01_nivelacion_matematica

7/25/2019 01_nivelacion_matematica

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1ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 1

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NIVELACIN MATEMTICA

SEMANA 1

Introduccin a la lgica


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NDICE

INTRODUCCIN A LA LGICA .............................................................................................................. 4

OBJETIVOS ESPECFICOS ...................................................................................................................... 4

INTRODUCCIN ................................................................................................................................... 4

PROPOSICIONES .................................................................................................................................. 5

CONECTIVOS LGICOS ................................................................................................................ 7

TABLA DE LA SIMBOLOGA MATEMTICA .................................................................................. 7

TABLA DE VALORES DE VERDAD.................................................................................................. 8

TAUTOLOGA, CONTRADICCIN Y CONTINGENCIA ................................................................... 17

PROBLEMAS DE APLICACIONES ................................................................................................. 18

COMENATRIO FINAL .......................................................................................................................... 21

REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 22


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INTRODUCCIN A LA LGICA

OBJETIVOS ESPECFICOS Reconocer las proposiciones y conectivos lgicos.

Aplicar la lgica en problemas de planteos.

INTRODUCCIN

El trabajo se iniciar conociendo las definiciones relacionadas con esta unidad de estudio

denominada introduccin a la lgica. Este contenido es til, porque permite desarrollar laestructura lgica que se requiere para estudiar un curso en el rea de la matemtica.

Al enfrentar un problema matemtico es importante identificar las hiptesis si es que existen,

reconocer la tesis, y determinar qu concepto matemtico se debe aplicar para resolver dicho

problema. Muchas veces es necesario modelar la situacin. Todo esto es parte de una estructura

lgica.

Se puede observar en el siguiente enunciado real cmo se aplica la lgica:

Si se sabe que, para calcular la cantidad de madera que se necesita para la

cubierta de una mesa rectangular, se aplica la frmula l x A, en que l es el largo

y A el ancho, mientras que x representa la multiplicacin. cul es la cantidad de

material que se utiliza para construir la cubierta de una mesa de 120 cm de largo

y 80 cm de ancho? , Adems, si el costo est dado por centmetro cuadrado cul

es el costo de la cubierta de la mesa?

En este enunciado se observa que existen varias deducciones las cuales permiten resolver el

problema, estos son:

1. Para determinar el rea de la cubierta se aplica la frmula ancho por largo.

2. Se reconoce la informacin de la mesa, esto es 120 cm de largo y 80 cm de ancho.


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3. Se aplica la frmula dada considerando la informacin de la mesa.

4. Si se requiere conocer el costo se debe identificar la operacin que conlleva a dichoresultado, esto es, multiplicar la cantidad de material por el costo por centmetro.

Todas estas deducciones son parte de un pensamiento lgico que se desarrolla al profundizar los

contenidos de la lgica.

PROPOSICIONES

Desde que un individuo se comunica oralmente, utiliza las palabras, frases, afirmaciones, etc. De

ste universo del dilogo se destacan en la lgica, las denominadas proposiciones. Se denomina

proposicina una afirmacin que adquiere un valor de verdad, es decir, es una frase que permite

bajo un cierto anlisis, determinar si es verdadera o falsa. Una proposicin es uno de los

componentes fundamentales de la lgica.

Ejemplos: Determine si los siguientes enunciados son proposiciones. Justifique:

1. Existe una sede del IACC en la Capital de Chile.

2. Resuelve ejercicios matemticos.

3. 1 6x .

4. Cmo Te llamas?

5. El nombre del padre de la profesora del curso de Nivelacin matemtica es Luis.

Solucin:

1. Efectivamente es una proposicin, ya que se puede asignar un valor de verdad, el cual es

VERDADERO.

2. No es una proposicin, es una orden, no adquiere un valor de verdad.

3. Efectivamente es una proposicin, ya que se puede asignar un valor de verdad a medida

que la variable x, adquiera un valor numrico. (este tipo de proposicin se conoce como

proposicin funcional)

4. No es proposicin, ya que es una pegunta, su respuesta es un nombre, entonces no es una

afirmacin.

