02_KIN
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LV 143.020, 143.021 ET, TM
PHYSIK
LV 138.029 MB, VT, WI-MB
PHYSIK FR INGENIEURE
2. KINEMATIK
WS 2010/11 Vortragende:
N. GURKER, J. CUSTERS
Skriptum:H. EBEL, N. GURKER, M. MANTLER, J. WERNISCH
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2. KINEMATIK
2.1. Ort
Um einen Ort angeben zu knnen, mu zunchst ein Koordinatensystem festgelegt werden.Da sich mit Hilfe eines rechtwinkeligen kartesischen Koordinatensystems sehr vieleAufgabenstellungen gut lsen lassen, werden in diesem Skriptum ausschlielichrechtwinkelige kartesische Koordinatensysteme verwendet . Wie der Name besagt, stehendie Koordinatenachsen senkrecht aufeinander. Die Richtungen der x-, der y- und der z-Achsesind durch die Einheitsvektorenr re e x , y und
r
e z gegeben und da es sich um ein Rechtssystemhandelt, mssen die vektoriellen Produkte
y x z
x z y
z y x
e=ee
e=ee
e=ee
rvr
rvr
rvr
Gl.01k
gelten. Der Ort (ein PunktP) wird dann durch seine Koordinatenx, y und z in der FormP = P(x,y,z) Gl.02k
oder aber durch den vom Ursprung des Koordinatensystems zum PunktP weisendenRadiusvektor rr
r r r r
r ye y= xe x ze z+ + Gl.03k beschrieben.
2.2. WegHngen die Ortskoordinaten von einem Parameter u ab, so entsteht durch eine Variation desParameters eine Mannigfaltigkeit von Punkten. Die Gesamtheit der mglichen Punkte beschreibt eineBahn . Es gilt
r r r r
r u x u e y u e z u e x y( ) ( ) ( ) ( )= z+ + . Gl.04k Sehr hufig ist fr den Parameter die Zeitt zu verwenden, wodurch jedem Punkt der Bahnzumindest ein bestimmter Zeitpunkt zugeordnet werden kann.
Verbindet man zwei sehr nahe nebeneinander liegende Punkte der Bahn miteinander, so ist
diese Verbindung als ein differentielles Bahnelementdr r
, oder besser als Wegstck dsr
, zu bezeichnen.
Das differentielle Bahnelementdr dsr r= stellt geometrisch gesehen die Differenz aus denRadiusvektoren zu den Zeitpunktent + dt und t dar.
ds r t dt r t r r r= + ( ) ( ) Gl.05k
Im allgemeinen Fall wird der Weg nicht durch eine Gerade zu beschreiben sein und mudeshalb durch eine Aneinanderreihung von Wegstcken dargestellt werden. DieKomponenten dx, dy und dz des Wegstckes dsr lassen sich ebenfalls als Differenz der Ortskoordinaten x, y und z zum Zeitpunktt+dt bzw. t darstellen.
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Kinematik
dx x t dt x t
dy y t dt y t
dz z t dt z t
= + = + = +
( ) (( ) (( ) (
))
)Gl.06k
Auf diese Weise lt sich das Wegstck dsr nicht nur als Differenz seiner Radiusvektoren
beschreiben, sondern auch durch seine Komponentendx, dy und dz. ds dxe dye dze x y zr r r r= + + Gl.07k
Der Betrag ds des Wegstckes errechnet sich unter Verwendung des pythagorischenLehrsatzes zu
ds dx dy dz= + +2 2 2 . Gl.08k
2.3. Geschwindigkeit
Ein Punkt bewegt sich gleichfrmig, wenn er auf einer geraden Bahn in gleichen Zeitengleiche Wege zurcklegt. Bezeichnet man mits die in der Zeitt zurckgelegte Wegstrecke, sowird der Quotients/t als Geschwindigkeitv definiert. Im allgemeinen Fall wird die Bahn - der Weg - nicht geradlinig durchlaufen und ebenso die Geschwindigkeit dem Betrage nachvernderlich sein. Das bedeutet fr die Definition der Geschwindigkeit, da diese jeweils nur fr einen differentiell kurzen Zeitraumdt hinsichtlich ihrer Richtung und ihres Betragesanwendbar ist -Momentangeschwindigkeit .
