03_AS_Mat2 Page 1

www.ac.ktu.lt/P12M101

03_AS_Mat2 Page 2

>> dexp_lent(7) ans =

1 2 3 4 5 6 2 4 1 2 4 1 3 2 6 4 5 1 4 2 1 4 2 1 5 4 6 2 3 1 6 1 6 1 6 1

03_AS_Mat2 Page 3

>> daug_lent(7)

1 2 3 4 5 6 2 4 6 1 3 5 3 6 2 5 1 4 4 1 5 2 6 3 5 3 1 6 4 2 6 5 4 3 2 1

>> dexp_lent(7)

1 2 3 4 5 6 2 4 1 2 4 1 3 2 6 4 5 1 4 2 1 4 2 1 5 4 6 2 3 1 6 1 6 1 6 1

03_AS_Mat2 Page 4

>> genstrongprime(22)ans = 4093367>> p=ansp = 4093367>> q=(p-1)/2q = 2046683>> isprime(q)ans = 1

C.5.3 Finding generators.We begin with the second. We have to look inside ZP* and find a generator. How? Even if we have a candidate, how do we test it? The condition is that <g> = G which would take |G| steps to check.In fact, finding a generator given p is in general a hard problem. In fact even checking that g is a generatorgiven p; q is a hard problem. But what we can exploit is that p=2q+1 with q prime. Note that the order of the group ZP* is p-1=2q.Fact C.23. Say p=2q+1 is prime where q is prime. Then g in ZP* is a generator of ZP* iff gq = 1 and g2= 1.In other words, testing whether g is a generator is easy given q. Now, given p=2q+1, how do we find a generator?Fact C.24. If g is a generator and i is not divisible by q or 2 then gi is a generator.

03_AS_Mat2 Page 5

Grupės ir jų pogrupiai

03_AS_Mat2 Page 6

>> dexp_lent(7)

Euler Theorem. If gcd(a,n)=1, then

Where φ(n)=φ is Euler totient function.

>> dexp_lent(15)

1 2 3 4 5 6 2 4 1 2 4 1 3 2 6 4 5 1 4 2 1 4 2 1 5 4 6 2 3 1 6 1 6 1 6 1

03_AS_Mat2 Page 7

03_AS_Mat2 Page 8

Komutatyvios algebrinės struktūros

Algebrinė struktūra

Binarinių operacijų skaičius

Multiplikatyvi operacija

*

Atvirkštinė operacija

/

Adityvi operacija

+

Atvirkštinė operacija

-

Distributyvumo savybė a*(b+c) = a*b+a*c

Pvz.

Multiplik. Pusgrupė

1 Taip Ne Ne Ne Ne (Zn, *)

Adityvi Pusgrupė

1 Ne Ne Taip Ne Ne Natur. sk.a.N

Multiplik. Grupė

1 Taip Taip Ne Ne Ne (Zp, *)

Adityvi Grupė

1 Ne Ne Taip Taip Ne (Zn, +)

Žiedas 2 Taip Ne Taip Taip Taip (Zn,*,+)

Laukas 2 Taip Taip Taip Taip Taip (Zp,*,+)

03_AS_Mat2 Page 9