モールの応力円（直交三軸応力対応）amiyata.net/Mohrdiagram.pdfOtto Mohr...

Copyright 2007 宮田明則技術士事務所1

モールの応力円（直交三軸応力対応）

Otto Mohr の考案による応力円のおさらい。

直交三軸応力σ1, σ2,σ3が既知のとき任意の向きの平面

上の垂直応力σ、せん断応力τ　を求める。

直交する２面のσ、 τから主応力を求める。

二次元問題での、最大せん断応力、最大、最小垂直応力

最大傾斜角を求める。

参考資料

　湯浅亀一「材料力学」日本機械学会1952年　岡本舜三「応用力学演習」理工図書1955年


3次元(直交3軸応力時)のσ、τ3次元用モールの応力円

360,

445,

360

2,4,8

321

321

παπαπα

σσσ

=°==°==°=

===

( )( )( )

。を求める計算図である　せん断応力

、垂直応力であるとき、その面の

軸となす角が、

ある面の法線が、

が既知であり、

の応力円は主応力モール

τσγβαααα

σσσσσσ

,,,,,,,,

,,,,)(

321

321

321

orzyxorxxx

orMohrOtto

zyx

( )が求める応力である。

、標で交わる。この点の座１点

この三つの円がⅢの同心円を描くと、

を求め、円Ⅱ、円からに、

描く。同様を通る円Ⅰの同心円を

交点をなす直線と円Ⅱとのに対し

τσ

αα

α

G

QQQAA

3232

1

1

,,

'

τ

σ1σ3 σ2

60°60°45°

G

σ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

41A

A

1C 1B

C B

1α3α 2α

1o 3o2o

1Q

2Q

3Q

円Ⅱ

円Ⅲ

円Ⅰ

2,0,

2:

2,0,

2:

2,0,

2:

213

21

312

31

321

32

321

σσσσ

σσσσ

σσσσσσσ

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

>>

r

r

r

円Ⅲ

円Ⅱ

円Ⅰ

とする。中心、半径で描く。

Ⅲをつぎのまず、円Ⅰ、円Ⅱ、円


1σ2σ

3σ

),,( 321 αααn

),,( 321 βββp3x

2x

1x

στ

O

1

2

3

333222

32

111111

13

21

321

coscos,coscos,

coscoscoscoscos

12,cos31,cos23123

,123

,,3

ασβασβ

ασβασβα

αα

τσ

σσσ

==

=→==

Δ=Δ=ΔΔ

Δ

ppxxpA

pApAxpAA

OAOAOpA

pp

成分から、の同様にして、力

成分は、のであるから、力

は、

の各直交成分とすると、の面積を

る。

とすせん断応力を行な成分、すなわち、

面に平の面に垂直な成分をとする。

面上の合応力をしているとき、その

の応力が作用軸にそれぞれ直交

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )( )

