第３回

強度計算の基礎軸の強度計算

𝜏𝑚𝑎𝑥 ：最大せん断応力；𝜏𝑎：許容せん断応力（疲労限度）

𝜎𝑏𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑎

𝜏𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜏𝑎

純せん断疲労破損の場合：最大せん断応力𝜏𝑚𝑎𝑥

１．単純（単軸）応力の場合の強度評価

純曲げ疲労破損の場合：最大曲げ応力𝜎𝑏𝑚𝑎𝑥

𝜎𝑏𝑚𝑎𝑥 ：最大曲げ応力（引張側）；𝜎𝑎：許容曲げ応力（疲労限度）

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑇/𝑍𝑝

𝑇: 軸の伝達するトルク𝑍𝑝：軸の極断面係数 𝑍𝑝 =

𝜋𝑑3

16

T=トルク

（引張側）

X

𝑌

𝜏𝑦𝑥

𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜎𝑦

𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑦𝑥

𝜎𝑥

最大せん断応力𝜏𝑚𝑎𝑥：

𝜎1 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2+

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2

𝜎2 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2−

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝜎1 − 𝜎2

2=

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2

2

+ 𝜏𝑥𝑦2

最大主応力𝜎1と最小主応力𝜎2平面応力状態の応力成分：𝝈𝒙, 𝝈𝒚, 𝝉𝒙𝒚

Von Misesの応力（等価応力、相当応力）：

𝜎𝑀 = 0.5 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦2+ 𝜎𝑦

2+ 𝜎𝑥2 + 3𝜏𝑥𝑦

2

𝜎𝑀 = 0.5 𝜎1 − 𝜎22+ 𝜎2

2+ 𝜎12

ミーゼス応力とは、Richard von

Misesという人が提案した式で計

算した方向性の持たない応力（スカラー値）であるため、この人の名前であるミーゼスがつけられた。

（二つの主応力： 𝜎1 > 𝜎2）

２．二軸応力状態とその強度評価法

𝜏𝑥𝑧

𝜏𝑦𝑥𝜏𝑥𝑦𝜎𝑥

𝜎𝑦

𝜎𝑧

𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑦𝑧

𝜏𝑧𝑦

六つの応力成分：𝝈𝒙, 𝝈𝒚, 𝝈𝒛, 𝝉𝒙𝒚, 𝝉𝒚𝒛, 𝝉𝒛𝒙

X

𝑌

𝑍

三つの主応力：最大主応力𝜎1、中間主応力𝜎2と最小主応力𝜎3

（三つの主応力： 𝝈𝟏 > 𝝈𝟐 > 𝝈𝟑）

Von Misesの応力：

𝜎𝑀 =1

2𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2+ 𝜎𝑦 − 𝜎𝑧2+ 𝜎𝑧 − 𝜎𝑥

2 + 3(𝜏𝑥𝑦2 + 𝜏𝑦𝑧

2 + 𝜏𝑧𝑥2 )

𝜎𝑀 =1

2𝜎1 − 𝜎2

2+ 𝜎2 − 𝜎32+ 𝜎3 − 𝜎1

2

３．三軸（多軸）応力状態とその強度評価法

𝜎1＞𝜎2＞𝜎3主応力：

４．主応力と最大せん断応力の求め方

𝜎 =

𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧

𝜎 =

𝜎1 0 00 𝜎2 00 0 𝜎3

𝜎𝑥 − 𝜆 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 − 𝜆 𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧 − 𝜆

=0

X

𝑌

𝑍

𝜆3 − 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 𝜆2 + 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 𝜎𝑦𝜎𝑧 + 𝜎𝑧𝜎𝑥 − 𝜏𝑥𝑦2 − 𝜏𝑦𝑧

