Chöông 1

Baøi taäp

Baøi 1. Ñònh nghóa bieán ñoåi daây chuyeàn giöõa caùc phöùc; khaùi nieäm ñoàng luaân daâychuyeàn; khaùi nieäm töông ñöông daây chuyeàn; khaùi nieäm töông ñöông ñoàng luaân. Chof, g : X → X ′ laø caùc bieán ñoåi daây chuyeàn ñoàng luaân daây chuyeàn vôùi nhau. Haõy chöùngminh vôùi moãi n ∈ Z ta coù:

Hn(f) = Hn(g) : Hn(X)→ Hn(X ′)

Neáu f : X → X ′ laø moät töông ñöông daây chuyeàn thì vôùi moãi n ∈ Z, ñoàng caáuHn(f) : Hn(X)→ Hn(X ′) laø ñaúng caáu.

Giaûi.

1. Khaùi nieäm bieán ñoåi daây chuyeàn:Cho X = {Xn, ∂n} vaø X ′ = {X ′

n, ∂′n} laø caùc phöùc. Moät bieán ñoåi daây chuyeàn

f : X → X ′ laø hoï caùc ñoàng caáu {fn : Xn → X ′n}n∈Z sao cho

∂′nfn = fn−1∂n ,∀n ∈ Z

Ñieàu kieän naøy töông ñöông vôùi bieåu ñoà sau ñaây giao hoaùn

X : · · · ←−−− Xn−1∂n←−−− Xn

∂n+1←−−− Xn+1 ←−−− · · ·

fn−1

y fn

y fn+1

y

X ′ : · · · ←−−− X ′n−1

∂′n←−−− X ′

n

∂′n+1←−−− X ′

n+1 ←−−− · · ·

2. Khaùi nieäm ñoàng luaân daây chuyeàn:Cho caùc bieán ñoåi daây chuyeàn f, g : X → X ′ töø phöùc X = {Xn, ∂n} tôùi phöùcX ′ = {X ′

n, ∂′n}. Hoï caùc ñoàng caáu s = {sn : Xn → X ′

n+1}n∈Z ñöôïc goïi laø moät

1

ñoàng luaân daây chuyeàn giöõa hai bieán ñoåi daây chuyeàn f, g neáu thoûa maõn ñieàukieän:

∂′n+1sn + sn−1∂n = fn − gn

Khi ñoù, ta vieát s : f w g

3. Khaùi nieäm töông ñöông daây chuyeàn:Cho X,X ′ laø caùc phöùc. Bieán ñoåi daây chuyeàn f : X → X ′ ñöôïc goïi laø moät töôngñöông daây chuyeàn neáu toàn taïi bieán ñoåi daây chuyeàn h : X ′ → X vaø caùc ñoàngluaân daây chuyeàn s : hf w 1X vaø t : fh w 1X ′ .

4. Khaùi nieäm töông ñöông ñoàng luaân:Hai phöùc X vaø X ′ maø coù moät töông ñöông daây chuyeàn giöõa chuùng f : X → X ′,ñöôïc goïi laø hai phöùc töông ñöông ñoàng luaân vôùi nhau vaø ta vieát: X w X ′.

5. Cho f, g : X → X ′ laø caùc bieán ñoåi daây chuyeàn ñoàng luaân daây chuyeàn vôùi nhau.Haõy chöùng minh vôùi moãi n ∈ Z ta coù:

Hn(f) = Hn(g) : Hn(X)→ Hn(X ′)

Theo giaû thieát, toàn taïi ñoàng luaân daây chuyeàn s = {sn} : f w g sao cho

∂′n+1sn + sn−1∂n = fn − gn

Ta coùHn(f),Hn(g) : Hn(X)→ Hn(X

′)

Hn(X) = ker∂n/im∂n+1 ; Hn(X ′) = ker ∂′n/im∂ ′

n+1

Vôùi moïi clsc ∈ Hn(X), ta coù c ∈ ker ∂n ⇒ ∂nc = 0 ⇒ fnc − gnc ∈ im∂ ′n+1. Do

ñoù clsfnc=clsgnc trong Hn(X ′). Suy ra

Hn(f)(clsc) = clsfnc = clsgnc = Hn(g)(clsc) ,∀clsc ∈ Hn(X)

Vì vaäy Hn(f) = Hn(g) ,∀n ∈ Z.

6. Neáu f : X → X ′ laø moät töông ñöông daây chuyeàn thì vôùi moãi n ∈ Z, ñoàng caáuHn(f) : Hn(X)→ Hn(X ′) laø ñaúng caáu.Do f laø töông ñöông daây chuyeàn neân toàn taïi bieán ñoåi daây chuyeàn g : X ′ → Xsao cho gf : X → X vaø fg : X ′ → X ′ laø ñoàng luaân daây chuyeàn vôùi caùc bieánñoåi ñoàng nhaát 1X : X → X vaø 1X ′ : X ′ → X ′. Khi ñoù, vôùi moãi n ∈ Z ta coù

Hn(g)Hn(f) = Hn(gf) = Hn(1X) = 1Hn(X)

Hn(f)Hn(g) = Hn(fg) = Hn(1X ′) = 1Hn(X ′)

Caùc heä thöùc naøy chöùng toû raèng Hn(f) laø ñaúng caáu.

2

Baøi 2. Trình baøy (khoâng chöùng minh) caùc böôùc cô baûn xaây döïng nhoùm Ext1(C,A) theohai phöông phaùp sau:

1. Phöông phaùp phaân hoaïch caùc daõy khôùp ngaén vaø ñöa vaøo taäp thöông pheùp coängBerô.

2. Phöông phaùp laáy ñoái ñoàng ñieàu cuûa moät pheùp giaûi xaï aûnh cuûa module C .

Haõy chöùng minh söï töông ñöông cuûa hai phöông phaùp treân.

Giaûi. * Xaây döïng nhoùm Ext1(C,A):

1. Phöông phaùp phaân hoaïch caùc daõy khôùp ngaén vaø ñöa vaøo taäp thöông pheùp coängBerô:Ta goïi moät môû roäng cuûa A nhôø C laø daõy khôùp ngaén caùc R−module vaø caùcR−ñoàng caáu:

E = (χ, σ) : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

Taäp hôïp caùc môû roäng cuûa A nhôø C ta seõ kyù hieäu laø £(C,A).Ñaàu tieân ta thöïc hieän söï phaân lôùp taäp £(C,A).Trong taäp £(C,A) cho hai môû roäng

E = (χ, σ) : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

vaøE′ = (χ′, σ′) : 0 −−−→ A′ χ′

−−−→ B′ σ′−−−→ C ′ −−−→ 0

Caáu xaï toaøn ñaúng giöõa E vaø E′ (neáu coù) laø boä ba caùc ñoàng caáu module Γ =(1A, β, 1C) : E → E′ laøm cho bieåu ñoà sau ñaây giao hoaùn

E : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

1A

y β

y 1C

y

E′ : 0 −−−→ A,χ′−−−→ B′ σ′

−−−→ C ′ −−−→ 0

Khi ñoù ta noùi E toaøn ñaúng vôùi E′, kyù hieäu laø E ≡ E′.Nhôø boå ñeà 5 ngaén ta deã daøng kieåm tra ñöôïc quan heä toaøn ñaúng treân £(C,A)laø quan heä töông ñöông. Do ñoù noù thöïc hieän söï phaân lôùp taäp £(C,A). Ta goïitaäp thöông cuûa £(C,A) theo quan heä toaøn ñaúng naøy laø Ext1(C,A). Ñoù chínhlaø taäp caùc lôùp toaøn ñaúng caùc lôùp môû roäng cuûa A nhôø C . Lôùp chöùa môû roäng Eta kyù hieäu laø E hoaëc ñôn giaûn laø E neáu khoâng sôï nhaàm laãn.Tieáp theo ta seõ trang bò cho Ext1(C,A) moät pheùp toaùn coäng ñeå noù trôû thaønh

3

nhoùm Abel. Ñeå laøm ñöôïc ñieàu naøy tröôùc tieân ta caàn ñöa ra caùc ñònh nghóa veàtích beân traùi vaø tích beân phaûi cuûa moät môû roäng vôùi moät ñoàng caáu.Ñònh nghóa: Cho E : 0 −−−→ A

χ−−−→ Bσ−−−→ C −−−→ 0 laø moät môû roäng

cuûa A nhôø C vaø caùc ñoàng caáu α : A→ A′, γ : C ′ → C .

• Môû roäng Eγ : 0 −−−→ Aχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ C ′ −−−→ 0 ñöôïc goïi laø tíchbeân phaûi cuûa môû roäng E vaø ñoàng caáu γ neáu toàn taïi caáu xaï Γγ = (1A, β, γ) :Eγ → E sao cho bieåu ñoà sau ñaây giao hoaùn

Eγ : 0 −−−→ Aχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ C ′ −−−→ 0

1A

y β

y γ

yE : 0 −−−→ A

χ−−−→ Bσ−−−→ C −−−→ 0

• Môû roäng αE : 0 −−−→ A′ χ′−−−→ B′ σ′

−−−→ C −−−→ 0 ñöôïc goïi laø tíchbeân traùi cuûa môû roäng E vaø ñoàng caáu α neáu toàn taïi caáu xaï Γα = (α, β, 1C) :E → αE sao cho bieåu ñoà sau ñaây giao hoaùn

E : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

α

y β

y 1C

y

αE : 0 −−−→ A′ χ′−−−→ B′ σ′

−−−→ C −−−→ 0

Meänh ñeà:

• Cho tröôùc môû roäng E vaø caùc ñoàng caáu α : A → A′, γ : C ′ → C . Khi ñoùcaùc môû roäng Eγ, αE luoân luoân toàn taïi duy nhaát chính xaùc tôùi moät toaønñaúng vaø (αE)γ ≡ α(Eγ).

• Cho caùc môû roäng E,E′. Khi ñoù moïi caáu xaï Γ = (α, β, γ) : E → E′ ñeàucho ta toaøn ñaúng αE ≡ E′γ .

• Cho caùc môû roäng E1, E2 vaø caùc ñoàng caáu α1 : A1→ A′1, α2 : A2→ A′

2, γ1 :C ′

1 → C1, γ2 : C ′2→ C2. Khi ñoù

(α1 ⊕ α2)(E1 ⊕ E2) ≡ α1E1 ⊕ α2E2

(E1 ⊕ E2)(γ1 ⊕ γ2) ≡ E1γ1 ⊕ E2γ2

• Cho môû roäng E . Khi ñoù

4AE ≡ (E ⊕ E)4C ; E∇C ≡ ∇A(E ⊕ E)

4

Ñònh nghóa: Ta noùi môû roäng

E : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

laø môû roäng töï phaân raõ neáu noù toaøn ñaúng vôùi môû roäng:

0 −−−→ Ai1−−−→ A⊕ C

p2−−−→ C −−−→ 0

Vôùi baát kyø môû roäng E = (χ, σ), caùc môû roäng χE,Eσ laø töï phaân raõ.Baây giôø cho E1, E2, E

′1, E

′2 laø caùc môû roäng cuûa A nhôø C sao cho E1 ≡ E′

1, E2 ≡E′

2. Ta deã daøng kieåm tra ñöôïc E1 ⊕ E2 ≡ E′1 ⊕ E′

2 vaø do ñoù theo caùc keát quaûveà tích beân traùi vaø beân phaûi cuûa moät môû roäng vaø moät ñoàng caáu ta seõ ñöôïc

∇A(E1 ⊕ E2)4C ≡ ∇A(E′1 ⊕ E′

2)4C

nhôø vaäy maø tính hôïp lyù cuûa pheùp coäng ta ñöa ra döôùi ñaây ñöôïc ñaûm baûo.Ñònh nghóa pheùp coäng Berô: Cho E1, E2 ∈ Ext1(C,A). Toång cuûa E1 vaø E2,kyù hieäu E1 + E2 ñöôïc cho bôûi coâng thöùc:

E1 + E2 = ∇A(E1 ⊕ E2)4C

Theo caùch trang bò pheùp coäng cho Ext1(C,A) nhö treân thì Ext1(C,A) trôûthaønh moät nhoùm Abel vôùi phaàn töû trung hoøa laø lôùp caùc môû roäng töï phaân raõ

E0 : 0 −−−→ Ai1−−−→ A⊕ C

p2−−−→ C −−−→ 0

Phaàn töû ñoái cuûa E ∈ Ext1(C,A) laø lôùp caùc môû roäng (−1A)E .

2. Phöông phaùp laáy ñoái ñoàng ñieàu cuûa moät pheùp giaûi xaï aûnh cuûa module C .Cho C laø moät R−moâdun tuøy yù. Ta goïi pheùp giaûi cuûa C laø moät daõy khôùp caùcR−moâdun vaø caùc R−ñoàng caáu

(X, ε) : · · · → Xn∂n−−−→ Xn−1 → · · · → X1

∂1−−−→ X0ε−−−→ C → 0 (1.1)

Noùi rieâng, neáu Xn laø moâdun töï do (töông öùng moâdun xaï aûnh) vôùi moïi n ≥ 0thì (1.1) ñöôïc goïi laø pheùp giaûi töï do (töông öùng pheùp giaûi xaï aûnh) cuûa moâdun C .

Meänh ñeà 1. Moïi moâdun C ñeàu coù moät pheùp giaûi töï do.

Meänh ñeà 2 (Ñònh lyù so saùnh). Cho ñoàng caáu h : A→ B.

(X, ε) : · · · → Xn∂n−−−→ Xn−1 → · · · → X1

∂1−−−→ X0ε−−−→ A→ 0

5

laø moät pheùp giaûi xaï aûnh baát kyø cuûa A.