dsv
dt =
r
r Gl.09k
Drckt man die Geschwindigkeit in Komponentenform aus, so erhlt man, da im allgemeinenFall die Ortskomponenten x, y und z von der Zeit abhngen, die Komponentenv x, v y und v z des Vektors der Geschwindigkeit aus den Ableitungen der Ortskomponenten nach der Zeitt .
vdxdt
vdydt
vdzdt
x
y
z
=
=
=
Gl.10k
Damit kann die Geschwindigkeitrv in Komponentenform angeschrieben werdenr r r r
v v e v e v e x x y y z z= + + Gl.11k
und aus den Komponenten der Betragv der Geschwindigkeitv v v v x y z= + +
2 2 2 Gl.12k berechnet werden. Sollen aus der Geschwindigkeit die Komponenten des Wegesdsr errechnetwerden, so braucht man nur die jeweilige Komponente der Geschwindigkeit mit der Zeitdt zumultiplizieren.
dx v t dt
dy v t dt
dz v t dt
x
y
z
===
( )
( )
( )
Gl.13k
hnlich errechnet sich das whrend der Zeitspannedt zurckgelegte Wegstck ds zu
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ds = vdt = 2 2 2 x y zv v v d + + t . Gl.14k Ist die Bahnkurve rr (t) gesucht, dann sind die obigen Gleichungen fr dx, dy und dz zuintegrieren.
Gl.15k
x t v d x t
y t v d y t
z t v d z t
x
t
y
t
z
t
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
=
=
=
Die additiven Konstanten x(t= 0), y(t= 0) und z(t= 0) geben den Ort zur Zeitt= 0 an. Da dieobere Integrationsgrenze gleicht ist, wird als Integrationsvariable verwendet. Gl.14k beschreibt das differentielle Wegelementds . Soll hingegen der innerhalb einer endlichen
Zeitspanne von t 1 bis t 2 zurckgelegte Weg s berechnet werden, so ist die nachstehendeGleichung zu verwenden.
s v v v d x y zt
t
= + + 2 2 21
2
t Gl.16k
Im Falle einer gleichfrmigen Bewegung reduziert sich die Berechnung des Weges auf den inGl.17k gezeigten Ausdruck.
)12( t t vs = Gl.17k
2.4. BeschleunigungBetrachtet man eine geradlinige ungleichfrmige Bewegung, so wird diese, je nachdem ob dieGeschwindigkeit bei der Bewegung in gleichen Zeitrument um gleiche Betrgev zu-oder abnimmt, als gleichfrmig beschleunigte oder verzgerte Bewegung bezeichnet. Stattvon Verzgerung kann auch von negativer Beschleunigung gesprochen werden. Der Quotientv/ t ist die Beschleunigung a . Im allgemeinen Fall ist auch fr die Beschleunigunganzunehmen, da diese sich sowohl dem Betrage als auch der Richtung nach ndert undsomit, hnlich den berlegungen zur Definition der Geschwindigkeit, die Angabe der Beschleunigung auf einen differentiell kurzen Zeitraumdt erstreckt werden mu -Momentanbeschleunigung
.r
r
advdt
= Gl.18k
Auch ra kann in Komponentenform dargestellt werden,r r r r
a a e a e a e x x y y z z= + + Gl.19k wobei sich die Komponenten der Beschleunigung zu
advdt
adv
dt
a dvdt
x x
y y
z z
=
=
=
Gl.20k
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Kinematik
errechnen und der Betrag der Beschleunigunga ausa a a a x y z= + +
2 2 2 Gl.21k folgt.