5. Efectivamente es una proposicin, ya que se puede determinar un valor de verdad, en

este caso depende de la profesora mencionada en el enunciado. (este tipo de proposicin

se conoce como proposicin condicional)

La notacin que se utiliza para denotar una proposicin es a travs de las letras minsculas

,,,, srqp etc.


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Ejemplo:

p : Una asignatura de la carrera que usted est estudiando, es Nivelacin Matemtica.

Observacin: se puede negar una proposicin, esto corresponde a lo siguiente:

1. Si la proposicin de inicio es verdadera, entonces su negacin es una nueva proposicincuyo valor de verdad es Falso.

2. Si la proposicin de inicio es Falsa entonces la negacin es Verdadera.

Notacin: La negacin de la proposicin p es p

Ejemplos:

1. p : Desde el ao 2014 la presidenta electa de Chile es Vernica Michelle Bachelet Jeria

Luego la negacin es:

p : Desde el ao 2014 la presidenta electa de Chile no es Vernica Michelle Bachelet

Jeria.

Se observa que los valores de verdad en este ejemplo, son p V ; p F

2. p : El idioma oficial de chile es el ingls.

p : El idioma oficial de chile no es el ingls.

Se observa que los valores de verdad son p F ; p V

Es importante destacar que una negacin no implica utilizar el NO.

Ejemplo

p : Se considera a un individuo adulto mayor, cuando tiene ms de 65 aos.

p : Se considera a un individuo adulto mayor, cuando tiene una edad inferior o igual a los 65

aos.


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CONECTIVOS LGICOS

Muchas veces cuando se emite una frase se utilizan las letras o palabras siguientes y, o,

entonces,equivalentemente,stas cumplen una funcin y de acuerdo a la utilizada, se debe

efectuar un anlisis de la proposicin para determinar su valor de verdad. Se observar a

continuacin que estas palabras o letras tienen asignado un nombre y un smbolo matemtico.

Definicin: Conectivo lgico

Son los smbolos que unen dos o ms proposiciones, cuando una afirmacin posee conectivos

lgicos, se denomina proposicin compuesta.

Los conectivos que se estudiarn en este curso son:

1. Conjuncin: el smbolo es , se lee y

2. Disyuncin: el smbolo es , se lee o

3. Implicancia: , se lee entonces

4. Doble implicancia: , se lee si y solo si

TABLA DE SIMBOLOGA MATEMTICA

A continuacin se muestra una tabla con los smbolos que se utilizan en este captulo, para una

mayor comprensin al momento de ser utilizados:

SMBOLO NOMBRE SE LEE EJEMPLO

= Igualdad Igual a 2+1=3

Congruencia Congruente a pV

Implicancia implica si - entoncespor lotanto

pq

Doble implicancia si y solo si qp

Conjuncin lgica y pq

Disyuncin lgica o pq

Negacin lgica No p

6

Comparacin menor o igual que 12

Comparacin mayor o igual que 2 2


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TABLA DE VALORES DE VERDAD

Una tabla de verdad es un arreglo de filas y columnas, en ste se ingresan las proposiciones y

valores de verdad, a continuacin se muestran 3 ejemplos:

1. considerando slo una proposicin pV

F

2. considerando slo dos proposiciones

p q

V V

V F

F V

F F

3. considerando slo tres proposiciones

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Observacin: la cantidad de filas existentes en la construccin de la tabla est directamente

relacionada con el nmero de proposiciones a trabajar.

Para determinar el nmero de filas que constituyen la tabla, se aplica la siguiente frmula:

nfilasdecantidad 2

donde n corresponde a la cantidad de proposiciones.