理すると、

等を代入して整

せん断応力は、

になるので、が

方向成分の合計の法線の

である。

質から、ここに、方向余弦の性

32

22

12

12

32

1332

22

32

22

12

2132

322

3

22

222

212

122

1

23

232

221

21

322

3222

2122

1

222

32

322

212

1

322

3222

2122

1

23

22

21

2

32

22

12

32

22

12

coscoscos1

coscoscoscos

coscos(2cos1cos

cos1coscos1cos

coscoscos

coscoscos

coscoscos

)3,2,1(coscoscos

coscoscos

1coscoscos

1coscoscos

ααα

αασσαασσ

αασσαασ

αασαασ

ασασασ

ασασασ

στ

ασασασσ

σσ

ασασασ

βββ

βββ

ααα

+=−

++

−−+

−+−=

++−

++=

−=

++=

=

++=

++=

=++

=++

p

Ani

pppp

i微小４面体の応力平衡

応力円の導出


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )1231

22

1231

32

1231

321

2

123123

21

2213

21

2312

21

23

21

22

21

1312123

22

21

321

212

22

211221

3121

233113

2323

222332

2

1

23

22

21

321

32

22

12

322

3222

2122

1222

32

322

212

1

32

22

12

32

22

12

2223

21

22313

22

22322

21

2221

2

32

322

212

1

32

122

3132

222

3222

122

212

cos

001111

11

1111

coscoscos

coscoscos

coscoscos

coscoscos1

coscoscos3

coscoscoscoscoscos

coscoscos

coscoscoscoscoscos

σσσστσ

σσσσσσσ

σσσσσσα

σσσσσσ

σσσσσσσσσσσσσσσσσσ

σσσσσσ

σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ

σσσσσσσ

ααα

ασασαστσ

ασασασσ

ααα

ααα

τσ

αασσαασσαασστ

ασασασσ

αασσαασσαασστ

−−+

−−−

++

−−−=

−−−−=

−−−−−=−−−−==Δ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

Δ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++=+=

++=

++=

+=

−+−+−=

++=

−+−+−=

−

pp

p

pを求めると、、、式から次に、次の

とめると、が得られる。以上をま


( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) 円Ⅲとする。は最小値をとる　のとき

円Ⅱとする。は最大値をとる　のとき

とする。円Ⅰは最小値をとる　のとき

である場合を考える。いま、

円

円

同様にして、

円

この分子は、

L

L

L

LL

LL

LL

2/0cos0

2/0cos0

2/0cos0

32

cos2

22

cos2

12

cos2

22

2222

cos

213332

1323

312222

3212

321112

2131

321

23

221

32

13232

221

22

231

22

32122

213

21

232

12

21312

232

2322

232

232

232

232322

2131

23232

2

12

σσασσσσ

σσασσσσ

σσασσσσ

σσσ

σσασσσστσσσ



σστσσσ

τσσσσσσσσσσ

σσσστσσσσσσα

−==→>−−

−==→<−−

−==→>−−

>>

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−−=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−−=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−−=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−∴

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

−

−−+++−

=

RR

RR

RR

R

R

R


3σ

2σ

1σ

( )0,1m( )0,2m

( )0,3m

3R1R

2R

円 Ⅰ円 Ⅲ

円 Ⅱ

τ

σO

( )

( )

( )

が指定可能である。

つだけつのうちというように、

とすれば、たとえば、

るから、

の制約があまた、

含む斜線部内となる。

界をの存在範囲は、図の境したがって、

る。の境界を含む内側となⅡの存在範囲は円

のときは、大の円であるから、

は可能な最Ⅱる。円範囲は両円の外側とな

の存在のときは、

あるから、は、可能な最小の円でⅢと円Ⅰ円

234/4/,2/

1coscoscos

,

,0cos

,0cos,0cos

3

21

32

22

12

22

32

12

παπαπα

ααα

τσ

τσα

τσαα

=

==

=++

≠

≠≠

( )( )

( )( )

( )( )