Bercksichtigt man, da die Geschwindigkeit bereits als Ableitung der Komponenten x, y und z des Ortes nach der Zeit errechnet wurde, so stellt die Beschleunigung die zweite Ableitungder Ortskomponenten nach der Zeit dar.
ad x
dt
ad y
dt
ad z
dt
x
y
z
=
=
=
2
2
2
2
2
2
Gl.22k
Soll bei gegebener Beschleunigungr
a die Geschwindigkeitr
v berechnet werden, so werdenanalog zur Berechnung der Wegkomponenten aus den Geschwindigkeitskomponenten, dieKomponenten v x , v y und v z der Geschwindigkeit durch Integration der Beschleunigungs-komponenten gefunden. Auch hier ist als Integrationsvariable anstelle vont zu whlen unddarber hinaus geben die Geschwindigkeitswertev x(t= 0), v y(t= 0) und v z(t= 0) Auskunft ber die Geschwindigkeit zur Zeitt= 0.
Gl.23k
v a d v t
v a d v t
v a d v t
x x x
t
y y y
t
z z z
t
= +
= +
= +
=
=
=
=
=
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
0
0
=
=
=
Geht man von den Komponentena x , a y und a z der Beschleunigung aus, dann erhlt man dienderungdv x , dv y und dv z der Komponenten der Geschwindigkeit innerhalb einer Zeitspannedt aus den in Gl.24k zusammengestellten Gleichungen.
dv a t dt
dv a t dt
dv a t dt
x x
y y
z z
===
( )
( )
( )
Gl.24k
Die nderung des Betragesdv der Geschwindigkeit istdt aaadt adv z y x
222 ++== Gl.25k und unter Verwendung dieses Ausdruckes errechnet sich der Betrag der Geschwindigkeitv nach einer Zeitt zu
v a a a d v t x y z
t
= + + + ==
=
2 2 20
0
( ) . Gl.26k
v(t= 0) ist die Geschwindigkeit zur Zeitt= 0. Gl.26k gilt nur unter der Voraussetzung, dara parallel zu rv gerichtet ist und in der Zeitspanne= 0 bis =t keine Vorzeichenumkehr erfhrt,
also nicht von parallel zu antiparallel wechselt.
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2.5. Zusammenfassung
Wird, ausgehend von der Ortsgleichung ber die Geschwindigkeit bis zur Beschleunigung
hin, jeweils die Definition der Geschwindigkeit und der Beschleunigung in Anwendunggebracht, so lt sich die Reihenfolge in der gezeigten Form darstellen.r
r t ( ) .....................Ortr
r
v t dr t
dt ( ) ( )= ...............Geschwindigkeit Gl.27k
r
r
a t dv t
dt ( ) ( )= ...............Beschleunigung
In der umgekehrten Richtung, ausgehend von der Beschleunigung, ber die Geschwindigkeitzur Ortsgleichung zu gelangen, erfordert eine Integrationsrechnung und darber hinaus dasHinzufgen von Anfangsbedingungen, wie die Anfangsgeschwindigkeitrv (t= 0) und den Ortzu Zeit t= 0, nmlich rr (t= 0).
r
a t ( ) .....................Beschleunigung
...Geschwindigkeit Gl.28k r r rv t a d v t t
( ) ( ) ( )= +=
=
00
=
= ....Ortr r rr t v d r t t
( ) ( ) ( )= +=
=
00
2.6. Kreisbewegung
Ein Punkt mge sich in der x-y-Ebene auf einer Kreisbahn mit dem Radiusr um die z-Achse bewegen. Es lauten dann die Gleichungen fr den Ort
0===
)t ( z
)t (sinr )t ( y
)t (cosr )t ( x
Gl.29k
fr die Komponenten der Geschwindigkeitrv
sin
cos
0
x
y
z
dx d v r
dt dt
dy d v r dt dt dz
vdt
= =
= =
= =
Gl.30k
und fr den Betragv der Geschwindigkeitd
v r dt = . Gl.31k
Die Kreisbewegung mge mit einer dem Betrage nach konstanten Umlaufgeschwindigkeiterfolgen. Es mu dann
2
2 0d dt = Gl.32k
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Kinematik
gelten. Die Komponenten der Beschleunigung errechnen sich zu2 22
2
2 22
2
cos sin cos
sin cos sin
0
x x
y
y
z z
dv d d a r r r
dt dt dt dt
dv d d a r r r
dt dt dt dt dv
adt
d
d
= = =
= = + =
= =
Gl.33k
und schlielich der Betraga der Beschleunigung zu2
=
dt d
r a . Gl.34k
Die gezeigte Entwicklung vom Ort bis hin zur Beschleunigung setzt fr die Zeitabhngigkeitdes Winkels
( 0)t t = + = Gl.35k
voraus, da damit einerseits die Bedingungv=const erfllt ist und andererseits die zweiteAbleitung von nach der Zeitt verschwindet. Die in den Gleichungen 30k bis 34k enthalteneAbleitung d /dt errechnet sich mit Gl.35k zu .
ist die Winkelgeschwindigkeit.