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Las tablas sirven para resumir el valor de verdad de proposiciones compuestas en diferentes casos,

a continuacin se estudiarn las tablas relacionadas con cada conectivo lgico.

1. Conjuncin: (Dennis Zill y Jaqueline Dewar, 1999, p.vi)

Una proposicin compuesta pq, es verdadera si las proposiciones simples (p,q) que la forman,

son verdaderas.

qp se lee p y q, la tabla que le corresponde es

Ejemplo: En Santiago un medio de transporte es el Metro y todas las personas se trasladan

siempre a travs del Metro.

Solucin:

Sean:

p: en Santiago un medio de transporte es el Metro

q: todas las personas se trasladan siempre a travs del Metro.

Luego la proposicin compuesta escrita en forma simblica es: p q, se observa que su valor de

verdad es falso, pues corresponde a V F. Tal como se puede apreciar en tabla de la pgina

anterior, si existe una proposicin verdadera y una proposicin falsa con la conjuncin y, el

resultado siempre es Falso (V F F).

2. Disyuncin: (Dennis Zill & Jaqueline Dewar, 1999, p.vii)

Una proposicin compuesta p q, es verdadera si por lo menos una de las proposiciones simples

(p,q) que la forman, es verdadera.

qp se lee p o q,la tabla que le corresponde es:

p Q p q

V V V

V F F

F V F

F F F


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Ejemplo: 2+1=3 o 2+1=2

Solucin:

Sean:

p: 2+1 =3

q : 2+1=2

Luego la proposicin compuesta es p q, la cual es verdadera ya que corresponde a V F

3. Implicancia: (Dennis Zill y Jaqueline Dewar, 1999, p.ix)

Esta proposicin compuesta es falsa solo en el caso: verdadero implica falso.

P Q p q

V V VV F F

F V V

F F V

Se observa que la proposicin p es condicin suficiente para la proposicin q, mientras que

q es condicin necesaria para p, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Analizar la siguiente afirmacin: Si nac en Valparaso entonces soy Chilena.

Solucin:

Sean:

p: nac en Valparaso.

q: soy chilena.

P Q p q

V V V

V F V

F V V

F F F


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i. Si se asume que la afirmacin la emite una persona que efectivamente naci en

Valparaso, se observa entonces que la proposicin p es verdadera, lo que es condicin

suficiente para afirmar que q tambin lo es, por lo tanto )( VV , es una verdad,

mientras que )( FV , sera Falso, ya que si se nace en Valparaso es imposible afirmar

que no es Chilena.

ii. Es necesario nacer en Chile, sin embargo no es suficiente, ya que existen otras regiones en

Chile, lo que significa que nacen las posibilidades )( VV ; )( VF , donde ambas

proposiciones compuestas seran verdaderas.

iii. Si se asume que la afirmacin la realiza una persona que naci en Espaa, entonces se

dara la situacin )( FF , lo que sera una verdad.

4. Doble implicancia: (Dennis Zill & Jaqueline Dewar, 1999, p.x)

Es Verdadera cuando las proposiciones (p,q) simples adquieren el mismo valor de verdad.

P q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

Ejemplo: Un alumno obtiene el ttulo de Ingeniera si y solo si cumple con todo el proceso

educacional exigido por la institucin educacional en la que estudia.

Solucin:

Sean:

p: Un alumno obtiene el ttulo de ingeniera.

q: Un alumno cumple con todo el proceso educacional exigido por la institucin

educacional en la que estudia.

Luego la proposicin compuesta es qp .


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1. si se supone que el alumno obtiene el ttulo de ingeniera y cumple con todo el proceso

educacional exigido por la institucin educacional en la que estudia, entonces se deduce

que la proposicin compuesta es vlida ya que corresponde a: VV .

2. si se supone que el alumno no obtiene el ttulo de ingeniera y si cumple el proceso

educacional exigido por la institucin educacional en la que estudia, entonces se deduce

que la proposicin compuesta sera Falsa, ya que sera absurdo que no obtuviera el ttulo

en tal caso. Esto corresponde a VF , equivalentemente se deduce que FV es

falso.