を得る。これから、

との交点を示す式は、と円

に代入して円Ⅱこれを円、

、このとき、円Ⅱでは、

31

31

2

232

12

2131

13

232

132

22

cos

2cos

2

11

0cos

σσσσα

σσασσσσ

σσσσσσσ

σσσστ

α

−−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−−=

−−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

−−=

=

2,

2,

2

2,

2,

221

331

232

1

213

312

321

σσσσσσ

σσσσσσ

−=

−=

−=

+=

+=

+=

RRR

mmm

主応力円　Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ


よって求められる。ジに示すように作図に

は、次ペー、の応力が既知の場合のその面

と、が定まる。

線の方向余弦から決めれば、その面の法

、物体内の面を点で交わっていないが円が

つのの円円円、を満たしていないので

左図では、

との交点から、円Ⅰと円

との交点から、同様にして、円Ⅲと円

であるが、図で、

ではとの交点円Ⅱと円

τσσσσαααααα

ααα

α

α

ασσσσ

σσσσ

σσσσα

321321321

32

22

12

12

12

1131

31

2

31

3

111

31

31

2

,,,,,,

133,2,1

1coscoscos

3

2

cos

coscos

cos1

=++

∠=

∠=

∠=→−−

=∠∴

−=

−=

==∠=∠

−−

=

FCC

EBB

DAADAA

CDCD

CACD

CDCDDCDDAA

D

2,

2,

2

2,

2,

221

331

232

1

213

312

321

σσσσσσ

σσσσσσ

−=

−=

−=

+=

+=

+=

RRR

mmm

3σ

2σ

1σ

( )0,1m( )0,2m

( )0,3m

3R1R

2R

円 Ⅰ円 Ⅲ

円 Ⅱ

τ

σO

1α1α

1α

A

A1

B1

C1

C B

D

D1

円 1

3αE

F2α

円 2 円 3


( )。円Ⅱの上頂点である

応力は、図から、最大せんだん

を通る。と

を描くを中心とする円を通るの交点

をとり、円Ⅰとから、念のため、

ある。

の座標で、が求める二つの円の交点

を描く。を半径とする円

を引く。

から円Ⅲへとなるよう

を描く。を半径とする円

を引く。

から円Ⅱへとなるよう

とおりである。半径は、図の下に示す

心位置とⅠ、Ⅱ、Ⅲを描く。中主応力円

る。となるよう番号をつけ

2

3.7

2.6

.51.4

.3

.2,.1

212

3

31

2

21

1

11

321

σσ

α

τσ

α

α

σσσ

−=

=∠

=∠

>>

R

GoF

CC

GEo

BEBBEBDo

ADAADA

2,

2,

2

2,

2,

221

331

232

1

213

312

321

σσσσσσ

σσσσσσ

−=

−=

−=

+=

+=

+=

RRR

mmm

3σ

2σ

1σ

( )0,11 mo( )0,22 mo

( )0,33 mo

3R1R

2R

円 Ⅰ円 Ⅲ

円 Ⅱ

τ

σO

1A

A

D

円 1

B

1B

E

1α2α

G

C

1C

円 2

円 3

3α F


( )

)(

1210

21

4cos

2cos

4cos

coscoscos

4,

2,

4

32/

222

32

22

12

321

31

下図および次ページとなっている。

このとき、

あることが分かる。

のときで

には、図から

つの円が交わるためこの点で、

同じで

半径と点である。値は円Ⅱの

るのはせん断応力が最大にな

るとき最大せん断応力を与え

=++=

++=

++

===

−

πππααα

παπαπα

σσG

2,

2,

2

2,

2,

221

331

232

1

213

312

321

σσσσσσ

σσσσσσ

−=

−=

−=

+=

+=

+=

RRR

mmm

3σ

2σ

1σ

( )0,11 mo( )0,22 mo

( )0,33 mo

3R1R

2R

円 Ⅰ円 Ⅲ

円 Ⅱ

τ

σO

1A

A

D

円 1

B

1B

E1α2α

G

C

1C

円 2

円 3

3α

F

1x2x

3x

法線　n2σ

2σ

1σ

3σ


1x

3x

1σ

3σ

面の法線　n 2/sincos

2/cos

2/cos

4/

3333'3

332

3'3

333'3

3

σααστ

σασσ

σασ

πα

==

==

==

=

p

'3σ

'3τ

'3p

'1p

'1σ '

1τ2/sincos

2/cos

2/cos

4/

1111'1

112

1'1

111'1

1

σααστ

σασσ

σασ

πα

==

==

==

=

p

3α1α

　　　　合応力　p

( ) 2/31

'3

'1max

σστττ

−=−=

1α

3α

応力の平衡図と最大せん断応力τmax

13

12

12

32

32

12

2

3

2

1

321

2/sin

cos1cos

1coscos

0cos4/

,2/,4/

,

απαα

αα

αα

απαπαπα

σσσ

−=∴=

−=→

=+→

====

>> 引張りを正

σ


小さい二つの応力が等価の場合

( ) ( )

が重なる。、円、円Ⅲ円

とⅡ、円は点Ⅰ以上から、円

とすると、

32)0,(

22

22

cos

2

2212

221

2212

212

122

2122

2

23

σ

σστσσσ

σστσσσ

ασστσσ

σσ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

−=+−

=

1σ2σ

1α

σ

τ

1σ2σ

1α

σ

τ

( ) である。

のときで、値は、

最大せん断応力は、

2/

4/

21max

1

σστ

πα

−=

=

G


大きい二つの応力が等価の場合

( ) ( )

Ⅱ上。円Ⅰの存在範囲は円

、は点Ⅲが重なる。円

、円、円Ⅱと円Ⅰ以上から、円

とすると、

=

−=+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

=

τσσ

ασστσσ

σστσσσ

σστσσσ

σσ

,)0,(

21cos

22

22

1

322

3122

1

2312

231

2312

231

12

21 σσ =3σ

3α

σ

τ

( ) である。

のときで、値は、

最大せん断応力は、

2/

4/

31max

3

σστ

πα

−=

=

21 σσ =3σ

3α

σ

τ

円 3


直交三軸の応力が等しい場合

( )