Wird das oben skizzierte Modell des Bewegungsablaufes beibehalten, so wird der vomUrsprung des Koordinatensystems zum jeweiligen Punkt der Kreisbahn weisendeRadiusvektor rr innerhalb einer Sekunde/(2) -mal die Ausgangsposition durchlaufen.Diese Gre wird als Hufigkeit, oder besser als die Frequenz f bezeichnet. Es besteht daher
zwischen der Winkelgeschwindigkeit und der Frequenz f der Zusammenhang = 2 f Gl.36k Ein vollstndiger Umlauf auf der Kreisbahn entspricht einem Winkel2 . Da je Sekunde n Umlufe erfolgen, gibt den in der Zeiteinheit vom Radiusvektor berstrichenen Winkel,ausgedrckt in Vielfachen von2 , also dieKreisfrequenz an.
Die identischen Richtungen des Bahnelementesdsr =dr r und der Geschwindigkeit rv stehensenkrecht zum Radiusvektor rr und damit parallel zur Richtung der Tangente an dieKreisbahn. Obwohl der Betrag der Geschwindigkeitv des Umlaufes auf der Kreisbahnkonstant bleibt, mu zur Aufrechterhaltung der Kreisbewegung eine Beschleunigungra senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung vorhanden sein. Die Richtung der Beschleunigungra verluft antiparallel zum Radiusvektor in Richtung vom Punkt auf der Kreisbahn zumMittelpunkt M(0,0,0).
Die Beschleunigung heit Zentripetalbeschleunigung und ist gleich 2r.
Beim bergang zum allgemeinen Fall ist /d dt = nicht mehr konstant. DieWinkelgeschwindigkeit ist dann zeitabhngig, das heitd /dt 0. In Analogie zur translatorischen Bewegung wird die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit alsWinkelbeschleunigung bezeichnet. Als Symbol wird verwendet. Bei den bisherigen
berlegungen wurde in Fortsetzung der Herleitungen zur translatorischen Bewegung der vektorielle Charakter des Radiusvektors, des Bahnelements und der Geschwindigkeit
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verwendet. Die Winkelgeschwindigkeit war hingegen als eine skalare Gre inErscheinung getreten. Wird als vektorielle Gre in die berlegungen eingebunden, dannkann dies in Verbindung mit dem Modell einer Rechtsschraube einfach realisiert werden.Hier sind die Drehrichtung und die translatorische Bewegungsrichtung eindeutig miteinander verknpft.
Der Vektor der Winkelgeschwindigkeitr
weist in die Richtung der translatorischenBewegung einer Rechtsschraube, wenn die Drehrichtung mit der Richtung der Bewegung auf der Kreisbahn bereinstimmt.
Damit kann die Geschwindigkeit rv der Bewegung auf der Kreisbahn auch durch dasKreuzprodukt
r r r
v r = Gl.37k angegeben werden. Hngt die Winkelgeschwindigkeit von der Zeit ab, dann weist der Vektor der Winkelbeschleunigung
r
in die Richtung vonr
, wenn die Winkelgeschwindigkeit
zunimmt, und umgekehrt. Das heit,r
lt sich auch in der Formr
r
= d dt
Gl.38k
darstellen. Die dadurch verursachte Beschleunigung des Punktes in Tangentialrichtung seira T r r r
a r T = Gl.39k Bezeichnet man die Zentripetalbeschleunigung zur Unterscheidung mitra Z , so lt sich diesenach den obigen Ausfhrungen gem
r r
a r Z = 2 Gl.40k
beschreiben. Die resultierende Beschleunigung des betrachteten Punktes auf der Kreisbahn istdann gleich der Summe aus der Tangential- und der Radialkomponente der Beschleunigung.
