1 Amphithéâtre 3 Le modèle à générations imbriquées Etienne LEHMANN Professeurs des...

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Amphithéâtre 3

Le modèle à générations imbriquées

Etienne LEHMANNProfesseurs des Universités

CREST – Laboratoire de Macroéconomie

[email protected]

http://www.crest.fr/pageperso/lehmann/lehmann.htm

mailto:[email protected]

http://www.crest.fr/pageperso/lehmann/lehmann.htm

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Dans le modèle de croissance néo-classique (séance 1)

• Les agents ont un horizon de vie infini

• Il n’y a pas d’imperfection de marché (externalités, concurrence imparfaite, … (contrairement aux modèles de croissance endogène)

L’équilibre décentralisé de marché et l’optimum social coïncident

La meilleure allocation possible des revenus entre consommation et épargne et obtenue en « laissant faire » les agents.

Ici, remise en cause de l’hypothèse d’horizon de vie infini des agents

• A chaque date cohabitent des agents d’âge différents

L’allocation consommation /épargne demeure-t-elle efficace ?

Conserve-t-on l’équivalence Ricardienne ?

Financement des retraites par répartition ou par capitalisation ?

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Plan de la séancePlan de la séance

1) Le modèle à générations imbriquées (OLG) avec accumulation de capital (Peter Diamond American Economic Review 1965)

2) Le modèle OLG avec altruisme intergénérationnel

3) Retraite par répartition ou par capitalisation ?

4) Le modèle de jeunesse perpétuelle

http://econ-www.mit.edu/faculty/pdiamond/

http://econ-www.mit.edu/faculty/pdiamond/

4

Le modèle de Diamond (1965)Le modèle de Diamond (1965)

Modèle en temps discret (1 période = +/- 30 ans)

• Chaque agent vit deux périodes. Coexistence à chaque date de « jeunes » et de « vieux » (Overlapping Generations Model).

• Les jeunes travaillent, répartissent leur salaire wt entre consommation présente ct et épargne st avec ct + st = wt

• Les vieux reçoivent les intérêts de leur épargne et la consomment dt avec dt = (1+rt)st-1

• Fonction d’utilité U(ct ; dt+1) avec U’i > 0 et U strictement concave

• Marché du travail concurrentiel, offre de travail inélastique égale au nombre de jeunes Lt = L0 (1+n)t

• Rendements constants Yt = F(Kt ; Lt) avec F’i > 0 > F’’ii

• Dépréciation totale du capital Kt+1 = st Lt

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Programme des entreprises

(1+rt) Kt = Max F(Kt ; Lt) – wt Lt

d’où : wt = F’L(Kt ; Lt)

Théorème d’Euler : F(Kt ; Lt) – wt Lt = F(Kt ; Lt) – F’L Lt = F’K Kt d’où : 1+rt = F’K(Kt ; Lt)

Posons f(x)≡F(x,1), et kt = Kt / Lt

Alors Yt / Lt = f(kt), 1+rt = f’(kt) et wt = f(kt) – kt f’(kt)

6


Equilibre :

Firmes: F(Kt ; Lt) = wt Lt + (1+rt) Kt

Contrainte budgétaire des jeunes : ct + st = wt

et Kt+1 = Lt st => wt Lt = Lt ct + Kt+1

Contrainte budgétaire des vieux : (1+rt)st-1 = dt

et Kt = Lt-1 st-1 => (1+rt) Kt = Lt-1 dt

Equilibre sur le marché des biens F(Kt ; Lt) = Lt ct + Lt-1 dt + Kt+1

Comme Lt+1 = (1+n)Lt

111

tt

tt knn

dckf

7

Le modèle de Diamond (1965) : Le modèle de Diamond (1965) : Programme des jeunes

111

1

1etsous

tttttttt

ttt

dsrwscdcUdsc

:,,,

max

Condition du premier ordre (Keynes-Ramsey intragénérationnel)