(Y, ε′) : · · · → Yn∂′

n−−−→ Yn−1 → · · · → Y1∂′1−−−→ Y0

ε′−−−→ B → 0

laø moät pheùp giaûi baát kyø cuûa moâdun B. Khi ñoù, toàn taïi caùc ñoàng caáu

fn : Xn → Yn; n ≥ 0

sao cho bieåu ñoà sau ñaây laø giao hoaùn

· · · −−−→ Xn∂n−−−→ Xn−1 −−−→ · · · −−−→ X1

∂1−−−→ X0ε−−−→ A −−−→ 0

fn

y fn−1

y f1

y f0

y h

y

· · · −−−→ Yn∂′

n−−−→ Yn−1 −−−→ · · · −−−→ Y1

∂′1−−−→ Y0

ε′−−−→ B −−−→ 0

Caùc ñoàng caáu fn, n ≥ 0 vaø h laäp thaønh moät pheùp bieán ñoåi daây chuyeàn f :(X, ε)→ (Y, ε′).Neáu g : (X, ε) → (Y, ε′) cuõng laø moät pheùp bieán ñoåi daây chuyeàn thì f vaø g töôngñöông ñoàng luaân vôùi nhau.

Meänh ñeà 3. Hai pheùp giaûi xaï aûnh baát kyø cuûa cuøng moät moâdun A laø töông ñöôngñoàng luaân.

Cho A,C laø caùc R−moâdun vaø

X : · · · → Xn∂n−−−→ Xn−1 → · · · → X1

∂1−−−→ X0ε−−−→ C → 0

laø pheùp giaûi xaï aûnh cuûa C . Phöùc thu goïn töông öùng vôùi X laø

X : · · · → Xn∂n−−−→ Xn−1 → · · · → X1

∂1−−−→ X0 −−−→ 0

Xeùt daõy nöûa khôùp sau

Hom(X,A) : 0 −−−→ Hom(X0, A)δ0

−−−→ Hom(X1, A) −−−→ · · ·

· · · −−−→ Hom(Xn−1, A)δn−1

−−−→ Hom(Xn, A) −−−→ · · ·

trong ñoù caùc ñoàng caáu δn = (−1)n+1∂∗n+1; ∀n ≥ 0.

Vôùi moïi soá töï nhieân n, nhoùm ñoái ñoàng ñieàu Hn(Hom(X,A)) = kerδn/imδn−1

ñöôïc goïi laø môû roäng baäc n cuûa caùc moâdun A,C . Nghóa laø, ta coù

Extn(C,A) = Hn(Hom(X,A))

6

Ñònh nghóa môû roäng baäc n Extn(C,A) naøy laø hôïp lyù bôûi vì caùc nhoùm ñoái ñoàngñieàu Hn(Hom(X,A)) khoâng phuï thuoäc vaøo caùch choïn pheùp giaûi xaï aûnh cuûamoâdun C .Thaät vaäy, neáu Y cuõng laø moät pheùp giaûi xaï aûnh cuûa C thì theo meänh ñeà (2.2.3)ta suy ra X w Y , do ñoù Hom(X,A) w Hom(Y , A), suy ra

Hn(Hom(X,A)) ∼= Hn(Hom(Y , A))

Vaäy ta ñaõ xaây döïng ñöôïc nhoùm Ext1(C,A) = H1(Hom(X,A)) = kerδ1/imδ0

* Chöùng minh söï töông ñöông cuûa hai phöông phaùp treân:

Meänh ñeà 4. Neáu A,C laø caùc R−module vaø ε : X → C laø moät pheùp giaûi xaï aûnh cuûaC , thì toàn taïi ñaúng caáu

ξ : Ext1(C,A) ∼= H1(Hom(X,A))

Chöùng minh. Laáy moät môû roäng cuûa A nhôø C

E = (χ, σ) : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

Ta xem E nhö laø moät pheùp giaûi cuûa C vaø laáy g : X → E laø moät bieán ñoåi daây chuyeàntreo treân 1C . Ta coù bieåu ñoà sau ñaây giao hoaùn

X :· · · −−−→ X2∂2−−−→ X1

∂1−−−→ X0ε−−−→ C −−−→ 0

g

y g2

y g1

y g0

yy1C

E :· · · −−−→ 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

Ta coù

δ1 : Hom(X1, A)→ Hom(X2, A) ; δ0 : Hom(X0, A)→ Hom(X1, A)

H1(Hom(X,A)) = ker δ1/imδ0

Töø tính giao hoaùn cuûa bieåu ñoà treân ta coù

g1 ∈ Hom(X1, A) ; δ1(g1) = (−1)2∂∗2(g1) = g1∂2 = 0

Suy ra g1 ∈ ker δ1⇒ clsg1 ∈ H1(Hom(X,A)). Vôùi moãi clsE ∈ Ext1(C,A) ta ñaët

ξ(clsE) = clsg1 ∈ H1(Hom(X,A))

7

Ta chæ ra ξ ñöôïc ñònh nghóa moät caùch hôïp lyù.Neáu thay g bôûi moät bieán ñoåi daây chuyeàn khaùc g′ treo treân 1C . Theo ñònh lyù so saùnh,toàn taïi moät ñoàng luaân daây chuyeàn s = {sn} sao cho

0s1 + s0∂1 = g′1 − g1 ⇒ g′

1 − g1 = (−1)δ0(s0) ∈ imδ0⇒ clsg1 = clsg′1

Neáu thay E bôûi E′ ≡ E thì toàn taïi caáu xaï toaøn ñaúng Γ = (1A, β, 1C) : E → E′. Khiñoù Γg : X → E′ laø moät bieán ñoåi daây chuyeàn töø X tôùi E′ treo treân 1C vaø thoûa maõn(Γg)1 = 1Ag1 = g1 . Suy ra ξ(clsE′) = cls(Γg)1 = clsg1 = ξ(clsE).Thay cho vieäc chöùng minh tröïc tieáp ξ laø ñaúng caáu, ta seõ ñi xaây döïng ñoàng caáu ngöôïccuûa ξ. Ta phaân tích ñoàng caáu ∂1 : X1 → X0 thaønh

∂1 = χ∂ ′ : X1∂′−−−→ im∂1

χ−−−→ X0

trong ñoù χ laø pheùp nhuùng vaø ∂′(x) = ∂1(x),∀x ∈ X1 . Ta seõ thu ñöôïc daõy khôùp ngaén

E : 0 −−−→ im∂1χ−−−→ X0

ε−−−→ C −−−→ 0

Daõy khôùp ngaén naøy ñöôïc nhuùng vaøo bieåu ñoà sau ñaây:

· · · −−−→ X2∂2−−−→ X1

∂′

yE : 0 −−−→ im∂1

χ−−−→ X0ε−−−→ C −−−→ 0

h

yy

∥∥∥hE : 0 −−−→ A −−−→ B −−−→ C −−−→ 0

Vôùi moãi clsg ∈ H1(Hom(X,A)) = ker δ1/imδ0, ta coù

g ∈ ker δ1⇒ δ1(g) = 0⇒ g∂2 = 0

Suy ra im∂2 ⊂ ker g ⇒ ker ∂1 ⊂ ker g. Xeùt töông öùng

h : im∂1→ A ; y 7→ g(x), x ∈ (∂1)−1(y)

Deã daøng kieåm tra, h laø aùnh xaï.Thaät vaäy, neáu x1, x2 ∈ (∂1)

−1(y) thì x1 − x2 ∈ ker∂1 ⊂ ker g ⇒ g(x1) = g(x2).Baèng caùch choïn phaàn töû ñaïi dieän thích hôïp, ta cuõng seõ chæ ra ñöôïc h laø moät ñoàngcaáu. Hôn nöõa, ta coøn coù g = h∂ ′. Ta xaây döïng tích môû roäng hE vaø ñònh nghóaη : H1(Hom(X,A))→ Ext1(C,A) nhö sau

