07 Stabilnost SAU Algebarski Kriterijumi
-
Upload
branislav-vukovic -
Category
Documents
-
view
92 -
download
0
description
Transcript of 07 Stabilnost SAU Algebarski Kriterijumi
Stabilnost sistema Stabilnost sistema automatskog upravljanjaautomatskog upravljanja
• Najvažnija osobina SAU
• Otvorena i zatvorena povratna sprega
• Apsolutna – relativna - granična
Stabilnost
Stabilan sistem je dinamički sistem koji na ograničenu (konačnu) pobudu daje ograničen (konačan) odziv
(t)
0 t
stabilnost je u tesnoj vezi sa položajem polova dinamičkog sistema u kompleksnoj s-ravni
W(s)Y(s)U(s) +
- W(s)=KPm(s)Qn(s)
Ws(s)=W(s)
1+W(s) = KPm(s)
KPm(s)+Qn(s)
KPm(s)+Qn(s)=0
Y(s) = i=1
pAi
s+i +
k=1
rBks+Ck
s2+2ks+
2k+2
k
Ws(s) = KPm(s)
i=1
n(s-si)
y(t) = i=1
p
Ai e-it + k=1
r
Dke-kt sin(kt+k)
yss=y()= limt
y(t)=0
Impulsni odziv sistema
Algebarski kriterijumi stabilnosti Algebarski kriterijumi stabilnosti
f(s)=ansn+an-1sn-1+...+a1s+a0=0
f(s)=an(s-p1)(s-p2)...(s-pn)=0
f(s)=ansn-an(p1+p2+...+pn)sn-1+ an(p1p2+p1p3+p2p3+...)sn-2- -an(p1p2p3+p1p2p4+...)sn-3+...+an(-1)np1p2...pn=0
Sistem prvog reda
a1s+a0=0
s= - a0
a1
Sistem drugog reda
a2s2+a1s+a0=0
s1,2 = -a1 a
21-4a2a0
2a2
Routh-ov kriterijum stabilnostiRouth-ov kriterijum stabilnosti
f(s)=ansn+an-1sn-1+...+a1s+a0=0
sn an an-2 an-4 ... sn-1 an-1 an-3 an-5 ... sn-2 b1 b2 b3 ... sn-3 c1 c2 c3 ... s0 h1
b1 = an-1an-2 - anan-3
an-1
b2 = an-1an-4 - anan-5
an-1
b3 = an-1an-6 - anan-7
an-1
c1 = b1an-3 - an-1b2
b1
c2 = b1an-5 - an-1b3
b1
sn an an-2 an-4 ... sn-1 an-1 an-3 an-5 ... sn-2 b1 b2 b3 ... sn-3 c1 c2 c3 ... s0 h1
Potreban i dovoljan uslov da bi sistem bio stabilan jeste da svi elementi Routh-ove kolone, formirane na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma, budu istog znaka (što se najčešće svodi na “pozitivni”)
221
24*12*1
2422
0*124*22
f(s) = s3+s2+2s+24.
s3
s2
s1
s0
1
1
2
24
Primer:
Primer R2: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s5+2s4+s3+3s2+4s+5. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:
s5 1 1 4 s4 2 3 5
s3 -12 (-1)
32 (3) /2
s2 9 5
s1 329 (32) /9
s0 5
Primer R3: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s4+2s3+s2+2s+1. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:
s4 1 1 1 s3 2 2 s2 1
s1 2 - 2
s0 1
1 2 0 - 1
Primer R4: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s5+6s4+12s3+12s2+11s+6. Rešenje: Formira se Routh-ova šema koeficijenata:
s5 1 12 11 s4 6 12 6 s3 10 10 s2 6 6 s1 ( 0) s0 6
R(s)=2s4+2s2+2
dR(s)ds = 8s3+4s
s5 1 1 1 s4 2 2 2 s3 8 4 s2 1 2 s1 -12 s0 2
Primer R5: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s5+2s4+s3+2s2+s+2.
s5 1 1 1 s4 2 2 2 s3 0 0 s2 ??? ??? s1 ??? ??? s0 ??? ???
Primer R6: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s4-10s2+6.
s4 1 -10 6 s3 0 0 s2 ??? ??? s1 ??? ??? s0 ??? ???
R(s)=s4-10s2+6
dR(s)ds = 4s3-20s
s4 1 -10 6 s3 4 -20 s2 -5 6 s1 -76 s0 6
Hurwitz-ov kriterijum stabilnostiHurwitz-ov kriterijum stabilnosti
f(s)=ansn+an-1sn-1+...+a1s+a0=0
an-1 an-3 an-5 ... 0 0 an an-2 an-4 ... 0 0 0 an-1 an-3 ... 0 0 h = 0 an an-2 ... 0 0 0 0 0 a1 0 0 0 0 a2 a0
Sistem će biti stabilan ako su svi dijagonalni minori Hurwitz-ove determinante, formirane na osnovu koeficijenata karakterističnog polinoma, veći od nule.
an-1 an-3 an-5 ... 0 0 an an-2 an-4 ... 0 0 0 an-1 an-3 ... 0 0 h = 0 an an-2 ... 0 0 0 0 0 a1 0 0 0 0 a2 a0
1 = an-1 > 0
2 =
an-1 an-3
an an-2 = an-1an-2 - anan-3 > 0
3 =
an-1 an-3 an-5
an an-2 an-4
0 an-1 an-3
> 0
n = h
n = n-1a0
Primer: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s4+6s3+6s2+4s+6.
h =
6 4 0 0
1 6 6 00 6 4 00 1 6 6
1 = 6 2 = 32
3 =
6 4 0
1 6 60 6 4
= -88
4 = 63= -528
1
1 = 6
2
1 =
326
3
2 =
-8832
4
3 =
-528-88
Primer: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s4+2s3+2s2+2s+1.
h =
2 2 0 0
1 2 1 00 2 2 00 1 2 1
1 = 2 2 = 2
3 =
2 2 0
1 2 10 2 2
= 0
4 = 13= 0
Primer: Ispitati stabilnost sistema sa karakterističnim polinomom f(s) = s4+3s2+s+2.
h =
0 1 0 0
1 3 2 00 0 1 00 1 3 2
1 = 0 2 = -1 3 = -1 4 = -2
1
1 = 0
2
1 =
-10 = -
3
2 =
-1-1 = 1
4
3 =
-2-1 = 2
Stabilnost sistema opisanih matematičkim Stabilnost sistema opisanih matematičkim modelom u prostoru stanja modelom u prostoru stanja
x = Ax + Bu
y = Cx + Du
Ws(s) = Y(s)U(s) = C[sI-A]-1B + D =
Cadj[sI-A]B + det[sI-A]Ddet[sI-A]
f(s) = det[sI-A]
KKRAAJJ