111 1 ttdtttc dcUrdcU ,','

Maximisation d’une fonction continue strictement concave sur un espace compact convexe :

Un maximum existe et est unique

Les conditions nécessaires sont également suffisantes et déterminent entièrement l’optimum des agents

8


Définition : Etant donné k0, un équilibre est une séquence {ct , dt , kt+1}t=0,1,… vérifiant

1. Equilibre emploi ressources

2. Allocation intra-générationnelle des ressources

3. Allocation inter-générationnelle des ressources

111 ttdtttc dcUkfdcU ,'','

111

tt

tt knn

dckf

t

ttttt

tt

ttt

wkkfkfknc

sr

kkfnd

'

'

1

1

1

1

1

9

Le modèle de Diamond (1965) : Le modèle de Diamond (1965) : Programme des jeunes

ttttttt srdswcsrswUs 111 1et:avec1 ,max

La condition du premier ordre (Keynes-Ramsey intragénérationnel)

ttttdtttttc srswUrsrswU 111 1110 ,','

Définit implicitement les fonctions de comportement

1111

11

1

111

11

1

tttttt

tttttt

ttt

rwSrrwDd

rwSwrwCc

rwSs

;;

;;

;

10


Equations d’équilibre

La dynamique d’évolution du capital (kt+1 en fonction de kt) est entièrement décrite (implicitement) par

tttt

tt

tttttt

kfkkfw

kfr

rwSLsLK

'

'

;

11

11

1

1

n

kfkfkkfSk tttt

t

11

1

';'

kt+1 = (taux d’épargne des jeunes) × (part des salaires = revenus des jeunes dans la production) × production par tête / (1+n)

Les deux premiers termes peuvent évoluer de manière ambigüe avec k

11


Pour étudier S , fonction d’utilité additivement séparable

Le programme du consommateur donne :

11 tttt dvcudcU ;

ttttt

ttt

srvrswu

dvrcu

11

11

11

1

''

''

Qui détermine alors les propriétés de la fonction S[. ; . ]

Avec u’(.) > 0 > u’’ et v’ > 0 > v’’

12

Le modèle de Diamond (1965)Le modèle de Diamond (1965) ttttt srvrswu 11 11 ''

Quand w augmente, s augmente … S’w > 0 … et donc dt+1 augmente aussi avec wt

… Mais effet ambigu de rt+1 …

st

u’(ct)

(1+rt+1) v’(dt+1)

st = S[wt ; 1+rt+1]

13


De la même manière ct augmente avec wt

ttttt cwrvrcu 11 11 ''

ct

u’(ct)(1+rt+1) v’(dt+1)

ct = C[wt ; 1+rt+1]

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ct dt+1 et st augmentent avec wt dès que ct et dt+1 sont des biens normaux Aussi 0 < S’w < 1

Effet de 1+rt+1 est en général ambigu.

• Hausse de rt+1 augmente le prix de la consommation présente par rapport à la consommation future (effet substitution) : baisse de ct, hausse de st et de dt+1

• Hausse de rt+1 augmente la frontière des possibles (effet revenu) : hausse de ct, st et de dt+1

Effet ambigu sur ct et sur st. Hausse non ambiguë de dt+1

111

1 11

ttt

tt dvr

r

dwu ''

15

Le modèle de Diamond (1965) : Le modèle de Diamond (1965) :

Equilibre du marché du capital à la date t

11

11

11Offre

1Demande

tttt

tt

rwSskn

rkf

;:

':

Tant que les effets revenus ne sont pas trop importants, l’épargne augmente ou ne « diminue pas trop » avec r et le marché du capital admet un équilibre temporaire unique

Dans ce cas, une hausse de kt => augmente wt => st et kt+1 augmentent

kt+1

rt+1 f’(kt+1) = 1+rt+1

(1+n)kt+1 = S[wt ; 1+rt+1]

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Si effets revenus sont très forts, l’équation

n

kfkfkkfSk tttt

t

11

1

';'