η(clsg) = η(cls(h∂ ′)) = cls(hE)

8

Ñònh nghóa naøy laø hôïp lyù, thaät vaäy, neáu clsg = clsg′ thì g − g′ = (h− h′)∂′ ∈ imδ0,khi ñoù toàn taïi k ∈ Hom(X0, A) sao cho (h− h′)∂′ = δ0(k) = −k∂1 = −kχ∂ ′.Do ∂′ laø toaøn caáu neân h− h′ = −kχ. Ta ñaõ bieát χE laø môû roäng töï phaân raõ. Suy rahE − h′E ≡ (h− h′)E ≡ −kχE ≡ 0⇒ hE ≡ h′E , hay cls(hE) = cls(h′E). Vaäy η laøaùnh xaï.Hôn nöõa, ta coù η cuõng laø ñoàng caáu nhoùm.Thaät vaäy, vôùi moïi clsg1, clsg2 ∈ H1(Hom(X,A)), ta coù

η(clsg1 + clsg2) = η(cls(g1 + g2)) = η(cls(h1 + h2)∂′) = cls(h1 + h2)E

= cls(h1E) + cls(h2E) = η(clsg1) + η(clsg2)

Cuoái cuøng, ta coù ηξ : Ext1(C,A)→ Ext1(C,A), vôùi moïi clsE ∈ Ext1(C,A), thì

ηξ(clsE) = η(clsg1) = clsE ⇒ ηξ = 1Ext1(C,A)

Töông töï ξη : H1(Hom(X,A))→ H1(Hom(X,A)), vôùi moïi clsg ∈ H1(Hom(X,A)),ta coù

ξη(clsg) = ξ(cls(hE)) = clsg ⇒ ξη = 1H1(Hom(X,A))

Baøi 3. Cho daõy khôùp ngaén

E : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

vaø ñoàng caáu α : A→ X .

1. Haõy xaây döïng daõy khôùp tích αE vaø chöùng toû söï toàn taïi duy nhaát chính xaùc tôùimoät toaøn ñaúng cuûa daõy khôùp αE.

2. Chöùng minh raèng toàn taïi ñoàng caáu β : B → X thoûa βχ = α ⇔ daõy khôùp ngaénαE laø cheû.

Giaûi. 1.Ñònh nghóa: Tích beân traùi cuûa môû roäng E vaø ñoàng caáu α : A→ X laø môû roäng

E′ : 0 −−−→ Xχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ C −−−→ 0

neáu toàn taïi caáu xaï Γ = (α, β, 1C) : E → E′ sao cho bieåu ñoà sau ñaây giao hoaùn

E : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

α

y β

y 1C

y

E′ : 0 −−−→ Xχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ C −−−→ 0

(1.2)

9

Kyù hieäu E′ = αE .Söï toàn taïi: Ñeå chöùng minh söï toàn taïi cuûa môû roäng αE ta caàn tìm module B′ vaø caùcñoàng caáu χ′ : X → B′, σ′ : B′ → C, β : B → B′ sao cho bieåu ñoà (1.2) giao hoaùn vaødoøng döôùi laø khôùp. Goïi

N = {(−α(a), χ(a)) : a ∈ A}

Khi ñoù N laø module con cuûa module toång tröïc tieáp X ⊕ B . Laáy B′ = (X ⊕ B)/N .Ta xaây döïng caùc ñoàng caáu χ′, σ′, β nhö sau:

β(b) = (0, b) + N ,∀b ∈ B

χ′(x) = (x, 0) + N ,∀x ∈ X

σ′((x, b) + N) = σ(b) ,∀(x, b) + N ∈ B′

Bieåu ñoà (1.2) laø giao hoaùn. Thaäy vaäy, ta coù:

• ∀a ∈ A:βχ(a) = β(χ(a)) = (0, χ(a)) + N

χ′α(a) = χ′(α(a)) = (α(a), 0) + N

Vì (0, χ(a))− (α(a), 0) = (−α(a), χ(a)) ∈ N neân (0, χ(a))+N = (α(a), 0)+N .Do ñoù βχ(a) = χ′α(a). Vaäy βχ = χ′α.

• ∀b ∈ B:σ′β(b) = σ′(β(b)) = σ′((0, b) + N) = σ(b)

Suy ra σ′β = 1Cσ.

Doøng döôùi trong bieåu ñoà (1.2) laø khôùp. Thaät vaäy, ta coù:

• χ′ laø ñôn caáu:

kerχ′ = {x ∈ X : (x, 0) + N = N} = {x ∈ X : (x, 0) ∈ N}

Neáu (x, 0) ∈ N thì toàn taïi a ∈ A sao cho x = −α(a) vaø 0 = χ(a). Vì χ laø ñôncaáu neân a = 0, suy ra x = 0. Do ñoù kerχ′ = 0

• σ′ laø toaøn caáu: Vì σ laø toaøn caáu neân ∀c ∈ C : ∃b ∈ B sao cho c = σ(b). Khi ñoù∃(0, b) + N ∈ B′ : σ′[(0, b) + N ] = σ(b) = c.

• kerσ′ = imχ′

* ∀a ∈ A : σ′χ′(a) = σ′[(a, 0) + N ] = σ(0) = 0⇒ σ′χ′ = 0⇒ imχ′ ⊂ kerσ′.

10

* Laáy (x, b) + N ∈ kerσ′, khi ñoù σ(b) = 0 ⇒ b ∈ kerσ = imχ. Suy ra∃a ∈ A : b = χ(a). Do ñoù

(x, b) + N = (x, 0) + N + (0, b) + N = χ′(x) + β(b)

= χ′(x) + βχ(a) = χ′(x) + χ′α(a) = χ′[x + α(a)]

Suy ra (x, b) + N ∈ imχ′⇒ kerσ′ ⊂ imχ′

Söï duy nhaát: Neáu coù môû roäng

E′′ : 0 −−−→ Xχ′′−−−→ B′′ σ′′

−−−→ C −−−→ 0

sao cho E′′ = αE , töùc laø toàn taïi caáu xaï Γ′ = (α, β ′, 1C) : E → E′′ sao cho bieåu ñoà sauñaây giao hoaùn

E : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

α

y β′

y 1C

y

E′′ : 0 −−−→ Xχ′′−−−→ B′′ σ′′

−−−→ C −−−→ 0

thì khi ñoù ta phaûi coù E′ ≡ E′′. Thaät vaäy, ta caàn xaây döïng ñoàng caáu β ′′ : B′ → B′′

sao cho bieåu ñoà sau ñaây giao hoaùn

E′ : 0 −−−→ Xχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ C −−−→ 0

1X

y β′′

y 1C

y

E′′ : 0 −−−→ Xχ′′−−−→ B′′ σ′′

−−−→ C −−−→ 0

(1.3)

Ta xaây döïng β ′′ : B′ → B′′ nhö sau:

∀(x, b) + N ∈ B′ : β ′′[(x, b) + N ] = χ′′(x) + β ′(b)