r r r
a a aT Z = + Gl.41k
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Kinematik
Beispiele
k01Welche Bahn beschreibt die Parameterdarstellung u R z , yu, R x sin0cos === ?
k02Wie kann eine parabelfrmige Bahn beschrieben werden, deren Scheitel in (0,0,7) liegt undderen Durchstopunkte durch die Ebenez= 0 sich in y= 5 befinden?
k03 In der Bewegungslehre werden Begriffe wie Momentan-, Maximal-, Minimal-, mittlere undDurchschnittsgeschwindigkeit verwendet. Wie sind diese zu definieren? Wodurch zeichnetsich eine gleichfrmige Bewegung gegenber einer Bewegung mit einer dem Betrage nachkonstanten Geschwindigkeit aus? Inwieweit geht bei diesen Definitionen neben der Gre der Geschwindigkeit auch die Form der Bahn ein?
k04Auf einer Kreisbahn mge ein Punkt mit einer dem Betrage nach konstanten Geschwindigkeitumlaufen. Wie lautet die Bahngleichung fr eine Umlaufzeit von 10ms?
k05 Eine Bahn sei durch die folgenden Komponenten gegeben:
x= 532+21t, y= 72t, z= 739Gesucht sind die Geschwindigkeit in Komponentenform und der Betrag der Geschwindigkeit.Um welche Art von Bewegung handelt es sich?
k06Es mge die Geschwindigkeit eines Punktes P in Komponentendarstellung gegeben sein:
v x= 18cos17t, v y= 18sin17t, v z= 2 / 17 Der Ort zur Zeitt= 0 ist (2,3,0). Gesucht sind die Geschwindigkeit zur Zeitt= 1s, die Glei-chung der Bahn und die Bahnform. Wie gro sind x(t= 0), y(t= 0), z(t= 0)? Um den in der Zeit0
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Folge hat. Wird das Koordinatensystem mit der z-Achse entgegengesetzt zur Fallrichtung unddie xy-Ebene mit der Tangentialebene an der Erdoberflche zusammenfallend angenommen,dann mge die Bahngleichung unter der Annahme von Anfangsgeschwindigkeitv x(t= 0)=v x0 ,v y(t= 0)=v y0 , v z(t= 0)=v z0 und Ortskoordinaten x(t= 0)=x 0 , y(t=0)=y 0 , z(t=0)=z 0 desAusgangspunktes der Wurfbahn in der Formx(t), y(t), z(t) berechnet werden.Welche Beschleunigungswertea x , a y , a z sind anzunehmen? Welche Bahnform wird durch dieLsung beschrieben? Wie kann die Lsung in eine Form gebracht werden, da die Antwortauf die vorangegangene Frage leicht verstndlich erscheint? Welche Maximalhhe der Bahnber der Erdoberflche folgt aus der Rechnung? Welche Anfangswerte der vorliegendenBewegungsaufgabe mten gendert werden, um bei gleichbleibendem Betrag der Anfangsgeschwindigkeit die maximal mgliche Hhe der Bahn zu erreichen? Wie kann dieAufgabe in eine Extremwertaufgabe hinsichtlich der maximal erzielbaren Hhe umgeformtwerden? Wie gro ist die maximale Wurfweite? Mit Hilfe welcher Gleichung knnte dieLnge der Bahn berechnet werden?