… peut même admettre plusieurs solutions en kt+1 étant donné kt

… Ou admettre une dynamique monotone, mais avec plusieurs états stationnaires, certains stables, d’autre non.

kt

kt+1 (1+n)kt+1 = kt

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Cas particulier : si élasticité de substitution unitaire u(c)=Log(c), v(d)=Log(d)

Les conditions d’optimalité donnent :

t

tttttt

tttttt

t

t

wr

dwswc

cssrdd

r

c

1

1et

11

1

1et11

11

111

1

Taux d’épargne constant : effets revenu et effet substitution se compensent exactement

Une hausse du taux d’escompte intragénérationnel réduit le taux d’épargne

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Cas particulier (référence)

kkf

dcdcU tttt

11 loglog;

On a

D’où :

tttt kwws

1

1

tt k

nk

1

1

11

Unique état stationnaire non trivial, qui est stable …

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Optimum social. Soit le taux d’escompte social intergénérationnel

1tttt dcU

W 11

1 ,

Le cas utilitariste correspond à 1/(1+) = 1+n, soit < 0

Le cas utilitariste « par tête » correspond à = 0

Pour que le problème soit bien posé, on pose dorénavant > 0. (Utilitarisme par tête avec préférence pour les générations présentes)

L’optimum social maximise W en ct, dt et kt+1 pour t = 0, 1, …, étant donnés c-1 et k0, sous la contrainte emploi-ressources

111

tt

tt knn

dckf

20


On utilise la contrainte emploi ressources pour éliminer ct

11

11

1

1

11

11

tt

ttt

t

tt

tt

dknn

dkfU

W

knn

dkfc

;

D’où les cpos

11

11

21111

11

ttctttct

ttcttdt

dcUkfdcUnk

n

dcUdcUd

;'';':

;';':

21


A partir des cpo

11

11

21111

11

ttctttct

ttcttdt

dcUkfdcUnk

n

dcUdcUd

;'';':

;';':

L’allocation intra-générationnelle des ressources est décrite par la même équation à l’optimum et à l’équilibre


L’allocation inter-générationnelle des ressources est décrite par une « règle d’or modifiée » (Keynes-Ramsey intergénérationnel) dépendant du facteur d’escompte intergénérationnel dans l’objectif social

21

11 11

ttc

tttc dcU

n

kfdcU ,'

','

22


A moins d’un « coup de chance » (condition sur ), l’équilibre concurrentiel et l’optimum diffèrent par la condition d’allocation intergénérationnelle des ressources :

21

11

111

1

11Optimum

1Equilibre

11

ttct

ttc

ttt

ttdtttc

tt

tt

dcUn

kfdcU

kkfnd

dcUkfdcU

knn

dckf

,''

,'

'

,'','

L’allocation d’équilibre peut très bien ne pas être Pareto-efficace

Le problème vient de l’allocation des ressources entre les générations

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Le modèle de Diamond (1965)Le modèle de Diamond (1965)Prenons une allocation d’équilibre. A quelles conditions redistribuer à chaque période la consommation des jeunes vers les vieux de la génération précédente, sans changer la dynamique du capital améliore le bien-être de toutes les générations ?

i.e. pour t=0, 1, … ct=c < 0 dt=-(1+n)c > 0 et kt = 0

Pour la génération née en -1, c0 < 0 est toujours bénéfique car elle a déjà consommée c-1 à la période précédente.

Pour la génération née en t

11

11

1

1111

1

ttdt

ttdttd

ttc

ttdtttcttt

dcUcrn

dcUcndcU

dcU

dcUddcUcdcU

,'

,','

,'

,',',

24


Redistribuer la consommation des jeunes vers les vieux de la même période a un rendement social n

Laisser les jeunes réallouer leur richesse d’une période à l’autre a un rendement rt+1

Si rt+1 < n il y a suraccumulation de capital. On améliore alors le bien-être de toutes les générations, y compris la première (née en -1) par ct < 0 < dt

L’allocation d’équilibre est alors dynamiquement (Pareto) inefficace

En revanche, en cas de sousaccumulation de capital, il faudrait diminuer la consommation des vieux et augmenter la consommation des jeunes, mais alors, la génération née en -1 perdrait.

