——PIMC 方法的应用

刘松芬 胡北来

南开大学物理科学院

高温、高压状态下的稠密等离子体热力学特性的研究

Ⅰ 背景介绍 近些年来，费米系统的热动力学性质在很多领域受到人们越来越大的关注。包括等离子体物理、天体物理、凝聚态和核物质。其中人们最感兴趣的是在库仑和量子效应关联条件下的费米液体、金属氢、等离子体相变和束缚态等等。从理论上讲 , PIMC 方法可以很好的描述这一领域。而且在费米系统中应用这种方法已经取得了明显的进步。但是，它存在着一个本质上的困难，即由于费米子置换的反对称性引起的费米符号问题。

1

N 个全同粒子的体系的薛定谔方程 的解是：

H E

1 2 1 2( , , , ) ( ) ( ) ( ) (1)

i j k

N i j k N

E

q q q q q q

即体系的本征能量等于各粒子本征能量之和，体系的本征函数等于各单粒子哈密顿算符的本征函数之积。这样，多粒子体系可以归结为解单粒子薛定谔方程。

对费米系统，体系的波函数可以写成如下的行列式形式：

1 2

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1( , , , )

!

( ) ( ) ( )

i i i N

j j j N

A N

k k k N

q q q

q q qq q q

N

q q q

展开行列式后，每项都具有 (1) 式的形式，因而它是体系薛定谔方程的解。交换任何两粒子，也就是在行列式中两列互相调换，这使行列式改变符号。所以费米体系的波函数是反对称的。即存在 N!/2 项正的和 N!/2 项负的，这就是费米符号问题。

我们所感兴趣的是力学量算符 在体系中的平均值，即该力学量算符在系统中的期待值，采用密度（或统计）矩阵的方法，是最有效、最简单的方法。

2

假设系统由一组归一化的纯粹态 表示，相应于 的归一化权为 。再设 可按某一正交归一化的完备基矢集 展开，即

( )i ( )i( )i ( )i

| n ( ) ( ) ( )

2( )

| | |

| | | 1

i i in n n n

n n

in m nm n

n

C

C

则力学量算符 在纯粹态 中的期待值为：( )i

( )* ( ) ( )* ( )

, ,

| |i i i ii n m n m n m nm

n m n m

C C C C

力学量 的统计平均值为

( ) ( ) ( )* ( )

,

i i i ii nm n m

i n m i

C C

3

引入密度矩阵( ) ( )* ( )i i i

mn n mi

C C

,

( ( ))mn nm mmn m m

Tr 则 的统计平均值可以简单的表示为

因此 的总平均值可由密度矩阵计算出来，而密度矩阵又可通过组成混和态的纯粹态 及相应的统计权重表达出来。

( )i

的对角元具有简单而直接的物理意义，即是基矢 在混和态中出现的几率。 | n

( ) ( ) 2| |i inn n

i

C

同时，如果所考虑的算符 具有非负的本征值，则其平均值 必定也是非负的。因此， 必定为正值。

4

★ B.Militzer等人提出的 Restrict Path integral Monte Carlo （ RPIMC ） [1,2]

★ V.S.Filinov 、 M.Bonitz、 V.Ebeling、 V.E.Fortov 等人提出的 direct fermionic PIMC （ DPIMC ） [3-5]

为了解决这一问题，人们采用了不同的方法，其中以下面两个组最具代表：

费米系统中，由于置换的反对称性，可能会造成密度矩阵为负的情况，这也即为费米符号问题。

5

★ B.Militzer 提出的 RPIMC 方法，其中引入了节面的概念，通过限制积分的路径使密度矩阵的贡献始终为正，但它只适用于某些特殊的情况。而我们也只知道少数几种密度矩阵的节面，并且这些节面很近似。