である。せん断応力は

で重なる。が点円

、円Ⅲ、円、円Ⅱと円Ⅰ円

とすると、

0)0,(3

210

0

220

0123

σ

τσσ

σσσσ

=+−

===

0σσ

τ


である。その値は、

で生じる。最大せんだん応力は、

行く方法もある。

から時計式に増加してをの代わりに

を与える。、ばそこが

円との交点をとれを所定の値にとり応力

2/4/

02

xσπβα

βατσ

α

==

ασ

τp

maxτ

β2α

σ

τ

2/xσxσ

αβ

単純応力の場合（１軸）

( )

22

2

2

22

2/2sincossinsin2/2cos1coscos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∴

===+===

xx

xx

xx

pp

στσσ

ασαασατασασασ

A

'A

n

αασ cosxp =

β

σ

τ

xxσ

A

'A

α

n 面A-A’の法線

p

これは、中心座標(σx/2, 0), 半径σx/2　の円である。


平面応力の場合（2軸の主応力が既知の場合）

である。だん応力

がせん方向成分のベクトル和

面軸を含むの

である。和が垂直応力

方向成分のベクトルの

である。

とする。軸となす角をを

軸とのなす角と面の法線

τ

σ

βσασπβα

βα

',,

,

cos,cos2/

,

AAyxpp

pp

pp

yx

yx

yx

yyxx

−

===+

n

n

( )

( )B

pp

A

pp

yx

yx

yx

yx

yxyx

yx

yx

yx

yx

L

L

ασσ

τ

αβσαασ

ββσαασ

βατ

βσσσσ

σ

ασασ

ασασ

βσασ

βασ

2sin2

cossincossin

cossincossin

sinsin

2cos22

22cos1

22cos1

sincos

coscos

coscos

22

22

−=

−=

−=

−=

−+

+=

−+

+=

+=

+=

+=。式で表すと、次になる

( )( )

の円である。半径これは、中心座標

を消去すると、を応用して式から

2,0,

2

22

1sincos2

22

22

yxyx

yxyx

BA

σσσσ

σστ

σσσ

αθθ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

=+

x

y

xσ

yσ

n

xpα

β

σ

yp

τ

A

A’

α

β


( )( ) 2/

2/

yx

yx

r

m

σσ

σσ

−=

+=

二次元のモールの応力円三次元のモールの応力円との関係

2,

2,

2

2,

2,

221

331

232

1

213

312

321

σσσσσσ

σσσσσσ

−=

−=

−=

+=

+=

+=

RRR

mmm

2/,,

0,,

)(

321

321

παβααα

σσσσσσ

===

==== zyx

p 。が左図と同じ点になる上の点

青えにより円Ⅲ上図で、以下の置き換

3σ

2σ

1σ

( )0,1m( )0,2m

( )0,3m

3R1R

2R

円 Ⅰ円 Ⅲ

円 Ⅱ

τ

σO

1α3α

2αp

ααα β2 β

β

ϕ

τ

σ

yσxσ

o(m,0)

τ

σ

p


平面応力状態の直交二面の応力から、θだけ回転した直交二面の応力を求める

の関係がある。

、進んだ位置にあり進んだ位置すなわち

だけ時計式に左上の応力円上を

が得られるのでてだけ反時計式に回転し

をについては、面の法線、または、

直交する２面、１、左下の図に示すような

''

''21

12

2

1

0

18022

2/'2'12

yxxyyxxy

yxyx

ττττ

σσσσσσ

πββ

π

+==+

+=+=+

°

+=

nn

( )

( ) ( )

( )( ){ } θ

θ

β

θβθβ

βπββ

ετσσστσ

εσσ

σε

εσεσ

θ

εσεσεσ

σ

200

''

2010

'1

'1

012

1

20

'2

20

'1

'2

'1

20

202

201

0

,

,

jxyxxyx

j

j

jj

jjj

jj

pp

p

prp

rprppp

rrprp

r

+−+=+

−+=

−=

−=+=

−=+=+=

++

+

、すなわち、

の式に代入し、これを

、の式から、上の

は、、だけ回転したこれらを

とすれば、、半径を標を

みなし、円の中心の座左上の図を複素平面と

n1(α1,β1)

n2(α2,β2) x

y

n’1(α’1,β’1)

n’2(α’2,β’2)