3. si se supone que el alumno no obtiene el ttulo de ingeniera y no cumple el proceso

educacional exigido por la institucin educacional en la que estudia, se observa que la

proposicin compuesta es Verdadera, pues son equivalentes las afirmaciones ( qp, ), esto

corresponde a: FF .

Ejercicios:

1.- Dadas las siguientes proposiciones:

p: Existe un tutor en el curso.

q: soy alumno(a) del curso de Nivelacin matemtica.

r: los contenidos estudiados en la primera semana corresponden a lgica.

s: estudio en el IACC.

Si se asume que usted emite la siguiente proposicin:

Si los contenidos estudiados en la primera semana corresponden a lgica y existe un tutor en el

curso entonces soy alumno(a) del curso de Nivelacin Matemtica, si y solo si estudio en el IACC.

a) Traducir a lenguaje lgico.

b) Determinar el valor de verdad de la proposicin. Justifique.

Solucin

a) Traducir a lenguaje lgico

Paso 1: Se traduce la primera parte del enunciado del problema a lenguaje lgico (los

contenidos estudiados en la primera semana corresponden a lgica y existe un tutor en el

curso). De esta forma la traduccin a lenguaje lgico es la siguiente:


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)( pr

Paso 2: Se agrega la segunda parte del enunciado del problema y se traduce a lenguaje

lgico, (Si los contenidos estudiados en la primera semana corresponden a lgica y existe

un tutor en el curso entonces soy alumno(a) del curso de Nivelacin Matemtica)De esta forma la traduccin a lenguaje lgico es la siguiente:

qpr )(

Paso 3: Se agrega la ltima parte del enunciado del problema y se traduce a lenguaje

lgico, (Si los contenidos estudiados en la primera semana corresponden a lgica y existe

un tutor en el curso entonces soy alumno(a) del curso de Nivelacin Matemtica, si y solo

si estudio en el IACC).

De esta forma la traduccin a lenguaje lgico es la siguiente:

sqpr )(

b) Determinar el valor de verdad de la proposicin. Justifique.

Paso 1: Se comienza obteniendo el valor de verdad de la primera parte del enunciado.

)( pr

Como se puede apreciar en el enunciado, ambas proposiciones son verdaderas, ya que

efectivamente los contenidos estudiados en la primera semana corresponden a lgica

(proposicin r) y de la misma forma es verdadero que existe un tutor en el curso

(proposicin p), por ende:

VVV

pr

)(

Paso 2: Una vez resuelta la primera parte del problema, se debe resolver el segundo

parntesis.

qpr )(


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Como se demostr )( pr es verdadera, por ende:

][

)(

qV

qpr

De acuerdo al enunciado, la proposicin q es soy alumno(a) del curso de Nivelacinmatemtica., que es verdadera, por ende:

VVV

qV

qpr

][

][

)(

Paso 3: Una vez resuelta la segunda parte del problema, se debe resolver el parntesis

final.

sqpr )(

Como se demostr qpr )( es verdadera, por ende:

sV

sqpr

)(

De acuerdo al enunciado, la proposicin s es estudio en el IACC, lo que es verdadera, porende:

VVV

sV

sqpr

)(

Por ende, el valor de Verdad de la proposicin es verdadero.

2.- Determine el valor de verdad de rqp ,, tal que la proposicin compuesta rqp )( sea

falsa.

Solucin

2.1.- Es necesario encontrar el valor de p,q,r de manera que:

Frqp )(


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Para que en una implicancia ( ) el valor de verdad sea falso, la nica forma de que esto se

cumpla es que la primera proposicin sea verdadera )( qp y la segunda proposicin (r) sea

falsa (ver tabla),

P Q p qV V V

V F F

F V V

F F V

Por lo tanto:

Vqp )( ; Fr

De esta forma inmediatamente se puede obtener el valor de r, lo cual es Falso. Para que

)( qp sea verdadero, es necesario que ambas proposiciones sean verdaderas, de esta forma:

VqVp

Vqp

;

)(

Si ,Vp entonces su negacin que sera p, es Falsa, por lo tanto.