111 ttdttt dcUcrndcU ,',

elehmann

In an overlapping-generations economy, markets must be incomplete, because a person cannot engage in [ ... ] trades with those who are notyet born.Ball et Mankiw 2007, JPE

25


Exemple, f(k) = k et U(ct;dt) = Log(ct) + Log(dt+1)

11

1

1

11Optimum

1

1

1Equilibre

tt

t

tt

knc

c

kn

k

Aussi à l’état stationnaire,

1

1

1

1

11Optimum

1

1

1Equilibre

nk

nk

26


Aussi à l’état stationnaire, le k optimal dépend de mais pas de .

1

1

1

1

11Optimum

1

1

1Equilibre

nk

nk

Si

1

artionnelintragénér escompted'Facteur

1

L’allocation d’équilibre se traduit par de la suraccumulation de capital.On peut alors augmenter le bien-être de toutes les générations en réallouant la consommation des jeunes vers les vieux de la même période (amélioration Paretienne).

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L’équivalence Ricardienne : est-ce que la date à laquelle on effectue un prélèvement forfaitaire compte?

Non dans le modèle à horizon infini, car seul compte la contrainte budgétaire intertemporelle des agents qui n’est pas affecté par le « timing » des prélèvements

Oui dans le modèle à générations imbriqués car cela affecte la contrainte budgétaire d’agents de générations différentes

111

1

1

1etsous

tttttttt

tt

ttt

dTsrTwsc

dcUdsc

:

,,,

max

Exemple : hausse de Tt+k et baisse de Tt+k+1 ne change pas la CBI du ménage de génération k mais augmente le revenu des jeunes en k+1 (et donc leur épargne) et diminue anticipée pour les jeunes en k-1

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La remise en cause de la seule hypothèse d’agents vivant infiniment

Peut potentiellement compliquer la dynamique d’équilibre (multiplicité et instabilité d’état stationnaires, voire indétermination si effets revenus sont très élevés).

Laissez faire les agents peut conduire l’économie à un équilibre de suraccumulation du capital qui est Pareto inefficace.

Les générations futures n’ont pas le moyen de compenser les « vieux » de la génération présente en cas de suraccumumation de capital

Donne un rôle à l’état en terme de taxation du capital pour corriger cette inefficacité.

Remet en cause l’équivalence Ricardienne

La date de remboursement des emprunts est à présent déterminante.

elehmann

Il manque une transaction permettant de réallouer la consommation à chaque période des jeunes vers les vieux en cas de suraccumulation du capital

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Générations imbriquées et altruisme intergénérationnelGénérations imbriquées et altruisme intergénérationnel

On suppose dorénavant que les individus tiennent également compte du bien-être de leur descendants, en plus de leur utilité de cycle de vie.

On suppose ainsi que la génération née en t maximise l’utilité dynastique Wt définie de manière récursive à partir de l’utilité intragénérationnel de cycle de vie U(ct , dt+1) et du taux d’altruisme intergénérationnel ]0,1[ selon : 11 tttt WdcUW ,

D’où

01

kktkt

kt dcUW ,

On autorise un ménage de la génération t à un faire un don xt+1 (leg, héritage donation,…) aux jeunes de la génération suivante …

mais « nul n’est tenu d’accepter un héritage », d’où la contrainte xt+1 ≥ 0

30


La génération t résout:

tttt

tttt

tttt

tttt

tt

srxnd

xwsc

xWdcUxdsc

xW

111

111

11

11et

Sous

0

,,,,

max

Soit

1111

11

111

1

0

tttt

tttt

tt

tt xWdr

xndxwU

xdxW ,

,max

31


Soit les cpos:

1111

11

111

1

0

ttt

t

tttt

tt

tt xWdr

xndxwU

xdxW ,

,max

111

11

1111

1

1

1

ttt

ttct

ttdtttct

xWn

rdcUx

dcUrdcUd

',':

,',':

Compte tenu de la cpo des firmes 1+rt+1 = f’(kt+1) et de la condition d’enveloppe

1 ttctt dcUxW ,''

32


On retrouve l’allocation intragénérationnel optimale des ressources


L’allocation intergénérationnel dépend si la contrainte de positivité xt+1

≥ 0 du leg est ou non mordante.

Si elle ne l’est pas, on retrouve la condition d’allocation intergénérationnelle optimale des ressources (avec )

211

1 1

ttct

ttc dcUn

kfdcU ,'

','

Sinon, on retrouve la condition d’allocation intergénérationnel des ressources d’équilibre du modèle de Diamond

tttt kfkndx ' 1et01

33

Générations imbriquées et altruisme intergénérationnelGénérations imbriquées et altruisme intergénérationnelEn résumé, tant que la contrainte de positivité des legs n’est pas contraignante, l’économie réalise une allocation optimale

On retrouve les propriétés habituelles (unicité d’un état stationnaire non trivial, qui est convergent. « Inutilité » de la politique économique, Equivalence Ricardienne, etc…)

En revanche, dès que cette contrainte est mordante, on retrouve une dynamique analogue à celle de Diamond, avec les mêmes problèmes.

Intuition : lorsque les agents sont suffisamment altruistes, ils adoptent le point de vue de la dynastie de leur descendants et se comportent comme un agent unique ayant un horizon de vie infini.

Le fait de pouvoir léger à leur descendant leur donne un instrument supplémentaire pour réallouer les ressources entre les générations

Mais en cas de suraccumulation du capital à l’équilibre sans leg, il faudrait des legs négatifs pour réallouer la consommation…

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RetraiteRetraite

On considère l’introduction d’un système de retraite

A la date t les jeunes payent un prélèvement t et les vieux reçoivent une « pension » pt

Il y a deux systèmes de financement

Le système de retraite par répartition (qui prédomine en France) fait payer les retraites des « vieux » de la génération t par les « jeunes » de la génération t+1 (Pay as you Go), i.e. Lt-1 pt = Lt t

Intuitivement, ce système est d’autant plus « efficace » que la croissance démographique est élevée (que le ratio actifs/ inactifs est élevé

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RetraiteRetraite

Le système de retraite par capitalisation fait payer les retraites des « vieux » de la génération t par un prélèvement quand ils sont jeunes que l’on place sur les marchés financiers et que l’on ressert avec taux d’intérêt (fonds de pension). Lt-1 pt = Lt-1 (1+rt) t-1

Intuitivement, le système par répartition est d’autant plus productif que le rendement du capital est élevé.

En cas de sous-accumulation du capital, on a n < rt+1 et on s’attend à ce que la capitalisation domine la répartition

En cas de sur-accumulation du capital on a n > rt+1 et on s’attend à ce que la la répartition domine la capitalisation

La répartition peut-elle restaurer l’efficacité dynamique en cas de sous-accumulation ?

Quid de l’effet sur l’accumulation du capital et du taux d’intérêt ?

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RetraiteRetraite

Le système de retraite par capitalisation : on a pt = (1+rt)t-1 et Kt+1 = Lt(st+t)

Programme des jeunes

111

1

1

1et

tttttttt

tt

ttt

psrdwscsous

dcUdsc

:

,,,

max

1

1

1

11

111

t

ttt

t

tttt

ttr

pw

r

dcsousdcU

dc:,

,max

Soit

tt

tttt

tt

wr

dcsousdcU

dc

1

11

11

:,,

max

Compte tenu de l’équilibre du système pt+1 = (1+rt+1)t

37

RetraiteRetraite

Le système de retraite par capitalisation

…laisse inchangée l’épargne totale st + t

On a éviction parfaite de l’épargne choisie st par l’épargne forcée t

La dynamique du capital reste inchangée.