2 − 𝜏𝑧𝑥2 𝜆

− 𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧 − 𝜎𝑥𝜏𝑦𝑧2 − 𝜎𝑦𝜏𝑧𝑥

2 − 𝜎𝑧𝜏𝑥𝑦2 + 2𝜏𝑥𝑦𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥 = 0

応力テンセル： （主応力状態）

上式を解けば、三つの固有値 𝜆1 > 𝜆2 > 𝜆3 が得られる．即ち、三つの主応力𝜎1、𝜎2と𝜎3が得られる．

最大せん断応力： 𝜏max

最大せん断応力： 𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝜎1 − 𝜎3

2

５．ミーゼス応力、主応力、最大せん断応力の使い方

機械や機械構造の強度計算を行う際には、

ミーゼス応力は一般的に延性材料の安全性（強度）検討に使われる。汎用CAEソフトの場合には、構造の安全の応力率や安全の極限率を計算するには、材料の降伏応力または極限応力をミーゼス応力で除算するように求められている。

最大主応力𝜎1は一般的に引張応力で脆性材料を用いた部品の応力結果を評価する際に使用される。脆性材料の安全性は、ミーゼス応力よりも最大主応力𝜎1と関連付けられる。

最小主応力は圧縮応力と接触応力を検証するために使用される。

最大せん断応力はねじりトルクが加えられた回転する部品の疲労破損強度を評価する時に使用。また、内部起点による軸受や歯車の接触疲労破損強度を計算する時に使用。

６．破損条件諸説（１）最大主応力説物体中に生ずる最大主応力が同じ材料の引張試験における最大応力（延性材料では降伏応力）に達すると破壊（延性材料では降伏）を生じる。主として脆性材料に適用されている。

（２）最大主ひずみ説物体中に生じる最大主ひずみが、同じ材料の引張試験における破壊時の主ひずみ（延性材料では降伏時の主ひずみ）に達した時、破壊（降伏）する。主として脆性材料に適用されている。

（３）最大せん断応力説延性材料では、その中に生じる最大せん断応力が同じ材料の引張試験において、降伏点におけるせん断応力に達した時、降伏する（例えば、軸のねじり強度）。

（４）全ひずみエネルギー説材料中に蓄えられる全ひずみエネルギーが、同じ材料の引張試験における降伏時のひずみエネルギーに達した時、降伏する。

（５）せん断ひずみエネルギー説（Von Mises応力）延性材料では、その中に蓄えられるせん断ひずみエネルギーが、同じ材料の引張試験において、降伏点で蓄えられるせん断ひずみエネルギーに達した時、降伏する。

軸の強度計算

（１）引張り荷重𝑷による応力：

１．軸の応力状態

（２）曲げモーメント𝑴による応力：

𝜎𝑃

𝜎𝑚𝑎𝑥

Ｍ Ｍ

T

d1d2

𝜏𝑚𝑎𝑥

𝜎𝑝 =4𝑃

𝜋(1 − 𝑛2)𝑑22

𝜎𝑚𝑎𝑥 =32𝑀

𝜋(1 − 𝑛4)𝑑23

𝜏𝑚𝑎𝑥 =16𝑇

𝜋(1 − 𝑛4)𝑑23

𝜎𝑏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑝 + 𝜎𝑚𝑎𝑥

=4𝑃

𝜋(1 − 𝑛2)𝑑22 +

32𝑀

𝜋(1 − 𝑛4)𝑑23

𝑛 =𝑑1𝑑2

（３）ねじりモーメント𝑻による応力：

（１） 𝑃：引張荷重

（２） 𝑇：ねじりモーメント（トルク）

（３） 𝑀：曲げモーメント

𝑑1：内径𝑑2：外径

三種類の荷重：

最大せん断応力𝜏𝑚𝑎𝑥

最大曲げ応力𝜎𝑏𝑚𝑎𝑥

２．軸の強度計算

[𝜎𝑎=許容曲げ応力]

