

,,,,,

**

**

***

***

u*(t) doit donc maximiser

dttxugxdttVdttxufxtVdttxu

,,,,,max,,

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Le (premier) modèle de RomerLe (premier) modèle de Romer

Épargne endogène

Externalité d’apprentissage sur le tas At = Kt

Le salaire concurrentiel wt = At F L’(Kt,AtL) = At F

L’(1,L)

Et le taux d’intérêt concurrentiel rt = F K’(Kt,AtL)- = F

K’(1,L) –

sont pris comme donnés par les ménages.

Dynamique du capital :

ttttttttt KcLKKFcKLAKFK ,,

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Programme des ménages fixé 0

0

acwarasous

dtcue

ttttt

tt

:

max

Résolution par Hamiltonien. Soit qt la variable de co-état

cwarqcuetqac ttt ,,,

Conditions d’optimalité

0

0

tt

t

tttttat

ttt

tttc

qe

rqtqacq

qcuetqac

lim

,,,

',,,

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Aussi t

t

t

t

ttt

t

tt

tt r

c

c

cu

ccur

q

qqecu

'

'''

Cette condition de Keynes-Ramsey devient avec la spécification CRRA

1si

1si1

1

11

t

t

t

c

c

cu

ln

tt

t rc

c

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La dynamique du modèle est résumée par

t

t

t

tK

t

t

K

cLF

K

KLF

c

c ,,' 1et1

Tout dépend en fait ct/Kt dont la dynamique est :

t

tK

t

t

t

t

K

cLFLF

K

c

K

c ,,/ ' 11

Variable indéterminée, présentant une dynamique instable

ct/Kt « saute » instantanément sur sa valeur d’état stationnaire (sinon violation de la condition de transversalité)

Le taux de croissance de l’économie est constant

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L’équilibre décentralisé est-il efficace ?

Programme d’un planificateur (bienveillant et omniscient)

ttttttt cKLKKFKsousdtcue

,:max 0

Résolution par Hamiltonien. Soit µt la variable de co-état

cKLFKcuetKc t ,,,, 1

Conditions d’optimalité

0

1

0

tt

t

ttttKt

ttt

tttc

e

LFtKc

cuetKc

lim

,,,,

',,,'

'

20


LF

c

c

cu

ccuLFecu

t

t

t

tt

t

tt

tt ,

'

'',' 11

La seule différence entre les équations décrivant l’équilibre et celles décrivant l’optimum social concerne le rendement du capital

A l’équilibre, le rendement privé du capital est le taux d’intérêt égal à FK’(1,L)

A l’optimum, le rendement social du capital est égal à F(1,L)

La croissance d’équilibre est donc inférieure à la croissance optimale

Les agents privés ne tiennent pas compte de l’externalité positive exercée par la production sur le progrès technique

Le gouvernement ne doit plus laissez faire les agents privés. Il doit subventionner l’épargne pour corriger cette externalité.

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Croissance et innovationsCroissance et innovations

Joseph Schumpeter (1942)

« The fundamental impulse that sets and keeps the capitalist engine in motion comes from the new consumers' goods, the new methods of production or transportation, the new markets,. .. . [This process] incessantly revolutionizes the economic structure from within, incessantly destroying the old one, incessantly creating a new one. This process of Creative Destruction is the essential fact about capitalism. »

Le modèle de Aghion et Howitt (1992, Econometrica)

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Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt• Les consommateurs ne consomment que du bien final (numéraire),

qui est produit (Y) en concurrence pure et parfaite à partir de biens intermédiaires selon Y = X (où 0 < <1)

• Le bien intermédiaire est produit par un monopole détenant la meilleure technologie A , embauchant x travailleurs, avec X = A x et en le vendant au prix p

• Les N agents choissent entre travailler dans le secteur de la recherche (n) ou dans le secteur productif (x) , avec x+n=N)

• Une nouvelle innovation radicale arrive selon un processus de Poisson de paramètre n

• Une période est un intervalle de temps entre deux innovations. La durée est stochastique. t représente le nombre d’innovations. Entre deux innovations, l’économie est « statique »

• Chaque innovation augmente la productivité d’un facteur >1, d’où : At = A0 t

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Le modèle de Aghion et HowittLe modèle de Aghion et Howitt

Le programme des consommateurs :

On suppose que leur préférences sont linéaires

fixé 00acwarasousdtce ttttt

t :max

La condition de Keynes-Ramsey donne r=

En effet

• si r > ils reportent toujours leur consommation à plus tard

• si r < ils consomment tout tout de suite et s’endettent indéfiniment

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Programme du producteur de bien final

1 ttX

XpXpXmax

Le bien final :

Il sert de numéraire dans l’économie (i.e. son prix est normalisé à 1)

Il est produit en concurrence pure et parfaite

Pour produire Y unités de biens final il faut acheter une quantité X de biens intermédiaires avec Y = X

On achète une unité de bien intermédiaire en l’échangeant contre p unités de bien final

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Le programme du producteur de bien intermédiaire (monopole)

x unités de travail …

• … produisent At x unités de biens intermédiaires vendus au prix pt

• … et coûtent en salaire wt x.

t

ttt

t

t

xtt

ttx

t

tttttx

t

A

wA

xA

wxA

xwxA

xApsousxwxAp

max

max

:max 1

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Demande de travail (inversée) : 12 ttt xAw