Fp

Vp

2.2.- Una vez determinado el valor de p,q,r. Determine el valor de verdad de la siguiente

proposicin compuesta.

)()( rpqr

Solucin

De acuerdo a lo determinado en el ejercicio anterior, ,Fp ,Vq Fr y Vr , ahora

reemplazamos los valores de verdad de cada proposicin en la proposicin compuesta del

ejercicio.


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F

FV

VFVF

rpqr

)()(

)()(

A continuacin, se sugiere realizar la ejercitacin de la semana (la que es calificada con 1 punto),

junto con revisar el video N1 Proposiciones de la semana que aparece en el apartado de

Videos de la semana y luego desarrolle el siguiente ejercicio.

3.- Si se sabe que ,)( Vpqr determine el valor de verdad de la siguiente

proposicin:

[ )()( qpqr ]


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TAUTOLOGA, CONTRADICCIN Y CONTINGENCIA

Una tautologa corresponde a aquellas proposiciones compuestas que adquieren el valor de

verdad verdadero independiente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la

forman (Ralph P. Grimaldi, 1998, p. 58).

Una contradiccincorresponde a aquellas proposiciones compuestas que adquieren el valor de

verdad falso independiente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman.

(Ralph P. Grimaldi, 1998, p.58).

La contingencia corresponde a aquellas proposiciones compuestas que no son ni tautologa ni

contradiccin.

Ejemplos:

1.- Utilizando la tabla de verdad, determine si la siguiente proposicin es una tautologa,

contradiccin o contingencia.

)()( pqqp

Solucin:

Corresponde a una tautologa pues en el resultado de la ltima columna aparecen slo

verdaderos.

p p q q qp pq )()( pqqp

V F V F F V V

V F F V V F V

F V V F V V V

F V F V V V V


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PROBLEMAS DE APLICACIONES

Existen situaciones en las cuales se extraen hiptesis verdaderas y a partir de ellas se deduce una

tesis que soluciona la situacin. Para esto se puede traducir en lenguaje lgico el pensamiento que

permite llegar a la tesis. Asimismo, en algunos casos, ordenar la informacin a travs de tablas o

relaciones establecidas facilita la resolucin del problema, a continuacin se muestran

aplicaciones de esto.

1.- Tres profesionales, Marcia, Luis y Lorena, son postulantes para presentar un proyecto

educativo. Un periodista los entrevist para conocer sus opiniones, sobre lo que ellos pensaban de

la postulacin. Durante la entrevista, las declaraciones de los profesionales fueron:

Marcia: Lorena no ser elegida

Luis: Si Marcia es elegida, entonces Lorena tambin ser elegida

Lorena: Si yono soy elegida, entonces no presentar otro proyecto en la institucin

Asumiendo que nadie minti, y que existe un elegido quin es?

Solucin:

p: Marcia es elegida

q: Luis es elegido

r: Lorena es elegida

:z no presentar otro proyecto en la institucin

Marcia: r Luis: rp

Lorena : r z

a) FrVr

b) Vrp

VFp

Fp

c) Vzr

VzV

Vz


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Como Fr entonces Lorena no es elegida, Fp entonces Marcia no es elegida. Luego el

elegido es Luis.

2.- Si Pablo tiene un ingreso inferior a Jos y Eduardo tiene un ingreso superior a Jos, Pablo

recibe un ingreso superior o inferior al de Eduardo?

Solucin:

Si se asume que el smbolo significa ingreso superior,

entonces se puede escribir lo siguiente:

Pablo < Jos Eduardo > Jos

Luego Eduardo >Jos >Pablo

Por lo tanto Pablo percibe un sueldo inferior a Eduardo.