[𝜏𝑎=許容せん断応力]（２）軸のねじり強度の評価：

（１）軸の曲げ強度の評価：

（３）座屈強度の評価：

主応力（𝜎1＞𝜎2＞𝜎3）の計算

最大せん断応力

a）圧縮荷重を受けない場合； b）細長いではない場合

一般的に行われない。特に次に示す場合には計算不要

𝜏𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜏𝑎

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝜎1 − 𝜎3

2

最大曲げ応力（𝜎𝑏𝑚𝑎𝑥）の計算

𝜎1 ≤ 𝜎𝑎

𝜎𝑏𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑎

強度計算法１：

強度計算法２：

３．軸のねじり剛性とたわみの計算

（１） 軸のねじり角：

（２） 軸のたわみ角及びたわみ量：

aii

a 「許容たわみ量」 歯車軸の場合には

「許容たわみ角」 歯車軸の場合には radia 1000/1

3000/1/ L

Ｌ

一回積分 二回積分

𝑇：ねじりモーメント𝐿：中空丸棒の長さ𝑀：曲げモーメント

𝑑1：内径； 𝑑2：外径

ねじり角の許容範囲： Τ𝜃 𝐿 ≤ Τ0.25°𝑚

𝑚：長さの単位（メートル）

𝜃 =32𝑇𝐿

𝜋𝐺(𝑑24 − 𝑑1

4)

（𝐼:断面二次モーメント）

𝐸𝐼𝜕2𝑦

𝜕𝑥2= −𝑀 𝑖 =

𝜕𝑦

𝜕𝑥𝛿 = 𝑦

４．トルクのみを受ける軸のねじり強度計算

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑇/𝑍𝑝

𝑇: 軸の伝達するトルク𝑍𝑝：軸の極断面係数 𝑍𝑝 =

𝜋𝑑3

16

𝜏𝑚𝑎𝑥 < 𝜏𝑎 (最大せん断応力＜許容せん断応力)

𝜏𝑎 : 軸材の許容せん断応力

例えば、𝑆50𝐶材の場合、𝜏𝑎 =36MPa (N/mm2)

（１）軸の最大せん断応力（材料力学）：

（２）軸のねじり強度の評価：

（キー溝の影響を無視する場合）

（材料疲労試験により求められた）

５．トルクのみを受ける軸のねじり強度計算

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑇/𝑍𝑝

𝑍𝑝 =𝜋𝑑3

16

𝜏𝑚𝑎𝑥

𝛾< 𝜏𝑎 （即ち、最大せん断応力＜許容せん断応力𝜏𝑎）

（１）キー溝なしの軸の最大せん断応力

（３）キー溝付きの軸のねじり強度の評価：

（キー溝の影響を考慮する場合）

（２）キー溝付きの軸の強度とキー溝なしの軸の強度の比𝛾（H.F. Mooreの実験式）

𝛾 = 1 − 0.2𝑏

𝑑− 1.1

𝑡

𝑑（１）

𝑑：軸の直径(mm）𝑏：キー溝の幅(mm)

𝑡：キー溝の深さ(mm)

d b

t

（材料力学の知識）

𝜏𝑎 : 軸材の許容せん断応力

キー溝付きの軸の応力集中率𝛼

応力集中率𝛼

６．機械装置における軸の構造

（１）普通の歯車装置における軸の構造 （２）遊星歯車装置における軸の構造

７．軸の形状設計及び各部分の役割

継手装着

継手装着

オイルシール装着

オイルシール装着

軸受装着

歯車装着軸受装着

軸受固定用側面 歯車固定用側面 軸受固定用側面

寸法精度要求：H6 or H7 幾何精度要求：同芯（軸）度、真円度、真直度；表面性状要求：Ｒａ3.2 or Ra0.8 オイルシールリップ接触面:研磨熱処理要求：調質