★ V.S.Filinov 、 M.Bonitz、 V.Ebeling、 V.E.Fortov 等人提出的 DPIMC ，是把 N粒子系统的密度算符用新的路径积分表示，而粒子置换的反对称效应则完全包括在一个矩阵里，从而克服了费米符号问题，但 V.S.Filinov等人提出的模型只适用于弱耦合及弱简并区域。

在此基础上，我们以 DPIMC 为起点，通过改变其物理模型 , 有效的计算了强简并耦合区域的氢等离子体的一些热力学性质。

6

Ⅱ :数学模型 以电子 和质子 组成的稠密氢等离子体的密度矩阵在量子系统中，一般不存在确切的密度矩阵。但密度矩阵遵循简单的组合规律。

eN iN

' ( ')

( , '; ) ' | |

'' ' | | '' '' | |

H

H H

R R R e R

dR R e R R e R

重复上面的步骤插入 n 组完备集，当 n—>∞ 时，即为高温近似下的密度矩阵，且这时的密度矩阵等同于没有近似条件下的密度矩阵。

1 1 2

1 1 2 1

( , '; ) lim ( , ; / ) ( , ; / )

( , '; / )n

n n

R R R R n R R n

R R n dR dR dR

7

)1('

)()2()1()()0()0()0(

),()1(

);,(

n

p

Kp

V

nn

V

PPS

dRdRRdR

对每一个小密度矩阵而言 , 在高温近似下 ,n→∞可以近似为

)()(''0

'' '

),,,(),,,( qUhT eqqqq

这里的 U(q)为粒子间的相互作用能。

8

因此，一般情况下，量子系统的密度矩阵可由高温近似下的路径积分来表示。考虑费米子的自旋效应，则密度矩阵可以写成：

其中

是系统的哈密顿算符且 为粒子间的相互作用

这意味着粒子由

坐标的费米循环所表示。其中 q和 r表示质子和电子的坐标。自旋作用由自旋矩阵 S来表示，而置换作用由置换算符 来表示。它作用在电子坐标和自旋投影上 ,由 的奇偶性求和。费米系统中 ,求和包括 项正的和 项负的。这就是费米符号问题。由于质子的质量远大于电子，所以它的置换作用可以不考虑。

P

pk !/ 2eN

!/ 2eN

9

10

对每一个小密度矩阵 ,由于高温近似下 , 可以近似为

,n

is the free-particle density matrix

经过直接推导，最后得密度矩阵为：( ,[ ], ) ,1

0 1 1

( ,[ ], ) det (2)2

ee NN s nU q r l nN

s pp abN ss l p

Cq r e

其中

， [r]是电子坐标的费米循环，这里引入相邻顶点间无限小循环 ，是无量纲的参数， [r] 确

切的表示为： ，这里的密度矩阵没有置换的求和 , 也就不存在符号问题。而置换问题则完全包含在一个简单的交换矩阵 中。矩阵的脚标 s表示有相同自旋的电子数，即该矩阵也包括了自旋求和的结果。

,1nab s

2

2( )

,1n

a b ae

r r ynab s

s

e

11

Ⅲ 热力学特性举例 为了计算热力学函数，必须对配分函数进行相应的热力学变量的微分。而在所有的热力学性质中，以系统的内能和状态方程最为基本，其它的热力学函数均可由此导出。因此，我们以计算内能和压强为起点：这就意味着路径积分中每一个小高温密度矩阵都要进行微分计算。

ln /E Q

1ln / [ / 3 ln / ]p Q V V Q 12

2

( , ) [1 (1 ( ))]abxab a bab ab ab

ab ab

e er e x erf x

x

其中 为误差函数。

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以能量 E为例：

为了求能量，我们可以先对密度矩阵 的元素取近似，再对每个小密度矩阵微分；也可以先对密度算符 进行微分，在最后的结果中再对密度矩阵的元素取近似。这里，我们采取第二种方法，这样做的优点在于密度矩阵中的微分作用最后就只存在于相互作用部分了。对于质子，在我们所考虑的范围内可以当作经典粒子处理，以库仑势作为其相互作用势。对于电子，在中、高简并耦合情况下，为了充分考虑其量子效应，我们采用 Kelbg 势表示与电子有关的相互作用势：