3.- Seis individuos desean asistir juntos a un congreso del rea de la informtica y deciden, cada

dos, utilizar diferentes medios de transporte. Se sabe que Anbal no utiliza el automvil, porque

ste acompaa a Pablo que no va en bus. Andrs viaja en bus. Si Carlos no va acompaado de

Daro pues no hace uso del bus. Determine en qu medio de transporte llega Luis.

Solucin:

Se asume x: no utiliza ese medio de transporte.

s. S utiliza el medio de transporte.

Automvil Bus Otro

Anbal x x S

Pablo x x S

Andrs x s

Carlos S x

Daro sLuis Debe utilizar automvil

Observacin: la afirmacin Carlos no va acompaado de Daro pues no hace uso del bus, permite

deducir que Daro si va en bus, luego l acompaa a Andrs.


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Por lo tanto podemos concluir que:

Anbal y pablo viajaron juntos en otro medio de transporte.

Andrs y Daro viajaron juntos en bus.

Por lo tanto Luis est acompaando a Luis viajando en automvil.

A continuacin, revise el video N3 Aplicacin Lgica de la semana que aparece en el apartado

de Videos de la semana y luego desarrolle el siguiente ejercicio.

4.- Tres mujeres: Paola, Carla y Carolina quienes sus tiempos libres los dedican arealizar solo dos tipos de actividades cada una. Las actividades que realizan entre

estas tres mujeres son: ir a comprar al mall, ir a tomar un trago a un bar con amigas,

ir a un karaoke, ir a jugar basquetbol, ir a jugar tenis y ver pelculas. Sabiendo que

entre ellas no realizan ninguna actividad comn y segn la informacin

proporcionada a continuacin, determine qu actividades realiza cada una.

(a) A la que juega basquetbol no le gusta el tenis ni ir al mall

(b) Paola y Carla realizan deportes

(c) A Carolina no le gusta ver pelculas ni ir al mall

(d) A Carla no le gusta el basquetbol


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COMENTARIO FINAL

Al enfrentar un problema matemtico siempre es fundamental identificar las hiptesis si es queexisten, reconocer la tesis, determinar qu concepto matemtico se debe aplicar para resolver

dicho problema. Muchas veces es necesario modelar la situacin, todo esto es parte de la base de

una estructura lgica.

Desde que un individuo se comunica oralmente, utiliza las palabras, frases, afirmaciones, etc., deeste universo del dilogo se destacan en la lgica, las denominadas proposiciones. Estascorresponden a afirmaciones que adquieren un valor de verdad, es decir, es una frase que permitebajo un cierto anlisis, determinar si es verdadera o falsa.

Cuando se emite una frase, muchas veces se utilizan las letras o palabras siguientes y, o,

entonces, equivalentemente. stas cumplen una funcin y, de acuerdo con la utilizada, sedebe efectuar un anlisis de la proposicin para determinar su valor de verdad. A estas palabras se

les llama conectivos lgicos, Se observar a continuacin que estas palabras o letras tienen

asignado un nombre y un smbolo matemtico.

1. Conjuncin: el smbolo es , se lee y

2. Disyuncin: el smbolo es , se lee o

3. Implicancia: , se lee entonces

4. Doble implicancia: , se lee si y solo si


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REFERENCIAS

Marshall, V. y Mikenberg, I. (2002). Lenguaje Matemtico. Chile: Pontificia Universidad de Chile.

Dennis Zill y Jaqueline Dewar (1999). Lgica y conjunto. lgebra y Trigonometra. Colombia: Mc-

Graw Hill.

Ralph P. Grimaldi (1998). Fundamentos de lgicas. Matemticas Discretas y Combinatoria.

Mexico: Prentice Hall.

PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE:

IACC (2014). Introduccin a la Lgica. Nivelacin Matemtica. Semana 1.


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