k10 Die Kugel x2+ ( y-6)2+z 2= 100 wird von der Ebene y= 0 geschnitten. Der durch den Schnittdefinierte Kreis sei als Bahn fr die folgenden berlegungen verwendet. Wie lautet dieBahngleichung in Parameterdarstellung(u)? Ein Punkt bewegt sich, ausgehend von (0,0,8),mit einer vonv(t= 0)=0m/s zeitlich linear bis zuvmax= 10m/s anwachsenden Geschwindigkeitauf der Kreisbahn. Die Maximalgeschwindigkeit wird nach 10s erreicht und dieGeschwindigkeitv bleibt anschlieend konstant. Wie lautet die Bahngleichung fr 0
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Kinematik
Lsungen zu den Beispielen
k01
222222 )sin(cos
sin,0,cos
Ruu R z x
u R z yu R x
=+=+
===
d.h.: Kreisbahn mit dem Radius R um Ursprung (0,0,0) in xz-Ebene
k02 spezielle Lsung: Bahn befindet sich in der yz-Ebene.Ansatz fr Parabel: z a by cy= + + 2
S(0,0,7) 7007 =++= a cba P1(0,5,0) 25570 ++= cb P2(0,-5,0) 25)5(70 ++= cb
=
==+=
22577
0)(
025/750140
y
y yr
b
cc
r
k03 Momentangeschwindigkeit:
r
v t v t v t
v t
x
y
z
( )( )( )( )
=
Maximal- und Minimalgeschwindigkeit: Extremwerte des Betrages der Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit)
=e
a
t
t aem dt t vt t
v )(1
Bei der gleichfrmigen Bewegung sind Betrag und Richtung der Geschwindigkeit zeitlichkonstant. Die Momentangeschwindigkeit ist von der Form der Bahn abhngig. Maximal-,Minimal- und mittlere Geschwindigkeit lassen sich aus dem Betrag der Momentangeschwindigkeit berechnen.
k04Kreisbahn:
1s200201,0
)sin()cos(
===
=
t
t
t r r
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k05
r
r
r
r t
t
t
v t dr t
dt
v v v v x y z
( )
( ) ( ) const gleichfrmige Bewegung
m/ s
=+
= =
=
= + + =
532 2172739
21720
752 2 2
k06
ewegungSchraubenb
172
)17cos(1718
)17sin(1718
)(
37,0
31,1795,4
)1(
17/2
)17sin(18)17cos(18
)(
+
+
+
=
=
=
z
y
x
ct
ct
ct
t r
vt
t
t v
r
rr
=
=
=
=
==
=++=
==
=
=
=
+=
1
0
1
0
2222
m0038,180038,18
)17/2())17(sin)17((cos18s
P)0(0
17692
0
32
1718)0(
t
t
t
t
z
y
x
z
y
x
dt
dt t t
r
c
c
c
c
c
c
r
rr
r
Beschreibung durch Wegstckes. Erstellung eines Programms zur Aufsummierung der
Wegstckes und Vergleich mit dem exakten Ergebnis in Abhngigkeit von der Gres. k07
r r r
r t
kt
lt
m
v t
k
lt a t l( ) ( ) ( )=
=
=
2 20
020
gleichmig beschleunigte Bewegung
r r
v
k
l a l const ( ) ( )3 6
0
302
0
=
=
=
20
-
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Kinematik
k08
r r
r r
v t
d
et
ft
a t et
f
vd
e
f
a e
f
( ) ( )
( ) ( )
=
=
=
=
20
2
5 255
50
10
k09
r r r
r r
r t
x
y
z
v t
v
v
v
a t
g
v t
v
v
v gt
r t
x v t
y v t
z v t g
t
x
y
z
x
y
z
x
y
z
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= =
= =
= =
=
=++
+
0 0 000
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 02
Koordinatentransformation:
tan ( )
( )
( )
= = =
= =+
= =
v
vr t
v t v v
v
a t
g
x
y
x y
z
0
0
02 02
0
0000
0 0
000
r
r
r
r r =+
=+
v t v v
v gt
r t v v
v t g
t
x y
z
x y
z
( ) ( )0
20
2
0
02
02
02
0 0
2
t
xvv
t t vv x y x
y x +
=+=2
02
0
20
20
1 .