８．有限要素法（FEM）による軸強度の計算（SolidWorksによる軸の最大せん断応力or Von Mises応力を求める）

（１）FEMの要素分割パターン

（２）Von Mises応力分布のコンター図

機械設計に必要な材料知識

１．機械部品に常用する金属材料鋼材 記号 C Mn Ni Cr Mo

機械構造用炭素鋼 S45C 0.45 0.60-0.90

マンガン鋼 SMｎ438 0.38 1.35-1.65

ニッケルクロム鋼 SNC631 0.31 0.35-0.65 2.50-3.00 0.60-1.00

ニッケルクロムモリブテン鋼

SNCM439 0.39 0.60-0.90 1.60-2.00 0.60-1.00 0.15-0.30

クロム鋼 Scr440 0.40 0.60-0.85 0.90-1.20

クロムモリブデン鋼 SCM435 0.35 0.60-0.85 0.90-1.20 0.15-0.30

ステンレス鋼 SUS420 0.26-0.40 1.0以下 12.0-14.0

高炭素クロム軸受鋼 SUJ2 0.95-1.10 0.5以下 1.30-1.60

炭素工具鋼 SK4 0.90-1.0 0.5以下

鍛鋼 SF45.50

鋳鋼 FC、FCD

ハダ焼鋼

SCM (S:Steel; C:Chromium; M:Molybdenum)； SCr (S:Steel; C:Chromium)；SNC (S:Steel; N:Nickel C:Chromium)； SNCM (S:Steel; N:Nickel C:Chromium; M:Molybdenum)

FCD (F:Ferrum; C:Casting; D:Ductile)

２．金属材料の炭素含有量と焼き入れ硬さの関係

種類・記号

炭素含有量（C%）

焼入れ硬度（水）

種類・記号

炭素含有量（C%）

焼入れ硬度（水）

機械構造用炭素鋼鋼材

S10C 0.08～0.13 S35C 0.32～0.38 49-56

S12C 0.10～0.15 S38C 0.35～0.41 51-57

S15C 0.13～0.18 S40C 0.37～0.43 52-59

S17C 0.15～0.20 S43C 0.40～0.46 53-60

S20C 0.18～0.23 S45C 0.42～0.48 54-60

S22C 0.20～0.25 S48C 0.45～0.51 55-61

S25C 0.22～0.28 S50C 0.47～0.53 57-62

S28C 0.25～0.31 S53C 0.50～0.56 60-63

S30C 0.27～0.33 S55C 0.52～0.58 60-63

S33C 0.30～0.36 S58C 0.55～0.61 60-63

３．鋳物FCとFCDについて

FC ねずみ鋳鉄 FCD ダクタイル鋳鉄

JIS規格の鋳鉄種類

FC200FC250FC300FC350

FC100FC150

FCD450FCD500FCD600FCD1200

FCD370，400FCD700，800

強さ 弱い 強い

脆性 脆い ねばい

加工性 良い 悪い

減衰率 高い 低い

黒鉛（こくえん）形状 片状黒 球状黒鉛

球状黒鉛鋳鉄 (Ferrum Casting Ductile)

（１） FCとFCDの組織比較

片状黒鉛（炭素）

球状黒鉛（炭素）

出典：洲崎鋳工㈱

鋳物の黒鉛組織

FC（片状黒鉛＝炭素） FCD（球状黒鉛＝炭素）

（２） FCとFCDの強度比較

記号

引張強さ 耐力伸び％

ブリネル硬さHBN/mm2 Kgf/mm2 N/mm2 Kgf/mm2

FC200 200以上 20以上 223以下

FC250 250以上 25以上 241以下

FC300 300以上 31以上 262以下

FC350 350以上 36以上 277以下

FCD450 450以上 46以上 280以上 29以上 10以上 143～217

FCD500 500以上 51以上 320以上 33以上 7以上 170～241

FCD600 600以上 61以上 370以上 38以上 3以上 192～269

JIS規格 G5501(1989) G5502(1989)

ロックウェル

ビッカース

４．金属材料の表面硬度の評価法

ブリネル

HRC

HV

HB

圧子形状 硬さ算出法

押込み

測定方法 適用材料

球（一般に10 mm

を使用）

頂角136°四角錐

頂角120°円錐（先端0.3 mm）または鋼球（∅1.5875 mm）

圧痕表面積で試験荷重を割って算出

試験荷重を加えた後、基準荷重に戻したときのくぼみの深さの差h

HR*＝100-500h (HRA,HRD,HRC)

圧痕表面積で試験荷重を割って算出

押込み

押込み 鋳物用

鋼材

鋼材

ロックウェル ビッカース ブリネルHRC HV HB

鋳物用

硬度測定機