L’allocation des ressources est donc inchangée par l’introduction d’un système de retraite par capitalisation.

… du moins, tant que la retraite n’est pas trop élevée.

pose des problèmes en pratique: hétérogénéité des préférences intragénérationnel, insécurité des rendements, création de monopsones (fonds de pensions) sur le marché du capital, …

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RetraiteRetraite

Le système de retraite par répartition On a pt = (1+n)t

Programme des jeunes

111

1

1

1et

tttttttt

tt

ttt

psrdwscsous

dcUdsc

:

,,,

max

1

1

1

11

111

t

ttt

t

tttt

tttr

pw

r

dcsousdcU

dsc:,

,,max

Soit

1

1

1

11

111

t

tt

t

tttt

ttr

rnw

r

dcsousdcU

dc:,

,max

Compte tenu de l’équilibre du système pt+1 = (1+n)

39

RetraiteRetraite 1

1

1

11

111

t

tt

t

tttt

ttr

rnw

r

dcsousdcU

dc:,

,max

srnswUr

srnswU

tdt

tc

11

1

111

110

;'

;'

La condition du premier ordre …

''''''

''''''

ddtcdtcc

ddtcdtcc

UrUrU

UnrUrnUs

2

11

11

112

112

Définit implicitement l’effet sur l’épargne de la retraite

Si rt+1 = n (règle d’or) éviction unitaire.

Si Ucd’’ = 0 et rt+1 > n (sous accumulation) 0 < - s < -

Si Ucd’’ = 0 et rt+1 < n (sur accumulation) 0 < - < - s

40

RetraiteRetraite

Aussi, la dynamique d’accumulation du capital se trouve ralentie

n

kfkfkkfSk

tttt

t

1

1

1

;';'

kt

kt+1 (1+n)kt+1 = kt

L’introduction d’un retraite par répartition réduit l’intensité capitalistique des états stationnaires stables

=> Baisse de w, hausse de r

S[wt;rt+1]

41

RetraiteRetraite

L’introduction d’une retraite par répartition

Réalloue la consommation des jeunes vers les vieux de la période courante

Diminue l’intensité capitalistique => r augmente, w diminue

Si suraccumulation du capital r < n (et si Ucd’’=0), on a alors une amélioration Parétienne.

Sinon, les vieux de la génération présente y gagnent, tous les autres y perdent.

A contrario, supprimer ou réduire un système PAYG est toujours néfaste pour au moins une génération…

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Le modèle de jeunesse perpétuelleLe modèle de jeunesse perpétuelle

Le modèle OLG présuppose qu’une période = 30 ans.

Utile pour parler retraite, mais « quid » de questions et de politiques conjoncturelles? D’où le modèle de jeunesse perpétuelle de Yaari (1965) et Blanchard (1985).

Temps continu indexé par t.

Chaque individu meurt selon un processus de Poisson (d’où « jeunesse perpétuelle) de paramètre p ]0,+∞[

A chaque instant nait une nouvelle cohorte de taille p

La cohorte des agents d’âge a a une taille égale à p Exp[- p a]

La population totale a une taille constante unitaire

43


Quid de la richesse d’un individu lors de sa mort?

Blanchard introduit une assurance vie « à l’envers ». Les individus vivant peuvent recevoir un flux de unités de biens contre la promesse de laisser une unité de bien à leur mort.