21
-
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( )Parabel).(quadrat
.22
2
2
02
02
02
0
020
2
xb xa
xvv
g x
vv
vt
gt v z
y x y x
z z
=
=+
+
==
z zdzdxmax max
=
=folgt aus 0
20
20
20
20
20
20
220
y x zo y x
y x
zo
maxmax
vvg
vg
vv
vv
v
ba
x xba
+=+
+=
===
( ) ( ) gv
gv
gv
vvg
v
vv
g
vvg
v
vv
v z
z z z y x
z
y x
x z
y x
zmax
222
0
20
20
202
02
02
20
20
20
220
02
0
2
0
0
==++
++
=
Die grtmgliche Wurfhhe wird erzielt, wennv0=v z0 , d.h. wenn keine x- bzw. y-Kompo-nenten der Anfangsgeschwindigkeit vorhanden sind senkrechter Wurf nach oben.Die Wurfweitew ist gleich 2. xmax
.w x= 2. maxDie Horizontalkomponente v'h der Geschwindigkeit ist unabhngig von der Zeit
2
0
2
0 y xhvvv +=
die Vertikalkomponente zur Zeitt =0v0= v z0 v0
und die Anfangsgeschwindigkeit v0 = + +v v v v x y z0 0
20
20
2 .Damit kann bei gegebener Anfangsgeschwindigkeitv0 die Vertikalkomponente durch
= v v vv h0 02 2
und die Reichweite bei gegebenem v0 in Abhngigkeit von vh durch
w xvg v v g v v v z x y h= = + = 2 2
20 02 02 02 2. max h
ausgedrckt werden. Die maximale Reichweitewmax folgt aus
( )
dwdv
g v vv v
gv v
h
hh h h
=
=
+
0
02 1
22
2
02 2 0
2 2
max
max max max
.2
20
0
20
2220
2
max
maxmaxmax
vv
vvvvv
h
hhh
=
+=+=
22
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Kinematik
Der Wurf mu, wenn die Reichweite ein Maximum erreichen soll, unter 45 ausgefhrt wer-den
wg
vv v
gv v
gmax= = = 2
2 22
202 0
20 0
20
2.
Die Bahnlnge wird fr eine beliebige Zeitspannet 1, t 2 unter Verwendung der Gl.16k berech-net (Rechenprogramm).
k10 ( ) x y z
y
x z
2 2 2
2 2
6 1000
64
+ + ==
+ =
KugelEbene
Schnittkreis Ebene/ Kugel
Parameterdarstellung:
z.B.: rr u
u
=
80
8
cos
sin
zeitabhngige Darstellung:
( )
( )
r
r t
t
=
80
8
cos
sin
linearer Anstieg der Geschwindigkeit mit der Zeit = a+ bt
( )( )
( )( )
8cos0
8sin
a bt t
r
a bt t
+
= +
r
( )( )( )
( )( )( )
8sin 20
8cos 2
a bt t a bt
v
a bt t a bt
+ +
= + +
r
( )v a bt v t a
v t b
= + = = =
= = =
8 2 0 0
10 101
16
( )
( )
0
28)sin(80)cos(8
800
)0(
16sin8
0
16cos8
2
2
===
==
= t r
t
t
r rr
Ergebnis: rr
t
t
=
+
+
816 20
816 2
2
2
cos
sin
Kontrolle:rv
t t
t t
=
+
+
816 2
216
0
816 2
216
2
2
sin
cos
v = t v (t =0) = 0,v(t =10) = 10
23
-
8/8/2019 02_KIN
16/16
k11 Fahrzeug
v uv
r ur
ur
a r ur
r r
Z
= = = = =
= =
f 2 2
2
2
Turbomolekularpumpe
f
f
v r
a r Z
= = =
= =
= =
= =
60000 1000 0 04
2 2000
80
160000
1
1
2 2 2
U60s
Hz , m
s
ms
ms
r
Erde, Sonne
17
18
11
s1099,12
s1017,31m105,1
s31556926d24,365
==
==
=
==
f
T f
r
T
M
Erde
232
2
1
ms1095,5
ms29866
===
==
M M Z
M
r v
r a
r v
Elektron, Atomkern
e......Elementarladung M eMasse des Elektronsh......PLANCKsche Konstante 0..........Feldkonstante
Die Zahlenwerte dieser Konstanten entnehmen Sie bitte dem Kapitel 1.7.
m1029,5 112
20
1
==
eme
hr
416 1
12 30
4,13 10 s2
ee m
h
= =
22243
0
6
2
20
640
282
12
11
16
0
2
2
20
320
4
111
11532
0
41
1
ms1004,94
.4
ms1019,22
.2
s1058,642
====
====
===
h
me
me
h
h
mer a
he
me
h
h
mer v
h
me f
e
e
e Z
e
e
e
24