Vôùi caùch xaây döïng nhö vaäy thì β ′′ laø aùnh xaï bôûi vì neáu (x, b) + N = (x′, b′) + N thì(x− x′, b− b′) ∈ N , suy ra ∃a ∈ A : x− x′ = −α(a) vaø b− b′ = χ(a). Do ñoù

χ′′(x− x′) = −χ′′α(a) vaø β ′(b− b′) = β ′χ(a)

Vì χ′′α = β ′χ neân ta coù

χ′′(x)− χ′′(x′) + β ′(b)− β ′(b′) = 0

⇒ χ′′(x) + β ′(b) = χ′′(x′) + β ′(b′)

⇒ β ′′[(x, b) + N ] = β ′′[(x′, b′) + N ]

Do χ′′, β′ laø caùc ñoàng caáu neân β ′′ laø ñoàng caáu.Bieåu ñoà (1.3) laø giao hoaùn, thaät vaäy:

11

• ∀x ∈ X :

β ′′χ′(x) = β ′′(χ′(x)) = β ′′[(x, 0) + N ] = χ′′(x) + β ′(0) = χ′′(x)

⇒ β ′′χ′ = χ′′1X

• ∀(x, b) + N ∈ B′ :

σ′′β ′′[(x, b) + N ] = σ′′χ′′(x) + σ′′β ′(b) = σ′′β ′(b) = σ(b) = σ′[(x, b) + N ]

⇒ σ′′β ′′ = 1Cσ′

Vaäy Γ0 = (1X , β′′, 1C) : E′ → E′′ laø caáu xaï toaøn ñaúng töø E′ vaøo E′′.Suy ra E′ ≡ E′′.2. Chöùng minh raèng toàn taïi ñoàng caáu β : B → X thoûa βχ = α ⇔ daõy khôùp ngaénαE laø cheû.Ta coù daõy khôùp ngaén

αE : 0 −−−→ Xχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ C −−−→ 0

laø cheû⇔ X laø module noäi xaï⇔ moïi ñôn caáu χ : A→ B vaø moïi ñoàng caáu α : A→ Xñeàu toàn taïi ñoàng caáu β : B → X sao cho βχ = α.

Baøi 4. Cho daõy khôùp ngaén

E : 0 −−−→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ C −−−→ 0

vaø ñoàng caáu γ : X → C .

1. Haõy xaây döïng daõy khôùp tích Eγ vaø chöùng toû söï toàn taïi duy nhaát chính xaùc tôùimoät toaøn ñaúng cuûa daõy khôùp Eγ.

2. Chöùng minh raèng toàn taïi ñoàng caáu β : X → B thoûa σβ = γ ⇔ daõy khôùp ngaénEγ laø cheû.

Giaûi. 1.Ñònh nghóa: Tích beân phaûi cuûa môû roäng E vaø ñoàng caáu γ : X → C laø môû roäng

E′ : 0 −−−→ Aχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ X −−−→ 0

neáu toàn taïi caáu xaï Γ = (1A, β, γ) : E′ → E sao cho bieåu ñoà sau ñaây giao hoaùn

E′ : 0 −−−→ Aχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ X −−−→ 0

1A

y β

y γ

yE : 0 −−−→ A

χ−−−→ Bσ−−−→ C −−−→ 0

(1.4)

12

Kyù hieäu E′ = Eγ .Söï toàn taïi: Ñeå chöùng minh söï toàn taïi cuûa môû roäng Eγ ta caàn tìm module B′ vaø caùcñoàng caáu χ′ : A→ B′, σ′ : B′ → X, β : B′ → B sao cho bieåu ñoà (1.4) giao hoaùn vaødoøng treân laø khôùp. Laáy

B′ = {(b, x) : σ(b) = γ(x)} ⊂ B ⊕X

Khi ñoù B′ laø module con cuûa module toång tröïc tieáp B ⊕X . Ta choïn caùc ñoàng caáuσ′, β laø caùc pheùp chieáu töø module B′ xuoáng caùc module thaønh phaàn X vaø B töôngöùng, cuï theå nhö sau:

β : B′ → B ; (b, x) 7→ b

σ′ : B′ → X ; (b, x) 7→ x

Ñoàng caáu χ′ ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

χ′ : A→ B′ ; a 7→ (χ(a), 0)

Bieåu ñoà (1.4) laø giao hoaùn. Thaäy vaäy, ta coù:

• ∀a ∈ A:βχ′(a) = β[(χ(a), 0)] = χ(a)

⇒ βχ′ = χ1A

• ∀(b, x) ∈ B′:σβ[(b, x)] = σ(b) = γ(x) = γσ′[(b, x)]

⇒ σβ = γσ′

Doøng treân trong bieåu ñoà (1.4) laø khôùp. Thaät vaäy, ta coù:

• χ′ laø ñôn caáu:

kerχ′ = {a ∈ A : (χ(a), 0) = (0, 0)} = {a ∈ A : χ(a) = 0} = kerχ = 0

• σ′ laø toaøn caáu:∀x ∈ X : γ(x) ∈ C . Vì σ laø toaøn caáu neân ∃b ∈ B sao cho σ(b) = γ(x).Khi ñoù ∃(b, x) ∈ B′ : σ′[(b, x)] = x.

• kerσ′ = imχ′

* ∀a ∈ A : σ′χ′(a) = σ′[(χ(a), 0)] = 0⇒ σ′χ′ = 0⇒ imχ′ ⊂ kerσ′.

13

* Laáy (b, x) ∈ kerσ′ ⊂ B′. Khi ñoù, ta coù

σ′[(b, x)] = 0⇒ x = 0⇒ σ(b) = γ(0) = 0⇒ b ∈ kerσ = imχ

Suy ra ∃a ∈ A : b = χ(a) vaø khi ñoù χ′(a) = (χ(a), 0) = (b, 0) = (b, x).⇒ (b, x) ∈ imχ′⇒ kerσ′ ⊂ imχ′

Söï duy nhaát: Neáu coù môû roäng

E′′ : 0 −−−→ Aχ′′−−−→ B′′ σ′′

−−−→ X −−−→ 0

sao cho E′′ = Eγ , töùc laø toàn taïi caáu xaï Γ′ = (1A, β′, γ) : E′′ → E sao cho bieåu ñoà sauñaây giao hoaùn

E′′ : 0 −−−→ Aχ′′−−−→ B′′ σ′′

−−−→ X −−−→ 0

1A

y β′

y γ

yE : 0 −−−→ A

χ−−−→ Bσ−−−→ C −−−→ 0

thì khi ñoù ta phaûi coù E′′ ≡ E′. Thaät vaäy, ta caàn xaây döïng ñoàng caáu β ′′ : B′′ → B′

sao cho bieåu ñoà sau ñaây giao hoaùn

E′′ : 0 −−−→ Aχ′′−−−→ B′′ σ′′

−−−→ X −−−→ 0

1A

y β′′

y 1X

y

E′ : 0 −−−→ Aχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ X −−−→ 0

(1.5)

Ta xaây döïng β ′′ : B′′ → B′ nhö sau:

∀b′′ ∈ B′′ : β ′′(b′′) = (β ′(b′′), σ′′(b′′))