Fonction de profit : ttt xA 1

Taux de marge (p At-wt)/(p At) =

xwxA ttx

t max

Le programme du producteur de bien intermédiaire (monopole)

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Soit Vt+1 la valeur d’une innovation en t

Cette innovation crée une situation de monopole dans la production de bien intérmédiaire en t+1 …

… rapportant un flux de profit égal à t+1

… mais cette position de monopole sera détruite au taux nt+1 par un nouvelle innovation

D’où l’équation d’actif :

1

1111111

1

t

ttttttt nr

xAVVnVr

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Offre de travail en t :

Les travailleurs sont indifférents entre

• travailler dans le secteur productif au salaire wt

• Rechercher une nouvelle technologie, avec une espérance de gain égale à Vt+1

D’où la condition : wt = Vt+1

Equilibre (prévisions parfaites) : N = nt + xt

1

111

12 1

t

ttt

t

tt

V

nNAnr

w

nNA

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Une hausse de wt+1

Baisse de xt+1 (demande de travail) et hausse de nt+1

Baisse de Vt+1 (car baisse de xt+1 et hausse de wt+1)

Baisse de wt (la recherche devient moins attractive en t)

Hausse de xt et baisse de nt

Dynamique « forward-looking » décroissante nt = D(nt+1) avec D’(.) < 0

11

1 1

tt

t nNnr

nN

30


11

1 1

tt

t nNnr

nN

nt

nt = nt+1

nt+1

nt = D(nt+1)

Cas 1 : la dynamique à l’envers est stable et converge vers un état stationnaire L’état stationnaire est déterminé

31


11

1 1

tt

t nNnr

nN

nt = nt+1

nt = D (nt+1)nt

nt+1

On peut construire des exemples où des cycles d’ordre 2 (ou plus) sont constitue un équilibre

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Etat stationnaire :

Unicité de l’état stationnaire avec (n>0) ou sans (n=0) recherche

Le nombre de chercheurs n augmente (et donc x diminue)

• Une recherche plus « productive » ( ou plus élevés)

• Une augmentation de la taille de la population N

• Une demande de biens intermédiaires moins élastique (baisse de , hausse du taux de marge du monopole 1-)

• Si = 1 (i.e. CCP pour bien intermédiaire, n=0 car =V=0)

Idem pour le taux de croissance de l’économie …

NnnNnr

,,,,

1

1

33


L’imperfection de la concurrence (présence et taux de marge d’un monopole) devient un moteur de la croissance

Mais elle reste une défaillance de marché (statique)

Effet du droit de la propriété intellectuelle

Dorénavant, au taux µ l’innovateur perd son pouvoir de monopole. Des concurrents rentre sur le marché et la concurrence devient parfaite (Bertrand)

La seule modification dans le modèle concerne la valeur d’une innovation

1

1111111

1

t

ttttttt nr

xAVVnVr

34


Etat stationnaire :

Une moins bonne protection de la propriété intellectuelle (hausse de µ)

Diminue la valeur du brevet Vt+1 qui est valorisé moins longtemps

Désincite les agents à choisir la recherche d’où baisse de n et du taux de croissance

Mais hausse de x et de la production instantanée lorsque le brevet est détruit (le bien intermédiaire est alors produit en CPP et non plus par un monopole)

Un arbitrage entre défaillance de marché en statique et un moteur de la croissance en dynamique

Une alternative (partielle) : la recherche publique ?

,,,,, rnnNnr

11

35


Optimum : un planificateur bienveillant et omniscient choisit la répartition des travailleurs entre secteur de la recherche et secteur productif de façon à rendre maximal Ut défini par :

tttn

t UUnnNAUr 1max

La condition du premier ordre donne :

ttt UUnNA

1

1 *

i.e: l’égalité entre

• la productivité marginale dans la production

• la productivité marginale de la recherche multipliée par le rendement social de la recherche Ut+1-Ut

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Par ailleurs (si l’optimum est stationnaire)

1

1

1

0

1

1

*

*

*

**

*

*

*

*

*

*

*

*

*

**

nr

nNA

nr

nnr

nNAU

nr

nNA

nr

nU

Unr

n

nr

nNAU

UUnnNAUr

ttt

k

kt

k

t

tt

t

tttt

37


Aussi l’optimum est défini par

*

** nNA

nrnNA tt

1

11

Soit …

*

*nN

nr

1

1

11

Alors que l’équilibre est défini par

nNnr

1

1

38


*

*nN

nr

1

1

11 nN

nr

1

1

Il peut y avoir insuffisance de la recherche à l’équilibre

Exemple : lorsque 1, n tend vers 0 à l’équilibre (car le monopoleur intermédiaire ne s’approprie plus de profit) alors que n reste positif à l’optimum

Mais il peut y avoir également trop de recherche à l’équilibre

Exemple : lorsque 1+ la recherche ne procure aucun gain à l’optimum, mais reste valorisée à l’équilibre car elle permet de créer une rente de monopole.

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Bilan du modèle

Un modèle où le progrès technique est du au choix de faire de la recherche plutôt qu’activité productive

C’est l’imperfection de la concurrence qui crée l’incitation à faire de la recherche

Une innovation crée un monopole qui détruit le précédent création destructrice

La recherche d’équilibre peut être trop élevée ou trop faible par rapport à la recherche optimale

Le droit de la propriété intellectuel est un moyen pour contrôler ce montant de la recherche

Limite : les insiders peuvent avoir plus de facilité à innover que les outsiders

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