Лекція 6 .
description
Transcript of Лекція 6 .
Лекція 6.
Кафедра інформатики та комп‘ютерних технологій доцент Бесклінська О.П.
Елементи векторної алгебри.
Зміст1.Поняття вектора. Основні означення.2. Лінійні операції над векторами.3. Проекція вектора на вісь. 4.Лінійна залежність і незалежність
векторів. Базис. 5. Прямокутна декартова система
координат.6. Вектори в ПДСК.7. Поділ відрізка у даному відношенні.
a
AB��������������
Геометрично вектор являє собою напрямлений відрізок і позначається
або
де точка А– початок вектора, а В– його кінець.
a
А
В
1.Поняття вектора. Основні означення.
| a | |AB
��������������
Відстань між початком вектора і його кінцем називають довжиною (або модулем) вектора і позначають
або
.
Вектори, які лежать на одній прямій або паралельних прямих, називають колінеарними
Вектори a
і b
рівні, якщо вони колінеарні, мають однакові модулі і однакові напрями
a
b
Два вектори називають протилежними, якщо вони колінеарні, мають однакові модулі і протилежні напрями.
Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають нуль–вектором. Напрям його не визначений.Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають нуль–вектором. Напрям його не визначений.
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці називають одиничним вектором. Вектор, довжина якого дорівнює одиниці називають одиничним вектором.
Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора називають ортом вектора і позначають
Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора називають ортом вектора і позначають
a
0a
Три вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній або паралельних площинах.Три вектори називають компланарними, якщо вони лежать в одній або паралельних площинах.
2. Лінійні операції над векторами.
1) додавання (віднімання) векторів; 2) множення вектора на число (скаляр).
a
b
Сумою векторів
і
називають вектор
який сполучає початок вектора з кінцем вектора
за умови, що вектор
Правило трикутника
і a
+ b
a
b
b
прикладений до кінця вектора a
a b
+a
b
Суму двох векторів можна будувати також за правилом паралелограма
a
ba
b
+
Віднімання векторів визначається як дія, обернена додаванню.
a
b
Різницею векторів і називають вектор –
який в сумі з вектором складає вектор
або, іншими словами, це вектор, що сполучає кінець вектора
з кінцем вектора за умови, що і
прикладені до спільного початку
a
b
b
a
b
a
a
b
a
b
a
– b
a
a
| | | || |a a
a
0 a
0
Добутком вектора на скаляр
називають вектор такий, що
і напрям якого збігається з напрямом вектора
якщо , або протилежний до напряму
якщо
a
a
a a
0 0
3. Проекція вектора на вісь.
Віссю називають напрямлену пряму, на якій вибрано початок відліку, додатний напрям і одиницю довжини.
Проекцією вектора на вісь u називають додатне число,
якщо вісь u і вектор однаково напрямлені, і від’ємне число , якщо вісь u і вектор протилежно напрямлені .
1 1| |A B��������������
1 1| |A B��������������
a
uВ1А1
А
В
φ
uВ1 А1
А
В
φ
А б
11BA
11BA
4. Лінійна залежність і незалежність векторів. Базис.
Застосовуючи лінійні операції над векторами, можна знаходити вирази вигляду
1 1 2 2 ... n nx a x a x a
які називають лінійними комбінаціями векторів 1 2, , ... , na a a
числа 1 2, , ..., nx x x -коефіцієнти.
Вектори називають лінійно залежними, якщо існують такі числа не всі рівні нулю, що лінійна комбінація
і лінійно незалежними, якщо ця рівність виконується лише за умови, коли всі числа рівні нулю.
1 2, , ..., nc c c1 2, , ... , na a a
1 1 2 2 ... 0n nc a c a c a
1 2, , ..., nc c c
1 2, , ... , na a a
nRnR
1 2, , ..., nx x x
Сукупність лінійно незалежних векторів
називають базисом простору
якщо для кожного вектора з
існують такі дійсні числа
що справедлива рівність:
1 1 2 2 ... n nb x a x a x a
b
1 2, , ... , na a a
Цю рівність називають розкладом вектора
у базисі
.
Базисом на площині називають довільну упорядковану пару неколінеарних векторів.
Базисом у просторі називають довільну упорядковану трійку некомпланарних векторів.
d a b c
d
Якщо вектори
,
– базис у просторі і вектор
розкладений за базисом, тобто
то числа називають координатами вектора
в даному базисі.
cba
і,
,, d
5. Прямокутна декартова система координат.
Точку О і упорядковану трійку некомпланарних векторів
1 2 3, ,e e e
(базис) називають декартовою системою координат у просторі.
Точка О – початок координат, а осі, які проходять через початок координат в напрямі базисних векторів, називають осями координат.
Упорядковану трійку одиничних попарно ортогональних векторів
, ,i j k
| | 1, | | 1, | | 1i j k
називають ортонормованим базисом.
Рене Декарт (1596-1650) – великий французький філософ, фізик, математик і фізіолог.
Математику називав як науку “ про порядок і міру”.
Вважав що математика більш ніж інші науки відповідає вимогам розуму.
Поклав в основу своєї наукової філософії поняття про рух матерії. Вніс рух у математику. Ввів поняття
змінної величини.
Рене Декарт (1596-1650) – великий французький філософ, фізик, математик і фізіолог.
Математику називав як науку “ про порядок і міру”.
Вважав що математика більш ніж інші науки відповідає вимогам розуму.
Поклав в основу своєї наукової філософії поняття про рух матерії. Вніс рух у математику. Ввів поняття
змінної величини.
Довільній точці М простору можна співставити у ПДСК вектор
який називають радіус-вектором точки М відносно точки О. Тоді існує єдина трійка чисел (x, y, z) така, що
r OM��������������
r xi yj zk
Координати x, y, z радіус - вектора OM��������������
називають координатами точки М і пишуть М (x, y, z)
х
z
О у
М(х, у, z)
k
i j
х
у
z
r xi yj zk
r OM��������������
6. Вектори в ПДСК.
Нехай в ПДСК Oxyz задано вектор a
Це означає, що в ортонормованому базисі , ,i j k
вектор a
можна подати у вигляді
x y za a i a j a k
де , ,x y za a a координати вектора a
у цьому базисі.
Ці координати – проекції вектора a
| | cosx xa np a a
| | cosy ya np a a
на координатні осі, тобто
| | cosz za np a a
де , , кути, які вектор a
утворює з осями координат x y zΟ , Ο , Ο
x
y
z r OM��������������
αβ
γ
O
Довжину (модуль) вектора a
знаходять за формулою
2 2 2| | x y za a a a
Напрямні косинуси :
cos| |
xa
a cos
| |ya
a cos
| |za
a
2 2 2cos cos cos 1.
Якщо відомі координати початку 1 1 1( , , )A x y z
та кінця 2 2 2( , , )B x y z вектора AB��������������
то його координати знаходять за формулою
2 1 2 1 2 1( , , )AB x x y y z z ��������������
Довжина вектора AB��������������
2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )AB x x y y z z
��������������
7. Поділ відрізка у даному відношенні.
A
B
M
1 1 1, ,A x y z
2 2 2, ,B x y z
М(x, y, z),
:AM MB ����������������������������
1 2
1
x xx
1 2
1
y yy
1 2
1
z zz
Координати точки, яка ділить відрізок навпіл (λ=1):
1 2
2
x xx
1 2
2
y yy
1 2
2
z zz