Ñònh nghóa treân laø hôïp lyù. Thaät vaäy, ta coù

σ(β ′(b′′)) = σβ ′(b′′) = γσ′′(b′′) = γ(σ′′(b′′))

⇒ (β ′(b′′), σ′′(b′′)) ∈ B′

Do β ′, σ′′ laø caùc ñoàng caáu neân β ′′ laø ñoàng caáu.Bieåu ñoà (1.5) laø giao hoaùn, thaät vaäy:

• ∀a ∈ A :β ′′χ′′(a) = (β ′χ′′(a), σ′′χ′′(a)) = (χ(a), 0) = χ′(a)

⇒ β ′′χ′′ = χ′1A

14

• ∀b′′ ∈ B′′ :σ′β ′′(b′′) = σ′[β ′(b′′), σ′′(b′′)] = σ′′(b′′)

⇒ σ′β ′′ = 1Xσ′′

Vaäy Γ0 = (1X , β′′, 1C) : E′′ → E′ laø caáu xaï toaøn ñaúng töø E′′ vaøo E′.Suy ra E′′ ≡ E′.2. Chöùng minh raèng toàn taïi ñoàng caáu β : X → B thoûa σβ = γ ⇔ daõy khôùp ngaénEγ laø cheû.Ta coù daõy khôùp ngaén

Eγ : 0 −−−→ Aχ′−−−→ B′ σ′

−−−→ X −−−→ 0

laø cheû⇔X laø module xaï aûnh⇔ moïi toaøn caáu σ : B → C vaø moïi ñoàng caáu γ : X → Cñeàu toàn taïi ñoàng caáu β : X → B sao cho σβ = γ .

Baøi 5. Cho A laø nhoùm Abel höõu haïn vaø Q laø nhoùm coäng caùc soá höõu tyû. Chöùng minhraèng

ExtZ(A, Z) ∼= HomZ(A, Q/Z)

Giaûi. Xeùt daõy khôùp ngaén:

0 −−−→ Z i−−−→ Q p−−−→ Q/Z −−−→ 0

trong ñoù i vaø p laø caùc pheùp nhuùng vaø chieáu chính taéc. Taùc ñoäng caùc haøm töûHom(A,−) vaø Ext(A,−) leân daõy khôùp ngaén treân, ta thu ñöôïc daõy khôùp:

0 −−−→ Hom(A, Z)i∗−−−→ Hom(A, Q)

p∗−−−→ Hom(A, Q/Z)E∗−−−→

E∗−−−→ Ext(A, Z)i∗−−−→ Ext(A, Q)

p∗−−−→ Ext(A, Q/Z)

Do Q laø Z−module noäi xaï neân moïi môû roäng cuûa Q nhôø A ñeàu laø môû roäng cheû. Suyra Ext(A, Q) = 0.Do A laø nhoùm Abel höõu haïn neân Hom(A, Q) = 0. Thaät vaäy, neáu f ∈ Hom(A, Q)thì ∀a ∈ A ta coù f(a) = m/n ∈ Q. Vì A laø nhoùm Abel höõu haïn neân toàn taïi soánguyeân döông k sao cho ka = 0. Khi ñoù

0 = f(ka) = kf(a) = (km)/n⇒ km = 0⇒ m = 0

⇒ f(a) = 0 ,∀a ∈ A

Do ñoù daõy sau laø khôùp

0 −−−→ Hom(A, Q/Z)E∗−−−→ Ext(A, Z) −−−→ 0

Suy ra E∗ laø ñaúng caáu vaø ta thu ñöôïc

ExtZ(A, Z) ∼= HomZ(A, Q/Z)

15

Baøi 6. Cho A,C laø caùc module treân vaønh chính R. Chöùng minh raèng

Extn(C,A) = 0 ,∀n ≥ 2

Giaûi. Ta ñaõ bieát moïi module ñeàu ñaúng caáu vôùi module thöông cuûa moät module töïdo naøo ñoù. Do ñoù ta coù ñaúng caáu C ∼= F/M , trong ñoù F laø R−module töï do, M laømodule con cuûa F . Do R laø vaønh chính neân M laø module töï do. Suy ra daõy khôùp

X : · · · 0 −−−→ 0 −−−→ M −−−→ F −−−→ C −−−→ 0

laø moät pheùp giaûi töï do cuûa C vôùi caùc thaønh vieân taàm thöôøng taïi caùc chieàu lôùn hôn1. Phöùc thu goïn töông öùng vôùi X laø

X : · · · 0 −−−→ 0 −−−→ M −−−→ F −−−→ 0

Taùc ñoäng haøm töû Hom(−, A) leân phöùc X , ta thu ñöôïc daõy nöûa khôùp

Hom(X,A) : 0 −−−→ Hom(F,A) −−−→ Hom(M,A) −−−→ 0 −−−→ 0 · · ·

Suy ra Hn(Hom(X,A) = 0 ,∀n ≥ 2. Do ñoù Extn(C,A) = 0 ,∀n ≥ 2

Baøi 7. Cho daõy khôùp ngaén:

0 −−−→ Cχ−−−→ P

σ−−−→ C ′ −−−→ 0

trong ñoù P laø module xaï aûnh. Chöùng minh raèng vôùi moïi module A vaø vôùi moïi soánguyeân döông n ta luoân coù

Extn(C,A) ∼= Extn+1(C ′, A)

Giaûi.Caùch 1:AÙp duïng ñònh lyù veà daõy khôùp ñoái vôùi haøm töû Extn(−, A) ta thu ñöôïc daõykhôùp sau ñaây

· · · −−−→ Extn(P,A)χ∗−−−→ Extn(C,A)

E∗−−−→ Extn+1(C ′, A)

σ∗−−−→

σ∗−−−→ Extn+1(P,A) −−−→ · · ·

Do P laø module xaï aûnh neân Extn(P,A) = 0 ,∀n ≥ 1.Suy ra vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta coù daõy khôùp sau ñaây

0 −−−→ Extn(C,A)E∗−−−→ Extn+1(C ′, A) −−−→ 0

16

Do ñoù E∗ laø ñaúng caáu vaø ta coù Extn(C,A) ∼= Extn+1(C ′, A).Caùch 2: Laáy moät pheùp giaûi xaï aûnh cuûa C nhö sau:

X : · · · ∂n+1−−−→ Xn∂n−−−→ · · · ∂2−−−→ X1

∂1−−−→ X0ε−−−→ C −−−→ 0

Khi ñoù, ta cuõng coù ñöôïc moät pheùp giaûi xaï aûnh cuûa C ′ nhö sau:

X ′ : · · · ∂n+1−−−→ Xn∂n−−−→ · · · ∂2−−−→ X1

∂1−−−→ X0χε−−−→ P

ε′−−−→ C ′ −−−→ 0

Deã thaáy Hn+1(X ′, A) = Hn(X,A) ,∀n ≥ 1.Suy ra Extn+1(C ′, A) ∼= Extn(C,A) ,∀n ≥ 1.

