（ x ＋ 3)( x ＋５）=x2＋

5x＋3X

＋ 15

=x2 ＋ 8x

多项式与多项式是如何相乘的？

＋15

(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn

中观中学 吴廷飞

灰太狼开了租地公司 , 一天他把一边长为 a 米的正方形土地租给慢羊羊种植 . 有一年他对慢羊羊说 :“ 我把这块地的一边增加 5 米 , 另一边减少 5 米 ,再继续租给你 , 你也没吃亏 , 你看如何 ?” 慢羊羊一听觉得没有吃亏 , 就答应了 . 回到羊村 , 就把这件事对喜羊羊他们讲了 , 大家一听 , 都说道 :“ 村长，您吃亏了 !” 慢羊羊村长很吃惊…同学们 , 你能告诉慢羊羊这是为什么吗 ?

5 米

5 米

a 米(a-5)

(a+5) 米

相等吗？

原来原来 现在现在

a2 (a+5)(a-5)

① （ x ＋ 4)( x － 4 ）

② （ 1 ＋ 2a)( 1 － 2a ）

③ （ m ＋ 6n)( m － 6n ）

④ （ 5y ＋ z)(5y － z ）

计算下列各题算一算，比一比，看谁算得又快又准

② （ 1 ＋ 2a)( 1 － 2a ） =1 －4a2

③ （ m ＋ 6n)( m － 6n)=m2 － 36n2

④ （ 5y ＋ z)(5y － z)= 25y2 － z2

① （ x ＋ 4)( x － 4 ） =x2 － 16

它们的结果有什么特点？

x2 － 42

12 － (2a)2

m2 － (6n)2

(5y)2 － z2

平方差公式：

((aa++bb)()(aa−−bb))== aa22−−bb22

两数两数和和与这两数与这两数差差的积的积 ,,

等于等于 这两数的这两数的平方差平方差 ..公式变形 :1 、（ a – b ) ( a + b) = a2 - b2

2 、（ b + a )( -b + a ) = a2 - b2

(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同为 a

相反为 b

适当交换

合理加括号

平方差公式

注：这里的两数可以是两个单项式单项式也可以是两个多项式多项式等等．

口答下列各题口答下列各题：： (l)(-a+b)(l)(-a+b)(a+b)=  _________(a+b)=  _________

(2)(a-b)(b+a)= __________(2)(a-b)(b+a)= __________

(3)(-a-b)(-a+b)= ________(3)(-a-b)(-a+b)= ________

(4)(a-b)(-a-b)= _________(4)(a-b)(-a-b)= _________

a2-b2a2-b2b2-a2

b2-a2

(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)

(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)

11 、找一找、填一填、找一找、填一填

a b a2-b2

1 x

-3 a

12-x2

(-3)2-a2

a 1 a2-12

0.3x 1 ( 0.3x)2-12

(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)

(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2

例 1 、用平方差公式计算

计算：（ x+2y)(x-2y)

解：原式＝ x2 - (2y)2

＝ x2 - 4y2

注意注意

11 、先把要计算的、先把要计算的式子与公式对照式子与公式对照 , ,

22 、哪个是 、哪个是 aa

哪个是 哪个是 bb

例 2 运用平方差公式计算：

(1) (3x ＋ 2 )( 3x － 2 ) ；

(2) (b+2a)(2a － b); (3) (-x+2y)(-x-2y).

解：（ 1 ） (3x ＋ 2)(3x － 2)

=(3x)2 － 22

=9x2 － 4 ；

（ 2 ） (b+2a)(2a － b)

=(2a+b)(2a － b)

=(2a)2 － b2

=4a2 － b2.(3) (-x+2y)(-x-2y)

=(-x)2 － (2y)2

= x2 － 4y2

例 3 计算 :

(1) 102×98;

(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .

解 : (1) 102×98

(2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)

= 1002-22

=1000 – 4

= （ 100 ＋ 2 ） (100－ 2)

=9996

= y2-22-(y2+4y-5)

= y2-4-y2-4y+5

= - 4y + 1.

（ 1 ） (a+3b)(a - 3b)

=4 a2 － 9 ；

=4x4 － y2.

=(2a+3)(2a-3)=a2 － 9b2 ； =(2a)2 － 32

=(-2x2 )2 － y2

=(50+1)(50-1)=502 － 12

=2500-1

=2499

=(9x2 －16)

－ (6x2+5x -6)=3x2 － 5x- 10

=(a)2 － (3b)2

（ 2 ） (3+2a)( －3+2a)

（ 3 ） 51×49

（ 5 ） (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

（ 4 ） ( － 2x2 － y)( －2x2+y)

相信自己

我能行！

利用平方差公式计算：

1. 计算 20042 － 2003×2005;

拓展提升

解： 20042 － 2003×2005= 20042 － (2004 － 1)(2004+1)

= 20042 － （ 20042 － 12 )= 20042－ 20042+12

=1

22 、利用平方差公式计算、利用平方差公式计算 ::

（ a-2)(a+2)(a2 + 4)

解 : 原式 =(a2-4)(a2+4)

=a4-16

))()(( 22 yxyxyx ))( 2222 yxyx （解原式

44 yx 88 yx

（ ）

3. 化简(x4+y4 )

(x4+y4 )

(x4+y4)

(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相反为 b

小结 相同为 a 适当交换

合理加括号

平方差公式