Concurrence parfaite sur l’assurance => Profit nul => = p

Le caractère Poissonien du processus de décès implique que le comportement des individus est indépendant de leur âge. Ils résolvent (avec t = wt – Tt)

ttttt

t

pttt caprasousdteecu

:0

44


D’où la condition de Keynes-Ramsey

ttt

t

t rprpccu

cu '

''

En l’absence d’assurance, on aurait eu:

prprccu

cuttt

t

t '

''

Pour boucler simplement le modèle, on prend u(c) = Log(c), si bien que

tt

t

tt

t

t rt

c

c

cc

cu

cu log

'

''

45


Aussi, pour un individu né en s, sa consommation en t vérifie

t

sxxst dxrcc exp

En intégrant la contrainte budgétaire du ménage

stpcdxpr

dxprapra

stdxrcapra

s

t

sx

xt

t

sx

xttt

t

sx

xstttt

expexp

exp

exp

d’où:

t

sx

s

t

sx

x

s

uxs

t

sx

xt dxsxpcdxdupradxpra expexpexp

46


Or quand t tend vers + ∞, le terme de gauche doit tend vers zéro (condition de non-Ponzi). Aussi :

sx

x

s

uxss dxduprapc exp

Tous les consommateurs consomment la même fraction + p de leur revenu permanent actualisés

Celui-ci est égal à la somme de leur richesse financière at et des revenus actualisé de leur travail dans le futur

Aussi, au niveau agrégé

tx

x

t

uxtt dxprApC exp

47


tttt

ttt

tt

tttt

tx

x

t

uxtttt

tx

x

t

uxtt

AppCrC

ApCpr

CA

CArpC

dxprprApC

dxprApC

exp

exp

Impact de C : Keynes-Ramsey habituel…

Impact de A : tous le monde consomme une même fraction de son patrimoine plus un terme constant. Les jeunes ont relativement moins de patrimoine, mais ils l’accumulent plus vite et leur consommation croît donc plus vite. A plus élevé moins de jeunes C croît moins vite

48


On a At = Kt et, rt=f’(kt) et l’équilibre emploi-ressources

ttt KCKf 1,

Aussi, la dynamique de l’économie est-elle décrite par

ttt

tttKt

CKFK

KppCKFC

'

49


ttt

tttKt

CKFK

KppCKFC

'

Kt

Ct

K cst

C cst

50


Aussi, l’économie converge-t-elle vers un état stationnaire unique

On retrouve les propriétés de régularité du modèle de Ramsey…

… Mais le taux d’intérêt converge vers une valeur supérieure au taux d’escompte psychologique

… et donc supérieur à 0 (sous-accumulation de capital, efficacité dynamique

Un allongement de la durée de la vie (baisse de p) fait augmenter K et w et baisser r à l’état stationnaire

51

Le modèle de jeunesse perpétuelle : rôle de la detteLe modèle de jeunesse perpétuelle : rôle de la dette

Introduction de la dette B, des dépenses publiques G et des taxes forfaitaires t

La dette de l’état capte à présent une partie de la richesse financière des ménages. On a à présent At = Kt + Bt

La dynamique de l’économie est alors décrite par :

TGBKFB

GCKFK

BKppCKFC

ttKt

ttt

tttKt

'

'

52


GCKFK

BKppCKFC

ttt

ttttKt

'

Kt

Ct

K cst

C cst

B > 0

G > 0

53


L’état stationnaire est donné par

GBKFTCGKF

BKppCKF

K

tK

***

**

'

'

et

Le stock de capital de l’état stationnaire est implicitement défini par H(K, B, G, p) = 0 où H est définie par

BKppGKFKFTGBKH K *',,,

54


BKppGKFKFGBKH K ',,

On a

00

0

0

KFHppH

BK

GKFKFKFGKFF

ppKFKFGKFFH

GB

KK

KKK

'''

''''

'''''

Si G et B sont suffisamment petits, comme F’ < F/K, on a par continuité H’K < 0

Un pays plus endetté voit à l’état stationnaire sont stock de capital diminuer et son taux d’intérêt augmenter

Si p = 0 (Ramsey), r est indépendant de la dette à l’état stationnaire

1 Amphithéâtre 3 Le modèle à générations imbriquées Etienne LEHMANN Professeurs des...

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