Baøi 8. Cho daõy khôùp ngaén:

0 −−−→ Cχ−−−→ J

σ−−−→ C ′ −−−→ 0

trong ñoù J laø module noäi xaï. Chöùng minh raèng vôùi moïi module A vaø vôùi moïi soá nguyeândöông n ta luoân coù

Extn(A,C ′) ∼= Extn+1(A,C)

Giaûi.Caùch 1:AÙp duïng ñònh lyù veà daõy khôùp ñoái vôùi haøm töû Extn(A,−) ta thu ñöôïc daõykhôùp sau ñaây

· · · −−−→ Extn(A, J)σ∗−−−→ Extn(A,C ′)

E∗−−−→ Extn+1(A,C)χ∗−−−→

χ∗−−−→ Extn+1(A, J) −−−→ · · ·Do J laø module noäi xaï neân Extn(A, J) = 0 ,∀n ≥ 1.Suy ra vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta coù daõy khôùp sau ñaây

0 −−−→ Extn(A,C ′)E∗−−−→ Extn+1(A,C) −−−→ 0

Do ñoù E∗ laø ñaúng caáu vaø ta coù Extn(A,C ′) ∼= Extn+1(A,C).Caùch 2: Laáy moät pheùp giaûi noäi xaï cuûa C ′ nhö sau:

X : 0 −−−→ C ′ ε−−−→ X0 ∂0

−−−→ X1 ∂1

−−−→ · · · ∂n−1

−−−→ Xn ∂n

−−−→

Khi ñoù, ta cuõng coù ñöôïc moät pheùp giaûi noäi xaï cuûa C nhö sau:

X ′ : 0 −−−→ Cχ−−−→ J

εσ−−−→ X0 ∂0

−−−→ X1 ∂1

−−−→ · · · ∂n−1

−−−→ Xn ∂n

−−−→ · · ·

Deã thaáy Hn+1(A,X ′) = Hn(A,X) ,∀n ≥ 1.Suy ra Extn+1(A,C) ∼= Extn(A,C ′) ,∀n ≥ 1.

17

Baøi 9.

1. Xaây döïng caùc nhoùm Extn(C,A) döïa vaøo caùc pheùp giaûi xaï aûnh cuûa module C .Chöùng minh raèng caùc nhoùm naøy khoâng phuï thuoäc vaøo caùch choïn caùc pheùp giaûikhaùc nhau cuûa C .

2. Choïn pheùp giaûi töï do cuûa nhoùm Abel Zm:

· · · −−−→ 0 −−−→ Z −−−→ Z −−−→ Zm −−−→ 0

Söû duïng pheùp giaûi naøy haõy tính Extn(Zm, Zk) ,∀n. Töø ñoù haõy chæ ra raèngExtn(C,A) = 0 ,∀n neáu C,A laø caùc nhoùm Abel höõu haïn vaø caáp cuûa chuùngnguyeân toá cuøng nhau.

Giaûi.

1. Cho A,C laø caùc R−module.Pheùp giaûi cuûa module C laø daõy khôùp:

· · · ∂n+1−−−→ Xn∂n−−−→ · · · ∂2−−−→ X1

∂1−−−→ X0ε−−−→ C −−−→ 0

Neáu vôùi moãi Xi laø module xaï aûnh thì daõy khôùp treân ñöôïc goïi laø pheùp giaûi xaïaûnh cuûa module C .Phöùc töông öùng laø:

X : · · · ∂n+1−−−→ Xn∂n−−−→ · · · ∂2−−−→ X1

∂1−−−→ X0 −−−→ 0

Taùc ñoäng haøm töû Hom(−, A) leân phöùc X ta thu ñöôïc phöùc:

Hom(X,A) : 0 −−−→ Hom(X0, A)δ0

−−−→ Hom(X1, A)δ1

−−−→ · · ·

· · · δn−1

−−−→ Hom(Xn, A)δn

−−−→ · · ·trong ñoù δn = (−1)n+1∂∗

n+1. Khi ñoù ta coù caùc nhoùm ñoái ñoàng ñieàu

Hn(X,A) = ker δn/imδn−1 ;∀n = 0, 1, . . .

Ta ñònh nghóa

Extn(C,A) = Hn(X,A) ;∀n = 0, 1, . . .

* Chöùng minh Extn(C,A) khoâng phuï thuoäc vaøo caùch choïn caùc pheùp giaûi khaùcnhau cuûa C . Muoán vaäy, ta phaûi chöùng minh

Hn(X,A) ∼= Hn(X ′, A) ,∀n = 0, 1, . . .

18

vôùi (X ′, ε′) cuõng laø moät pheùp giaûi xaï aûnh cuûa C . Theo ñònh lyù so saùnh, toàn taïibieán ñoåi daây chuyeàn f : X → X ′, g : X ′ → X treo treân 1C . Laïi theo ñònh lyù sosaùnh, ta cuõng coù gf w 1X vì chuùng ñeàu laø caùc bieán ñoåi daây chuyeàn treo treân1C . Töông töï fg w 1X ′ . Do ñoù X w X ′ laø hai phöùc töông ñöông ñoàng luaân.Vì haøm töû Hom(−, A) baûo toaøn quan heä ñoàng luaân daây chuyeàn cuûa hai pheùpbieán ñoåi daây chuyeàn, neân Hom(X,A) w Hom(X ′, A) cuõng laø hai phöùc töôngñöông ñoàng luaân. Do ñoù ta coù ñaúng caáu

Hn(X,A) ∼= Hn(X ′, A) ,∀n = 0, 1, . . .

2. Xeùt pheùp giaûi töï do cuûa Zm:

· · · 0−−−→ 00−−−→ Z ∂1−−−→ Z ∂0−−−→ Zm −−−→ 0

trong ñoù caùc ñoàng caáu ∂0, ∂1 ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

∂1 : Z→ Z ;x 7→ mx

∂0 : Z→ Zm ;x 7→ x

Phöùc thu goïn töông öùng:

X : · · · 0−−−→ 00−−−→ Z ∂1−−−→ Z −−−→ 0

Taùc ñoäng haøm töû Hom(−, Zk) vaøo daõy xaùc ñònh pheùp giaûi töï do cuûa Zm vaøphöùc X ta ñöôïc

0 −−−→ Hom(Zm, Zk)∂∗0−−−→ Hom(Z, Zk)

∂∗1−−−→ Hom(Z, Zk) −−−→ 0

Hom(X, Zk) : 0 −−−→ Hom(Z, Zk)δ0

−−−→ Hom(Z, Zk) −−−→ 0 −−−→ · · ·trong ñoù δ0 = −∂∗

1 .

• Ext0(Zm, Zk) = H0(Hom(X, Zk)) = ker δ0/im0 = ker(−∂∗1) = ker ∂∗

1 =im∂∗

0 . Maø im∂∗0∼= Hom(Zm, Zk) do ñoù Ext0(Zm, Zk) ∼= Hom(Zm, Zk).

Deã thaáy Hom(Zm, Zk) ∼= Zd , vôùi d = (m,k). Thaät vaäy, vôùi moïi f ∈Hom(Zm, Zk), f(1) = n ∈ Zk ⇒ f(m) = mn = 0 ⇒ mn

...k ⇒ mdn... kd⇒

n... kd⇒ nd

k∈ Z. Xeùt töông öùng

ϕ : Hom(Zm, Zk)→ Zd ; f 7→ nd

k

ϕ laø aùnh xaï bôûi vì neáu n = n′ thì n− n′...k ⇒ (n−n′)dk

...d⇒ ndk

= n′dk

ϕ laø ñôn aùnh bôûi vì neáu ndk

= 0 thì n...k ⇒ f(1) = 0⇒ f = 0

Deã thaáy ϕ laø ñoàng caáu. Do Zd laø nhoùm höõu haïn neân ϕ laø ñaúng caáu.