kk

当 ， Kelbg 势趋于库仑势，而 时， Kelbg势是有限的。

abr || abr ||

经过直接的推导，可得 能量解析式：

14

同理，可得 物态方程表达式：

15

从 Eq.(2)和 Eq.(3), 可以清楚的看到：经典理想气体的部分分离了出来 (first term)。理想量子部分超过了经典部分 , 而库仑和量子关联效应则包含在积分项中。第二行中的第一项是离子的关联项 , 第二项和第三项是 e-e和 e-i在顶点的相互作用。第三行和第四行出现了进一步的电子顶点

， Eq.(3)中的置换矩阵依赖于温度 , 而 Eq.(4)中的置换矩阵依赖体积。 Eq.(3)和 Eq.(4)最主要的优点在于没有显示自旋求和，也就是把置换作用收缩到一个简单的矩阵中，而这个矩阵可以用标准的线性代数来计算，这起着决定性的作用。而且括号中每一项求和都和顶点数相关 , 随着 n→∞，就能很好实现 Monte Carlo 模拟。

16

17

IV 数值计算与结果 我们采用 Monte Carlo方法，以标准的 Metropolis算法产生 Markov Chain，进行数值模拟计算。在中、高简并耦合附近得到了与 RPIMC 符合很好的结果。

兼并参数 1 234( ) /3 e Bn e k T ：

3 2 2, 2 /e e en m ：耦合参数

from 0.1 to 18.48

from 0.169 to 5.736

18100 1000

0

10

20

30

40

50

60

70

Pressure [Mbar]

Temperature 1000K

-4

-2

0

2

4

6

8

10

rs=1.86

ne=n

i=2.5031023cm-3

our results Filinov's results RPIMC's results

Energy [2N Ry]

-50

0

50

100

150

200

250 rs=2.0

ne=n

i=2.0141023cm-3

our results RPIMC

Energy [ev]

100 1000

0

10

20

30

40

50

60

Pressure [Mbar]

Temperature 1000K

在能量和压强已知的情况下，通过热力学关系式，我们还可以计算焓，自由能，熵和定容、定压热容量等热力学函数。

VI ：下一步的工作

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ⅤI 文献

20

[1] B.Militzer and D.M.Ceperley “ Path Integral Monte carlo simulation of the Low-Density Hydrogen Plasma”(arxiv:physics/ 0101079 )

[2] B.Militzer and D.M.Ceperley “Path Integral Monte carlo Calculation of the Deuterium Hugoniot” Physical Review Letters .Vol 85,1890 (2000)

[3] V.S.Filinov, and M.Bonitz, (Preprint, archive: cond-mat/9912049)

[4] V.S. Filinov, M.Bonitz, W.Ebeling, and V.E.Fortov “Thermodynamics of hot dense H-plasmas:Path integral Monte Carlo simulations and analytical approximations” (arxiv:physics/0103002)

21

[5] V.S. Filinov, P.R. Levashov, V.E. Fortov, and M. Bonitz, in Ref. [4], (archive: cond-mat/9912055)

[6] V.P.Silin,ZhETF 41(1961)861

[7] M.Bonitz,Th.Bornath,D.Kremp,M.Schlanges,and W.D.Kraeft “Quantum Kinetic Theory for Laser Plasmas Dynamical Screening in Strong Field” (arxiv:cond-mat/9912058)

[8] D.Kremp, Th.Bonath, and M.Bonitz “Quantum kinetic theory of plasmas in strong laser fields” Physical Review E, Vol.60,4725(1999)

[9] D.Kremp,Th.Bonath,M.Bonitz, W.D.Kraeft,and M.Schlanges “Quantum kinetic equations for nonideal plasmas:Bound states and ionization kinetics” Physics of Plasmas, Vol.7,59(2000)