θ

xσ

yσxyτ

xyτ'xσ

'xyτ'

xyτ 'yσ

1

2

1‘ 2‘

1

ααα β2 2

πα +β

ϕ

τ

σ

yσxσ

o

τ

σ

1p

πβ +2

β2

2p


( ){ }( )

( )( )( ) ( )

( )

( )( ){ }

( )( ) ( )

( )

めると、

なので、以上をまと

の式からは、、同様に、

を代入して、

''

'

00'

200

''

2020

'2

022

'22

'

'

0

0'

00'

200

''

,

2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos

2cos2sin2

2sin2cos22

2/

2cos2sin

2sin2cos

yxxyyxxy

xyyx

xy

xyyxyx

xyyy

jxyyxyy

j

j

yxyx

yx

yxyxyx

x

yx

yxxxy

yxxx

jyxxxyx

jj

pp

pr

pp

jj

ττττ

θτθσσ

τ

θτθσσσσ

θτθσσσσ

ετσσστσ

εσσ

σε

θτθσσ

τ

θτθσσσσ

σ

σσσ

θτθσστ

θτθσσσσ

ετσσστσ

θ

θ

β

θ

−=−=

+−

−=

−−

−+

=

−−+=

+−+=+

−+=

−=−

+−

=

−−

++

=

+=

+−=

−−+=

+−+=+ ( ) ( )

( ) ( )

( )θτθ

σστ

θτθσσσσ

σ

θτθσσσσ

σ

2cos2sin2

2sin2cos22

2sin2cos22

'

'

'

xyyx

xy

xyyxyx

y

xyxyx

x

+−

−=

−−

−+

=

−+

+= ｙ＋

σ

τ

yσ

xσ

θ2xyτ

δoP’

( )22

2 xyyxr τ

σσ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=半径⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +0,

2yx σσ

中心

co

'xσ

'xyτ'ϕ

力を求める図。だけ回転した面での応から

が既知のとき、それ上式を利用し、

θ

τσσ xyyx ,,

R

Q

δθ2

'yσ

P

1σ2σ ( )になる。主応力

とすれば参考

になる。の対極が

。をとると

から反時計式に

を通る円を描く。

を中心にとの交点

を結ぶ。横軸

を定める。点

から、

21,2

'.4'2

.3,

.2,

,,.1

σσδθ

θ

τσσ

=

PPP

oQRQ

oQR

RQxyyx

'xyτϕ


最大せん断応力

最大、最小垂直応力

( )22

21

21

22,

,

,,

xyyxyx

xyyx

rOo τσσσσ

σσ

σσ

τσσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

+=±=

で、その値は、図の

最小垂直応力は、が既知のとき、最大、

。せん断応力を求める図

が既知のとき、最大xyyx τσσ ,,

σ

τ

yσ xσ 22 πδθ +=

xyτδo

( )22

2 xyyxr τ

σσ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=半径⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +0,

2yx σσ

中心

co 'xyτ

R

Q

δ

1σ2σyx

xy

xyyx

GG

RQo

QRRQ

σστ

δ

πδθ

πδθ

τσσ

−=

+=∴

−=

2tan

42

22

',.3,

.2,

,,.1

のせん断応力である。

が絶対値が最大

円の上、下の頂点

を通る円を描く。

を中心にとの交点

を結ぶ。横軸

を定める。点

から、

'xyτ

2πδ +

G

G’

r

r

最大傾斜角

( ) ( )( )

( ) ( )( ) 21

21

22

2221

2

2/2/2

sin

)(

σσσσ

σστσσ

σστσσ

ϕ

ϕ

+−

=+

+−=

+

+−==

yx

xyyx

yx

xy

OooP

OPO

を引けば、ら円に接線

かに、原点とすれば、上図のようを最大値

対する角度の合応力の、面の垂線に最大傾斜角

二次元応力円の応用

傾斜角を求める図。

が既知のとき、最大xyyx τσσ ,,

σ

τ

yσ xσ

θ2

xyτδo

( )22

2122

σστσσ −

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= xy

yxr半径⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +0,

2yx σσ

中心

co 'xyτ

R

Q

δ

P

1σ2σ

'xyτ

r

r

ϕ

モールの応力円（直交三軸応力対応）amiyata.net/Mohrdiagram.pdfOtto Mohr...

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