19

• Ext1(Zm, Zk) = H1(Hom(X, Zk)) = ker δ1/imδ0 = ker0/im∂∗1

= Hom(Z, Zk)/∂∗1Hom(Z, Zk)

Deã thaáy Hom(Z, Zk) ∼= Zk , vôùi aùnh xaï ñaúng caáu

ξ : Hom(Z, Zk)→ Zk ; f 7→ f(1)

Do ∂1 chæ laø pheùp nhaân vôùi m neân ta coù theå xem ∂∗1 cuõng laø pheùp nhaân

vôùi m. Khi ñoù, ta coù

Ext1(Zm, Zk) ∼= Zk/mZk

Deã thaáy mZk = dZ/kZ vôùi d = (m,k). Do ñoù theo ñònh lyù ñaúng caáu tacoù Zk/mZk

∼= Zd . Vaäy ta coù

Ext1(Zm, Zk) ∼= Zd

• Extn(Zm, Zk) = Hn(Hom(X, Zk)) = 0 ,∀n ≥ 2

* Xeùt Extn(C,A) trong ñoù A,C laø caùc nhoùm Abel höõu haïn vaø caáp cuûa chuùngnguyeân toá cuøng nhau.Theo lyù thuyeát nhoùm, caùc nhoùm Abel höõu haïn A,C seõ laø toång tröïc tieáp höõuhaïn caùc nhoùm cyclic caáp luõy thöøa cuûa soá nguyeân toá neân ta coù

C = ⊕Zps ; A = ⊕Zqt

trong ñoù p, q laø caùc soá nguyeân toá khaùc nhau. Ta coù

Extn(C,A) = Extn(⊕Zps, A) ∼= ⊕Extn(Zps, A) = ⊕Extn(Zps,⊕Zqt)

∼= ⊕Extn(Zps, Zqt)

Vì caáp cuûa A,C laø nguyeân toá cuøng nhau neân ta coù (ps, qt) = 1. Theo phaàntreân ta coù Extn(Zps, Zqt) = 0 ,∀n ≥ 0. Suy ra Extn(C,A) = 0 ,∀n ≥ 0

Baøi 10. Hai module C1, C2 ñöôïc goïi laø töông ñöông xaï aûnh, kyù hieäu C1 v C2, neáu toàntaïi caùc module xaï aûnh P1, P2 sao cho C1 ⊕ P1

∼= C2 ⊕ P2. Chöùng minh raèng

1. Neáu P laø module xaï aûnh thì vôùi moïi module A ta luoân coù Extn(P,A) = 0 ,∀n ≥ 1.

2. Neáu C1 v C2 thì Extn(C1, A) ∼= Extn(C2, A) ,∀n ≥ 1

3. Neáu C1, C2 laø caùc nhoùm Abel höõu haïn thì C1 v C2⇔ C1∼= C2

20

Giaûi.

1. Caùch 1: Vôùi n = 1, do P laø moâdun xaï aûnh neân ta coù moïi daõy khôùp ngaén coùdaïng

E : 0→ Aχ−−−→ B

σ−−−→ P → 0

ñeàu laø cheû ra. Do ñoù, moïi môû roäng trong Ext1(P,A) ñeàu laø môû roäng töï phaânraõ. Suy ra Ext1(P,A) = 0.Vôùi n > 1, ta coù moïi môû roäng ñoä daøi n, S ∈ Extn(P,A) coù daïng

S : 0→ Aχ−−−→ B1 → · · · → Bn

σ−−−→ P → 0

Xeùt môû roäng ñoä daøi n sau ñaây

S0 : 0→ A1A−−−→ A→ 0→ · · · → 0→ P

1P−−−→ P → 0

Do P laø moâdun xaï aûnh vaø σ : Bn → P laø toaøn caáu neân ñoàng caáu ñoàng nhaát1P : P → P ñöôïc naâng leân tôùi ñoàng caáu γ : P → Bn sao cho σγ = 1P .Vì vaäy, toàn taïi caáu xaï Γ = (1A, χ, . . . , γ, 1P ) : S0 → S sao cho bieåu ñoà sau ñaâygiao hoaùn

S0 :0 −−−→ A1A−−−→ A −−−→ 0→ · · · → 0 −−−→ P

1P−−−→ P −−−→ 0

Γ

y 1G

y χ

y 0

y γ

y 1P

yS : 0 −−−→ A

χ−−−→ B1 −−−→ B2→ · · · → Bn−1 −−−→ Bnσ−−−→ P −−−→ 0

Suy ra S chaäp ñöôïc vôùi S0, hay S = 0. Vaäy Extn(P,A) = 0 ,∀n ≥ 1.Caùch 2: Vì P laø moâdun xaï aûnh neân ta coù pheùp giaûi xaï aûnh

X : · · · → 0∂n−−−→ 0→ · · · → 0

∂1−−−→ P1P−−−→ P → 0

trong ñoù ∂n = 0 vôùi moïi n ≥ 1. Do ñoù vôùi moïi n ≥ 1 ta coù

Extn(P,A) = Hn(Hom(X,A)) = 0

2. Do C1 v C2 neân toàn taïi caùc module xaï aûnh P1, P2 sao cho C1 ⊕ P1∼= C2 ⊕ P2 .

Khi ñoùExtn(C1 ⊕ P1, A) ∼= Extn(C2 ⊕ P2, A) ,∀n ≥ 1

Do Extn(Pi, A) = 0 ,∀n ≥ 1 ; i = 1, 2 neân ta coù

Extn(C1 ⊕ P1, A) ∼= Extn(C1, A)⊕ Extn(P1, A) ∼= Extn(C1, A)

Extn(C2 ⊕ P2, A) ∼= Extn(C2, A)⊕ Extn(P2, A) ∼= Extn(C2, A)

Suy ra Extn(C1, A) ∼= Extn(C2, A) ,∀n ≥ 1

21

3. (⇒)Giaû söû C1 v C2, theo phaàn 2, ta coù Ext(C1, Z) ∼= Ext(C2, Z). Do C1 laø nhoùmAbel höõu haïn neân C1 = ⊕Zpn laø toång tröïc tieáp höõu haïn caùc nhoùm cyclic caápluõy thöøa cuûa soá nguyeân toá. Do ñoù

Ext(C1, Z) = Ext(⊕Zpn, Z) ∼= ⊕Ext(Zpn, Z)

Deã thaáy Ext(Zpn, Z) ∼= Zpn . Suy ra

Ext(C1, Z) ∼= ⊕Zpn = C1

Töông töï Ext(C2, Z) ∼= C2. Do ñoù ta coù C1∼= C2

(⇐)Giaû söû C1

∼= C2 thì vôùi moïi module xaï aûnh baát kyø P ta luoân coù C1⊕P ∼= C2⊕P .Do ñoù C1 v C2.

22